2019-2020年高中数学 2.1.2指数函数及其性质(二)全册精品教案 新人教A版必修1
高中数学《指数函数及其性质》教案
高中数学《指数函数及其性质》精品教案一、教学目标1. 让学生理解指数函数的定义，掌握指数函数的性质。
2. 培养学生运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的探究和运用能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与表达式2. 指数函数的单调性3. 指数函数的奇偶性4. 指数函数的图像与性质5. 实际问题中的指数函数应用三、教学重点与难点1. 重点：指数函数的定义、性质及其应用。
2. 难点：指数函数图像的特点，以及如何运用指数函数解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探究指数函数的性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解指数函数的图像与性质。
3. 通过实际问题的引入，培养学生的应用能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的指数知识，引发学生对指数函数的好奇心。
2. 新课讲解：介绍指数函数的定义、表达式，分析指数函数的单调性和奇偶性。
3. 案例分析：分析实际问题中的指数函数应用，让学生体会数学与生活的联系。
4. 课堂练习：设计相关练习题，巩固学生对指数函数的理解。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对指数函数定义、性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程，评价其运用指数函数解决实际问题的能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作交流和探究能力。
七、教学资源1. 教材：高中数学教材相关章节。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解指数函数的性质。
3. 练习题：设计具有梯度的练习题，巩固学生对指数函数的理解。
4. 实际问题：收集与生活相关的指数问题，激发学生的学习兴趣。
八、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解指数函数的定义与表达式，分析单调性和奇偶性。
2. 第3课时：探讨指数函数的图像与性质。
3. 第4课时：分析实际问题中的指数函数应用。
九、课后作业1. 复习指数函数的定义、性质及其图像。
高中数学必修1+2.1.2指数函数及其性质+教学设计
2.1.2指数函数及其性质教学设计一、教学任务分析本课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修一）（人教版）指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，先让学生了解指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立，函数图象的绘制及基本性质作初步的介绍。
课标要求理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，初步探索并理解指数函数有关的性质。
本节课属于新授课，通过引导，组织和探索，让学生在学习的过程中体会研究具体指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的的方法等，使学生能更深刻理会指数函数的意义和基本性质。
二、本节课教学目标1.知识与技能:(1)掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数.(2)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质.2.过程与方法：引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数当底分别是0＜a＜1,a＞1的性质。
3.情感、态度、价值观：使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神.4.重点：指数函数的概念性质难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质分裂次以后得到的细胞个数与有怎样的关系截去次后尺子剩余的长度与有怎样的关系3.观察函数2x y =,y=(1/2)x 与y=ax 的相同特点.建构数学（用投影仪，把两个例子展示到黑板上）[师]:通过问题1,2的分析同学们得出y 与x 之间有怎样的关系?[生1]:分裂一次得到2个细胞,分裂两次得到4个细胞,分裂三次得到8所以分裂x 次以后得到的细胞为2x 个,即y 与x 之间为2x y =.[生2]:第一次剩下绳子的1/2,第二次剩下绳子的1/4,第三次剩下绳子的1/8,那么剪了x 次以后剩下的绳长为1/2x 米,所以绳长y 与x 之间的关系为(1/2)x y =.（学生说完后在屏幕上展示这两个式子）[师]:这两个关系式能否都构成函数呢?[生]:每一个x 都有唯一的y 与之对应,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函数.[师]:（接着把2x y =打出来）既然这两个都是函数,那么同学们观察我们得到的这两个函数2x y =,(1/2)xy =在形式上与函数y=x2有什么区别.(引导学生从自变量的位置观察).[生]:前两个函数的自变量都在指数的位置上,而2y x =的自变量在底上.[师]:那么再观察一下2x y =,(1/2)x y =与函数x y a =有什么相同点? [生]:他们的自变量都在指数的位置,而且他们的底都是常数.[师]:由此我们可以抽象出一个数学模型xy a =就是我们今天要讲的指数函数.（在屏幕上给出定义）定义:一般地,函数x y a = (a ＞0，a≠1)叫做指数函数,它的定义域是R.概念解析1:[师]:同学们思考一下为什么x y a =中规定a ＞0，a≠1?(引导学生从定义域为R的角度考虑).（先把a=0，a ＜0，a=1显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果）[生]:⑴若a=0,则当x=0时, 00x a =没有意义.⑵若a ＜0,则当x 取分母为偶数的分数时,没有意义.例如:. ⑶若a=1,则1x a =,这时函数就为一个常数1没有研究的价值了.所以,我们规定指数函数的底a ＞0，a≠1.概念解析2:[师]:我们知道形如x y a =（a ＞0，a≠1）的函数称为指数函数. 通过观察我们发现：⑴x a 前没有系数，或者说系数为1.即1*x a ；⑵指数上只有唯一的自变量x ；⑶底是一个常数且必须满足：a ＞0，a≠1.那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题2）问题1.⑴10x y =，⑵110x y +=，⑶101x y =+，⑷2*10x y = ⑸10x y -=，⑹(10)xy a =+ (a>－10且a ≠－9），⑺10y x =，⑻x y x =[生1]:（答）⑴(6)为指数函数.⑵⑶⑷⑸⑺⑻不是.