近世代数复习试题2010级

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近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题一填空题1．12,,n A A A L 是集合A 的子集，如果（1），（2），则称12,,n A A A L 为A 的一个分类.2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.二解答、证明题1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=ο证明：),(οZ 是一个交换群.2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.6.设H G ≤，N G <，证明：HN G ≤.7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H <8.证明:每个素数阶的群都是循环群.9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.10.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.11.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。

近世代数基础测验卷

近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算与，且M M ~，则当时，也满足结合律；当时，也满足交换律。

2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与同构；若n a =||，则a 与同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有；子群有；6、n 次对称群n S 的阶是；置换)24)(1378(=τ的阶是；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个同构。

二、证明题（24）1、设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n=。

2、叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。

3、证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。

二、解答题（34）1、叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。

2、写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。

参考答案：一、填空题1、满足结合律；满足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述，H 也是G 的子群。

近世代数试题及答案

近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。

答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。

答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。

答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。

答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。

近世代数复习题及答案

近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。

答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。

例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。

2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。

判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。

3. 什么是正规子群？请给出一个例子。

答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。

例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。

4. 什么是群的同态？请给出一个例子。

答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。

5. 什么是群的同构？请给出一个例子。

答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。

这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。

例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。

6. 什么是环？请给出一个例子。

答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。

例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。

7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。

判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。

8. 什么是环的同态？请给出一个例子。

答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。

(精选)近世代数练习题题库

§1 第一章基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

（）1.2 A ×B = B ×A （）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

（） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

（）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。

（）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A 到B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

近世代数练习题试题库

§1 第一章根底知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

〔〕1.2 A ×B = B ×A 〔〕1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。

〔〕 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,那么ϕ[ϕ(a)]=a 。

( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。

〔〕1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，那么B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

〔〕1.7 在整数集Z 上，定义“ 〞：a b=ab(a,b ∈Z)，那么“ 〞是Z 的一个二元运算。

〔〕1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。

( )2填空题：2.1 假设A={0,1} , 那么A ⨯A=__________________________________。

2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，那么A ×B =_________________。

2.3 设={1,2,3} B={a,b},那么A ⨯B=_______。

2.4 设A={1,2}, 那么A ⨯A=_____________________。

2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，那么有=⨯A B 。

2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，那么()[]=-a f f 1 。

2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，那么A 上不同的二元运算共有个。

2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，那么共可定义个从A 到B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，那么A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，那么A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合以下三个条件：_____________________________________________。

近世代数考试试题题库

近世代数考试试题题库近世代数是一门研究代数结构的数学分支，它主要研究群、环、域等代数结构的性质和它们之间的关系。

以下是一份近世代数考试试题题库的示例内容：一、选择题1. 以下哪个不是群的公理？A. 单位元存在性B. 可逆性C. 交换律D. 结合律2. 一个集合G，配合一个二元运算*，若满足以下条件，则G是一个群：A. 存在单位元B. 每个元素都有逆元C. 运算满足结合律D. 所有上述条件3. 在群G中，若a属于G，a的阶是最小的正整数n，使得a^n等于单位元，那么a的阶是：A. 1B. nC. 0D. G的阶4. 以下哪个是有限群的拉格朗日定理的表述？A. 群的子群的阶总是群的阶的因子B. 群的子群的阶等于群的阶C. 群的子群的阶总是群的阶的倍数D. 群的阶总是其子群的阶的倍数5. 环R中，若存在单位元1，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b=b*a，则R是一个：A. 群B. 域C. 交换环D. 模二、填空题6. 群的______性质保证了每个元素都有逆元。

7. 一个有单位元的结合环，如果其每个非零元素都有逆元，则这个环称为一个______。

8. 一个环的加法群是阿贝尔群，如果它的加法运算满足______律。

9. 一个环R中，如果a^2 = a对于所有a属于R，则R被称为______环。

10. 一个域的特征是2，这意味着域中1+1=______。

三、简答题11. 解释什么是子群，并给出一个不是子群的例子。

12. 描述拉格朗日定理，并说明它在群论中的重要性。

13. 什么是环的雅各比恒等式，并解释它在交换环中的意义。

14. 举例说明什么是有限域，并讨论它的性质。

15. 解释什么是主理想环，并讨论它与环的整性之间的关系。

四、证明题16. 证明：如果H是群G的一个子群，那么G/H的阶等于[G:H]。

17. 证明：任何群的子群都是阿贝尔的当且仅当该群本身是阿贝尔的。

18. 证明：如果R是一个有单位元的交换环，并且对于任意的a, b属于R，都有a*b = b*a，则R是一个域。

近世代数复习题

近世代数复习题例1 :写出剩余类加群Z15的(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(3) 全部子加群；?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?.(4) 每个元素的负元；-[1]=[14], -[2]=[13], -[3]=[12],-[4]=[11], -[5]=[10], -[6]=[9], -[7]=[8].(5) 全部理想；([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).(6) 全部可逆元；{ [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]}(7) 全部零因子；{ [3], [5], [9], [10], [12]}(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。

