千古第一定理——勾股定理
勾股定理的内容
勾股定理的内容勾股定理，又称勾股定理，是古代数学中的一个重要定理。
在直角三角形中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
其数学表达形式为：a^2 + b^2 = c^2其中a、b、c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边。
起源与发展勾股定理虽然现在被称为勾股定理，但最早是在《周髀算经》中发现的，成为世界上最早的几何著作之一。
据传，勾股定理是周公提出的，故得名“周公定理”。
后来被《算经》作者张丘建列入《增衍之术》中，并首次用文字表达了这一定理。
在中国古代，勾股定理的应用非常广泛，不仅用于地测和农业，还被运用在建筑和军事领域。
随着数学的发展，勾股定理也在世界各地广泛传播，并成为数学中的重要定理之一。
数学证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯定理利用几何形状和平行移动来证明直角三角形的两个边的平方和等于斜边的平方。
这一证明方法被后人发扬光大，成为数学学科中的一个经典证明。
应用场景勾股定理在现代生活中的应用也非常广泛。
例如，在建筑领域中，利用勾股定理可以计算建筑物的结构稳定性；在工程设计中，可以测量距离和角度；在电子领域中，可以应用于信号传输和数据处理等方面。
总的来说，勾股定理是数学中的一个重要定理，不仅对几何学有重要意义，还在现代科学技术中有着广泛的应用。
结语通过对勾股定理的介绍，我们可以看到它在数学史上的重要地位和广泛应用。
了解勾股定理不仅有助于我们理解数学知识的深层含义，还可以帮助我们应用数学知识解决现实生活中的问题。
在学习数学的过程中，我们应该对勾股定理有更多的了解和探索，进一步探索数学世界的奥秘。
勾股定理
勾股定理-----------千古第一定理直角三角形的三边长分别为a,b,c,则a2+b2=c2.反之，若三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2.，则它为直角三角形。
勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个发现之一。
在西方希腊毕达哥拉斯对本定理有所研究，故被称之为“毕达哥拉斯定理”。
我国的《周髀算经》中就有对勾股定理的记载，为了纪念古人的伟大成就，就这个定理定名为“勾股定理”。
勾股定理是欧氏几何的核心结果，是三角学的出发点，开普勒称“几何学有两个宝藏”：一个是勾股定理，另一个是黄金分割。
我国著名数学家华罗庚曾经建议用一副反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言。
勾股定理本身而言，它在直角三角形的三边之间建立了固定关系，从而将几何学感性认识精确化，真正意义的几何学才可以确立。
尤其是其中体现出“数形统一”的思想方法，具有科学的创新意义。
促成了解析几何集散教学的建立，使几何与代数结合起来，为数学的发展开创了宽广的道路。
（1）勾股定理是数与形的第一定理。
（2）勾股定理导致无理数的发现(第一次数学危机)。
（3）勾股定理中的公式是第一个不定方程，每组勾股数都为它的解。
费马大定理就是勾股定理引导出的。
勾股定理有三种叙述：（1）在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形。
《几何原本》卷Ⅰ第47个命题。
它从纯粹的几何图形之间的关系阐述勾股定理。
利用拼凑的方法。
（2）直角三角形直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上的正方形的面积。
图形的面积是一个数，定理指出的是三个数之间的关系。
（3）直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度的平方和。
长度是数，数的平方还是数，定理指出的是数与数之间的关系。
（郭书春：《中国古代数学》，商务印书馆）1.学习要求：（1）掌握勾股定理及其逆定理。
（2）能利用勾股定理进行运算。
（3）从实际问题提炼出直角三角形。
2．学习重点：（1）一般地，只要给出了直角三角形中任意两边长，则可求出第三边。
勾股定理
勾股定理勾股定理是中国古代数学史上的伟大发现，被誉为“中国数学史上的第一定理”。
它是一个简洁而优美的几何定理，描述了直角三角形边长之间的关系。
毫无疑问，勾股定理是几何学中不可或缺的基础性理论。
勾股定理最早出现在《周髀算经》，作者是中国古代数学家祖冲之。
祖冲之是东晋时期的数学家、天文学家和物理学家，他的数学成就为后世留下了宝贵的遗产。
在《周髀算经》中，他提到了勾股定理的一个特殊案例，即当直角边长相差为1时，斜边长恰好是广义的整数。
这个特殊的例子在古代数学界引起了轰动，因为它为后来对勾股定理的研究奠定了基础。
勾股定理的一般形式如下：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，设直角三角形的两个直角边为a和b，斜边为c，则有a² + b² = c²。
这个简单的数学关系被称为勾股定理，因为它与勾股关系有着密切的联系。
勾股定理不仅在数学上具有重要意义，还在实际生活和应用中发挥着无可替代的作用。
例如，勾股定理可以用于计算任意直角三角形的边长和角度。
它是应用三角函数的基础，是测量学、导航学和航空航天等领域的重要工具。
此外，勾股定理在建筑和工程上也有广泛应用。
工程师们可以根据勾股定理来计算建筑物的结构和设计，确保其稳定性和安全性。
在测量学中，人们可以利用勾股定理来测量不可直接测量的距离，例如河流的宽度或山脉的高度等。
勾股定理的应用还延伸到了艺术领域。
许多艺术作品运用了勾股定理的原理，例如画家们可以依靠勾股定理的比例关系来绘制逼真的景物和人物。
勾股定理深深地影响了数学史，它不仅成为了几何学的基石，更是后续数学研究的源泉。
勾股定理在世界范围内都被广泛研究和应用，不仅在古代，也在现代科学中持续发挥作用。
总之，勾股定理是中国古代数学的重要瑰宝，也是世界数学史上的伟大发现之一。
它不仅在理论和实际中发挥着重要作用，还为后来的数学家提供了宝贵的启示和思路。
勾股定理的发现，标志着中国古代数学的辉煌成就，也深深地影响了世界数学学科的发展。
千古第一定理--勾股定理
千古第一定理——勾股定理在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则a2+b2=c2反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．3.1 勾股定理的历史世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足a2+b2=c2的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有12，16，20； 15，20，25；5，12，13； 15，36，39；8，15，17； 12，35，37．不过，他们也没有进一步的结果．现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．3.2 勾股定理的几何方面勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：△ABD≌△FBC，矩形BDLI=2△ABD，正方形GFBA=2△FBC，因此矩形BDLI=正方形GFBA，同样可证矩形CILE=正方形ACKH，两式相加即得定理.第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：作AD垂直于AC且等于AB．由题设AB2+AC2=BC2对直角三角形ACD有AD2+AC2=DC2∵ AB=AD，∴BC2=DC2从而BC=DC由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB为直角．关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于(a+b)2=a2+2ab+b2；另一方面，大正方形面积又等于因此 a2+b2=c2另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为3.3 勾股定理的数论方面勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．