地热换热器传热模型中的瞬态点热源格林函数的解析
6、格林函数法
对应的原问题是：
用T
乘(7-4)式，用G乘(7-5)式，相减， 得到
根据Green公式:
(7-7)式等号左边第一项为：
(7-7)式等号右边：
分析(7-9)式中等号右边最后一项，即边 界条件，用G乘(7-1b)和用T乘(7-2b) 相减， 有:
其中, Gsi 为在边界得到的Green函数值。
对于各种齐次问题的解已经在第二、
三和四章做过介绍。
§7.1 求解非齐次、非稳态 问题中的Green函数
三维非齐次、非稳态问题：
控制方程
边界条件 初始条件
为解决上述问题，在相同的区 域内，考虑这样一个辅助问题：
辅助问题：
一个脉冲点热源，边界条件为齐次的， 初始条件为零。 1 1 G 2 G r,t r', r r' t t > (7-2a) t 边界条件： t
中的
综上，求解
的方法和步骤： (1)用分离变量法求解原问题相对应齐 次问题的解，即(7-15)； (2)与(7-14)进行比较，得到 ； (3)只要用 代替 中的 t，就可以得到
§7.3 Green函数方法的应用
Example
1
Байду номын сангаас
一块一维平板，边界条件和初始条 件如下图所示，求温度场 T( x ,t ) .
表示，
(4)式与(3)式比较，可得:
2
级数不均匀收敛的处理方法参见书本或上一章PPT。
思考：格林函数法与杜哈美尔 定理法有何共同点和不同点？
The End
权函数 :
如何确定G?
§7.2 求Green函数的一种 方法
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
瞬态热传导方程含义
瞬态热传导方程是用来描述物体内部温度分布随时间
变化的一组方程，它是由热力学第一定律和物质守恒定律推导而来的。
这组方程包含了时间变量和空间变量，描述了热能传递的过程。
首先，我们定义一些概念。
令T(x,t)表示在位置x处、时间t时的温度，其中x是一维空间变量，t是一维时间变量。
假设物体的初始温度分布为T0(x)，即物体在初始时刻的温度分布。
假设物体的热传导系数为k，则瞬态热传导方程可以表示为：
∂T∂t=k∂2T∂x2+Q(x,t)
其中，∂T∂t表示温度随时间的变化率，∂2T∂x2表示温度的二阶空间导数，Q(x,t)表示在位置x处、时间t时的热源。
这个方程描述了物体的热传导过程。
其中，左侧项表示热量随时间的变化率，右侧第一项表示热量的扩散过程，右侧第二项表示热源产生的热量。
这个方程是一个偏微分方程，它包含了时间变量和空间变量，需要使用数值方法来求解。
在实际应用中，瞬态热传导方程可以用来描述许多物理现象，例如电路分析、材料加工和建筑设计等。
在电路分析中，瞬态热传导方程可以用来描述电路板上的温度分布随时
间变化的情况；在材料加工中，瞬态热传导方程可以用来描述材料内部温度分布随时间变化的情况；在建筑设计中，瞬态热传导方程可以用来描述建筑物内部温度分布随时间变化的情况。
总之，瞬态热传导方程是用来描述物体内部温度分布随时间变化的一组方程，它包含了时间变量和空间变量，描述了热能传递的过程。
在实际应用中，它可以用来描述许多物理现象，例如电路分析、材料加工和建筑设计等。
有限元线法对地源热泵地热换热器传热模型的研究
有限元线法对地源热泵地热换热器传热模型的研究地源热泵是一种高效的供暖和制冷系统，其核心是地热换热器。
地热换热器是地源热泵系统中用来与地下热源进行热交换的关键部件，其传热性能直接影响了地源热泵系统的能效和运行效果。
为了研究地热换热器的传热模型，科研人员采用了有限元线法（FEM）进行模拟。
有限元线法是一种常用的数值计算方法，可以较为准确地模拟复杂的传热过程。
在地源热泵系统中，地热换热器的传热过程可以简化为热传导过程。
在有限元线法模拟中，研究人员首先建立了地热换热器的几何模型，并对其进行离散化处理。
然后，根据热传导方程建立了传热模型，并将其转化为有限元线法的方程。
通过求解这些方程，可以得到地热换热器的温度分布和传热效率等相关参数。
研究发现，地热换热器的传热模型受到多种因素的影响。
首先是地热换热器的结构参数，如管道的布置方式、管道间距和管道直径等。
这些参数会直接影响地热换热器的传热面积和流体流动情况，进而影响传热性能。
其次是地下介质的热导率和地下水流速等。
这些参数会影响地热换热器与地下热源的热交换效果。
最后，地热换热器的工作状态和运行方式也会对传热性能产生影响。
通过有限元线法对地热换热器的传热模型进行研究，可以优化地源热泵系统的设计和运行。
研究人员可以通过调整地热换热器的结构参数和优化地下介质的使用方式，来提高地热换热器的传热效果。
同时，他们还可以通过模拟不同工况下的传热过程，来确定地热换热器的最佳运行方式。
总之，有限元线法对地源热泵地热换热器传热模型的研究具有重要意义。
通过这种方法，可以深入理解地热换热器的传热机理，为地源热泵系统的设计和运行提供科学依据，进一步推动地源热泵技术的发展。
环形蓄热片相变材料固化时热传导问题的green函数瞬时解
环形蓄热片相变材料固化时热传导问题的green函数瞬时解针对环形蓄热片相变材料固化时热传导问题的Green函数瞬时解，越来越受到研究者的关注。
Green函数是研究热传导问题最主要的一种工具。
它可以求解热传导问题的瞬时解，从而为研究过程中提供有效的信息。
以下是针对环形蓄热片相变材料固化时热传导问题的Green函数瞬时解的简单介绍：1、Green函数理论及其应用。
