勾股定理和历史
勾股定理的历史与证明
安溪六中校本课程之数学探秘勾股定理史话一、勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理.那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家,有:毕达哥拉斯定理，商高定理,百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等.所谓勾股定理,就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
"这个定理有十分悠久的历史,几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572?~公元前497？)于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275)在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明.（下图为欧几里得和他的证明图)中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通,我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?" 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边’弦'就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年.其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例.所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达.书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来,再进行开方，便可以得到弦".《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法,列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
九章算术 勾股定理
九章算术勾股定理
（原创实用版）
目录
1.九章算术的概述
2.勾股定理的定义和历史
3.勾股定理的证明方法
4.勾股定理的应用
正文
【九章算术】
九章算术，是中国古代数学著作之一，也是中国数学史上最重要的著作之一。
它的成书时间大约在公元前 1 世纪，是中国古代数学的重要代表作之一。
九章算术主要涵盖了算术、代数、几何等方面的内容，其中最重要的部分是几何学。
【勾股定理】
勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是中国古代数学家毕达哥拉斯最早发现的。
它的表述为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理是直角三角形中最基本的定理，也是几何学中最重要的定理之一。
【勾股定理的证明方法】
勾股定理的证明方法有很多种，其中最常用的方法是利用几何图形进行证明。
另外，也可以利用代数的方法进行证明。
无论使用哪种方法，都能够得出勾股定理的正确性。
【勾股定理的应用】
勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，例如在建筑、制造、测量等
方面都会用到勾股定理。
此外，勾股定理也是解决许多几何问题的关键，是几何学中不可或缺的一部分。
勾股定理的历史故事
勾股定理的历史故事勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是古希腊数学中的一条重要定理，它是数学中的基本定理之一，也是几何学中的基本定理之一。
勾股定理的历史可以追溯到公元前6世纪的古希腊，而这个定理的故事也是颇具传奇色彩的。
据传，勾股定理最早是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学家，他创建了毕达哥拉斯学派，提出了许多重要的数学定理和概念。
而勾股定理正是毕达哥拉斯学派最为著名的成就之一。
据史料记载，勾股定理最早是由毕达哥拉斯的学生发现的。
据说，当时毕达哥拉斯学派的学生们在一次数学研究中，发现了一个有趣的现象，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个现象引起了学生们的极大兴趣，他们开始进行了一系列的实验和推导，最终总结出了勾股定理这一重要的数学定理。
勾股定理的发现对古希腊数学和几何学的发展产生了深远的影响。
它不仅为后世的数学家们提供了重要的启示，也为几何学的发展开辟了新的道路。
勾股定理的发现，使得古希腊的数学和几何学达到了一个新的高度，为后来的数学发展奠定了坚实的基础。
勾股定理的历史故事告诉我们，数学的发展离不开数学家们的勤奋探索和不懈努力。
正是由于毕达哥拉斯学派学生们的发现和总结，才有了这一重要的数学定理。
勾股定理的发现，不仅是古希腊数学发展的一个重要里程碑，也为后世的数学家们提供了宝贵的经验和启示。
总而言之，勾股定理的历史故事告诉我们，数学是一门充满魅力的学科，它的发展离不开数学家们的不懈努力和智慧探索。
