高中数学第二章平面向量 2.3.2 平面向量基本定理学案北师大版必修

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高中数学第二章平面向量 2.3.2 平面向量基本定理课件北师大版必修4

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于是�� = �� + �� = �� + 1 �� = �� + 1 (�� − ��)=4 �� +
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1 �� = 4a+1b.
A.2e1+e2和e2-e1 B.3e1-2e2和4e2-6e1 C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e2 解析:B中,3e1-2e2=底.
(124e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为基
答案:B
K12课件
8
探究一
探究二
探究三
一题多解
探究二利用基底表示向量
【例 2】在△ABC 中,��=a,��=b. (1)若 D 是 BC 上一点,且|��|=2|��|,试用 a,b 表示��; (2)若 E 是 BC 上一点,且�� = 1 ��,试用 a,b 表示��.
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探究一
探究二
探究三
一题多解
K12课件
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探究一
探究二
变式训练2
探究三
一题多解
如图所示,已知在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 边上的中
点.若��=a,��=b,试以 a,b 为基底表示��, ��.

新教材北师大版高中数学必修第二册第二章平面向量及其应用学案(知识点考点汇总及配套习题)

第二章平面向量及其应用1从位移、速度、力到向量........................................................................................ - 1 - 2从位移的合成到向量的加减法................................................................................ - 8 - 3从速度的倍数到向量的数乘.................................................................................. - 23 - 4平面向量基本定理及坐标表示.............................................................................. - 35 - 5从力的做功到向量的数量积.................................................................................. - 52 - 6平面向量的应用...................................................................................................... - 67 -1从位移、速度、力到向量学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．掌握共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)通过向量的有关概念的学习，培养数学抽象素养．(1)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．民航客机飞行一次，位移变化一次，由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述情境涉及哪些物理量？其特点是什么？问题2：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？问题3：平行向量一定是相等向量吗？知识点1 向量的概念数学中，我们把既有大小又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ [提示] 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段．以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB →，线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度，记作⎪⎪⎪⎪AB →.(2)向量可以用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)，记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向．知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量，记作0或0→； (2)模等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．[答案] 一条直线两个点知识点4 向量的基本关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量，记作a ＝b . (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a 平行于b ，记作a ∥b ；规定零向量与任一向量共线．(3)相反向量：长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量，a 的相反向量记作－a ；规定零向量的相反向量是零向量．2.下列说法错误的是( ) A ．若a ＝0，则||a ＝0 B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任意向量平行D ．零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行、垂直，所以B 是错误的．]知识点5 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，在平面内选一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角；(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系：θ＝0°⇔a 与b 同向；θ＝180°⇔a 与b 反向；θ＝90°⇔a ⊥b ，规定：零向量与任一向量垂直．3.等边△ABC 中，AB→与AC →的夹角是________，AB →与BC →的夹角是________．[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；(2)若AB→＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； (3)在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(4)若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件，故(1)不正确．(2)AB→＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确． (3)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，(3)正确．(4)零向量的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确．1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行．2.熟知向量的基本概念，弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础．[跟进训练]1．已知O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．平行向量 C ．模相等的向量 D ．起点相同的向量C [⎪⎪⎪⎪AO →＝⎪⎪⎪⎪BO →＝⎪⎪⎪⎪CO →＝r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量．[解] (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →，如图所示． (2)由题意知AD →＝BC →， ∴AD 与BC 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可．[跟进训练]2．在如图的方格纸中，画出下列向量．(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|＝4，点A 在点O 正北方向；(2)|OB →|＝22，点B 在点O 东偏南45°方向；(3)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么？ [解] (1)(2)(3)的图象如图所示．(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆．类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，(1)分别写出图中所示与OA →，OB →，OC →相等的向量； (2)分别求出AB →与OB →，AB →与FE →的夹角的大小．[解] (1)OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°，AB →与FE →的夹角的大小为60°.1．例3中与OA →模相等的向量有多少？ [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个． 2．例3中向量OA →的相反向量有哪些？[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →，BC →，FE →，AO →. 3．例3中与向量OA →共线的向量有哪些？[解] 与向量OA →共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. 4．求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．[跟进训练]3.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量； (3)求AE →与CD →夹角的度数． [解] (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.(3)因为CD →＝AF →，所以AE →与CD →夹角为∠EAF ＝45°.当堂达标1．下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③若|a |＞|b |，则a ＞b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [①温度没有方向，所以不是向量，故①错；③向量不可以比较大小，故③错；②若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故②对．]2．(多选题)下列说法错误的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝±bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量称为相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ，当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向不一定相同，a ＝±b 未必成立，所以A 错误；对B ，零向量的长度是0，正确；对C ，长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；对D ，共线向量不一定在同一条直线上，故D 错误．故选ACD.]3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且|AD →|＝|AB →|，则这个四边形是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形 D [由AB →＝DC →可知AB ∥DC ，且|AB →|＝|DC →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AD →|＝|AB →|，所以平行四边形ABCD 为菱形．故选D.]4．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．[答案] OA →与BO →，AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，则DA →与CA →的夹角为________；DA →与BC →的夹角为________．