2016考研数学：高数(上册)高频考点总结

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高数上册知识点总结

高数上册知识点总结高等数学上册知识点总结引言高等数学是大学数学的重要组成部分，它为我们提供了解析几何、微积分、无穷级数等一系列数学工具，为我们理解和解决各种实际问题提供了强大的支持。

在高等数学上册中，我们将学习到很多重要的概念和定理，本文将对其中一些关键知识进行总结。

一、导数与微分导数是微积分的首要概念之一，用于描述函数的变化率。

公式上，导数表示函数在某一点上的切线斜率。

微分是导数的微小变化，表示函数在某一点上的微小增量。

我们需要掌握导数的基本定义和常见函数的求导法则，并理解导数的物理和几何意义。

二、极限与连续极限是高等数学中最关键的概念之一，用于描述随着自变量趋近某一特定值时函数值的变化情况。

极限可以分为常数极限、无穷大极限和无穷小极限。

连续是指函数在整个定义域上无间断，没有跳跃和缺口。

我们需要熟悉极限的计算方法和性质，并理解连续函数的判定条件和性质。

三、函数与映射函数是一种描述两个变量之间关系的数学工具。

函数包括常见的数学函数如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

映射是函数的一种特殊形式，将每个自变量映射到唯一的因变量。

我们需要了解函数的性质和特点，并应用函数构建数学模型。

四、定积分与不定积分定积分和不定积分是微积分的重要内容。

定积分用于计算曲线下面积，而不定积分则表示函数的原函数。

在应用上，定积分可以计算曲线长度、质量、质心等问题。

不定积分是求函数的原函数，常用于求解微分方程。

我们需要熟练掌握积分的计算方法和性质，并能熟练运用积分解决实际问题。

五、级数级数是数列求和的推广概念，特定地，级数是无穷项的和。

我们需要掌握级数的收敛与发散判别方法，如比值判别法、积分判别法、积和判别法等。

同时，要了解级数的性质，如绝对收敛和条件收敛等，并能运用级数解决实际问题。

六、逼近与展开逼近和展开是一种将复杂函数转化为简单形式的数学方法。

逼近是将某个函数近似替代为一个简单的函数，如泰勒多项式逼近。

展开则是将一个函数表示为一系列更简单的函数的和，如傅里叶级数展开。

高等数学(上册)重点总结

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 000㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高数上册知识点

高数上册知识点
1. 极限呐，这可太重要啦！就像你跑步要跑到终点一样，极限就是函数接近的那个值哟。

比如说，1/x 当 x 趋近于无穷大时，它的极限不就是 0 嘛！
2. 导数呀，不就是变化率嘛！就好比汽车的速度，速度快变化就大呀。

像求曲线 y=x^2 的导数，得到 2x，这就能知道它在各个点的变化快慢喽。

3. 连续可不能小瞧哦！可以想想水流，一直不间断就是连续呀。

比如函数 y=sinx 就是连续的嘛。

4. 微分呢，就有点像把一个东西拆得更细致呀。

比如说一个面包，微分就是把它分成很小很小的部分。

像 y=x^2 的微分就是 2xdx 呀。

5. 积分呀，不就是把那些小部分又合起来嘛！类似把面包碎块再拼成一个完整面包哟。

求曲线下的面积不就是用积分嘛。

6. 无穷小和无穷大就像两个极端呀！无穷小接近 0，无穷大就超级大嘛。

想想 1/x，当 x 很大很大时，不就接近无穷小啦。

7. 函数的单调性和极值也很有趣呀！就好像爬山，有上坡有下坡，还有山顶这个极值点。

比如 y=x^3-3x，就能找到它的极值点呐。

我觉得呐，高数上册的这些知识点真的很神奇，能让我们看到数学世界里好多奇妙的现象呢！。

2016考研数学高等数学复习重点

2016考研数学高等数学复习重点考研数学如何取得高分？以下老师为各位同学整理了提高考研数学成绩的三个技巧，供大家参考，希望能对大家复习备考有帮助！考研数学复习是建立在对基本的东西很深刻的理解的基础上的，单纯多做题可能会多见识一些题型，但对于一些很灵活有新意的题目就可能无法应对，这和点石成金的故事是一样的道理。

