运筹学3

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运筹学第3章:运输问题-数学模型及其解法

运筹学第3章:运输问题-数学模型及其解法

整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展,它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题,例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中,整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题,以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合,它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章:运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题,主要 解决如何将一定数量的资源(如货物 、人员等)从起始地点运送到目标地 点,以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用,主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目, 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素,通过建立运 输问题的数学模型,可以找到最优的 资源分配方案,提高资源利用效率, 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用,主要解决如何合理安排生产计划, 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节,通 过建立运输问题的数学模型,可以找到最优的生产计划和调度方案,提高生产效 率,降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展,运输问题变得越来越复杂,需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时,随着大数据和人工智能技术的应用,运输问题的解决方案将更加智能化和

清华大学出版《运筹学》第三版完整版

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OR3
整理ppt
20
(3)工作时差
时差又叫机动时间或富余时间。常用的时 差有两种:
a工)工作作所总具时有差的T机Fi动-j。时指间在。不影响工期的前提下,
计算公式:TFi-j=LFi-j-ESi-j-Di-j=LSi-j-ESi-j
或者为: TFi-j=LFi-j-EFi-j
b)工作自由时差FF。在不影响其紧后工作最早 开始的前提下,工作所具有的机动时间。
网络图中最后一项工序的最迟完成时间应为工 程的计划工期。若未给定计划工期,则取其为 最早完成时间。即LFi-n=EFi-n.,LSi-n= LFi-n- Di-n
其它工序: LSi-j= LFi-j- Di-j
L Fm inL FD ( )
i j
k
j k j k
即LF=min(紧后工作的LS).
3计算相应的增加的总费用然后考虑由于工计算相应的增加的总费用然后考虑由于工期的缩短间接费用的变化在这个基础上计算期的缩短间接费用的变化在这个基础上计算项目的总费用
第五节 网络计划
引言:
国外实践证明:应用网络计划技 术组织与管理生产和项目,一般能缩 短工期20%左右,降低成本10%左右。
上海宝钢炼铁厂1号高炉土建工 程施工中,应用网络法,缩短工期21 %,降低成本9.8%。
工序时间 60
45 10 20 40 18 30 15 25 35
OR3
整理ppt
14
A4 6
B
C 6
D7 E 5
G 7
F9
I
H 4
8
线路:网络图中,从起点节点沿箭线方 向顺序通过一系列箭线与节点,最后到 达终点节点的通路。
关键路线:即持续时间最长的路线。关 键路线上的各工作叫做关键工作。

运筹学-3运输问题

运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时,其模型如下:
当产大于销时,其模型是:
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时,其模型是:
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解(在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案,一般m+n-1个数字 格),用最小元素法、西北角法、伏格尔法;
Step2.求出各非基变量的检验数,判别是否达 到最优解。如果是停止计算,否则转入下一步, 用闭回路或位势法计算;
Step3.改进当前的基本可行解(确定换入、 换出变量),用闭合回路法调整; Step4.重复2. 3,直到找到最优解为止。
(3)运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …, is 互不相同,j1 , j2 , …, js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点,连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学-第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例:某运输问题的资料如下:
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量

运筹学第三章 运输问题

运筹学第三章 运输问题

销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时,用闭 回路法计算检验数比较麻烦,而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基,则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij

2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件

2024版清华大学出版《运筹学》第三版完整版课件

要点三
金融服务与投资管理
在金融服务和投资管理中,存储论可用 于优化资金配置和投资组合,降低风险 和提高收益。例如,通过定期订货模型 的运用,可以制定合理的投资策略和资 产配置方案,实现资产的保值增值和风 险控制。
2024/1/28
31
07
排队论
2024/1/28
32
排队论的基本概念
2024/1/28
清华大学出版《运筹 学》第三版完整版课

2024/1/28
1
目录
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• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论
2
01
绪论
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3
运筹学的定义与发展
运筹学的定义
运筹学是一门应用数学学科,主要研究如何在有限资源下做出最优决策,以最 大化效益或最小化成本。
目标函数
表示决策变量的线性函数,需要最大化或最 小化。
约束条件
表示决策变量需要满足的线性等式或不等式。
2024/1/28
决策变量
表示问题的未知数,需要在满足约束条件的 情况下求解目标函数的最优值。
8
线性规划问题的图解法
01
可行域
表示所有满足约束条件的决策变量构成的集合。
2024/1/28
02
目标函数等值线
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34
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
到达间隔和服务时间均服从负指数分布的单服务台排队系 统。
M/D/1排பைடு நூலகம்系统
到达间隔服从负指数分布,服务时间服从确定型分布的单 服务台排队系统。
表格。
10