勾股定理的发现，不仅为古希腊数学和几何学的发展作出了重要贡献，也为后世的数学发展指明了方向。
让我们一起致敬古希腊的数学家们，感叹他们的伟大智慧和勇气！。
勾股定理知识点总结全面
勾股定理知识点总结全面首先，我们来介绍一下勾股定理的历史。
勾股定理最早出现在中国古代数学著作《周髀算经》中，书中记载了一些勾股数的性质，这些数满足a²+b²=c²的关系，其中a、b、c为自然数。
后来在希腊的毕达哥拉斯学派中，勾股定理被系统地阐述和证明，毕达哥拉斯学派还以勾股定理为核心建立了一整套几何学体系。
因此，勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理。
勾股定理的发现和应用对于几何学和数学的发展起到了非常重要的推动作用。
接下来，我们来介绍一下勾股定理的内容。
勾股定理表述了在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果一个三角形中有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形，假设直角边的长度分别为a、b，斜边的长度为c，那么勾股定理的数学表达式就是：a²+b²=c².这个表达式就是勾股定理的核心内容。
勾股定理也可以表述为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理对解决直角三角形中各种问题都有重要的作用，如计算三角形的边长、求三角形的面积等。
接下来，我们来介绍一下勾股定理的证明。
勾股定理有多种不同的证明方法，其中比较常见的有几何证明、代数证明、数学归纳法证明等。
下面我们将分别介绍这些证明方法的基本思路。
首先是几何证明。
几何证明是通过构造几何图形，利用几何性质来证明定理的方法。
勾股定理的几何证明是比较直观和易于理解的，它通常利用平行四边形、相似三角形等性质来证明。
一种常见的几何证明方法是构造一个正方形，然后利用正方形的对角线、内角和边长的关系来证明勾股定理。
这种证明方法思路清晰，易于理解，是学习者比较喜欢的一种证明方法。
其次是代数证明。
代数证明是通过运用代数运算和变换来证明定理的方法。
勾股定理的代数证明是利用平方差公式和因式分解等代数方法来证明的。
通过将直角三角形的三条边长分别用代数表达式表示，然后利用平方差公式将等式展开，通过代数运算和合并同类项，最终可以得到a²+b²=c²的结果。
勾股定理的证明历史
勾股定理的证明历史
勾股定理是数学中的一条重要定理，它的证明历史可以追溯到古代中国和古希腊。
在中国，勾股定理最早出现在《周髀算经》中，而在希腊，勾股定理则被归功于毕达哥拉斯学派的数学家毕达哥拉斯。
在中国，勾股定理的证明可以追溯到公元前11世纪左右的商朝时期。
当时，周公旦为了解决土地测量问题，发明了勾股定理。
他将直角三角形的三边分别称为“勾”、“股”和“弦”，并发现了勾股定理的数学规律。
这一发现被记录在《周髀算经》中，成为了中国数学史上的重要里程碑。
在希腊，勾股定理的证明则被归功于毕达哥拉斯学派的数学家毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯学派是古希腊最著名的数学学派之一，他们认为数学是宇宙的基础，是一切知识的源泉。
毕达哥拉斯学派的数学家们发现了勾股定理的几何意义，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
他们通过几何证明，证明了这一定理的正确性，并将其命名为“毕达哥拉斯定理”。
在后来的数学发展中，勾股定理被广泛应用于各个领域，成为了数学中的重要工具。
它不仅被用于解决几何问题，还被应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
勾股定理的证明历史，不仅是数学史上的重要事件，更是人类智慧的结晶，它向我们展示了人类在探索自然规律和解决实际问题中的不懈努力和创造力。
勾股定理的历史与证明
安溪六中校本课程之数学探秘勾股定理史话一、勾股定理的历史勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一”是初等几何中的一个基本定理。
那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。
所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras公元前572?〜公元前497?）于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330〜公元前275）在巨著《几何原本》（第I卷，命题47）中给出一个很好的证明。
（下图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作一一《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形，矩'得到的一条直角边，勾'等于3,另一条直角边？殳等于4的时候，那么它的斜边’弦'就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。
所以现在数学界把它称为勾股定理”是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。
勾股定理的起源与发展
