24.4相似三角形的判定(4)
上海市静安区实验中学九年级上学期沪教版五四制第二十四章24.4相似三角形的判定
EAB C DCDA BGA B CDFDEB CABED§24.4（1）相似三角形的判定1、已知一个三角形内角分别为︒︒70,30，另一个三角形内角分别为︒︒70,80，则这两个三角形…… ( )(A)一定相似 (B) 不一定相似 (C) 一定不相似 (D) 不能确定 2、如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC,图中相似三角形共有…… ( ) (A)1对 (B) 2对 (C) 3对 (D) 4对3、如图(1)，△ABC 中，DG 、DF 、EG 分别平行于BC 、AC 、AB ，图中与△ADG 相似的三角形共有 个4、如图(2)，△ABC 中，D 在AB 上，若∠ACD=∠B,AD=4,AB=6,则AC=5、如图(3),E 是□ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ，图中 对相似三角形。
图（1） 图（2） 图（3）6、如图，矩形ABCD 中，BP⊥PQ，(1)求证: △ABP ∽△DPQ; (2)写出对应边成比例的式子.7、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且∠ADE=∠B,若AE=2,BE=3,AD=3,求CD 的长。
§24.4（2）相似三角形的判定A BCD EABCPABCDE1、下列能判定△ABC 和△DEF 相似的是（ ） （A ）∠A=40°，∠B =∠E=58°，∠D=82°；（B ）∠A=∠E ，AB DFBC EF=； （C ）∠A=∠B ，∠D =∠E ； （D ）AB=BC=DE=EF. 2、如图，AD 和BE 分别是三角形的高，则图中相似三角形有（ ） （A ）4对； （B ）5对； （C ）6对； （D ）7对. 3、如图，点P 是△ABC 边AB 上一点（AB>AC ），下列条件不一定能 使△AC P ∽△ABC 的是（ ） （A ）AC AP AB AC =； （B ）PC ACBC AB=； （C ）∠A CP =∠B ； （D ）∠A PC =∠A CB. 4、下列说法中，正确的是（ ）①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等 的两个直角三角形相似；③有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似. （A ）①，②；（B ）②，③；（C ）③，④；（D ）①，④.第2题图 第3题图 第5题图5、如图，在△ABC 中，DE∥BC，13AD BD =，则△ABC∽ ，其相似比为 . 6、如图，一张长8cm ，宽6cm 的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A 、C 重合，求折痕EF 的长.OADFO7、如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明.§24.4 （3）相似三角形的判定1、在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）（A）AD AEBD EC=；（B）∠ADE=∠ACB；（C）AE﹒AC=AB﹒AD；（D）AD DE AB BC=.2、已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（）（A）2ac；（B）2ba；（C）a bc；（D）2bac.3、下列各组图形有可能不相似的是（）（A）各有一个角是45°的两个等腰三角形；（B）各有一个角是60°的两个等腰三角形；（C）各有一个角是105°的两个等腰三角形；（D）两个等腰直角三角形.4、点D在△ABC的边AB上，且AC2=AD﹒AB，则△ABC∽△ACD，理由是 .5、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，已知AB=6，AC=9，BC=12，AD=3，AE=2，那么DE= .6、在△ABC中，D为AB上一点，且AD=1，AB=4，AC=7，若AC上有一点E，且△ADE 与原三角形相似，则AE= .7、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==，求证：△ABD∽△ACE.AB C EDABCDEAB CDE§24.4 （4）相似三角形的判定1、RT △ABC，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，下列等式成立的是（ ） （A ）AD 2=AB ﹒AC ； （B ）AC 2=AB ﹒AD ； （C ）AB ﹒AC=BD ﹒DC ； （D ）AB ﹒CD=BD ﹒AC.2、在RT △ABC 和RT △DEF 中，∠C =∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是（ ）①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12， DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15.（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个.3、点P 是RT △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样的直线共有 条.4、如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥DC ，DC=6，AD=8， AC ⊥BC ，则AB= .5、如图2，在矩形ABCD 中，AB=2，CB=1，E 是DC 上一点，∠DAE= ∠BAC ，则EC 的长为 .6、如图，AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BD 2=AB ﹒BC.求证：∠ABD=∠DBC.7、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上的一点，F 是BC 的延长线上的一点，且CE=CF ，BE 的延长线交DF 于点G ，求证：△B GF ∽△DCF.