而这种能力的培养却来自于老老实实地将基础打牢，这一点上要摒弃那种急功近利的想法，不论是考研还是成就一番事业，要想成功，首先要沉得住气，有一个长远的打算，而不是做一天算一天，同时要善于控制事情发展的节奏，不论太快抑或太慢都不好，你都得去考虑为什么会这样，怎样去解决。

一个人不论处于顺风还是逆风，都要学会不断的去跟自己出难题，不断地去反省自己，自己主动把握自己的命运，他才能最后成功。

在忙碌的考研复习中，或许你正在忙于大量的复习知识，或许你已投入无尽的题海，或许你还在为一道道题而苦恼，或许你还在因为复习不见成效而沮丧。

但是，不知忙于埋头复习的你有没有发现，不是你的能力不够强，而是你对如何复习还不熟练。

我们的最终目的是提高复习效果，提高复习效果的途径大致可以分为两种：一是调整数学整体的素质和能力，更好的驾驭考研;二是理解复习的每一个环节，掌握复习方法，将自己已有的潜能和水平发挥到极致。

第一章函数、极限与连续部分。

本部分的重点内容是极限，前后交叉的地方多，综合性强。

而求极限是考研数学的一个基本题型，也是对考生基本运算能力的考查，广大考生一定要对求极限的基本方法和运算思路有一个整体的把握。

第一章当中除了求极限之外，还有无穷小的比较、等价无穷小等也都是往年考查的重点，希望大家在复习当中予以关注。

另外，关于函数间断点类型的判断，也是考查比较频繁的知识点，大家在复习当中要引起重视。

第二章一元函数微分学。

这部分考生一定要注意导数的定义，理解导数的几何意义和物理意义，包括导数概念的一些充要条件要很清楚。

在一元函数微分学当中还有导数的计算和应用，导数的计算相对来说比较简单，大家对于导数的计算只要有足够的耐心和细心，就不会出问题;导数的应用是一个比较大的内容，函数的单调性、凹凸性、极值、拐点以及不等式的证明、方程根的应用都会在这块内容中出题，这是本章的重点和难点。

2016考研数学：高数重要定理汇总

2016考研数学：高数重要定理汇总导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。

即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

2016年考研数学一各题考点分析

2016年考研数学一各题考点分析一、选择题部分：前四题是高等数学部分，第1题是关于一元函数积分学中的反常积分判别收敛问题，这部分是要求我们会计算反常积分和判别其收敛性的。

第2题是有关原函数的问题，这部分是要知道原函数的概念的，别切要求我们知道哪些函数一定有原函数（连续函数），哪些函数一定没有原函数的（含有可去、跳跃、无穷间断点的函数）。

第3题是有关一阶微分方程解的性质的问题，关于常微分方程问题是我们常考的内容，在考试前我们已经做了大量的相关练习，因此这块内容相信同学们已经比较了解，做的也应该不错。

第4题是我们高等数学上册第一章节间断点的知识点。

关于间断点这一块，我们知道，它是常考内容，作为小题，其考察的也比较频繁的。

对于这一块内容，我们在找间断点前，首先要考虑的就是其间断点的嫌疑点问题，一是其无定义的点，一定是间断点，二是分段函数的分段点（有可能是间断点）。

选择题的5、6两题是线性代数部分的：第5题，是有关矩阵相似的问题，这题我们利用相似定义很快便可得出答案选C,关于矩阵相似的问题我们已经做过很多练习了，相对而言本题还是容易判别的。