毕达哥拉斯的公式x2+y2=z2 (3.1)并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：定理3.1 如果(a，b，c)是方程x2+y2=z2的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．显然(3，4，5)是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如(5，12，13)，(7，24，25)等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．表3.2要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明(你不妨试试看)，从这点出发不难推出它们互素．对于不定方程(3.1)来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为(3.2)的形式？答案是否定的，因为82+152=172，不过，它们可以纳入(2m,m2-1,m2+1) (3.3)的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即(m2-n2,2mn,m2+n2) (3.4)其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程x2+y2=z2的每组满足(x,y)=1的解，均可表示为(3.4)的形式．因x，y互素，可证x,y 一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此都是整数，而且它们互素．因为即得 z=m2+n2, y=m2-n2, x=2mn最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程(3.1)的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式(3.4)表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而xn+yn=zn (3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为on+yn=znxn+on=zn,或者 xn+yn=on，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，-a，a)及(a，0，-a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，是任意整数但k≠0．因此若不定方程xn+yn=zn存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的zn(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1 (3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程xn+yn=1 (3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2-b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2也是一组解．根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：(1)初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；(2)几何方法；(3)三角方法；(4)复数方法．现分别讲述如下．1．初等方法初等方法分为下面四步．第一步，奇偶性分析．如果(x，y，z)是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：(1)x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，(x，y，z)不是本原解，它们可以化为更简单的情形．(2)x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设x=2m+1，y=2n+1，则x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1x2+y2=4(m2+m+n2+n)+2，但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．(3)x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．第二步，因子分解．由于x2+y2=z2那么，y2=z2-x2=(z+x)(z-x)由于z，x均为奇数，所以z+x和z-x均为偶数，因此都是正整数．整除z+x和z-x，也就可以整除z和x(读者想想为什么)，而由式(3.8)，p也可以整除y，第四步，利用因子唯一分解定理．由因子唯一分解定理(参见4.3节)可以得出：如果整数n2可以表示为两互素整数p,q的乘积，即n2=p·q则p,q也都是完全平方．这个结论极为重要，以后也要反复使用．现在z+x=2a2，z-x=2b2，这样，我们就证明了勾股方程的本原解均可表示为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2而本原条件为a＞b，(a，b)=1，a，b奇偶性不同．反过来，不难验证，由满足上述条件的a，b可得到勾股方程的一组本原解．这样勾股方程的求解问题就大功告成了．这个初等方法中，本原性是次要的，关键是因子唯一分解定理，费尔马大定理的成败就在于此．2．几何方法前面讲过，几何方法的关键是把勾股方程x2+y2=z2的整数解问题，变成平面代数曲线x2+y2=1上的有理点问题．这个曲线是一个单位圆，而每个有理点均可以表示为过点(1,0)的直线与单位圆的交点，而这条直线的方程可写为x+ty=1， (3.9)如果x,y均要求是有理数，显然t也是有理数．把直线方程代入单位圆方程，得(ty-1)2+y2=(1+t2)y2-2ty+1=1，(1+t2)y2-2ty=0.如y不等于0，则有它所对应的正是勾股方程的本原解x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2.3．三角方法现在我们的问题还是求单位圆x2+y2=1上的有理点问题．三角中第一个重要公式是cos2θ+sin2θ=1，因此，x，y可用三角函数cosθ，sinθ来表示．由cosθ及sinθ的倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos2θ-sin2θ可得这同样可得x2+y2=1的有理解它对应勾股方程x2+y2=z2的原本解为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b24．复数方法论．它对费尔马大定理的突破也至关重要．这里我们只讨论最简单的复数──复整数，由于它是高斯引进的，故又称高斯整数，详细的证明请参看第8章．。
勾股定理历史
勾股定理历史
勾股定理，也叫“勾股等式”，是一个关于形状三角形的数学定理。
它有大约2700年的历史，是由古希腊数学家勾股所提出的。
该定理的公式是：a2+b2=c2。
简单地说，定理宣称当一个三角形的三
边满足上述公式时，这个三角形就是直角三角形。
古希腊数学家勾股于公元前360年发现了勾股等式，当时他只是为了
研究三角形而提出这一定理，直到公元330年，著名的古希腊数学家几何
之父亚里士多德第一次把它作为一个通用定理提出来，然后被应用于很多
其他的问题。
在自17世纪以来，勾股定理已经在数学教科书中被普遍使用，可以
说勾股等式是世界上最经典的几何定理之一。
它不仅出现在数学教科书里，而且可以应用在很多领域，比如建筑学，电子技术，航空学等。
在建筑学中，勾股定理常常被用来计算屋顶坡度，在电子技术中，勾股定理常常用
来计算电路中电容单元的容量和电感单元的电感。
由于它的普遍性，勾股
定理也成为世界上最经典的定理之一，被誉为古希腊数学的杰出贡献。
千古第一定律
2 勾股方程的解
（1）毕达哥拉斯表达式（公元前6世纪）
am 1 2 b (m 1) 2 c 1 (m 2 1) 2
