最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数复习提纲及习题
(完整版)初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题,推荐文档
升高度 s(m)与抛出时间 t(s)满足： 运动过程中最高点距地面_________m.
(其中 g 是常数，通常取 10m/s2).若 v0=10m/s，则该物体在
17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线 x=2，且与 y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为
______________.
6. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则点 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
在第___象限( )
7. 如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象交 x 轴 于点 A(m，0)和点 B，且 m>4，那么 AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx 的图象只可能 是( )
x 轴的上方，则 a 的值为（ ）
A. 1
B. －1
C. 2
D. －2
12. 已知二次函数
的图象如图所示，记
，
．则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．m、n 的大小关系不能确定
二、填空题
13. 二次函数 y=x2-2x+1 的对称轴方程是______________.
14.
如果将抛物线 y＝x2＋2x－1 向上平移，使它经过点 A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是
2a 时，y 随
(3)当 x h 时，
(3)当 x＜h 时，
x 的增大而减小；当
x 的增大而增大；当
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 减小；当 x＞h 增大；当 x＞h
初三二次函数知识点和练习
二次函数的图象与解析式一、二次函数的图象1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向及开口大小 正负性决定开口方向，绝对值大小决定开口大小．a 越大，抛物线开口越小；温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，图象经过平移、中心对称（旋转180︒）a 不变．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（口诀：左同右异）（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 2．二次函数的图形信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．（4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．（5）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式． （6）根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小2.二次函数图象的画法若是无图，建议画出图象然后根据图象来分析进行解答，数形结合是解答压轴题的终极方法，因为二次函数的图象能极大的方便做题，简易绘图法：根据以下五条就可以画图二次函数的简易图象 ①a 的正负性，看图形的开口方向是往上还是往下 ②c 的正负性，看图象与y 轴的交点是在正半轴还是负半轴 ③△的正负性，看图象与x 轴有无交点 ④对称轴的位置，看a 和b 的符号是否一致 压轴题绘图法：因为压轴题的作图需要精准，以帮助解答，所以需要画出带刻度的坐标系 ①利用对称轴公式，计算出对称轴，然后画出图形的对称轴②将对称轴代入解析式，算出顶点的纵坐标（若不为整数，则舍弃这一步） ③找出与y 轴交点，并利用对称轴画出对称点，④令0y =，算出与x 轴两个交点（若不为整数，则舍弃这一步） ⑤利用对称轴画出一条尽量对称且平滑的曲线三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质（1）开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下（2）对称轴：2bx a=-（或x h =） （3）顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）（4）最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）；⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性） ①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a>-， y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2bx a<-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b x a>-， y 随x 的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=）成立的x 值．考点一：根据二次函数的定义确定参数的值☞考点说明：根据二次函数的定义反求参数，一般情况下会结合在综合题中处，也有可能以填空题的形式出现，考察点在二次项系数不为零【例1】 函数()()2223ay a x a x a -=++-+．当______a =，它为二次函数；当____a =，它为一次函数．【例2】 若抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下，则______m =考点二：二次函数的对称轴☞考点说明：在求二次函数的对称轴时，根据解析式的不同，求法也不尽相同，并不仅仅只有2bx a=-的这一种求法，需灵活掌握，一般情况下，以选择、填空出现的可能性较大。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数测试题
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数测试题一、选择题(每题5分，共50分)1. sin30°值为( )A .1／3B .1／2 C. 1 D. 02. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则顶点在第___象限( )A. 一B. 二C. 三D. 四7、面积为2的△ABC ，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（ ）8．已知变量y 与x 成反比，当x =3时，y =－6,则当y = 3时，x 的值是（ ）A ．6B 。
－6C 。
9D 。
－99、若m ＜－1，则下列函数：①()0 x xm y = ② y =－mx+1 ③ y = mx ④ y =(m + 1)x中，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．①②B 。
②③C 。
①③D 。
③④10、在同一直角坐标系中，函数y = 3x 与y 1-=的图象大致是（ ）11、在函数x y 2-=的图象上有三点（－1，y 1），（2,41y -），（3,21y ），则函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是（ ）A ．y 2＜y 3＜y 1B 。
y 3＜y 2＜y 1C 。
y 1＜y 3＜y 2D 。
y 3＜y 1＜y 212、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是……………………………………（ ）A. 1515B. 13C. 14D. 15413、已知△ABC 中，∠C=90°，tanA ·tan 50°＝1，那么∠A 的度数是………………………（ ）A. 50°B. 40°C. (150 )°D. (140)° 14、在直角三角形中,若各边的长度都缩小5倍,那么锐角∠A 的正弦值 ( )A. 扩大5倍B. 缩小5倍C. 没有变化D. 不能确定15、在Rt△A BC 中，∠C=90°，已知a 和A ，则下列关系式中正确的是…………………………（ ）A. c ＝α·sinAB. c ＝α sinAC. c ＝α·cosBD. c ＝α cosA16、、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是……………（ ）A.40°B.30°C.20°D.10°17、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是………………………………………………………………( )A ．80米 B. 85 C. 120米 D. 125米18、化简(1－sin50°)2 －(1－tan50°)2 的结果为……………………………………………( )A. tan50°－sin50°B. sin50°－tan50°C. 2－sin50°－tan50°D. －sin50°－tan50°19、在Rt△ABC 中，∠C=90°，tan A =3，AC 等于10，则S △ABC 等于……………………………( )A. 3B. 300C. 503D. 150 20、已知∠A+∠B=90°,且cosA=15 ，则cosB 的值为………………………………………………( )A. 15B. 45C. 265D. 25二填空题1下列函数：① y =；② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c =2、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数3抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是4、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .5、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .5、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关8已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是 9抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .10、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于 .11．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x •与完成任务所需的时间y 之间的函数关系式为________．12．正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图所示，则四边形ABCD 的为_______．第14题图 第15题图13．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．14．反比例函数y ＝21039n n x --的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．15．已知一次函数y ＝3x +m 与反比例函数y ＝3m x -的图象有两个交点，当m ＝_____时，有一个交点的纵坐标为6．16．若一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝k x图象，在第二象限内有两个交点，•则k ______0，b _______0，(用“＞”、“＜”、“＝”填空)(1)利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．第25题图18、某船向正东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30o,又航行了半小时到D 处，望灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数的最值问题
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
