立体几何一平行

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立体几何(平行线的证明)

立体几何(平行线的证明)在立体几何中，平行线是一种非常重要的概念。

平行线可以定义为在同一个平面内没有交点的两条直线。

证明两条直线平行的方法有很多种，下面将介绍一种简单而常用的方法。

方法一：使用平行线的性质平行线有很多性质，其中一个性质是平行线与横截线之间的夹角相等。

根据这个性质，我们可以通过检查两条线的夹角来证明它们是否平行。

具体步骤如下：1. 给定两条直线AB和CD，我们要证明这两条直线平行。

2. 构建一条横截线EF，该直线与AB和CD相交于点E和F。

3. 使用量角器或直尺测量∠AED和∠CFD的夹角。

如果这两个夹角相等，即∠AED = ∠CFD，那么我们可以得出结论AB与CD平行。

这种方法的好处是简单直观，只需要测量夹角即可。

然而，这种方法并不适用于所有情况，因为有些情况下无法构建合适的横截线。

方法二：使用等边三角形的性质等边三角形是一个有趣的几何形状，所有边都相等。

在等边三角形中，对角线之间的直线也是平行线。

具体步骤如下：1. 给定两条直线AB和CD，我们要证明这两条直线平行。

2. 构建一个等边三角形BCD，在这个等边三角形中，BC = CD。

3. 连接线段AD，我们可以发现线段AD与线段BC平行。

这种方法的好处是不需要测量夹角，只需要利用等边三角形的性质即可。

然而，这种方法也有局限性，因为有些情况下无法构建等边三角形。

综上所述，证明平行线的方法有很多种，其中一些常用的方法是使用平行线的性质和使用等边三角形的性质。

选择合适的方法取决于具体的几何形状和问题要求。

立体几何常考定理的总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

第十一讲立体几何(一) 平行与垂直.

第十一讲立体几何（一）平行与垂直【内容要点】垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.直线与平面是立体几何的核心内容，主要包括：三条公理、三个推论、三线平行公理（公理4）、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面）。

其中“平行问题”与“垂直问题”是两类重要的证明问题。

【例题剖析】例1. 如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H．(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；(3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．需经过分别与AB(或CD)共面的直线(例如AD)进行过渡，再利用平面几何知识达到论证的目标。

(2)在(1)的基础上，不难判断EFGH四边形的类型。

(3)利用(1)、(2)的结果再进一步进行探索。

解：(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形。

评述此问题的最终解决都是利用平面几何的有关知识进行的，这里利用了辅助平面ABD和ADC是关键所在，本题也是利用线面、面面、线线平行的互相转化这一基本思想得到最后结果的．例2. 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN∥平面BEC分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线。

证明（一）：作NK∥AB交BE于K，作MH∥AB交BC于H∴MH∥NK∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形∴它们是全等正方形∵AM=FN ∴CM=BN又∠HCM=∠KBN，∠HMC=∠KNB∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK∴MHKN是平行四边形∴MN∥HK∵HK⊂平面BEC MN⊄平面BEC∴MN∥平面BEC证明（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行过N作NP∥BE，连MP，∵NP∥AF∴FN/FB=AP/AB∵AM=FN，AC=BF∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE∴MN∥平面BCE解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

专项训练--立体几何--平行问题

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平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
a
b ab
P
a
b
⇒ α∥β
[例1] 如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.
1、思想：线线平行推出线面平行
2、方法：平面问题转化空间问题
3、关键：★找线线平行★
4、线线平行的依据：
①在三角形、梯形中，中位线与底边相互平行. ②平行四边形的对边平行. ③平行线分线段成比例定理的推论. ④平行于同一条直线的两直线相互平行. ⑤垂直与同一个平面的两直线相互平行. ⑥线面平行，面面平行的性质定理.
E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.
②找平行四边形.证明线面平行.
1.已知P为长方形ABCD所在平面外一点，
M、N分别为AB，PD上的中点。
求证：MN∥平面PBC
P
法1：判定定理
N
（找平行四边形）
D
C
A
M
B
②找平行四边形.证明线面平行.
2、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1 中，E、F分别是棱BC与C1D1的中点。求证：EF//平面BDD1B1.
N D
M
C
A
P
QB
如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点. 求证: AB//平面DCF.
A F
D
E
B
O C
①找三角形的中位线.证明线面平行.