其中m 为奇数。
2 勾股方程的解
这一表达式也同时说明了素勾股数有 无穷多组。下表列出了最初的几组素 勾股数：
a b
c
3 4 5 12 7 24 9 40 11 60 13 84 15 112
（4）《九章算术》表达式（公元前1世纪）
b c a mn 1 2 (m n 2 ) 2 1 2 (m n 2 ) 2
其中m>n, 且奇偶性相同。
2 勾股方程的解
am 1 b (m n ) 2 1 c (m n ) 2
2 2 2 2
a2 + 2ab + b2 =c2 + 2ab
a2 + b2 = c2
证明三——美国总统的证明
加菲（James A. Garfield. 1831 1881）
1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证 明
证明三——美国总统的证明
a ½(a + b)(b + a) b c c c b
证明二——弦图
弦图—以弦为边的正 方形； 朱实 —直角三角形 的面积； 黄实 —中间小正方 形的面积。
证明二——弦图
证明二——弦图
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab
a2 + b2 = c2
证明二——弦图
(a + b)2 = c2 + 4(½ab) a c b
《周髀算经》勾股定理
《周髀算经》勾股定理《周髀算经》是中国古代数学史上的重要典籍，收录了种种重要的数学结论。
其中有一类叫做勾股定理，即已知直角三角形中两条直腿长度，求斜腿长度（见图1）。
根据勾股定理，斜腿长度x=√(a²+b²)，其中a为直腿长度1，b为直腿长度2。
勾股定理是世界一流的古典数学定理。
它由古希腊数学家勾践（公元前530年-公元前475年）提出，他是“四大数学家”之一，他的作用是，最早提出数学理论，成立数学原理。
勾践的这条公理，利用三角定理的最重要的性质：三角形的两个意义不同的角以及两条边之间有一定关系，这就是勾股定理。
这个定理最初是由古希腊数学家勾践提出的，它被认为是由古希腊数学家的微积分杰出成就之一。
勾践是公元前400年左右的古希腊时期，他被誉为古希腊“四大数学家”之一，也是古希腊演绎几何学和初步不完全微积分学的著名创始人。
勾践曾在《周髀算经》中记载过这条定理，勾践把这条定理用来说明三角形内角之比例。
他指出，通过改变两条边的重比来改变三角形的面积，“二辛大斜三小”，二角之比为`9比4`，角之比为`1比4`。
这两个比例就是勾股定理的最初的表现形式，当然，前提是三角形中一条边等于1单位。
勾股定理被不断应用于各种实践中，被称为数学家及其他科学家的重要帮手，用于分析不完全微积分，三角学等复杂的技术。
勾股定理至今在数学界应用广泛，是数学及其他多种学科的理想工具。
勾股定理的例子最多的是直角三角形的应用：1×1=1；2×2=4；3×3=9；4*4=16；以此类推，可以将任意一个正整数的平方和再求平方根，就可以得出勾股定理的解。
总之，勾股定理，是一个千古不变的至理名言，在艰苦的实践中证明了其可信性，被世界范围内数学家所认可，是数学史上一块极重要的宝石，是我们深表敬仰的经典定理。
千古第一定理--勾股定理
千古第一定理——勾股定理在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则a2+b2=c2反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．3.1 勾股定理的历史世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足a2+b2=c2的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有12，16，20；15，20，25；5，12，13；15，36，39；8，15，17；12，35，37．不过，他们也没有进一步的结果．现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．3.2 勾股定理的几何方面勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：△ABD≌△FBC，矩形BDLI=2△ABD，正方形GFBA=2△FBC，因此矩形BDLI=正方形GFBA，同样可证矩形CILE=正方形ACKH，两式相加即得定理.第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：作AD垂直于AC且等于AB．由题设AB2+AC2=BC2对直角三角形ACD有AD2+AC2=DC2∵AB=AD，∴BC2=DC2从而BC=DC由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB 为直角．关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于(a+b)2=a2+2ab+b2；另一方面，大正方形面积又等于因此a2+b2=c2另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为3.3 勾股定理的数论方面勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．毕达哥拉斯的公式x2+y2=z2 (3.1)并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：定理3.1如果(a，b，c)是方程x2+y2=z2的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．显然(3，4，5)是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如(5，12，13)，(7，24，25)等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．表3.2要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明(你不妨试试看)，从这点出发不难推出它们互素．对于不定方程(3.1)来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为(3.2)的形式？答案是否定的，因为82+152=172，不过，它们可以纳入(2m,m2-1,m2+1) (3.3)的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即(m2-n2,2mn,m2+n2) (3.4)其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程x2+y2=z2的每组满足(x,y)=1的解，均可表示为(3.4)的形式．因x，y互素，可证x,y 一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此都是整数，而且它们互素．因为即得z=m2+n2, y=m2-n2, x=2mn最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程(3.1)的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式(3.4)表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而x n+y n=z n (3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为o n+y n=z nx n+o n=z n,或者x n+y n=o n，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，-a，a)及(a，0，-a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，是任意整数但k≠0．因此若不定方程x n+y n=z n存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的z n(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1 (3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程x n+y n=1 (3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2-b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2-b2，z=a2+b2也是一组解．