高中立体几何证明平行的专题
立体几何(平行关系的证明)
立体几何（平行关系的证明）
线面平行的证明
利用中位线
1.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E
是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F 。证明 ：∥PA 平面EDB 。
2.如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且
ACE BF 平面⊥.求证；BFD AE 平面//；
3.如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，
'A A ⊥平面ABCD 。求证：C A '//平面BDE 。
B
C
N
M
A
B
D
C
O A
B
C
E
F
P
1
A 1
C 1
B
利用平行四边形
4.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，
4
ABC π
∠=
, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，
N 为BC 的中点。证明：直线MN OCD 平面‖
5.在直三棱柱111C B A ABC -中， AC=4,CB=2,AA 1=2
60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11的中点。
证明：//1F C 平面ABE 。
6.如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD PA 2==，CD 22=，E 、F 分别 是AB 、PD 的中点。求证：AF//平面PCE ；
利用比例
7.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NP
DN
，求证：直线MN ∥平面PBC.
8.如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，
立体几何平行证明题
立体证明题（2）
1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥
平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使
得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．
（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；
（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且
PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．
4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．
5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点．
（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；
（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值．
7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．
高中数学专题一：平行证明方法
D
A 1
A
F
高中立体几何证明平行的专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： （1） 利用三角形中位线的性质。 （2） 利用平行四边形的性质。 （3） 利用对应线段成比例。 （4） 利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG .，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，
过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，
M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
高中立体几何证明线面平行的常见方法
D
A 1
A
高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七）
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，
M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.
3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;
(2) 利用三角形中位线的性质
4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、
BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
（第1题图）
A
B
C
D
E F G M
6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
（3） 利用平行四边形的性质
7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为 BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1;
8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
(4)利用对应线段成比例
9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且
立体几何 平行的证明
直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；
(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.
例1.在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD
的中点．求证：PB∥平面ACM.
变式练习.如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，
求证：AF∥平面PCE.
两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β
例2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别为所在边的中点．
C1B
求证：平面MNP∥平面A
变式练习.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：平面EF A1∥平面BCHG.
线面平行中的探索问题
例3.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．
变式练习.如图，在四棱锥P ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
立体几何证明平行专题
A B C
D
B A 1
A
F 立体几何证明平行专题训练
命题：*＊＊
1． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．
求证：AF ∥平面PCE ；
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，
过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC 。 （Ⅰ）求证：FG ∥面BCD ； (Ⅱ）求证：BC ⊥面CDE ；
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ， E, F 分别为AA 1， CC 1， AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ) C 1D ∥平面B 1FM. （Ⅱ）C 1D ⊥BC;
（第1题图）
4、如图所示， 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点， 求证： //EB PAD 平面;
5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证:AM ∥平面EFG 。
6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE
A
B
C
D
E
F G M
7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点。 求证:AB 1//面BDC 1;
8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,
090,BAD FAB BC
立体几何中平行、垂直的证明
三角形的中位线平行且相等于底边的一半。（三b β⎪=⎭
如果两个平行平面同
时和第三个平面相交，那⎪
=⇒⎬⎪=⎭
a b γγ垂直于同一个平面
的两条直线平行。（线面
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
线中的一条平行于这个平面，则另一条也与这个平一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
////b P a b αα⎪
⇒=⎬⎪
⎪
⎪⎭
一、证明线线垂直
说明：证明线线垂直的方法有很多，要善于抓住题意中的“垂直信息”. 常用的垂直信息有：
①若两条直线所成的角为90︒，则这两条直线垂直。（线线垂直的定义，包括相交垂直和异面垂直）
②一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任一直线。（线面垂直的性质）
符号：
⊥⎫
⇒⊥
⎬
⊂⎭
l
l a a
α
α
③若题意中出现线段的长度，则验证三角形的三边是否满足勾股定理，若满足，则两短边互相垂直。
④若题意中出现类似“AB是圆O的直径，点C是圆周上不同于A、B的任意一点”的情况，则必有AC BC
⊥。
⑤若题意中出现“直棱柱”、“正方体”、“长方体”，则其侧棱垂直于底面，再结合②。
⑥若题意中出现“等腰三角形”、“等边三角形”、“正三角形”，则底边的中线垂直于底边。
⑦若题意中出现“菱形”、“正方形”，则其对角线互相垂直。
二、证明线面垂直
①一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（线面垂直的判定定理）
符号：
m
n
a
m n P
a m
a n
α
α
α⊂⎫
⎪
⊂⎪
⎪
⇒⊥
=⎬
⎪
⊥
⎪
⊥⎪⎭
②两条直线平行，其中一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
符号：
//
a b
b
a
立体几何中线面平行的经典方法经典题(附详细解答)
D
B A 1
A F
高中立体几何证明平行的专题(基本方法)
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四
边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
（第1题图）
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点,
证明: //EB PAD 平面;
立体几何(平行垂直的证明及角)专题辅导
立体几何专题辅导(平行与垂直及角)
空间中平行与垂直关系的证明及线面角、二面角的方法总结：
（一）线线平行的证明方法：
1.垂直于同一平面的两条直线平行
2.平行于同一直线的两条直线平行
3.三角形的中位线
4.平行四边形对边平行
5.一个平面与另外两个平行平面相交，那么两条交线也平行
6.线面平行的性质
7.面面平行的性质 6.向量法：两直线的方向向量共线
（二）线面平行的证明方法：
1.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那
么这条直线和这个平面平行
2.面面平行的性质：如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面
平行
3.向量法：直线的方向向量与平面的法向量垂直
（三）面面平行的证明方法：
1.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么
这两个平面平行。
2.面面平行的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条
直线，则这两个平面平行。
3.面面平行的传递性
4.垂直于同一条直线的两个平面平行
5.向量法
（四）线线垂直的证明方法
1、等腰三角形底边的中线 2.菱形对角线互相垂直 3.勾股定理 4.直径所对的圆周
角为直角 5.三垂线定理及其逆定理 6.线面垂直的性质 7.向量法
（五）线面垂直的证明方法
1.线面垂直的判定定理
2.面面垂直的性质
3.向量法
（六）面面垂直的证明方法
1.面面垂直的判定定理
2.证明二面角为直二面角
3.向量法
（七）空间中的角
1.异面直线所成的角范围是0，π2
解法：①定义法②向量法：设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满
立体几何平行证明题
立体证明题（2）
1.如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥
平面ACE．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
2.等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使
得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．
（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；
（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．
3.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且
PA=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．
4.如图：正△ABC与Rt△BCD所在平面互相垂直，且∠BCD=90°，∠CBD=30°．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．
5.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD 是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC 1=2，E 是AB 中点．
（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1CE ；
（Ⅱ）求直线A 1C 1与平面A 1CE 所成角的正弦值．
7.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD=CD=2AB=2，E ，F 分别为PC ，CD 的中点．
立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)
D
B A 1
高中立体几何证明平行的专题(基本方法)
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，
过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：
（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA
（第1题图）
4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,
,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证
明: //EB PAD 平面;
高中立体几何证明平行的专题
立体几何一一平行的证明
【例1】如图，四棱锥P—
ABCD
的底面是平行四边形，点
E、F分另为棱AB、PD
的中点.求证：AF //平面PCE;
分析：取PC的中点G,连EG., FG,则易证AEGF是平行四边形
ABCD 中，AB // CD , AB 丄BC , AB = 1, BC = 2, CD = 1
+ ,3，过A作AE丄CD，垂足为E, G、F分别为AD、CE的中点，现将△ ADE沿AE
折叠，使得DE丄EC。
(I)求证：BC丄面CDE ;
【例3】已知直三棱柱ABC —A1B1C1中，D, E, F分别为AA 1, CC1, AB的中点,
M为BE的中点,AC丄BE.求证：
分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA
分析：取DB的中点H，连GH,HC贝惕证FGHC是平行四边形
【例2】如图，已知直角梯形
(H)求证：FG// 面BCD ;
(I) C1D 丄BC ; (H) C1D //平面B1FM.
