邱关源—电路—教学大纲—第十二章

弦全波整流波形，设 ω1 = 314 rad s , U m = 157 V ，求负载两端电压的各谐 波分量。
解：给定电压 u S 分解为傅里叶级数，得 4 1 1 1 u S = × 157 × ( + cos 2ω1t − cos 4ω1t + 2 3 15 π 设负载两端电压的第 k 次谐波为 U 1m ( k ) ，则
（五）采用的教学方法和手段
教学方法：讲述法
教学手段：多媒体
（六）本节课小节
需改进之处：进一步加强与学生的交流 成功方面：思路清晰，概念清楚
§12－3 有效值、平均值和平均功率 §12－4 非正弦周期电流电路的计算 （一）教学目标
1. 掌握非周期量的有效值、平均值和平均功率的概念及其计算； 2. 掌握非正弦周期电流电路的计算方法。
( 1 jkω 1 L
)
+
1 1 + jkω 1C )U 1m (k ) = U Sm (k ) R jkω1 L
∴ U 1m (k ) =
U Sm ( k ) 1 1 + jkω 1 L( + jkω 1C ) R ① 直流作用： k = 0, U 0 = 100 V
（电容开路，电感短路）
② 2 次谐波作用： k = 2 , U 1m ( 2 ) = 3.55∠ − 175.15° V ③ 4 次谐波作用： k = 4 , U 1m ( 4 ) = 0.171∠ − 177.6° V 可见滤波后，尚约有 3.5%的二次谐波。 感抗和容抗对各次谐波的反应是不同的，这种特性可以组成含有电感和电 容的各种不同滤波电路，联接在输入和输出之间。可以让某些所需的频率分量 顺利的通过而抑制某些不需要的分量。
f (t ) = a 0 + ∑ [a k cos(kω 1t ) + bk sin(kω 1t )] = A0 + ∑ Akm cos(kω1t + ϕ k )
k =1 k =1
A0 = a 0 ，Akm = a k2 + bk2 ， ϕ k = tg −1
(−bk ) , a k = Akm cos ϕ k ， bk = Akm sin ϕ k ， ak
图 12－2 例 12－1：求下图所示周期性矩形信号 f (t ) 的傅里叶级数展开式及其频谱。
T 0≤t ≤ Em 2 解：∵ f (t ) = T − E m ≤t ≤T 2 1 T a 0 = ∫ f (t )dt = 0 T 0 1 2π a k = ∫ f (t ) cos kω1td (ω1t ) = 0
π
0
bk =
π∫
1
2π
0
f (t ) sin kω 1 td (ω1t ) =
2Em
π
∫
π
0
sin kω1td (ω1t ) =
2Em (1 − cos kπ ) kπ
2Em 4Em ∴ bk = ×2 = , k = 1 ,3,5 kπ kπ 4Em 1 1 f (t ) = sin ω1t + sin 3ω1t + sin 5ω1t + π 3 5
2
2.平均值
I av
def 1 T
∫
T
0
i dt
① 非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值 ② 正弦量平均值 I av = 0.898I 。 因 I av 1 = T
π
∫
T
0
2I I m cos ω t dt = m T
∫
2 0
sin ω tdt = 0.637 I m = 0.898I
相当于正弦电流经全波整流后的平均值。 磁电系仪表 电磁系仪表 全波整流仪表
2． f (t ) 的频谱
f (t ) 分解为傅氏级数后包含哪些频率分量和各分量所占 “比重” 用长度与
各次谐波振幅大小相对应的线段进行表示，并按频率的高低把它们依次排列起 来所得到的图形，称为 f (t ) 的频谱。 幅度频谱：表示出各谐波分量的振幅。 相位频谱：把各次谐波的初相用相应的线段依次排列得到。
1 T
∫
T
0
i 2 dt
非正弦周期电流： i = I 0 + ∑ I km cos(kω1 t + ϕ k )
k =1
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的 平方根：
∞ 1 T 2 2 2 I= I + I km cos(kω1 t + ϕ k ) dt = I 0 + I 1 + I 2 + ∑ 0 ∫ 0 T k =1
（二）教学难点
1. 非正弦周期电流电路的分析计算（谐波分析法） 。
（三）教学思路
1．首先引出基本的概念，然后给出非正弦周期电流电路的计算方法，采用具体
的例子进一步说明如何分析非正弦周期电流电路。
（四）教学内容和要点
§12－3 有效值、平均值和平均功率
1.有效值
任一周期电流 i 的有效值 ： I
∞
def
2）平均功率 平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和： 1 T 1 T u i dt T ∫0
