数学史勾股定理
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通过计算，小组内讨论，每个小组选一个代表给大家陈述本组的结论．教师在参与、指 导整个过程的基础上，根据学生的回答，给出正确的结论： ⑴任意直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们要学的勾股定理的 内容．这里的“勾”和“股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫作“弦”． ⑵任意非直角三角形都不存在这种关系．
在学生“发现”勾股定理，理解勾股定理的历史背景的基础上，给他们展现历史上不同文 化中的勾股定理各种巧妙的证明方法，能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生的视野、培养学 生全方位的认知能力和思考弹性．这样既能让学生掌握勾股定理，又能让他们学习数学史， 理解巧妙的数学思想方法．通过类似的课，教师应该给学生强调：证明的目的不只是证实命 题成立，还要加深理解。通过老师的讲解，学生还可以理解各种不同证明方法背后的社会文 化意义。课堂上教师要融入数学史，适当地讲解不同文化对数学的贡献，与学生共同体会数 学中的多元文化特征．
设计意图：中国传统数学非常重视测量和计算，这是古人发现问题、解决问题的主要方 Βιβλιοθήκη Baidu之一，也是学生很熟悉的学习方法．这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带 动学生的学习积极性． 二、向学生介绍勾股定理的历史背景
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的 计算方法）用来确定两处水位的高低差．可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定 理有关的人．中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直 角三角形，这形亦称曰[勾股形]．它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四； 斜边名叫[弦]，长度为五．勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边 的长……
从毕达格拉斯时代到现在，对勾股定理给出了许多种不同的证明．“在卢米斯（E.S. Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了这个著名定理的 370 种证明，并把它 们分了类．” 三、向学生展示历史上勾股定理的不同证明方法 1.毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前 580-前 500）的证明： 证明方法之特征：文字说明，没有代数表达式． 2.欧几里得（Euclid，约公元前 300）的证明： 证明方法之特征：严格的逻辑推理证明方法，展示的是对数学美和数学理性的追求． 3.赵爽（公元 3 世纪前期）的证明： 证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，证明过程可以 借助实物进行操作，使现实问题数学化． 4.刘徽（公元 263 年左右）的证明： 刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股 数——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令 出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方 与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示. 证明方法之特征：利用了巧妙的“出入相补”原理，蕴含“动态思想”． 5.婆什迦罗（Bhaskara 1114-约 1185）的证明： 证明方法之特征：数形结合证法，利用了三角形的相似性． 四、勾股定理应用举例 五、布置练习题
数学史“勾股定理”教学设计
山东省莱西市第一中学 仇鹏程 一、从文化传统习惯入手使学生“发现”勾股定理
教师在课前要做好形式多样的三角形的模型（既有直角三角形又有非直角三角形，为方 便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数．）．发给每位学生两个直角三 角形和一个非直角三角形，并把全体学生分成几个小组，使得每位学生都要利用直尺测量三 角形的三条边长，并记录数据．然后，提出问题： ⑴你手里的直角三角形的三条边的平方之间有什么关系？ ⑵你在⑴中得到的结果对非直角三角形也成立吗？
比较．基于史韦兹的观点，教师可以使学生课后完成以下历史上的勾股定理应用题． ①（巴比伦，公元前 1600-1800）长 30 英尺的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移 6 英尺的距 离时，下端沿墙移动多远？（答案：18 英尺） ②（中国，公元 1 世纪）今有恒高一丈．倚木于恒，上与恒齐．引木却行一尺，其木至地．问 木长几何？（答案：5 丈 5 寸 ） ③（意大利，公元 1300 年）矛长 20 英尺，依塔而立．若将末端外移１２英尺，则尖端低塔 多高？（答案：16 英尺） 六、课堂小结
美国学者史韦兹（F． Swetz）认为，用历史来丰富数学教学和数学学习，一个直接的 方法是让学生去解一些早期数学家感兴趣的问题．这些问题让学生回到问题提出的时代，反 映当时人们所关心的数学主体．学生在解决源于数世纪以前的问题时，会经历某种激动和满 足．他主张，教师可以搜集历史上的不同时期和不同文化的数学问题，并布置给学生去解决、
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问 时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例．卷上另一处叙述周公后人荣方与
陈子（约公元前 6、7 世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式： “……以日下为勾， 日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日．”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天．勾股定理又叫做“商高定理”． 在国外，早在古希腊之前的一千多年前的汉谟拉比时代的巴比伦人已经发现了勾股定理，并 认为勾股定理的第一个证明是毕达格拉斯给出的．因此，他们把勾股定理叫做“毕达哥拉斯” 定理．据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，宰了一百头牛来祭神，但迄今并没有 毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派 奉行的素食主义相违．尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜 测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch，约 46-120）的面积剖分法(见证法 1)．
案例一
