正态分布课件
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高中数学选修2-3课件2.4《正态分布》课件
重点一：熟记正态分布的函数表达式及正态曲线的
特点
B
例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）
A. f (x)
1
(x )2
e 2 2 , , ( 0)都是实数
2
B.
f (x)
2
x2
e2
2
C. f (x)
1
( x1)2
e4
2 2
D. f (x)
1
x2
e2
2
练习1、若标准正态总体的函数为
1
x2
数的最大值等于 的解析式。 4
1
2
，求该正态分布的概率密度函数
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的期望和 方差。
y
1
2
5 10 15 20 25 30 35 x
3、正态曲线的性质
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X 是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X服从正态分布..记作 X~ N（ μ，σ2）
取值的概率只有0.3 ％。 际通( 运常 用3由称当中,于这a就这些只33些情考)时概况之虑正率发内这态,值个 生其总区很为他体间小小区的,（概称 间取一为 取率值值般事3几几不件乎原乎超。总则不取过. 可值5能％于.区 在）实间，
正态分布详解(很详细)PPT课件
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y~N(,2)时，
P(Y | |)0.6826
P(Y | |2)0.9544
P(Y | |3)0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[3,3]区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
课件12：§2.4 正态分布
题型一 正态曲线的图象和性质 例 1 如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分 布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均 值和方差．
解：从正态曲线的图象可知，该正态 曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为21π， 所以 μ＝20， 21πσ＝21π， 解得 σ＝ 2.
于是概率密度函数的解析式为
3．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2) (σ>0)．若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 X 在(0,2) 内取值的概率为________． 【解析】∵X 服从正态分布(1，σ2)， ∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为 0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为 0.4＋0.4＝0.8. 【答案】0.8
题型二 正态分布中的概率计算
例 2 设随机变量 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)．
解：(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝0.682 6. (2)P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1) ＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
完全确定了正态分布，参数 μ 就是随机变量 X 的均 值，它可以用样本的均值去估计；参数 σ 就是随机 变量 X 的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把 μ＝0，σ＝1 的正态分布叫做标准正态分布.
知识点二 正态曲线的特点及 3σ 原则
导入新知
1．正态曲线的特点
正态曲线 φμ，σ(x)＝
1 －( 2πσe
5．设随机变量 X～N(0,1)，求 P(X≤0)，P(－2<X<2)．
正态分布分布ppt课件
通过样本数据可以估计总体的均值、方差等 参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某 个理论分布的差异，中心极限定理提供了理 论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定 理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布 正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况， 如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度 确定t分布的临界值，进 而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与 拒绝域进行比较，若t统 计量落在拒绝域内，则拒 绝原假设，否则接受原假 设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是 提出假设：设立原假设 用于比较同一组受试者 （H0）和备择假设 在两个不同条件下的测 （H1），原假设通常为 量值是否存在显著差异 两个测量值的均值相等。 的统计方法。它基于正 态分布假设和配对设计， 通过计算t统计量来推断 两个测量值的差异是否 显著。
设立原假设（H0）和备择假 设（H1），原假设通常为样 本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样 本均值-总体均值)/标准误， 其中标准误=样本标准差/根 号n。
根据显著性水平和自由度确 定t分布的临界值，进而确 定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒 绝域进行比较，若t统计量 落在拒绝域内，则拒绝原假 设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据 时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总 体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。
数学：1.5《正态分布》课件
2
用F ( x)表示， 且有P ( ≤ x) F ( x) ( x -u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f (x)
1 2
e
( x ) 2 22
,x R
N ( , )或 N ( , )
2
总 体 平 均 数
D 标准差
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
走第二条路线及时赶到的概率为： 65 60 P（ 0 65 ） （ ） 4 （ 1.25 ） 0.8944.
因此，在这种情况下应 走第一条路线.
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
(1).假设检验是就正态总体 而言的， 进行假设检验可归结为 如下三步：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从 正态分布N（，） .
2).确定一次试验中 a的取值是否 落入( 3, 3)内 .