30° 180° [由图知，DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角，又因∠DAB ＝60°，根据菱形的几何性质，知∠DAO ＝30°，故DA →与CA →的夹角为30°，DA →与BC →为相反向量，故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.向量与有向线段有怎样的联系与区别？[提示]用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性，应该注意的是有向线段还是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．有向线段的起点、终点是确定的，而向量仅由大小和方向确定，与起点位置无关．2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同？[提示]共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2从位移的合成到向量的加减法2．1向量的加法学习任务核心素养1．掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1．通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养．有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力F1，F2的大小分别是|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条牵引力为F3的拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：上述体现了向量的什么运算？问题2：向量加法运算常用什么法则？问题3：向量的加法运算结果还是向量吗？知识点向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知不共线向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，再作向量AC →，则向量AC →叫作a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →平行四边形法则已知不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，再作平行AD →的BC →＝b ，连接DC ，则四边形ABCD 为平行四边形，向量AC →叫作向量a 与b 的和，表示为AC →＝a ＋b向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.根据图中的平行四边形ABCD ，验证向量加法是否满足交换律．(注：AB →＝a ，AD →＝b )[提示] ∵AC →＝AB →＋BC →，∴AC →＝a ＋b . ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AC →＝b ＋a .∴a ＋b ＝b ＋a .2.根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ，又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )， ∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)0＋a ＝a ＋0＝a ；( ) (2)AB →＋BC →＝AC →；( ) (3)AB →＋BA →＝0；( )(4)在平行四边形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →；( ) (5)|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×类型1 向量加法法则的应用【例1】 (教材北师版P 81例1改编)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．[跟进训练]1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .类型2 向量加法及其运算律【例2】化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．[跟进训练]2.如图，在平行四边形ABCD 中(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD → (4)0 [(1)由平行四边形法则知，AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.] 类型3 向量加法的实际应用【例3】 (教材北师版P 81例2改编)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)，则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2．若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．[跟进训练]3．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A ．30 NB ．60 NC ．90 ND ．120 N [答案] B当堂达标1．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A ．AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C ．AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC →C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]2．(多选题)如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB →D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →ABC [FD →＋DA →＋DE →＝F A →＋DE →＝0， AD →＋BE →＋CF →＝AD →＋DF →＋F A →＝0， FD →＋DE →＋AD →＝FE →＋AD →＝AD →＋DB →＝AB →， AD →＋EC →＋FD →＝AD →＋0＝AD →＝DB →≠BD →.故选ABC.]3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →的模等于________. 213 [|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝213.] 4.根据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]5．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，则： (1)|a ＋b |＝________；(2)向量a ＋b 的方向是________.(1)82 (2)北偏东45°(或东北方向) [(1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2. (2)因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北方向．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何灵活选择三角形法则或平行四边形法则求向量的和？[提示](1)三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．(2)向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．2.利用三角形法则求向量的加法时应注意什么问题？[提示]在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．2向量的减法学习任务核心素养1．掌握向量减法的定义，理解相反向量的意义．(重点)2．掌握向量减法的运算及几何意义，能作出两个向量的差向量．(难点)1．通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养．小明的父亲在台北工作，他经常乘飞机从台北到香港开会，再从香港到上海洽谈业务．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．阅读教材，综合上述情境回答下列问题：问题1：上述问题中，b 能用a ，c 表示吗？问题2：方向相同且模相等的两个向量称为什么向量？方向相反且模相等的两个向量称为什么向量？问题3：零向量的相反向量是什么？问题4：向量减法是向量加法的逆运算吗？知识点1 相反向量定义把与向量a 长度相等、方向相反的向量，叫作向量a 的相反向量，记作－a规定：零向量的相反向量仍是零向量．性质(1)－(－0)＝0；(2)a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0；(3)若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，b ＝－a ．知识点2 向量减法 (1)定义向量a 减向量b 等于向量a 加上向量b 的相反向量，即a －b ＝a ＋(－b )，求两个向量差的运算，叫作向量的减法．(2)几何意义如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．向量的减法可以转化为向量的加法来运算吗？[提示] 因为向量的减法是向量的加法的逆运算，所以向量的减法可以转化为向量的加法来运算．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)BA →＝OA →－OB →； ( ) (2)相反向量是共线向量； ( ) (3)a －b 的相反向量是b －a ； ( ) (4)|a －b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.OP →－QP →＋PS →＋SP →＝( ) A ．QP → B ．OQ → C ．SP → D ．SQ → [答案] B类型1 向量减法的几何作图【例1】 (教材北师版P 84例4改编)如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .[解] 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .若本例条件不变，则a －b －c 如何作？[解] 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .利用向量减法进行几何作图的方法(1)已知向量a ，b ，如图①所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .,(2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a －b .如图②所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，AC →＝－b ，则OC →＝a ＋(－b )，即BA →＝a －b .[跟进训练]1.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求作：(1)向量b ＋c －a ； (2)向量a －b －c .[解] (1)以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，如图，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a .(2)由a －b －c ＝a －(b ＋c )，如图，作▱OBEC ，连接OE ，则OE →＝OB →＋OC →＝b ＋c ，连接AE ，则EA →＝a －(b ＋c )＝a －b －c .类型2 向量减法的运算【例2】化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).[解] (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.化简向量的和差的方法(1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简．(3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点．提醒：利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧．[跟进训练]2．化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).[解] (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 类型3 向量加减法的综合应用【例3】 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，则|a －b |＝________． (2)(教材北师版P 85例6改编)已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →.(1)5 [(1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，则四边形ABCD 是平行四边形．又∵(5)2＝12＋22，∴平行四边形ABCD 为矩形， ∴|a －b |＝⎪⎪⎪⎪DB →＝|AC →|＝ 5.] (2)[解]如图所示：OD →＝OA →＋AD →＝a ＋BC →＝a ＋(OC →－OB →)＝a ＋c －b .用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可．[跟进训练]3．设平面内四边形ABCD 及任一点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d 且|a －b |＝|a －d |.试判断四边形ABCD 的形状．[解] 由a ＋c ＝b ＋d 得a －b ＝d －c ，即OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，于是AB 与CD 平行且相等， ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|a －b |＝|a －d |，从而|OA →－OB →|＝|OA →－OD →|， ∴|BA →|＝|DA →|，∴四边形ABCD 为菱形．当堂达标1．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，则BC →＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．b －aD ．－a －bC [BC →＝AC →－AB →＝b －a .]2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c [答案] A3．(多选题)下列四个式子中可以化简为AB →的是( ) A ．AC →＋CD →－BD → B ．AC →－CB → C ．OA →＋OB →D ．OB →－OA →.AD [因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以A 正确；因为OB →－OA →＝AB →，所以D 正确，故选AD.]4．设正方形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋AD →－CD →|＝________． 42 [如图，原式＝|(AB →＋AD →)－(CB →＋CD →)|＝|AC →－CA →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|， ∵正方形边长为2， ∴2|AC →|＝4 2.]5．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b 的位置关系为________．(填“平行”或“垂直”)垂直 [如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形，则|a ＋b |＝|OC →|， |a －b |＝|BA →|，又|a ＋b |＝|a －b |，则|OC →|＝|BA →|，即平行四边形OACB 的对角线相等， ∴平行四边形OACB 是矩形， ∴a ⊥b .]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？[提示]向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．2.在用三角形法则作向量减法时，应注意什么问题？[提示]在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，区分a－b与b－a.3从速度的倍数到向量的数乘3．1向量的数乘运算学习任务核心素养1．掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)2．理解数乘向量的几何意义．(重点)1．通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养．夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：若设光速为v1，声速为v2，将向量类比于数，则v1与v2有何关系？问题2：实数与向量相乘结果是实数还是向量？(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.(2)|λa|＝|λ||a|.(3)方向：λa 的方向⎩⎨⎧当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反；当λ＝0时，0a ＝0.(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；当λ<0时，表示向量a 的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？[提示] 不一定，若b ＝0，此时必有a ∥b ，b ∥c 成立，但a 与c 不一定共线．1.已知|a |＝2，|b |＝3，若两向量方向相同，则向量a 与向量b 的关系为b＝________a .32 [由于|a |＝2，|b |＝3，则|b |＝32|a |，又两向量同向，故b ＝32a .] 知识点2 数乘运算的运算律设λ，μ为实数，a ，b 为向量，则 (1)(λ＋μ)a ＝λ a ＋μ a ； (2)λ(μa )＝(λμ)a ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合).2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若λa ＝0则λ＝0.( ) (2)对于非零向量a ，向量－2a 与向量a 方向相反． ( ) (3)当a 是非零向量，－1||a a 是与向量a 反向的单位向量．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√类型1 向量数乘运算的定义【例1】已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同； (2)|－2a |＝32|3a |；(3)1||a a 是单位向量； (4)a ＋b 与－a －b 是一对相反向量． [解] (1)真命题．∵2>0， ∴2a 的方向与a 的方向相同． (2)假命题．|－2a |＝||－2|a |＝2|a |＝23|3a |. (3)真命题．⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1||a ||a ＝1||a ||a ＝1.(4)真命题．∵a ＋b 与－a －b 是一对相反向量，且－(a ＋b )＝－a －b ， ∴a ＋b 与－a －b 是一对相反向量．对数乘向量的三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小． (2)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.反之，也成立， (3)数乘向量的运算不满足消去律．[跟进训练]1．已知λ∈R ，a ≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( ) ①当λ＞0时，λa 与a 的方向一定相同； ②当λ＜0时，λa 与a 的方向一定相反； ③当λa 与a 的方向相同时，λ＞0； ④当λa 与a 的方向相反时，λ＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [由λ与向量a 的乘积λa 的方向规定，易知①②③④正确．] 类型2 向量的线性运算【例2】 (教材北师版P 88例1改编)计算下列各式： (1)2(a ＋b )－3(a －b )； (2)3(a －2b ＋c )－(2a ＋b －3c )； (3)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b .[解] (1)原式＝2a －3a ＋2b ＋3b ＝－a ＋5b ； (2)原式＝3a －6b ＋3c －2a －b ＋3c ＝a －7b ＋6c ； (3)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．2.对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．[跟进训练]2．(1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a ). [解] (1)原式＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ；(2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b＝－53(3i ＋2j )＋53(2i －j ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j .类型3 向量线性运算的应用【例3】已知任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →).1．若D 是△ABC 的边BC 的中点，如何用AB →，AC →表示AD →？ [提示] 由三角形法则知， AD →＝AB →＋BD →， AD →＝AC →＋CD →，两式相加得2AD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋BD →＋⎝⎛⎭⎫AC →＋CD →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →＋⎝⎛⎭⎫BD →＋CD →＝AB →＋AC →，所以AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →.2．在△ABC 中，若AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则D 是否是△ABC 的边BC 的中点？ [提示] 设D ′是边BC 的中点，则AD ′→＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，又AD →＝12⎝⎛⎭⎫AB →＋AC →，则AD ′→＝AD →，所以D 与D ′重合，所以D 是边BC 的中点．[证明] 取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点， ∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →). 又∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →. ∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．[跟进训练]3．在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．求证：DE →＝12BC →. [证明] ∵D 为AB 的中点， ∴AD →＝12AB →.∵E 是AC 的中点，∴AE →＝12AC →.∴DE →＝AE →－AD →＝12AC →－12AB →＝12⎝⎛⎭⎫AC →－AB →＝12BC →.当堂达标1．(多选题)已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n .AB [A 和B 属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；C 中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；D 中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．]2. 在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →等于( )A ．23a ＋43bB ．23a －23bC ．23a －43bD ．－23a ＋43bA [由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .]3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD → C ．AD →D ．12BC →C [EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.] 4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．421a －17b ＋17c [据向量的加法、减法整理、运算可得x ＝421a －17b ＋17c .] 5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.则OP →＝________．－13OA →＋43OB → [OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.数乘向量的运算中应注意什么问题？[提示] 实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模有关．2.利用数乘运算的几何意义时应注意什么问题？[提示] 利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．。