运筹学 第三章 运输问题

运筹学 第三章 运输问题
(或者在同时划去Ai行与Bj列时,在该行或该列的任意空格处填加一 个0。)
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个,即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应,就考虑次小运费,这就有差额,差额越大, 说明不能按最小运费调运时,运费增加得越多。因而差 额越大处,就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10,u2= -1,等等见上表。
检验数的求法,即用公式 ijciju,i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数:
检验数: ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案:
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9

运筹学3.运输问题

运筹学3.运输问题
21
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应,即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系,然后次小,一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2

84
7
4
10
5
A3


9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法(Vogel)
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1

11
3

10 7 0 0 0 0
A2
19

28

4 1111
A3
74

10 5

9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中,有几点需要注意: • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中,不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1

运筹学-第三章-整数规划

运筹学-第三章-整数规划

于是,对原问题增加两个新约束条件,将原问题分为两个 子问题,即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
(LP1)
9x1 7x2 56

s.t
7
x1
20
x2
70
(LP2)
x1 5
表 3.1
货物 体积(米 3/箱) 重量(百公斤/箱) 利润(百元/箱)

5
2
20

4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解: 设x1,x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数,则数 学模型可以表示为:
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中,目标函数表示追求最大的卫星实验价值;第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制;第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出,此类型问题是整数规划中的特
殊情形,其中决策变量 xi 的取值只能为0或1,此时变量 xi 称 为0-1变量,这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束,可以转化成下述整数约束条件:xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法:分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法,该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出,其具有灵活 且便于计算机求解的优点,所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。

《运筹学》第三章 运输问题

《运筹学》第三章 运输问题

二、表上作业法
计算步骤:
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法) 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。(闭回路法或位势法) 判别是 否达到最优解。如已是最优解,则停止计算,否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善,找出新的调运方案。 (表上闭回路法调整) (4) 重复(2)、(3),直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
- B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 -3
σij
B1 = A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 -1 12 0
表中还有负数,说明 还未得到最优解,应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数? 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法(原理同单纯形法一样) 上例: min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构: A ij ( 0, 0, 0 ,, 0, 0 ) 1, 0 1,
第 i个
第 ( m j )个

运筹学第三版课后习题答案

运筹学第三版课后习题答案

运筹学第三版课后习题答案运筹学是一门研究如何在有限资源下做出最优决策的学科。

它涉及到数学、统计学、经济学等多个学科的知识,可以应用于各个领域,如物流管理、生产调度、供应链优化等。

而《运筹学》第三版是一本经典的教材,它系统地介绍了运筹学的基本概念、方法和应用。

本文将针对该教材的课后习题进行解答,帮助读者更好地理解和掌握运筹学的知识。

第一章:线性规划1. 习题1.1:求解线性规划问题的常用方法有哪些?答:求解线性规划问题的常用方法包括单纯形法、对偶理论、整数规划等。

其中,单纯形法是最常用的方法,它通过迭代寻找目标函数值最小(或最大)的解。

2. 习题1.2:什么是线性规划的对偶问题?如何求解线性规划的对偶问题?答:线性规划的对偶问题是指通过原始问题的约束条件构造一个新的问题,该问题的目标是最大化(或最小化)原始问题的目标函数值。

求解线性规划的对偶问题可以使用对偶理论,通过将原始问题转化为对偶问题的等价形式,再利用对偶问题的特性进行求解。

第二章:整数规划1. 习题2.1:什么是整数规划问题?与线性规划问题有何不同?答:整数规划问题是指决策变量的取值必须为整数的线性规划问题。

与线性规划问题相比,整数规划问题的解空间更为有限,求解难度更大。

整数规划问题在实际应用中常常涉及到资源的离散分配、路径选择等问题。

2. 习题2.2:列举几个整数规划问题的应用场景。

答:整数规划问题的应用场景包括生产调度、物流路径优化、设备配置等。

例如,在生产调度中,需要确定每个生产批次的数量和时间,以最大化产能利用率和最小化生产成本。

第三章:动态规划1. 习题3.1:什么是动态规划?它的基本思想是什么?答:动态规划是一种通过将问题划分为多个子问题,并保存子问题的解来求解原问题的方法。

其基本思想是利用子问题的解构建全局最优解,从而避免重复计算和提高求解效率。

2. 习题3.2:动态规划在哪些问题中有应用?答:动态规划在最短路径问题、背包问题、序列比对等问题中有广泛的应用。

运筹学第三章 运输问题

运筹学第三章 运输问题
则称该运输问题为产销平衡问题;否则,称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2

Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2

am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式(4-8)中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如,x13, x16, x36, x34, x24, x23 ; x23, x53, x55, x45, x41, x21 ; x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点, 在表中可以画出如下形式的闭回路:
得到下列运输量表:
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1,其余为 0,分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法:
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地;B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地; ai表示产地 Ai 的产量;bj 表示销地 Bj 的 销量;cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价(表4-3)。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn

数学:运筹学(三)

数学:运筹学(三)

数学:运筹学(三)1、判断题凡基本解一定是可行解()正确答案:错2、单选无界解是指()。

A.可行域无界B.目标函数值无界C.两者均无界D.以上均不正确正确答案:B3、填空题运输问题的模型中,含有的方程(江南博哥)个数为()个正确答案:n+M4、单选关于互为对偶的两个模型的解的存在情况,下列说法不正确的是()。

A.都有最优解B.都无可行解C.都为无界解D.一个为无界解,另一个为无可行解正确答案:C5、单选在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时,每次迭代要求单纯形表中()A.b列元素不小于零B.检验数都大于零C.检验数都不小于零D.检验数都不大于零正确答案:D6、填空题目标规划建模中要对多个目标优先等级进行区分,采用给目标赋予()与权系数的方法。

正确答案:优先因子7、名词解释专家小组法正确答案:是在接受咨询的专家之间组成一个小组,面对面地进行讨论与磋商,最后对需要预测的课题得出比较一致的意见。

8、填空题线性规划问题有可行解,则必有()正确答案:基可行解9、单选对偶单纯形法解最大化线性规划问题时,每次迭代要求单纯形表中()A.b列元素不小于零B.检验数都大于零C.检验数都不小于零D.检验数都不大于零正确答案:D10、填空题运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题,()正确答案:经营活动11、填空题特尔斐法和专家小组法都是请一批专家进行判断预测,二者的主要区别是,前者专家们发表意见是背靠背,后者专家们面对面进行讨论与()。

正确答案:磋商12、填空题在解决最大流问题的算法中,图解法引出了()的基本原理正确答案:最大流-最小割集13、判断题如线性规划问题存在最优解,则最优解一定应可行域边界上的一个点。

正确答案:对14、问答题简述应用系统分析的原则。

正确答案:(1)坚持问题导向;(2)以整体为目标;(3)多方案模型分析和优选;(4)定量分析与定性分析相结合;(5)多次反复进行。

15、单选运输问题求解时,得到最优解的条件是数字格的检验数为零,空格的检验数全部()A.非负B.非正C.零D.大于零正确答案:A16、填空题在线性规划问题中,基可行解的非零分量所对应的列向量线性()正确答案:无关17、单选满足线性规划问题全部约束条件的解称为()A.最优解B.基本解C.可行解D.多重解正确答案:B18、名词解释单一时间估计法正确答案:就是在估计各项活动的作业时间时,只确定一个时间值19、填空题运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的()正确答案:最佳方案20、填空题20世纪40年代后,Dantzig给出线性规划的有效解法称为()正确答案:单纯形法21、单选以下关系中,不是线性规划与其对偶问题的对应关系的是()。

《运筹学》第3章 线性规划的建模与应用

《运筹学》第3章 线性规划的建模与应用

排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需求人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
3.2 成本收益平衡问题
解:本问题是排班问题,是典型的成本收益平衡问题。 (1)决策变量
确定不同排班的上班人数。 设:xi为排班i的上班人数 (i=1,2,,5) (2)目标函数 每天的总成本(工资)最少。
3.2 成本收益平衡问题
例3.2 某航空公司正准备增加其中心机场的往来航班,因 此需要雇用更多的服务人员。不同时段有最少需求人数, 有5种排班方式(连续工作8个小时)。
时段 06:00~08:00 08:00~10:00 10:00~12:00 12:00~14:00 14:00~16:00 16:00~18:00 18:00~20:00 20:00~22:00 22:00~24:00 00:00~ 6:00 每人每天工资(元)
对于特定的数量 提供的数量=需求的数量
成本收益平衡问题 混合问题
网络配送问题 混合问题
注: LHS=左式(一个SUMPRODUCT函数) RHS=右式(一般为常数)
3.4.2 混合问题的应用举例一:配料问题
配料问题的一般提法是:生产某类由各种原料 混合而成的产品,如何在满足规定的质量标准 的条件下,使所用原料的总成本最低。 例3.4 某公司计划要用A、B、C三种原料混 合调制出三种不同规格的产品甲、乙、丙,产 品的规格要求和单价、原料供应量和单价等数 据如表3-9所示。问该公司应如何安排生产, 才能使总利润最大?
(1)决策变量

