《 等边三角形判定》(第3课时)教案 探究版

《等边三角形判定》教案探究版教学目标知识与技能1.理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题．2.结合实例体会反证法的含义.过程与方法经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力．体会反证法的思想方法“否定之否定”.情感、态度启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.教学重点：等边三角形判定定理的发现与证明；含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明；反证法的运用.教学难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明；灵活运用反证法解题．教学过程一、问题导入下图是屋架设计图纸的一部分,其中点D是斜梁AB的中点,立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，你能求出立柱BC，DE要多长吗?要解决这一问题，要用到等腰三角形与直角三角形的相关结论；今天就来探究相关结论.设计意图：通过实例，激发学生探究的兴趣，使枯燥的数学课堂变得生动有趣，也使学生真正理解“数学来源于生活又服务于生活”的道理．二、探究新知（一）等边三角形的判定：1．一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？三条边都相等的三角形是等边三角形（等边三角形的概念）． 根据等边对等角，可得出：三个角都相等； 结论：三个角都相等的三角形是等边三角形． 符号语言： 在△ABC 中， ∵∠A ＝∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等边三角形．2．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？自己画图验证并尝试给出证明通过画图验证得到结论：顶角是60°的等腰三角形是等边三角形； 底角是60°的等腰三角形是等边三角形．定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 下面给出证明．已知：△ABC 是等腰三角形，顶角∠A =60°， 求证：△ABC 是等边三角形．分析：要想证明△ABC 是等边三角形，只要应用等边三角形的概念，证明△ABC 三条边都相等即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，∠A =60°， ∴AB =AC ．∠B =∠C =60°，CB A∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB=AC=BC．∴△ABC是等边三角形．当一个底角为60°时，证明方法类似．（二）直角三角形的一个重要性质我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形．拿出三角板，做一做：用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．让学生经历拼摆三角尺的活动并发现结论．学生一般可以得出上面两种图形：其中第1个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=12AB，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如果学生不能很快得出30°所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并再将三角板分开，思考从中可以得到什么结论．下面给出该结论的证明：已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°．求证：BC=12AB．AB D CAB D C分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ． 证明：延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD (如图所示)．∵∠ACB =90°，∴∠ACD =90°． ∵AC =AC ，∴△ABC ≌△ADC (SAS )．∴AB =AD (全等三角形的对应边相等)． 又∵∠B ＝60°，∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC =12BD =12AB ． 由此得出下面的定理：定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （三）反证法我们知道：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；但是小明提出了一个结论：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”，你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？如图，在△ABC 中，如果∠B ≠∠C ，那么AB ≠ACABCABDCCB A小明是这样想的：假设AB =AC ， 那么根据“等角对等边” 得∠B =∠C ，与已知条件是∠B ≠∠C 相矛盾 因此假设不成立，原命题成立，即AB ≠AC ．这种先假设命题结论不成立，然后推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立；这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity )． 三、典例精讲例1 等腰三角形的底角是15°，那么腰上的高是腰长的一半． 已知：如图，△ABC ，AB =AC ，∠B =15°，CD 是腰AB 上的高． 求证：CD =12AB ．分析：观察图形可以发现在Rt △ADC 中，∠DAC 是△ABC 的一个外角，所以∠DAC =2×15°=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD ．证明：∵∠ABC =∠ACB =15°，∴∠DAC =∠ABC +∠ACB =15°+15°=30°． ∴CD =12AC (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．又∵AB =AC ， ∴CD =12AB ． 设计意图：巩固新知，在解答过程中，引导学生分析解决问题． 例2．已知：如图，AB =DC ，BD =CA ，BD 与CA 相交于点E ． 求证：△AED 是等腰三角形．DCBA证明：∵AB =DC ，BD =CA ，AD =DA ， ∴△ABD ≌△DCA (SSS )．∴∠ADB ＝∠DAC （全等三角形的对应角相等）． ∴AE =DE (等角对等边) ． ∴△AED 是等腰三角形．设计意图：本题综合应用了全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．例3．如果a 1，a 2，a 3，a 4，a 5都是正数，且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1，那么，这五个数中至少有一个大于或等于15．证明:假设这五个数中没有一个大于或等于15，即都小于15，那么这五个数的和a 1+a 2+a 3+a 4+a 5就小于1． 这与已知这五个数的和a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1相矛盾． 因此，假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于15成立． 四、课堂练习1．下列四个说法中，不正确的有（ ）． ①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有两个角等于60°的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．等边三角形的对称轴有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 3．等边三角形中，高、中线、角平分线的线段共有（ ）． A ．3条 B ．6条 C ．9条 D ．7条EDCBA4．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设．5.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角答案：1．B；2．C；3．A．4．三角形三个角都小于60°5.解：已知：△ABC．求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A=∠B=90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．设计意图：通过练习解题实践，锻炼学生探索与发现问题的能力．五、课堂小结1．等边三角形的性质：三条边都相等；三个角都相等，且都为60°；三线合一；是轴对称图形，有三条对称轴．2．等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．在判定三角形是等边三角形时，（1）若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；（2）若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60．3．反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解等边三角形的性质和判定，综合运用等边三角形的性质和判定解决问题．六、布置作业1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，CD AD 2=，则∠DAB 的度数为（ ）A ．︒60B ．︒45C ．︒30D ．︒152．如图，已知，ABC △是周长为6cm 的等边三角形，BD是中线，且BD =，E 是BC 延长线上的一点，CE CD =，则△BDE 的周长为（ ）A ．32B ．323+C ．326+ D．3-3．如图，已知：在直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，D ，E 是边AB 上的点，并且AC AD =，BC BE =，则=∠ECD ____________．4．如图，已知，在△ABC 中，AC AB =，︒=∠120BAC ，P 为BC 边的中点，AC PD ⊥． 求证：AD CD 3=．5． 用反证法证明:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 答案：1．D ． 2．B ． 3．45︒．4．证明：连接AP ，则易知︒=∠30C ，EDABC∴AC AP 21=， 同理，由已知条件易知AP AD 21=， ∴有AC AD 41=，即AD AC 4=． 因此AD AC CD -=AD AD -=4AD 3=．5．证明：假设∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，且都大于60°， 则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∠C ＞60°， ∴∠A +∠B +∠C ＞180°；这与三角形的内角和是180°矛盾． ∴假设不成立．∴在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°． 七、课堂检测设计1．如图，在△ABC 中，D ，E 在BC 上，且BD ＝DE ＝AD ＝AE ＝EC ，则∠BAC 的度数是（ ）．A ．30°B ．45°C ．120°D ．15°2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝6 cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）．A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm3．等边△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（ ）． A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°4．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F ，则∠AFE ＝D E CB ANFMECBA______．5．如图，已知：在ABC △中，︒=∠90BAC ，AB AC AD BC =⊥，于D ，BE 是角平分线，交AC 于E ，交AD 于G ，BC EF ⊥于F ．求证：AG CF =6．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角” 答案：1．C ． 2．C ． 3．C ． 4．60°． 5．证明：由已知条件易得：︒=∠+∠=∠5.6721BAD ABC AGE ， ︒=∠+∠=∠5.6721ABC C AEB ．∴ AE AG =．∵∠EFC ＝90°，∠C ＝45°， ∴EF ＝CF ．且可证得ABE FBE △≌△， ∴FC AG EF AE ===． 6． 已知：△ABC求证：∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是钝角． 证明：假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是钝角， 不妨设∠A 、∠B 为钝角，∴∠A +∠B ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确．。