1.5 正态分布
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量 的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， 2）表示， f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
用F ( x)表示， 且有P ( ≤ x) F ( x) ( x -u
)
7.标准正态分布与一般正态分布的关系:
(1).若 ~ N(, ), 则 ~ N(0,1). 2 ( 2). ~ N(, ), b a P(a b ) ( ) ( ), 然后，通过查标准正态 分布表中 a b x ,x 的( x)值.(课本P58页) 2
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f (x)
1 2
e
( x ) 2 22
,x R
N ( , )或 N ( , )
2
总 体 平 均 数
D 标准差
在这种情况下应走第二 条路线.
( 2).走第一条路线及时赶到 的概率为： 65 50 P（ 0 65 ） （ ） 10 （ 1.5 ） 0.9332
走第二条路线及时赶到的概率为： 65 60 P（ 0 65 ） （ ） 4 （ 1.25 ） 0.8944.
因此，在这种情况下应 走第一条路线.
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
(1).假设检验是就正态总体 而言的， 进行假设检验可归结为 如下三步：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从 正态分布N（，） .
2).确定一次试验中 a的取值是否 落入( 3, 3)内 .
1.5 正态分布
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量 的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， 2）表示， f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
正态分布-ppt课件
(14)曲(3线) (的4)对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
布 N (0，1) ， 已 知 p （ ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 即2、考已试知成X绩~N在((08,10),1，00则)间X在的区概间率为0. 内取值的概率等于（ ）
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
课堂练习
1. 右图是当 σ 分别取值 σ1，σ2，σ3 的三种正
(2)
1 , 2 1 (x1)2
(x) 新疆 王新敞 奎屯
e 8 ,x ( , )
22
说明：当0 , 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
例2、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
f(x) 1 e ,,(0)都 是 实 数 A. 说明：当m=0 , s =1时，X 服从标准正态分布 2 样本容量增大时频率分布直方图
随 着 重 复 次 数 ,这的个增频加率 直 方 图 的
会 越 来 越 像 一线 条图钟 2.4形 3曲 .
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或就 近是 似 )下地 列函数:的图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其 中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
1 即即(947)考考7曲2试 试线成成的D.绩绩对在在称((位8800置,,1100由00))μ间间确的的定概概，率率曲为为线00的.. 形状由σ确定，σ越(x大4，1)曲2线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
《正态分布》教学课件(32张PPT)
x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
《高中数学正态分布》课件
正态分布的实例分析
1 案例一：商品售价的概率分布
探讨商品售价符合正态分布时的概率分布情况，为合理定价提供依据。
2 案例二：身高的概率分布
分析人类身高在不同群体中的分布，理解身高的统计特征和差异。
3 案例三：考试成绩的分布
研究考试成绩的正态分布特征，评估学生的相对表现和优势科目。
总结与思考
正态分布在数学与实践中的重要 性
3
应用示例
通过标准化后的数据，可以进行正态分布的统计估计、抽样与推论，并用于描述 实际情况。
正态分布的应用
统计估计
正态分布在估计总体参数和进行 置信区间估计时非常有用。
抽样与推论
正态分布可用于抽样分布的建立 和统计推断的进行。
实际情况分析
通过近似描述实际情况，例如商 品售价、身高和考试成绩的分布。
《高中数学正态分布》 PPT课件
引言
正态分布的定义
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线，以均值μ和标准差σ来描述。
正态分布的性质
正态分布的均值、中位数和众数相等；左右对称；68%的数据落在一个标准差内；95%的数 据落在两个标准差内。
