九年级期中复习——二次函数精讲

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九年级上册数学二次函数知识点

九年级上册数学二次函数知识点一、二次函数的概念。

1. 定义。

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。

2. 二次函数的特殊形式。

- 当b = 0时，二次函数为y=ax^2+c，例如y = 3x^2-2。

- 当c = 0时，二次函数为y = ax^2+bx，例如y=x^2+2x。

- 当b = 0且c = 0时，二次函数为y = ax^2，例如y=-x^2。

二、二次函数的图象和性质。

1. 二次函数y = ax^2的图象和性质（a≠0）- 图象：二次函数y = ax^2的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴为y轴（即直线x = 0）。

- 顶点坐标：顶点坐标为(0,0)。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。

- 当a < 0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小。

2. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。

- 图象：也是一条抛物线。

- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 增减性。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<-(b)/(2a)），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-(b)/(2a)），y随x的增大而增大。

九年级数学人教版第二十二章二次函数整章知识详解(同步课本知识图文结合例题详解)

问题1：
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
九年级数学第22章二次函数
问题2：多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n ＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作＿（＿n-＿3＿）条对角线.因此，n边形的对角线总数＿d＿= 12＿n2 ＿ 32＿n 此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 y=x2 … 9 4 1 0 1 4
∴y=30x2+10x
九年级数学第22章二次函数
5.（哈尔滨中考）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB 的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时 AB的长.
为什么a≠0呢?
九年级数学第22章二次函数
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．【解析】 (1)y=x2

二次函数核心内容精讲

二次函数核心内容精讲二次函数是数学中一种常见的函数形式，它的表达式可以写作f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，而且a不等于零。

本文将围绕二次函数的定义、图像、性质和应用等方面进行精讲。

一、定义二次函数是以x的平方项为最高次幂的多项式函数。

通常写作f(x)= ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

二、图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据二次函数的a值的正负和大小，抛物线的开口方向和形状会有所不同。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

三、性质1. 零点：二次函数的零点即为函数与x轴相交的点，可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求得。

如果方程有两个不同实根，那么函数的图像将与x轴交于这两个点；如果方程有两个相等的实根，那么函数的图像将与x轴相切于这一点。

2. 最值：二次函数的最值取决于抛物线的开口方向。

当a大于零时，函数的最小值为抛物线的顶点；当a小于零时，函数的最大值为抛物线的顶点。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的轴线。

对称轴可以通过取x = -b / (2a)来求得，即函数图像关于这条直线对称。

4. 范围：二次函数的范围取决于抛物线的开口方向。

当a大于零时，函数的范围为y大于等于抛物线顶点的纵坐标；当a小于零时，函数的范围为y小于等于抛物线顶点的纵坐标。

四、应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 物理学：抛物线的运动轨迹可以由二次函数来表达，例如自由落体运动中的位移函数、抛体运动中的轨迹函数等。

2. 经济学：二次函数可以用来描述市场的供求关系、成本与收益的关系等。

3. 工程学：在设计桥梁、弧线排水管道等工程项目时，二次函数可以用来描述曲线的形状和变化趋势。

结语通过对二次函数的定义、图像、性质和应用的精讲，我们可以更全面地理解和掌握二次函数的相关知识。

二次函数在数学和现实生活中都具有重要的应用，希望本文对读者有所帮助。

史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（Ｄ）2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ．解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ．解得 94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ．解得 94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1，x 2是方程x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋x 2＝m , x 1·x 2=m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1—x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PFBQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号．或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21．由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ，∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ． ∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。

九年级二次函数知识点讲解

九年级二次函数知识点讲解二次函数是初中数学中的重要内容之一，也是数学学习的基础。

本文将对九年级二次函数的知识点进行详细讲解，希望对同学们的学习有所助益。

一、二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。

其中a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的纵坐标偏移量。

二次函数的图像为一条平滑的曲线，被称为抛物线。

抛物线的顶点对应了二次函数的最值点，也是二次函数的最高点或最低点。

二、二次函数的图像二次函数的图像是由抛物线组成的。

对于二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，我们可以通过以下步骤绘制出其图像：1.计算出抛物线的对称轴位置，即取-b/2a得到x = -b/2a；2.计算出抛物线的顶点，即在对称轴上取x = -b/2a进行代入得到y坐标值；3.根据对称性，将顶点的横坐标左右对称，得到抛物线的两侧；4.根据函数的性质，计算出抛物线与x轴的交点，即当f(x) =ax^2 + bx + c = 0时求解x的值；5.将顶点、交点等关键点连接起来，即完成了二次函数的图像。