Green函数有几种特殊的应用，比如可以用来推导不同条件下的热传导方程，或者是解决特殊的热传导问题。
它的求解原理是建立不同条件下的热传导方程，然后用方程的Green函数瞬时解来解决它。
2、相变材料的研究及应用。
环形蓄热片相变材料固化时热传导问题材料特点是采用环形结构，具有能耗低、热性能可调节、优越的功能性能等特点。
研究相变材料的Green函数瞬时解，既可以研究热传导系统中温度分布的空间变化情况，也可以更好的利用Green函数理论来优化材料的表面温度分布，从而减少蓄热片的能耗。
3、Green函数的推导。
Green函数的推导不同于其他热传导问题的推导，因为它要求求解热传导问题中的瞬时解，而其他问题也可以转化为求解瞬时解的问题，这是Green函数求解的关键所在。
针对环形蓄热片相变材料固化时热传导问题，采用相应的空间变量变换，结合蓄热片的参数优化分析，构建Green函数，从而实现热传导问题的瞬时解析。
4、应用效果分析。
采用Green函数求解热传导问题的瞬时解，可以处理的热传导问题范围更广，并且可以更有效地满足热传导问题的复合性要求。
综合分析环形蓄热片相变材料固化时热传导问题，Green函数可以有效地求解相关非线性问题，并根据不同非线性变化规律对热传导行为进行适当调整，以达到最优的能源节约效果。
螺旋埋管地热换热器的线圈热源模型及其解析解
第 26 卷第 4 期 2011 年 7 月
热
该模型在分析桩基螺旋埋管和钻孔埋管换热器 “空心” 圆 的传热时都明显优于传统的线热源模型和 柱面模型。但是， 圆柱面热源模型把螺旋盘管简化为 无法讨论管壁温度与热源面平均温度 连续的圆柱面， 之间的温差（ 或热阻） ， 也不能反映螺旋埋管的节距 对传热的影响。考虑到实心圆柱面热源的不足以及 桩基螺旋埋管换热器工程应用的实际需要， 进一步提 出线圈热源模型， 将螺旋盘管简化为高度方向上间隔 相等的不连续的圆环形线热源， 即“线圈” 热源。与 为了考虑地埋管 线热源模型和圆柱面热源模型一样， 换热器在长度方向为有限尺度的影响， 该模型也有无 限长线圈模型与有限长线圈模型之分。
[
]
exp － 1． 2
[
R2 + 1 ( Z － Z' ) 2 ·exp － dFo' （ 4 ） 4 ( Fo － Fo' ) 4 ( Fo － Fo' )
]
[
]
1
线圈热源模型的温度响应
作为理论分析及工程应用的基础， 首先讨论无 做如下假定： 限长线圈热源模型， （ 1 ） 地下土壤近似为均匀的无限大介质， 介质 的热物性不随温度的变化而变化 ； （ 2 ） 介质中有均匀的初始温度 t0 ； （ 3 ） 把螺旋盘管简化为在圆柱面高度方向无数 间隔相等的不连续的圆环， 节距为 b， 螺旋盘管的加 热假定为从 τ = 0 时刻开始连续均匀发热的圆环形 线热源。 在以下的表达式中， 以初始温度 t0 作为过余温度 ， 的零点 统一记过余温度 θ = t － t0 ， 下标 r 表示线圈热 源模型； i 和 f 分别表示无限长和有限长的线圈热源。
热传导问题的通用格林函数及格林函数解
=
0 ∈边界
Si
,t
> τ (9)
i = 1 ,2 , …s
初始条件 G t =τ = δ( r - r′) ec ∈区 域 R (10 ) ,
( IV)
解得本征值
λ m
,本征函数
ρcδ( r - r′)δ( t - τ) 的内热源分布. 根据能量守恒定律 ,τ时刻区域内任一空间位置处微元
dυ温度升高所吸收的热量等于其内热源产生的热量
ρcdυ[ G t =τ - G t =τ ] = ρcδ( r - r′)δ( t - τ) dυdτ
考虑到 (6) 式得
G t =τ = δ( r - r′)
产生的温度场 ,先求点源的场 ,即先求问题 ( I) 的辅助问题 ( II) 的解 —基本解.
可以证明 ,满足辅助问题 ( II) 的格林函数 G( r , t| r′,τ) 服从如下互易关系 :
G( r , t | r′,τ) = G( r′, - τ| r , - t)
(21)
根据 (21) 式 ,将 (4) 式写成以函数 G( r′, - τ| r , - t) 表示的形式 ,为
[2 ] 陆振球. 经典和现代数学物理方程. 上海 :上 海科技出版社 ,1991 ,112 —119
Generalpurpose Green Function and Green Function Solution to Heat Conduction Problems
Hu Hanping
( Department of Thermal Science and Energy Engineering , USTC)
m
N
1 (λm
)
e
单位球上的格林函数
单位球上的格林函数1.引言1.1 概述在数学和物理领域中，单位球是一个重要且常用的概念。
单位球是指中心位于原点，半径为1的球体。
它在多个学科领域中都有广泛的应用，如几何学、微积分、凸优化、方程和物理学等。
本文将探讨单位球上的一个重要概念——格林函数。
格林函数是一种绿色函数，它在偏微分方程和势能理论中扮演着重要的角色。
它可以用于解决各种物理和数学问题，如电势问题、热传导问题、波动问题等。
在本文中，我们将首先介绍单位球的定义和一些基本性质。
随后，我们将详细讨论格林函数的概念和作用，并阐述它在解决偏微分方程和积分方程中的应用。
通过深入研究单位球上的格林函数，我们将更好地理解它的重要性和意义。
本文的目的是为读者提供一个全面的介绍，使他们能够了解并掌握单位球上格林函数的基本概念和应用。
