运筹学典型考试试题及答案

二、计算题（60分）
1、已知线性规划（20分）
MaxZ=3X1+4X2
X1+X2≤5
2X1+4X2≤12
3X1+2X2≤8
X1,X2≥0
2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？
3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？
4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解：
1)对偶问题为
Minw=5y1+12y2+8y3
y1+2y2+3y3≥3
y1+4y2+2y3≥4
y1,y2≥0
2)当C2从4变成5时，
σ4=-9/8
σ5=-1/4
由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。

3）当若b2的量从12上升到15
X＝9/8
29/8
1/4
由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。

4）如果增加一种新的产品，则
P6’=(11/8,7/8，－1/4)T
σ6=3/8>0
所以对最优解有影响,该种产品应该生产
解：初始解为
计算检验数
由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：
重新计算检验数
所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解
3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分）
答最优解为：
X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50
4. 考虑如下线性规划问题（24分）
Max z=-5x1+5x2+13x3
2012x1+4x2+10x3≤90
≥0
3
2）求对偶问题的最优解
3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响
5）c2有5变为6，是否影响最优解。

答：最优解为
最优解为X1=185/33, X3=35/11
2)对偶问题最优解为
Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T
3)
当b1=45时
X= 45/11
-11/90
由于X2的值小于0，所以最优解将发生变化
4）P6’=(3/11,-3/4)T
σ6=217/20>0
所以对最优解有影响。

5）当C2=6
σ1=-137/33
σ4=4/11
σ5=-17/22
由于σ4大于0所以对最优解有影响
5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij）。

（15分）
V1
(5,0) (3,3)
(3,3)
V S （4,1）V2
(4,0)
(9,3) (8,4)
V3Vt
(6,0)
最大流为：14
V3 (6,6)
6. 考虑如下线性规划问题（20分）
Max z=3x1+x2+4x3
s.t. 6x1+3x2+5x3≤9
3x1+4x2+5x3≤8
x1，x2，x3≥0
回答以下问题：1）求最优解；2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；
3）若问题中x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化；
4）c2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。

最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5
2)对偶问题为
Minw=9y1+8y2
6y1+3y2≥3
3y1+4y2≥1
5y1+5y2≥4
y1,y2≥0
对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5
3)若问题中x2列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5)T σ2=-4/5＜0 所以。

对最优解没有影响
4）c2由1变为2 σ2=-1＜0
所以。

对最优解没有影响
7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij ）。

（10分）
V 1
(4,4 ) V 3
(9,5) (6,3)
V S (3,1) (3,0) (4,1) Vt
(5,3) (7,5)
V 2 (5,4) V 4
解：
最大流＝11
8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A 、B 、C 三种设备加工。

已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：
1)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。

(15分)
2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。

(4分) 3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。

(2分) 4)设备A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。

(3分)
5)如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1、4、3h ，预期每件为8元，是否值得生产。

(3分) 6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。

(3分) 解：1）建立线性规划模型为： MaxZ=10x1+6x2+4x3 x1+x2+x 3≤100 10x1+4x2+5x 3≤600 2x1+2x2+6x 3≤300 x j ≥0,j=1,2,3
获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’ Z*=2200/3
2）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。

如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’ Z*=775 3）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。

4）设备A 的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。

5）新产品值得生产。

6）最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60 )’ Z*=706.7 9. 给出成性规划问题：(15分) Min z=2x 1+3x 2+6x 3
x 1+2x 2+x 3≥2 -2x 1+x 2+3x 3≤-3 x j ≥0 j=1,…，4 要求：
(1)写出其对偶问题。

(5分) (2)利用图解法求解对偶问题。

(5分) (3)利用(2)的结果，根据对偶问题性质写出原问题最优解。

(5分) 解：1）该问题的LD 为： MaxW=2y1-3y2 y1-2y 2≤2 2y1+y 2≤3 y1+3y 2≤6 y1≥0,y 2≤0
2)用图解法求得LD 的最优解为：Y*=(y1,y2)’=(8/5,-1/5)’ W*=19/5 3)由互补松弛定理：
原问题的最优解为：X*=(x1,x2,x3)’=(8/5,1/5,0)’
10. 某部门有3个生产同类产品的工厂(产地)，生产的产品由4个销售点(销地)出售，各工厂的生产量，各销售点的销售量(单位.t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)示于下表中，要求研究产品如何调运才能使总运量最小？(10分)
B 1 B 2 B 3 B 4 产量 A 1 4 12 4 11 32 A 2 2 10 3 9 20 A 3
8
5 11
6 44 销量 16
28
28
24
96╲96
解：最优调运方案为： A1-B3和B4 28t 和4t A2-B1和B4 16t 和4t A3-B2和B4 28t 和16t 最小总运费为：460元
11. 求解下列0-1规划问题 maxz=3x 1+2x 2-5x 3-2x 4+3x 5
x 1+x 2+x 3+2x 4+x 5≤4 7x 1+3x 3-4x 4+3x 5≤8 11x 1-6x 2+3x 4-3x 5≥3
x j =0或1 (j=1, (5)
解：最优解为：x1=x2=1，其他为0 ，最优目标函数值为5
算题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)
销
产
利用对偶理论证明其目标函数值无界。

由于①不成立，所以对偶问题无可行解，由此可知原问题无最优解。

又容易知x=[0，1，0]是原问题的可行解，所以原问题具有无界解，即目标值无界。

25．试用大M法解下列线性规划问题。

25.解：加入人工变量，化原问题为标准形
最优单纯形表如下：
26．福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问该如何安排售货人员的休息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少，请列出此问题的数学模型。

时间所需售货人员数时间所需售货人员数
星期一 28 星期五 19
星期二 15 星期六 3l
星期三 24 星期日 28
星期四 25
27.某公司拟定扩大再生产的三种方案，给出四种自然状态和益损矩阵(单位：万元)。

试根据以下决策准则选择方案。

①悲观准则；②等概率准则；⑨后悔值准则
③后悔值矩阵
28．A、B两人分别有10分(1角)、5分、1分的硬币各一枚，双方都不知道的情况下各出一枚，规定和为偶数，A 赢得B所出硬币，和为奇数，B赢得A所出硬币，试据此列出二人零和对策模型，并说明此游戏对双方是否公平。

11/ 11。