概率密度函数
密度函数的输入和输出，函数图 像
密度函数接受一个输入值x并给出对应的概率密度 值。函数图像呈现出正态分布的钟形曲线。
正态分布是统计学中最重要的概率分布之一，在自 然科学、社会科学和经济金融等领域有广泛应用。
对于其他分布的启示
正态分布的性质和应用可以启发我们研究和理解其 他概率分布。
参考文献
• 统计学与实际 • 十二年高等数学 • 数学建模及其应用 • 离散数学及其应用
均值和标准差对函数图像的影响
均值决定函数图像的中心位置，标准差影响函数图 像的分散程度。正态分布的Fra bibliotek准化1
课件7：2.4 正态分布
2．4 正态分布
自主预习学案
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克 纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高 斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
『规律总结』 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取 值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法： (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间 进行转化； (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1 求出最后结果．
f(x)＝2 1 πe－
x－ 4
2
，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望 μ＝20，方差 σ2＝( 2)2＝2．
『规律总结』 求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值 μ，纵坐标为 21πσ． (2)待定系数法：求出 μ，σ 便可．
〔跟踪练习1〕把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新 的曲线C2，下列说法中不正确的是 ( ) A．曲线C2仍然是正态曲线 B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等 C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的 期望大2
4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知 P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______．
自主预习学案
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克 纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高 斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
『规律总结』 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取 值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法： (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间 进行转化； (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1 求出最后结果．
f(x)＝2 1 πe－
x－ 4
2
，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望 μ＝20，方差 σ2＝( 2)2＝2．
『规律总结』 求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值 μ，纵坐标为 21πσ． (2)待定系数法：求出 μ，σ 便可．
〔跟踪练习1〕把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新 的曲线C2，下列说法中不正确的是 ( ) A．曲线C2仍然是正态曲线 B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等 C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的 期望大2
4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知 P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______．
正态分布ppt课件
收集数据
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
从实际问题中收集相关数据，如某产品的质量指 标数据。
数据拟合
使用正态分布函数对数据进行拟合，判断数据是 否符合正态分布特征。
参数估计
采用最大似然估计等方法，估计出正态分布的均 值和标准差等参数值。
案例分析：某产品质量指标服从正态分布检验
案例背景介绍
介绍某产品的质量指标数据及其背景信息。
正态性检验
选举结果预测 在政治学中，选举结果的预测也往往基于正态分布模型， 通过分析选民的支持率和投票行为来预测选举结果。
