一维有限元法
第3章 有限元方法的一般步骤
3 F1 + lAγ 2 −3 0 0 u1 3 3 2 0 u2 ( 2 + 2 )lAγ EA − 3 3 + 2 − 2 = − 2 2 + 1 − 1 u3 ( 2 + 1 )lAγ l 0 −1 0 0 1 u4 2 2 1 lAγ 2
2 n 一维单元： u = a1 + a2 x + a3 x + ..... + an x 2 2 n 二维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y ..... + an x 2 2 2 三维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x + a6 y + a7 z
2、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 原则：1、在应力集中区域网格要细化； 2、网格边界尺寸比越近越好，即纵横比尽可能接近1；
3、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 材料，及外部条件发生突变处设置结点。 材料，及外部条件发生突变处设置结点。
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
一维有限元法
实习三、一维问题的有限元方法一）实习问题：设~1()u x e e u -=--令 将原问题的边界条件齐次化 二）算法描述：1，单元剖分(1,2,,)i i n e =L 2，i=1 ~~00A b == 3,计算数值积分：()()()()()()1,11,,1,1,,,,,i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a b b -----即得单元上的i i A b4，将i iA b 迭加到总的~~A b 中5，若i<=n,则i=i+1并转到底三步；否则继续下一步6，根据边界条件调整~~A b （掐头去尾），即得 A 和b7，解线性方程组Au=b,得u 从而的h u 三）matlab 程序：问题M 文件:function [y1]=f1(x,h)y1=h*(1/6*(-24*exp(x+h)*h-3*h^2*exp(1)*x+48*exp(x+h)-24*exp(x+h)*x-h^3*exp(1)+3*h^2*exp(-1)*x+h^3*exp(-1)+24*exp(x)*h*x-48*exp(x)-24*exp(x)*h+24*x*exp(x))/h^2);function [y2]=f2(x,h)y2=h*(1/6*(48*exp(x+h)*h-24*exp(x+h)*h^2-24*exp(x+h)*x*h-3*h^2*exp(1)*x+3*h^2*exp(-1)*x-2*h^3*exp(1)+2*h^3*exp(-1)+24*exp(x+h)*x-48*exp(x+h)-24*x*exp(x)+48*exp(x))/h^2);主M 文件：function []=yiweiyouxianyuan(n)%对x 的随机剖分及区间长度的计算l=abs(rand(1,n-1));for i=1:n-1for j=(i+1):n-1if l(i)>l(j)l2=l(i);l(i)=l(j);l(j)=l2;endendendfor i=1:n-1x(i+1)=l(i);endx(1)=0;x(n+1)=1;for i=1:nh(i)=x(i+1)-x(i);end%一次区间元法%A的求解for i=1:na(i,1)=1/h(i)+h(i)/3;a(i,2)=-1/h(i)+h(i)/6;a(i,3)=a(i,2);a(i,4)=a(i,1);endfor i=1:n-1A(i,i)=a(i,4)+a(i+1,1);endfor i=1:n-2A(i,i+1)=a(i+1,2);endfor i=2:n-1A(i,i-1)=a(i,3);end%b的求解for i=2:n+1b1(i,i-1)=f1(x(i-1),h(i-1));b1(i,i)=f2(x(i-1),h(i-1));endfor i=2:nb2(i)=b1(i,i)+b1(i+1,i);endfor i=1:n-1b(i)=b2(i+1);endu=inv(A)*b' ;for i=2:nun(i)=u(i-1);endun(1)=0;un(n+1)=0;%还原原始的u值uz=un'+x'*(exp(1)-exp(-1));uz%真解的求解for i=1:n+1u1(i)=exp(x(i))-exp(-x(i))+x(i)*x(i)*exp(x(i))-x(i)*exp(x(i)); endu1'%误差的计算for