通过学习这些内容，读者将能够在实际问题中应用格林函数，提供解决方案，并进一步拓展和应用相关的研究。
在结论部分，本文将强调单位球上的格林函数的重要性，并指出未来可能的研究方向。
我们希望通过这篇长文，能够为读者提供有关单位球上格林函数的详尽信息，并激发读者进一步深入研究和研究该领域的兴趣。
1.2 文章结构文章结构本文主要讨论单位球上的格林函数，并包含以下部分：1. 引言：首先概述本文的研究对象和研究目的。
介绍单位球的基本定义和性质，并阐述格林函数的概念及其在该领域的作用。
2. 正文：- 单位球的定义和性质：介绍单位球的几何定义和基本性质，在数学和物理学中的重要地位，并探讨单位球在格林函数研究中的意义。
- 格林函数的概念和作用：对格林函数进行详细解释，包括其数学定义、性质和重要性。
阐述在单位球上使用格林函数进行问题求解的方法和应用领域。
3. 结论：- 单位球上的格林函数的重要性：总结单位球上格林函数的重要性和应用价值，指出其在解决特定问题、优化物理模型和推动科学发展方面的潜力。
- 未来可能的研究方向：展望未来可能的研究方向，包括但不限于进一步探索单位球上格林函数的特性、推广应用到其他领域以及开展相关数学和物理理论方面的深入研究。
数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]
![数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/0fa571d09fc3d5bbfd0a79563c1ec5da50e2d6e6.png)
第五章 格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q RdV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1)或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2)如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,),F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F. 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰(1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6)(1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7)自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8)(1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGuudV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9)在球面B ∂上，021()414P P r n rrrππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11)其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u x y z nε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u d s u d V n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12)(1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r=0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1)易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P Pr =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,) (2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7)在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰u d V f d VΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un ∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理.注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7)右端第一项uds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解.