§24.4 （5）相似三角形的判定1、将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（ ）AB CD图1ABCDE图2A B CDABCD EFG（A ）2:1； （B ）：1； （C ）3:1； （D ）：1.2、下列命题中，假命题是（ ）（A ）正方形都相似； （B ）对角线和一边对应成比例的矩形相似； （C ）等腰直角三角形都相似； （D ）底角为60°的两个等腰梯形相似. 3、在△ABC 中，D 为AB 上一点，过点D 作一条直线截△ABC，使截得 的三角形与△ABC 相似，这样的直线可以作（ ）（A ）2条； （B ）3条； （C ）4条； （D ）5条. 4、如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，则= .5、如图2，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，BA=12cm ，AD 、BE 是两条中线，F 为其交点，那么CF= cm.6、如图3，D 为AB 上一点，且AD=2BD ，∠ACD=∠B ，那么= .7、如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，过点D 作对角线AC 的垂线，交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CD 是CF 和CB 的比例中项.8、 如图，DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线，交BC 及AC 的延长线于点E 、F ，已知CD=6，DE=4，求DF 的长.§24.4（1）相似三角形的判定 1.答案：AA BCDE图1ABCDFE图2ABCD 图3ABCDE F解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△ADE∽△ACD∽△ABC3.答案：5解析：图中所有其他的三角形都与△ADG相似4.答案：解析：AC2=AD×AB=24，AC=5.答案：3解析：△AEF∽△FCD∽△EBC6.答案：（1）证明过程如解析（2）AP AB BP== DQ PD PQ解析：（1）∵矩形ABCD，BP⊥PQ∴∠A=∠D=∠BPQ=90°∴∠ABP+∠APB =90°，∠DPQ+∠APB =90 ∴∠ABP=∠DPQ∴△ABP∽△DPQ（2）AP AB BP== DQ PD PQ7.答案：CD的长为3解析：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC∴AE AD= AC AB∴23= AC5∴AC=10 3∴CD=1 3§24.4（2）相似三角形的判定1.答案：A解析：两个内角对应相等的两个三角形相似2.答案：C解析：△AOE∽△BOD∽△ACD∽△BCE3.答案：B解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而B不是夹角相等4.答案：B解析：①必须是夹角，④必须是第三边的平行线5.答案：△A DE ；4解析：∵13AD BD =，∴1A 4AD B =6.答案：EF 的长为152解析：联结CF ∵翻折 ∴AF=CF设AF=x ，则DF=8-x2226(8)x x +-=254x =∵OC=5 ∴OF=154可证OE=OF ∴EF=1527.答案：△ADE ∽△BDA解析：∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE∴，BD=2CD ∴ED AD AD BD == ∵∠ADB=∠ADB ∴△ADE ∽△BDA§24.4 （3）相似三角形的判定1.答案：D解析：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，而D不是夹角相等2.答案：B解析：CD AC AC BC=3.答案：A解析：45°有可能是顶角，也有可能是底角4.答案：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解析：AD ACAC AB=且∠A=∠A5.答案：DE=4解析：∵AD ACAC AB=13=，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB∴13 ED BC=∴DE=46.答案：74AE=或47AE=解析：分类讨论i.AE ADAC AB=，74AE=ii .AE ADAB AC=，47AE=7.答案：证明过程如解析解析：∵AB BC AC AD DE AE==∴△ADE∽△ABC∴∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC∵AB AD AC AE∴△ABD∽△ACE§24.4 （4）相似三角形的判定1.答案：B解析：射影定理2.答案：C解析：①③④是正确的，②没有边对应成比例3.答案：4解析：A字型或斜交型各2个4.答案：50 3解析：DC AC=AC AB，610=10AB，50AB=35.答案：3 2解析：ED AD=BC AB，ED1=12，1DE=2，3CE=26.答案：证明如解析解析：∵AB⊥AD，BD⊥DC∴△ABD和△DBC都是Rt△∵BD2=AB﹒BC∴AB BD= BD BC∴Rt△ABD∽Rt△DBC ∴∠ABD=∠DBC7.答案：证明如解析解析：∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90°，DC=BC∵CE=CF∴△DCF ≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF ＋∠F=90°∴∠CBE ＋∠F=90°∴∠BGF=90°=∠DCF∴△B GF ∽△DCF§24.4 （5）相似三角形的判定1.答案：B解析：设矩形长2a ，宽b ，则b =b 2a a ，=b a ，2b 1a =2.答案：B解析：B 没说清楚一边是矩形的长还是宽3.答案：C解析：A 字型或斜交型各2个4.答案：=AB AD AE AC解析：三角形一边的平行线性质定理推论5.答案：4解析：AB 上的中线长为6cm ，因为点F 是重心，所以CF 长为2643⨯=cm6.答案：3解析：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A∴△ACD ∽△ACB ∴=BC DC AD AC AC AB= ∴2AC AD AB =⋅ 223AC AB AB =⋅ 2223AC AB =AC AB =∴=BC DC 37.答案：证明如解析解析：∵∠ACD= ∠ACD ，∠DEC=∠CDA∴△DEC ∽△CDA∴2CD CE AC =⋅同理可得△FEC ∽△CBA ∴=BC CE CF AC∴CF CB CE AC ⋅=⋅∴2CD CF CB =⋅∴CD 是CF 和CB 的比例中项8.答案：9解析：∵DF 为RT △ABC 斜边AB 的中垂线∴∠BDE =90°，6AD BD CD ===∵DE=4∴BE =∵∠ACB= ∠BDE ，∠B=∠B∴△ACB ∽△BDE ∴=AC DE BE AB∴2413AC =∴3613BC =同理可得△ADF ∽△CBA∴=AC AD DFBC∴DF=9A B C D E F。