高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4

5．设 M、N、P 是△ABC 三边上的点，它们使B→M＝13B→C，C→N＝13C→A， A→P＝13A→B，若A→B＝a，A→C＝b，试用 a，b 将M→N、N→P、P→M表示出来．
解如图，M→N＝C→N－C→M ＝13C→A－23C→B ＝－13A→C－23(A→B－A→C) ＝13A→C－23A→B＝13b－23a. 同理可得N→P＝13a－23b. P→M＝－M→P＝－(M→N＋N→P)＝13a＋13b.
3.2 平面向量基本定理
内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2. 体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．
知识点1 平面向量基本定理
(1)那定么理对：于如这果一e1，平e面2是内同的一平面向内量的a，两不个共线
向量，实
数λ1，λ2，使a＝任一
存在唯. 一一对
(内2)基底λ1向e：1＋量把λ不2的e共2 一线组基的底向．量e1，e2叫作表示这一所平有面
(2)设A→F＝λA→C， ∴B→F＝B→A＋A→F＝B→A＋λA→C ＝a＋λ(c－a) ＝(1－λ)a＋λc. 又B→F＝15a＋45c， ∴λ＝45， ∴A→F＝45A→C， ∴AF∶CF＝4∶1.
【训2e练2，2b】＝e1设＋e31e，2. e2是不共线的非零向量，且a＝e1－ (1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
解析设A→B＝a，A→D＝b，则A→E＝12a＋b，A→F＝a＋12b，

北师大版高中数学高一2.3.2 平面向量基本定理

解析答案
思想方法待定系数法与方程思想在向量中的应用例 4 如图所示，在△OAB 中，O→A＝a，O→B＝b，点 M 是 AB 上靠近 B 的一
个三等分点，点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P，求O→P.
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当堂检测
12345
1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( B )
λ、μ∈R，则
4 λ＋μ＝____3____.
解析设A→B＝a，A→D＝b，则A→E＝12a＋b，A→F＝a＋12b，
又∵A→C＝a＋b，
∴A→C＝23(A→E＋A→F)，即 λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.
解析答案
12345
5.已知 G 为△ABC 的重心，设A→B＝a，A→C＝b.则用 a、b 表示向量 A→G＝__13_a_＋__13_b___. 解析如图，连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点， A→G＝23A→D＝23(A→B＋B→D) ＝23A→B＋12B→C＝23A→B＋13B→C ＝23A→B＋31(A→C－A→B)＝31A→B＋13A→C＝13a＋13b.
第二章 § 3 从速度的倍数到数乘向量
2.3.2 平面向量基本定理
学习目标
1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定理的含义，了解基底的含义. 2.理解并掌握平面向量基本定理.
栏目索引
知识梳理题型探究当堂检测
自主学习重点突破自查自纠
知识梳理ห้องสมุดไป่ตู้
自主学习
知识点平面向量基本定理
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是__①__②__④___.(写出所有满足条件的序号) 解析对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.

北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.3.2平面向量基本定理课件

3.2
平面向量基本定理
-1-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.了解平面向量基本定理及其意义,能运用它解决有关问题. 2.理解基底的意义,会用基底表示向量.
-2-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
平面向量基本定理如果e1,e2(如图①)是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在唯一一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2(如图 ②),其中不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
答案:A
��
-9-
3.2
平面向量基本定理
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型二
用基底表示向量
【例 2】
如图,在△OAB 中, �� =a, �� =b,M,N 分别是边 OA,OB 上的 1 1 点,且�� = 3 ��, �� = 2 ��. 设��与��相交于点�� , 用向量a,b 表示��.
反思平面向量基本定理中强调:e1,e2是两个不共线的向量,所以 e1,e2能作为基底就必须满足e1,e2不共线.
-7-
3.2
平面向量典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】已知向量a,b是两个非零向量,给出以下四个条件: ①2a-3b=4e,且a+2b=-3e;②存在不相等的实数λ,μ,使λa+μb=0;③ xa+yb=0(其中x+y=0);④已知梯形ABCD, 其中�� =a, �� =b (AB,CD为腰).其中能判定a,b一定可以作为基底的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.3.2平面向量基本定理-导学案

3.2平面向量基本定理使用说明：认真阅读课本83~84页，并完成下列预习案内容。

【学习目标】1.通过探究活动，能推导并理解平面向量基本定理2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法。

能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达【重点难点】重点:平面向量基本定理.难点:平面向量基本定理的运用.一、知识链接1.对于向量a,b 可以在平面内任取一点o ，利用三角形法则或平行四边形法则（两向量）求出向量a,b 的和向量a+b.向量的加法运算满足交换律，结合律2.实数与实数的运算法则，先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的，在根据去括号原则去掉括号二、教材助读1.给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?2.如图,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们如何通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.3.平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？4.对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？三、预习自测1.如图，已知向量e 1与e 2不共线，求作向量2e 1-3e2.2.如图。