运筹学 第3章 运输问题

运筹学 第3章 运输问题

第三章运输问题在生产实际中,经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地,因而存在如何调运使总的运费最小的问题。

这类问题一般可用线性规划模型来描述,当然可以用单纯形法求解。

但由于其模型结构特殊,学者们提供了更为简便和直观的解法—-表上作业法。

此外,有些线性规划问题从实际意义上看,并非运输问题,但其模型结构类似运输问题,也可以化作运输问题进行求解。

第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。

例3。

1农产品经销公司有三个棉花收购站,向三个纺织厂供应棉花。

三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt,三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。

已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3-1所示(单位:千元/kt),问如何安排运输方案,使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量,则其运输量表如下表所示。

表3—2由于总供应量等于总需求量,因此,一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量,即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0,i=1,2,3;j=1,2,3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。

运筹学3

运筹学3

5.单纯形法 借助对线性规划问题的可行域的几何性质的观察,建立求取最优解的 代数算法! 算法1.找出凸集的全部顶点,并比较目标函数在这些顶点处的函数值。 算法2.从某个特定的顶点处发,寻找下个相邻的、目标函数值更优的顶点, 循环往复直至目标函数值不能更优为止,此时的顶点即为最优解! 思考1:从一个顶点(基可行解)向另一个顶点(基可行解)转移,其 判据是什么? 思考2:
⋮ amn
σn
λm
0
0
0
CN
CB
XN
CN
XB
b
N
B
λB
←矩阵形式的单纯形表 矩阵形式的单纯形表
σN
0
σ = C − CB B−1 X ⇒ σ j = maxσ
b λB = ({ PB > 0}) ⇒ λi = min λB PB
用单纯形法求解线性规划问题: 例2.用单纯形法求解线性规划问题 用单纯形法求解线性规划问题
思考:人工变量与松弛变量有何区别 思考:人工变量与松弛变量有何区别?
两阶段法 基本思想:第一阶段针对仅含人工变量的目标函 基本思想 第一阶段针对仅含人工变量的目标函 数的线性规划问题施用单纯形法
min Z = y2 + y3 ⇔ max U = − y2 − y3 =4 x1 + x2 + x3 + y1 − 2 x + x − x − w1 + y2 =1 1 2 3 s.t. 3 x2 + x3 + y3 = 9 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 , w1 ≥ 0
3 0 0
0 0 1 0 2 −1 1
− 2 .5 0
4 − 2
3

《运筹学》第三章运输问题

《运筹学》第三章运输问题

Vogel近似法
考虑运输成本差异, 进行逼近最优解。
运输问题的扩展和变体
1
生产产能约束
考虑生产能力限制,同时优化货物的运输方案。
2
供需不平衡
存在供需不平衡时如何有效分配货物,避免浪费和延误。
3
多目标运输问题
同时考虑多个目标,如最小化成本和最大化利润。
运输问题的应用实例和案例分析
物流领域的应用
通过运输问题的优化,提升物流效率,降低成本。
运输问题的基本模型
运输方案的表示
常用的表示方法包括运输矩阵和网络图。
目标函数和约束条件
目标函数通常是最小化运输成本,约束条件包 括供需平衡和容量限制。
运输问题的解决方法
最小成本法
逐步分配货物,直至 达到最小总成本。
北北角法
按照最小单位运输成 本进行分配,直至l's Approximation Method)法为基础, 逐步分配货物。
《运筹学》第三章运输问 题
运输问题是运筹学中重要的问题之一,涉及到各种场景下的货物运输优化。 本章将介绍运输问题的定义、基本模型、解决方法,以及其在物流和生产调 度中的应用实例。
运输问题的概念和应用领域
• 运输问题是一种优化问题,旨在找到使运输成本最小的货物运输方案。 • 运输问题广泛应用于物流管理、供应链优化以及交通规划等领域。
生产调度中的应用
合理安排生产计划,提高生产线的利用率。
总结和展望
运输问题是优化领域的重要研究方向,未来随着物流技术的发展将有更多的应用场景和解决方法出现。