立体几何——平行

立体几何——平行关系1．线面平行：（1）判定定理： (口诀：线线平行线面平行)（2）性质定理： (口诀：线面平行线线平行)2．面面平行：（1）判定定理： (口诀：线面平行，则面面平行)（2）性质定理：① (口诀：面面平行，则线面平行)② (口诀：面面平行，则线线平行)1、线线平行、线面平行、面面平行相互之间的转化图为：线线平行线面平行面面平行直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中，都隐含着直线与直线的平行，它成为联系直线与平面、平面与平面平行的纽带，成为证明平行问题的关键． 1．运用中点作平行线1. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 是PD 的中点．求证：PB ∥平面AEC ．2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；判定定理性质定理性质定理判定定理判定定理性质定理PEDCBA3．已知四棱锥P ABCD 的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD ．4如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1;6、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；2．运用比例作平行线1、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =NDBN，求证：MN ∥平面SDC2.如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8. （1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求线段MN 的长.A CNP D M BG图1EFBACDP3．P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。

立体几何中的平行与垂直

立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅲ）在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得平面CFM∥平面PEN？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．练习3 .如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，的值．求DEDC立体几何中的平行与垂直1线面平行（1）定义直线与平面无交点.（2）判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.（3）性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.2 面面平行（1）定义α∩β=∅⟹α|| β.（2）判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.（3）面面平行的性质(1) a⊂αα||β}⇒a||β (面面平行⇒线面平行)(2)α || βα∩γ=aβ∩ γ=b}⇒ a || b (面面平行⇒线线平行)(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.3 线面垂直（1）定义若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.符号表述:若任意a⊂α都有l⊥a，则 l⊥α.（2）判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）性质定理垂直同一平面的两直线平行4 面面垂直(1) 定义若二面角α−l−β的平面角为90∘，则 α⊥β；(2) 判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(3) 性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.【例1】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E解析 A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选：C．练习.1.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面 B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PAD D．面PAD与面PBC的交线与BC平行答案 C解析画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【例2】如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，（5分）所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，（8分）所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）（10分）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．练习 2.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE （Ⅰ）求证：AE⊥BE（Ⅱ）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE．（6分）解：（Ⅱ）在三角形ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，CE，在三角形BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，则由比例关系得CN=13∵MG∥AE MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE，同理，GN∥平面ADE，∴平面MGN∥平面ADE，又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．（12分）【例3】.如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB中点．将三角形ADE 沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；（Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段PD ，BC 上是否分别存在点M ，N ，使得平面CFM ∥平面PEN ？若存在，请指出点M ，N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC ⊥DE ；所以折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，又PF∩CF=F，PF ，CF ⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形，所以DC ∥AE ，DC=AE ．又点E 为AB 的中点，所以DC ∥EB ，DC=EB ．所以四边形DEBC 为平行四边形．所以CB ∥DE ．又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ，所以CB ⊥平面PCF ．因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．解：（Ⅲ）存在满足条件的点M ，N ，且M ，N 分别是PD 和BC 的中点．如图，分别取PD 和BC 的中点M ，N ．连接EN ，PN ，MF ，CM ．因为四边形DEBC 为平行四边形，所以EF ∥CN ，EF =12BC =CN ．所以四边形ENCF 为平行四边形．所以FC ∥EN ．在△PDE 中，M ，F 分别为PD ，DE 中点，所以MF ∥PE ．又EN ，PE ⊂平面PEN ，PE∩EN=E，MF ，CF ⊂平面CFM ，所以平面CFM ∥平面PEN ．练习3 .如图，直角三角形ABC 中，A=60°，沿斜边AC 上的高BD ，将△ABD 折起到△PBD 的位置，点E 在线段CD 上．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）过点D 作DM ⊥BC 交BC 于点M ，点N 为PB 中点，若PE ∥平面DMN ，求DE DC 的值．解析（1）∵BD 是AC 边上的高，∴BD ⊥CD ，BD ⊥PD ，又PD∩CD=D，∴BD ⊥平面PCD ，又PE ⊂平面PCD 中，∴BD ⊥PE ，即PE ⊥BD ；（2）如图所示，连接BE ，交DM 与点F ，∵PE ∥平面DMN ，∴PE ∥NF ，又点N 为PB 中点，∴点F 为BE 的中点；∴DF=12BE=EF ；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF 是等边三角形，设DE=a ，则BD=√3a ，DC=√3BD=3a ；∴DE DC =a 3a =13．。