经济金融数据中正态分布检验
在金融市场中，股票价格的波动往往呈现出正态分布 的特点，即大部分价格波动都集中在平均值附近，而
极端波动出现的概率很小。
输入 收益标率题分布
在投资组合理论和风险管理中，收益率的分布也往往 假设为正态分布，以便进行风险度量和资产配置。
连续型随机变量及其性质
均匀分布
均匀分布是描述在某一区间内取值的随机变量，其取值具有等可能性。
指数分布
指数分布是描述无记忆性的随机变量的概率分布，常用于可靠性分析 和排队论中。
正态分布
正态分布是描述连续型随机变量的最重要的一种分布，具有对称性和 集中性等特点，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
其他连续型随机变量
概率分布的概念
概率分布用于描述随机变量取不同值 的概率规律，包括离散型概率分布和 连续型概率分布。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量取值为有限个或可数 个，其概率分布通常用分布列表示。
连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量取值充满某个区间， 其概率分布用概率密度函数表示。
期望与方差
期望的概念
方差的概念
利用正态分布性质，识别 并处理回归模型中的异常 值。
《正态分布》课件
1
定义标准正态分布
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
2
概率密度函数
标准正态分布的概率密度函数是标准形式的正态分布。
3
转化为标准正态分布
通过标准化方法，可以将任意正态分布转化为标准正态分布。
正态分布的应用
1 股票市场
正态分布被广泛应用于股票市场的波动性分析和预测。
2 IQ 测试
正态分布在智商测评中用于解释测试结果的分布情况。
平均数和标准差
在正态分布中，平均数和标准差决定了分布的位置和形状。
对称性
正态分布以均值为对称中心，左右两侧呈对称分布。
正态分布的概率密度函数
概率密度函数
正态分布的概率密度函数描述了不同取值的概率分 布情况。
图形表示
概率密度函数可在图形上呈现出钟形曲线的形状， 帮助理解正态分布的特点。
标准正态分布
结论
正态分布是统计学中的重要概念，具有广泛的应用领域。深入理解正态分布有助于我们在实践中进行数据分析 和预测。
《正态分布》PPT课件
# 正态分布 PPT 课件大纲 正态分布是一种常见的概率分布，广泛应用于统计学和科学研究中。
引言
正态分布是一种对称分布，具有许多重要的性质和应用。通过本节课件，我 们将了解正态分布的基本概念和实际应用。
正态分布的定义和性质
定义正态分布
正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线。
正态分布和对数正态分布ppt课件
若 X 是一个随机变量， Y＝ln(X)服从正态分布： Y=ln(X)～N(,2)
则称 X 服从对数正态分布。 对数正态概率密度函数是：
f(x)=
1 x 2
exp
1 2
ln
x
2
0
x0
（3-9）
x0
和 不是对数正态分布的均值和标准差，而分别称为它的对数均值和对数标 准差。
(x)
1
x2
e2
2
分布函数
x
(x)
1
x2
e 2 dx
2
0 1
正态分布的密度函数的图形
y
1
2
-
+
x
ห้องสมุดไป่ตู้
中间高 两边低
对数正态分布：
是对数为正态分布的任意随机变
量的概率分布。如果 X 是正态分布的 随机变量，则 exp(X) 为对数分布；同 样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。
正态分布的概念和特征
变量的频数或频率呈中间最多，两端 逐渐对称地减少， 表现为钟形的一种概率分布。从理论上说，若随机变 量x的概率密度函数为：
f ( x) 1 e( x )2 / 2 2
2
则称x服从均数为μ，方差为σ2的正态分布
标准正态分布
定义 X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布
密度函数
对数正态分布的均值是：
E(x )
exp
2
2
对数正态分布的方差是：
var(x ) exp 2 2 exp 2 －1
75正态分布课件
回归分析
用于研究变量之间的相关关系，通过建立回归方程来描述自变量和因变量之间的数量关 系，并进行预测和控制。
正态分布在方差分析和回归分析中的应用
在方差分析中，正态分布假设是前提之一，用于判断实验结果的可靠性；在回归分析中， 正态分布假设用于建立回归模型并进行参数估计和假设检验。
04 正态分布在概率论中作用
检验统计量与拒绝域 根据样本数据计算检验统计量，并根据显著性水 平和检验统计量的分布确定拒绝域。
3
P值与决策 根据检验统计量的值和拒绝域计算P值，并根据P 值与显著性水平的比较做出决策。
方差分析与回归分析应用
方差分析
用于研究不同因素对实验结果的影响程度，通过比较不同组间的方差和组内方差来判断 因素对实验结果是否有显著影响。
定理意义
中心极限定理揭示了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的规律，为统计学中 的许多推断方法提供了理论基础。
正态分布与其他分布关系
正态分布与t分布关系
当总体服从正态分布且样本量n较大时，t分布近似于标准正态分布。因此，在实际应用中， 当样本量足够大时，可以使用正态分布的方法对t分布进行近似处理。
关键知识点总结回顾
正态分布的定义和性质
01
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线特点，其概率