设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩ 在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10)将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u Gu Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11)其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14)因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P P P δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G Gn zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,) (3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7)上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8)在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r = (3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11)直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12)记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 22222200042220002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ (,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+， （4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x atax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x ata x t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx atx atat xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习 题 五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）uudV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰.（2）2u u udV uds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1） 如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),ux y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1） 验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ==（2）设()u u r =, 22y x r +=， 求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0,u =(0,)1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3） 设()u u r =, 222z y x r ++=， 求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n为(0,)B δ∂的单位外法向量.5． 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明 若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)Gu ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z ux y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰.8*证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩ 10． 求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11． 设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω.证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足(,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明 如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩ 23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y xu x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2RB Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R ru u x y u R r R r-+≤≤+-其中r =.（2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。
多体物理学中的格林函数理论
多体物理学中的格林函数理论多体物理学中格林函数理论的探索多体物理学是物理学中的一个分支，研究的是多个粒子、多个分子或多个原子之间的相互作用。
多体物理学的研究内容很广泛，包括固体物理学、凝聚态物理学等多个方面。
格林函数理论是多体物理学中重要的理论工具之一，具有重要的科研价值和实际应用价值。
格林函数理论的基本概念格林函数理论最初由数学家格林提出，并在物理学中得到了广泛应用。
在物理学中，格林函数是描述物理场的基本概念。
物理场包括电磁场、热场、声场等。
格林函数描述的是在某一位置上引入一个极化子（在量子计算机中也称量子比特），这个极化子对整个场的影响。
在量子力学中，格林函数是描述任意两个算符之间的关联函数。
这两个算符可以是粒子数、自旋、动量等。
在多体物理学中，格林函数理论可以用于描述多体系统中的相互作用、动量分配等。
格林函数以其极高的数学抽象程度而著称。
格林函数理论的核心是所谓的“量子维数的一致性原理”，即量子态的表达式与物理现象的描述必须具有一致性。
这个“一致性原理”是格林函数理论更高级的理论体系的基础。
格林函数的应用格林函数理论在实际应用中具有很大的价值。
在固体物理学中，格林函数理论可以用于计算材料中的电导率、热导率等物理量。
在量子多体物理学中，格林函数理论可以用于计算多体系统的能级、波函数、动量分配等。
另外，格林函数理论在半导体物理学中也有广泛应用。
在半导体器件中，格林函数理论可用来计算量子阱、量子点和量子井的能带结构、光谱特性等。
在量子计算机领域中，格林函数理论可以用于设计量子比特的形态、体积等。
格林函数理论的发展历程20世纪初，格林函数理论受到了物理学家们的广泛关注。
20世纪中期，Keiji Mori在量子场论中引入了费曼图，为格林函数理论的发展打下了基础。
在费曼图的帮助下，格林函数理论得到了重大进展。
20世纪60年代，量子电动力学和量子色动力学的的诞生，推动了格林函数理论进一步发展。
至今，格林函数理论在量子场论、固体物理学、量子计算机等领域都具有广泛应用。
什么是格林函数(Green's function)
一般地，点源作用产生的场就是格林函数。
在地震学中，格林函数是单位集中脉冲力产生的场，可以是位移，速度或加速度等，一般指位移场。
集中意味着力只作用于空间中一点，脉冲指力只作用于时间中某一时刻。
在地震学中，应特别注意：1) 集中脉冲型单力产生的位移场是格林函数；2) 一对单力组成的力偶产生的位移场是格林函数空间导数；3) 断层剪切位错所产生的位移场，等效于双力偶所产生的位移场，也等效于单力+单力偶所产生的位移场。
（见《定量地震学》等效体力章节，即3.2节）。
注：单力偶就是一般意义上的力偶，代表一对单力组成的力偶；双力偶是指两个单力偶的组合。
1 什么是格林函数对线性算子 L ，在点源 \delta 作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即： LG=\delta 。
不同线性算子对应不同物理问题，也就对应不同性质的方程，如拉普拉斯方程，泊松方程，亥姆霍兹方程，波动方程等，这些方程都对应着各自不同的格林函数（见第二部分Wikipedia汇总）。
如，对声波波动问题，线性算子为 L=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-c^2 \nabla^2 .格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。
郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而格林函数则代表了一个点源所产生的场。
知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。
”推导：已知： L\varphi=Q ,其中 L 是线性算子，Q 为源分布， \varphi 为待求输出。
利用卷积的性质，可得： \varphi=\varphi *\delta=\varphi * (LG)=(L\varphi) * G=Q*G .（注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来）因此，问题的关键就是求格林函数。
瞬态传热模型公式推导过程
瞬态传热模型公式推导过程
瞬态传热模型是用来描述物体在时间上温度变化的模型。
推导
瞬态传热模型的过程涉及到热传导方程和一些基本热学原理。
首先，我们从热传导方程出发，热传导方程描述了热量在物体内部的传递。
对于一维情况，热传导方程可以写作：
ρc∂T/∂t = ∂/∂x(k∂T/∂x)。
其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，t是时间，x是空
间坐标，k是热导率。
这个方程描述了温度随时间和空间的变化关系。
接下来，我们可以利用适当的边界条件和初始条件来解这个方程。
边界条件描述了物体与外界的热交换情况，初始条件则描述了
初始时刻物体的温度分布情况。
一般情况下，瞬态传热问题的解并不容易得到解析解，需要借
助数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
在实际应用中，瞬态传热模型的推导过程还会涉及到热辐射、对流传热等其他因素的影响。