因为有零因子。

一、选择题1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是(A)(A) n是2的方幂；(B) n是素数；(C) n是素数的方幂；(D) n>2。

2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是(C)(A) H中的元素；(B) G\H中的元素；(C) G 关于H 的所有右陪集；(D) H 的所有共轭1Hg -g.3、设是环同态, 则同态的核是 (D)(A) Ker(?)={a ∈S: 有?b ∈R, 使得 ?(b )=a }；(B) Ker(?)={a ∈R: ? (a )=a }；(C) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=1}；(D) Ker(?)={a ∈?R: ? (a )=0}。

近世代数复习

近世代数复习一、选择题(每题2分,共16分)1、若G (a), ord ( a) n,则下列说法正确得就是2、假定就是A与A(AI A )间得一一映射，a A,则1［(a)］与［1(a)］分别为83、若G 就是群,a G,ord(a) 18,4、指出下列那些运算就是二兀运算5、设A,A2丄，A n与D都就是非空集合，而f就是A A L A n 到D得一个映射，那么6、设o就是正整数集合N上得二元运算，其中aob maxa,b),那么o在Z中7、在群G中,a, b G ,则方程ax b与ya b分别有唯一解为&设H就是群G得子群，且G有左陪集分类｛H,aH,bHcb｝、如果［G : H ］6,那么G9、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A 与B得积集合A X B中含有()个元素。

10、设A = B = R(实数集)，如果A到B得映射：x—x+ 2, x € R,贝U就是从A到B得11、设Z15就是以15为模得剩余类加群，那么，Z15得子群共有( )个。

12、G就是12阶得有限群，H就是G得子群，则H得阶可能就是13、下面得集合与运算构成群得就是14、关于整环得叙述，下列正确得就是15、关于理想得叙述，下列不正确得就是16、整数环Z中，可逆元得个数就是a b17、设M2(R)= a,b,c,d€ R，R为实数域按矩阵得加法与乘法构成R上得二阶方阵c d环，那么这个方阵环就是-，当a为偶数时18、设Z就是整数集，c(a)= 2 4 ，a Z，则c就是R得「，当a为奇数时219、设A=｛所有实数x｝，A得代数运算就是普通乘法，则以下映射作成A到A得一个子集得同态满射得就是()、20、设就是正整数集Z上得二元运算，其中aob max a,b (即取a 与b中得最大者)，那么在Z中()21、设S3=｛(1)，(1 2)，(1 3)，(2 3)，(1 2 3)，(1 3 2) ｝，则S3 中与元(1 2 3)不能交换得元得个数就是()22、设G,o为群，其中G就是实数集，而乘法o:aob a b k，这里k为G中固定得常数。

近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。

近世代数考题整理

一、二、(45分)单项选择题和填空题的知识点:1. 任何有限群G 的子群H 的阶数是G 阶数的因子2. 任何素数阶数的群是循环群，而循环群是交换群3. 群的定义是什么？给出一些集合和集合上的运算，能判断集合关于运算是不是群。

P31-32第一定义：一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群(1) G 对于这个乘法来说是闭的(2) 结合律成立a(bc)=(ab)c ，对于G 的任意三个元a,b,c 都对(3) 对于G 的任意两个元a,b 来说，方程ax=b 和ya=b 都在G 里有解第二定义：一个不空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群(1) G 对于这个乘法来说是闭的(2) 结合律成立a(bc)=(ab)c ，对于G 的任意三个元a,b,c 都对(3) G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea = a ，对于G 的任何元a 都成立(4) 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a -1，能让a -1a = e4. 什么是一个群G 的生成元，给出一个子集合会判断该子集是不是子群若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群，也说G 是由a 所生成，并且用符号G=(a)来表示，a 叫做G 的一个生成元P635. 什么叫做结合律？给出一个集合和集合上的运算，会判断该运算是不是可结合的。