[生2]:我不同意，(5)应该是指数函数，因为10x y -==(1/10)x . [师]:很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数.所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质.[师]:上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质.根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？[生]:（共同回答）列表，描点，连线.[师]：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出2x y =，(1/2)x y =和3x y =，(1/3)x y =的函数图象.（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来）[师]:那么我们下面就作出函数：2x y =，(1/2)x y =，3x y =，(1/3)x y =的图象[师]:通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来）[生1]:函数的定义域都是一切实数R ，而且函数的图象都位于x 轴上方.[师]:函数的图象都位于x 轴上方与x 有没有交点？随着自变量的取值函数值的图象与x 轴是什么关系？[生1]:没有.随着自变量x 的取值函数的图象与 轴无限靠近.[师]:即函数的值域是：(0，+∞).那么还有没有别的性质？[生2]:函数(1/2)x y =、(1/3)x y =是减函数，函数2x y =、3xy =是增函数. [师]:同学们觉的他这种说法有没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此必须说明是在哪个范围内.那么上述的结论可以归纳为：[生2]:当0＜a ＜1时，函数x y a =在R 上是减函数，当a ＞1时，函数xy a=在R 上是增函数.[师]:很好，请坐！（提问［生3］）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？[生3]:当自变量取值为０时，所对的函数值为1.一般地指数函数xy a=当自变量取０时，函数值恒等于1.[师]:也就是说指数函数恒过点(0，1)，和底a的取值没有关系.那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量x之间有什么关系？1/2[生3]:由图象可以发现：当0＜a＜1时，若x＞0，则0＜f(x)＜1；若x＜0，则1<f(x).当a＞1时，若x＞0，则f(x)＞1；若x＜0，则0＜f(x)＜1.[师]:刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系?[生4]:函数2xy=与(1/2)xy=的图象关于y轴对称,函数3xy=y=与(1/3)x 的图象关于y轴对称,所以是偶函数.[师]:前面的结论是正确的,同学们说后面那句话对吗?[生]:(共同回答)不对,因为函数的奇偶性是对一个函数的,所以没有这个性质.[师]:由此我们得到一般的结论,函数x=的图象关于y轴对称.y a-=与xy a[师]: 很好,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来,放到一张表格内.巩固与练习：[师]:.我们既然知道了底的取值范围,那么看这样一个问题:问题1.已知函数(32)xy a =-为指数函数，求a 的取值范围.（屏幕上给出问题）[生]:由于3a-2作为指数函数的底因此必须满足：回顾小结：1.y=ax(a＞0，a≠1)，x∈R要能根据概念判断一个函数是否为指数函数.2.指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性）.3.利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象.五、教学反思：本节课较好地体现了以教师为主导，学生为主体，以知识为载体和以培养学生的思维能力，特别是研究问题能力为重点的教学思想。
高中数学新人教版A版精品教案《2.1.2 指数函数及其性质》
达
标
练
习
（1）已知指数函数 的图象过点（ ，）,求 的值。
（2）已知指数函数 在R上是增函数，求a的取值范围。
（3）已知指数函数 在>0时，函数值总大于1，求a的范围。
学生合作完成，个别同学上黑板演示
总
结
1、本节课学习了哪些知识
2、在学习过程中我们使用了哪些数学方法？
（1）得到定义，得到图象：
（b）能否类比前面学习函数性质的思路，来学习指数函数的性质呢？
为便于研究，先看一下前面学习的 和 ，我们先画一下它们的图像
画函数 和 的图象
学生
填表格
…
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
…
8
4
2
1
…
从
特
殊
到
一
般
得
出
性
质
图
象
定义域
值域
性质
师生总结，师生互动，通过交流，发现异同，总结规律
例
题
示范：
已知指数函数 （a>0且 ）的图象经过点（ ）求 ， ， 的值
教
学
目
标
一、知识和技能：
1、理解指数函数的概念和意义，注意底数的取值范围及指数函数的定义域。
2、掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的性质解决一些简单的问题。
二、过程与方法：
在学习过程中体会研究指数函数 （a>0且 ）的图象和性质的从具体到一般的过程，数形结合的方法。
三、情感，态度，价值观：
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识。
【人教A版】2.1.2指数函数及其性质教案
2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标1.了解指数函数的概念，掌握指数函数的定义域、值域的求法；2.会绘制指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质；3.能利用指数函数的单调性比较幂的大小. 二、教学重难点重点：有理数指数幂的运算 难点： 三、知识结构四、导入这节课我们一起来了解指数函数. 五、名师解析知识点一：指数函数的概念 1.指数函数的定义一般地，函数xa y =(a ＞0，且≠a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量．它的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x ；(3)系数：xa 的系数是1. 2.指数函数的图象与性质例1.下列函数中，哪些是指数函数？(1)xy 4=；(2)4x y =；(3)xy 4-=；(4)xy )4(-=；(5)x y π=；(6)24x y =；(7)xx y =； (8)y ＝(2a －1)x (a >12且a ≠1)．例2.求下列函数的定义域与值域： (1)412-=x y ； （2）xy -=)32(.例3.当a ＞0且≠a 1时，函数3)(2-=-x a x f 必过定点________．例4.图中的曲线是指数函数y ＝a x 的图象，已知a 的值取3，101，34，53四个值，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A ．34，3，101，53B ．53，101，3，34C ．101，53，34，3D ．