通过这一过程，我们可以描绘出二次函数的几何形状，进一步理解二次函数的性质和特点。

三、二次函数的最值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的最值点即为其顶点。

顶点的横坐标为-x轴系数除以2倍的a值，即x = -b/2a；纵坐标则可通过将横坐标代入函数中得到。

根据最值点的位置，我们可以判断二次函数的开口方向和最值点的位置。

当a>0时，二次函数开口向上，最值点为最低点，也是函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，最值点为最高点，也是函数的最大值。

四、二次函数的平移和伸缩二次函数的平移指的是抛物线在坐标系中的位置变化，可以通过改变函数的常数项c来实现。

当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。

中考复习二次函数知识点总结

中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。

一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。

在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。

二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。

3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。

注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。

三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。

2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。

此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。

四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。

2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。

3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。

4.求单调性：根据图像特征可以判断。

5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)

九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)九年级数学二次函数重点归纳总结(中考复习重要资料)二次函数知识点总结一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a≠0），则称y为x的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0），此时抛物线的顶点坐标为P（h，k）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A（x1，0）和B（x2，0）），对称轴所在的直线为x=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：x1x22bb4ac-b2-bb2-4ach=-，k=；x1,x2=；x1+x2=-2a2a4a2a三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x=-b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点2aP。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）bb4ac-b24ac-b22．抛物线有一个顶点P，坐标为P（-，）。

当x=-时，y最值=，当a>02a2a4a4a时，函数y有最小值；当a6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交点个数与方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。

Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。

五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0，此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

初中九年级二次函数知识点

初中九年级二次函数知识点二次函数是初中数学中重要的一节内容，它在数学和科学的应用中具有重要的作用。

在学习二次函数时，我们需要了解它的定义、图像、性质以及解题方法等一系列知识点。

下面我们来详细了解一下初中九年级二次函数的知识点。

1. 定义二次函数是指一元二次方程的函数，一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

其中x是自变量，f(x)是函数的值。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

2. 图像二次函数的图像受到a的正负值和大小的影响。

当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

另外，当抛物线的顶点位于x轴上方时，开口向上，位于x轴下方时，开口向下。

通过观察a的正负值和顶点的位置，可以快速判断二次函数的图像特点。

3. 零点二次函数的零点是指函数取值为0的x的值。

要求二次函数的零点，可以通过求方程ax^2 + bx + c = 0的解得出。

求解二次方程可以使用配方法、因式分解和求根公式等不同的方法。

4. 最值二次函数的最大值或最小值是指函数在定义域内的最大或最小函数值。

对于二次函数而言，最值的位置就是抛物线的顶点。

通过求解二次函数的顶点可以得到最值的位置。

5. 对称轴二次函数的对称轴是指图像关于该直线对称。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，其对称轴的方程为x = -b/2a。

6. 判别式判别式是指用来判断二次方程的解的情况的一个值。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来说，判别式的值为b^2 - 4ac。

当判别式的值大于零时，方程有两个不相等的实根；当判别式的值等于零时，方程有两个相等的实根；当判别式的值小于零时，方程没有实根。

7. 平移变换通过改变二次函数的参数，如改变a、b、c的值，可以实现图像的平移、扩大或缩小。

当a的值改变时，图像的开口方向会反转；当b的值改变时，图像会沿着x轴向左或向右平移；当c的值改变时，图像会沿着y轴向上或向下平移。

九年级上二次函数知识点归纳总结

九年级上二次函数知识点归纳总结二次函数是初中数学中比较重要的一个内容，也是高中数学的重点。

在九年级上学期，我们学习了关于二次函数的各种知识点，包括定义、性质、图像和应用等方面。

在本文中，我们将对这些知识点进行归纳总结，以便加深对二次函数的理解和掌握。

一、二次函数的定义二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0，a、b、c为常数）的函数，它的图像是一个抛物线。