空间立体几何中的平行、垂直证明

l ml m
☺ 简称：线面垂直，线线垂直.
精选ppt
15
复习定理
空间中的垂直
3．平面与平面垂直判定
判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
b
b
b
☺ 简称：线面垂直，面面垂直.
精选ppt
16
复习定理
空间中的垂直
4．平面与平面垂直性质
性质：如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.
13
复习定理
空间中的垂直
1．直线与平面垂直判定
判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.
l P mn
m
n m
n
P
l .
l m
l n
☺ 简称：线线垂直，线面垂直.
精选ppt
14
复习定理
空间中的垂直
2．直线与平面垂直性质
判定：如果一条直线和一个平面垂直,则称这条直线和这个平面内任意一条直线都垂直.
分析： (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线.
精选ppt
21
(1) 证明如图所示，取线段 BC 的中点 F，
连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点，
∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．又D是AB的中点，
∴在△ABC1中，DE∥BC1.
E
又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
精选ppt

第3章3.2 立体几何中的向量方法(一)平行关系

【思路分析】解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ∵AD，AB，AS 是三条两两垂直的线段，∴以 A 为原点，以A→D，A→B，A→S的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，D(12，0，0)，C(1，1，0)，S(0， 0，1)，A→D＝(12，0，0)是平面 SAB 的法向量，
2．用向量方法证明空间中的平行关系
线线平行
设直线 l1，l2 的方向向量分别是 a，b，则要证明 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb(k∈R)
①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 u，则要证明
l∥α，只要证明 a⊥u，即 a·u＝0
②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的线面平行
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【思路分析】直线的方向向量与平面的法向量的关系和直线与平面位置关系之间的内在联系是 l∥α⇔a⊥u，l⊥α⇔a∥u.
第22页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 ①∵u＝(2，2，－1)，a＝(－3，4，2)， ∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a. ∴直线 l 和平面 α 的位置关系是 l⊂α或 l∥α. ②∵u＝(0，2，－3)，a＝(0，－8，12)， ∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α. ③∵u＝(4，1，5)，a＝(2，－1，0)， ∴u 和 a 既不共线，也不垂直． ∴l 与 α 斜交．
第2页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
要点 3 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行．设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)线面平行．设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。

立体几何-平行关系

平行关系（文字语言、图形语言、符号语言） 1，线线平行： 2，线面平行 3，面面平行
（1）平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线与此平面平行。

线面平行的判定定理
（2）如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面相交，所得的交线与该直线平行。

（3）如果两条相交直线分别平行于同一个平面，则由这两条相交直线所确定的平面与此平面平行。

（4）如果一个平面平行于另一个平面，则该平面内的任一条直线与另一个平面平行。

（5）不在同一个平面的两组相交直线互相平行，则所确定的两个平面平行。

（6）两个平行平面被第三个平面所截，截得的两条交线平行。

重点：线面平行
例1：若一直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行。

:
例2：在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。

求证：
11//ABC D EF 平面。

例3：已知正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1A A 、1C C 的中点。

求证：
11BD //B D E F 平面平面。

例4：如果两个平面分别平行于第三个平面，则这两个平面平行。

例5：已知正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别为棱1111B C C D 、的中点，求证：（1）E 、F 、B 、D 共面；
（2）平面AMN//平面EFDB ；（3）平面111AB D //C BD 平面
（5）
（6）。