第6题是关于二次型与空间解析几何中的双叶双曲面结合起来的。

其实对于这一部分数一单一的内容，我们在暑假的时候的二阶强化课讲义上就有类似的题，我们是要求考数一的同学一定要注意这些小的边角问题的。

记的在考前一周时，有数一的同学还特地问了我关于空间解析几何会考哪些东西，会与线代怎么结合，我是说了有关双曲面的问题的。

后面7、8两题是关于概率统计的：第7题是关于正态分布的题，这一题与我们之前做练习时所讲的题型，其实是没什么区别的，因此这题应该会做的，主要考察正态分布的知识内容。

第8题是关于相关系数的内容，此题的灵活性是比较大的，与10年考的拿到大题是差不多的，所以同学们在做这题时可能会有些难度。

关于数字特征这一章节我们讲的也比较多了，也讲了其也可能会与分布函数问题结合处大题的。

二、填空题部分：前四题是高数部分的内容，第9题是和往年差不多，也是考查了极限的计算问题，其是与变限积分相结合的，这里就要求同学们要掌握变限积分的求导方法，带有变限积分问题的极限往往要用洛必达法则来求解。

2016考研数学知识点大纲

2016考研数学知识点大纲1、两个重要极限，未定式的极限、等价无穷小代换这些小的知识点在历年的考察中都比较高。

而透过我们分析，假如考极限的话，主要考的是洛必达法则加等价无穷小代换，特别针对数三的同学，这儿可能出大题。

2、处理连续性，可导性和可微性的关系要求掌握各种函数的求导方法。

比如隐函数求导，参数方程求导等等这一类的，还有注意一元函数的应用问题，这也是历年考试的一个重点。

数三的同学这儿结合经济类的一些试题进行考察。

3、微分方程：一是一元线性微分方程，第二是二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程对第一部分，考生需要掌握九种小类型，针对每一种小类型有不同的解题方式，针对每个不同的方程，套用不同的公式就行了。

对于二阶常系数线性微分方程大家一定要理解解的结构。

另一块对于非齐次的方程来说，考生要注意它和特征方程的联系，有齐次为方程可以求它的通解，当然给出的通解大家也要写出它的特征方程，这个变化是咱们这几年的一个趋势。

这一类问题就是逆问题。

对于二阶常系数非齐次的线性方程大家要分类掌握。

当然，这一块对于数三的同学来说，还有一个差分方程的问题，差分方程不作为咱们的一个重点，而且提醒大家一下，学习的时候要注意，差分方程的解题方式和微方程是相似的，学习的时候要注意这一点。

4、级数问题，主要针对数一和数三这部分的重点是：一、常数项级数的性质，包括敛散性;二、牵扯到幂级数，大家要熟练掌握幂级数的收敛区间的计算，收敛半径与和函数，幂级数展开的问题，要掌握一个熟练的方法来进行计算。

对于幂级数求和函数它可能直接给咱们一个幂级数求它的和函数或者给出一个常数项级数让咱们求它的和，要转化成适当的幂级数来进行求和。

5、一维随机变量函数的分布这个要重点掌握连续性变量的这一块。

这里面有个难点，一维随机变量函数这是一个难点，求一元随机变量函数的分布有两种方式，一个是分布函数法，这是最基本要掌握的。

另外是公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性。

高数复习要点(上册)

一 . 求极限求极限应该掌握的方法有：罗比达法则、等价无穷小代换、无穷小乘以有界量应为无穷小量（注意，若用此性质求极限时应该怎么写）、无穷大的倒数为无穷小、利用导数的定义求极限、利用定积分的定义求极限，利用泰勒展开式求极限了解一下，熟记常用的等价无穷小代换、常用函数的麦克劳林展开式。