根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：(1)初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；(2)几何方法；(3)三角方法；(4)复数方法．现分别讲述如下．1．初等方法初等方法分为下面四步．第一步，奇偶性分析．如果(x，y，z)是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：(1)x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，(x，y，z)不是本原解，它们可以化为更简单的情形．(2)x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设x=2m+1，y=2n+1，则x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1x2+y2=4(m2+m+n2+n)+2，但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．(3)x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．第二步，因子分解．由于x2+y2=z2那么，y2=z2-x2=(z+x)(z-x)由于z，x均为奇数，所以z+x和z-x均为偶数，因此都是正整数．整除z+x和z-x，也就可以整除z和x(读者想想为什么)，而由式(3.8)，p也可以整除y，第四步，利用因子唯一分解定理．由因子唯一分解定理(参见4.3节)可以得出：如果整数n2可以表示为两互素整数p,q的乘积，即n2=p·q则p,q也都是完全平方．这个结论极为重要，以后也要反复使用．现在z+x=2a2，z-x=2b2，这样，我们就证明了勾股方程的本原解均可表示为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2而本原条件为a＞b，(a，b)=1，a，b奇偶性不同．反过来，不难验证，由满足上述条件的a，b可得到勾股方程的一组本原解．这样勾股方程的求解问题就大功告成了．这个初等方法中，本原性是次要的，关键是因子唯一分解定理，费尔马大定理的成败就在于此．2．几何方法前面讲过，几何方法的关键是把勾股方程x2+y2=z2的整数解问题，变成平面代数曲线x2+y2=1上的有理点问题．这个曲线是一个单位圆，而每个有理点均可以表示为过点(1,0)的直线与单位圆的交点，而这条直线的方程可写为x+ty=1，(3.9)如果x,y均要求是有理数，显然t也是有理数．把直线方程代入单位圆方程，得(ty-1)2+y2=(1+t2)y2-2ty+1=1，(1+t2)y2-2ty=0.如y不等于0，则有它所对应的正是勾股方程的本原解x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b2.3．三角方法现在我们的问题还是求单位圆x2+y2=1上的有理点问题．三角中第一个重要公式是cos2θ+sin2θ=1，因此，x，y可用三角函数cosθ，sinθ来表示．由cosθ及sinθ的倍角公式sin2θ=2sinθcosθ，cos2θ=cos2θ-sin2θ可得这同样可得x2+y2=1的有理解它对应勾股方程x2+y2=z2的原本解为x=a2-b2，y=2ab，z=a2+b24．复数方法论．它对费尔马大定理的突破也至关重要．这里我们只讨论最简单的复数──复整数，由于它是高斯引进的，故又称高斯整数，详细的证明请参看第8章．。
千古第一定理1.勾股定理
应用知识回归生活 y=0
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂， 树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
应用知识回归生活 y=0
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸, 求两孔中心A、B之间的距离
40
A
90 B C 160 40
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
千古第一定理
勾 股 （ 商 高 ） 定 理 毕 是第一个不定方程 达 哥 数与形的第一定理 拉 导致第一次数学危机 斯 定 数学由计算转变为证明 理
A （１）已知 （２）已知 （３）已知
各取所需
a=7, b=24, 求c； a=6, b=8, 求c； a=12, b=5, 求c；
在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BC=a,AC=b,AB=c.
B (1)已知a=40 c=41,求b
C
(2)已知b=24 c=25,求a 已知a:b=3:4,c=5 求a、 b
2002年在北 京召开的国际数学 家大会（ＩＣＭ２ ００２）。在那个 大会上，到处可以 看到一个简洁优美 的图案在流动，那 个远看像旋转的纸 风车的图案就是大 会的会标．
那是采用了1700多年前中国古代数学 家赵爽用来证明勾股定理的弦图．
14.1.1 勾股定理
千古第一定理——勾股定理[优秀范文五篇]
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千古第一定理——勾股定理[优秀范文五篇]第一篇：千古第一定理——勾股定理千古第一定理——勾股定理我们已学过勾股定理，即若直角三角形的三条边长分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2．反过来，若三角形的三条边a,b，c满足a2十b2＝c2，则它是个直角三角形．在古代，许多民族都发现了这个事实．我国的算书《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”．在西方，这个定理被称为毕达哥拉斯定理．之所以被称为毕达哥拉斯定理，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，就落在毕达哥拉斯的头上．不管怎么说，勾股定理是数学中一个伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：（1）勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理；（2）勾股定理导致无理数的发现，这就是所谓第一次数学危机；（3）勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；（4）勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．第二篇：用余弦定理证明勾股定理并非循环论证用余弦定理证明勾股定理并非循环论证大家都知道，勾股定理不过是余弦定理的一种特例，所以用余弦定理证明勾股定理就很容易；但是长期以来，有一种观点认为，余弦定理不能用来证明勾股定理，原因是余弦定理是用勾股定理证明出来的，然后用余弦定理又来证明勾股定理就是循环论证，说到这里，我就纳闷了，难道证明余弦定理非要直接或者间接的用到勾股定理？NO ！简直是谬论，出于兴趣，偶在网上找到了一种证明余弦定理的方法，证明的过程和勾股定理扯不上一点关系。
据说是伟大的科学家爱因斯坦在12岁时, 在未学过平面几何的情况下, 基于三角形的相似性, 找到的这一巧妙和简单的证明余弦定理的方法。
千古第一定理--勾股定理
同学们，我 们也来观察下面 图中的地面，看 看你能发现什么？ 是否也和大哲学 家有同样的发现 呢？
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
B A C 图3 图2 图2
A的面 积(单位 长度)
B的面 积(单位 长度)
C的面 积(单位 长度)
B
8m
D
课 本:
1.课本５６页，第１、２题； 2.查阅有关勾股定理的历史资料, 关注 验证勾股定理的方法