已知E,F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交与点G ，若AB =a ，AD =b ，用a ，b 向量表示AG预习案 e 1 e 2ABCDGa b5.如图,ABCD 中,AB =a .,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a .,b 为基底分解向量AM与HF当堂检测：1.如图;D 是∆ABC 中BC 的中点，AB =a ，AC =b,(1)试用a ，b 表示AD(2)若点G 是∆ABC 的重心，能否用a ，b 表示AG(3)若点G 是∆ABC 的重心，那么GA +GB +GC2.如图，在 ABCD 中，设对角线AC =a ，BD =b,试用a ，b 表示AB ,BC .我的收获探究案AB CDA BC DO。

2018_2019学年高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理学案北师大版必修4

3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案②③规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e1＋e2＝m a＋n b.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13【例2】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析由题得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案 A【迁移1】在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝CD →”试用AB →、AC →表示AD →. 解 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋BC → ＝AC →＋AC →－AB →＝2AC →－AB →.【迁移2】在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝－3CD →”试用AB →，AC →表示向量AD →. 解由题AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13BC →＝AC →－13()AC →－AB → ＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →. 规律方法应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a 、b 是同一平面内的两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.题型三平面向量基本定理的应用【例3】如图，△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c . (1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解 (1)∵AC →＝BC →－BA →＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝12(c －a )，∴AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a . (2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a ) ＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，∴λ＝45，∴AF →＝45AC →，∴AF ∶CF ＝4∶1.【训练2】设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． (1)证明设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b.(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.课堂达标1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．答案 B2.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 B3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 434．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .则用a 、b 表示向量AG →＝________.解析如图，连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 答案 13a ＋13b5．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解如图，MN →＝CN →－CM →＝13CA →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .课堂小结1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底．答案 B2．如图所示，在矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案 A3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2 BC →，故为梯形．答案 D4．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填共线或不共线)．解析若a 与e 1共线，则存在实数λ使a ＝λe 1＝λ1e 1＋λ2e 2，则e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．答案不共线不共线5．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________．解析若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 得λ≠4.答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)6.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c . (2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解 (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b . (4)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.能力提升8．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－14D ．－34解析因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.答案 B9．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125C.85D.45解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C10．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋4PC →＝AB →，则△PBC 与△PAB 的面积比为________．解析 PA →＋PB →＋4PC →＝AB →＝A P →＋PB →，所以4PC →＝2AP →，即P 在AC 边上，且AP ＝2PC ，所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.答案 1∶211．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案 1212.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，以a 、b 为基底表示OP →.解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →， NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝n ，12－n ＝m⇒n ＝15，m ＝25，∴OP →＝15a ＋25b .13．(选做题)如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE的值．解设AG GD ＝λ，BG GE＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ＋λAB →＋λ＋λAC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)， ∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →.又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ＋μAC →.11 ∵AB →，AC →不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋λ＝11＋μ，λ＋λ＝2μ＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32. ∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