24.4(5)相似三角形的判定
相似三角形与全等三角形判定方法的联 系
全等的 判定
SAS
SSS
AAS(ASA) 直角三角形
相似的 两边成 三边对 判定 比例夹 应成
角相等
两角相等 一直角边与 斜边 比例 对应成比例
4、相似三角形的判定定理的作用：
①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段成比例； ③间接地为计算线段的长度及角的大小创造 条件.
5、判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形 平行型：如图1 ①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平 行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个 型即对顶角对的边平行， 三角形相似； 三角形相似； 相交线型：如图2 公共角对的边不平行， ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行， 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交. 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（ 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或 对顶角）的两边成比例， 对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相 似.
1、
M A1
4、如图，在△ABC中，AD、 BE分别是BC、AC上的高，AD、 BE相交于H，则图中相似的三角形 共有( )对
A.3
B.4
C.5
D.6
练习5如图，D是△ABC一边BC上的 一点，△ABC∽△DBA的条件是( )
练习6 、已知过平行四边形ABCD 的顶点C作一直线CF交BD于点E， 交DA的延长线于点F，交AB于点M. 求证： 2 = EF • EM EC
D E A M F B C
课堂小结 1.关于三角形的判定方法 2.判定定理的适用范围 3.相似三角形与全等三角形判定方 法的联系 4、相似三角形的判定定理的作用 5、三角形相似的基本图形
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似判定定理
相似判定定理
相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
沪教版数学九年级上册24.4《相似三角形的判定》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.4《相似三角形的判定》（第1课时）教学设计一. 教材分析《相似三角形的判定》是沪教版数学九年级上册第24章第4节的内容，本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的性质、三角形的判定等知识的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是引导学生探究相似三角形的判定方法，让学生通过观察、操作、猜想、证明等过程，体会数学的转化思想，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。
但是，学生对相似三角形的判定方法还没有接触过，对于如何证明两个三角形相似还有一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生观察、操作、猜想、证明，帮助学生理解和掌握相似三角形的判定方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用相似三角形的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在探究过程中体验数学的转化思想，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 教学重难点教学重点：相似三角形的判定方法。
教学难点：如何证明两个三角形相似。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法、讲授法等教学方法，引导学生观察、操作、猜想、证明，从而掌握相似三角形的判定方法。
六. 教学准备准备一些三角形模型、多媒体教学设备等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些三角形模型，让学生观察并思考：这些三角形有什么特点？你能找出它们之间的联系吗？从而引导学生进入本节课的主题——相似三角形的判定。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示一些相似三角形的图片，让学生观察并回答问题：这些三角形为什么相似？你是如何判断的？引导学生总结出相似三角形的判定方法。
3.操练（10分钟）教师提出一些判断相似三角形的问题，让学生分组进行讨论、操作、证明。
相似三角形的判定4
相似三角形的判定方法有那些？
方法1：运用定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：运用平行三角形一边的直线；
方法3：运用三边的比对应相 等 方； 法4：运用两边对应成比例且夹角相等；
新授
已知： 如图，在△ABC和△A’B’C’中， ∠A=∠A’，∠B=∠B’。 求证：△ABC∽△A’B’C’。
A’
A
D
E
B
C B’
C’
归纳
相似三角形的判定定理3：