+ U k I k cos ϕ k +
P=
∫
T
0
p dt =
= U 0 I 0 + U 1 I 1 cos ϕ 1 + U 2 I 2 cos ϕ 2 +
其中 U k =
U km
2
, Ik =
例 12－2：下图所示电路中，输入电源为
u S = [10 + 141.4 cos(ω1t ) + 47.13 cos(3ω1t ) + 28.28 cos(5ω1t ) + 20.20 cos(7ω1t ) +
15.7 cos(9ω1t ) + ] V ， R = 3 Ω,
1 = 9.45 Ω ，求电流 i 和电阻吸收的平 ω 1C
（五）采用的教学方法和手段
教学方法：讲述法 教学手段：多媒体
（六）本节课小节
需改进之处：进一步加强与学生的交流 成功方面：思路清晰，概念清楚，联系实际
T 1 T 1 2 = = a f t dt ( ) 0 ∫0 ∫− T2 f (t )dt T T 2 T 1 π a k = ∫0 f (t ) cos kω 1tdt = ∫−π f (t ) cos(kω 1t )d (ω 1t ) T π T π 2 1 bk = T ∫0 f (t ) sin kω1tdt = π ∫−π f (t ) sin( kω 1t )d (ω 1t )
（四）教学内容和要点
§12－1 非正弦周期信号 实际的交流发电机发出的电压波形与正弦波形或多或少有些差别，严格来 讲是非正弦的。如果电路存在非线性元件，即使激励电压、电流是正弦波形， 电路中也会产生非正弦电流。
图 12－1 非正弦电流可分为周期与非周期两种。 非正弦周期激励电压、电流或外施信号作用下, 分析和计算线性电路的方 法，主要利用傅里叶级数展开法 —— 谐波分析法。 1．将非正弦周期激励电压、电流或外施信号分解为一系列不同频率的正弦量 之和； 2．分别计算在各种频率正弦量单独作用下产生的正弦电流分量和电压分量； 3．最后再根据线性电路的叠加定理，把所得分量的时域形式叠加，得到电路

3． f (t ) 的对称性与系数 a k 、 bk 关系 １）偶函数： f (t ) = f (− t ) ，纵轴对称，则 bk = 0 。
图 12－3
2）奇函数： f (t ) = − f (− t ) ，原点对称，则 a k = 0 。
图 12－4
T 3）奇谐波函数： f (t ) = − f t + ，镜对称，则 a 2 k = b2 k = 0 。 2
均功率。
解：电流相量的一般表达式, I m (k ) =
U Sm (k ) 1 R− j kω1C
k = 0 ，直流分量， U 0 = 10 V , I 0 = 0, P0 = 0 ， 141.4∠0° k = 1 , U Sm (1) = 141.4∠0° V , I m (1) = = 14.26∠72.39° A 3 − j 9.45 1 P(1) = I 2 m (1) R = 305.02 W 2 47.13∠0° k = 3, U Sm ( 3) = 47.13∠0° V , I m ( 3) = = 10.83∠46.4° A 3 − j 3.15 1 P( 3) = I 2 m ( 3) R = 175.93 W 2 k = 5, U Sm ( 5) = 28.28∠0° V , I m ( 5) = 7.98∠32.21° A
图 12－5 a） 与计时起点无关，而 ϕ k 与计时起点有关，计时起点的变动只能使各次谐 波的初相作相应地改变； b） 于系数 a k 和 bk 与初相 ϕ k 有关， 所以它们也随计时起点的变动而改变； c）于 a k 和 bk 与计时起点的选择有关，f(t) 是否为奇函数或偶函数可能与 计时起点的选择有关，函数是否为奇谐波函数与计时起点无关； d) 波形越光滑和越接近正弦形，其展开函数收敛得越快。
+ 6.14cos(7ω1 t + 24.23°) + 4.94cos(9ω1 t + 19.29°) + ] A P = P0 + P(1) + P(3 ) + P(5 ) + P(7 ) + P(9 ) = 669.80W
例 12－3：下图所示电路中 L = 5 H , C = 10 µ F ，负载电阻 R = 2kΩ , u S 为正
1 2 I m ( 5) R = 95.52 W 2 k = 7, U Sm ( 7 ) = 20.20∠0° V , I m ( 7 ) = 6.14∠24.23° A P( 5) = 1 2 I m ( 7 ) R = 56.55 W 2 k = 9, U Sm ( 9) = 15.7∠0° V , I m ( 9 ) = 4.94∠19.29° A P( 7 ) = 1 2 I m (9 ) R = 36.60 W 2 ∴ i = [14.26 cos(ω1t + 72.39°) + 10.83 cos(3ω1t + 46.4°) + 7.98 cos(5ω1t + 32.21°) P( 9 ) =