高中数学第二章平面向量3第2课时平面向量基本定理教学案北师大必修4

第2课时平面向量基本定理[核心必知]平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：我们把不共线的两个向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．[问题思考]1．零向量可以作为基底的一个向量吗？提示：不能．因为零向量与任何向量都是共线向量．2．平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．3．为什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共线？提示：若e1∥e2，则e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1故a∥e1，即用e1，e2只能表示与之共线的向量．讲一讲1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ∈R，那么下列说法中不．正确的是( )①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③平面α内的任意一个向量a都可以分解为a＝λe1＋μe2的形式，且这种分解是唯一的；④若λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②[尝试解答] 由平面向量基本定理知，①，③正确；对于④，若λe1＝μe2，则0＝λe1＋(－μ)e2，因为e1，e2不共线，所以必有λ＝μ＝0，④正确；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．[答案] D1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一组基底中的两向量不共线；②平面内的任意向量a都可在给出的基底下进行分解；③基底给定时，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一确定的一对实数．2．解决这种概念性问题的关键是深刻理解平面向量基本定理的意义和基底的概念．练一练1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：选B ∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．2．设e1，e2是平面α内的两个不共线的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列结论：①若a与e1共线，则λ＝0；②若a与e2共线，则λ＝0；③若a＝0，则λ＝μ＝0.以上结论正确的是________(填序号)．解析：若a 与e 1共线，则a ＝λe 1＝λe 1＋0×e 2，∴μ＝0，故①不正确，②正确；若a ＝0，则λe 1＋μe 2＝0， ∴λ＝μ＝0，故③正确．答案：②③讲一讲2．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知＝d ，试用c ，d 表示.将②代入①得a ＝d －12(c －12a )．∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入②得b ＝c －12×23(2d －c )＝23(2c －d )．利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法以及数乘向量进行线性运算，解决此类问题时，要仔细分析所给图形，借助于平面几何知识和向量共线定理及平面向量基本定理解决．练一练3. 如图，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若＝b ，试以a ，b 为基底表示.＝－13(a ＋b )．讲一讲3．已知D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB边上的中点．试用向量法证明：AD、BE、CF交于一点．1．利用向量证明几何问题是其工具性的体现．操作时，为明确方向，常常选取问题中不共线的线段对应的向量作为基底．2．就本题而言，充分利用三点共线和基底表示向量的唯一性来构建方程(组)求解，是解决此类问题的关键所在．练一练4．已知O ，A ，B ，P 是平面内的四点，且O ，A ，B 三点不共线，若(λ，μ∈R )，试求当λ，μ满足什么条件时，A ，B ，P 三点共线．解：由向量共线定理知，若A ，B ，P 三点共线，则存在唯一由平面向量基本定理可知λ，μ唯一．∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－t ，μ＝t ，∴λ＋μ＝1.故当λ＋μ＝1时，A ，B ，P 三点共线.已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件为( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0[错解] 若λ＝0，则a ＝e 1，又b ＝2e 1， ∴a ＝12b ，∴a 与b 共线，故选A.[错因] 错解之处在于考虑问题不全面，在应用平面向量基本定理时要注意a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件，若没有指明，应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．[正解] 若e 1∥e 2时，∵e 1≠0，∴e 2＝t e 1(t ∈R )． ∴a ＝e 1＋λe 2＝(1＋λt )e 1＝1＋λ t2b ，∴a 与b 共线，若e1与e2不共线，要使a与b共线，则a＝t b(t∈R)，即e1＋λe2＝2t e1，亦即(1－2t)e1＋λe2＝0，∴λ＝0.[答案] D1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( )A．①②B．①③ C．①④ D．③④解析：选B①③中两向量不共线，由基底的定义知，可以作为基底．2．下列结论中正确的是( )①a∥b⇔存在唯一的实数λ，使a＝λb②a∥b⇔存在不全为零的实数λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0③a与b不共线，则λ1a＋λ2b＝0⇔λ1＝λ2＝0④a与b不共线⇔不存在实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0A．①④B．②③C．①③D．②④解析：选B对于①，若b＝0，则a∥b，但当a＝0时，使a＝λb成立的λ有无数个，所以①不正确；根据向量共线的判定及性质定理知②正确；根据平面向量基本定理知③正确，④不正确，因为a，b不共线时，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0.3. 如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1)4．已知向量i ，j 不共线，实数λ，μ满足等式3λi ＋(10－μ)j ＝2λi ＋(4μ＋7)j ，则λ的值为________，μ的值为________．解析：由3λi ＋(10－μ)j ＝2λi ＋(4μ＋7)j 得λi ＋(3－5μ)j ＝0.∵i ，j 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝0，3－5μ＝0，得λ＝0，μ＝35.答案： 0 355．若a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1－12e 2，则向量a 写为λb ＋μc 的形式是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1－12e 2得，⎩⎪⎨⎪⎧b2＝2e 1＋e 2，－c 3＝e 1＋4e 2.∴－b 2－c 3＝－e 1＋3e 2＝a ，即a ＝－12b －13c .答案：－12b －13c一、选择题1．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝2e 1＋e 2，b ＝λe 1－e 2，当a ∥b 时，实数λ等于( ) A ．－1 B ．0 C ．－12 D ．－2解析：选D 当a ∥b 时，a ＝t b (t ∈R )，则 2e 1＋e 2＝t (λe 1－e 2)，即(2－tλ)e 1＋(1＋t )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－tλ＝0，1＋t ＝0，得λ＝－2.2．已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足的条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝13．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且，Q 是BC 中点，若，则λ＋μ的值为( )A.12B.23C．－12D．－234．设起点相同的三个非零向量a，b，3a－2b的终点分别为A，B，C，则( )A．A，B，C是一个三角形的三个顶点B．A，B，C三点共线二、填空题5．如图，每个小正方形方格的长度为单位1，以向量e1，e2作为基底，则a－b＝________．解析：a－b＝＝2e2－e1.答案：2e2－e16．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为表示平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析：若a∥b，则λ＝4，故a，b能作为基底的条件为λ≠4.答案：{λ|λ∈R 且λ≠4}7. 如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，若＋，则λ＝________.∴λ＝23. 答案：238．△ABC 中，，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若＝ (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________解析：如图，∵DE ∥BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 14－λ＝x ，λ＝y ，得x ＋y ＝14. 答案：14三、解答题 9．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23， ∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底．(2)设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1， ∴c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3.⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1. 故所求λ、μ的值分别为3和1.10．在平面上给定一个△ABC ，试推断平面上是否存在这样的点P ，使线段AP 的中点为M ，BM 的中点为N ，CN 的中点为P ？若存在，这样的点P 有几个；若不存在，说明理由．解：假设存在符合要求的点P，如图所示，∵M是AP的中点，∵N是BM的中点，由平行四边形法则，。

高级中学高中数学(北师大版)必修四2.3.2平面向量基本定理教案word版

信息技术应用分析
知识点课程导入学习目标情感、态度与价值观媒体内容与形式 PPT 使用方式教师播放媒体来源制作
创设情境，揭示课题归纳出公式课堂练习
知识与技能过程与方法知识与技能过程与方法知识与技能过程与方法
电子白板（时钟计时器）电子白板（特效交互功能）电子白板（特效交互功能、钢笔）
②向量 DA 与向量 BC 是什么关系？说明理由。
作业布置定理探究板书设平面向量基本定理的内容计例 1：解题过程
例 2：解题过程知识点归纳
要注重数形结合思想的培养.在做和向量有关的计算题时，可以动手画出一个或几个向量，并找出它们之间的关系，比如平行，或者构成一定的夹角，这些用图形表示出来会更直观。当然教师需要给学生教学反引导，特别是说到基底问题时，很多学生总是把他和单位向量分不开。思要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想. 在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路。
教师演示
教师制作教师制作教师制作
教师演示
学生操作
师生活动 1、情境引入
设计意图
批注
教学活动设计
从最简单的问题入已知平面内一向量 a 是该平面内两个不共线向量手，以提高学生学习 b ， c 的和，怎样表达？的积极性。问题 1：学生已经如果向量 b 与 e1 共线、c 与 e2 共线，上面的表达式学习过共发生什么变化？线向量定理，运用共根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：线向量定理解决这 a = 1 e1 2 e2 里的问题引入课题：平面向量基本定理应该不难。问题 2：在教学中，对平面向量基本定理的理解，我们应注意些什应基于学么？生的知识 2、探究定理生长点。注意：（1） e1 , e2 是不共线的；（为什么？）让同桌之间相互讨底；论，经过讨论后，提问（3）向量 a 是任意的，但一经确定后， 1 , 2 是唯不同的学一的；生，给出评（4）基底具有不唯一性。价，让学生（5）对这一式子：们自己归纳出理解 a = 1 e1 2 e2 称为用 e1 , e2 线性表示 a 。平面向量 3、例题讲解理时应注意的问题。（2） e1 , e2 叫做表示这个平面内所有向量的一组基