3，43，53，101例5.解不等式：2)21(22≤-x巩固练习：1.函数y ＝(2a 2－3a ＋2)·a x 是指数函数，则a 的值________．2.指数函数f (x )的图象过点(－3，81)，则f (2)＝________. 3.函数)10(1)(1≠>+=-a a a x f x 且恒过定点P .4.解不等式：（1）4323)21(2--<x x； （2）)10(512≠>≤-+a a a a x x 且.知识点二：指数函数单调性的应用 1.比较幂的大小比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．2．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域 形如)(x f ay =的函数的定义域就是)(x f 的定义域．求形如)(x f ay =的函数的值域，应先求出)(x f 的值域，再由单调性求出)(x f ay =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如)(x f ay =的函数的值域，要先求出xa u =的值域，再结合)(u f y =确定出)(x a f y =的值域．(2)判断复合函数的单调性令)(x f u =，[]n m x ,∈，如果复合的两个函数ua y =与)(x f u =的单调性相同，那么复合后的函数)(x f a y =在[]n m ,上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那和复合函数)(x f ay =在[]n m ,上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子)(x f 与)(x f -的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．例6.比较下列每组中两个数的大小： (1)5.27.1,37.1； (2)1.08.0-,2.08.0-； (3)3.07.1,1.39.0.例7.讨论函数f (x )＝(31)x 2－2x的单调性，并求其值域．例8.求函数y ＝(41)x ＋(21）x＋1的值域．巩固练习：1.比较下列各题中两个值的大小： (1)1.8－0.11，8－0.2； (2)1.90.3， 0.73.1； (3)a 1.3，a 2.5(a ＞0，且a ≠1)．2.求函数f (x )＝(21)x 2－6x ＋17的定义域、值域、单调区间．3.已知093109≤+⋅-xx ，求函数2)21(4)41(1+-=-x x y 的最大值与最小值.六、课后练习1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ．y ＝3x －1D ．y ＝3x2．函数y ＝x24-的定义域是( )A ．(0,2]B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[1，＋∞)3.函数①y ＝3x ；②y ＝2x ；③y ＝(21)x ；④y ＝(31)x .的图象对应正确的为( )A ．①－a ②－b ③－c ④－dB ．①－c ②－d ③－a ④－bC ．①－c ②－d ③－b ④－aD ．①－d ②－c ③－a ④－b 4.已知f (x )＝ax-(a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．a <1D ．0<a <15．函数y ＝(21)x 2-3x +2在下列哪个区间上是增函数( ) A ．(－∞，23] B ．[23，＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 6.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b7.若函数f (x )＝⎩⎨⎧-≥-<+--1,,1,1)1(x a x x a x (a ＞0，且a ≠1)是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是 . 8.函数y ＝(32)x -1的单调递减区间是________．9.若a x ＋1＞(a1)5－3x(a ＞0，且a ≠1)，求x 的取值范围．七、课堂反馈。
2.1.2指数函数及其性质教案doc
2.1.2指数函数及其性质一、教学目标知识与技能：理解指数函数的概念、意义和性质，会画具体指数函数的图象。
过程与方法：利用实际背景，通过自主探索，培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力，通过具体的函数图象归纳出指数函数的性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法 。
情感、态度与价值观：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，充分发挥学生的主观能动性，培养他们勇于提问、善于探索的数学思维品质。
认识到数学来源于生活，并且服务于生活。
二、教学重点和难点重点：指数函数的概念和性质。
难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质。
三、教学过程（一） 创设情境、导入新课老师：在本章的开始，给出了两个问题：问题一：据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001--2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？问题二：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。
根据此规律，人们获得了碳14含量P 和死亡年数t 的之间对应关系.关系，为引出指数函数的模型 xa y =（a>0，a ≠1)做准备，以利于学生体会指数函数的概念来自于生活，并且服务于生活。
（二） 师生互动、探究新知1.指数函数的定义老师：提出探究问题1：上述问题中的两个对应关系能否构成函数关系？ 提出探究问题2：上述两个函数有什么样的共同特征？学生：通过思考讨论不难得出探究1的结论：能够构成函数关系。
引导学生通过观察得出两个函数的共同特征：（1）幂的形式都一样；（2）幂的底数都是一个正常数； （3）幂的指数都是一个变量。
老师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成x a y =的形式，自变量在指数位置，我们把具有这种形式的函数叫做指数函数。
人教A版 数学必修一 2.1.2 指数函数及其性质教案
2.1.2 指数函数及其性质教案一、教学目标1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会特殊到一般的数学学习方法及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.二、重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.三、教学过程导入新课问题一: 一张纸的厚度大约是1毫米，把一张纸对折一次，厚度变为2毫米，对折两次，厚度为4毫米，对折三次为8毫米，对折30次之后，你敢站在上面往下跳吗？对折x 次之后，纸的厚度y 变为多少？y 是x 的函数吗？问题二：设棰（棍）的长度为1，写出x 天后剩下的长度y 的表达式。