初中数学《二次函数》知识点归纳及相关练习题
九上数学二次函数知识点归纳及相关练习题(一)定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.【名师推荐你做】1.判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d =12n 2-32n ；（2）2y x =-；（3）y =1-x 2．2.判断①y =5x -4，②t =23x 2-6x ，③y =2x 3-8x 2+3，④y =38x 2-1，⑤y =2312x x-+是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项．3.已知2(1)31k ky k x x +=-++是关于x 的二次函数，求k 的值．【答案与解析】1.【解析】（1）d =12n 2-32n 是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为12、32-、0；（2）2y x =-是一次函数，不是二次函数；（3）y =1-x 2是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1．2.【解析】①y =5x -4，③y =2x 3-8x 2+3，⑤y =2312x x-+不符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x ，④y =38x 2-1符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为23、-6、0，④y =38x 2-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别为38、0、-1.3.【答案】-2．【解析】∵函数2(1)31k ky k xx +=-++是关于x 的二次函数，∴2102k k k -≠⎧⎨+⎩=，解得k =-2．（二）二次函数y =ax 2的性质(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠0）.【名师推荐你做】1.观察函数y =3x 2与y =-3x 2的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．【解析】（1）抛物线y =3x 2的开口方向是向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐下降；二次函数y =-3x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴下方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐上升．（三）二次函数c bx ax y ++=2、k ax y +=2、()2h x a y -=、()kh x a y +-=2A.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.B.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k abh 4422-=-=，.C.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x -h )2；④y =a (x -h )2+k ；⑤y =ax 2+bx +c .【名师推荐你做】1.将抛物线y =-2x 2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y =-2(x -3)2-5B.y =-2(x +3)2-5C.y =-2(x +3)2+5D.y =-2(x-3)2+5【答案与解析】1.【答案】D【解析】由“左加右减”的原则将函数y =-2x 2的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：y =-2(x -3)2；由“上加下减”的原则将函数y =-2(x-3)2的图象向上平移5个单位，所得二次函数的解析式为：D.y =-2(x -3)2+5．所以选D.（四）抛物线A.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
初三数学九上二次函数所有知识点总结和常考题型练习题
二次函数知识点12.二次函数的性质点，当xba=-2时，y有最小值，yac ba最小值=-442点，当xba=-2时，y有最大值，yac ba最大值=-442有最低点，当x＝h时，y有最小值y k最小值=有最高点，当x＝h时，y有最大值y k最大值=二次函数练习一、选择题1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是( )A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A.ab>0，c>0B.ab>0，c<0C.ab<0，c>0D.ab<0，c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A.一B.二C.三D.四7.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A.4+mB.mC.2m-8D.8-2m8.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是( )9.已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P 3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )A. B.C. D.11.二次函数)0xy的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在=aa-(4-)4(2≠6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A.1B.－1C.2D.－212.已知二次函数的图象如图所示，记，．则下列选项正确的是（）A．B．C．D．m、n的大小关系不能确定二、填空题13.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.14.如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是_______________.15.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18.已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.19.如图，已知直线分别交轴、轴于点、，是抛物线上的一个动点，其横坐标为，过点且平行于轴的直线交直线于点，则当时，的值是.三、解答下列各题20.若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；21.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4)的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.22.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB.23.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》学问点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数.这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二. 二次函数的图像和性质y=a(x-h)2x=h0）y 随x 的增大而减小最小值y =0a ＜0向下直线x=h（h ，0）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =0 ④y=a(x-h)2+ka ＞0向上直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大②当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小当x=h 时，y 有最小值，即最小值y =k a ＜0向下直线x=h（h ，k ）①当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小②当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大 当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k ⑤ y=ax 2+b x+c 可化为： y=a(x+)2ab 2+a ＞0向上直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小 当x=-ab 2时，y 有最小值，最小值y =ab ac 442-a ＜0向下直线x=-a b 2（-ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y 随x 的增大而减小 ②当x ＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三. 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要驾驭了顶点是如何平移的，就驾驭了二次函数图像间的平移. 四.二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中．五．二次函数解析式的三种表示方法但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.六．二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a【a确定抛物线的开口方向，|a|确定抛物线开口的大小】⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越大，开口越大，a的值越大，开口越大．注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大抛物线的形态一样，即|a|一样.2.一次项系数b【由a和对称轴共同确定】对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.（左同右异 b为0时，对称轴为y轴）3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线及y轴的交点在x轴上方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线及y轴的交点为坐标原点，即抛物线及y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线及y轴的交点在x轴下方，即抛物线及y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c确定了抛物线及y轴交点的位置．七．二次函数图象（抛物线）及x轴交点状况的推断：y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）1.△=b²-4ac＞0⇔抛物线及x轴有两个交点2.△=b²-4ac=0⇔抛物线及x轴有一个交点3.△=b²-4ac＜0⇔抛物线及x轴没有交点①当0y>；a>时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0②当0y<．a<时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0八.二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象及x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进展推断）.2.二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c ＜0的解.九.二次函数的应用二次函数应用☆☆二次函数抛物线简洁的图形变换☆☆（1）顶点式【ky+=2)(（a≠0）】-hxa（2）一般式【c+=2（a≠0）】y+bxax①平移：如将二次函数c=2向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n+bxaxy+＞0）个单位，得到n c bm am x b am ax n c m x b m x a -+-+--=-+-+-=222)2()()(y ②对称注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再依据须要进展求解.