立体几何平行与垂直的判定与性质

立体几何平行与垂直的判定与性质
• 平行与垂直的基本概念 • 平行线的判定 • 垂直线的判定 • 平行与垂直的性质 • 立体几何平行与垂直的应用
目录
01
平行与垂直的基本概念
平行的定义
总结词
在立体几何中，如果两条直线在同一平面内，且永远不会相交，则这两条直线被称为平行的。
详细描述
在平面几何中，两条平行线被定义为在同一平面内，且永远不会相交的两条直线。这个定义在立体几何中同样适用。在三维空间中，两条平行线可能位于不同的平面，但它们永远不会在任何平面上相交。
在三维建模软件中，平行和垂直关系也是构建复杂几何体的基础。通过设定平行或垂直的约束条件，可以确保模型的准确性和一致性。
实际生活中的平行与垂直应用
在城市规划和建筑设计中，平行和垂直的应用同样广泛。例如，确定道路、建筑物的位置和方向时，需要利用平行和垂直关系来确保规划的科学性和合理性。
在机械设计和制造中，平行和垂直关系也是非常重要的。例如，在制造精密仪器或机械设备时，需要确保各个部件之间的平行和垂直关系，以保证设备的准确性和稳定性。
总结词
平行和垂直是两种互为对立的几何关系，它们在三维空间中共同构成了直线之间的基本关系。
详细描述
平行和垂直是直线之间最重要的两种关系。在三维空间中，除了平行和垂直之外，直线之间还可以是斜交的。平行和垂直的对立关系使得它们在解决几何问题时具有重要的作用。例如，在建筑设计和工程实践中，垂直关系常常用于确定物体的位置和方向，而平行关系则常常用于确定物体的尺寸和比例。
详细描述
在立体几何中，如果两条直线被第三条直线所截，并且内错角相等，则这两条直线平行。这是因为内错角相等说明两条直线在同一平面内，并且没有交点，因此它们是平行的。

立体几何中的平行性的证明.