勾股定理的起源与发展
【勾股定理的起源与发展】
一、古希腊时期
1.乔塞米乌斯：早在公元前3000年前，古希腊数学家乔塞米乌斯就已经把变换后处于新位置的边长关系，称为“定理”记入书册，以应用于几何图形上。
2.欧几里得：公元前350年，公认的古希腊数学巨匠欧几里得发表了《几何原本》，在其中描述了勾股定理，它表明，一个正三角形的三条边长之间，有特定的数学关系。
二、中世纪
1.阿波罗：12世纪，意大利数学家阿波罗的《圆柱曲面第二书》中，也提出了勾股定理，把正三角形独立出来概念化，而这种概念类型，比乔塞米乌斯更高级。
2.马尔库斯：15世纪，早期法国数学家马尔库斯在自己的作品《塞恩精密计算》中，也提出了勾股定理的概念，他还关注到勾股定理的如何可以用来解决圆周率的问题，并且发明了三角函数。
三、近代
1.哥白尼：17世纪，意大利著名天文学家哥白尼证明，勾股定理不仅仅适用于正三角形，而且适用于任何形状的三角形，他还引入新的概念和符号，提出锐角三角形，钝角三角形和平行定理。
2.新霍夫曼：20世纪，美国数学家新霍夫曼对勾股定理的发展所作的贡献，是最为重要的，他把勾股定理的研究作为数学研究的核心，基于它，他发现了新的定理，其中最为重要的是联合平方定理，也叫做哪来定理，被称为“全部数学的母亲”。
勾股定理的史料及应用
勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。
那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。
所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。
所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。
勾股定理史料、有趣及其他证明方法
勾股定理史料、有趣及其他证明方法嘿，咱今儿来聊聊勾股定理呀！这可是数学里大名鼎鼎的宝贝呢！你知道吗，勾股定理那可是历史悠久得很呐！早在咱中国古代，就有先人们对它有所研究啦。
据说在周朝时期，就有数学家对直角三角形的三边关系有了初步的认识。
这就像是一颗智慧的种子，在历史的长河中生根发芽。
勾股定理为啥这么重要呢？这就好比是打开数学大门的一把神奇钥匙。
它能帮我们解决好多好多实际问题呢！比如说，盖房子的时候要确定墙角是不是直角，就可以用勾股定理来验证呀。
说到证明勾股定理的方法，那可真是五花八门。
有一种方法就特别有意思，就好像是在玩拼图游戏一样。
把几个图形巧妙地拼在一起，嘿，奇迹就出现了，勾股定理就被证明出来啦！还有一种证明方法，就像是在走迷宫，一步一步地探索，最后恍然大悟，哦，原来如此呀！你想想看，古代的数学家们没有我们现在这么多先进的工具和技术，他们是怎么发现和证明勾股定理的呢？这难道不值得我们惊叹和佩服吗？他们就靠着自己的智慧和毅力，一点一点地钻研，才让勾股定理展现在我们面前。
再看看我们现在，学习勾股定理多方便呀！有书本，有老师，还有各种资料。
我们可不能辜负了先人们的努力呀，得好好把这知识学透。
其实勾股定理不仅仅是一个数学定理，它还蕴含着一种探索精神。
就像我们在生活中遇到困难，不能轻易放弃，要像那些数学家一样，坚持不懈地去寻找答案。
而且呀，勾股定理在很多其他领域也都有应用呢！在物理学中，在工程学中，都能看到它的影子。
它就像是一个无处不在的小精灵，给各个领域都带来了便利。
哎呀呀，说了这么多，你是不是对勾股定理有了更深的认识和理解呀？是不是也觉得它特别有趣、特别神奇呢？咱可得好好记住这个伟大的定理，说不定啥时候就能派上大用场呢！你说是不是呀？。
勾股定理历史
勾股定理历史
勾股定理，也叫“勾股等式”，是一个关于形状三角形的数学定理。
它有大约2700年的历史，是由古希腊数学家勾股所提出的。
该定理的公式是：a2+b2=c2。
简单地说，定理宣称当一个三角形的三
边满足上述公式时，这个三角形就是直角三角形。
古希腊数学家勾股于公元前360年发现了勾股等式，当时他只是为了
研究三角形而提出这一定理，直到公元330年，著名的古希腊数学家几何
之父亚里士多德第一次把它作为一个通用定理提出来，然后被应用于很多
其他的问题。
在自17世纪以来，勾股定理已经在数学教科书中被普遍使用，可以
说勾股等式是世界上最经典的几何定理之一。
它不仅出现在数学教科书里，而且可以应用在很多领域，比如建筑学，电子技术，航空学等。
在建筑学中，勾股定理常常被用来计算屋顶坡度，在电子技术中，勾股定理常常用
来计算电路中电容单元的容量和电感单元的电感。
由于它的普遍性，勾股
定理也成为世界上最经典的定理之一，被誉为古希腊数学的杰出贡献。
勾股定理历史和应用
勾股定理历史和应用姓名：杨佳瑞班级：0509班勾股定理的历史和应用一、商高定理：勾股定理在中国最早是由名叫商高的人发现的，所以在中国，最早也称为商高定理商高是公元前十一世纪的中国人。
当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。
”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。
”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
二、毕达哥拉斯定理而在西方，和我国一样，他们也得出了勾股定理：在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．而法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。
