高数第一部分3_导数与微分的应用

⎛ 1+ y' ⎞ ⎛ 1+ y' ⎞ 2 两式联立 ⇒ (ξ − x0 ) = y ' ⎜ ( ⎟ ，η − y0 ) = ⎜ ⎟ ⎝ y ''0 ⎠ ⎝ y ''0 ⎠
2 2 0 2 0 2 0 2 2
y " > 0 ⇒ ξ = x0 −
2 y '0 ( 1 + y '0 )
y ''0
1+ y' η ， = y0 + y ''0
⎧ x = cos t + cos t (07年数二，分) 曲线 ⎨ 4 上对应 ⎩ y = 1 + sin t
2
于t =
π
4
点处的法线斜率为____
先求切线斜率 y 't −1 cos t = = k= x 't − sin t − 2 sin t cos t 1 + 2 ⇒t=
π
4
点处的法线斜率为1 + 2
2 0
平面曲线r = ( x , y( x ))的曲率公式：
κ=
y" ⎡1 + ( y ') ⎤ ⎣ ⎦
2 3/ 2
曲率半径： = R
1
κ
曲率圆：以R为半径，与曲线凹向相切的圆 曲率中心： 曲率圆的圆心
(12年数二，分) 曲线 y = x + x ( x < 0) 7
2
2 上曲率为 点的坐标为 2
注意：关于导数的符号与单调—— 导数在一个区间内的符号决定了该区间单调性； (注： 导数连续时，可由一点符号确定局部单调性)
导数在一点的符号不能决定在该点附近的单调性！
f ( x)在x0可导⎫ ⎬ ⇒ f '( x0 ) = 0 f ( x0 )极值 ⎭ 反之： '( x0 ) ≠ 0 ⇒ x0不是极值点 f 满足f '( x0 ) = 0的x0称为驻点， 未必是极值点！
二、数学一考研大纲
考试要求:
1．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 2．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调 性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其 应用． 3．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的 拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 4．了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率 和曲率半径．
（1） y = f ( x ) 在 [a , b]单调增加当且仅当在(a , b)内f ′( x ) ≥ 0； （2） y = f ( x ) 在 [a , b]单调减少当且仅当在(a , b)内f ′( x ) ≤ 0； （3） 如果在(a , b)内f ′( x ) > 0，那末函数 y = f ( x ) 在[a , b] 上 严格单调增加； (4) 如果在 (a , b )内 f ′( x ) < 0，那末函数 y = f ( x ) 在 [a , b] 上 严格单调减少.
注意： 由于 只知道f ( x )在 x = 1处可导， 因此不能对该式使用洛必达法则！
f (1 + x ) f (1 + sin x ) f (1 + sin x ) f '(1) = lim = lim = lim x →0 x→0 x→0 x sin x x f (1 − sin x ) 同理：lim = − f '(1) x→0 x
曲线 tan( x + y +
π
)=e
y
方程两边同时求导， ⇒ y '(0) = −2 ⇒ 切线方程为 y = −2 x
(04年数一，分) 4
曲线 y = ln x上与直线
x + y = 1垂直的切线方程为____
即求斜率为1的切线方程 1 ⇒ y ' = (ln x ) ' = = 1 ⇒ x = 1, y = 0 x ⇒ 切线方程为 y = x − 1
( 3 ) 如果当 x ∈ ( x0 − δ , x0 )及 x ∈ ( x0 , x0 + δ )时 , f ' ( x )
符号相同, 则 f ( x )在 x0处无极值 .