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化涵．《全日制 义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探 索过程，会运用勾股定理解决简单的问题．那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的 探索过程呢？下面的案例中，山东省莱西市第一中学的仇鹏程老师向学生展现了历史上不同 文化中的勾股定理的巧妙的证明方法。这样的设计不仅能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生 的视野，而且可以使学生客观地了解不同文化对数学的贡献，体会数学中的多元文化特征．
在学生“发现”勾股定理，理解勾股定理的历史背景的基础上，给他们展现历史上不同文 化中的勾股定理各种巧妙的证明方法，能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生的视野、培养学 生全方位的认知能力和思考弹性．这样既能让学生掌握勾股定理，又能让他们学习数学史， 理解巧妙的数学思想方法．通过类似的课，教师应该给学生强调：证明的目的不只是证实命 题成立，还要加深理解。通过老师的讲解，学生还可以理解各种不同证明方法背后的社会文 化意义。课堂上教师要融入数学史，适当地讲解不同文化对数学的贡献，与学生共同体会数 学中的多元文化特征．
设计意图：中国传统数学非常重视测量和计算，这是古人发现问题、解决问题的主要方 Βιβλιοθήκη Baidu之一，也是学生很熟悉的学习方法．这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带 动学生的学习积极性． 二、向学生介绍勾股定理的历史背景
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的 计算方法）用来确定两处水位的高低差．可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定 理有关的人．中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直 角三角形，这形亦称曰[勾股形]．它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四； 斜边名叫[弦]，长度为五．勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边 的长……
从毕达格拉斯时代到现在，对勾股定理给出了许多种不同的证明．“在卢米斯（E.S. Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了这个著名定理的 370 种证明，并把它 们分了类．” 三、向学生展示历史上勾股定理的不同证明方法 1.毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前 580-前 500）的证明： 证明方法之特征：文字说明，没有代数表达式． 2.欧几里得（Euclid，约公元前 300）的证明： 证明方法之特征：严格的逻辑推理证明方法，展示的是对数学美和数学理性的追求． 3.赵爽（公元 3 世纪前期）的证明： 证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，证明过程可以 借助实物进行操作，使现实问题数学化． 4.刘徽（公元 263 年左右）的证明： 刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股 数——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令 出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方 与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示. 证明方法之特征：利用了巧妙的“出入相补”原理，蕴含“动态思想”． 5.婆什迦罗（Bhaskara 1114-约 1185）的证明： 证明方法之特征：数形结合证法，利用了三角形的相似性． 四、勾股定理应用举例 五、布置练习题
数学史“勾股定理”教学设计
山东省莱西市第一中学 仇鹏程 一、从文化传统习惯入手使学生“发现”勾股定理
教师在课前要做好形式多样的三角形的模型（既有直角三角形又有非直角三角形，为方 便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数．）．发给每位学生两个直角三 角形和一个非直角三角形，并把全体学生分成几个小组，使得每位学生都要利用直尺测量三 角形的三条边长，并记录数据．然后，提出问题： ⑴你手里的直角三角形的三条边的平方之间有什么关系？ ⑵你在⑴中得到的结果对非直角三角形也成立吗？
比较．基于史韦兹的观点，教师可以使学生课后完成以下历史上的勾股定理应用题． ①（巴比伦，公元前 1600-1800）长 30 英尺的梯子倚墙而立，当上端沿墙下移 6 英尺的距 离时，下端沿墙移动多远？（答案：18 英尺） ②（中国，公元 1 世纪）今有恒高一丈．倚木于恒，上与恒齐．引木却行一尺，其木至地．问 木长几何？（答案：5 丈 5 寸 ） ③（意大利，公元 1300 年）矛长 20 英尺，依塔而立．若将末端外移１２英尺，则尖端低塔 多高？（答案：16 英尺） 六、课堂小结
美国学者史韦兹（F． Swetz）认为，用历史来丰富数学教学和数学学习，一个直接的 方法是让学生去解一些早期数学家感兴趣的问题．这些问题让学生回到问题提出的时代，反 映当时人们所关心的数学主体．学生在解决源于数世纪以前的问题时，会经历某种激动和满 足．他主张，教师可以搜集历史上的不同时期和不同文化的数学问题，并布置给学生去解决、
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问 时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例．卷上另一处叙述周公后人荣方与
陈子（约公元前 6、7 世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式： “……以日下为勾， 日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日．”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天．勾股定理又叫做“商高定理”． 在国外，早在古希腊之前的一千多年前的汉谟拉比时代的巴比伦人已经发现了勾股定理，并 认为勾股定理的第一个证明是毕达格拉斯给出的．因此，他们把勾股定理叫做“毕达哥拉斯” 定理．据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，宰了一百头牛来祭神，但迄今并没有 毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派 奉行的素食主义相违．尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜 测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch，约 46-120）的面积剖分法(见证法 1)．
案例一
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化涵．《全日制 义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探 索过程，会运用勾股定理解决简单的问题．那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的 探索过程呢？下面的案例中，山东省莱西市第一中学的仇鹏程老师向学生展现了历史上不同 文化中的勾股定理的巧妙的证明方法。这样的设计不仅能够激发学生的学习兴趣、拓宽学生 的视野，而且可以使学生客观地了解不同文化对数学的贡献，体会数学中的多元文化特征．