注意：a.若用罗比达法则求数列极限时，应注意先把数列的极限转化为函数的极限，然后在利用数列极限和函数极限的关系做，例如：求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n πn n 24tan lim 时，首先应转化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x πx x 24tan lim ，求此函数的极限，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n πn n 24tan lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x πx x 24tan lim 。

b.特别注意∞1型的极限，求此极限有两种方法：（1）利用重要极限；（2）把所求的极限转化为：)(ln )()(00lim )(lim x f x g x x x g x x e x f →→= c. 注意x x e ∞→lim （此极限不存在），此极限当+∞→x 时，极限为∞+，当-∞→x ，极限为0. d. 注意x x a ∞→lim ,此极限值和1>a 、1<a 及1=a 有关。

二. 求导数1.掌握抽象复合函数求导，例如：设f x e xf y x ),sin (+=具有二阶导数，求y y ''',。

2.掌握隐函数方程所确定函数的求导（求导方法：方程两边直接对x 求导，把y 看成x 的函数）。

3. 掌握由参数方程所确定的函数求导，注意以下两个问题：a. 在求二阶导数时，因一阶导数是参数t 的函数，而我们是求函数对x 的二阶导数，因此求二阶导数时，应先求一阶导数对t 的导数再乘以t 对x 的一阶导数，例如：设()⎩⎨⎧=+-=t y t t x arctan 1ln 2，求x y d d 及22d d x y ，则 tx t y x y d d d d d d ==，x t x y t x y x x y d d d d d d d d d d d d 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= b. 有时是求y x d d 及22d d y x ，而不是求x y d d 及22d d x y ，思路和求x y d d 及22d d x y 一样，唯一不同的是y x d d 的自变量是y 而非x ，考试时应该看清题目，t y t x y x d d d d d d =，y t y x t y x y y x d d d d d d d d d d d d 22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4.求分段函数在分段点处的导数时必须利用导数的定义，会灵活运用导数的三个等价定义，xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000 000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→ hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='→ 5.掌握可导、可微与连续间的关系，会讨论分段函数在分断点的连续性和可导性。

高数(上册)知识点汇总

高等数学上册知识点一、函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f x =间断点第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在.(无穷间断点、振荡间断点)5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义1）数列极限 : εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限 :εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-=右极限：)(lim )(00x f x f x x +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则1）夹逼准则：1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim x n n ∞→lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1)(~ααββαo +=⇔; Th2αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限：a)1sin lim 0=→xx x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 15）无穷小代换：（0→x ）a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221~cos 1x x - c)x ex~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+（ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+二、导数与微分（一）导数 1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-, 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔ 2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、可导与连续的关系： 4、求导的方法1）导数定义； 2)基本公式； 3)四则运算； 4)复合函数求导（链式法则）； 5) 隐函数求导数； 6)参数方程求导； 7)对数求导法. 5、高阶导数1）定义：⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222)Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二）微分1）定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2）可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理1、 Rolle 定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使. 2、 Lagrange 中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈；2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使. 3、 Cauchy 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈；2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二）洛必达法则（三） Taylor 公式（四）单调性及极值1、单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少. 2、极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则 ①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的. 2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）. （六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性. （七）渐近线1、铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线；2、水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；3、斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim ,b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线.（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、基本积分表（P188，13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、第二类换元法（变量代换）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三）分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv（四）有理函数积分： 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、定积分（一）概念与性质：1、定义：∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ2、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ（平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二）微积分基本公式（N —L 公式）1、变上限积分：设⎰=Φxa dt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dxd x x ααβββα'-'=⎰ 2、N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三）换元法和分部积分1、换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)( 2、分部积分法：[]⎰⎰-=baba ba vdu uv udv（四）反常积分1、无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat adx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰-∞→∞-=btt bdx x f dx x f )(lim)(, ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、瑕积分：⎰⎰+→=btat badx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）, ⎰⎰-→=tab t badx x f dx x f )(lim)(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1,11,d 1p p a p x x p a p 2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q qa b x b x a x x qb a q b a q六、定积分的应用（一）平面图形的面积1、直角坐标：⎰-=ba dx x f x f A )]()([122、极坐标：⎰-=βαθθϕθϕd A )]()([212122 （二）体积1、旋转体体积：a)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=bax dx x fV )(2πb)曲边梯形x b x a x x f y ,,),(===轴，绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：⎰=b ay dx x xf V )(2π（柱壳法） 2、平行截面面积已知的立体：⎰=badx x A V )(（三）弧长1、直角坐标：[]⎰'+=badx x f s 2)(1 2、参数方程：[][]⎰'+'=βαφϕdt t t s 22)()(3、极坐标：[][]⎰'+=βαθθρθρd s 22)()(七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程. 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程dx x f dy y g )()(=，两边积分⎰⎰=dx x f dy y g )()(（三）齐次型方程)(x y dx dy ϕ=，设xyu =，则dx du x u dx dy +=；或)(y x dy dx φ=，设y x v =，则dy dv y v dy dx += （四）一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy =+ ，用常数变易法或用公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( （五）可降阶的高阶微分方程1、)()(x f yn =，两边积分n 次；2、),(y x f y '=''（不显含有y ），令p y ='，则p y '=''；3、),(y y f y '=''（不显含有x ），令p y ='，则dydp p y =''（六）线性微分方程解的结构1、21,y y 是齐次线性方程的解，则2211y C y C +也是；2、21,y y 是齐次线性方程的线性无关的特解，则2211y C y C +是方程的通解；3、*2211y y C y C y ++=为非齐次方程的通解，其中21,y y 为对应齐次方程的线性无关的解，*y 非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：0=+'+''qy y p y特征方程：02=++q pr r ，特征根：21,r r（八）常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''1、)()(x P e x f m x λ=，设特解)(*x Q e x y m x k λ=，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=是重根是一个单根不是特征根, λ, λ, λk 2102、()x x P x x P e x f n l x ωωλsin )(cos )()(+=设特解[]x x R x x R e x y m mx k ωωλsin )(cos )()2()1(*+=，其中 } ,max{n l m =，⎪⎩⎪⎨⎧++=是特征根不是特征根i i k ωλωλ ,1 ,0。