股
b
c
弦
a
勾
勾股定理的应用举例
（1）在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为 2m ，求AC长．
A
1m B
D
2m
C
Hale Waihona Puke 解：在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可 知：
AC AB BC
2 2
1 2
2 2
5
（2）如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在 相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的 长为 ( )C A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
4
9
9
25
13
34
C A
A、B、 C面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图3
直角三 角形三 边关系
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为ａ、ｂ， 斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
勾股定理在我国古代数学中占有重要的 地位，约公元前1100年前后成书的《周髀算 经》中记载的就有这样一段话：“故折矩， 以為句，廣三；股修四，徑隅五。意思说： 把一根直尺折成直角两端连接得到一个三角 形，如果较短直接边是3较长的直角边是4那 么这个直角三角形的斜边是5；在我国古代 勾是指直角三角形较短的直角边，股是指较 长的直角边，弦是斜边，所以这句话通常用 “勾3股4弦5”代替。
勾股定理千古第一定理(最全)word资料
勾股定理千古第一定理(最全)word资料勾股定理——千古第一定理在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2.其中a，b是直角边长，c为斜边长.我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”.在西方，被称为“毕达哥拉斯”定理，是因为现代的数学和科学的来源于西方，而西方的数学和科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，就落在毕达哥拉斯的头上.不管怎么说，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量.人类远征太空的梦想正在实现.当年，周公憧憬“天可阶而升”的幻想竟变成了现实.今天，人们普遍认为，与世外文明生物对话的日子虽很遥远，但却势在必行.很难想像，他们是什么模样，智能高低如何，总不能按照几千年来人们创造神的形象那样，谁也未曾见过神，于是，神就被模塑得与人一样.可是，人类的智慧毕竟贫乏，无法确定“世外人”的分辨能力，只好将“地球人”的意识强加给“世外人”.因此，为了寻找与“世外人”接触的可能性，人类已向太空发射一批物件，其中包括：地球人的男、女形象，各种物质和元素符号，有代表性的乐曲……数学家华罗庚提出一种新颖的独特设想：最好带两个图形去，一个“数”，一个“数形关系”.他提供的“数”如上图(左)，这是“洛书”，相传大禹治水时，洛水中爬出一只神龟，背负着这幅象征吉祥的图，它构成了一个“幻方”，纵、横和对角线的数字和都为15.“数形关系”则如上图(右)，这分明是一幅人们所熟悉的“勾股弦关系”图.这两个图形说明数学的基础扎根于它们之中，不论在我们居住的地球上，或是某个神秘的天体上，绝无例外.为什么说勾股定理如此重要，是千古第一定理呢？除以上所述外，更重要的在于：(1)勾股定理是联系数学最基本的，也是最原始的两个对象——数与形第一定理；(2)勾股定理导致无理数的发现.这就是所谓的第一次数学危机.(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学；(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多组数满足这个方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导出各式各样的不定方程，包括著名的费马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式.勾股定理的推广如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广.比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直经的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和(如下图).证明如下：因为c 2=a 2+b 2.等式两边同乘4π，得 4πc 2=4πa 2+4πb 2即π(2c )2=π(2a )2+π(2b )2所以222)2(21)2(21)2(21b a c πππ+=如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为下图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”.这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”.《原本》一书中勾股定理的证明我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种.现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法.如下图，在Rt △ABC 各边上向外作正方形ABED ，BCG K ，CAFH .连结CD ，FB .因为AF =AC ，AB =AD ，∠F AB =∠CAD =90°+∠CAB ，所以△F AB ≌△CAD ，作CL ∥AD .因为S △F AB =21F A ·FH .(FH 为△F AB 的AF 边上的高).而S 正方形CAFH =F A ·FH .所以S 正方形CAFH = 2S △F AB . 又因为S △CAD =21AD ·DL (DL 为AD 边上的高)，而S 长方形ADLM =AD ·DL ，所以S 长方形ADLM = 2S △CAD ；综上所述，可得S 正方形CAFH =S 长方形ADLM .同理可证S 正方形BCGK =S 长方形BELM ，所以S 正方形ABED =S 长方形ADLM +S 长方形BELM =S 正方形CAFH + S 正方形BCGK ，即AB2=AC2+BC2.其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.c ab ac b b c ba ac勾股定理勾股定理的证明【例】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形． 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？ 练习1． 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称 为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b 2.2、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新 的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′ 的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D ′ 的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.翻折中的勾股定理【例】．如图，折叠矩形的一边，使点D 落在BC 边的点F 处，其中cm 10,cm 8==BC AB ，你知道CE 多长吗？