i=1:n+1e(i)=abs((uz(i)-u1(i))/u1(i)*100);ende'%作图subplot(1,2,1)plot(x,u1)xlabel('自变量x的范围');ylabel('函数值u的取值');title('真解的图象');gridsubplot(1,2,2)plot(x,uz)xlabel('自变量x的范围');ylabel('函数值u的取值');title('有限元法算得的近似解的图象');grid四）图形显示的计算结果：将区间随机分（利用rand函数）为20份的计算结果：图1：预测值与真实值的作图比较表1：预测值与真实值的数值比较真实值预测值误差（%）0 0 0.00000.0135 0.0135 0.07260.0336 0.0336 0.07250.1816 0.1815 0.06570.3492 0.3490 0.05150.4117 0.4115 0.04650.5460 0.5458 0.03770.6646 0.6644 0.03160.7315 0.7313 0.02870.8268 0.8266 0.02540.8753 0.8751 0.02400.8782 0.8780 0.02391.0941 1.0939 0.01811.3256 1.3254 0.01281.3551 1.3549 0.01221.5269 1.5268 0.00921.8253 1.8252 0.00501.9963 1.9963 0.00302.0204 2.0203 0.00272.1529 2.1529 0.00152.3504 2.3504 0.0000分析：从图1与表1中可以看出，预测值与真实值极其的接近，其误差最大值是0.0726%，所以，该有限元方法对此题的近似进度相当的高，可以作为求值的近似。
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
一维问题的有限元方法
(e) 1
x (e) x 1 ,N h h
（1-116）
二、局部和总体的插值函数
局部插值函数的特性为：
0
(e) N
1,
N 1
r
(e) N
1, ( zM ) NM (1-117)
(e) N
u
(1) 1
u
(1) 2
(1) 2
u1(2)
(1) 1
(2) u2 u1(3)
如果采用指标记号，就是：
z Z
( e) N
i
( e) Ni i
式中：(Ne) 叫做布尔矩阵，其特性是
，局部节点N与总体节点i相重合时
=
，不相重时
一、总体和局部的有限元 模式
• 用局部节点表示总体节点的公式为： e) ( e) Zi (N zN （1-113） 式中的 (Ne)是式（1-111）中 (Ne) 的转置。 (e) (e) 式（1-111）代入式（1-113）得：Zi N N Z j 由此 (Ne) (Ne) ij ，其中 ij 就是克劳耐士克 矩阵 ( e) e) ( e) 式（1-113）代入式（1-111）得： zN (Nei)(M z i M e) 同样： (Ne) (M MN 以单元1为例：
u1
1
u2
2
u3
3
u4
4
（b）总体插值函数和总体节点值
二、局部和总体的插值函数
如果采用二次插值函数，则 u (e) a1 a2 x a3 x2 为此，需要补充一个节点，一般取在单元中点，同 e) (e) 样有： u (e) (N uN ,( N 1,2,3)
x 其中： 1 1 3 x 2 h h x x 3 2 h h
计算结构力学有限元方法_一维结构
有限元法基本概念
有限元方法
有限元法的基本工作包括两大部分：
1. 单元分析：即探讨单元的力学特性。它包括选取单元的试 探函数、推导表征单元刚度或柔度特性的单元刚度，或者柔 度矩阵。
Ve
Se
∫ ∫ PVe
= Ve NTXdV，PSe
NTqdS 对应体力/面力的等价节点力
Se
令：Re = PVe + PSe + Pe
∑ ∑ = Π m 1UeT KeUe − m UeT Re
2 =e 1=e 1
由于整体序号和局部序号存在一一对应关系，将Ke和Re按结
构结点位移列阵的自由度数和排列顺序添零升阶，进行膨胀，
8
2
16
空间任意 六面体元
8
3
24
三角形环元
轴对称元
八节点 等参元
3
2
6
8
2
16
有限元通用方程
有限元方法
设作用某个单元各节点上的节点力和节点位移分别为：
Se = S1 S2 Sn T ； Ue U1 U2 Un T
构造单元的位移函数如下：
u = NUe
其中，u：单元内任一点的位移函数，Ue：单元的节点位移 列阵，N：形状函数。
Se