高等数学（上）重要知识点归纳

高等数学（上）重要知识点归纳高等数学（上）重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ?>??=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1) )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=?=→，其中)(x α为某一个无穷小。

(2)(保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ，则,0>?δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim=??→? (2)e =?+?∞→?)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法常用替换：当0→?时（1)??~sin （2）??~tan （3）??~arcsin （4)??~arctan （5）??+~)1ln( （6）?-?~1e （7）221~cos 1??- （8）nn ?-?+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类 1、连续的定义*)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==?=?=??-+→→?2、间断点的分类??其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f Ay A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义*ax a f x f x a f x a f x y dx dy a f y ax x x a x a x --=?-?+=??=='='→→?→?==)()(lim)()(lim lim |)(|002、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=??='--→→?-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=??='++→→?+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义*k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。

2016考研数学笔记高数版

x0
1 1 2 ) 2 sin x x cos2 x
= lim
( x cos x sin x)( x cos x sin x) ( x cos x sin x)( x cos x sin x) = lim 4 2 x 0 x 0 x cos x x4 ( x cos x sin x) ( x cos x sin x) . x 0 x x3
0 0
1
1
n
lim
x
0
1
n
f ( x)dx =0.
x 2 n 1 ax 2 bx *4.设 f ( x) = lim 。（1）若 f ( x) 处处连续，求 a、b.（2）若 (a, b) 不是求 n x 2n 1
出的值，判断 f ( x) 有何间断点。分析：当 x=0 时， f ( x) =0；当 x 0 时我们可以看到分子分母实际上差 1 次，为了看得更
1
M x f ( x)dx nlim 解：（ 1 ）记 M 为 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值，则 nlim

0
1
n
x
0
n
dx
=
1 x n 1 1 M lim lim M = =0. | n n 1 n 1 0 n
x n f ( x)dx lim N x n dx =0.由夹逼定理知 (2)记 N 为 f ( x) 在 [0,1] 上的最小值，则 nlim n
1
1
x 联想到“ e x 1 ”结构成“ a 1 ”结构。实际上， n n 1（ n ）= e n
ln n
1 ~
1 ln n . n
解：根据上述分析，原式= lim

