运筹学典型考试试题及答案

二、计算题（60分）

1、已知线性规划（20分）

MaxZ=3X1+4X2

X1+X2≤5

2X1+4X2≤12

3X1+2X2≤8

X1,X2≥0

2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？

3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？

4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解：

1)对偶问题为

Minw=5y1+12y2+8y3

y1+2y2+3y3≥3

y1+4y2+2y3≥4

y1,y2≥0

2)当C2从4变成5时，

σ4=-9/8

σ5=-1/4

由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。

3）当若b2的量从12上升到15

X＝9/8

29/8

1/4

由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。

4）如果增加一种新的产品，则

P6’=(11/8,7/8，－1/4)T

σ6=3/8>0

所以对最优解有影响,该种产品应该生产

解：初始解为

计算检验数

由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：

重新计算检验数

所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解

3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分）

答最优解为：

X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50

4. 考虑如下线性规划问题（24分）

Max z=-5x1+5x2+13x3

2012x1+4x2+10x3≤90

≥0

3

2）求对偶问题的最优解

3）当b1由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x6，c6=10，a16=3，a26=5，对最优解是否有影响

5）c2有5变为6，是否影响最优解。

答：最优解为

最优解为X1=185/33, X3=35/11

2)对偶问题最优解为

Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T

3)

当b1=45时

X= 45/11

-11/90

由于X2的值小于0，所以最优解将发生变化

4）P6’=(3/11,-3/4)T

σ6=217/20>0

所以对最优解有影响。

5）当C2=6

σ1=-137/33

σ4=4/11

σ5=-17/22

由于σ4大于0所以对最优解有影响

5.求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij）。（15分）

V1

(5,0) (3,3)

(3,3)

V S （4,1）V2

(4,0)

(9,3) (8,4)

V3Vt

(6,0)

最大流为：14

V3 (6,6)

6. 考虑如下线性规划问题（20分）

Max z=3x1+x2+4x3

s.t. 6x1+3x2+5x3≤9

3x1+4x2+5x3≤8

x1，x2，x3≥0

回答以下问题：1）求最优解；2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；

3）若问题中x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化；

4）c2由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。

最优解为X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5

2)对偶问题为

Minw=9y1+8y2

6y1+3y2≥3

3y1+4y2≥1

5y1+5y2≥4

y1,y2≥0

对偶问题最优解为y1=1/5,y2=3/5

3)若问题中x2列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5)T σ2=-4/5＜0 所以。对最优解没有影响

4）c2由1变为2 σ2=-1＜0

所以。对最优解没有影响

7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c ij , f ij ）。（10分）

V 1

(4,4 ) V 3

(9,5) (6,3)

V S (3,1) (3,0) (4,1) Vt

(5,3) (7,5)

V 2 (5,4) V 4

解：

最大流＝11

8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过A 、B 、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：

1)建立线性规划模型，求获利最大的产品生产计划。(15分)

2)产品Ⅲ每件的利润到多大时才值得安排生产？如产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，求最优计划的变化。(4分) 3)产品Ⅰ的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变。(2分) 4)设备A 的能力在什么范围内变化时，最优基变量不变。(3分)

5)如有一种新产品，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1、4、3h ，预期每件为8元，是否值得生产。(3分) 6)如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优计划的变化。(3分) 解：1）建立线性规划模型为： MaxZ=10x1+6x2+4x3 x1+x2+x 3≤100 10x1+4x2+5x 3≤600 2x1+2x2+6x 3≤300 x j ≥0,j=1,2,3

获利最大的产品生产计划为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(100/3,200/3,0,0,0,100)’ Z*=2200/3

2）产品Ⅲ每件利润到20/3才值得生产。如果产品Ⅲ每件利润增加到50/6元，最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(175/6,275/6,25,0,0,0)’ Z*=775 3）产品Ⅰ的利润在[6,15]变化时，原最优计划保持不变。 4）设备A 的能力在[60,150]变化时，最优基变量不变。 5）新产品值得生产。

6）最优计划的变化为：X*=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)’=(190/6,350/6,10,0,0,60 )’ Z*=706.7 9. 给出成性规划问题：(15分) Min z=2x 1+3x 2+6x 3