定理(第二充分条件) 设 f ( x )在 x 0处具有二阶导数 ,
且 f ( x0 ) = 0, f ( x0 ) ≠ 0, 那末
(95年数二，分) 8
如图，设曲线 L的方程
为 y = f ( x )， y '' > 0，又 MT， MP分别为 且 该曲线在点 M ( x0 , y0 )处的切线和法线， 已 知线段 MP的长度为
2 0 32
（1 + y ' ） (其中 y '0 = y ''0 f '( x0 ), y ''0 = f ''( x0 ))， 试推导出点 P (ξ ,η )的 坐标表达式
(∫
arctan x 0
e dt ' x = 0
−t2
)
⎛e =⎜ ⎜ 1 + x2 ⎝
− arctan 2 x
⎞ ⎟ =1 ⎟ ⎠ x=0
⇒ 切线方程为 y = x
由 f (0) = 0, f '(0) = 1 2 2 1 ⇒ f ( x ) = x + o( x ) ⇒ f ( ) = + o( ) n n n 2 1 ⎞ ⎛2 因此：lim nf ( ) = lim n ⎜ + o( ) ⎟ n→ ∞ n→ ∞ n n ⎠ ⎝n 1 ⎞ ⎛ = lim ⎜ 2 + no( )) ⎟ = 2 n →∞ n ⎠ ⎝
切线方程为 法线方程为
M
y
y = f ( x)
T
α
o
x0
x
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ). 1 y − y0 = − ( x − x0 ). f ′( x 0 )
⎧ x = x( t ) 参数曲线 ⎨ 在t = t0 对应切线方程为： ⎩ y = y( t ) x − x( t0 ) y − y( t0 ) = x '( t0 ) y '( t0 )
f (1 + sin x) − 3 f (1 − sin x) lim = 4 f '(1) 于是： x →0 x ⇒ f '(1) = 2 ⇒ f '(6) = 2, f (6) = f (1) = 0
⇒ 切线方程为y = 2( x − 6)
2、单调性与极值、最值问题
定理 设函数 y = f ( x )在 [a , b] 上连续，在 (a , b )内可导，则：
(08年数一，分) 曲线 sin( xy ) + ln( y − x ) = x 4 在点(0,1)处的切线方程为____
(0,1)在曲线上， 先求 y '(0)， 方程两边对 x求导： y '− 1 cos( xy )( y + xy ') + =1 y−x 代入 x = 0, y = 1， y '(0) = 1 得 ⇒ 曲线在点(0,1)处的切线方程为 y = x + 1
南京航空航天大学数学系
考研辅导班高等数学辅导课件 （微积分第一部分）
2012年7月
第三课：导数与微分的应用
一、内容概要
切线问题 单调性与极值、最值问题 凹凸函数的性质与判断 函数的渐近线与函数变化的整体分析
二、数学一考研大纲
考试内容:
微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函 数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分 曲 率的概念 曲率圆与曲率半径
极坐标曲线ρ = ρ (θ )， 相当于给定直角坐标系 ⎧ x = ρ (θ )cos θ 下参数方程 ⎨ ,在点( ρ (θ ),θ )处的 ⎩ y = ρ (θ )sin θ y 'θ 切线斜率为： k = y ' x = x 'θ
(11年数三，分) 4
4 在点(0,0)处的切线方程为____
(96年数一，分) 设 f ( x )有二阶连续导数， 3 f ''( x ) 且 f '(0) = 0, lim = 1，则 x→0 x （ A） f (0)是 f ( x )的极大值 （ B） f (0)是 f ( x )的极小值 （ C）（0, f (0)）是曲线 y = f ( x )的拐点 （ D） f (0)不是 f ( x )的极值点，( 0, f (0)) 也不是曲线 y = f ( x )的拐点
f '( x0 ) = 0 ⎫ 极小值点 ⎧ f "( x0 ) > 0： ⎬ ⇒ x0是极值点⎨ f "( x0 ) ≠ 0⎭ 极大值点 ⎩ f "( x0 ) < 0：
注意：函数的不可导点,也可能是函数的极值点.
求函数最值步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
' ''
( 1 ) 当 f '' ( x0 ) < 0时 , 函数 f ( x )在 x0处取得极大值; '' ( 2 ) 当 f ( x0 ) > 0时 , 函数 f ( x )在 x0处取得极小值 .
极小值点 ⎧由负变正： f '( x)在x0两侧变号 ⇒ x0是极值点⎨ 极大值点 ⎩由正变负：
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最大(或最小)值．