二次函数对应练习试题一.选择题1.二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2.把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A.22(1)y x =-+B.22(1)y x =--C.221y x =-+D.221y x =-- 3.函数2y kx k =-和在同始终角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及局部图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的个数为（ ）A.0个B.1个C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),及y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++ 二．填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______.10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，假如y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线及两坐标轴所围成的三角形面积为 .13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14). 三．解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且及y 轴的交点为(0,52-).(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?(3)当x 在什么范围内改变时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?16.某种爆竹点燃后，其上上升度h （米）和时间t （秒）符合关系式 （0<t ≤2），其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升， （1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，推断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-及坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线及x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标。
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二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y =ax 2 +bx +c(a, b, c 是常数，a ≠ 0) ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 2 的性质（1）抛物线y =ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 2 的图像与a 的符号关系.①当a > 0 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a < 0 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠ 0）.3.二次函数y =ax 2 +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax 2+bx +c 用配方法可化成：y =a(x -h)2 +k 的形式，其中h =- b，k =2a4ac -b 2.4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y =ax 2 ；② y =ax 2 +k ；③ y =a(x -h)2 ；④ y =a(x -h)2 +k ；⑤ y =ax 2+bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.① a 的符号决定抛物线的开口方向：当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x = 0 .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法⎛ b ⎫24ac -b 2 b 4ac -b 2（1）公式法：y =ax 2 +bx +c =a +x ⎪+，∴顶点是（-，），⎝2a ⎭4a 2a 4a对称轴是直线x =-b .2a（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a(x -h)2 +k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直线x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax 2 +bx +c 中，a, b, c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2 +bx +c 的对称轴是直线x = - b2a，故：① b = 0 时，对称轴为 y 轴；② b > 0 （即a 、b 同号）时，a 对称轴在 y 轴左侧；③ b< 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧.a（3） c 的大小决定抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴交点的位置.当 x = 0 时， y = c ，∴抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）：① c = 0 ，抛物线经过原点; ② c > 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c < 0 ,与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b< 0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1） 一般式： y = ax 2 + bx + c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式.（2） 顶点式： y = a (x - h )2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3） 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x 1 、 x 2 ，通常选用交点式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ). 12. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线 y = ax 2 + bx + c 得交点为(0, c ).（2）与 y 轴平行的直线 x = h 与抛物线 y = ax 2 + bx + c 有且只有一个交点( h ,ah 2 + bh + c ).（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 1 、 x 2 ，是对 应一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔ ∆ > 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） ⇔ ∆ = 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相切；③没有交点⇔ ∆ < 0 ⇔ 抛物线与 x 轴相离.（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n(k ≠ 0)的图像l 与二次函数y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0)的图像y =kx +nG 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两y =ax 2 +bx +c组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴两交点为A(x ，0)，B(x ，0)，由于x 、x是方程ax 2 +bx +c = 0 的两个根，故1 2 1 2第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2 的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数y =ax 2 +bx +c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３题图第4 题图３.二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高 ，D 为 BC 上一点， ，交AB 于点 E ，交AC 于点 F （EF 不过 A 、B ），设 E 到 BC 的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ Ｄ ）５.抛物线 y = x 2 - 2x - 3 与 x 轴分别交于 A 、B 两点，则 AB 的长为 4 ．6. 已知二次函数 y ＝kx 2＋(2k －1)x －1与 x 轴交点的横坐标为 x 1、 x 2 （ x 1＜x 2 ），则对于下列结论：①当 x ＝－2 时，y ＝1；②当 x ＞x 2 时，y ＞0；③方程kx 2＋(2k －1)x -1＝0 有两个不相等的实数根 x 、 x ；④ x ＜- 1， x ＞－1 ；⑤1212x －x，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．21k7. 已知直线 y = -2x + b (b ≠ 0)与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ；一抛物线的解析式为 y = x 2 - (b + 10)x + c .（1） 若该抛物线过点 B ，且它的顶点 P 在直线 y = -2x + b 上，试确定这条抛物线的解析式；（2） 过点 B 作直线 BC⊥AB 交x 轴交于点 C ，若抛物线的对称轴恰好过 C 点，试确定直线 y = -2x + b 的解析式. 解：（1） y = x 2 - 10 或 y = x 2 - 4x - 6将（0， b ) 代入，得c = b .顶点坐标为(b +10, - b 2 +16b +100 ) ，由题意得2 4-2 ⨯ b +10 + b = - b 2 +16b +100 ，解得b= -10, b = -6 . 2 41 2⎩ ⎩ ⎨ ⎨ ⎨b （2） y = -2x - 28. 有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y ，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为- 2 ,0,1时, 相应的输出值分别为 5, - 3 , - 4 ．（1） 求此二次函数的解析式；（2） 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 y = ax 2 + bx + c ,⎧a (-2) 2 + b (-2) + c = 5⎧c = -3 ⎧a = 1则 a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = -3 ,即⎪2a - b = 4 ,解得⎪= -2 ⎪a + b + c = -4 ⎪a + b = -1 ⎪c = -3⎩故所求的解析式为: y = x 2 - 2x - 3 .（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时， 输入值 x 的取值范围是 x < -1 或 x > 3 ．9. 某生物兴趣小组在四天的实验研究中 发现：骆驼的体温会随外部环境 温度 的变化而变化，而且在这四天中 每昼 夜的体温变化情况相同．