这是一个函数吗？ 新知探究1、函数x y 2=与函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21具有哪些相同的特征？ 2、你能否写出类似结构的函数表达式？3、能否将上述几个具体的函数表达式统一写成一般的函数表达式呢？给出定义一般地,函数y=a x (a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x 叫自变量,函数的定义域是实数集R.。
思考：为什么规定a>0且a ≠1？ 6.0x y = 是指数函数吗？ 函数的性质有哪些？可以通过什么方法研究这些性质？ 画一个未知函数的图象图象常经过什么步骤？同学自主画出y=2x 和y=(21)x 的图象。
思考：把y=2x 和y=(21)x 的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗? 能否用y=2x 的图象画y=(21)x 的图象?请说明画法的理由. 再画下列函数的图象以作比较,y=3x ,y=(31)x .观察函数图象的特点,推广到一般的情形. 一般地,指数函数y=a x 在底数a ＞1及0＜a ＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：1;④在R 上是减函数,当x ＜0时,y ＞1;当x ＞0时,0＜y ＜1 四、典例分析例1判断下列函数是否是一个指数函数？y=x 2,y=8x ,y=2·4x ,y=(2a-1)x (a>21,a≠1),y=(-4)x思考: .例2已知函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的图象经过点),3(π，求)3(),1(),0(-f f f 的值。
人教版高中数学必修一：2.1.2 指数函数及其性质教案
2.1.2指数函数及其性质教学设计一、教学目标：知识与技能：理解指数函数的概念和意义，画出具体指数函数的图象，探索并理解支书函数的单调性和特殊性。
过程与方法：通过观察指数函数的图象，归纳出指数函数的性质。
领会具体到一般，数形结合的数学思想方法。
情感态度与价值观：通过对指数函数的学习，体现数学的应用价值，培养学生自主探索的精神。
二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。
三、教学基本流程：（一）创设情景问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出x 与y 之间的函数关系式吗？学生回答: y 与x 之间的关系式,可以表示为y ＝2x 。
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。
”请你写出截取x 次后，木棰剩余量y 关于x 的函数关系式？学生回答:设计意图：引导学生通过上面两个式子对指数函数的概念进行概括。
（二）自主学习 1．指数函数的定义一般地，函数()10≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .思考：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？(1)若a<0会有什么问题？（如21,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） )()21(*N x y x ∈=(2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,xa 无意义）(3)若a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 由以上，同学们对指数函数有一定的了解。
练：指出下列函数那些是指数函数：设计意图：通过练习1，进一步对指数函数有一个清晰的了解，能够区分出指数函数。
2．指数函数的图像及性质在同一平面直角坐标系内画出指数函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图象（画图步骤：列表、描点、连线）。
人教版高中数学必修一2-1-2《指数函数及其性质》公开课教案
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
精品教案 2.1.2 指数函数及其性质
2.1.2 指数函数及其性质第1课时本教学设计获福建省数学设计大赛一等奖.整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨． 师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y 表示，每位同学的座号数用x 表示，y 与x 之间的关系分别是什么？学生很容易得出y ＝2x (x ∈N *)和y ＝2x (x ∈N *)． 学情预设学生可能会漏掉x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x 的取值范围． 二、师生互动、探究新知 1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y ＝2x 类似的关系式y ＝1.073x (x ∈N *，x ≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y ＝2x (x ∈N *)和y ＝1.073x (x ∈N *，x ≤20)这两个解析式有什么共同特征？ ②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)． 对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在)②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要) 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话． ①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝kx，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备． 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x，y ＝32x ，y ＝－2x .学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解． 2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？ 设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？ 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透． (2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)； ③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流． 学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导． 