近世代数之元素的阶
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2016/11/8 10:57
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2 (Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
1 0 1 0 (1)a ,b 0 1 0 1 1 0 | a || b || ab | 2 ab ba , 0 1
显然有， a m a n a mn
(a ) a
，其中
m n
mn
m, n
为任意整数.
2016/11/8 10:57
定义1 设 为群 G 的一个元素，使 a 的最小正整数 n 叫做元素 的阶，记作
a
n
a n ；若不存在这样的 n ，则称
为无限.
a
e
a 的阶
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶 都大于1， a a
(| a |,| b |) 1
2016/11/8
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例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2 (Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
1 0 0 1 (2)a ,b 0 1 1 1 1 0 0 1 ba , ab , 1 1 1 1 | a | 4,| b | 3,| ab |
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限. 例4 U ，则
U
i 1
i
，其中 U i 是
i
次单位根群
U 关于普通乘法作成无限交换群，
其中每个元素的阶都有限.
2016/11/8
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定理2 若群 G 中 | a | n ，则 a m e n | m . 证明： 令 m nq r ， 0 r n ，则
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证 n (1)a e, （2）若 am e n | m .
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a a r0
m
nqr
(a ) a a e
n q r r
定理3 若群中
| a | n
，其中
k 为任意的整数.
n ，则 a (n, k )
其余元的阶均为无限.
2016/11/8
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定理1 有限群 G 中每个元素的阶均有限. 证明：设 G n
a G ，在 a, a ,, a , a
中必有相等的. 设
2
n
n 1
G
a a ,1 t s n 1,
则
s
t
a
s t
e
，从而阶有限.
2016/11/8
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2016/11/8 10:57
两个推论： 推论1 在群中，若 | a | st ,则
| a | t
s
，其中s，t 均为正整数.
推论2 在群中，若 | a
k
| n
，则
| a | n (k , n) 1.
2016/11/8
10:57
定理4 在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当 | ab | mn. ab ba 且 (m, n) 1 时，
2016/11/8
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思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
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k
证明： ( n, k ) d
k n1
(a ) a
a
km
n dn1 , k dk1 ,( n1 , k1 ) 1
kn1
设 ( a ) e ，则 e n | km n1 | k1m n1 | m
k m
k
a
nBaidu Nhomakorabea1
(a ) e
n k1
n a n1 . ( n, k )
1
.
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例1
G {1,1, i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2, i i 4
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例2 正有理数乘群 Q
单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限. 例3 非零有理数乘群 Q
1的阶是1， -1的阶是2，
ab ba mn m n n m (ab) (a ) (b ) e s 若 (ab) e sm m s sm sm (ab) (a ) b b e n | sm n | s
证明： | a | m ，| b | n ， 同理 ，于是
m | s ， (m, n ) 1 mn | s | ab | mn.
近世代数
第二章 群论
§2元素的阶
2016/11/8
10:57
元素的指数 在群 G 中，由于结合律成立， a1a 2 a n 有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设 n 为正整数, 则规定:
n n 0 n 1 1 1 n a e , a aa a , a a a a
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2 (Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
1 0 1 0 (1)a ,b 0 1 0 1 1 0 | a || b || ab | 2 ab ba , 0 1
显然有， a m a n a mn
(a ) a
，其中
m n
mn
m, n
为任意整数.
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定义1 设 为群 G 的一个元素，使 a 的最小正整数 n 叫做元素 的阶，记作
a
n
a n ；若不存在这样的 n ，则称
为无限.
a
e
a 的阶
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶 都大于1， a a
(| a |,| b |) 1
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例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2 (Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
1 0 0 1 (2)a ,b 0 1 1 1 1 0 0 1 ba , ab , 1 1 1 1 | a | 4,| b | 3,| ab |
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限. 例4 U ，则
U
i 1
i
，其中 U i 是
i
次单位根群
U 关于普通乘法作成无限交换群，
其中每个元素的阶都有限.
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定理2 若群 G 中 | a | n ，则 a m e n | m . 证明： 令 m nq r ， 0 r n ，则
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证 n (1)a e, （2）若 am e n | m .
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a a r0
m
nqr
(a ) a a e
n q r r
定理3 若群中
| a | n
，其中
k 为任意的整数.
n ，则 a (n, k )
其余元的阶均为无限.
2016/11/8
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定理1 有限群 G 中每个元素的阶均有限. 证明：设 G n
a G ，在 a, a ,, a , a
中必有相等的. 设
2
n
n 1
G
a a ,1 t s n 1,
则
s
t
a
s t
e
，从而阶有限.
2016/11/8
10:57
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两个推论： 推论1 在群中，若 | a | st ,则
| a | t
s
，其中s，t 均为正整数.
推论2 在群中，若 | a
k
| n
，则
| a | n (k , n) 1.
2016/11/8
10:57
定理4 在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当 | ab | mn. ab ba 且 (m, n) 1 时，
2016/11/8
10:57
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
2016/11/8
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k
证明： ( n, k ) d
k n1
(a ) a
a
km
n dn1 , k dk1 ,( n1 , k1 ) 1
kn1
设 ( a ) e ，则 e n | km n1 | k1m n1 | m
k m
k
a
nBaidu Nhomakorabea1
(a ) e
n k1
n a n1 . ( n, k )
1
.
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例1
G {1,1, i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2, i i 4
2016/11/8
10:57
例2 正有理数乘群 Q
单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限. 例3 非零有理数乘群 Q
1的阶是1， -1的阶是2，
ab ba mn m n n m (ab) (a ) (b ) e s 若 (ab) e sm m s sm sm (ab) (a ) b b e n | sm n | s
证明： | a | m ，| b | n ， 同理 ，于是
m | s ， (m, n ) 1 mn | s | ab | mn.
近世代数
第二章 群论
§2元素的阶
2016/11/8
10:57
元素的指数 在群 G 中，由于结合律成立， a1a 2 a n 有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设 n 为正整数, 则规定:
n n 0 n 1 1 1 n a e , a aa a , a a a a