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的两个角对应相等，那么这 两个三角形相似。
范例
例1、已知：如图，在△ABC中，D是
AB上一点，∠ACD=∠B。
求证：AC2=AD·AB。
A
D
B
C
巩固
1、如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的 高，△ACD和△CBD都和△ABC相似 吗？证明你的结论。
A
D
OP B
C
巩固 4、如图，已知△ADE的顶点D在△ABC 的边BC上，∠BAD=∠CAE=∠CDE。 求证：△ABC∽△ADE。
A
E
BD
C
巩固
5、已知：如图，直角梯形ABCD中， DC∥AB，BC⊥AB，BD⊥AD，且BD =3，CD=2。求AB的长。
D
C
A
B
• 7、已知：如图，△ABC的高AD、BE交于 点F。
• 求证：A。F EF
BF FD
• 8、已知：如图，BE是△ABC的外接圆O的 直径，CD是△ABC的高。
• （1）求证：AC·BC=BE·CD；
• （2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的 直径BE的长。
市北资优九年级分册 第24章 24.4 相似三角形+林经武
24.4 相似三角形的判定在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形．我们可以依据相似多边形的判定方法，给出相似三角形的定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图24.4.1所示的两个三角形中，C'B图24.4.1∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB BC CAA B B C C A ==''''''． 即△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，读作“△ABC 相似于△A ′B ′C ′”． 如果记AB BC CAk A B B C C A===''''''，那么这个比值k 就表示这两个相似三角形的相似比．根据相似三角形的定义，我们可以得出：相似三角形的传递性 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等．通过相似三角形的定义来判定两个三角形是否相似并不方便，我们能否找到更为简捷的判定相似三角形的方法呢？在上一节学习比例线段时，我们知道三角形一边的平行线性质定理的推论，即平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．此时截得的三角形的三个角也与原三角形的三个角对应相等，因此这两个三角形是相似三角形．于是，我们得到：相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一定对应相等．那么，在这种情况下，这两个三角形的边对应成比例吗？如图24.4.2，在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，你能证明DE DF EFAB AC BC==吗？EBC图24.4.2可以过点A 在射线AB 上截取AE ′＝DE ，过点E ′做E ′F ′∥BC ，则可以证明△AE ′F ′∽△DEF ．又根据E ′F ′∥BC ，AE AF E F AB AC BC ''''==，因此DE DF EFAB AC BC==．因此，如果两个三角形有两对角分别对应相等，不仅第三对角也一定对应相等，这两个三角形的三条边也对应成比例．于是，我们得到：相似三角形的判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1已知：如图24.4.3，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点E、F分别是AB、BC的中点，EF 与BD相交于点M．（1）求证：△EDM∽△FBM；（2）若DB＝6，求BM．A B图24.4.3证明（1）∵点E是AB的中点，∴AB＝2EB．∵AB＝2CD，∴CD＝EB．又∵AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE．∴△EDM∽△EBM（相似三角形的预备定理）．解（2）∵△EDM∽△EBM，∴DM DEBM BF（相似三角形的对应边成比例）．∵点F是BC的中点，∴DE＝BC＝2BF．∴DM＝2BM．∴BM＝13DB＝2．例2已知：如图24.4.4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．B C图24.4.4求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG·DF＝DB·EF．分析（1）要证明△DEF∽△BDE，已经有∠EDF＝∠ABE，再证一对角相等即可．又利用等腰三角形及DE∥BC，则有∠BDE＝∠DEF，即得到△DEF∽△BDE．（2）要证明等积式a·b＝c·d，可以通过证明比例式a dc b=，或通过a·b＝m·n，c·d＝m·n来得到，本题可从后者入手证明．证明（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°．∴∠BDE＝∠CED．∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE（两角对应相等，两三角形相似）．（2）由△DEF∽△BDE，得DB DEDE EF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DB·EF．由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE（相似三角形的对应角相等）．∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF（两角对应相等，两三角形相似）．∴DG DEDE DF=（相似三角形的对应边成比例）．∴DE2＝DG·DF．∴DG·DF＝DB·EF．练习24.4（1）1．如图，在△ABC中，如果EF∥AB，DE∥BC．那么你能找出哪几对相似三角形？2．如图，∠1＝∠2＝∠3，那么图中相似的三角形有哪几对？