通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟) 师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a 的值，追踪y ＝a x 的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的 0＜a ＜1a ＞1(0，＋∞)过定点(0,1)非奇非偶在R 上是减函数 在R 上是增函数分钟)1．例：已知指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点(3，π)，求f (0)，f (1)，f (－3)的值．解：因为f (x )＝a x 的图象经过点(3，π)，所以f (3)＝π，即a 3＝π.解得13πa=，于是f (x )＝3πx .所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π.设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝⎛⎭⎫13x的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y=112xy⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？ 学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通． 4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y ＝1.7x 的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1. 解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y ＝1.7x ，当x ＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y ＝0.8x ，当x ＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y ＝0.8x 在R 上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1. 点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x xx aa a ax -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a -，即21x xa -－1＞0.又因为1xa ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数． 同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x xaaa-=.因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a -＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．x例3 1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底 人口约为13亿；经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿； 经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿； ……经过x 年 人口约为13(1＋1%)x 亿； 经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数． 答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x )的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)． 答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅ 解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B . 答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x 时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x ，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010xxx x +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010xxxx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x 是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x 图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>∴1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系．(1)①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝⎛⎭⎫12x，②y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1. 活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x ，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到；y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到；y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象间有如下关系： y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象左移1个单位得到； y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象由y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到． 你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考． 课堂小结 思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B 组 1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a ＞1,0＜a ＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时 指数函数及其性质的应用(2)导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y ＝3x ，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y ＝a x 与y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于且小于1第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1从左向右图象逐渐上升从左向右图象逐渐下降①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．0.031 250.062 50.1250.250.5图7比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．点评：类似地，我们得到y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，a≠1，m∈R)之间的关系：y＝a x＋m(a＞0，m∈R)的图象可以由y＝a x的图象变化而来．当m＞0时，y＝a x的图象向左移动m个单位得到y＝a x＋m的图象；当m＜0时，y＝a x的图象向右移动|m|个单位得到y＝a x＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．。