密度函数由均值和标准差决定。
正态分布的参数估计
02
通过样本数据可以估计正态分布的均值和标准差，常用方法有
最大似然估计和矩估计。
正态分布的应用
03
正态分布在实际问题中广泛应用，如质量控制、假设检验、回
归分析等。
75正态分布课件
目 录
பைடு நூலகம்
• 正态分布基本概念 • 正态分布性质与定理 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在概率论中作用 • 正态分布在实际问题中运用 • 正态分布课件总结回顾与拓展延伸
用于研究变量之间的相关关系，通过建立回归方程来描述自变量和因变量之间的数量关 系，并进行预测和控制。
正态分布在方差分析和回归分析中的应用
在方差分析中，正态分布假设是前提之一，用于判断实验结果的可靠性；在回归分析中， 正态分布假设用于建立回归模型并进行参数估计和假设检验。
04 正态分布在概率论中作用
检验统计量与拒绝域 根据样本数据计算检验统计量，并根据显著性水 平和检验统计量的分布确定拒绝域。
3
P值与决策 根据检验统计量的值和拒绝域计算P值，并根据P 值与显著性水平的比较做出决策。
方差分析与回归分析应用
方差分析
用于研究不同因素对实验结果的影响程度，通过比较不同组间的方差和组内方差来判断 因素对实验结果是否有显著影响。
定理意义
中心极限定理揭示了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的规律，为统计学中 的许多推断方法提供了理论基础。
正态分布与其他分布关系
正态分布与t分布关系
当总体服从正态分布且样本量n较大时，t分布近似于标准正态分布。因此，在实际应用中， 当样本量足够大时，可以使用正态分布的方法对t分布进行近似处理。
关键知识点总结回顾
正态分布的定义和性质
01
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线特点，其概率
密度函数由均值和标准差决定。
正态分布的参数估计
02
通过样本数据可以估计正态分布的均值和标准差，常用方法有
最大似然估计和矩估计。
正态分布的应用
03
正态分布在实际问题中广泛应用，如质量控制、假设检验、回
归分析等。
75正态分布课件
目 录
பைடு நூலகம்
• 正态分布基本概念 • 正态分布性质与定理 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在概率论中作用 • 正态分布在实际问题中运用 • 正态分布课件总结回顾与拓展延伸
正态分布课件课件
医学研究
正态分布经常被用来描述人体的生理指标，例 如血压、体重、心率和血糖等。
工程技术
正态分布在工程技术中也有着很重要的应用， 例如在质量控制和可靠性分析中。
正态分布在数据分析中的应用
偏度和峰度
使用偏度和峰度帮助了解正态 分布的形状和分布。偏度描述 了平均值分布在曲线的何处， 而峰度则描述了曲线的陡峭程 度。
正态分布在适用性和排除异常值方面存在一 些限制。如果样本不符合正态分布，此时用 正态分布进行分析可能会导致错误的结论。
Hale Waihona Puke 正态分布的常用假设及检验假设检验
假设检验是指在一定的显著水平下，对总体参数提 出假设，并根据样本数据的分布，用统计学方法判 断原假设是否成立。
P值
P值是在假设检验中使用的一个统计量，通常一起出 现的是显著性水平。 p值是落在拒绝域的概率，越小 说明差异越显著。
正态分布优缺点
1 优点
2 缺点
正态分布具有左右对称性，易于使用和理解， 广泛适用于各行各业的数据分析。
中心极限定理
中心极限定理告诉我们，样本 均值的分布逼近于正态分布， 无论样本分布如何。这意味着 我们可以在特定条件下使用正 态分布来预测总体分布。
置信区间
使用正态分布来计算置信区间。 在数据分析中，置信区间是指 根据样本数据计算出的一个区 间，以此来推测总体参数的范 围。
正态分布的概率计算方法
1
累积分布函数
正态性检验方法
正态Q-Q图
Q-Q图是通过将样本数据分布和正态分布进行比较来检验正态性的。如果点的分布趋近于一 条直线，则样本数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种经典的正态性检验方法。该检验基于样本数据的偏度、峰度、样本 大小和简单随机抽样的原则，可以判断样本数据是否符合正态分布。
【全文】正态分布-课件
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？ (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
观察图形可知：误差观测值有正有负．并大 致对称地分布在X=O的两侧，而且小误差比 大误差出现得更频繁．
如何画频率分布折线图？
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频 率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光 滑的钟形曲线，如图7.5-2所示
(4)曲线在_x___μ__处达到峰值σ
1； 2π
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近__x_轴_．
中间高 两头低 左右对 称
4.正态分布的特征
思考一个正态分布由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲
线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x_轴___
总体密度曲线
y=f(x)?