但他们发现的时间都比我国要迟得多。
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M〃克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．三、赵爽与勾股定理而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。
勾股定理的历史与起源
勾股定理的历史与起源勾股定理是数学中最为人熟知的定理之一，它描述了直角三角形中两条边的关系。
在欧几里得的《几何原本》中第一次被明确陈述，并由希腊数学家毕达哥拉斯给予了它的名字。
然而，勾股定理的起源要追溯到更早的时期，它深深植根于古代数学和几何学的发展。
勾股定理的最早出现可以追溯到古埃及和古巴比伦的数学文献。
在古埃及时期，人们已经意识到直角三角形中两个较短边的平方和等于斜边的平方，这是一种实用性质，用于修建房屋和测量土地。
类似的知识在古巴比伦的数学文献中也得到了记录。
然而，这些文献只是将勾股定理作为实际问题的解决方法，而没有给出具体的证明过程。
直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派才给予了勾股定理更深入的研究和证明。
毕达哥拉斯宣称勾股定理是他们学派的基石，这也是为什么它以其学派的名字命名的原因。
据说，毕达哥拉斯及其学生们认为，勾股定理的证明是他们学派的核心内容，只有通过了这个测试，才能称为正式成员。
然而，他们的证明过程并没有完全保存下来，只有通过其他古代数学家的记录，我们才能窥见一二。
在欧几里得的《几何原本》中，勾股定理得到了完整的陈述和证明。
欧几里得是古希腊数学家，他系统地整理了当时的几何学知识，包括勾股定理。
在《几何原本》中，欧几里得用了多种证明方法来证明勾股定理，其中最著名的是他使用相似三角形的证明方法。
这个证明方法被认为是欧几里得对该定理的最重要贡献之一。
除了欧几里得，其他古代数学家也对勾股定理进行了研究和证明。
例如，印度数学家布拉马叶在公元7世纪给出了一种使用代数方法证明勾股定理的方法。
同时，阿拉伯数学家也对勾股定理进行了深入研究，并为其提供了新的证明方法和推广应用。
在中国，勾股定理也有着悠久的历史。
早在公元前11世纪的《周髀算经》中，勾股定理就以几何分析问题的形式出现。
《周髀算经》是中国最早的数学文献之一，它将勾股定理应用于土地测量和建筑工程。
此外，中国数学家祖冲之在公元3世纪时也给出了一个勾股定理的证明。
勾股定理历史HJ
K
ba
A Mc
F B
DN
E
C
D
c
a
c
bபைடு நூலகம்
A
b
Ea B
C
K
b
a
A Mc
∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行线AK和BH间的距离），
B ∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，
∴△ADC≌△ABK．
DN
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ． 同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
A
E C
C H B
b
C
D
F
G a
C C
A
E C
b
C
c
a
H
B
b
C
D
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C C
四、伽菲尔德与勾股定理
在教科书中还有一个美国总统也证明过勾股定理，他就是伽 菲尔德总统，而他是怎样接触勾股定理的呢？ 事情经过是这 样的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外 ，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美 国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附 近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么 ，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德 循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．
C
D
c
a
cb
Ab
Ea B
证明:上面的大正方形的面积为：
b ac
下面大的正方形的面积为：
从右图中我们可以看出，这两个正方形的 边长都是a＋b，所以面积相等，即
勾股定理的历史渊源和发展
勾股定理的历史渊源和发展勾股定理是数学中一条重要的几何定理，它将直角三角形的三边之间的关系以简洁而精确的方式表达出来。
这一定理的历史渊源可以追溯到古代数学的发展，而其发展过程中经历的演变和拓展也为数学的发展做出了重要贡献。
古代数学学派对于勾股定理的探索可以追溯到中国、印度、埃及等文明。
在中国，早在公元前11世纪的商代时期，就已经有了勾股定理的初步应用。
《周髀算经》中记载了用绳子构成直角三角形来测量土地的方法，这种方法实际上是在使用勾股定理。