他们将一头 骆驼前两昼夜的体温变化情况绘下图．请根据图象回答：第 9 题制成1⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中 10 时到22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要 12 小时⑵第三天 12 时这头骆驼的体温是 39℃⑶ y = - x 2 + 2x + 24(10 ≤ x ≤ 22)1610. 已知抛物线 y = ax 2 + ( 4+ 3a )x + 4 与 x 轴交于3A 、B 两点，与 y 轴交于点C ．是否存在实数 a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点 C 的坐标为（0，4）．BO 2 + OC 2 | - 4 |2 +423a设点 A 、B 的坐标分别为（ x 1 ，0），（ x 2 ，0），由ax 2 + (4 + 3a )x + 4 = 0 ，解得 x = -3 ， x = - 4．3 1 23a∴ 点 A 、B 的坐标分别为（-3，0），（ - 4 3a，0）．∴ AB =| - 4+ 3 |， AC = 3a= 5 ，BC = =．∴ AB 2 =| - 4+ 3 |2 = 16- 2 ⨯ 3⨯ 4 + 9 = 16 - 8 + 9 ，3a 9a 2 3a9a 2 aAC 2 = 25 ， BC 2 = 169a 2+16 ．〈ⅰ〉当 AB 2 = AC 2 + BC 2 时，∠ACB＝90°．由 AB 2 = AC 2 + BC 2 ， 得16 - 8 + 9 = 25 + ( 16+16) ． 9a 2解得a a = - 1． 49a 2∴ 当a = - 1 时，点 B 的坐标为（ 16 ，0）， AB 2 =625 ， AC 2 = 25 ，439BC 2 =400 ．9于 是 AB 2 = AC 2 + BC 2 ．∴ 当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．4〈ⅱ〉当 AC 2 = AB 2 + BC 2 时，∠ABC＝90°． 由 AC 2 = AB 2 + BC 2 ，得25 = (16 - 8 + 9) + ( 16+ 16) ． 9a 2 a 9a 2AO 2 + OC 25 5解 得 a = 49 当a = 4时， - 49 3a=44 3⨯9= -3 ，点 B （-3，0）与点 A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当BC 2 = AC 2 + AB 2 时，∠BAC＝90°．由BC 2 = AC 2 + AB 2，得 169a 2解得 a = 4．不合题意．9+16 = 25 + ( 16 9a 2 - 8 + 9) ． a 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当a = - 1时，△ABC 为直角三角形．411. 已知抛物线 y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1） 若抛物线与 x 轴的两个交点 A 、B 分别在原点的两侧，并且 AB ＝ ，试求 m 的值；（2） 设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x 1 ，x 2 是方程 x 2－mx ＋m －2＝0 的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即 m ＜2 ;又 AB ＝∣x 1 — x 2∣＝ （+ ）x 2 - 4x x =,121 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 .．2 - m 2 -m 2 - m （2）M(a ，b)，则 N(－a ，－b) .∵M、N 是抛物线上的两点,∴ ⎨⎪-a 2 + ma - m + 2 = b , ①-a 2 - ma - m + 2 = -b . ②⎪①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、N.∴ a = .这时 M 、N 到 y又点 C 坐标为（0，2－m ）,而 S △M N C= 27 ,1∴2× ×（2－m =27 .2∴解得 m=－7 .12. 已知：抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1，0）．（1） 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形 ABCD 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 5∶2 的点，如果点 E 在（2） 中的抛物线上，且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由．0 0解法一：（1） 依题意，抛物线的对称轴为 x ＝－2．∵ 抛物线与 x 轴的一个交点为 A （－1，0），∴由抛物线的对称性，可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2） ∵ 抛物线 y ＝ax 2＋4ax ＋t 与 x 轴的一个交点为 A （－1， 0），∴ a (－1)2＋4a (－1)＋t ＝0．∴ t＝3a ．∴ y ＝ax 2＋4ax ＋3a ．∴D （0，3a ）．∴ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋3a 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形 ABCD 的面积为 9，∴1 ( AB + CD ) ⋅OD ＝9 ．∴ 21 (2＋4) 3a ＝9 ． 2∴ a±1．∴所求抛物线的解析式为 y ＝x 2＋4x ＋3 或．（3） 设点 E 坐标为（ x 0 ， y 0 ）.依题意， x 0＜0 ，y ＝- x 2 - 4ax -y 0＜0，且 y ＝ 5 ．∴ y ＝－ 5x ．x 22 0⎨ ①设点 E 在抛物线 y ＝x 2＋4x ＋3 上，∴ y ＝x 2＋4x ＋3 ．⎧5 ⎧x '＝- 1⎪ y 0＝－ x 0 , ⎨⎧x ＝- 6，⎨0 2解方程组⎪⎨y ＝x 2＋2 4x ＋3得 ⎩0 y 0＝15；⎪ y '＝5． ⎩ 0 0 0⎪ 0 4∵ 点 E 与点 A 在对称轴 x ＝－2 的同侧，∴ 点 E 坐标为（ - 125 ， ）．4设在抛物线的对称轴 x ＝－2 上存在一点 P ，使△APE 的周长最小．∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须 PA ＋PE 最小．∴ 点 A 关于对称轴 x ＝－2 的对称点是 B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线 BE 与对称轴 x ＝－2 的交点． 设过点 E 、B 的直线的解析式为 y ＝mx ＋n ，⎧ 15 ⎧m ＝1 , ⎪- m ＋n ＝ ,∴ 解得 2⎨ 24 ⎩－3m ＋n ＝0.⎪n ＝ 3 . ⎩ 2点 P 坐标为（－2， ）．②设点 E 在抛物线 y ＝- x 2 - 4x - 3 上，∴ y ＝- x 2 - 4x - 3 ．⎧y ＝－ 5 x , 解方程组⎪ 02 0消去 y3 ，得x 2 + x 0＋3＝0 ．⎪⎨ y ＝- x 2 - 4x - 3. ⎩ 0 0 02∴ 直线 BE 的解析式为 y ＝ 1 x ＋ 3 ．∴ 把 x ＝－2 代入上式，得 y ＝ 1．222∴ 1 2∴△＜0 . ∴此方程无实数根．1综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（－2，），使△APE 的周长最小．2解法二：（1）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋t 与x 轴的一个交点为A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴．y＝ax2＋4ax＋3a令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0 ．解得x ＝－1，x ＝－3 ．1 2∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为（－3，0）．（2）由y＝ax2＋4ax＋3a ，得 D（0，3a）．∵ 梯形 ABCD 中，AB∥CD，且点 C 在抛物线y＝ax2＋4ax＋3a 上，∴ C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD 的面积为9，∴1( AB＋CD) OD＝9 ．解得 OD＝3．2∴ 3a＝3 ．∴ a±1．∴ 所求抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 或y＝－x2－4x－3 ．（3）同解法一得，P 是直线 BE 与对称轴 x＝－2 的交点．∴如图，过点E 作EQ⊥x轴于点Q．设对称轴与x 轴的交点为 F．由PF∥EQ，可得BF＝PF．∴1＝PF ．∴PF＝1 BQ EQ．1点P 坐标为（－2，）．2 以下同解法一．5 5 2 2 413.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标．（2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时（点 N 不与点 B，点 M 重合），设 NQ 的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求S 与t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需∴- ， P 要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式 y = a (x + 1)(x - 2) ， ∴ - 2 = a ⨯1⨯ (-2) ．∴a = 1 ．∴ y = x 2 - x -2 ． 其顶点 M 的坐标是⎛ 1 ，- 9 ⎫ ．⎪ ⎝ 2 4 ⎭（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为 y = kx + b ，点 N 的坐标为 N （t ，h ），∴ ⎨ ⎧0 = 2k + b ，3 ⎪ 9= 1k + b . ．解得k = 2 ，b = -3 ． ⎪ 4 2∴ 线段 BM 所在的直线的解析式为 y = 3x - 3 ．2∴ h = 3 t - 3 ，其中 1 < t < 2 ．∴ s = 1 ⨯1⨯ 2 + 1 (2 + 2 t - 3)t = 3 t 2 - 1t +1．222 2342∴s 与t 间的函数关系式是S = 3t 2 - 1 t +1，自变量 t 的取值范围是42 1< t < 2 ． 2（3） 存在符合条件的点 P ，且坐标是P⎛ 5 7⎫ ， ⎪ ⎛ 3 ，- 5 ⎫ ．1 2⎝ 4 ⎭2 ⎝ 2 4 ⎭⎪设点 P 的坐标为 P (m ，n ) ，则n = m 2 - m - 2 ．PA 2 = (m +1)2 + n 2 ， PC 2 = m 2 + (n + 2)2，AC 2 = 5 ． 分以下几种情况讨论：i ） 若∠PAC＝90°，则PC 2 = PA 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩m 2 + (n + 2)2 = (m + 1)2 +n 2 + 5. 解得： m = 5 ， m = -1（舍去）． ∴ 点P ⎛ 5 7 ⎫．1 221 ， ⎪ ⎝2 4 ⎭ii ） 若∠PCA＝90°，则PA 2 = PC 2 + AC 2 ．⎪n = m 2 - m - 2，∴⎪⎩(m +1)2 + n 2 = m 2 + (n + 2)2 + 5.解得： m = 3 ，m = 0 （舍去）．∴ 点P ⎛ 3 ，－ 5⎫ ．3242 ⎝4 ⎪⎭iii ） 由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时， PA > AC ，所以边 AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4） 以点 O ，点 A （或点 O ，点 C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA （或边 OC ）的对边上，如图 a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点 A ，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上，如图 b ，此时未知顶点坐标是 E ⎛- 12 ⎫ ，F ⎛ 4 ， ⎪ 8 ⎫ ．