千古第一定理——勾股定理

千古第一定理——勾股定理

在西方，毕达哥拉斯的名字可以说尽人皆知，这主要来自所谓毕达哥拉斯定理，即直角三角形的三条边长度为a、b、c，则

a2+b2=c2

反过来，如果三角形的三条边a，b，c满足

a2+b2=c2

则它是个直角三角形．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理．

不管怎么说，勾股定理是数学中头一个最伟大的定理，它的重要性怎么说也不为过：

(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理．

(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机．

(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学．

(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式．

3.1 勾股定理的历史

世界上各个民族通过他们的实践都或多或少地知道勾股定理．而号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦则更有丰富的数学文化，距今都有5000年的历史了．

中国的《周髀算经》中明确地记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系．其后的著作中也有其他的勾股数．如《九章算术》中还有(5，12，13)，(7，24，25)，(8，15，17)等7组，《缉古算经》中有(287，984，102)，是明显表出的最大一组勾股数．

埃及是几何学的发源地，埃及的“拉绳者”就是测量员，他们利用有结的绳子进行测量，两结之间的距离都是一样的，比如说都是1米．他们可以利用一条12米的绳子拉出一个直角三角形来．这条绳子算上首尾的结共有13个结，这样，把第一个结同第13个结连在一起，用桩子固定下来，然后再把第4个结同第8个结也分别用桩子固定，同时绷紧绳子．这三个桩子构成边长分别为3米、4米、5米的三角形，而两短边形成直角(图3.1)．根据现有的材料推测，埃及人可能只是考虑实用的目的，而对进一步研究数论不感兴趣．

印度人也考虑过直角三角形，他们比埃及人进了一步，得出了满足

a2+b2=c2

的三整数组(a，b，c)，在西方称为毕达哥拉斯三数组，我们不妨称之为勾股数组．印度人发现的新的勾股数组还有

12，16，20； 15，20，25；

5，12，13； 15，36，39；

8，15，17； 12，35，37．

不过，他们也没有进一步的结果．

现有材料中最令人吃惊的是，公元前两千年左右的巴比伦的泥板文书上有着许多勾股数组(表3.1)，其中有的数很大，表明他们也许已掌握了一般的规律．

3.2 勾股定理的几何方面

勾股定理包含几何与数论两个方面．首先是几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积，实际上这时我们并不考虑边长是否为整数．只有毕达哥拉斯学派认为万物皆数，才把边长及面积都看成整数或分数，而最终导致矛盾．但是，勾股定理并没有必要考虑得如此深刻，我们只是考虑面积的相等就够了．第一个发表了的证明——欧几里得《几何原本》中的证明就是这样的．

欧几里得的证明(参见图3.3)出现在第二篇命题47中，

这个证明在所有证明中其实是比较复杂的．证明的要点如下：

△ABD≌△FBC，

矩形BDLI=2△ABD，

正方形GFBA=2△FBC，

因此矩形BDLI=正方形GFBA，

同样可证矩形CILE=正方形ACKH，

两式相加即得定理.

第二篇命题48是勾股定理的逆定理：如果三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角．

欧几里得的证明是这样的(参见图3.4)：

作AD垂直于AC且等于AB．

由题设

AB2+AC2=BC2

对直角三角形ACD有

AD2+AC2=DC2

∵ AB=AD，∴BC2=DC2

从而BC=DC

由于△ABC与△ADC三边对应相等，从而两三角形全等，所以∠CAB为直角．

关于毕达哥拉斯定理已有几百个证明，在某本书中已收集了370多种不同的证明，这些证明中有的非常简单和直观，甚至从图上马上可以看出，下面仅举两例．

如图3.5，把四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，那么大正方形面积等于

(a+b)2=a2+2ab+b2；

另一方面，大正方形面积又等于

因此 a2+b2=c2

另一种拼法如图3.6所示．由图可见，边长为c的大正方形的面积为

3.3 勾股定理的数论方面

勾股定理的数论方面虽然可以包括在几何方面之内，但是比几何方面更为重要．这是由于它是第一个充分研究过的不定方程，并且得到了完整的解答，并且数论所代表的离散数学与几何所代表的连续数学之间的奇妙关系一直是数学发展的一条主线．

毕达哥拉斯的公式

x2+y2=z2 (3.1)

并不是最简单的不定方程，然而却容易下手．你如果有兴趣，也可以尝试去求它的解．不过，现代人虽然有个人计算机的帮助，也不一定能得出巴比伦人的一些解来．不管怎么样，碰到一个不定方程，首先就要试一试求它的解，这显然是求解不定方程的初级阶段．

近代数学给我们带来许多新东西，其中之一就是寻找求解的规律，而不是一味地盲目摸索．在考虑满足方程(3.1)的解之后，很容易发现，(3，4，5)是一组解，它们的倍数，比如(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)等等也都是解．这些解在巴比伦的泥板文书上也有，例如(45，60，75)．这样我们便得到第一个规律：

定理3.1 如果(a，b，c)是方程

x2+y2=z2

的一组解，则(ka，kb，kc)也是一组解，其中k是任意整数．

这个定理的证明并不难，只要代入验证一下就可以了．这样我们从初级阶段进入了代数阶段．我们只去求a，b，c互素(详见4．1．3节)的解，也就是它们的最大公因数(a，b，c)=1的解，这种解我们可以称为素勾股数组．