一个集合A 的代数运算o 适合结合律，对于A 的任意三个元a,b,c 来说，都有（a o b ）o c = a o （b o c ）6. 已知群G 的元素a 的阶是n, 那么m a 的阶是(,)n n m 。

7. 环、整环、除环、域的定义。

环：一个集合R 叫做环(1)R 是一个加群，R 对于一个叫做加法的代数运算来说作成一个交换群(2)R 对于另一个乘法的代数运算来说是闭的(3)这个乘法适合结合律：a(bc)=(ab)c ，不管a,b,c 是R 的哪三个元(4)两个分配律都成立a(b+c)=ab+ac ，(b+c)a=ba+ca ，不管a,b,c 是R 的哪三个元整环：一个环R 叫做整环，假如(1) 乘法适合交换律ab =ba(2)R有单位元1：1a = a1 = a(3)R没有零因子：ab=0 →a = 0或b=0a,b可以是R的任意元，整数环是整环除环：一个环R叫做一个除环(1)R至少包含一个不等于零的元(2)R有一个单位元(3)R的每一个不等于零的元有一个逆元域：一个交换除环叫做一个域(1)一个除环没有零因子。

近世代数期末考试试卷及答案.

近世代数期末考试试卷及答案.⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（）是⼦群。

A 、{}aB 、{},a eC 、{}3,e aD 、{}3,,e a a2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1(12)(23)(13)σ=，2(24)(14)σ=，3(1324)σ=，则3σ=（）A 、21σB 、12σσC 、21σσD 、22σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（）。

A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群 6、12阶有限群的任何⼦群⼀定不是（）。

A 、2阶B 、3 阶C 、4 阶D 、 5 阶7、设G 是群，G 有（）个元素，则不能肯定G 是交换群。

A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个8、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（）。

A 、偶数B 、奇数C 、4的倍数D 、2的正整数次幂9、若I,J 均是环A 的理想，则（）不⼀定是A 的理想。

A 、I+JB 、I ∩JC 、I ∪JD 、IJ10、3S 中元素(123)的中⼼化⼦有（）A 、(1),(123),(132)B 、（12），(13)，(23)C 、(1)，(123)D 、S3中的所有元素⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个同构。

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。

2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。

3. （）存在一个4阶的非交换群。

4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。

5. （）无零因子环的特征不可能是2001。

6. （）无零因子环的同态象无零因子。

7. （）模97的剩余类环Z97是域。

8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。

9. （）域是唯一分解整环。

10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。

2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。

3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。

4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。

5. 环Z6的全部零因子是。

6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。

3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。

四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。

近世代数期末考试试卷及答案

近世代数期末考试试卷及答案⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均⽆分。

1、设G 有6个元素的循环群，a 是⽣成元，则G 的⼦集（c ）是⼦群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下⾯的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在⾃然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意⼀个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。

A 、不可能是群B 、不⼀定是群C 、⼀定是群D 、是交换群⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。

错填、不填均⽆分。

1、凯莱定理说：任⼀个⼦群都同⼀个----变换群------同构。

2、⼀个有单位元的⽆零因⼦-交换环----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于----25--。

4、a 的阶若是⼀个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。

6、若映射?既是单射⼜是满射，则称?为----双射-------------。

7、α叫做域F 的⼀个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成⽴x a x = ，则称a 为---右单位元------。

近世代数试题库

近世代数试题库近世代数一、单项选择题a、{1，2，3，4}b、{2，3，6，7}c、{2，3}d、{1，2，3，5，6，7}答案：c2、循环群与交换群关系正确的是（）1、若a={1，2，3，5}，b={2，3，6，7}，则a?b=（）a、循环群是交换群b、交换群是循环群c、循环群不一定是交换群d、以上都不对答案：a3、以下命题恰当的就是（）a、n次对换群sn的阶为n!b、整环一定是域c、交换环一定是域d、以上都不对答案：a4、关于标架的命题中恰当的就是（）设h就是g的子群，那么a、b、c、d、对于?ah,bh,有ah?bh??或ah?bhah?h?a?hah?bh?a?1b?h以上都对答案：d5、设a=r（实数域），b=r+（正实数域）f:a→10aa?a则f是从a到b的（）a、单射b、单射c、一一映射d、既非单射也非满射答案：d16、有限群中的每一个元素的阶都（）a、有限b、无限c、为零d、为1答案：a7、整环（域）的特征为（）a、素数b、无限c、有限d、或素数或无限答案：d8、若s就是半群,则()a、任意a,b,c?s,都有a(bc)=(ab)cb、任意a,b?s,都有ab=bac、必有单位元d、任何元素必存在逆元答案：a9、在整环z中，6的真因子就是（）a、?1,?6b、?2,?3c、?1,?2d、?3,?6答案：b10、偶数环的单位元个数为（）a、0个b、1个c、2个d、无数个答案：a11、设a1,a2,?,an和d都不为空集合，而f就是a1?a2an至d的一个态射，那么（）a、集合a1,a2,?,an,d中两两都不相同；b、a1,a2,?,an的次序不能调换；c、a1?a2an中相同的元对应的象必不相同；d、一个元?a1,a2,?,an?的象可以不唯一。