根据频率与概率的关系，可用图 7.5-3中的钟形曲线（曲线与水平 轴之间的面积为 1 ) 来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如, 任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影 部分的面积表示．
1.正态密度函数（简称正态曲线）
若 f(x)＝__σ__12_π__e_－_（_x－ 2_σ_μ2）_2_，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，我们
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样
本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数 ,用样本标准
差估计参数 可以得到
X ~ N 30,62 , Y ~ N 34,22 ,
三、例题讲解
例1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车 平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本 方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X,Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密 度曲线； (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天 只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． (2)X和Y的分布密度曲线如图 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率 大的交通工具．由图7.5一7可知，
观察图形可知：误差观测值有正有负．并大 致对称地分布在X=O的两侧，而且小误差比 大误差出现得更频繁．
如何画频率分布折线图？
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频 率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光 滑的钟形曲线，如图7.5-2所示
(4)曲线在_x___μ__处达到峰值σ
1； 2π
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近__x_轴_．
中间高 两头低 左右对 称
4.正态分布的特征
思考一个正态分布由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲
线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x_轴___
总体密度曲线
y=f(x)?
根据频率与概率的关系，可用图 7.5-3中的钟形曲线（曲线与水平 轴之间的面积为 1 ) 来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如, 任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影 部分的面积表示．
1.正态密度函数（简称正态曲线）
若 f(x)＝__σ__12_π__e_－_（_x－ 2_σ_μ2）_2_，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，我们
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样
本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数 ,用样本标准
差估计参数 可以得到
X ~ N 30,62 , Y ~ N 34,22 ,
三、例题讲解
例1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车 平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本 方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X,Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密 度曲线； (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天 只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． (2)X和Y的分布密度曲线如图 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率 大的交通工具．由图7.5一7可知，
正态分布ppt精品课件
结果解释
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的
正态分布课件
3.正态总体N（， 2 ）在区 间(-3，-1)取值的概率等于在
区间(3，5)取值的概率, 则 =
4.设某某次考试学生成绩正态分布N （100，100 ），求此次考试成绩在 120分以上的考生占总人数的百分比？
正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
当
时，正态总体称为标准正态总体，
相应的函数表达式是：
相应的曲线称为标准正态曲线。
上述计算结果可用下表和图来表示：
2, 2 3, 3
1.求正态总体N（0，1/4）在 区间（-1，1）内取值的概率？
2.正态总体N（6， 2 ）在区 间 (5，7)取值的概率是0.6826, 则=
频率 组距
频率 组距
总体密度曲线
正态分布 N ( , 2)
N (-2 , 1) N (0, 1)
y
N (3, 1)
-4 -3 -2 -1 O
1234
x
=-2 =0 =3
N (0 ,4)
N (0, 1)
y
N (0, 1/9)
-4 -3 -2 -1 O
=1/3
1 2 3 4 =1x
=2
正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称
(3)曲线在x=处达到峰值
1
2
(4)曲线与x轴之间的面积为1
(5)当 一定时，曲线的位置由决定；当一 定时，曲线的形状由决定
标准正态分布
y
N (0 , 1)
-4 -3 -Leabharlann -1 O1234x
画出三条正态曲线：
(2) 0, 1; (3) 1, 2;
区间(3，5)取值的概率, 则 =
4.设某某次考试学生成绩正态分布N （100，100 ），求此次考试成绩在 120分以上的考生占总人数的百分比？
正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
当
时，正态总体称为标准正态总体，
相应的函数表达式是：
相应的曲线称为标准正态曲线。
上述计算结果可用下表和图来表示：
2, 2 3, 3
1.求正态总体N（0，1/4）在 区间（-1，1）内取值的概率？
2.正态总体N（6， 2 ）在区 间 (5，7)取值的概率是0.6826, 则=
频率 组距
频率 组距
总体密度曲线
正态分布 N ( , 2)
N (-2 , 1) N (0, 1)
y
N (3, 1)
-4 -3 -2 -1 O
1234
x
=-2 =0 =3
N (0 ,4)
N (0, 1)
y
N (0, 1/9)
-4 -3 -2 -1 O
=1/3
1 2 3 4 =1x
=2
正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交
(2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称
(3)曲线在x=处达到峰值
1
2
(4)曲线与x轴之间的面积为1
(5)当 一定时，曲线的位置由决定；当一 定时，曲线的形状由决定
标准正态分布
y
N (0 , 1)
-4 -3 -Leabharlann -1 O1234x
画出三条正态曲线：
(2) 0, 1; (3) 1, 2;
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1.完成课本P75 A组1题
2． 【 2007 年 浙江理 】已 知随 机变 量 服 从正 态分 布 N 2 , 2 ，
P 4 0.84 ，则 P 0 （
A ）
C． 0.68 D． 0.84
A． 0.16
B． 0.32
3． 【2010 山东理 5】已知 随机变量 服从正态分布 N 0 , 2 ，若
0.5
1 1.5 2 2.5 3
3.5 4
当样本容量无限增大，组距无限缩小， 那么频率分布折线图就会无限接近于一条 光滑曲线 ——总体密度曲线.