高中数学第二章平面向量平面向量基本定理学案无答案北师大版必修(1)

平面向量基本定理
班级姓名组号
【学习目标】1、了解平面向量基本定理及意义；
2、会用任意一组基底表示指定的向量；
3、能应用平面向量基本定理解决一些实际问题。

【学习重点】平面向量基本定理
【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用
【知识链接】1、、向量的加法运算（平行四边形法则）
2、数乘向量a λ的意义
3、向量共线的性质定理
【学习过程】
一、预习自学（自主阅读课本85—86页的内容，完成下列问题）
问题1：什么叫做基底？
问题2：平面向量基本定理是什么？
二、合作探究（深化理解）
探究一：画出两个不共线的向量→1e ，→
2e ，试作出下列向量
（1）→
1e +→2e （2）→1e +2→2e （3）→1e -2→
2e ？
探究二：如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 的中点，,AB a AD b ==用向量→
→b a ,BF DE 和。

探究三：若将探究二中的“E 、F 分别是BC 和DC 的中点”，改为CF=CD 31,CE=CB 3
1
，其余条件不变，试用向量→
→b a ,表示BF DE 和。

探究四：如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，=a,,AB AC b =
（1）试用→→b a ,表示AD ；（2）若点G 是ABC ∆的重心，能否用→→b a ,表示AG ；
（3）若点G 是ABC ∆的重心，那么?GA GB GC ++=
三、达标检测
1、课本86页练习第2题
2、课本87页习题A 组第6题
3、课本87页习题A 组第7题。

高中数学第二章平面向量32平面向量基本定理课件北师大版必修4

[类题通法] 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
[针对训练] 1．[变设问]在典例条件下，若―CM→＝a，―C→N ＝b，试用 a，b 表
[针对训练]
如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，BA＝
a，BC ＝b.试以 a，b 为基底表示 EF ，DF ，CD. 解：∵AD∥BC，且 AD＝13BC， ∴ AD＝13BC ＝13b. ∵E 为 AD 的中点， ∴ AE ＝ ED＝12 AD＝16b.
复习课件
高中数学第二章平面向量3.2平面向量基本定理课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第二章平面向量32平面向量基本定理课件北师大版必修4
3．2 平面向量基本定理
一、预习教材·问题导入 1．什么叫平面向量的基底？基底是唯一的吗？ 2．平面向量的基本定理内容是什么？
二、归纳总结·核心必记
三、基本技能·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量都可能作为基底
(× )
(2)如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线向量，则 λe1＋μe2(λ，μ∈
R)可以表示平面 α 内的所有向量
(√ )
(3)若实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0
得λ2＋λ＋2μμ＝＝22，，解得λμ＝＝2323，. ∴―A→P ＝23―AM→，―B→P ＝23―B→N ， ∴AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.