上式中，m：单元总数，X：作用在单元上的体力，q：作用
在单元上的分布面力，Se：单元的边界，Ve：单元的体积。 Pe：单元的节点外载荷列阵。
有限元方法
上式可以进一步写成：
∑ ∫ ∑ ∫ ∫ Π
一维有限元谱方法
一维有限元谱方法
一维有限元谱方法是数值分析中的一种重要方法，主要用于求解一维偏微分方程。
这种方法结合了有限元方法和谱方法的优点，具有高精度和高效性。
有限元方法是一种通过将连续的问题离散化，将复杂的问题简单化来求解偏微分方程的方法。
它将求解区域划分为一系列小的单元，每个单元的解通过插值函数来近似，然后通过求解线性方程组来得到整个求解区域的近似解。
谱方法是一种通过将偏微分方程转化为一系列本征值问题来求解的方法。
它将求解区域划分为一系列的正交基函数，这些基函数在物理上具有明确的物理意义，能够更好地描述物理现象。
然后通过求解本征值问题来得到偏微分方程的近似解。
一维有限元谱方法将有限元方法和谱方法结合起来，通过选取合适的基函数和插值函数，使得有限元方法和谱方法能够相互补充，达到更高的精度和更快的计算速度。
在一维有限元谱方法中，选取的基函数通常是正交多项式，如Legendre多项式或Chebyshev 多项式等。
这些多项式在区间内具有正交性，能够更好地描述物理现象。
插值函数通常选取为多项式插值函数，通过插值点的插值多项式来近似求解区域上的函数值。
一维有限元谱方法具有高精度和高效性，能够处理复杂的边界条件和奇异点等问题。
在实际应用中，它被广泛应用于求解一维偏微分方程，如热传导方程、波动方程等。
一维热传导方程的有限元
一维热传导方程的有限元
一维热传导方程是描述材料温度分布随时间变化的物理方程。
为了求解该方程，可以采用有限元方法。
有限元方法是一种数值计算方法，将连续的物理问题离散化为有限个小区间，然后在每个小区间上进行数值计算。
首先，将区间划分为有限个节点，并在每个节点上定义一个温度值。
然后，利用有限元法的基础原理，通过连续性和光滑性要求，在相邻节点之间建立适当的数学表达式，描述节点温度的变化。
在热传导方程中，节点之间的温度变化由导热通量决定。
根据热传导定律，传热通量与温度梯度成正比。
利用这个关系，可以建立节点之间的温度差和传热通量之间的关系。
针对一维问题，可以使用线性元素进行离散化。
具体来说，使用线性插值函数对节点之间的温度进行逼近。
通过对线性插值函数的要求，可以得到节点之间的传热通量表达式。
随后，将原始的热传导方程转化为节点温度的代数方程组。
通过将节点之间的传热通量相等，得到相应的代数关系，即能够获得节点温度的解。
最后，对代数方程组进行求解，求得节点温度的数值解。
通过数值解，可以得到材料内部各个位置的温度分布随时间的变化情况。
有限元方法在热传导方程求解中的应用，可以方便地处理复杂的几何形状和材料性质变化。
同时，通过合适的网格划分和数值算法选
择，可以获得较为准确和稳定的结果。
因此，有限元方法是求解一维热传导方程的重要数值方法之一。
一维有限元法
x − xi ui + e u j l
(1-5)
Ni =
xj − x l
e
Nj =
(
)
x − xi le
(1-7) (1-6)
将(1-5)、(1-6)和(1-7)式代入杆件轴向拉压的 几何方程可得：
dux u j − ui ⎛ dNi = e =⎜ εx = ⎜ dx dx l ⎝ dN j ⎞⎛ ui ⎞ ⎛ 1 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ − e dx ⎟⎜ u j ⎟ ⎝ l ⎠⎝ ⎠ 1⎞ e e e ⎟δ = Bi Bj δ = B δ (1-8) le ⎠
uj = a + bxj u j = ui − bxi + bx j
xj − x
(1-3)
x − xi ux = ui + uj e e l l u j − ui ui x j − ui xi u j xi − ui xi ui x j − u j xi a = ui − xi = − = x j − xi x j − xi x j − xi x j − xi
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
x u
F
e
⎛U i =⎜ ⎜U j ⎝
δ
e
⎛ ui ⎞ =⎜ ⎟ ⎜u j ⎟ ⎝ ⎠
2
返回
(1)设位移函数(突出特点，在局部设，就没 那么难) E,A
Ui q e ui i le=l/3 j uj Uj x u q ⎛ x2 ⎞ ⎜ lx − ⎟ u ( x) = EA ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝
e
返回