这些因素会进一步丰富和复杂化瞬态传热模型的推导过程。
综上所述，推导瞬态传热模型的过程涉及到热传导方程的建立和求解，以及对边界条件和初始条件的考虑。
同时，实际应用中还需要考虑其他因素对热传导的影响，这些因素会进一步丰富和复杂化模型的推导过程。
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
3-格林函数法
26
计算电磁学基础
7、矢量格林公式
• 对区域V中任意两个矢量场P和Q，对P×(D×Q)应用 高斯定理，可得矢量第一格林定理
Q P Q P dV P Q dS
V V
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
( x ) Q ( x )
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
( x ) Q ( x x)
Q ( x x) 0,
( x ≠x ’ 点 )
V
Q ( x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
1 4 1 4 1 ( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z' ) 2 1 ( x x' ) 2 ( y y' )2 ( z z' )2
18
计算电磁学基础
5、 泊松方程格林函数
一个处于x'点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程
2 2
1
2
R0 1 2 2 4 2 r | x ( ) x | R R R0 2 R0 RR cos R R
1
2
根据镜象法得
G ( x x ) 1 40 ( R 2 R2 2 RR cos ) 1 2 1 ] 1 RR 2 2 (( ) R0 2 RR cos ) 2 R0
场点P的坐标为R。
z R' R0 θ' o
x
r' R θ
r
x
α
y
x
23
地热换热器传热模型中的瞬态点热源格林函数的解析
0引言线热源模型是地源热泵工程中普遍采用的一种地埋管换热器传热分析经典理论[1],但是由于国内工程技术人员对这一理论的认识比较模糊,导致实际应用中缺乏对这一理论的深层次理解,存在一些错误的认识,严重阻碍了对地源热泵换热分析中不合理意见的改进,因此详细了解这一模型是必要的,本文从传热问题中一类常见的抛物型偏微分方程入手给出了线热源模型的具体数学建模过程;针对建模中出现的瞬态点热源格林函数,明确了其物理含义;考虑到初始地下温度场的分布沿深度方向存在梯度而不是均匀分布的,而经典的线热源模型忽略了这一问题,基于瞬态点热源格林函数,指出了初始地下温度场的梯度会引起附加的温度场效应。
1抛物型偏微分方程的求解常见的抛物型偏微分方程最基本形式为:∂t ∂τ-∂2t ∂x 2=0(1)给定初始条件:t (x ,0)=f (x )(2)运用傅里叶积分定理,给出f (x )的傅氏变换:F (w )=∞-∞∫f (ξ)e-iwξdξ(3)从而有:f (x )=12π∞-∞∫F (w )e iwξdw(4)进一步变换有:f (x )=12π∞-∞∫dw ∞-∞∫f (ξ)eiw (x-ξ)dξ(5)由偏微分方程分离变量法[2]知,若t=A e ax+bτ是方程(1)的解,则有b=a 2;因此eiw (x-ξ)-w τ是方程(1)的一个基本解,由此可见无穷多个特解eiw (x-ξ)-w τ的线性叠加亦为其解,因而当τ>0时,满足方程(1)初始条件的解是[2]:t (x ,τ)=12π∞-∞∫dw ∞-∞∫f (ξ)eiw (x-ξ)-w τdξ=∞-∞∫f (ξ)dξ∞-∞∫12πe iw (x-ξ)-w τdw (6)对于积分式∞-∞∫12πe iw (x-ξ)-w τdw 的计算,考虑代换:u=x -ξ,v=12τ√(7)则有:F (u ,v )=∞-∞∫12πe iw (x-ξ)-w τdw =∞-∞∫12πe iwu-w 2vdw (8)为了计算积分F (u ,v ),引入复变量:η=w-iuv 2(9)则有:dη=dw (10)以及:η2=w 2-v 4u 2-2v 2uwi (11)即:w 22v 2-uwi=v 2u 22+η22v 2(12)故F (u ,v )转化为:F (u ,v )=e-u v 2+∞-iv u -∞-iv u∫12πe -η2vdη(13)考虑复数平面内积分的留数理论[2]:由于该积分是解析的,且在平行于实轴的任何带内无奇点,而且当Re(η)→∞时积分迅速趋于零,因而有:F (η)=e -u v 2+∞-iv u -∞-iv u∫12πe -η2vdη=e-u v 2+∞-∞∫12πe -η2vdη(14)引入极坐标进行坐标变换,则有:F (η)=12π√ve -u v 2(15)于是有:t (x ,τ)=∞-∞∫f (ξ)14πτ√e -(x-ξ)4τdξ(16)注意到当x →∞时,t (x ,τ)→0,且τ→0时:14πτ√e -(x-ξ)4τ→δ(τ;x -ξ)(17)其中δ(τ;x )是狄拉克函数,由狄拉克函数的物理意义知14πτ√e-(x-ξ)4τ即为在时间τ=0空间位置x =ξ一瞬态点源的扩散场函数。
格林函数以及拉普拉斯方程讲解
也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问
由各种复杂到，数
二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清
