数列在生活中的应用

河北师范大学汇华学院

本科生毕业论文

（2012 届）

题目:数列在生活中的应用

系别：数学系

专业：数学与应用数学

班级：三班

作者姓名：王海静学号：2008511915

指导教师：张金莲职称：副教授学历：本科论文成绩：

2012 年 5 月

数列在生活中的应用

摘要：

数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。

关键词：数列应用分期付款资源利用

Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very important branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more and more attention.

Key words: application of series installment resource utilization

1, 引言

数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况

2，主要内容

第一章：等差等比数列在生活中的应用

一、等差数列的应用题

涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。

例1假设某市2005年新建住房面积400平方米，其中有250平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建的中低价房的累计面积（以2500年累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？

解；设中低价房面积构成数列{an}，由题意知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，则

Sn=250n+[n(n-1)/2 ]×50=25n2+225n

令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0

解得n≥10，或n≤-19（含去）

故到2014年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米。

二、等比数列的应用题

在解决等比数列与应用问题时，首先应明确是解决第n项的问题，还是解决前n项和的问题，然后运用等比数列的性质解决有关问题。

A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn，求pn的表达式（用n 表示）

解：由题意可知，第n次由A掷有两种情况：①第n-1次由A掷，第n

次继续由A掷，此时概率为（12/36）Pn-1=（1/3）P n-1，②第n-1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为[1-（12/36）]（1- Pn-1）=（2/3）（1- Pn-1）。

由于这两种情况是互斥的，因此所以数列{Pn-（1/2）}是以P1-（1/2）=（1/2）为首项，-（1/3）为公比的等比数列，于是Pn-（1/2）=（1/2）.（-1/3）n-1 ，即：Pn=（1/2）+（1/2）.（-1/3）n-1

三、递推数列的应用

处理递推数列的应用题时，应先抓住第n项与第n-1项之间的联系去构建递推关系，再根据题议要求去解决问题。

例3，某公司全年纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1至n排序，第一位职工得奖金b/n元，然后再将余额以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发燕尾服基金。

（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖所金额，试求a2，a3，并用k,n 和b表示ak（不必证明）

（2）证明ak＞ak+1（k=1,2……n-1）并解释此不等式关于分配原则的实际意义。

（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b），对常数b，当n变化时，求Pn （b）

解：（1）第1位职工的奖金a1=b/n

第2位职工的奖金a2=（1/n）[1-（1/n）]b，

第3位职工的奖金a3=（1/n）[1-（1/n）]2b，……

第k位职工的奖金ak=（1/n）[1-（1/n）]k-1b，……

例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？

解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。应用数列知识我们很快就会求得。

显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个）

一．单利与复利计算方式与数列

在分期付款和银行存款储蓄中，数列主要是用于利息的

计算，根据单利与复利的不同，建立等差数列或者等比数列的

模型。在单利计算中，若本金为a元。每期利率为P，利息与本

息和可按期数排成剪列；第一期末：利息ax P，本息和a×(1+ p)；第二期末：利息gx 2p，本息和ax(1+2p)；第三期末：利息

a×3p，本息和ax(1+3p)；⋯⋯第n期末：利息axnp，本息和a×

(1+np)。由此可知，在单利的计算中，利息与本息和都是公差

为印的等差数列。

在复利的计算中，假设本金为a元，每期利率为P，利息

与本息和可按期数排成数列：第一期末：利息axP，本息和ax

(1+p)；第二期末：利息ax(1+p)。P，本息和a×(1+p)2；第三期末：利息ax(1+p)2×P，本息和ax(1+p)’．．．⋯-第n期末：利息

a×(1+p)“×P。本息和ax(1+p)I．由此可知，在复利的计算中，