3、整体分析 (1)节点荷载 a.等效节点荷载 指把作用在单元上的集中荷载和分布荷载按 照虚功等效原则移置到节点上的荷载。
①
E,A,l q ② 2 ql/3
有限元法、有限差分法和有限体积法的区别
有限元法、有限差分法和有限体积法的区别标签：函数有限元插值差分格式有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
一维问题的有限元方法
一维问题的有限元方法一、问题的离散化有限元方法是一种将连续问题离散化的数值计算方法。
在一维问题中，我们将连续的物理系统或结构离散化为一系列的单元，每个单元由节点连接。
离散化过程是为了将连续的物理问题转化为可以数值求解的形式。
二、单元划分与节点设置在离散化过程中，我们需要将连续的物理系统划分为一系列的单元。
每个单元由节点连接，节点是单元之间的连接点。
节点的设置需要考虑问题的特性和计算的精度要求。
三、插值函数与形函数插值函数用于描述节点之间的函数关系，形函数用于描述节点处的函数值。
插值函数和形函数的选择需要根据问题的特性和计算的精度要求来确定。
常用的插值函数有线性插值、二次插值等。
四、有限元方程的建立根据问题的特性和边界条件，我们可以建立有限元方程。
有限元方程是描述节点处的函数值和节点之间的函数关系的关系式。
在建立有限元方程时，需要考虑物理方程、边界条件等因素。
五、有限元方程的求解有限元方程的求解可以采用多种方法，如直接法、迭代法等。
直接法适用于小型问题，迭代法适用于大型问题。
在求解过程中，需要注意收敛性和误差分析。
六、收敛性与误差分析收敛性是指迭代法在迭代过程中是否能收敛到正确解，误差分析是指求解结果与真实解之间的误差大小和分布情况。
对于不收敛或误差较大的情况，需要进行相应的调整和处理。
七、边界条件的处理边界条件是描述物理系统在边界上的行为，对于有限元方法来说，需要正确处理边界条件。
常用的处理方法有强加边界条件、引入罚函数等。
八、自适应网格加密技术自适应网格加密技术是一种根据求解过程中的误差分布情况自动加密网格的方法。
该技术可以提高计算的精度和效率，适用于复杂问题和多物理场耦合问题。
九、多物理场耦合有限元方法多物理场耦合问题是指多个物理场之间相互作用的问题，如力学、流体、电磁等。
多物理场耦合有限元方法需要考虑多个物理场的相互作用和耦合效应，建立相应的有限元方程进行求解。
有限元法的理论基础
有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。
能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。
下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。
1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。
反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。
可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。
所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。
虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。
2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。
根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。
最小势能原理仅适用于弹性力学问题。
2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。
2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。
对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。
2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。
有限元法
称为有限元刚度矩阵，但 不能直接求解，需要消去
1行、1列。
2. 一维有限元法
由边界条件对整个问题的代数方程组消元：
由问题的边界条件，第5 个节点电位为0.5V，已知，故消去该节点的方程：5 行5列。必有这一步，实际上原K矩阵行列式的值为0，本质上是找参考电位
5 5
1 0.1
1. 有限元法
上一讲，利用加权余数法和变分法将偏微分方程转化为代数方程组求解