运筹学第3章

运筹学第3章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 运输问题模型 表上作业法 特殊情况的处理 图上作业法 指派问题
§3.2 表上作业法
运输表上任何有序的至少四个以上 不同格被称为圈, 如果它们满足:
任何两个接续格在同一行或同一列; 在同一行或同一列不存在三个或三个 以上的接续格; 最后一个格应和第一个格在同一行或 同一列。
§3.3 特殊情况的处理
例3·:某农场有四种土壤,面积分别为 6 500亩、1000亩、600亩和500亩,准备将不 同的三个小麦品种播在这四种土壤上。根据 市场需求和本场的具体情况,确定这三个品 种的播种面积分别为400亩、1000亩和1200 亩,又根据过去的生产规律和未来气候的变 化以及生产物资供应的保证情况,用多元回 归方程预测得不同品种的小麦播在不同土壤 上的亩产量(公斤)如后表所示,问怎样安 排播种才能使小麦的总产量最高?
x21 x22 x23 27
s.t.
xij 0, (i 1, 2; j 1, 2,3)
例3·:一般运输问题 2 一般的运输问题可以描述为: 有 m 个供应点, n 个需求点, 第 i 个供应点的 供应量 ai ,第 j 个需求点的需求量 bj , 从 i 到 j的运费为 cij, 求费用最小的运输方 案。
6
35 10
5
0 2
工厂2 25
10
12
7
vj
8
仓库一
5
仓库三
仓库二
ui
工厂1 工厂2
7
15 10
17 +
- 174 0 6
6 12
18 35 - 10+ 27
5
5 7
0 2
25 8
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的最优解是 X = (6,2,0) ,求对偶问题的最优解。
T
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 12 of 23
m z = 3x1 + 4x2 + x3 ax x1 + 2x2 + x3 ≤10 2x1 + 2x2 + x3 ≤16 x ≥ 0, j =1,2,3 j
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时, 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时,求最大值的线性规 划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值, 划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值, 不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。 不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property一 Page 5 of 23
例如:
m z = x1 + 2x2 in 1 − x1 − 2 x2 ≥ 2 x1 + x2 ≥ 2 x , x ≥ 0 1 2
无可行解,而对偶问题
CX = CB X B = CB B b = Y b
0 0
−1
由性质3知 °是最优解。 由性质 知Y°是最优解。 还可推出另一结论: 由性质 4 还可推出另一结论:若(LP)与(DP)都有可行解, ) )都有可行解, 则两者都有最优解,若一个问题无最优解, 则两者都有最优解,若一个问题无最优解,则另一问题也无最 优解。 优解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 4 of 23
由这个性质可得到下面几个结论: (1)(LP)的任一可行解的目标值是(DP)的最优值下 界;(DP)的任一可行解的目标是(LP)的最优值的上 界; (2)在互为对偶的两个问题中,若一个问题可行且具有 无界解,则另一个问题无可行解; (3)若原问题可行且另一个问题不可行,则原问题具有 无界解。 注意上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题有可 行解时,另一个问题可能有可行解(此时具有无界解)也 可能无可行解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 8 of 23
性质5】 【 性质 】 互补松弛定理 设 X°、 Y°分别为 ( LP)与 ° ° 分别为( ) 是它的松弛变量的可行解, ( DP) 的可行解 , XS 和 YS 是它的松弛变量的可行解 , 则 ) 的可行解, X°和Y°是最优解当且仅当 ° ° YSX°=0和Y°XS=0 ° 和 ° 【证】设X°和Y°是最优解,由性质 ,C X°= Y°b, ° °是最优解,由性质3 ° ° , 由于X 是松弛变量, 由于 S和YS是松弛变量,则有 A X°+XS=b ° Y°A-YS=C ° - 将第一式左乘Y° 第二式右乘X° 将第一式左乘 °,第二式右乘 °得 Y°A X°+Y°XS=Y°b ° ° ° ° Y°A X°-YS X°=C X° ° ° ° °
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 1 of 23
设原问题是(记为LP):
m Z = CX ax AX ≤ b X ≥ 0
对偶问题是(记为DP): m w=Y in b
A Y ≥ C Y ≥ 0 这里A是m×n矩阵X是n×1列向量,Y是1×m行向量。假 设Xs与Ys分别是(LP)与(DP)的松驰变量。
m w = Yb, in
YA ≤ C,Y ≥ 0
它与下列线性规划问题是等价的:
m −w) = −Yb,−YA ≤ −C,Y ≥ 0 ax(