高中数学2.1.2指数函数及其性质教学设计2新人教A版必修1
指数函数及其性质教学设计阐明新课标指出：先生是教学的主体，教师的教应本着从先生的认知规律出发，以先生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础对教学设计加以阐明。
【数学本质】探求指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象打破，领会数形结合的思想。
经过分类讨论，经过研讨四个具体的指数函数引导先生经过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的普通性质，经历一个由特殊到普通的探求过程。
引导先生探求出指数函数的普通性质，从而对指数函数进行较为零碎的研讨。
【教材的地位和作用】本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章2.1 .2节的内容，研讨指数函数的定义，影象及性质。
是在先生曾经较零碎地学习了函数的概念，将指数扩充到实数范围以后学习的一个重要的基本初等函数。
它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数的基础。
因而，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。
此外，《指数函数》的知识与我们的日常消费、生活和科学研讨有着紧密的联系，特别体如今细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因而学习这部分知识还有着广泛的理想意义。
【教学目标分析】根据本节课的内容特点和先生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的理论情况，确定在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。
本节课的难点是指数函数影象和性质的发现过程。
为此，特制定以下的教学目标：1）知识目标（直接性目标）：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单运用、能根据单调性解决基本的比较大小的成绩.2）能力目标（发展性目标）：经过教学培养先生观察、分析、归纳等思想能力，领会数形结合和分类讨论思想，加强先生识图用图的能力。
3）情感目标（可持续性目标）：经过学习，使先生学会认识事物的特殊性与普通性之间的关系，用联系的观点看成绩。
领会研讨函数由特殊到普通再到特殊的研讨学习过程；体验研讨函数的普通思想方法。
高中数学《指数函数及其性质》公开课优秀教学设计二.docx
2.1.2指数函数及其性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修1》（人教 A 版）第二章第一节的第三课时《指数函数及其性质》.一、教学背景分析1.教学内容分析指数函数是高中生在学习了函数的概念及性质后学习的第一个具体的函数.指数函数的学习，一方面可以进一步深化对函数概念的理解，另一方面也为研究对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数打下基础.本节课的教学内容是指数函数及其性质.通过实际情境的设置，学生体验从实际问题中抽象概括出指数函数的概念；学生经历自主探究，从中感悟指数函数的图象与性质，这是本节课的一条明线；在探索指数函数性质的过程中，学生体验研究函数的基本方法，是本节课的一条暗线，也是今后研究函数的主线.2.学生学情分析在初中，学生研究过一次函数、二次函数、反比例函数等具体的函数，能借助列表、描点的方法作图，通过观察图象，获得对函数基本性质的直观认识.到高中，学生学习了用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系——函数的概念，在此基础上讨论了研究函数性质的一般方法 .到了第二章的学习中，学生完成了指数取值范围的扩充，具备了进行指数运算的能力 .为本节课的学习奠定了基础 .二、教学目标设置基于以上分析，根据本节课的教学内容、课程标准的要求和学生的实际情况，确定本节课的教学目标为：（1）知识与技能①了解指数函数的实际背景，体会建立一个函数的基本过程和方法；②体会研究一个函数的基本方法；③理解指数函数的概念、图象与性质.（2）过程与方法①在实际问题中，抽象出指数函数的概念，认识数学与现实生活及其它学科的联系 .②能借助计算器画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会研究具体函数的过程和方法，如从具体到抽象的研究过程，数形结合的方法 .（3）情感态度与价值观在探究活动中，通过独立思考与合作交流，发展思维，养成良好的思维习惯，提升自主学习能力 .教学重点：指数函数的概念和性质.教学难点：建立指数函数的概念，探究指数函数的性质.三、教学策略分析为了更好的突出教学重点，一方面，我引导学生讨论底数的取值范围，关键在于帮助学生认识底数取值范围的合理性 .这样指数函数概念的形成经历了由特殊到一般，由具体到抽象的渐进过程，更加符合学生的认知规律 .另一方面，引导学生先明确研究函数的内容与方法，从整体上把握研究函数的方向，在此基础上，给予学生充分的时间，让学生经历独立思考、同学讨论的探究过程，归纳出指数函数的性质 .为了突破难点，我采取了以下措施：首先，我让学生在一个自己认为可以的范围内任取底数 a 的值，然后作出图象，用形的直观引导学生主动的分析 a 的范围，再结合上节课指数的运算来帮助学生分析 a 的范围，这不仅为概念的形成做好准备，其分析过程中形数互助的方法也为接下来探究指数函数的性质做好了铺垫 .而对于指数函数性质的探究，借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况，为归纳、概况指数函数的性质及不同函数之间的联系做好准备，进而突破难点 .另外，整个教学过程中，教师都可以通过“截取班级”及时看到学生在图形计算器上的操作，有利于及时了解学生的想法和困难 .四、教学过程的设计与实施（一）建立指数函数概念问题 1请你想一想，这两个函数的结构有什么共同特征？①设 x 年后我国的 GDP 为 2000 年的y倍，那么：y 1.073x*(x N , x 2 0 )②生物体内碳 14含量 P 与死亡年数t之间的关系：1tP() 5730(t 0)2追问如果用字母来代替数，那么这样的函数可以更一般地表示为什么？