在印度，古代数学家德毗罗摩（Pythagoras）也发现了勾股定理，但其发现并未像希腊数学家毕达哥拉斯那样被广泛传播。
在古希腊，毕达哥拉斯学派对于勾股定理起到了极为重要的推动作用。
毕达哥拉斯学派致力于研究数字和几何之间的关系，他们的研究对勾股定理的提出和证明有着重要的影响。
据史料记载，毕达哥拉斯学派认为，直角三角形中最小的边是3，那么其余两边应当是4和5，因为3² + 4² = 5²。
因此，这个数值关系被称为“毕达哥拉斯三元组”，即3、4、5三个数字。
而事实上，这只是勾股定理的一个特例。
随着数学的发展，勾股定理也被越来越多的数学家们认识和应用，同时也在实际生活中得到广泛的运用。
欧几里得的《几何原本》中详细阐述了勾股定理，并且提供了证明方法。
同时，印度的数学家也在勾股定理的基础上发展出了更为复杂的三角学理论。
进入近代以后，勾股定理的发展经历了更加细致和深入的研究。
十七世纪，法国数学家笛卡尔将代数和几何相结合，为勾股定理的证明提供了更加系统和严谨的方法。
同时，勾股定理也为微积分的发展打下了基础。
勾股定理的应用也不再局限于几何学领域，而是渗透到数学的各个分支中。
如今，勾股定理在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，勾股定理是解决直角三角形相关问题的基础。
在物理学中，勾股定理被应用于测量、运动、电磁学等领域。
在工程学中，勾股定理被用于设计、建筑和计算机图形学等方面。
勾股定理名称的由来和意义
勾股定理名称的由来和意义勾股定理名称的由来和意义：探究数学中的奥秘在我国古代，数学的发展历史悠久，众多的数学原理和定理为世界数学的发展做出了巨大贡献。
其中，勾股定理便是其中之一。
本文将详细介绍勾股定理的由来和意义，以及它在数学领域的重要性。
一、勾股定理的由来勾股定理又称“毕达哥拉斯定理”，起源于古希腊时期。
传说公元前6世纪，毕达哥拉斯学派的哲学家们首次发现了这一定理。
他们通过观察直角三角形，发现直角边上的两个边平方和等于斜边的平方。
这一重要发现对于古代数学的发展产生了深远的影响，后来人们为了纪念毕达哥拉斯的贡献，将这一定理命名为“毕达哥拉斯定理”。
二、勾股定理的意义1.几何学基础：勾股定理是几何学中的一个基本定理，它揭示了直角三角形边长的关系，为几何学的发展奠定了基础。
2.数学证明方法：勾股定理的证明方法多样，如相似三角形法、向量法等，这为数学证明方法的发展提供了丰富的实践经验。
3.实际应用：勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，如建筑、测量、制图等领域。
通过运用勾股定理，可以方便地计算直角三角形的边长，解决实际问题。
4.勾股定理的推广：随着数学的发展，勾股定理得到了不断的推广和深化。
人们发现了更为一般的勾股定理，如尼科梅德定理、平方差公式等，这些都与勾股定理密切相关。
三、勾股定理在数学领域的重要性1.激发数学家的研究兴趣：勾股定理的发现激发了数学家们对几何学的兴趣，进而推动了数学领域的发展。
2.促进数学交流：勾股定理的证明方法在世界范围内得到了广泛的传播，促进了数学家之间的交流与合作，为数学的发展注入了新的活力。
3.影响其他领域：勾股定理在数学领域的重要性不仅体现在几何学上，还影响了代数学、物理学等其他领域的发展。
如在代数学中，勾股定理可直接推导出平方差公式；在物理学中，勾股定理可用于计算物体的速度、加速度等物理量。
总之，勾股定理作为数学领域中的一个基本定理，其名称的由来和意义彰显了人类对数学知识的探索与追求。
勾股定理的数学史以及证明方法
勾股定理的数学史以及证明方法勾股定理是古代数学中的一项重要成就，被广泛应用于几何学和三角学中。
这一定理的数学历史可以追溯到中国、印度、巴比伦等古代文明，而最为著名的证明方法来自希腊数学家毕达哥拉斯。
一、勾股定理的数学史1.中国：据考古学家的研究，勾股定理在中国古代已经存在。
最为著名的是《周髀算经》中的一道问题，即勾股定理的特例。
这表明中国古代已经具备了勾股定理的基本概念。
2.印度：印度数学家婆罗门在《苏尔孔几何学》中给出了勾股定理的一个证明。
他利用了一个与现代证明方法相似的方法，即构造出一个与直角三角形相似的几何图形，并运用几何比例关系来证明勾股定理的成立。
3.巴比伦：巴比伦人在解决土地测量和建筑等问题时，也已使用了勾股定理。
他们发现了一个三角形的三个边长满足a²+b²=c²的关系。
4.毕达哥拉斯：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学家，他对勾股定理进行了证明，并开创了几何学的一系列研究。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一种特殊情况，即直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一定理对几何学的发展起到了重要作用。
二、毕达哥拉斯定理的证明方法毕达哥拉斯定理的证明方法有多种，其中最为著名的是几何证明和代数证明。
1.几何证明：几何证明是最为传统的证明方法，它使用了几何图形和几何性质来证明勾股定理的成立。
证明的基本思想是构造出一个正方形，利用正方形的性质来推导出勾股定理。
这种证明方法直观清晰，易于理解，并且能够很好地展示勾股定理的几何意义。
2.代数证明：代数证明是利用代数方法来证明勾股定理。
经典的代数证明方法是毕达哥拉斯的证明，即利用了代数运算的性质来证明a²+b²=c²。