格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带
()]([sFfL
(f
）（sF称为)(f的象函数。式中s可以是重复变量。
首先得到的是象函数，要通过反变换才能得到温度分布
许多象函数的反变换可以从拉普拉斯变换中查得。为了充分发挥已有变换表的作
由于象函数的多样性和复杂性，有时不可能从
这时，就得自己进行反变换运算，部分分式法和回路积分
杜哈美尔定理
ρc[J]的瞬时点热源可写作
'xx处的强度为ρc的瞬时面热源应为ρcδ)'xx（δ（τ—τ′）。由这
其中自变量第一部分表示该温度分布是空间坐标r和时间τ的函数，第二部
r′和τ′表示瞬时点热源的位置和释放时间。
）和内热源),(),(xcgxq，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流)(f的
ppt。
格林函数的概念及其物理意义
"场"和产生这种场的"源"之间的关
例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关
,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林
.而点源产生的场就叫做格林函数。
物体中的温度分布随时间的变化是由于内热源、边界的热作用以及初始温度分布作用
G，它满足以下的辅助问题：
)'-()'-( vδrrcδq)'-()'-()'-()'-( zzδyyδxxδrrδ)',',(rrG
如何求格林函数
如何求格林函数格林函数是一种用于解决偏微分方程的数学工具。
它在物理学、工程学等领域中被广泛应用，用于描述空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
本文将以人类的视角，以一个具体的例子来介绍如何求解格林函数。
假设我们考虑一个二维空间中的热传导问题，即热量在空间中的传播。
假设有一个热源在坐标原点处，我们想求解在空间中任意点处的温度分布。
我们需要建立起偏微分方程描述这个问题。
热传导问题可以由热传导方程来描述，其形式为：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u是温度分布函数，t是时间，α是热扩散系数。
接下来，我们引入格林函数G(x, y, x', y')，它是满足以下方程的函数：α(∂²G/∂x² + ∂²G/∂y²) = δ(x - x')δ(y - y')其中，δ(x)是狄拉克函数，表示单位脉冲。
注意，这里的格林函数是关于空间坐标的函数，与时间无关。
有了格林函数之后，我们可以通过以下公式来求解温度分布函数u(x, y, t)：u(x, y, t) = ∫∫G(x, y, x', y')f(x', y', t)dxdy其中，f(x, y, t)是边界条件或初始条件。
在实际应用中，求解格林函数常常采用分离变量法、变换法等数学方法。
这些方法能够将偏微分方程转化为一系列普通微分方程或积分方程，从而求解出格林函数。
通过求解格林函数，我们可以得到任意时刻、任意位置的温度分布。
这对于热传导问题的研究和工程应用具有重要意义。
格林函数的求解方法可以推广到其他偏微分方程问题中，因此具有广泛的应用价值。
总结起来，格林函数是一种用于求解偏微分方程的数学工具。
它通过满足特定的方程条件，描述了空间中点源或边界条件下的场或势函数分布。
通过求解格林函数，我们可以得到解析解，从而获得任意时刻、任意位置的场或势函数分布。
格林函数公式
格林函数公式格林函数是一种数学工具，用于求解偏微分方程问题。
他们被广泛应用于物理学、工程学和应用数学等领域中。
在此文档中，我们将介绍格林函数的基本概念，并讨论它们在求解偏微分方程中的重要作用。
基本概述格林函数是一个数学函数，用于求解关于某个特定系统的线性偏微分方程的解。
这个函数在数学上被定义为下面的积分：G(x, y) = ∫K(x, y, ξ)F(ξ)dξ其中，K代表一个所谓的内核函数，它可以被视为系统对某个点源触发产生的响应函数。
F(ξ)是一个给定的受迫项函数，它表示了在系统中产生的激励效应。
G(x,y)代表了任意两个点x和y之间的影响函数，它表达了一个点受另一个点影响的程度。
格林函数的重要性格林函数在求解偏微分方程中体现了它特殊的重要性。
在PDE中，我们经常需要求解由某个系统的激励效应所引起的响应。
例如，在热传导问题中，激励项F(ξ)可以表示为热源的转移率。
在流体力学中，它可以表示为质量和能量输入的源。
在声学中，它可以表示为声音源的振动。
无论哪种情况，我们都需要找到一个函数G(x,y)，它可以很好地反映出在当前系统下，如何将激励函数在某个点上转发到系统中的其他点上。
在这个过程中，格林函数的具体形式和性质显得尤为重要。
具体应用接下来我们将介绍两个具体的例子，它们分别显示出了格林函数在解决实际问题中体现出的价值。
例子一：热传导问题假设我们在一个矩形的平面内部有一热源，并且这个矩形的四周的边界是冷却的。
现在，我们要求出在矩形平面中任意一个点的温度变化情况。
为此，我们需要考虑如下的偏微分方程：∇²u - κu = q其中，u表示温度变化的值，κ表示热扩散性质的参数，q是热源的转移率。
这个方程的解可以被表示为下面的积分：u(x) = ∫K(x, y)F(y)dy在这里，K(x,y)是格林函数，它可以表示为热对某一点的效应；F(y)是热源在某一点上的转移率。