在定义中，a决定了抛物线的开口方向和大小，b决定了抛物线在x轴方向上的平移，c决定了抛物线在y轴方向上的平移。

二、二次函数的性质1. 对称性：二次函数的图像以抛物线的开口处为对称轴对称。

对于 y = ax^2 + bx + c，对称轴的方程为 x = -b/2a。

2. 零点：二次函数的零点即为方程 y = ax^2 + bx + c 的解，可以通过求根公式或配方法得到。

零点的个数与二次函数与x轴的交点个数相同。

3. 最值：当 a > 0 时，二次函数的最小值为（-b/2a, f(-b/2a))；当 a < 0 时，二次函数的最大值为（-b/2a, f(-b/2a)）。

4. 单调性：当a > 0 时，二次函数在（-∞，-b/2a）上单调递增，在（-b/2a，+∞）上单调递减；当 a < 0 时，二次函数在（-∞，-b/2a）上单调递减，在（-b/2a，+∞）上单调递增。

三、二次函数的图像特征1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 平移：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像在 x 方向上的平移量为 -b/2a，即向左平移 -b/2a 个单位；在 y 方向上的平移量为 c，即向上平移 c 个单位。

3. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为抛物线对称轴上的点，即（-b/2a, f(-b/2a)）。

四、二次函数的应用1. 求解问题：利用二次函数的模型，可以求解与日常生活和实际问题相关的各种数学问题，如求解最值、零点等。

初中数学中考复习二次函数专题讲义(含解析)

二次函数专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。

《》九年级上册第22章《二次函数》二次函数复习(共16张PPT)

二次函数复习
知识要点(一〕
1 二次函数的概念, y=_a_x_2__b_x___c__。
(a, b, c 是__常__数___, a ___≠_0____ ),那么 y叫做x 的二次函数。
2 抛物线y=ax2 + bx + c 的对称轴是
_x______2_b_a_,
顶点坐标是(
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
=1.6 >1.5 所以，这个小朋友不会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
拓展训练
y=a(x-h)2+k(a≠0)
∴ 的可解设析这式个是二 ( 次) 函数解析式为y=1a(x-.4)如(x+1)下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。
y ax bx c的解析式是( y=a (x-h)+k
2
解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴
所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物
)
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
y=a(x-h)2+k(a>0)

九年级数学二次函数知识精讲

九年级数学二次函数【本讲主要内容】二次函数包括二次函数的概念、图象和基本性质。

【知识掌握】【知识点精析】1. 形如c bx ax y 2++=（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

2. 二次函数)0a (ax y 2≠=的图象是过原点，以y 轴为对称轴的抛物线，并且：（1）当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下；（2）当a>0时，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，顶点是抛物线的最高点；（3）当|a|越小，抛物线的开口越大；当|a|越大，抛物线的开口越小。

3. 二次函数)0a (c ax y 2≠+=的图象可以看作是由二次函数2ax y =的图象向上或向下平移而得到的，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）。

4. 二次函数)0a ()h x (a y 2≠-=的图象可以看作是由二次函数2ax y =的图象向左或向右作平移而得到的，它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，0）。

5. 二次函数)0a (k )h x (a y 2≠+-=的图象可以看作是由二次函数2ax y =的图象向左（或右）、向上（或下）平移而得到的，它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）。

6. 二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=的图象是一条抛物线，它的对称轴是a2bx -=，顶点坐标是（a4b ac 4a 2b 2--，）。

它的增减性是：（1）当a>0时，当a 2bx ->时，y 随x 的增大而增大；当a2bx -<时，y 随x 的增大而减小。

（2）当a<0时，当a 2bx ->时，y 随x 的增大而减小；当a2bx -<时，y 随x 的增大而增大。

7. 二次函数的三种表达式：（1）一般式：)0a (c bx ax y 2≠++=（2）顶点式：)0a (k )h x (a y 2≠+-= （3）交点式：)0a )(x x )(x x (a y 21≠--=【解题方法指导】例1. 若mm 2x )2m (y --=是二次函数，则m ＝________。