KC f b
kij k ji j i d
f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
通过尝试函数的 选取，近似解满 足1类边界条件，
该矩阵方程包括系数矩阵、激励源矩阵和边界矩阵，而计算这些矩阵的元素 时，常常用到分部积分法。如果为了计算精度而选取很多个尝试函数，那么 计算这些为数众多的分部积分既十分复杂又很费时间，并且很难用计算机进 行数值计算。
2. 一维有限元法
局部系数矩阵的计算
k
e ij
kkieie,1i,i
ke i ,i 1
ke i 1,i 1
f
e i
f
e i
f
e i 1
bie
bbieie1
kiej e j i de
2. 一维有限元法
本例，场域分割成4个单元，5个节点， 求场域内电势分布，转化为求5个节点的 电位即可。 场域内其它点（各单元内）的电位，由5 个节点电位来插值表示。(一阶插值、高 阶插值)
对一 维场域来说，单元就是一个线段； 对二维场域，有限元单元形状可为二角 形、矩形等，单元形状对有限元的简化 有影响，通常为三角形
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元法基础-一维单元
最终解。
直接求解法的基本步骤
01
建立方程组
根据问题的物理模型和边界条件， 建立线性方程组。
解方程
对方程组的上三角或下三角矩阵进 行求解，得到所有节点的解。
03
02
消元法
通过消元法将方程组化为上三角或 下三角矩阵形式。
后处理
根据需要计算其他物理量或进行误 差分析等后处理工作。
对于复杂的边界条件和约束条件，可 以采用消元法逐步消除未知量，最终 得到唯一解。
06
一维单元的求解方法
求解方法的分类和选择
直接求解法
直接求解线性方程组，得到所有 节点的解。适用于节点数较少、
方程组规模较小的简单问题。
迭代求解法
通过迭代逐步逼近方程组的解，适 用于大规模复杂问题。常用的迭代 方法有Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法等。
02
一维单元的离散化
离散化的概念和步骤
离散化的概念：将连续的物理系统分割 成有限个小的、相互连接但不重叠的单 元，每个单元称为有限元。
3. 在每个单元上选择一个节点作为代表 ，并建立节点之间的相互关系。
2. 将几何形状划分为有限个单元，每个 单元具有确定的形状和尺寸。
离散化的步骤 1. 确定研究对象的几何形状和尺寸。
一维单元的划分方法
均匀划分
将一维物体均匀地划分为 若干个等长的单元，每个 单元长度相等。
非均匀划分
根据需要将一维物体划分 为长度不等或形状不同的 单元。
分段线性划分
将一维物体划分为若干个 线性变化的单元，每个单 元的长度和形状都是线性 的。
单元节点的选取与编号
节点选取
一维热传导混合问题
一维热传导混合问题摘要：一、引言1.热传导基本概念2.一维热传导问题的重要性二、一维热传导混合问题的数学模型1.热传导方程2.混合问题的定义3.边界条件和初始条件三、求解方法1.分离变量法2.特征值法3.有限差分法4.有限元法四、数值案例分析1.案例选择与说明2.各种求解方法的适用性3.结果对比与分析五、结论与展望1.一维热传导混合问题求解的重要性2.现有方法的优缺点3.未来研究方向和发展趋势正文：一、引言热传导现象在工程领域具有广泛的应用，如电子器件、建筑节能、航空航天等。
热传导问题可以分为一维、二维和三维问题。
在一维问题中，由于其几何结构和物理性质的简单性，常常被用作理论研究和数值分析的基础。
一维热传导混合问题，即在材料中存在两种或多种不同热传导系数的情况，具有较强的实用价值。
本文将探讨一维热传导混合问题的数学模型、求解方法以及数值案例分析。
二、一维热传导混合问题的数学模型1.热传导方程热传导现象可以用热传导方程来描述。
在一维情况下，热传导方程为：T = -α(dT/dt)其中，T表示温度，t表示时间，α表示热扩散系数，表示梯度算子。
2.混合问题的定义在一维热传导问题中，混合问题是指在材料中存在两种或多种不同热传导系数的情况。
可以用以下公式表示：α1*T1 + α2*T2 + ...+ αn*Tn = 03.边界条件和初始条件常见的边界条件有第一类边界条件（Dirichlet边界条件）和第二类边界条件（Neumann边界条件）。
初始条件为：T(x, 0) = T0(x)三、求解方法1.分离变量法分离变量法是将热传导方程中的时间和空间变量分离，将问题转化为求解一系列线性代数方程。
该方法适用于稳定和非稳定问题。
2.特征值法特征值法是将热传导方程转化为特征值问题，求解特征值和特征函数。
该方法适用于稳定问题。