2答案：b12、指出下列那些运算是二元运算（）a、在整数集z上，a?b?a?b；abb、在有理数集q上，a?b?ab；c、在也已实数集r?上，a?b?alnb；d、在子集?n?zn?0?上，a?b?a?b。

《近世代数》练习题及答案.doc

《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？解只有在A=B时才能出现。

证明如下：当A=B时，即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾；若BuA,但B不是A的真子集，可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100｝,找一个AXA 到 A 的映射。

解S(a"2)= 1易证。

102都是AXA到A的映射。

3.在你为习题1所找的映射下，是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象？解在0]下，有' A的元不是AX A的任何元的象；容易验证在啊下，A的每个元都是AXA的一个元的象。

4.A=｛所有实数｝。

O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律？解这个代数运算不适合结合律。

(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射，a是A的一个元。

0[厂(a)] = a.6.假定A和，对于代数运算。

和：来说同态，云和云对于代数运算：和；来说同态, 证明A和云对于代数运算。

和；来说同态。

t。

表示A SU A的同态满射容易验证。

是A到葡满射a。

b T ONMa。

b)l =(/)2(a。

b) = a。

b所以6是A到工的关于代数运算：和；来说同态满射。

近世代数考试复习

<近世代数复习题>一、定义描述（8’）1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。

如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。

如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。

整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。

-------------7、素理想：设R是一个交换环，P ◁R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。

显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。

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《近世代数》复习试题
一填空题
1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1），（2），则称12,,n A A A 为A 的一个分类.
2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.
3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.
4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.
5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .
6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .
7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .
8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .
9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.
10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.
二解答、证明题
1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：
.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=
证明：),( Z 是一个交换群.
2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.
3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.
4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.
5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.
6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤.
7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H
8.证明:每个素数阶的群都是循环群.
9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r
（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.
（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.
10.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.
11.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。

12.设H ，K 都是群G 的正规子群，且K H ⊆，则
/(/)/(/G H G K H K ≅
13.设G 是群，()C G 是G 的中心，N G ≤，且()N C G ⊆，证明：
（1）N G ；
（2）若/G N 是循环群，则G 是交换群.
14.设),,(⋅+R 是有单位元1的环,在R 上又定义
b a b a b a 1b a b a ⋅-+=-+=⊕⊕ :,:
证明:),,( ⊕R 也是一个有单位元的环.
15. 设R 是有单位元的环,R b a ∈,
(1) 若a, b ,a+b 都可逆, 证明11b a --+也可逆.
(2) 求111b a ---+)(
16. 证明:除环的中心是一个域.
17.设2n ≥为正整数,证明:
(1) 环n Z 中元素][a 可逆⇔1n a =),(,即a 与n 互素;
(2) 若p 是素数,则p Z 是域;若2n ≥不是素数,则n Z 不是整环.
18.求出模6剩余类环6Z 的所有理想.
19.求整数环Z 上一元多项式][x Z 的理想),(x 2, 并证明),(x 2不是主理想.
20. 在整数环Z 中,若)(),(b a 是Z 的两个理想,则)()()(d b a =+,)()()(c b a = ,其中d 是a 与b 的最大公因数,c 是a 与b 的最小公倍数.
21. 设R 是一个有单位元的有限交换整环,证明:R 的每一个非零素理想都是R 的极大理想.
22. 求下列剩余类环的素理想和极大理想：6Z ，12Z ，13Z ，16Z
23.][x R 是实数域R 上的一元多项式环, 证明: C 1x x R 2≅+)/(][.。