高中数学第二章平面向量 3.2 平面向量基本定理学案北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)．知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．【预习评价】(1)0能不能作为基底？提示由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底．(2)平面向量的基底唯一吗？提示不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底．题型一对向量基底的理解【例1】如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．答案②③规律方法考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．【训练1】设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案 23 －13【例2】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析由题得AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.答案 A【迁移1】在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝CD →”试用AB →、AC →表示AD →. 解 AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋BC → ＝AC →＋AC →－AB →＝2AC →－AB →.【迁移2】在例题中将“BC →＝3CD →”改为“BC →＝－3CD →”试用AB →，AC →表示向量AD →. 解由题AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13BC →＝AC →－13()AC →－AB→＝AC →－13AC →＋13AB →＝23AC →＋13AB →. 规律方法应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系． (2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等．(3)一个重要结论：设a 、b 是同一平面内的两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2.题型三平面向量基本定理的应用【例3】如图，△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，设BA →＝a ，BC →＝c . (1)用a ，c 表示向量AE →；(2)若点F 在AC 上，且BF →＝15a ＋45c ，求AF ∶CF .解 (1)∵AC →＝BC →－BA →＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝12(c －a )，∴AE →＝12(AB →＋AD →)＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a . (2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a )＝(1－λ)a ＋λc . 又BF →＝15a ＋45c ，∴λ＝45，∴AF →＝45AC →，∴AF ∶CF ＝4∶1.【训练2】设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值． (1)证明设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23，∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)解设c ＝m a ＋n b (m 、n ∈R )，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b.(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ、μ的值分别为3和1.课堂达标1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2解析 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．答案 B2.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14b D.34a ＋14b解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .答案 B3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案 434．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .则用a 、b 表示向量AG →＝________.解析如图，连接AG 并延长，交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 答案 13a ＋13b5．设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解如图，MN →＝CN →－CM → ＝13CA →－23CB → ＝－13AC →－23(AB →－AC →)＝13AC →－23AB →＝13b －23a . 同理可得NP →＝13a －23b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13b .课堂小结1．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①一组基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件． (2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量． 2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析由基底的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基底．答案 B2．如图所示，在矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析 OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(5e 1＋3e 2)．答案 A3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．梯形解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2 BC →，故为梯形．答案 D4．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1，e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1＋λ2e 2，则a 与e 1________，a 与e 2________(填共线或不共线)．解析若a 与e 1共线，则存在实数λ使a ＝λe 1＝λ1e 1＋λ2e 2，则e 1与e 2共线，这与e 1，e 2不共线矛盾．答案不共线不共线5．已知e 1、e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a 、b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____________________．解析若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线．a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b 得λ≠4.答案 (－∞，4)∪(4，＋∞)6.如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)已知c ＝3e 1＋4e 2，以a ，b 为基底，表示向量c .(2)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解 (1)设c ＝λa ＋μb ，则3e 1＋4e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3，3μ－2λ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.所以c ＝a ＋2b . (4)4e 1－3e 2＝λa ＋μb ＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(3μ－2λ)e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，3μ－2λ＝－3.解得λ＝3，μ＝1.能力提升8．设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．－14D ．－34解析因为3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，所以(3x －4y ＋7)e 1＋(10－y －2x )e 2＝0，又因为e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋7＝0，10－y －2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，故选B.答案 B9．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125C.85D.45解析 ∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →， ∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案 C10．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋4PC →＝AB →，则△PBC 与△PAB 的面积比为________．解析 PA →＋PB →＋4PC →＝AB →＝A P →＋PB →，所以4PC →＝2AP →，即P 在AC 边上，且AP ＝2PC ，所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.答案 1∶211．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.答案 1212.如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，以a 、b 为基底表示OP →.解 ∵OP →＝OM →＋MP →，OP →＝ON →＋NP →，设MP →＝mMB →， NP →＝nNA →，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12(1－n )b ＋n a .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 131－m ＝n ，121－n ＝m ⇒n ＝15，m ＝25， ∴OP →＝15a ＋25b . 13．(选做题)如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BG GE的值．解设AG GD ＝λ，BG GE＝μ.∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，∴AD →＝12(AB →＋AC →)．又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)， ∴AG →＝λ1＋λAD →＝λ21＋λAB →＋λ21＋λAC →.又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →)，∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →，AG →＝11＋μAB →＋μ1＋μAE →. 又AE →＝23AC →，∴AG →＝11＋μAB →＋2μ31＋μAC →. ∵AB →，AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝4，μ＝32.∴AG GD ＝4，BG GE ＝32.。

高中数学第二单元平面向量2.2.1平面向量基本定理学案北师大版必修4(2021学年)

２01７-2０18学年高中数学第二单元平面向量2.2.1 平面向量基本定理学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二单元平面向量 2.2．１平面向量基本定理学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

1 平面向量基本定理学习目标 1。

理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的含义.2．在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其他向量。

3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。

知识点一平面向量基本定理思考1 如果e１，e2是两个不共线的确定向量,那么与ｅ1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,ｅ２表示？依据是什么？思考2 如果e1，e2是共线向量,那么向量ａ能否用ｅ1,e2表示？为什么?思考 3 若存在λ1,λ2∈R，μ１,μ2∈Ｒ,且a＝λ1e1+λ2e2,a＝μ1e１+μ2ｅ２,那么λ1，μ,λ2,μ2有何关系?１梳理（1)平面向量基本定理如果e１，e2是同一平面内的两个_＿＿___＿_向量，那么该平面内的___＿____向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=_____＿_＿.(2)基底把＿__＿____向量e1,ｅ2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{ｅ1，e2}．ａ1e１+ａ2ｅ叫做向量a关于基底｛e１，e2｝的分解式．２知识点二直线的向量参数方程式思考1 什么是直线的向量参数方程?思考2 直线的向量参数方程式有什么用途?梳理（1)直线的向量参数方程式已知Ａ、B是直线ｌ上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上____＿＿__一点Ｐ,存在唯一的实数ｔ满足向量等式错误!=_______＿____,反之,对每一个实数ｔ,在直线ｌ上都有＿＼s＼up6（→)=________叫做直线l的向量参数方__＿＿_＿_的一个点P与之对应．向量等式OP程式,其中实数t叫做参变数，简称____＿___。

高中数学第二单元平面向量 2.2.1 平面向量基本定理学案北师大版

2.2.1平面向量基本定理学习目标1。

理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量。

3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题。

知识点一平面向量基本定理思考1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么？思考2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？思考3 若存在λ1,λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2,那么λ1,μ1,λ2，μ2有何关系？梳理(1）平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么该平面内的________向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a＝________.(2)基底把________向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为｛e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2｝的分解式。

知识点二直线的向量参数方程式思考1 什么是直线的向量参数方程？思考2 直线的向量参数方程式有什么用途？梳理（1)直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点,O是l外一点(如图所示），对直线l上________一点P，存在唯一的实数t满足向量等式错误!＝____________,反之,对每一个实数t，在直线l上都有________的一个点P与之对应.向量等式错误!＝________叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数,简称________。

（2）线段中点的向量表达式在向量等式错误!＝（1－t)错误!＋t错误!中，若t＝错误!,则点P是AB的中点，且错误!＝________，这是线段AB的中点的向量表达式。

类型一对基底概念的理解例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )①λe1＋μe2(λ,μ∈R）可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a,使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个;③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2);④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A。

高中数学第二章《平面向量》全部教案北师大版必修4

高中数学第二章《平面向量》全部教案北师大版必修4 第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。

问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等。

注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。

记作：−→−AB 注意：起点一定写在终点的前面。