⎪ ⎝ 5 5 ⎭⎝ 55 ⎭图 a图 b14. 已知二次函数 y ＝ax 2－2 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得 a －2＝－1.2，-2∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是 y ＝x 2- 2 ．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与 x 轴有两个交点．15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB ＝5 cm ，拱高 OC ＝0.9 cm ，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE 与 AB 的距离 OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ≈ 1.4 ，计算结果精确到 1 米）．解：（1）由于顶点 C 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y ＝ax 2＋ 9 ．10因为点 A （ - 5 ，0）（或 B （ 5 ，0） 在抛物线上， 所以0＝a ⋅(- 5 )2＋ 9，2 2 得a ＝－ 18．1252 10因此所求函数解析式为 y ＝－18x 2＋ 9 (- 5 ≤ x ≤ 5) ．（2） 因为点 D 、E 的纵坐．所以点 D 的坐标为（ 125 10 2 2标为 9 ， 所 以 9 =－ 18 x 2＋ 9 ，得 x ＝ 20 ， 9 ）， 20 125 点 E 的坐标为（10 ， 9 ）． 20 203 2 c所以DE ＝ 5 2－(-52) 5 2 ． ＝ 44 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为 5 2⨯11000 ⨯ 0.01＝275 ≈ 385 （米）． 216. 已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象经过点A 、B ，与 y 轴相交于点C ．（1） a 、c 的符号之间有何关系?（2） 如果线段 OC 的长度是线段 OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3） 在（2）的条件下，如果 b ＝－4， AB ＝4 ，求 a 、c 的值． 解:（1） a 、c 同号． 或当 a ＞0 时，c ＞0；当 a ＜0 时，c ＜0．（2） 证明：设点 A 的坐标为（ x 1 ，0），点 B 的坐标为（ x 2 ，0），则0＜x 1＜x 2 ．∴ OA = x 1 ， OB = x 2 ， OC = c ．据题意， x 1 、 x 2 是方程ax 2＋bx ＋c = 0(a ≠ 0) 的两个根． ∴ x 1 ⋅ x 2 = ．a由题意，得OA ⋅OB ＝OC 2 ，即 c＝c 2＝c 2 ．a所以当线段 OC 长是线段 OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．(x 1＋x 2)2 - 4x 1x 22 3 33 3 （3）当b = -4 时，由（2）知， x ＋xb 40 ，∴ a ＞0．12＝－ a ＝ a ＞解法一：AB ＝OB －OA ＝ x －x ＝，21∴ AB =∵ AB = 4=， ∴ 2 = ． a 3 ＝4 ．得a = 1．∴ c ＝2. a 2 解法二：由求根公式， x 2 ± 3 ， a ∴ x ＝ x ＝ 2 + 3 ．12∴ AB ＝OB －OA ＝x －x ＝2 +3 ．21a∵ AB ＝4 ，∴2 3 ＝4 ，得a ＝ 1．∴ c＝2． a 217. 如图，直线 y = -A 、B 两点． 3 x + 3分别与 x 轴、y 轴交于点 A 、B ，⊙E 经过原点 O 及（1）C 是⊙E 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D ，若∠COD＝∠CBO，求点 A 、B 、C的坐标；（2） 求经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3） 若延长 BC 到P ，使 DP ＝2，连结 AP ，试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．16 - 4ac a 2 ( 4 )2－4( c ) a a 3 33 3 3 解：（1）连结 EC 交x 轴于点 N （如图）．∵ A 、B 是直线 y = - 3 x +3分别与 x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B又∠COD＝∠CBO． ∴ ∠CBO＝∠ABC．∴ C 是的中点． ∴ EC⊥OA．∴ ON = 1 OA = 3 , EN = OB = ．22 2 23,- 2 连结 OE ．∴ ）． 2 EC = OE = ． ∴ NC = EC - EN = 3．∴ C 点的坐标为（2 （2）设经过 O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为 y = ax (x - 3)．∵ C（ 3 ,- 2 ）． ∴ - 3 = a ⋅ 3 ( 3 - 3) ．∴ a =2 3 ． 2 2 2 2 9∴ y = 2 3 x 2 - 9 2 3 x 为所求． 8（3）∵ tan ∠BAO = 3 ， ∴ ∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴ ∠OBD = 1 ∠ABO - 1 ⨯ 60︒ = 30︒ ．2 2∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵ ∠ADC＝∠BDO＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP＝60°．∴ ∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°． 即PA⊥AB． 即直线 PA 是⊙E 的切线．(0, 3) ．3 33“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是指形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax2的性质：当a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值。
当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。
2.y=ax2+c的性质：上加下减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；当x=0时，y有最小值c。
当a>0时，向上开口，对称轴为y轴；当a<0时，向下开口，对称轴为y轴。
3.y=a(x-h)的性质：左加右减。
a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，0），对称轴为x=h。
当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小值。
当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。
4.y=a(x-h)+k的性质：a的符号决定开口方向，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h。
当x>h时，y随x的增大而增大；当x<h时，y随x的增大而减小；当x=h时，y有最小值k。
当a>0时，向上开口，对称轴为x=h；当a<0时，向下开口，对称轴为x=h。
三、二次函数图象的平移1.平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)+k，确定其顶点坐标（h，k）处。
保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：向上平移|k|个单位，当k>0时；向下平移|k|个单位，当k<0时。
初三数学二次函数知识点总结材料及经典习题含问题详解
初三数学 二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；九矿新概念辅导班 二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版《二次函数》复习学案
1最新九年级数学必考要点分类汇编完整版《二次函数》复习学案一、补全网络最大面积问题：求几何面积的最值，通常是建立面积与线段的函数关系式，然后利用二次函数的图象和性质求 。
最大利润问题：总利润=喷泉问题：水池的半径是指桥洞问题：车的宽度（高度）代入解析式然后与车的高度（宽度）比较。
二、巩固网络：1、抛物线y=x 2－6x+8的顶点坐标为 ，对称轴为， 与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 。
2、 如图2，△ABC 中，EF ∥BC ，AH ⊥BC ，若BC=10， EF=4，AH=6，则DH 的长是 .3、某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB 为4米，顶部C 距地面的高度为4.4米， 试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式； 范例尝试例1、如图所示，在一块底边为30厘米，高为20厘米的三角形铁片上剪下一块最大面积的内接矩形，并使它的一边在底边上．如何设计才能使矩形面积最大，并且求出最大面积。
回思：只要看见三角形内接矩形，就想到运用 这个知识点二次函数应用C图2ACB跟踪练习：△ABC 是一块等腰三角形铁板的余料，AB=AC=20cm ，BC=24cm.若在△ABC 上截出一个矩形零件DEFG ，使边EF 在边BC 上，D 、G 分别在AB ，AC 上，矩形的边长是多少时，矩形的面积最大？例2人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）。
若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米。
若不计其它因素，水池的半径至少多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
回思：喷泉问题一般采用 式求函数解析式，然后再求出 ，就是要求的水池半径跟踪练习：改革开放后，不少农村用上自动喷灌设备，如图所示，设水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷头。
九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)
二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ） ○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
最新九年级数学必考要点分类汇编完整版 二次函数总复习
图 26.2.4
a<0时，ymax= 4ac-b2
4a
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一、定义
解析式
二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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使用 范围
已知任意 三个点 已知顶点 （h,k)及 另一点 已知与x 轴的两个 交点及另 一个点
0
(3)a、b确定对称轴 ab>0 ab=0 Δ>0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
0
•(x ,0) •(x ,0) (3)a、b确定对称轴
x
1 2
c>0
c=0
c<0
b x=- 2a
a<0时， y轴左侧，函 数值y随x的增大而增大 ； y轴 右侧，函数值y随x的增大而减 小。
图 26.2.1
（2） a>0时，ymin=0 a<0时，ymax=0
前进
一、定义 二、图象特点 和性质
三、解析式的求法 四、图象位置与 a、b、c、 的 正负关系
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2.一般二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