再写出它的对偶问题。
m w' = −CX,−AX ≥ −b, X ≥ 0 in
它与下列线性规划问题是等价的
m Z = CX, AX ≤ b, X ≥ 0 ax
即是原问题。
m w = 2y1 + 2y2 ax − y1 + y2 ≤ 1 1 − y1 + y2 ≤ 2 2 y1, y2 ≥ 0
有可行解,由结论(3)知必有无界解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 6 of 23
【性质 性质1】 对称性 对偶问题的对偶是原问题。 性质 【证】设原问题是 证
m Z = CX, AX ≤ b, X ≥ 0 ax
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 2 of 23
由表2-1知,它的对偶问题是
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 9 of 23
显然有
Y°XS=-YS X° Y°XS=0和YS X°=0
又因为Y°、Xs、Ys、X°≥0,所以有 成立。
反之, 当Y°XS=0 =0和YS X°=0时,有 =0 Y°A X°=Y°b Y°A X°=C X° 显然有Y°b=C X°,由性质3知Y°与X°是(LP)与(DP) 的最优解。证毕。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 10 of 23
性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的 最优解的方法,即已知Y°求X°或已知X°求Y°。 Y°XS=0和YS X°=0 两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
因而原问题为无界解,即无最优解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 15 of 23
【性质 性质6】 (LP)的检验数的相反数对应于(DP)的一 性质 组基本解. 其中第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于(DP) 中第j个松弛变量 yS j 的解,第i个松弛变量 xS 的检验 i 数的相反数对应于第i个对偶变量yi 的解。反之,(DP) 的检验数(注意:不乘负号)对应于(LP)的一组基本解。 证明略。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 14 of 23
【例2.8】 证明下列线性规划无最优解: 例
m Z = x1 − x2 + x3 in x1 − x3 ≥ 4 x1 − x2 + 2x3 ≥ 3 x ≥ 0, j = 1,2,3 j
【证】容易看出X=(4,0,0) 证 X= 4 0 0 是一可行解,故问题可行。对偶问题
m w = 4y1 + 3y2 ax y1 + y2 ≤ 1 − y ≤ −1 2 − y1 + 2y2 ≤ 1 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
1 将三个约束的两端分别相加得 2 , 而第二个约束有y2≥1,矛盾,故对偶 问题无可行解, y2 ≤
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 3 of 23
【性质2】 弱对偶性 设X°、Y°分别为(LP)与(DP)的 性质 】 ° °分别为( ) ) 可行解, 可行解,则 CX 0 ≤ Y 0b 因为X° 【证】因为 °、Y°是可行解,故有 °≤b, X°≥0及 °是可行解,故有AX° ° 及 Y°A≥C,Y°≥0, 将不等式 AX°≤b 两边左乘 ° 两边左乘Y° ° , ° ° 得Y°AX°≤Y°b ° ° ° 再将不等式Y° 两边右乘X° 再将不等式 °A≥C两边右乘 °, 两边右乘 得C X°≤Y°AX° ° ° ° 故 C X°≤Y°AX≤Y°b ° ° °
∑y
i=1 m
m
0
i
xSi = 0 xj = 0
0
∑y
j =1
Sj
由于变量都非负,要使求和式等于零,则必定每一分量 为零,因而有下列关系:
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 11 of 23
(1)当yi°>0时, S x
y1 + 2y2 = 3 2y1 + 2y2 = 4
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对 偶问题的最优解为Y=(1,1),最 优值w=26。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 13 of 23
【例2.7】 已知线性规划 例
m z = 2x1 − x2 + 2x3 in 4 − x1 + x2 + x3= − x1 + x2 − x3 ≤ 6 x ≤ 0, x ≥ 0, x 无 束 约 2 3 1
的对偶问题的最优解为 Y=(0, -2),求原问题 的最优解。
【解】对偶问题是 解 m w = 4y1 + 6y2 由y2≠0得 xS=0,由 yS2 =1 ax 2 得x2=0,原问题的约束条件变为: − y1 − y2 ≥ 2 y + y ≤ −1 − x1 + x3 = 4 解此方程组得 1 2 2 y1 − y2= − x1 − x3 = 6 原问题最优解: y1无 束 y2 ≤ 0 约 , X=(-5, 0, -1)T,minZ = -12。
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