练习1、 如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处， BC /交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为（ ） A 3 B 4 C 5 D 62、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm,BC =8cm,现将 直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3. 如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出对角线BD,再折叠使AD 边与BD 重合,得到折痕DG,若AB=8. BC=6,求AG 的长.D ＇BC D A C ＇B ＇ a bcAEC D BEBDC'第1题DCA G BD ˊ A B CD A ˊB ˊC ˊ4、如图长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，将该矩形折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为（ ） （A ）3.74 （B ）3.75 （C ）3.76 （D ）3.775、（2020 安徽）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN等于（ ）A.65 B. 95 C. 125 D. 1656、（2020内江）如图，在等腰三角形ACB 中，5AC BC ==，8AB =，D 为底边AB 上一动点（不与点A B ，重合），DE AC ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E F ，，则DE DF +=最值问题1、点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是（ ）2．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?3、如图：有一圆柱，它的高等于cm 8，底面直径等于cm 4（3=π）在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约4、如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm ，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，•最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米5．如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，●●AB (第1题图) （3题图）BAA 6题图BCDEF A MNC B 第5题4题图5题图则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝．6．如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？方位角与勾股定理【例】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00吗？练习1．如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？2、如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西300，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西450，问该货轮到达灯塔正东方向D 处时，货轮与灯塔M 的距离是多少？（精确到0.1海里）勾股定理的逆用【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.小河 A B C D A B练习1. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF是什么三角形？请说明理由.2、如图所示，在四边形ABCD 中，已知：1:3:2:2:::=DA CD BC AB ，且090=∠B ，求DAB ∠的度数。
勾股定理的原理和解释
勾股定理的原理和解释
勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前6世纪）发现的一个几何定理。
它阐述了直角三角形三条边之间的关系，被表示为a²+ b ²= c²，其中a和b分别代表直角三角形两直角边的长度，c代表斜边（也称为弦）的长度。
原理：
勾股定理的基本原理是基于直角三角形的性质。
在一个直角三角形中，直角的两边perpendicular（垂直）于彼此和斜边。
勾股定理指出，直角三角形斜边的平方等于直角边的平方之和。
解释：
勾股定理可以通过几何图形和代数解释说明。
几何解释：在一个直角三角形中，以直角边a和b为边长构造两个正方形，分别标记为A和B。
然后，以斜边c为边长构造一个正方形C，使之包含正方形A 和B以及三角形。
根据几何证明，正方形A的面积等于a²，正方形B的面积等于b²，正方形C的面积等于c²。
由于A和B完全填充了C，所以a²+ b²= c ²。
代数解释：勾股定理可以通过代数方程证明。
以直角边a和b的长度为变量，斜边c的长度为常数，根据勾股定理的公式a²+ b²= c²，验证该等式对于所
有满足直角三角形条件的a和b都成立。
总之，勾股定理提供了直角三角形边长之间的关系，使我们可以通过已知两边的长度来计算第三边的长度。
勾股定理的概念
勾股定理的概念
勾股定理是最古老的数学定理之一，被广泛应用于几何、代数、统计学等领域。
定理最先由古希腊数学家以及哲学家苏格拉底发现，他把它命名为“勾股定理”，并在其著作《几何》中介绍了它。
勾股
定理最近几个世纪以来一直被用来解决不能直接解决的几何问题，并且在现代数学教育中也得到了广泛的应用。
勾股定理可以表示为：如果一个直角三角形的两条直角边的长度分别为a和b，那么它的斜边的长度c就是勾股定理表达式的结果。
也就是：c2=a2+b2。
勾股定理有着极其重要的作用，它是几何研究最重要的结果之一，也是几何研究的基础。
苏格拉底是古希腊数学中最有影响力的人物之一，勾股定理只有在他的时期才被发现。
苏格拉底的勾股定理是他的几何学研究的重要成果。
由于勾股定理的作用，它在代数和统计学中也有着十分重要的应用，可以用这个定理来研究特征的分布，可以用这个定理来求解几何问题，也可以用这个定理来测量圆形的面积。
此外，勾股定理也被用于量子力学中，可以用它来解释不同粒子之间的能量和动量之间的关系。
这套定理也可以用来研究原子结构以及粒子行为，可以用来研究各种物理现象。
勾股定理可以让我们更好地理解几何的基本结构，并且为证明等边三角形的性质提供了直观的证明方法。
它也为代数、统计学及其他复杂的数学问题提供了解决方案。
总而言之，勾股定理是数学研究的一部分，也是现代数学教育的基础。
这是一个历久弥新、受到全世界尊崇的定理，它也是人类古老数学智慧的体现。
勾股定理数学世界中的不朽之作
勾股定理数学世界中的不朽之作勾股定理：数学世界中的不朽之作勾股定理，作为数学中的经典定理之一，无疑是数学世界中的不朽之作。
它的发现和应用不仅改变了数学的发展轨迹，也深刻地影响了人类的科学探索和实践应用。
本文将从勾股定理的历史背景、数学证明和实际应用等角度进行探讨，展示这一定理的伟大魅力。
一、历史背景勾股定理最早可以追溯到古代的埃及、巴比伦等文明。
而公元前6世纪左右，中国的《周髀算经》中也详细记载了勾股定理的特殊情况。
西方世界则将此定理归功于古希腊的毕达哥拉斯学派，该学派将数学与几何学紧密结合，开辟了几何学的崭新领域。
二、数学证明勾股定理的数学证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯学派的证明。
根据毕达哥拉斯学派的理论，我们可以将直角三角形的两条直角边分别记作a和b，斜边记作c。
通过推导和运算，可以得到a² +b² = c²的结论，即勾股定理。
三、实际应用勾股定理并不仅仅停留在理论层面，其广泛的应用使其成为了数学和物理等领域中不可或缺的工具。
首先，勾股定理可以用于解决各类几何问题，如三角形的边长关系、角度计算等。
其次，勾股定理还在测量领域起到了重要的作用，例如在测量地震的震级和距离时，可以利用声波传播的速度与时间的关系运用勾股定理进行计算。
此外，勾股定理还广泛应用于导航系统、建筑设计、数值计算等实际问题中。