九年级数学知识点二次函数

九年级数学知识点二次函数九年级数学知识点：二次函数数学作为一门抽象理科学科，以其严谨性和逻辑性而闻名于世。

其中，二次函数作为数学的一个重要分支，是中学数学学习中的重要知识点之一。

二次函数的概念和性质既有一定的难度，又有一定的深度。

通过深入学习和理解二次函数，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。

本文将从基本概念、图像特征以及应用等方面，以流畅的语言和精心设计的结构进行介绍。

一、基本概念1. 定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c都是常数且a≠0。

其中，a称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

二次函数与二次方程密切相关，我们可以将二次函数与二次方程相互转化，以便更好地理解和应用。

2. 平移性质：二次函数的图像可以通过平移原点或者移到其他位置来改变其位置。

平移可以通过改变常数项c来实现，c>0时向上平移，c<0时向下平移。

3. 对称性：二次函数的图像具有对称性。

以顶点为中心的对称轴将图像分为对称的两部分。

对称轴的方程为x=-b/2a。

二、图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向取决于二次项的系数a。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

2. 判别式：二次函数的判别式Δ=b²-4ac是判断二次函数图像与x轴的关系的重要指标。

当Δ>0时，图像与x轴有两个交点，也就是有两个实根；当Δ=0时，图像与x轴有一个交点，也就是有一个实根；当Δ<0时，图像与x轴没有交点，也就是没有实根。

3. 顶点坐标：二次函数的图像以顶点为最高或最低点。

顶点的横坐标为-xb/2a，纵坐标为f(-xb/2a)。

三、应用1. 最值问题：二次函数可以用来解决许多最值问题。

以顶点坐标为基础，我们可以判断二次函数的最大值或最小值。

2. 抛物线运动问题：当我们研究抛体运动或抛物线轨迹时，二次函数是一个强有力的工具。

通过对二次函数的运动特性进行分析，我们可以计算物体的最高点、落地点以及飞行时间等。

九下二次函数知识点

九下二次函数知识点
二次函数是九年级数学的重要知识点，以下是详细的知识点总结：
- 定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的函数叫做二次函数。

- 解析式的形式：
- 一般式：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）。

- 顶点式：$y=a(x-h)^2+k$。

- 图像性质：顶点的横坐标即图像的对称轴，纵坐标即函数的极值。

- $a$、$b$、$c$的作用：
- $a$决定图像的开口方向，$a＞0$时，开口向上，$a＜0$时，开口向下。

- $|a|$决定图像的开口大小，$|a|$越大，开口越小。

- $a$、$b$共同决定对称轴，当$a$、$b$同号时，对称轴在$y$轴的左侧。

学习二次函数需要理解并掌握这些知识点，并通过练习巩固知识。

如果你还有任何疑问，请随时向我提问。

九年级二次函数知识点总结

九年级二次函数知识点总结二次函数是数学中的一种基本函数形式，由幂次为2的项组成。

在九年级数学的学习中，二次函数是一个重要的内容，掌握二次函数的知识点对于理解和解决与二次函数相关的问题起着关键作用。

下面是对九年级二次函数知识点的总结。

一、二次函数的定义与特征二次函数的标准形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口的方向由a的正负确定。

二、二次函数图像的性质1. 抛物线的开口方向由二次函数的a的正负号决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点坐标为（h,k），其中 h = -b/(2a)，k = f(h)。

3. 若a>0，则函数的值在顶点处取得最小值；若a<0，则函数的值在顶点处取得最大值。

三、二次函数的零点与图像与x轴的交点二次函数的零点是指函数值为0的x值。

可以通过求解方程f(x) = 0来得到二次函数的零点。

二次函数与x轴的交点是零点的图像表示。

四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是过抛物线顶点和垂直于x轴的一条直线。

对称轴的方程为x = h。

五、二次函数的判别式判别式可以用来判断二次函数的零点个数和与x轴的交点情况。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其判别式表示为Δ = b^2 - 4ac。

