无源低通滤波器及设计

无源低通滤波器设计

一、技术指标

通带允许起伏：-1dB 0≤f ≤5kHz 阻带衰减： ≤-15dB f ≥10kHz

二、设计原理

本设计采用巴特沃斯(Butterworth)滤波器。巴特沃斯滤波器是最基本的逼近函数形式之一，它的幅频特性H(j ω)的模平方为

2

22

)(11)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛ωω+=ωN c j H

式中，N 是滤波器的阶数；

c ω是滤波器的截止角频率，当c ω=ω时，

2

1

)(2

=ωj H 。

不同阶次的巴特沃斯滤波器特性如图所示，这一幅频特性具有以下特点：

图1 巴特沃斯滤波器幅频相应

(1) 最大平坦性：在ω=0点，它的前(2N-1)阶导数为零，即滤波器在ω=0附近一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。

(2) 通带和阻带的下降的单调性，具有良好的相频特性。

(3) 3dB 的不变性：随着N 的增加，通带边缘下降越陡峭，越接近理想特性。但无论N 是多少，幅频特性都经过-3dB 点。当c ω>ω时，特性以20NdB/dec

速度下降。

三、设计步骤

(1) 求滤波器阶数N

由给定的技术指标写出滤波器幅频特性

)

(ωj H 在

s

rad p /10523

⨯⨯=πω和

s rad s /101023

⨯⨯=πω两特定点的方程：

⎪⎪

⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨

⎧

-=+=-=+=15))(11lg(20)(lg 201))

(11lg(20)(lg 2022N

c s s

N c p p j H j H ωωωωωω 联立方程，消去C ω，求解N

N =

log 10(1015

10−1

10110−1

)

2log 10(10

5

)

=3.4435

取整后得到要求的阶数N=4。

(2) 求衰减为-3dB 的截止角频率c

ω，将N=4代入

)

(s j H ω的表达式

得到

∣H(j ωs )∣=

√1+(2π×10×103ωc

)

2×4

=10

−

15

20

即

s

rad c /430621

1010

1028

15

203

=-⨯⨯=

πω

(3) 求滤波器的系统函数H 。归一化的系统函数)(s H 的分母)(s B N 称作巴特沃斯多项式，已知N=4时，B N (s )=s 4+2.61313s 3+3.41422s 2+2.61313s +1，经过去归一化，即以ε1

N

∙s

ωp

=0.71/4

10000πs =2.912×10−5s 来代替s ，代入)(s H 中，得到实际的

系统函数为

H (s )= 1.391×1018

s 4+8.973×104s 3+4.026×109s 2+1.058×1013s +1.391×1018

(4)设计实现电路。一般情况电路都是工作在匹配状态，故信号源内阻S R 和负载电阻L R 相等，此时满足

2

1

)0(=+=

L S S R R R j H

用达林顿电路实现时，策动点阻抗函数)(11s Z 可表示为

N

N N

N S

s s B s s B R s Z -+=)()()(11

为简化计算，把策动点阻抗函数)(11s Z 对信号源内阻归一化，即

N

N N

N S s s B s s B R s Z -+=)()()(11 将上式按s 的降幂展开得：

Z 11(s)R s

=

2s 4+2.61313s 3+3.41422s 2+2.61313s+12.61313s 3+3.41422s 2+2.61313s+1

展开成连分式表示

Z 11(s)R s

=0.765s +

1

1.848s+

1

1.848s+

1

0.765s+1

=L 1′s+

1

C 2′s+1

L 3′s+1

C 4′

s+1

其中，L 1′,C 2′,L 3′,C 4′

是归一化电感、电容值，其实现电路如下图所示，图中的元件都

是对频率和信号源内阻归一化的。

图2 N=4阶的巴特沃斯低通原型滤波器实现

在实际实现电路时，需要把原型滤波器的元件值对频率和内阻去归一化。电阻值恢复原来值即可，实际电容、电感值可由下式求出

⎝

⎛

ω=ω='

1

'

C R C L R L C S C S 现在根据原型电路图对各元件去归一化：

L 1=R S ωC L 1′=100043062×0.765=17.77mH

C 2=1R S ωC C 2′

=11000×43062×1.848=42.91nF

L 3=R S ωC L 3′=100043062×1.848=42.91mH

C 4=1R S ωC C 4′

=11000×43062×0.765=17.77nF

具体实现电路如下图