P
F
D
A
E
C
B
(第1题图)
A1
D
A
【例4】如图所示,四棱锥P ABCD底面是直角梯形,BA AD,CD AD,CD=2AB, E 为PC的中点,证明：EB//平面PAD ;
分析：：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边
形
(2)利用三角形中位线的性质
【例5】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD 求证：
AM //平面EFG 。
分析：连MD交GF于H，易证EH是厶AMD的中位线
【例6】如图，ABCD是正方形, O是正方形的中心,
是PC的中点。求证：PA //平面BDE
立体几何证明平行的方法及专题训练
立体几何证明平行的方法及专题训练立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
（3）利用平行四边形的性质。
（4）利用对应线段成比例。
（5）利用面面平行的性质，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质
1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；
分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边
形
（第1题图）
2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，
过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；
分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形
P E D C B A
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，
M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：
（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM.
分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M AD CD BD BC AM EFG
AM EFG ///ABC A B C -90BAC ∠=o 2,AB AC ==/A B //B C 求证：AB 1明: BC 1证：AP ∥GH .
立体几何 线面平行经典题型
1.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.
证明:PB ∥平面AEC
2.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=1,延长A 1C 1至点P ，使C 1P=A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于点D ，证明:PB1∥平面BDA 1
3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 为PC 的中点.作EF ⊥PB 交PB 于点F.证明:PA ∥平面EDB
4.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB,BB 1的中点，CB=AC=AA 1=2
2AB ， 证明:BC 1∥平面A 1CD
5.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°,AB=AC=2，AA 1=1,点M 、N 分别是A 1B,B 1C 的
中点.证明:MN ∥平面A 1ACC 1
6.如图，P,Q 是正方体AC 1的面AA 1D 1D,面A 1B 1C 1D 1的中心，
证明:PQ ∥平面AA 1B 1B
7.如图，三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，O、D分别是AC,PC的中点,OP⊥平面ABC 证明:OD∥平面PAB
高中数学立体几何平面与平面平行专项练习题
高中数学立体几何平面与平面平行专项练习题
1．两个平面的位置关系： 2．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．
例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点． (1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1 ∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB
(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝
10
10
变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ， CD 交α、β 于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DB
OD
CO
OB AO = 即OD
68
5=
∴OD ＝5
48 ∴CD ＝5
48＋6＝5
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例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且n
高中立体几何证明平行的专题训练精编版
D
B A 1
A 1． 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱A
B 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋
3，
过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （1）求证：求证：FG ∥面BCD ；
3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点，M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： C 1D ∥平面B 1FM.
4、如图所示, 四棱锥P
-
ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB,
E 为PC 的中点, 证明:
//EB PAD 平面;
5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE
6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；
7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1;
8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2
1
DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；
9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
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D
B A 1
A
F
立体几何——平行的证明
【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。 （Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：
（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分
析
：
连
EA
，
易
证
C 1EAD
是
平
行
四
是
（第1题图）
P
E
D
C
B
A
MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M
AD CD BD BC AM
EFG 求证：
AB 1
ABEF ⊥ABCD
ABEF
ABCD
090,BAD FAB BC
∠=∠=//=
1
2
AD BE //=
12
AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行
四边形的性质
【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，
求证： D 1O 2
1
中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（I ）证法一： 因为
EF
90ACB ∠=︒
90,EGF ABC
∠=︒∆.
EFG ∆BC FG 2
1=
ABCD BC AM 2
1=FA ⊂GM ⊄
A
B
C
D
E
F G M
SM
AM
ND
BN
【例15】直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为
AB中点．
(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。
A F
E
B
C
D M
N