四、拓展和应用随着科学技术的不断发展，勾股定理的拓展和应用也在不断增加。
一方面，勾股定理被推广到高维空间，形成了更复杂的空间几何理论。
另一方面，勾股定理与其他数学定理相结合，形成了一系列的数学理论体系，如三角函数、向量运算等。
同时，勾股定理也与计算机科学相结合，在计算机图形学、模拟仿真等领域发挥着重要作用。
总结：勾股定理作为数学世界中的不朽之作，在数学领域中拥有重要地位。
它的历史背景、数学证明和实际应用等方面彰显了其伟大魅力。
随着数学与科学技术的不断发展，勾股定理也不断得到拓展与应用，为人类的科学探索和实践应用带来了无限可能。
勾股定理数学界的瑰宝
勾股定理数学界的瑰宝勾股定理：数学界的瑰宝勾股定理是数学中的一项重要定理，也是几何学中最为著名且实用的定理之一。
它建立了三角形边长之间的关系，被广泛应用于各个领域，包括科学、工程、建筑等。
本文将介绍勾股定理的发现历程、应用领域以及对数学界的深远影响。
一、勾股定理的发现历程1. 古代文化对勾股定理的贡献古代文化中有许多关于勾股定理的记载，比如中国古代的《周髀算经》中就有关于勾股定理的描述。
古埃及的一些文物中也可见到对勾股定理的应用，可见古文化对勾股定理的探索非常重要。
2. 古希腊的勾股定理公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派成为首批研究勾股定理的数学家。
这个学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯，他首次提出了勾股定理的数学表达形式：在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边平方的和。
然而，这一表达方式仅限于整数的直角三角形边长比例。
3. 勾股定理的完善在古希腊之后，许多数学家对勾股定理进行了进一步研究和完善。
其中最为重要的是印度数学家布拉玛古普塔在公元7世纪提出了通用的勾股定理公式：c² = a² + b²。
这个公式不再局限于整数解，而是适用于任意直角三角形。
二、勾股定理的应用领域1. 几何学勾股定理在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算直角三角形的边长、角度等，还可以用于解决各种几何问题，如求解直角三角形面积、判断三角形是否为直角三角形等。
2. 科学研究勾股定理在科学研究中也起着重要作用。
物理学中的力和运动问题、天文学中的角度测量以及工程学中的测量等领域都会涉及到勾股定理的应用。
例如，通过勾股定理可以计算出物体的运动轨迹、判断星体的距离等。
3. 工程建筑勾股定理在工程建筑领域也具有重要的意义。
在建筑物的设计和施工过程中，使用勾股定理可以准确定位和测量，保证工程的精确性和稳定性。
此外，斜坡、坡道等地形的设计也常需要利用勾股定理来确保安全和有效。
三、勾股定理对数学界的深远影响1. 数学发展的重要里程碑勾股定理的发现标志着数学的重要突破，它推动了数学领域的持续发展。
勾股定理——人类最伟大的十个科学发现之一
勾股定理——人类最伟大的十个科学发现之一勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572年?～公元前497年?）（如右图）于公元前550年首先发现的。
但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。
著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
（如下图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头（如右图），记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
”在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（如下左图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。
”。
《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
中国古代勾股定理
中国古代勾股定理
中国古代的勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在中国古代被称为“勾股定理”，也有人称其为“商高定理”。
据史料记载，早在商朝时期，商高就提出了“勾三股四玄五”的特例，这是勾股定理的最早记录。
在《周髀算经》一书中，也记录着同样的定理，并且将其应用到天文观测和地理学中。
在中国古代，勾股定理被认为是由直角三角形中最长的斜边与两个直角边构成的三个正方形所组成的图形，其中两个较小的正方形的面积之和等于较大正方形的面积。
因此，中国古代的勾股定理实际上是证明了一个基本的几何定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
此外，中国古代还有许多与勾股定理相关的应用和证明，如《九章算术》中的“勾股术”，以及各种关于勾股定理的证明和推广。
其中，最为著名的是赵爽的“勾股圆方图”，该图通过几何图形的方式证明了勾股定理。
总之，中国古代对勾股定理的研究和应用具有悠久的历史和丰富的成果，为人类对勾股定理的认识和发展做出了重要的贡献。
勾股定理数学中的瑰宝
勾股定理数学中的瑰宝勾股定理是数学中的一颗瑰宝，它具有深远的影响。
在古代中国，勾股定理的发现被归功于毕达哥拉斯学派，后来又有欧几里得给出了一种很简洁的证明。
勾股定理的应用不仅仅限于几何学，而且在实际生活中也发挥着重要的作用。
1. 勾股定理的定义和原理勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，指的是一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
它可以用公式表示为：c² = a² + b²，其中a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
2. 勾股定理的证明勾股定理有很多种证明方法，其中最常见的是基于几何形状的证明。
我们可以通过图形来解释勾股定理的成立。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，a、b为两个直角边的长度，c为斜边的长度。
我们可以通过构造平方形来证明勾股定理。
首先，在直角三角形的直角边上分别构造平方形ADEH和平方形BCFG，如下所示：```F───G│ ││ │a H───E││C▲b```然后，我们可以发现四个平方形的面积之和等于大正方形的面积。
即：ADEH的面积 + BCFG的面积 = AB²由于ADEH是由a边构造的平方形，BCFG是由b边构造的平方形，所以它们的面积分别为：ADEH的面积 = a²BCFG的面积 = b²因此，我们可以得到：a² + b² = AB²也就是说，勾股定理成立。
3. 勾股定理的应用勾股定理不仅仅是在数学领域起到重要的作用，还有广泛的应用。
首先，勾股定理对几何学有很大的影响。
通过勾股定理，我们可以计算出一个直角三角形的任意边长，计算其面积以及寻找其他相关性质。
其次，勾股定理在物理学领域也有广泛的应用。
例如，在力学中，如果我们知道一个物体施加的力以及产生的加速度，可以通过勾股定理计算出合力的大小。
此外，在工程学和建筑领域，勾股定理可以帮助我们计算斜坡的坡度以及建筑物的稳定性等。
