重点高中立体几何证明平行的专题

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重点高中立体几何证明平行的专题

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2

3

F

G

G A B C D E C

A B

D

E F D

E B 1

A 1

C 1C

A

B

F M 立体几何——平行的证明

【例1】如图,四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形,点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点.求证:AF ∥平面PCE ;

分析:取PC 的中点G ,连EG .,FG ,则易证AEGF 是平行四边形

【例2】如图,已知直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =1,BC =2,CD =1

+3,过A 作AE ⊥CD ,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE 的中点,现将△ADE 沿AE 折叠,使得DE ⊥EC 。

(Ⅰ)求证:BC ⊥面CDE ; (Ⅱ)求证:FG ∥面BCD ;

分析:取DB 的中点H ,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形

【例3】已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点, M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证:

(Ⅰ)C 1D ⊥BC ; (Ⅱ)C 1D ∥平面B 1FM. 分析:连EA ,易证C 1EAD 是平行四边形,于是MF//EA

E F B A C D

P (第1

4

【例4】如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;

分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

【例5】如图,已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点,求证:AM ∥平面EFG 。

分析:连MD 交GF 于H ,易证EH 是△AMD 的中位线

【例6】如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,E 是PC 的中点。 求证: PA ∥平面BDE

【例7】如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点.

求证:AB 1//面BDC 1;

分析:连B 1C 交BC 1于点E ,易证ED 是

△B 1AC 的中位线

A

B

C

D

E

F G M

5

P

E

D C

B

A

【例8】如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,

090,BAD FAB BC

∠=∠=//=

1

2

AD ,BE //=

1

2

AF ,,G H 分别为,FA FD 的中点 (Ⅰ)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (Ⅱ),,,C D F E 四点是否共面?为什么?

(.3)

利用平行四边形的性质

【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心,M 为BB 1的中点, 求证: D 1O//平面A 1BC 1;

分析:连D 1B 1交A 1C 1于O 1点,易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形

【例10】在四棱锥P-ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2

1

DC ,中点为PD E .

求证:AE ∥平面PBC ;

分析:取PC 的中点F ,连EF 则易证ABFE 是平行四边形

【例11】在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ ACB=90︒,EA⊥平面ABCD,EF ∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF。若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE;

6

(I )证法一:

因为EF//AB ,FG//BC ,EG//AC ,90ACB ∠=︒, 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ,因此,BC=2FC , 连接AF ,由于FG//BC ,BC FG 2

1

=

在ABCD Y 中,M 是线段AD 的中点,则AM//BC ,且BC AM 2

1

=

因此FG//AM 且FG=AM ,所以四边形AFGM 为平行四边形,因此GM//FA 。 又FA ⊂平面ABFE ,GM ⊄平面ABFE ,所以GM//平面AB 。

(4)利用对应线段成比例

【例12】如图:S 是平行四边形ABCD 平面外一点,M 、N 分别是SA 、BD 上的点,且SM AM =ND

BN

, 求证:MN ∥平面SDC

分析:过M 作ME//AD ,过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形

【例13】如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ,M ,N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证:MN ∥平面BEC

分析:过M 作MG//AB ,过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形

A

F

E

B

C

D

M

N

【例14】如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图,在直观图中,M是BD的中点,侧(左)视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.

(1)求出该几何体的体积;

(2)若N是BC的中点,求证:AN∥平面CME;

(3)求证:平面BDE⊥平面BCD.

【例15】直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥DC,AB=2AD =2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.

(1)求证EF∥平面ADD1A1;

(2)求几何体DD1AA1EF的体积。

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