1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点。

2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点。

3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。

六、二次函数的平移和伸缩通过改变二次函数的系数和常数，可以实现对函数图像的平移和伸缩。

具体而言，二次函数平移时须改变对称轴的位置，而伸缩则需要改变a、b和c的值，从而改变抛物线的形状。

七、二次函数应用二次函数在实际问题中有广泛的应用，如抛射运动、物体自由落体、攀爬问题等。

九年级二次函数知识点大全

九年级二次函数知识点大全在数学学科中，二次函数是一个非常重要且常见的概念。

九年级是中学阶段的最后一年，学生将接触到更加复杂的数学内容。

在这篇文章中，我们将回顾九年级学生所学习的二次函数的所有重要知识点。

通过深入了解这些知识点，学生们可以更好地掌握和应用二次函数的概念。

一、二次函数及其图像二次函数是一种以二次方程为代数表达式的函数。

二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数常数且a≠0。

其中，a为二次项系数，b为以x为一次项的系数，c为常数项。

二次函数的图像通常呈现为一条抛物线。

抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线上最高或最低的点。

顶点的坐标可以通过求解二次函数的轴对称线对应的x值，再带入二次函数中得到。

顶点的横坐标为：x = -b / 2a将x带入二次函数中得到纵坐标：y = f(x) = ax² + bx + c三、二次函数的对称轴对称轴是二次函数图像的一条直线，将抛物线分为两个对称的部分。

对称轴是通过顶点，并与横坐标轴（x轴）垂直。

对称轴的方程为：x = -b / 2a。

即对称轴的方程是将二次函数的轴对称线对应的x值表达出来。

四、二次函数的零点/根零点（或根）是二次函数的图像与x轴相交的点，即函数值等于0的x值。

零点的求解可以通过二次函数的解析解公式求得。

二次函数的解析解公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a五、二次函数的判别式判别式是一个用于确定二次函数的零点个数和类型的数值。

判别式的值可以为正、零或负。

判别式的公式为：Δ = b² - 4ac当判别式Δ>0时，二次函数有两个不同的实根；当判别式Δ=0时，二次函数有一个实根；当判别式Δ<0时，二次函数无实根，但是可以有复数根。

初三数学二次函数知识精讲

初三数学二次函数知识精讲【本讲主要内容】二次函数综合包括一些较为复杂的二次函数，及应用二次函数解一些实际问题。

【知识掌握】【知识点精析】1. 有关二次方程与其他知识综合的题目。

2. 应用二次函数求解一些简单的实际问题。

【解题方法指导】例1. 已知二次函数图象的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求该二次函数的解析式。

分析：由于给出了抛物线的顶点坐标，因此可用“顶点式”列出解析式，然后求解；还可以求出抛物线与x 轴两交点的坐标，然后利用一般式求解。

方法较多，可选择不同的方法。

解法一：∵抛物线的顶点坐标为（3，－2）∴可设二次函数的解析式为y a x =--()322∵抛物线与x 轴两交点间的距离为4，对称轴为x ＝3∴抛物线与x 轴的两个交点为（1，0），（5，0）将点（1，0）的坐标代入，得01322=--a()∴4a ＝2a =12∴二次函数的解析式为：y x x x x x =--=-+-=-+12321269212352222()() 即y x x =-+123522 yx解法二：由以上分析，可知抛物线与x 轴交点为（1，0），（5，0）∴可设二次函数解析式为y a x x =--()()15将（3，－2）点的坐标代入，得-=--23135a()()-=-42a∴=a 12∴二次函数的解析式为：y x x x x x x =--=-+=-+121512651235222()()() 即y x x =-+123522 解法三：∵抛物线过（3，－2），（1，0），（5，0）三点∴设二次函数解析式为y ax bx c =++2 将三点的坐标代入，得93202550a b c a b c a b c ++=-++=++=⎧⎨⎪⎩⎪解得a b c ==-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12352 ∴二次函数的解析式为y x x =-+123522 解法四：设二次函数的解析式为y ax bx c a =++≠20（）由题意，得-=-=-++=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪b a ac b a a b c 2344202 6084002a b a b ac a b c +=-+=++=⎧⎨⎪⎩⎪将b a =-6代入，得83640502a a ac a c -+=-+=⎧⎨⎩① 将c ＝5a 代入①，得83620022a a a -+=16802a a -=202a a -=∴==a a 12012， ∵a 10=不合所设，舍去 ∴a b c ==-=12352，， ∴二次函数的解析式为y x x =-+123522 评析：此题一题多解，考查了列函数解析式的能力及解方程组的能力。