(完整版)高数知识点总结(上册)

xfdy)('
)('xfdxdy
xffxf)0()0()(' xnxn111
xxsin（x用弧度） xxtan（x用弧度）
xe12 xx)1ln(
)(xf满足下列条件
（1）在闭区间ba,上连续
（2）在开区间ba,内具有导数
（3）在端点处函数值相等，即)()(bfaf，则在ba,内至少有一点，使0)('f
x处有定义
（2）当
xx时，)(xf的极限)(lim
xfxx存在
（3）极限值等于函数)(xf在点
x处的函数值)(0xf
如果函数)(xf在点
x处连续，由连续定义可知，当0xx时，)(xf的极限一定存在，反
分类：第一类间断点 (左右极限都存在) 第二类间断点(有一个极限不存在)
定理：如果函数)(xf、)(gx在点
如果（1）ax时，)(xf与)(x都趋于无穷大
（2）在点a的某领域（点a可除外）内，)('xf与)('x都存在且0)('x
（3）)()(lim''xxfax存在（或为），则则极限)()(limxxfax存在（或为），且)()(limxxfax
)()(lim''xxfax
2、x情形
x处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在
x也连续
定理：如果函数)(xfy在某区间上是单调增（或单调减）的连续函数，则它的反函数
(yx
定理：设函数)(xf在闭区间ba,上连续，则函数)(xf在闭区间ba,上必有最大值和最小
推论：如果函数)(xf在闭区间ba,上连续，则)(xf在ba,上有界
结论：如果函数)(xf在某区间上连续，则在这个区间上)(xf必有原函数

2016考研数学高数都有哪些考点呢？

2016考研数学高数都有哪些考点呢？
考研数学复习不只是考模拟题和真题来练自己的题感，还要学会对高频考点进行归纳总结，今天小编为各位小伙伴奉上2016考研高等数学的高频考点总结清单，大家可以参考!
2016考研数学高等数学基础阶段的复习相信很多同学已经结束了，完成了基础阶段的复习，同学们应该对于高等数学的基本概念、基本原理、基本方法和各章节的知识结构有了一定的掌握。

接下来可以开始基础阶段的第二轮复习了，重点复习自己第一轮复习的薄弱知识点、各章考试的重点、难点和高频考点，为了提高大家的复习效率和复习效果，小编先把高等数学(上册)历年考试的高频知识点帮大家总结一下，希望对大家的复习能够起到事半功倍的效果。

1、未定式极限的计算、无穷小比较以及极限的局部逆问题(客观题和解答题必考);
2、判断函数的连续性及间断点的分类(一般考客观题);
3、导数定义及几何意义相关题目(客观题和解答题都可能考);
4、各类函数(包括复合函数、幂指函数、隐函数、参数方程、变上限函数)的求导(客观题和解答题都可能考);
5、利用7个中值定理(零点定理、介值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理、积分中值定理)证明等式或不等式(考证明题);
6、利用函数单调性和最值、中值定理证明函数或数值不等式(考证明题);
7、利用函数性态讨论方程的根的个数或曲线交点个数问题(考解答题);
8、判断函数的极值、拐点(客观题和解答题都可能考);
9、求曲线的渐近线或渐近线的条数(一般考客观题);
10、不定积分和原函数的概念的理解(一般考客观题);
11、不定积分的计算(一般考解答题)：
12、定积分的计算和定积分性质的应用(客观题和解答题都可能考);。

高数上册知识点总结

高数上册知识点总结高等数学是大多数理工科学生在大学学习的重要课程之一。

高等数学上册主要涵盖了一元函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理、不定积分等内容。

本文将对高等数学上册的主要知识点进行总结与归纳，希望对学习该课程的同学提供一些帮助。

一、一元函数一元函数是高等数学的基础，它是一种将输入的实数映射为输出实数的数学关系。

在高等数学上册中，我们主要关注函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、反函数以及函数图像等方面的内容。