例子二：波动方程假设我们需要模拟一个灵敏的声学系统。
数学物理方程 格林函数法优秀课件
由格林第三公式，得
u (,,) ( u n u n )d s u d V(7 )
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
而 在 u dV un d s 中 ，f( xun,y在,z边)d界V 和 上的 值u 未 n知ds，因 此(须x,进y,一z)步 n处d理s.。
( 1 1 )
将（10）和（11）带入到（9），
G u d V ( u n u n ) d s B ( u n u n ) d s ( 9 )
得到
G u d V ( u n u n )d s u (x ,y ,z ) u n (x ,y ,z )
5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对 一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一些 方法。
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
设 { ( x ,y ,z ) |z 0 } , { ( x ,y ,z ) |z 0 } 考虑定解问题
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍 拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函 数，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的解 的表达式。
5.2.1 基本解
设 P0(,,)R3 ，若做点 P0(,, ) 放置一单位正电荷，
则该电荷在空间产生的点位分布为（舍去介电常数 0 ）
uf(x,y,z),(x,y,z) (1)
u(x,y,0)(x,y),(x,y) R2 (2)
设 P0(,,)，则 P1(,,) 为 P 0 关于 的对称点。
G (P G , P 0)( P 0 ,,P (0 x ),,(yx ,,zy ), z )
格林函数
§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u ϖ（12-1-1）这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v ϖ（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu（12-1-3）n ∂∂表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。
（12-1-3）叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆ϖϖ（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑（12-1-5）其中 ϕ（M ）是区域边界 ∑ 上的给定函数。
α＝0，β ≠0为第一类边界条件，α ≠0，β＝0是第二类边界条件，α、β 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
地热换热器传热模型中的瞬态点热源格林函数的解析
作者：赵亚洲马智博
来源：《科技视界》2016年第05期
【摘要】本文讨论了用于地热换热器传热分析的经典线热源模型的具体数学建模过程，给出了瞬态点热源格林函数的物理意义；进一步指出了地下初始温度场的梯度带来的附加温度场效应，最后通过仿真模拟地埋管制冷工况温度场得出忽略这一附加温度场对于地源热泵地埋管设计和土壤热物性测试而言不会有太大影响。
【关键词】地热换热器；线热源模型；瞬态点源格林函数；初始温度场梯度；附加温度场
6 结论
本文详细讨论了用于地埋管地源热泵系统设计的开尔文线热源模型的数学模型和物理意义，明确解释了初始运行时间足够长（一般是大于3～4小时）时，土壤中的各点的过余温度趋于lnτ随线性规律变化（这正是目前土壤热物性测试的理论基础）的原因，但是由于初始时刻，地下温度场是不均匀的，不均匀的温度场由于温度梯度的存在就会引起相邻区域之间的导热，可见如果近似认为各区域温度场初始时刻均匀分布，忽略这一附加温度场，会导致模拟的温度场出现偏差，但是分析土壤温度场仿真结果，可以看出附加温度数值很小基本保持在-1.5℃～0℃，并且随土壤埋深和运行时间变化很小，分析原因我们认为地下初始时刻的温度场仅在浅层地表以下变化较大，而在地埋管大部分埋深位置变化不大，因此忽略这一附加温度场对于地源热泵地埋管设计和土壤热物性测试而言不会有太大影响。
【参考文献】
[1]方肇洪，刁乃仁.地埋管地源热泵技术[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]彭桓武，徐锡申.数理物理基础[M].北京：北京大学出版社，2001.
[3]杨卫波，施明恒.混合地源热泵系统（HGSHPS）的研究[J].建筑热能通风空调，2006（03）.
[4]范爱武，刘伟，王崇琦.地源热泵系统中竖井深度的确定方法[J].太阳能学报，2004（05）.
[5]范蕊，马最良.地埋管换热器传热模型的回顾与改进[J].暖通空调，2006（04）.
[6]代成颖，高志球，王琳琳，范俊红.两种土壤温度算法的对比分析[J].大气科学，2009（01）.
[责任编辑：杨玉洁]。