【设计意图】考虑到知识间的联系，以本章开篇的两个例子为出发点，找出两个函数表达形式上的共同特征——底数是常数而指数是自变量，进而提炼出指数函数模型 y a x .对于这类函数来说，自变量是x 且自变量出现在指数位置上，底数是 a .为了使 y a x更具有代表性，应用更广泛，自变量x 可以取全体实数 .这时，以上两个例子的不同之处就在于底数不同，那么你认为底数 a 可以取哪些值呢？画几个图象看看！活动 1通过画几个具体函数图象，看 a 的取值情况 .【设计意图】结合上一节课指数与指数幂的运算，引导学生分析 y a x的底数 a 的范围 .底数不能为负数对于学生自己发现是困难的，因此借助图形计算器，让学生画出几个图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮助分析原因.引入课题：这就是我们今天要研究的 2.1.2 指数函数及其性质 .引出课题并板书指数函数的概念：一般地，函数 y a x（a 0 且 a1）叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数的定义域为R .（二）探究指数函数性质建立了一个函数，接下来就要来探究这个函数的性质.问题 2你打算怎样研究指数函数的性质呢？问题 3我们一般要研究哪些性质呢？下面大家开始探究指数函数的性质.活动 2探究指数函数的性质.【设计意图】1.引导学生讨论研究指数函数性质的方法，思考需要研究函数的哪些性质，强调形数互助 .进而突出函数图象在研究性质中所起到的直观的作用 .2.指数函数的图象是讨论它的性质的重要载体.借助图形计算器的画图功能，可以非常直观的观察、归纳指数函数的性质.问题 4几个具体函数所具有的特征能代表这类函数的共同特征吗？（视学生情况，教师提示：为了探究这类函数的共同特征，借助计算器的游标功能让a取遍大于 0 且不等于 1 的所有实数 .）活动 3 借助计算器的游标功能，画出以a为底指数函数图象，进一步探究指数函数的性质 .【设计意图】1.经历从具体到一般地研究函数性质的方法，通过独立思考和交流讨论，概括出指数函数的性质，培养学生的表达能力.2.借助图形计算器的作图和游标，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生方便地观察函数的整体变化情况 .这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函数之间的联系与区别非常有利 .利用图形计算器便于探究指数函数的性质，如果不用图形计算器等多媒体工具怎么办？活动 4动笔画出两个指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的性质.y yO xOx【设计意图】会用描点法画指数函数的图象，在画图中进一步体会指数函数的性质 .（三）应用指数函数知识例1已知指数函数 f ( x) a x（a0且a1）的图象经过点 (3,) ，求 f (0)，f (1) ， f ( 3) .【设计意图】利用待定系数法求指数函数的解析式，通过求函数值，再次体会指数函数中的对应关系 .例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）1.72.5，1.73；（2）0.80.1，0.80.2；（3）1.70.3，0.93.1 .【设计意图】例 2 通过构造指数函数回到指数函数的性质中，体会利用指数函数的单调性可以判断相应函数值的大小关系，加深对指数函数性质的理解.（四）课堂小结与布置作业1.课堂小结（视时间对以下三个问题，请学生自由发言进行总结或教师总结）①本节课你学习了哪些知识？②回顾一节课的研究过程，我们是怎么研究的？③你还有什么问题吗？2.布置作业【设计意图】从以上两个方面让学生回顾这堂课的探究过程，总结提升.“指数函数”点评1.总体评价众所周知，指数函数是高一学生学习了函数的概念、图象与性质后学习的第一个新的初等函数，它是用来刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，同时，对我们研究函数的一般方法、建构数学概念的“基本套路”提供了又一次的教学实践 .本节课按照“情景引入，归纳共同特征，得出定义→探究指数函数性质→指数函数简单应用” ，通过图形计算器的加入，学生在问题的引导下开展自主探究，学生的参与度很广，学习的积极性很高，本节课无论是概念的得出，还是函数性质的探究、以及知识的应用，每一个环节都显得大气而平实，连贯而自然 .2.图形计算器的加入，使得概念的教学生动翔实概念的教学最突出的特点是先讨论如何构建研究思路，然后放手让学生自主探索并归纳概括，在学生充分交流的基础上教师再适时介入 .本节课，谷老师正是按照这个理念进行的，教学过程中，始终围绕概念的核心展开，尤其是图形计算器的加入，让学生作出一些图象，通过形的直观来引领学生思考，再用数的运算来帮助分析原因，学生有了充分的活动空间和时间，对以往缠绕在我们心中是否对底数的限制进行探讨的问题，就可以迎刃而解了 .3.图形计算器的加入，更加放手让学生去探究指数函数的性质借助图形计算器的作图和游标功能，及其对函数图象能进行直接操作的优越性，例如函数图象变化的动态演示，重复引起变化的关键因素等等，可以使学生更加方便地观察函数的整体变化情况 . 这对于学生归纳、概括函数的性质及不同函数之间的联系与区别非常有利 . 教师先提出两个问题，即“ 问题2你打算怎样研究指数函数的性质呢？”和“问题 3 我们一般要研究哪些性质呢？” 在问题的引领下，学生利用图形计算器就开始了对指数函数性质的研究 . 整个课堂紧张而有序，活泼而不乱，经历了从具体到一般地研究函数性质的方法，通过学生独立思考和交流讨论，概括出指数函数的性质，培养了学生的表达能力.当然，本节课如果再放开一些让学生去探究，可能会让学生觉得更有成就感.。
高中数学新人教版A版精品教案《2.1.2指数函数及其性质教学设计》
指数函数及其性质教学设计一、教学目标分析—————————————————————————————————————————知识与技能目标：理解指数函数的概念，能用描点法画出指数函数的图象，并能通过图象探索指数函数的性质，且能应用其性质（单调性，底数变化图象的变化规律，中介值）比较数的大小。
过程与方法目标：体会从特殊到一般再到特殊的研究方法，培养观察、猜想、归纳，概括的能力。
从数和形两方面理解指数函数的性质，体会数形结合的数学思想方法，提高思维的灵活性，培养直观严谨的思维品质。
情感、态度与价值观目标：——————————————————————————————————————在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学习数学的兴趣，努力培养创新意识，同时由指数函数的性质渗透德育思想，体现数学情分析———————————————————————————————————————————通过前一阶段的教学，学生对函数和图象的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：知识层面：学生已初步掌握了函数的基本性质和简单的指数运算技能。
能力层面：学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。
情感层面：学生对数学新内容的学习有很大的兴趣和积极性。
但探究问题的能力还有待提高。
三、教学重点难点分析——————————————————————————————————————教学重点：指数函数的图象和性质。