在学习一元函数时，需要掌握常见函数的性质和图像，比如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

二、极限与连续极限是高等数学的核心概念之一。

在学习极限时，需要了解数列极限与函数极限的定义，熟练掌握极限的计算方法，掌握常用极限的性质和相关定理。

在极限的概念基础上，我们可以进一步学习函数的连续性和间断点的分类，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

三、导数与微分导数是描述函数变化率的重要工具，也是微分学的基础。

在学习导数与微分时，需要掌握导数的定义、导数的计算、导数的性质以及常用函数的导数。

此外，需要了解微分的概念和微分中值定理，以及利用导数求函数的单调性、极值和凹凸性等相关内容。

四、微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它是导数与函数的关系的基本结论。

微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等。

在学习微分中值定理时，需要理解定理的假设条件，掌握定理的几何和物理意义，并能熟练运用定理解决相关问题。

五、不定积分不定积分是微积分中的重要内容，它是定积分的逆运算。

在学习不定积分时，需要了解不定积分的定义和性质，熟练掌握不同类型函数的不定积分计算方法，包括基本初等函数的不定积分、换元积分法和分部积分法等。

此外，还需要掌握不定积分求解定积分和求解微分方程等应用。

六、小结高等数学上册涵盖了一元函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理、不定积分等重要内容。

在学习这些知识点时，需要掌握其基本定义和性质，熟练掌握计算方法和相关定理，并能够灵活运用于解决实际问题。

2016考研高数重要知识点.

第 1 页共 1 页 2016考研高数重要知识点
我们都知道考研高数对每一位要考数学的同学的重要性, 和别的学科一样, 想要在考研高数中取得好成绩,就一定要把握好它的重点。

针对考研高数的重点,我们为大家带来了 2016考研高数重要知识点,希望可以帮助大家更好地备考。

对于导数和微分, 其实重点不是给一个函数考导数, 而重点是导数的定义, 也就是抽象函数的可导性。

对于积分部分, 定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型,总而言之看上不好处理的函数的积分常常是考试的重点。

而且求积分的过程中, 一定要注意积分的对称性, 我们要利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。

还有中值定理这个地方一般每年都要考一个题的, 多看看以往考试题型, 研究一下考试规律。

对于多维函数的微积分部分里, 多维隐函数的求导, 复合函数的偏导数等是考试的重点。

二重积分的计算,当然数学 1里面还包括了三重积分,这里面每年都要考一个题目。

另外曲线和曲面积分,这也是必考的重点内容。

一阶微分方程,还有无穷级数,无穷级数的求和,主要是间接的展开法。

2016考研高数重要知识点,在上面的文章中我已经进行了详细地分析整理,希望同学们在学习的过程中,好好地利用我们所提供的知识。

历年考研数学真题高数部分考查重点

历年考研数学真题高数部分考查重点(一)
一、函数、极限与连续
1.求分段函数的复合函数；
2.求极限或已知极限确定原式中的常数；
3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型；
4.无穷小阶的比较；
5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学
1.求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；
2.利用洛比达法则求不定式极限；
3.讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；
4.利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如证明在开区间内至少存在一点满足......，此类问题证明经常需要构造辅助函数；
5.几何、物理、经济等方面的值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；
6.利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学
1.计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；
2.关于变上限积分的题：如求导、求极限等；
3.有关积分中值定理和积分性质的证明题；
4.定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；
5.综合性试题。

2016考研数学：高数(上册)高频考点总结

高数上册知识点总结

高等数学(上册)重点总结

高数上册知识点

2016考研数学高等数学复习重点

2016考研数学：高数重要定理汇总

2016年考研数学一各题考点分析

2016考研数学知识点大纲

高数复习要点(上册)

高数(上册)知识点汇总

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