ab>0 Δ>0
ab=0 Δ=0
的位置: ab<0 Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
(1)a确定抛物线的开口方向： a>0 a<0 (2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
新人教版九年级上册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴 顶点坐标 当时开口向上 当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．（2015•盘锦）如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( ) A．B．C．D．【答案】二次函数的图象与x轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣）2+5625，∵x取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x2+500x+5000=5000，解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。
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最新九年级数学高频考点核心考点分类复习完整版知识点分类总结相应练习题一、二次函数与反比例函数1、二次函数1．下列函数中，二次函数是（ ）A ．y =（m 2+1）x 2B ．y =x 2-x （x -2）C ．y =a x 2+b x +cD ．y =x +1 2．若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．±1D ．2 3．有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m ，面积是sm 2，则S 与x 的关系式是（ ） A ．S =-3x 2+24x B ．S =-2x 2+24x C ．S =-3x 2-24x D ．S =-2x 2+24x 4．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ）A ．y =x 2+aB ．y =a （x -1）2C ．y =a （1-x ）2D ．y =a （1+x ）2 2、二次函数2y ax =的图像5．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①y = a 2x ；②y = b 2x ；③y = c 2x ； ④y =d 2x ．则a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ） A.a>b>c>d B. a>b>d>c C.b>a>c>d D.b>a>d>c 3、二次函数2y ax bx c =++的图像和性质6．（中招•泰安）在同一坐标系内，一次函数y =a x +b 与二次函数y =a x 2+8x +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（中招•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y =m x +m 和y =-m x 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）A． B． C． D．8．（中招•台湾）坐标平面上有一函数y=-3x2+12x-7的图形，其顶点坐标为（）A．（2，5） B．（2，-19） C．（-2，5） D．（-2，-43）9．（中招•徐州）二次函数y=a x2+b x+c图象上部分点的坐标满足下表：x…-3 -2 -1 0 1 …y…-3 -2 -3 -6 -11 …则该函数图象的顶点坐标为（）A．（-3，-3） B．（-2，-2） C．（-1，-3） D．（0，-6）10．（中招•昭通）已知二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．3是方程a x2+b x+c=0的一个根C．a+b+c=0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小第10题第11题第12题11．（中招•平凉）已知二次函数y=a x2+b x+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a-b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（中招•襄阳）二次函数y =-x 2+b x +c 的图象如图所示：若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在此函数图象上，x 1＜x 2＜1，y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1≤y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1＞y 2 13．（中招•衢州）已知二次函数y =-12x 2-7x +152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 114．（中招•衢州）抛物线y =x 2+b x +c 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y =（x -1）2-4，则b 、c 的值为（ ）A ．b=2，c=-6B ．b=2，c=0C ．b=-6，c=8D ．b=-6，c=215．（中招•枣庄）将抛物线y =3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）A ．y =3（x -2）2-1B ．y =3（x -2）2+1C ．y =3（x +2）2-1 D ．y =3（x +2）2+116．（中招•镇江）二次函数y =x 2-4x +5的最小值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．517．（中招•贵阳）已知二次函数y =a x 2+b x +c （a ＜0）的图象如图所示，当-5≤x ≤0时，下列说法正确的是（ ）A ．有最小值-5、最大值0B ．有最小值-3、最大值6C ．有最小值0、最大值6D ．有最小值2、最大值618．（中招•泰安）若二次函数y =a x 2+b x +c 的x 与y 的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2y-27-13-3353则当x =1时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-1D ．-2719．（黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．y =x 2-x -2 B ．211222y x x =--+C ．211122y x x =--+D ．y =-x 2+x +220．（安徽）若二次函数y =x 2+bx x +5配方后为y =（x -2）2+k ，则b 、k 的值分别为（ ） A ．0，5 B ．0，1 C ．-4，5 D ．-4，121．（泰安）将y =（2x -1）（x +2）化成y =a （x +m ）2+n 的形式为（ ）A ．23252()416y x =+-B ．23172()48y x =--C ．23252()48y x =+-D ．23172()48y x =++4、二次函数与一元二次方程22．（长春）二次函数y =k x 2-6x +3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜3 B ．k ＜3且k ≠0 C ．k ≤3 D ．k ≤3且k ≠023．（中招•襄阳）已知函数y =（k-3）x 2+2x +1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜4 B ．k ≤4 C ．k ＜4且k ≠3 D ．k ≤4且k ≠324．（徐汇区一模）已知二次函数y =a x 2+b x +c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x =3时，y ＜0D ．方程a x 2+b x +c=0有两个相等实数根25．根据下列表格中的对应值：判断方程a x 2+b x +c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）一个解x 的范围最可能是（ ）x 0.75 0.8 0.85 0.9a x 2+b x +c-0.25 -0.04 0.190.44A ．x ＜0.75B ．0.75＜x ＜0.8C ．0.8＜x ＜0.85D ．0.85＜x ＜0.926．（中招•牡丹江）抛物线y =a x 2+b x +c （a ＜0）如图所示，则关于x 的不等式a x 2+b x +c ＞0的解集是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞-3C ．-3＜x ＜1D ．x ＜-3或x ＞127．（淮北模拟）已知抛物线y =2（x -3）（x +1），当y ＞0时，对应的x 的范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜-1C ．x ＜-1，或x ＞3D ．-1＜x ＜35、二次函数的应用28．（中招•株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米29．（日照）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A ．140元B ．150元C ．160元D ．180元30．（河北）如图，二次函数y =x 2-4x +3的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则△ABC 的面积为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．1 6、反比例函数31．（中招•安顺）若y ＝(a +1)22ax -是反比例函数，则a 的取值为（ ）A ．1B ．-1C ．±1D ．任意实数 32．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ） A ．正方形的面积S 与边长a 的关系 B ．正方形的周长l 与边长a 的关系C ．矩形的长为a ，宽为20，其面积S 与a 的关系D ．矩形的面积为40，长a 与宽b 之间的关系33．（中招•随州）正比例函数y =k x 和反比例函数21k y x+=-（k 是常数且k ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．34．（中招•攀枝花）二次函数y =a x 2+b x +c （a ≠0）的图象如图所示，则函数ay x=与y =b x +c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．35．（中招•三明）如图，已知直线y =m x 与双曲线ky x=的一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）A ．（-3，4）B ．（-4，-3）C ．（-3，-4）D ．（4，3）第35题 第36题 第38题 第39题 36．（中招•南通）如图，设直线y =k x （k ＜0）与双曲线5y x=-相交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2-3x 2y 1的值为（ ）A ．-10B ．-5C ．5D ．10 37．（中招•黑龙江）反比例函数2k y x-=的图象，当x ＞0时，y 随x 的值增大而增大，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜2B ．k ≤2C ．k ＞2D ．k ≥2 38．（中招•新疆）如图，l 1是反比例函数ky x=在第一象限内的图象，且经过点A （1，2）．l 1关于x 轴对称的图象为l 2，那么l 2的函数表达式为（ ）A ．2y x =（x ＜0） B ．2y x =（x ＞0） C ．2y x =-（x ＜0） D ．2y x=-（x ＞0） 39．（中招•铜仁地区）如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=的图象过点A ，则k 的值是（ ）A．2 B．-2 C．4 D．-440．（中招•株洲）已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数6yx=的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y141．（中招•兰州）已知A（-1，y1），B（2，y2）两点在双曲线32myx+=上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＞32-D．m＜32-42．（中招•娄底）已知反比例函数的图象经过点（-1，2），则它的解析式是（）A．2y x=-B．2yx=-C．2yx=D．12yx=-43．（中招•天水）函数y1=x和y2=1x的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（）A．x＜-1或x＞1 B．x＜-1或0＜x＜1C．-1＜x＜0或x＞1 D．-1＜x＜0或0＜x＜1第43题第45题44．（中招•大庆）已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是（）A． B． C． D．45．（中招•苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4）．顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．12 B．20 C．24 D．32。