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千古第一定理——勾股定理在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则a2+b2=c2反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．3.1 勾股定理的历史世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足a2+b2=c2的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有12，16，20； 15，20，25；5，12，13； 15，36，39；8，15，17； 12，35，37．不过，他们也没有进一步的结果．现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．3.2 勾股定理的几何方面勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：△ABD≌△FBC，矩形BDLI=2△ABD，正方形GFBA=2△FBC，因此矩形BDLI=正方形GFBA，同样可证矩形CILE=正方形ACKH，两式相加即得定理.第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：作AD垂直于AC且等于AB．由题设AB2+AC2=BC2对直角三角形ACD有AD2+AC2=DC2∵ AB=AD，∴BC2=DC2从而BC=DC由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB为直角．关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于(a+b)2=a2+2ab+b2；另一方面，大正方形面积又等于因此 a2+b2=c2另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为3.3 勾股定理的数论方面勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．毕达哥拉斯的公式x2+y2=z2 (3.1)并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：定理3.1 如果(a，b，c)是方程x2+y2=z2的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．显然(3，4，5)是一个素勾股数组，可是勾股方程的素勾股数组远不止这一个，例如(5，12，13)，(7，24，25)等也都是素勾股数组．下一个问题就是这些素勾股数组能不能用一个简单公式来概括呢？从数学发展史来看，这是一个飞跃，它真正显示了代数的威力．毕达哥拉斯学派已经找到了这个公式，这就是当m为奇数时，它们就代表素勾股数组，如表3.2所示．表3.2要证它们并不难，只须做一个代数练习即可：但是要证它们互素，也许不太容易，不过由具体的数字可以发现，股与弦都相差1，这也不难证明(你不妨试试看)，从这点出发不难推出它们互素．对于不定方程(3.1)来说，我们已走到了最后一步，那就是，找出所有可能的解，一个不剩．这一步十分困难，一般不是像上面那样进行代数验证就行了．为了解决这个问题，首先要问是否所有素勾股数组都可以表示为(3.2)的形式？答案是否定的，因为82+152=172，不过，它们可以纳入(2m,m2－1,m2+1) (3.3)的系列，其中m为偶数．显然，这里股与弦相差为2．这两组公式还不能完全表示所有素勾股数组．经过一千多年的努力，我们的确找到了表示勾股方程的所有解，也就是素勾股数组的明显表达式，即(m2－n2,2mn,m2+n2) (3.4)其中m，n互素，一奇一偶，m＞n＞0．不难验证，这组数满足勾股方程，现在需要证明，方程x2+y2=z2的每组满足(x,y)=1的解，均可表示为(3.4)的形式．因x，y互素，可证x,y一为奇数，一为偶数．设x为偶数，y为奇数，z也是奇数，因此都是整数，而且它们互素．因为即得 z=m2+n2, y=m2－n2, x=2mn最后还需要证明，m，n一奇一偶，这由z是奇数可以看出．而且可以证明，不同的m，n表示不同的解．由此勾股方程(3.1)的所有解，都可以通过一奇一偶的m,n如式(3.4)表示出来．当然它们还可以每一个乘以k，这样一来，我们对于勾股方程的数论研究就大功告成了．勾股定理是数学中第一个伟大的定理，它首先把分属几何和数论的问题联系在一起，它是第一个完全求解的不定方程，为以后的不定方程树立了典范，而更重要的是，把它的指数2换成n以后，得出了令数学家神往的费尔马大定理．在研究费尔马大定理之前，首先要对勾股定理的数论方面进行充分的讨论，看一看有什么经验能够吸取．虽然这两个定理的结果完全不一样：x2+y2=z2有无穷多组解，而x n+y n=z n (3.5)没有非平凡解(关于平凡解，下面就要讲到)．但是，它们却有许多共同的东西，例如：(1)它们都是三个变元的齐次不定方程．(2)由于齐次性，如果(a，b，c)是一组解，那么(ma，mb，mc)也是一组解，这里m是任何一个整数(正数、负数或零)．因此，求解时，我们感兴趣的是(a，b，c)=1的解，这样的解我们称为本原解．(3)无论是本原解还是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但没有意思的解，这就是a，b，c中一个或三个是零的解，这样方程(3.5)就成为o n+y n=z nx n+o n=z n,或者 x n+y n=o n，这样满足y=z，x=z的任何整数都是原方程的解，对于n为偶数的情况，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a为任何整数．这种有零的解，我们称之为平凡解，因此我们以后讨论解时，都是考虑非平凡解，即xyz≠0的解．为了确定起见，我们不妨只考虑x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)对于齐次方程，求整数解与求有理数解的方法并没有本质的不同．实际上，对任何一组有理数（a，b，c），则m m m(a,b,c)k k k也是一组有理数，其中m和k是任意整数但k≠0．因此若不定方程x n+y n=z n存在整数解，也就存在有理数解；反之，存在有理数解，也就存在整数解．实际上，所有齐次不定方程都有这种特性．而非齐次方程，求整数解与求有理数解的差别就非常大，一般需要分别加以处理．(5)为了使用几何方法，我们可以把三个变元的齐次方程变为两个变元的非齐次方程，这只要用方程(3.5)中的z n(假定z≠0)除方程的每一项即可：我们还可以用(x′)n+(y′)n=1 (3.6)表示，这个非齐次方程的有理数解正好对应原齐次方程的整数解，这样求解方程(3．5)的数论问题就可以变成方程(3．6)的几何问题．我们不妨把方程(3.6)仍写为x，y的方程x n+y n=1 (3.7)它代表一条平面代数曲线．这样，求不定方程(3．5)的整数解问题也就成为求这条曲线上的有理点问题，所谓有理点，就是x，y坐标均为有理数的点．现在，我们研究勾股方程的整数解的完全组，看看对费尔马大定理的证明有没有启发．首先，我们叙述一下勾股方程的基本定理：满足不定方程x2+y2=z2的本原整数解，都可以表示为x=a2－b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意满足下述条件的整数．反之，满足上述条件的x，y，z都是勾股方程的一组本原解．由于我们感兴趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以证明其条件为a＞b，(a,b)=1且a与b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互换，即x=2ab，y=a2－b2，z=a2+b2也是一组解．根据中学掌握的知识，我们在研究勾股方程的整数解的完全组时有四种方法：(1)初等方法，即初等的代数方法——因子分解以及初等数论的方法；(2)几何方法；(3)三角方法；(4)复数方法．现分别讲述如下．1．初等方法初等方法分为下面四步．第一步，奇偶性分析．如果(x，y，z)是一组本原解，那么它们的奇、偶性有三种可能：(1)x，y均为偶数．这时z也是偶数，因此，(x，y，z)不是本原解，它们可以化为更简单的情形．(2)x，y均为奇数．这种情况不可能出现，因为设x=2m+1，y=2n+1，则x2=4m2+4m+1，y2=4n2+4n+1x2+y2=4(m2+m+n2+n)+2，但无论是奇数平方还是偶数平方，均不能表示为4k+2的形式，因此x与y不能均为奇数．(3)x，y一个为奇数，一个为偶数．由于x，y的位置可以互换，我们不妨假定x是奇数，y是偶数，这样z也是奇数．第二步，因子分解．由于x2+y2=z2那么，y2=z2－x2=(z+x)(z－x)由于z，x均为奇数，所以z+x和z－x均为偶数，因此都是正整数．第三步，证明z x z x22+-和互素，设z x z x,22+-均可被p整除，那么p一定可整除z+x和z－x，也就可以整除z和x(读者想想为什么)，而由式(3.8)，p也可以整除y，这与（x，y，z）的本源性矛盾，因此z x z x,22+-互素。