B3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上一点，联结BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．求证：△ABF∽△COE．4．已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．求证：FB FDFD FC．FEC B5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC＝∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．（1）求证：BE·CD＝BD·BC；（2）设AD＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．AC在全等三角形的判定中，有“边角边”的判定方法．那么，在相似三角形中，如果两边对应比成比例，且夹角相等，是否能得到这两个三角形相似呢？如图24.4.5，在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，DE DFAB AC=，你能证明△ABC∽△DEF吗？FEB C图24.4.5可以过点A在射线AB上截取AE′＝DE，过点E′作E′F′∥BC，则AE AFAB AC''=．又根据DE DFAB AC=且AE′＝DE，则AF′＝DF．于是△AE′F′≌△DEF．显然△ABC∽△AE′F′，因此△ABC∽△DEF．于是，我们又得到：相似三角形的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例3已知：如图24.4.6，在△ABC中，AB AC＝3，D是边AC上一点，且AD∶DC＝1∶2，联结BD．。
相似三角形的判定
相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是非常重要的，它们的相似性质可以帮助我们解决许多几何问题。
本文将介绍相似三角形的判定方法，涵盖三个常用的相似性条件。
一、边比例相等法边比例相等法是最简单且常用的相似三角形判定方法。
根据边比例相等的性质，如果两个三角形的各边长度成比例，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应边的比值相等，即AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么它们就是相似的。
二、角度相等法角度相等法是判定相似三角形的另一种常用方法。
根据角度相等的性质，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，对应角度的度数相等，即∠A =∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么它们就是相似的。
三、边角对应相等法边角对应相等法是一种综合利用边长和角度信息的相似三角形判定方法。
根据边角对应相等的性质，如果两个三角形的一个角度和与其对应的两条边的比值相等，则它们是相似的。
具体来说，如果在两个三角形ABC和DEF中，存在一个角度相等，且它与两个对应边的比值相等，即∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF 或 AB/DE = BC/EF 或 AC/DF = BC/EF，那么它们就是相似的。
相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。
例如，我们可以利用相似三角形的性质测量无法直接测量的高度，计算远离的距离以及解决一些实际建筑和工程问题。
在解决这些问题时，我们可以利用上述相似三角形判定方法来确定是否存在相似性。
然而，在应用相似三角形判定方法时，我们需要注意以下几点：1. 注意约定符号：在比较边长或角度大小时，确保使用相同的单位，并始终遵循约定的符号规范。
2. 角度的对应性：在进行边角对应相等法判定时，确保对应的边与对应的角度匹配，以免出现误判。
3. 正确标记相似标志：在证明或应用相似三角形时，可以使用符号“∼”来表示相似，例如ΔABC ∼ΔDEF。
相似三角形的定义和判定方法
相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。
1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。
具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。
总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。
相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。
通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。
相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。
以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。
相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。
上海初中数学九年级---24.4(4)(5)相似三角形的判定
3.如图，直角梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥DC(DC<AB)，DC＝a，AD＝b，AC⊥BC，则AB＝__________(用a、b的的代数式表示)．
（第1题图)（第2题图)（第3题图)
4.在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，如果AD＝2，DB＝3，EC＝4，则AE＝__________时， △ADE与△ABC相似．
四、拓展题：
12.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G.求证：
(1) ＝ ；
(2)FD⊥DG.
24.4 相似三角形的判定（5）
一、填空题：
1.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，则可得△__________∽△__________，其中对应边成比例的比例式是__________＝__________＝__________.