3.有限差分法有限差分法是将连续空间离散化，将热传导方程转化为离散方程。
该方法适用于稳定和非稳定问题。
一维梁的MATLAB有限元法分析
一维梁的M A T L A B有限元法分析问题如下：梁A B在A和B两端固定，中间点表示为C，在中间区域承受均匀分布的载荷q，如图所示。
梁A B的抗弯刚度为E I。
1，使用R i t z法确定点C处的位移和弯矩，并讨论随着包含更多基本函数的准确性。
提示：根据偏转曲线的形状，可以选择基函数的形式，其中系数，并且应该由点A或B处的边界条件确定。
2，采用一维有限元法解决问题，并讨论网格越细时的准确性。
提示：使用1-D梁单元。
1R i t z法一维欧拉-伯努利梁的势能如下：设选择基函数，容易看出基函数满足边界条件设，代入势能表达式得到由于三角函数是正交函数系，所以得到令q=10N/m m，E=200000M P a，I=10000，L=200m m在M A T L A B中计算A k前十项得到A=-0.008400754770396-0.000320811945459-0.000049922673823 -0.000020050746591-0.000009258470170-0.000003960641302 -0.000001943426801-0.000001253171662-0.000000837688763 -0.000000513299113计算C点位移,使用1-10个试函数结果如下：0.0084007547703960.0084007547703960.0085006001180410.0085006001180410.0085191170583800.0085191170583800.0085230039119830.0085230039119830.0085246792895100.008524679289510计算C点弯矩,,使用1-10个试函数结果如下：0.8291212625436840.7024697829907620.746814316705690 0.7151514468174600.7379958063005830.723923419683592 0.7333220380018130.7254063205297550.732103122461494 0.727037063279377可以看到，位移收敛是很快的，弯矩收敛速度慢于位移。
第7章有限元法基础——一维问题分析
对于单元（2）：
kA 1 1 0.07 1 1 1 0.35 0.35 W K 0.20 1 1 0.35 0.35 ( C ) l 1 1 0 ( 2) F (W ) 0
(e)
bl 2 1 6 1 2
直接公式法：单 元传导矩阵
(e)
cl 1 2 1
参数意义解释：
对于热传递问题：
直接公式法：单 元传导矩阵
K a 代表a系数表示的单元的传导率，
(e)
K b 代表b系数表示的单元的传导率。
(e)
F 是给定单元的负荷矩阵。
求解：
T1 200 T 157.8 2 (C ) T3 37.1 T4 31.1
7.2 固体力学问题
对于线性一维杆单元，每个单元应变能为：
( e )
E 2 dV 2 V
对于由n个单元和m个节点组成的一般物体，其总势能应变能 和外力做功的差：
dAS pdx
推导单元的传导矩阵和热负荷矩阵
对单元使用线性形函数近似
(e)
T
形函数为
Si
Xj X l
Ti Sj T j
T=c1+c2X
Si
X Xi Sj l
微分方程 的普遍形式
令
a kA
c hpTf
b hp T
书上用c1、 c2、c3，为避 免混淆，在此 用a、b、c。
直接公式法：单 元传导矩阵
(e)
bl 2 1 hpl 2 1 6 1 2 6 1 2
对于包含末端表面的最后单元，并考虑边界条件，
热传导问题的有限元方法
02 有限元方法的基本原理
有限元方法的基本思想
将连续的求解区域离散成有限个小的 子区域（即有限元），在每个子区域 上选择合适的基函数，通过基函数的 线性组合来逼近真实解。
通过在子区域上定义的边界条件和初 始条件，将所有子区域的解联立起来 ，形成一组线性方程组，求解该方程 组即可得到原问题的近似解。
大规模计算
对于非常大的问题，有限元方法可能 需要大量的计算资源，这可能导致计 算时间较长。
处理复杂边界和界面条件
对于具有复杂边界和界面条件的问题， 有限元方法的实现可能变得复杂和困 难。
有限元方法的应用范围
传热问题
有限元方法广泛应用于传 热问题的数值模拟，如热 传导、热对流和热辐射等 。
结构分析
在结构工程中，有限元方 法用于分析结构的静态和 动态行为，如应力、应变 和振动等。
流体动力学
在流体动力学中，有限元 方法用于模拟流体流动和 传热，如流体动力学分析 和计算流体动力学(CFD) 。