这种方法需要一定的代数知识，但能够更加严格地证明勾股定理的成立。
三、勾股定理的应用勾股定理是古代数学的一项重要成就，它被广泛应用于几何学和三角学中。
具体应用包括：1.土地测量：在土地测量和建筑设计中，勾股定理能够帮助人们计算不规则地形的面积和距离，从而指导土地的使用和开发。
和勾股定理有关的历史故事
和勾股定理有关的历史故事勾股定理，哎呀，这可是个令人激动的故事！你有没有想过，这个我们现在在学校里学习的数学公式，其实有着丰富的历史背景？今天，我们就来聊聊勾股定理的来龙去脉。
1. 古希腊的智慧1.1 毕达哥拉斯的传奇首先，我们得回到古希腊时代。
话说古希腊有个数学天才，名叫毕达哥拉斯。
这个家伙真是不简单，他发现了一个超级有趣的数学原理，就是勾股定理。
这个定理的内容其实挺简单的：在直角三角形中，直角的对面那条边（也就是斜边）上的平方，等于其他两条边上平方的和。
听起来是不是有点枯燥？但毕达哥拉斯可是把这个定理搞得风风火火的，他可是把这当成了他最炫酷的发现呢。
1.2 定理的应用毕达哥拉斯不仅发现了这个定理，还在生活中应用它。
比如在修建房屋或者建筑的时候，他用这个定理来确保墙壁是垂直的。
可以说，这个定理在他的手里，就像是一个万能的工具箱，啥都能修！2. 勾股定理的传承与发展2.1 从希腊到中国勾股定理并不是只有希腊人在用。
咱们中国的古人也早就知道这个定理了。
翻开《周髀算经》，你会发现中国古代数学家早在公元前11世纪就已经知道了这个定理。
古代中国的数学家们在“九章算术”中也提到过类似的概念。
看来，不同的文化都在探究这个有趣的数学世界呢！2.2 中西交流的桥梁随着时间的推移，东西方的数学知识不断交流，勾股定理的名声也越来越大。
它不仅在建筑、航海中大显身手，也成为了数学教育中的重要内容。
各种各样的数学家和科学家们都在用这个定理，简直是大显神威！3. 勾股定理的现代意义3.1 日常生活中的应用到现在，勾股定理依旧在我们的日常生活中发挥着巨大的作用。
无论是测量房间的大小，还是计算房间对角线的长度，我们都在用到它。
可以说，勾股定理就像是我们生活中的一位“隐形助手”，无时无刻不在帮我们解决问题。
3.2 教育中的重要性在教育中，勾股定理不仅仅是一个数学公式，它还是培养逻辑思维和解决问题能力的重要工具。
通过学习勾股定理，孩子们不仅能掌握数学知识，还能学会如何分析问题、解决问题。
根号3勾股定理
根号3勾股定理1 什么是勾股定理？勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形的关系。
它的核心是一个简单而深刻的等式：斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
用公式表达为：c²=a²+b²。
2 勾股定理的历史勾股定理是世界数学史上最为著名的定理之一，有着悠久的历史。
早在公元前1000年左右，我国古代著名数学家周公旦就在《周髀算经》中证明了勾股定理。
但随着历史的发展，勾股定理逐渐被人们遗忘。
直到公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯重新发现并证明了这个定理，而且将其命名为“勾股定理”。
此后，勾股定理一直为数学家们所研究，成为世界数学发展史上的重要里程碑。
3 勾股定理在实际问题中的应用勾股定理虽然在数学中起着重要的作用，但它所描述的直角三角形关系在实际生活中也有广泛的应用。
比如在建筑工程中，斜坡和屋顶的角度及长度的计算；在导航和制作地图等领域中，利用勾股定理计算两地之间的距离和相对方向等。
此外，在科学、工程、经济和其他领域中也有各种各样的应用。
4 勾股定理的推广勾股定理是国际通用数学知识，不仅仅是数学学科的内容，它也是科学文化中的一种思维方式。
我国教育部多次强调数学教育要面向实际应用，重视计算技能的培养。
推广勾股定理对于学生的数学启蒙非常重要，可以加强学生对于数学的理解和兴趣，同时帮助学生通过实际问题应用勾股定理，在生活和工作中灵活运用数学知识，提高解决实际问题的能力。
5 结语勾股定理已经成为数学中的经典定理，它拓展了我们对于直角三角形的认知，而且在实际生活中也有广泛的应用。
推广勾股定理有利于学生的数学启蒙和实际问题的解决。
作为一个人，掌握勾股定理的应用也会让我们做出更优秀的成绩。
中国勾股定理的历史
中国勾股定理的历史中国勾股定理是中国古代数学的一颗明珠，它的历史可以追溯到公元前11世纪的商朝时期。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方之和。
这个定理的发现和证明是一个漫长而曲折的过程。
古代中国的数学研究主要集中在实际应用中，如土地测量、建筑设计和农业等方面。
勾股定理的起源与土地测量有关。
古代农民在测量土地边界时，经常会用到勾股定理，以确保测量的准确性和精确度。
据史书记载，中国古代有一位名叫商高的数学家，他生活在公元前11世纪的商朝时期。
商高是古代中国最早研究勾股定理的数学家之一。
据传，商高发现了某种特殊的三角形，其三边的长度满足勾股定理的关系。
这个特殊的三角形被称为勾股三角形，也是勾股定理的基础。
在商高之后的几个世纪里，中国的数学研究逐渐发展起来。
到了公元前4世纪的战国时期，中国出现了一批著名的数学家，如赵爽、黎德志等。
他们继续研究勾股定理，并对其进行了更深入的探索和证明。
其中，赵爽是中国最早的几何学家之一，他提出了一种利用勾股定理解决实际问题的方法。