总体密度曲线 ： 反映了总体在各个范围内取值的百分比.
频率 组距
月均用 水量/t
a
b
（图中阴影部分的面积，表示总体在某个 区间 (a, b) 内取值的百分比）.
（2）成绩在80~90内的学生的概率为多少？
a
b
y
O
a b 图2.4 4
x
3 正态曲线的性质
( x )
y
1
2
e
( x )2 2 2
, x ( , )
O
x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线是单峰的,它关于直线 x 对称 1 x （3）曲线在 处达到峰值(最高点)
（4）曲线与x轴之间的面积为 1
1
其中实数 和 ( 0) 为参数.我们称 正态分布密度曲线，简称正态曲线.
2
e
, x ( , )
, (x) 的图象为
O
图2.4 3
x
例1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A.
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, , ( 0)都是实数
可以看到，正态总体几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之 内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况 在一次试验中几乎不可能发生.
2 N ( , ) 的随机 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 变量 X 只能取 ( 3 , 3 ) 之间的值，并简称为 3 原则.
a
a
, (x)dx
a 而言，该面积
y
x=μ
对于固定的 和 a ， 该面积随着 有什 么变化？
O
-a
+a
x
特别有
P( X ) 0.6826, P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
演示
以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的 频率值为纵坐标，可以画出“频率分布直方图”。
组距
11
随着重复次数的增加，直方图的形状会越来越像一条 “钟形”曲线.
1 正态分布密度曲线的定义：
这条曲线就是（或近似地是）下面函数的图像： ( x )2 2 2
( x)
y
B.
2 f ( x) e 2
x2 2
C.
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 4
D.
1 f ( x) e 2
x2 2
频率分布折线图：
频率
组距
连接频率分布直方图 中各小长方形上端的 中点,得到频率分布折 线图
0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 月均用水量 /t 4.5
σ 2π
变化时 当 固定，
0.5
1 0
1
演示
曲线的位置由
确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移
3
1
2
变化时 当 固定，
0
=0.5
=1
=2
演示 曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
• 完成课本 P74 第1题、第3题 P75 A组第2题、 B组第2题
y
如图，为某地成年男性体重 的正态曲线图，请写出其正 态分布密度函数，并求P （|X-72|<20）.
1 10 2
x (, )
72(kg)
x
某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正 态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格， 求： （1）成绩不及格的人数的概率为多少？
2 正态分布的定义:
如果对于任何实数 a, b(a b) ,随机变量 X 满足:
则称随机变量 X 服从正态分布. 正态分布完全由参数 和 确定,因此正态分布常记作 N ( , 2 ). 如果随机变 量 X 服从正态分布，则记为 X N ( , 2 ) .
P(a X b) , ( x)dx
P 2 0.023 ，则 P 2 2 （ C
） D． 0.977
A． 0.477
B． 0.625
C． 0.954
4 特殊区间的概率
若X
N ( , ) ，则对于任何实数 a 0 ，
2
为图中阴影部分的面积，对于固定的 和 随着 的减少而变大.
P( a X a )
高二数学 选修2-3
2.4 正态分布
你见过高尔顿板吗 ? 图2 . 4 1 所示的就是一块高尔顿板示意 图.在一块木板上钉上若干排相 互平行但相互错开的圆柱 形小 木块,小木块之间留有适当的空 隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 让一个小球从高尔顿板 上方的 图2.4 1 通道口落下,小球在下落过 程中 . 与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内