电磁场理论
在电磁场理论中，有限元 方法用于分析电磁场的行 为，如电磁波的传播和散 射等。
05 热传导问题有限元方法的 发展趋势与展望
热传导问题有限元方法的研究热点
复杂几何形状的热传导问 题
03 热传导问题的有限元方法
热传导问题的有限元离散化
将连续的热传导问题离散化为 有限个单元，每个单元内的温 度和热流分布用数学模型表示。
单元之间的热量传递通过节点 传递，节点之间的热量传递用 耦合条件表示。
离散化后的方程组可以用矩阵 形式表示，方便进行数值求解。
热传导问题的有限元求解
01
通过迭代法或直接法求解离散化后的方程组，得到每个节点 的温度值。
有限元方法的数学基础
有限元法和变分原理
带入试函数：
2 2 ⎧⎛ ⎫ ∂ψ i ⎞ ⎛ ∂ψ i ⎞ ⎪ ⎪ ∏(φ ) = ∫∫ ⎨⎜ ∑ Ci + ⎜ ∑ Ci − 2∑ Ciψ i f ⎬ dxdy ⎟ ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎪⎝ ⎪ ⎩ ⎭
⎧⎛ ∂ψ ⎞2 ⎛ ∂ψ ⎞2 ⎫ ⎪ ⎪ = ∑ Ci 2 ∫∫ ⎨⎜ i ⎟ + ⎜ i ⎟ ⎬ dxdy ⎪⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ⎛ ∂ψ i ∂ψ j ∂ψ i ∂ψ j +2∑ CiC j ∫∫ ⎜ + ∂y ∂y i≠ j ⎝ ∂x ∂x
第二章 连续体问题的离散化方法
1
应力场、温度场、电磁场等
数学
偏微分方程或微分方程＋边条 件＋初始条件，即边值问题
等价（若存在对应的泛函）
变分法（泛函求极值）
经典变分法 （整个求解域）
有限元法 （把求解域离散 许多子区域）
2
要点
微分方程的等效积分形式 加权余值法 变分原理和里兹法 有限元法 弹性力学变分原理
9
(3) 最小二乘法：
⎧ ∂ ⎫ ⎪ ⎪ {w j } = ⎨ ∂a A ( Na ) ⎬ ⎪ j ⎪ ⎩ ⎭ ∂ ⎡ A Na 等价于 ⎢ ∫Ω ( ) ∂a j ⎣
{
} {A ( Na )}d Ω⎤ = 0 ⎥ ⎦
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实习三、一维问题的有限元方法
一）实习问题： 设
''1
4(0,1)
(0)0,(1)x u u xe x u u e e
-⎧-+=-∈⎪⎨==-⎪⎩， ~
1()u x e e u -=--令 将原问题的边界条件齐次化
''~~
1
~~4()(0,1)
(0)0,(1)0
x xe x e e x u u u u -⎧-+=---∈⎪⎨⎪
⎩==，
二）算法描述：
1
()21,1
01101
()1,011
101
(),1
011
10(),111
[
()()()]1[()()()()]1[()()()()]1
[
()(i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i i i i i
a
p h h q h N d h a p h h q h N N d h a p h h q h N N d h a
p h h q h h x x x x x x x x ξξξξξξξξξξξξξξξ------------=+++=-
+++=-
+++=+++⎰⎰⎰1
2010
)()()]N N d ξξξξ⎰1
()2
1,1
0110
1[
()()()]i i i i i i i i i
a
p h h q h N d h x x ξξξξ----=+++⎰ 1
()1
0101
()110
()()()()i i i i i i i i i i b h f h N d b h f h N d x x ξξξ
ξξξ
---=+=+⎰⎰
1，单元剖分
(1,2,,)i i n e =L
2，i=1 ~
~
00A b ==
3,计算数值积分：()()()()()()1,11,,1,1,,,,,i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a b b -----即得单元上的i i
A b 4，将i i
A b 迭加到总的~~
A b 中
5，若i<=n,则i=i+1并转到底三步；否则继续下一步 6，根据边界条件调整~
~
A b （掐头去尾），即得 A 和b 7，解线性方程组Au=b,得u 从而的h u
三）matlab程序：
问题M文件:
function [y1]=f1(x,h)