精品 九年级数学 二次函数知识点汇总+练习题
时，y 随 x 的增大而增大； 时，y 随 x 的增大而减小. ，图象有最 值是 点， ，
（2）当 a<0 时，抛物线开口 即当 x= 当x 当x 时，y 有最
时，y 随 x 的增大而增大； 时，y 随 x 的增大而减小. ； a 越小，抛物线开口越 .
4.开口大小： a 越大，抛物线开口越 5.抛物线三种表达形式： 一般式： 6.抛物线解析式求法： ；顶点式：
9.二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示，则一次函数 y bx a 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )
10.函数 y ax b和y ax 2 bx c 在同一直角坐标系内的图象大致是(
11.把抛物线 y=x +bx+c 的图象向右平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位， 所得图象的解析式为 y=x -3x+5， 则（ ） A.b=3,c=7 B.b=6,c=3 C.b=-9,c=-5 D.b=-9,c=21
29.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，那么下列判断不正确的是（ A.ac<0 B.a-b+c>0 C.b=-4a
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初中数学知识点归纳精品教学
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12.把抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（ A. y x 2 1 B. y ( x 1) 2 C. y x 2 1
） D. y ( x 1) 2 ）
13.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,顶点坐标为（2,-3） ,那么该抛物线有（ A.最小值-3 B.最大值-3 C.最小值 2 ） D.0 ) D.最大值 2
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人教版九年级下册数学二次函数知识点总结教案主讲人：李霜霜一、教学目标：(1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题．(2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想．二、教学重点、难点教学重点：二次函数的图像，性质和应用教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题．3、教学过程复习巩固（一）二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，，b c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，，b c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y = ax 2 + c 的性质： 上加下减。
3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
4. y = a (x - h )2+ k 的性质：（三）二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ， k )处，具体平移方法如下：⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭• • (k >0)• • • • (k <0)• • • |k |• • •y=ax 2+k• • (h >0)• • •h <0 • • |k|• • •• • (h >0)• • • h <0•• • |k|• • •• • (k >0)• • • (k <0)•• • |k |• • •• • (h >0)• • • (h <0)• • • |k|• • •• • (k >0)• • • (k <0)• • • |k |• • • y=a (x-h )2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．（四）二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2到前者，即 y = a x + 2a ⎪ + 4a ，其中h = - ， k = ． 2a 4a(五)二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎪⎫ ．1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a， 4a当 x < - b时， y 随 x 的增大而减小；2a 当 x > - b时， y 随 x 的增大而增大；2a当 x = - b2a 4ac - b 2 时， y 有最小值 ．4ab⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当x < - 2a时， b b 4ac - b 2y 随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a时， y 有最大值 ．4a(六)二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式（交点式）： y = a (x - x 1)(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.(七)二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 ay=a (x-h )2y=ax 2⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0 对称轴为y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．(八)二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax2 +bx +c = 0 是二次函数y =ax2 +bx +c 当函数值y = 0 时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x 轴交于两点A(x，0，)，B (x0)(x≠x)，其中的x ，x 是一元1 2 1 2 1 2二次方程ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．.② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；例题讲解：15.已知二次函数图象的对称轴是x + 3 = 0 ,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0, -(1)求这个二次函数的解析式;(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大? 52 ).第15 题图17.如图，抛物线y =x2 +bx -c 经过直线y =x - 3 与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使S∆APC：S∆ACD=5 ：4 的点P的坐标。
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初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22. 一次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
.2 ,3. y a x h的性质:左加右4. y a x h k的性质:2三、二次函数图象的平■移 1. 平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h , k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h , k 处，具体平移方法如下:向右（h>0）【或左（h<0）平移|k|个单位b 心 —时, 2a2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减, h 值正右移，负左移; k 值正上移，负下移四、二次函数 2y a x h k 与 y ax 2从解析式上看，2y a x h k 与 y ax 到前者，即y a x2b4ac 2a4a b 2—，其中h六、二次函数y ax 2 bx c 的性质bx c 的比较bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得24ac b4a1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b 2a顶点坐标为b 2a24ac b4a b 心—时, 2a y 随x 的增大而减小; b 心 —时, 2ay 随x 的增大而增大;2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为b 2a顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 旦时,2a22y 随x 的增大而增大；当 x 一时，y 随x 的增大而减小；当x —时，y 有最大值-^^ -------------------------------2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c ( a , b , c 为常数，a 0 )； 22. 顶点式：y a(x h) k ( a, h , k 为吊数，a 0);3. 两根式(交点式)：y a(xx i )(xx 2) (a 0,x 〔，x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数aa 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.b 决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b 为0对称轴为y 轴)y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况)：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当 b 24ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax i , 0 , B x 2 , 0 (x ix 2),其中的x i,x 2是一元次方程ax 2 bx c 0 a 0的两根.. ② 当 0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 . 22.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一正相交，交点坐标为 (0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x 2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, —3)2. 把抛物线y2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是()当a 0时，抛物线开口向上, 当a 0时，抛物线开口向下, 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3.常数项c⑴当c 0时，抛物线与⑵当c 0时，抛物线与 ⑶当c 0时，抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；y 轴交点的纵坐标为0;y 轴交点的纵坐标为负.c _一_2 _一_2 _2^ _2一A. y 2(x 1) B. y 2( x 1) C. y 2x 1 D. y 2x 113. 二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ,c= 。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题