立体几何中的平行性的证明
一、证明两直线平行的方法：
1、定义法：同一平面内无公共点的两条直线（用反证法证明）。

2、判定定理：如果一条直线与一个平面平行，则经过这条直线的平面与这个平
面相交，直线与交线平行。

3、平行与同一直线的两条直线平行。

4、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平
行。

5、向量法：如果两个直线的方向向量共线，则两直线平行。

6、垂直于同一平面的两直线平行。

二、证明直线和平面平行的方法：
1、定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）。

2、判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则直线和平面
平行。

3、面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平
行于另一个平面。

4、如果平面外的一条直线和平面的一条垂线垂直，那么这条直线和这个平面平
行。

5、如果平面外的一条直线和这个平面都垂直于同一个平面，那么这条直线和这
个平面平行。

三、证明平面与平面平行的方法：
1、定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）。

2、判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这
两个平面相互平行。

3、推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相
交）平行，那么这两个平面相互平行。

4、垂直于同一直线的两个平面相互平行。

5、如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面平行。

6、。

立体几何线面平行的判定

立体几何线面平行的判定
在立体几何中，线面平行的判定可以通过多种方法来进行。

首先，我们可以使用平行线的性质来判定线面的平行关系。

如果一条
直线与一个平面内的另一条直线平行，那么这两条直线与该平面平行。

这是因为平行线与同一平面的相交直线之间的对应角相等。

这
个性质可以帮助我们判定线面的平行关系。

另外，我们也可以利用垂直平分线的性质来判定线面的平行关系。

如果一条直线垂直于一个平面，并且平面内的另一条直线与这
条直线垂直，则这两条直线与该平面平行。

这是因为垂直平分线的
性质保证了这种平行关系成立。

此外，我们还可以利用平行四边形的性质来判定线面的平行关系。

如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边是平行的。

因此，如果我们能够构造出一个平行四边形，就可以通过其性质来判定线
面的平行关系。

总之，线面平行的判定可以通过平行线的性质、垂直平分线的
性质以及平行四边形的性质来进行。

这些方法可以帮助我们在立体
几何中判定线面的平行关系，从而解决相关的几何问题。

立体几何---线面平行

直线、平面平行的判定【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.符号语言：a a a、b u a,a//b n a//a.要点诠释：(1)用该定理判断直线a与平面a平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面a外，即a a a；②直线b在平面a内，即b u a；③直线a,b平行，即a〃b.这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．(2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.图形语言：j n符号语言：若au a、b u a,ab=A，且a//p、b//p，则a//p.要点诠释：(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.(2)定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行n面面平行.要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行．【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1.已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证：AC//平面EFG,BD//平面EFG.例2.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ,如右图.求证：PQ〃平面CBE.【变式1】在正方体ABCD—ABCD中，O是正方形ABCD的中心，求证：AO//面BCD.11111111111【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF〃平面PEC.【变式3】如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明：EF〃平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.类型二、平面与平面平行的判定例3.如右图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1,求证：平面AB1D1〃平面BDC1.例4.如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点.求证：平面AMN〃平面EFDB.【变式1】点P是^ABC所在平面外一点，G,G,G分别是△PBC,△APC,△ABP的重心，求123证：面GGG//面ABC.123【变式2】如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1c l中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB〃平面ADC1.【变式3】已知在正方体ABCD—A'B'C'D'中，M,N分别是A'D',A'B'的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论.【巩固练习】1．下列说法中正确的是（）A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D.如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2.已知三条互相平行的直线a、b、c中，a u a,b,c u a，则平面a、p的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合3.已知m,n是两条不重合的直线，a、p是两个不重合的平面，给出下列三个命题：「m//p[m与n异面「m//n①\n m//n:②\n n与p相交；③\n m//a。

高中数学《立体几何》证明平行的一般方法

例4：正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于 AB，P、Q分别是AE、BD的的点，且AP=DQ。求证：PQ∥平面BCE
A FP
MB E
D
Q
NC
第一课时证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
性质②
判定定理① 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
解：连接AB，设交BD于点Q，连接PQ
A
D
在△BEC中， ∵点P，Q分别是AE，AC的中点 ∴PQ∥EC
F P
Q
又∵ EC⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE ∴ PQ∥平面BCE
B
C
E
第一课时证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
性质②
判定定理① 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例4：正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于 AB，P、Q分别是AE、BD的的点，且AP=DQ。求证：PQ∥平面BCE
A FP
MB E
D
Q
NC
第一课时证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①
性质②
判定定理① 平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
F
Q
P
B
C
E
第一课时证明平行位置关系
判定定理①
判定定理②
线线平行
线面平行
面面平行
性质定理①

立体几何平行

A BC DA B ` C` DE FAED 1CB 1D CBA立体几何——平行关系11．线面平行：（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

(记忆口诀：线线平行线面平行)（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． (记忆口诀：线面平行线线平行)2．两个平面平行：（1）判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

(记忆口诀：线面平行，则面面平行)（2）性质定理：① 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行② 一个平面内的任一直线平行另一平面(记忆口诀：面面平行，则线线平行)1． a ∥α，b ∥α则a 与b 的位置关系（）A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上情况均有可能2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．以上答案都不对3、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点。

求证：EF ∥面AD 1C 。

4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点，求证：EF ∥平面PAD ；5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；6、如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点，求证：1//AC 平面BDE 。

CBDAPE F1A 17. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 是PD 的中点．求证：PB ∥平面AEC ．8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA=BN ∶ND=5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ； 9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。

空间立体几何中的平行问题

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立体空间中的平行
复习定理
空间中的平行
解决空间直线与平面平行的相关问题，特别要注意下面的转化关系：
空间平行之间的转化
⑤
② ①③ ④
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行．
a
b
a
//
CD / / AB, BC AB ，且 AB AE BE 2BC 2CD 2，动点 F 在棱 AE 上，且
EF FA.试探究的值，使 CE / / 平面 BDF ，并给予证明；
E
●F
B
A
C
D
小结：
关键
高频考点
线线平行-------- 线面平行------- 面面平行
转化思想：把空间问题转化为平面问题解决证明推理过程要规范、严密，条件缺一不可！
a,b
a a
//
b
A
//
b //
☺ 简称：线面平行，面面平行.
复习定理
空间中的平行
4.平面与平面平行的判定与性质
➳性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面。
a
//
a
//
☺ 简称：面面平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
5.平面与平面平行的判定与性质
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．