y1=h*(1/6*(-24*exp(x+h)*h-3*h^2*exp(1)*x+48*exp(x+h)-24*exp(x+h)*x-h^3*exp(1)+3*h^2*exp(-1)*x+h^3* exp(-1)+24*exp(x)*h*x-48*exp(x)-24*exp(x)*h+24*x*exp(x))/h^2);
function [y2]=f2(x,h)
y2=h*(1/6*(48*exp(x+h)*h-24*exp(x+h)*h^2-24*exp(x+h)*x*h-3*h^2*exp(1)*x+3*h^2*exp(-1)*x-2*h^3*exp( 1)+2*h^3*exp(-1)+24*exp(x+h)*x-48*exp(x+h)-24*x*exp(x)+48*exp(x))/h^2);
主M 文件：
function []=yiweiyouxianyuan(n)
%对x的随机剖分及区间长度的计算
l=abs(rand(1,n-1));
for i=1:n-1
for j=(i+1):n-1
if l(i)>l(j)
l2=l(i);
l(i)=l(j);
l(j)=l2;
end
end
end
for i=1:n-1
x(i+1)=l(i);
end
x(1)=0;x(n+1)=1;
for i=1:n
h(i)=x(i+1)-x(i);
end
%一次区间元法
%A的求解
for i=1:n
a(i,1)=1/h(i)+h(i)/3;
a(i,2)=-1/h(i)+h(i)/6;
a(i,3)=a(i,2);
a(i,4)=a(i,1);
end
for i=1:n-1
A(i,i)=a(i,4)+a(i+1,1);
end
for i=1:n-2
A(i,i+1)=a(i+1,2);
end
for i=2:n-1
A(i,i-1)=a(i,3);
end
%b的求解
for i=2:n+1
b1(i,i-1)=f1(x(i-1),h(i-1));
b1(i,i)=f2(x(i-1),h(i-1));
end
for i=2:n
b2(i)=b1(i,i)+b1(i+1,i);
end
for i=1:n-1
b(i)=b2(i+1);
end
u=inv(A)*b' ;
for i=2:n
un(i)=u(i-1);
end
un(1)=0;un(n+1)=0;
%还原原始的u值
uz=un'+x'*(exp(1)-exp(-1));
uz
%真解的求解
for i=1:n+1
u1(i)=exp(x(i))-exp(-x(i))+x(i)*x(i)*exp(x(i))-x(i)*exp(x(i));
end
u1'
%误差的计算
for i=1:n+1
e(i)=abs((uz(i)-u1(i))/u1(i)*100);
end
e'
%作图
subplot(1,2,1)
plot(x,u1)
xlabel('自变量x的范围');ylabel('函数值u的取值');title('真解的图象');grid
subplot(1,2,2)
plot(x,uz)
xlabel('自变量x的范围');ylabel('函数值u的取值');title('有限元法算得的近似解的图象');grid 四）图形显示的计算结果：
将区间随机分（利用rand函数）为20份的计算结果：
0.5
1
00.511.5
2
2.5自变量x 的范围
函数值u 的取值
真解的图象
0.5
1
0.5
1
1.5
2
2.5
自变量x 的范围
函数值u 的取值
有限元法算得的近似解的图象
图1：预测值与真实值的作图比较
表1：预测值与真实值的数值比较
真实值 预测值 误差（%） 0 0 0.0000 0.0135 0.0135 0.0726 0.0336 0.0336 0.0725 0.1816 0.1815 0.0657 0.3492 0.3490 0.0515 0.4117 0.4115 0.0465 0.5460 0.5458 0.0377 0.6646 0.6644 0.0316 0.7315 0.7313 0.0287 0.8268 0.8266 0.0254 0.8753 0.8751 0.0240 0.8782 0.8780 0.0239 1.0941 1.0939 0.0181 1.3256 1.3254 0.0128 1.3551 1.3549 0.0122 1.5269 1.5268 0.0092 1.8253 1.8252 0.0050 1.9963
1.9963
0.0030
2.0204 2.0203 0.0027
2.1529 2.1529 0.0015
2.3504 2.3504 0.0000
分析：从图1与表1中可以看出，预测值与真实值极其的接近，其误差最大值是0.0726%，所以，该有限元方法对此题的近似进度相当的高，可以作为求值的近似。