他将勾股定理应用于土地测量和建筑设计中，为古代中国的城市规划和建设做出了巨大贡献。
黎德志是战国时期的另一位著名数学家，他对勾股定理进行了更为严谨和系统的证明。
黎德志提出了一种基于勾股定理的证明方法，通过几何图形的构造和推导，清晰地展示了勾股定理的成立过程。
他的证明方法成为中国古代勾股定理研究的重要里程碑。
随着时间的推移，勾股定理逐渐成为中国数学的重要组成部分，并在古代的数学著作中得到广泛应用。
例如，战国时期的《九章算术》和西汉时期的《张邱建算经》等著作中，都有关于勾股定理的记载和应用。
中国勾股定理的研究和应用，也对世界数学的发展产生了积极影响。
在中国古代数学的基础上，欧洲的数学家们逐渐发展出属于自己的数学体系，并将勾股定理纳入到了欧几里得几何学中。
总结起来，中国勾股定理的历史可以追溯到古代的商朝时期。
通过一系列数学家的研究和探索，勾股定理逐渐得以确立和完善，并在实际应用中发挥了重要作用。
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勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。
那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。
所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。
所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。
他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。
尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。
下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯∴ 222c b a =+. 【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于∴()222121221c ab b a +⨯=+. ∴222c b a =+.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身()221b a +子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。
”证法。
【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b . ∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法5】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .∴AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC ∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ， 从而有 AB BD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222c b a =+【证法6】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()22214c ab b a +⨯=+.∴ 222c b a =+.【证法7】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆， 交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ， 则BD = BE = BC = a .因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上， 所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC ∙=2=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+. 【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+，∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++， ∵ ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AO C BO C AO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221 = rc r +2，∴ ()ABCS rc r ∆=+442，∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+.勾股定理的应用一、填空题1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=8，c=10，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a ∶b=3∶4，c=10则S △ABC =________。