(1)求证：△ABE∽△ECF
(2)当点E在什么位置时，△ABE与△AEF相似，并证明．
24.4相似三角形的判定（4）
1.42. 或 3.34.95.②，③，④6.B7.D8.C9.略10.略11.略
24.4相似三角形的判定（5）
1.ABD；EBC； ； ； 2.13. 4. 或 －25.456.A7.D8.略9.CG=210.略11.略
二、 选择题：
6.下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是( )
A. ∠D＝40°，∠E＝80°，∠A＝60°，∠B＝80°
B. ∠A＝∠D，AB∶AC＝DF∶EF
C. ∠B＝∠E＝90°，BC∶EF＝AC∶DF
D. ∠B＝∠E，∠C＝∠F
24.4(4)相似三角形的判定
B
C
B1
C1
直角三角形相似的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似．
简述为：
斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
AB BC 符号语言： C C1 90 , A1 B1 B1C1
0
Rt ABC ∽ RtA1 B1C1
24.4（4）相似三角形的判定
1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？
（5种） 2．叙述预备定理、判定定理1、2、3
A A1
D E A
B
C
B1
C1
B
C
问题4：如图在 Rt ABC, Rt A1B1C1 中，如果 相似吗？
AB BC C C1 90 , A1 B1 B1C1
0
，那么 Rt ABC, Rt A1B1C1
例题4：已知如图，在四边形ABCD中， BAC ADC 900 , AD a, BC b, AC ab 求证：（1）ABC ∽ DCA
（2）DC BC
A D
B
C
练习：在 ABC 中，A 90 , AC CE CD BC
0
求证： ED BC
B
D
A
E
C
练习：已知，在 ABC ， C 90 , CD AB ，
0
E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F. 求证：AD CF CD DF
B D E
F
C
A
24.4(4)相似三角形的判定
卢教院附校 注：教具安排主要指电子课件、实验器具，演示器具等。
推进二期课改 实施素质教育 卢教院附校教师教案
九 年级
*教材题目 *课时 教材 分析 40 分钟 教学 目标 重点 难点 24.4（4）用 H L 判定两个三角形相似 *课次 掌握用 H L 判定两个三角形相似的题目特征与解题方法 用 H L 判定两个三角形相似的解题方法及两次三角形相似步骤 两次三角形相似的解法思路培养
（三）学生操作：仿举例格式，练习书写 P65，N1 （四）小结：注意 H L 判定格式及两次三角形相似的解法 作业 布置 必做题 练习册 24.4（4） （课内外） 选做题 课课练 （课内外） 课后 反思 1、对于 H L 判定格式的书写需多指点 2、两次三角形相似的解法思路培养，基础不好学生会有困难 年 日 月
பைடு நூலகம்
A AB AD AC A ，求证△ABC∽△ AB C AB AD AC C B 证明 AD⊥BC， AD ⊥ BC ， ∠ADB=∠ AD B =90 D B D C AB AD 又 Rt△ABD∽Rt△ AB D ∠B=∠ B , AB AD 同理 Rt△ACD∽Rt△ AC D ∠C=∠ C △ABC∽△ AB C
姓名
学科 数学
*教学过程： （一）引入 H L 判定定理（判定定理 4） 直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 在 Rt△ABC 与 Rt△ A1B1C1 中，∠C=∠ C1 =90°
AB BC ，求证△ABC∽△ A1B1C1 A1 B1 B1C1
证明 设
AB BC 2 2 2 = k,则∠C=90° CA AB BC ，又 AB kA 1B 1 , BC kB 1C1 A1 B1 B1C1 AB BC CA =k k， 而 A1 B1 B1C1 C1 A1
沪教版九年级上册数学 24.4 相似三角形的判定
【析】注意从对应点所给于的信息。
3、已知AB⊥DB, CD⊥DB,AB=6,CD=4，BD=14，在DB上是否存在点P，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求出DP的长，如果不存在，说明理由
备选例题
1、已知 与 不相似，其中∠C、∠F为直角，能否分别将这两个三角形分割成两个小三角形，使得 分成的两个三角形与 所分成的两个三角形相似？若能，请给出一种分割方案，若不能，请说明理由
3、已知等边三角形ABC，D是AC上一点，BD的垂直平分线交AB于E点，交BC于F点
（1）当点D在边AC上移动时，△DEF中哪一个角的大小始终保持不变？并求出其度数
（2）当点D在边AC上移动时，△ADE与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程
（3）在（2）的基础上，当D移动到什么位置时，这两三角形相似比为1
自我测试
一、选择
1.如图，AD∥BC，AB∥CE，则图中相似的三角形共有( )对。
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图，△ABC中， 于点D， 于E，则与Rt△CDE相似的直角三角形共有( )个。
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图，Rt△ABC中， 平分 若BC=6，AC=8，则CD=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