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。
四、教学方法———————————————————————————————————————————采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过几何画板演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。
五、教学过程设计—————————————————————————————————————————5x ； （√）5x ；（×）5x ；（×）(5)x ；（×）；（√）23x ；（×）探究任务二：指数函数的图象和性质：指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质之后的接xπ=例：比较下列各题中两个值的大小:（1） 35.27.1 ,7.1 （2） 2.01.08.0 ,8.0-- （3） 1.33.09.0 ,7.1解：（1）解法一（函数单调性）：∵ 2.51.7和31.7的底数 1.71a =>，∴函数 1.7xy =在R 上是增函数，且2.53<，∴ 2.531.7 1.7<。
2019-2020年高中数学2.1.2-2指数函数的图像与性质全套教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学2.1.2-2指数函数的图像与性质全套教案新人教A版必修1【教学目标】（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．【教学重难点】教学重点：指数函数的的概念和性质．教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．【教学过程】㈠情景导入、展示目标1．（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口xx年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．xx年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．○1按照上述材料中的1%的增长率，从xx年起，x年后我国的人口将达到xx年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？2．上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？3．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？上面的几个函数有什么共同特征？㈡检查预习、交流展示1．根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义？2．指数函数的性质有哪些？㈢合作探究、精讲精练探究点一：指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．例１：指出下列函数那些是指数函数：（１）（２）（３） （４）（５）（6）（7）（８）)1,21(()12≠>=-a a y a x解析：利用指数函数的定义解决这类问题。
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2019-2020年高中数学 2.1.2指数函数及其性质（二）全册精品教案新
人教A版必修1
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
2．过程与方法：
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.
3．情感、态度与价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.
（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.
（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.
（三）教学方法
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.
（四）教学过程
∈
备选例题
例1 求下列函数的定义域与值域 （1）； （2）； （3）；
【分析】由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数函数的单调性求值域.
【解析】（1）令得 定义域为且. ，
∴的值域为且. （2）定义域为. ≥0， ≥
故的值域为≥. （3）定义域为.
22(2)221(21),x x x =+⋅+=+
且. 故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
例2用函数单调性定义证明a ＞1时，y = a x
是增函数.
【解析】设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h ∈R )， 则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a ＞1，h ＞0，∴， ∴，即
故y = a x
(a ＞1)为R 上的增函数，
同理可证0＜a ＜1时，y = a x
是R 上的减函数.
2019-2020年高中数学 2.1.2指数函数及其性质（二）教案 新人教A 版
必修1
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．过程与方法：
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观
（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点
1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.
2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程
问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
∈
备选例题
例1 求下列函数的定义域与值域
（1）；
（2）；
（3）；
【分析】由于指数函数且的定义域是，所以函数（且）与函数的定义域相同.利用指数
函数的单调性求值域.
【解析】（1）令得
定义域为且.
，
∴的值域为且.
（2）定义域为.
≥0，
≥
故的值域为≥. （3）定义域为.
22(2)221(21),x x x =+⋅+=+
且. 故的值域为.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
例2用函数单调性定义证明a ＞1时，y = a x
是增函数.
【解析】设x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2，并令x 2 = x 1 + h (h ＞0，h ∈R )， 则有)1(11112-=-=-+h x x h x x x a a a a a a ， ∵a ＞1，h ＞0，∴， ∴，即
故y = a x
(a ＞1)为R 上的增函数，
同理可证0＜a ＜1时，y = a x
是R 上的减函数.。