《二次函数》知识点总结一. 二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++(a b c，，是常数，0a≠)的函数,叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2。
二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二。
二次函数的图像和性质表达式(a≠0) a值图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最值①y=ax2a＞0 向上y轴（0,0）①当x＞0时,y随x的增大而增大②当x＜0时,y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即最小值y=0 a＜0 向下y轴（0，0）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时,y随x的增大而增大当x=0时,y有最大值,即最大值y=0②y=ax2+k a＞0 向上y轴(0，k）①当x＞0时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即最小值y=k a＜0 向下y轴（0，k）①当x＞0时，y随x的增大而减小②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时,y有最大值，即最大值y=k③y=a（x—h)2a＞0 向上直线x=h （h,0）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即最小值y=0 a＜0 向下直线x=h (h，0)①当x＞h时，y随x的增大而减小②当x＜0时,y随x的增大而增大当x=h时,y有最大值，即最大值y=0④y=a（x-h）2+k a＞0 向上直线x=h (h,k）①当x＞h时，y随x的增大而增大②当x＜h时,y随x的增大而减小当x=h时,y有最小值，即最小值y=ka ＜0向下 直线x=h (h,k ）①当x ＞h 时，y 随x的增大而减小 ②当x ＜h 时,y 随x 的增大而增大当x=h 时，y 有最大值，即最大值y =k⑤y=ax 2+bx+c 可化为： y=a （x+)2ab 2+a ＞0 向上直线x=-ab 2（—ab 2，ab ac 442-）①当x ＞-ab 2时，y随x 的增大而增大 ②当x ＜-ab 2时，y随x 的增大而减小当x=—ab 2时，y 有最小值，最小值y =a b ac 442- a ＜0向下直线x=—ab2(-ab 2，ab ac 442-） ①当x ＞—a b 2时，y随x 的增大而减小②当x ＜—a b2时,y随x 的增大而增大当x=-ab 2时，y 有最大值，即 y 最大值=ab ac 442-三。
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最新九年级数学必考要点分类汇编完整版二次函数复习提及习题二次函数的几个基本名词：抛物线的顶点、对称轴和开口方向 大纲要求：1．理解二次函数的概念；2．会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3．会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4．会用待定系数法求二次函数的解析式； 5．利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2ab ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h.考查重点与常见题型：考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是1．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）2．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
3．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①142+-=x x y ； ②22x y =；③x x y 422+=； ④x y 3-=； ⑤12--=x y ；⑥p nx mx y ++=2； ⑦xy 4=； ⑧x y 5-=。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为t t s 252+=，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数54)82(22++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、已知函数1)3(72++=-m x m y 是二次函数，则m ＝ 。
5、若函数15)2(22++-=-x x m y m是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数35)1(12-+-=+x x m y m是二次函数，求m 的值。
7、已知抛物线mmx m y --=2)1(的开口向下，则m 的值为 。
8、已知抛物线24x y =与直线1-=kx y 有唯一交点，求k 的值。
9、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 二、二次函数的对称轴、顶点、最值（技法：如果解析式为顶点式()k h x a y +-=2，则最值为k ；如果解析式为一般式c bx ax y ++=2则最值为ab ac 442-）1. 抛物线m m x x y -++=2242经过坐标原点，则m 的值为 .2. 抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .3. 抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为 ( )B.5. 若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴C.开口向下，对称轴平行于y 轴D.开口向上，对称轴平行于y 轴6. 已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是7. 抛物线322-+=x x y 的对称轴是 8. 若二次函数332-+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ .9. 当n ＝________，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)nx ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.10. 已知二次函数3222++-=a ax x y ，当a 时，该函数y 的最小值为０？ 11. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值为１，那么m ＝ 12. (易错题)已知二次函数1)1(2-+-+=m x m mx y 有最小值为０，则m ＝ 13. 已知二次函数342-+-=m x x y 的最小值为3，则m ＝14. 已知二次函数253212++-=x x y 的图象上有三点)(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，且3213x x x <<<，则321,,y y y 的大小关系为15. 抛物线223x y -=向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
16. 将抛物线12+=x y 向左平移２个单位，再向下平移３个单位，所得到的抛物线的关系式 为 。
17. 将抛物线c bx ax y ++=2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到1422--=x x y则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .18. 将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为____ _.三、函数的交点19. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。
20. 直线17+=x y 与抛物线532++=x x y 的图象有 个交点。
四、函数的的对称21. 抛物线x x y 422-=关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。
22. 抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线为3422+-=x x y ，则a= ,b = ,c = .五、函数的图象特征与a 、b 、c 的关系技法：对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负； ②对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；③与y轴的交点由 c 定，上正下负，c 为0时过原点。
23. 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ）Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b aC.0,0,0=<>c b aD.0,0,0<<>c b a24. 已知抛物线c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0>++c b aB ．a b 2->C ．0>+-c b aD ．0<c 抛物线cbx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ；②0>++c b a ③0>+-c b a ④042<-ac b⑤0<abc⑥c a >4；其中正确的为（ ） A ．①② B ．①④C ．①②⑥D ．①③⑤25. 当0<b 是一次函数b ax y +=与二次函数c bx ax y ++=2在同一坐标系内的图象可能是（ ）26. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )27. 坐标系内的图象可能是( )C xD y O xC y O x B y O x A y O29二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ， 图象如图所示，则反比例函数xaby =的图象的两个分支分别在第 象限。
30反比例函数xky =的图象在一、三象限，则二次函数122--=x k kx y 的图象大致为图中的（ ） 31 反比例函数xky =中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则二次函数kx kx y 22+=的图象大致为图中的（ ）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值 D ．432已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线bc ax y +=不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C 第三象限．D ．第四象限BDC AA CDB。