（3）如果要在这个直角三角形直板上接触一个面积最大的正方形，那么（a）中的正方形DEFG是否符合要求？为什么？
4.下列命题中，说法正确的个数是( )
①有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
③两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
④两边对应成比例的两三角形相似
《24.4相似三角形的判定》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《相似三角形的判定》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在初中数学课程中对于相似三角形判定的理解，能够熟练运用相关定理和性质，通过实际操作和练习，提升学生对相似三角形问题的分析和解决能力。
二、作业内容（一）理论复习学生需回顾相似三角形的定义、性质及判定定理，如AA相似、SSS相似等，并尝试通过例题理解各种判定方法的应用场景。
（二）练习题设计1. 基础题：选择、填空题，涉及相似三角形的概念及基本判定方法。
2. 综合题：设计实际问题，要求学生通过画图、计算、推理等步骤，判断三角形的相似性。
3. 拓展题：提供复杂图形，要求学生运用所学知识，分析并判定多个三角形之间的相似关系。
（三）实践操作学生需自行寻找或绘制实际生活中的相似三角形实例，如地图上的建筑物与实地建筑物的关系等，并尝试用所学知识解释其相似性。
三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行总结相似三角形的判定方法，并尝试举一反三，通过典型例题加深理解。
2. 练习题部分：要求学生在规定时间内独立完成，综合题和拓展题需有详细的解题步骤和思路说明。
3. 实践操作部分：学生需拍摄或绘制实例的照片或草图，附在作业中，并简要说明其相似性的判定过程。
4. 作业需整洁、字迹清晰，解答过程逻辑严谨，表达准确。
四、作业评价1. 教师根据学生完成情况，对理论复习部分进行批改，并给出相应的指导建议。
2. 对练习题部分进行评分，重点关注学生的解题思路和步骤是否正确，表达是否清晰。
3. 对实践操作部分进行评价，关注学生是否能从实际生活中找到相似三角形的例子，并正确分析其相似性。
五、作业反馈1. 教师将批改后的作业发回给学生，让学生了解自己的不足之处。
2. 对于共性问题，教师将在课堂上进行讲解，帮助学生解决疑惑。
3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和思路。
4. 定期收集学生的作业反馈，了解学生的学习需求和困难，以便调整教学策略和作业设计。
通过以上作业设计旨在通过多维度、多层次的练习，帮助学生全面掌握相似三角形的判定方法，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质相似三角形是几何学中的一个重要概念，它们有着特殊的形状和性质。
在本文中，我们将探讨相似三角形的判定方法以及它们所具备的性质。
一、相似三角形的判定方法1. AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的角度对应相等来判断它们是否相似。
具体而言，如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么它们就是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以得出△ABC∼△DEF，即它们是相似的。
2. SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的边与夹角的对应关系来判断它们是否相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边成比例，并且夹角对应相等，那么它们就是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF，∠A = ∠D，那么可以得出△ABC∼△DEF，即它们是相似的。
3. SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的对应边成比例来判断它们是否相似。
具体而言，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们就是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么可以得出△ABC∼△DEF，即它们是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质如果两个三角形相似，那么它们的对应角一定相等。
换句话说，相似三角形的三个对应角度是相等的。
2. 对应边成比例性质如果两个三角形相似，那么它们的对应边长度成比例。
换句话说，相似三角形的三个对应边长之比是相等的。
3. 高度成比例性质如果两个三角形相似，那么它们的高度也是成比例的。
具体而言，相似三角形的任意两条高的比值等于对应边长的比值。
4. 面积成比例性质如果两个三角形相似，那么它们的面积也是成比例的。
具体而言，相似三角形的面积比等于对应边长的比值的平方。
5. 勾股定理成立性质相似三角形中，如果它们的一个角是直角，那么其他两个角也分别是直角。
换句话说，如果一个直角三角形与另一个三角形相似，那么这两个三角形都是直角三角形。
24.4相似三角形的判定
求证：△OAD∽△OBC.
D A
O
B
C
例 3、已知如图，点 D 是△ABC 的边 AB 上的一点，且 AC2 AD • AB ,求证：△ACD∽△ABC.
A
D
C
B
猜想
3：在△ABC
与△
A1B1C1 中，如果
AB A1B1
BC B1C1
CA C1 A1
,那么△ABC
与△
A1B1C1 相似吗？为什么？
8．如图，在△ABC 中，CD，AE 是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D，E 是 AB 边上的三等分点，F，G 是 AC 边上的三等分点，•写出图中的相似 三角形，并求出对应的相似比．
6
2.相似三角形的等价关系： （1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定 （1）三角形相似的判定方法 ①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ③判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两 角对应相等，两三角形相似。 ④判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ⑤判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为 三边对应成比例，两三角形相似 课程引入：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§24．4相似三角形的判定（4）
学习目标
1、类比直角三角形全等（HL ）的判定探索直角三角形相似的特殊判定定理4；
2、掌握并运用这一判定定理解决有关问题；
3、进一步巩固三角形相似的判定定理1、2、3。
学习重点
熟练直角三角形判定定理4。
学习难点
了解判定定理4的证题方法与思路，并能灵活应用定理。
学习过程
一、学前准备
1、我们已学过的判定三角形相似的定理有： 。
2、在Rt ΔABC 与Rt ΔDEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由。
1）∠A ＝55°∠D ＝35°；
2) AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8；
3）AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8；
4）AB ＝10，AC ＝6，DE ＝15，EF ＝9；
二、探究活动
1、如图，在ABC Rt ∆和111C B A Rt ∆中，如果︒=∠=∠901C C 且
1
111C B BC
B A AB =
， 那么ABC Rt ∆和111C B A Rt ∆相似吗？
思路点拨：抓住已学判定方法，着手研究证明方法。
2、判定定理4：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
符号语言：
C
B
A
C 1
B 1 A 1
3、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADC BAC ，AD=a ，BC=b ，ab AC =， 求证：DC ⊥BC
4、已知：如图，在ABC Rt ∆和111C B A Rt ∆中，︒=∠=∠901A A ，BC AD ⊥，1111C B D A ⊥，
垂足分别为D 、D 1，且
1
111D A AD
B A AB =
求证：ABC ∆∽111C B A ∆
三、自我测验
1、如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，下列条件： 1）︒=∠+∠90DAC B 2）DAC B ∠=∠
3）
AB
AC AD CD = 4）BC BD AB ⋅=2
， 其中一定能判定ABC ∆是直角三角形的共有 （ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 、0个
2、在ABC ∆中，︒=∠90A ，BC CD CE AC ⋅=⋅ 求证：BC ED ⊥
E
D
C
B
A
_ D _ C _ B _ A A
B
C
D A 1 B 1
C 1
D 1
A
B
C
D
课课精练
一、选择题：
1、下列条件，不能判定△ABC 和△DEF 相似的是 （ ） A 、∠D ＝40°，∠E ＝80 o ，∠A ＝60 o ，∠B ＝80 o B 、∠A ＝∠D ，EF DF AC AB ::=
C 、∠B ＝∠E ＝90°，DF AC EF BC ::=
D 、∠B ＝∠
E ，∠C ＝∠
F ，
2、在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高，若∠A ＝60°，那么
BD
AD
的值是（ ） A 、
3
3
B 、3
C 、31
D 、无法确定
二、填空题： 3、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，又ED
⊥AB 于点D ，如果BC
AE )
()(=，那么△ ∽△ 。
4、如图，BC AD BAC ⊥︒=∠,90，垂足为点D ，DE//AC 。
则图中与△ABC 相似的三角形有 个。
5、如图，∠A ＝90°，BD ⊥CD ，BC AD BD ⋅=2
，若∠C ＝40°，则∠ADB
＝ 。
三、解答题：
6、已知，在ABC Rt ∆中，∠C ＝90°，点D 在BC 边上，且
AC
BC
DA AB = 求证：∠B ＝∠DAC
7、已知，在ABC ∆和111C B A ∆中，AB ＝AC ，A 1B 1＝A 1C 1，BD ⊥AC ，B 1D 1⊥A 1C 1，垂足
分别为D 、D 1，且1
111C B BC
D B BD =
求证：ABC ∆∽111C B A ∆
_ E
_ D
_ A
_ B
_ C
_ E _D _
C
_ B _
A
_ D
_ C
_ B _ A
A
C D
A
B
C D A 1 D 1
C 1
B 1
8、如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠A ＝90°，A D ＝2，B C ＝3，A B ＝7，点P 是边AB 上的一点，当P 在何处时，△APD 与△BPC 相似？
四、课外拓展：
1、已知，在ABC ∆中，AB CD C ⊥︒=∠,90，E 是BC 的中点，DE 交AC 的延长线于点F 。
求证：DF CD CF AD ⋅=⋅
2、如图，当BD 与a 、b 满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？
A D B
P C F E
D C B
A。