129629430622187500第二章 试验的方差分析[1]
02 第二节 双因素试验的方差分析
第二节双因素试验的方差分析在许多实际问题中，往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响. 例如，要同时考虑工人的技术和机器对产品质量是否有显著影响. 这里涉及到工人的技术和机器这样两个因素. 多因素方差分析与单因素方差分析的基本思想是一致的，不同之处就在于各因素不但对试验指标起作用，而且各因素不同水平的搭配也对试验指标起作用. 统计学上把多因素不同水平的搭配对试验指标的影响称为交互作用. 交互作用的效应只有在有重复的试验中才能分析出来.对于双因素试验的方差分析，我们分为无重复和等重复试验两种情况来讨论. 对无重复试验只需要检验两个因素对试验结果有无显著影响；而对等重复试验还要考察两个因素的交互作用对试验结果有无显著影响.内容分布图示★引言★无重复试验双因素方差分析★例1★例2等重复试验双因素方差分析★数学模型★数学模型的改进★偏差平方和及其分解★偏差平方和的统计特征★检验方法★例3★例4★内容小结★习题8-2内容要点：一、无重复试验双因素方差分析设因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平A1，A2， ，Ar，因素B有s个水平B1，B2， ，Bs. 对因素A，B的每一个水平的一对组合（Ai，Bj），(i=1，2， ，r，j=1，2， ，s)只进行一次实验，得到rs个试验结果ijX，列于下表中表8-2-11. 假设前提与单因素方差分析的假设前提相同，仍假设： 1) ),(~2σμij ij N X ，2,σμij 未知，.,,1;,,1s j r i == 2) 每个总体的方差相同；3) 各ij X 相互独立，.,,1;,,1s j r i ==那么，要比较同一因素的各个总体的均值是否一致，就是要检验各个总体的均值是否相等，故检验假设为：j rj j j A H ⋅====μμμμ 210: ,,,1s j =⋅====i is i i B H μμμμ 210: .,,1r i = 备择假设为不全相等。
第2章 方差分析
邋
3
5
( xij - x )2
i= 1 j = 1
随机波动引起的误差 SE ST －总误差平方和 因素A的不同水平所产生的误差SA
ST =
邋
3
5
( xij - x ) 2
随机误差平方和SE
(4) 单击“Options”按钮，弹出One-Sample T Test：
Options对话框，用于定义相关的选项。 (5) 单击“OK”按钮，即可完成单样本均值检验的操作。
2. Independent-Samples T Test过程
(1) 选择菜单Analyze→Compare means → IndependentSamples T Test (2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动按 钮选入到右侧的Test Variable(s)框中。 (3) 将分组变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入 到右侧的Grouping Variable框中。 (4) 单击Define Groups按钮，弹出Define Groups话框 (5) 单击“Options”按钮
2.1.2 假设检验的步骤
(1) 根据实际问题的要求，提出零假设H0和备择假设H1。
(2) 根据H0的内容，选取适当的检验统计量，并能确定 出检验统计量的分布。
(3) 根据样本观测值计算出检验统计量的值。
(4) 在给定的显著性水平(0＜＜1)下，查所选检验统 计量服从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出拒绝还是接受H0的统计判断。
合计 X1.=339 X 2.=416 X 3.=368 x..=1123
水平平均
x1 . =67.8
x2. =83.2
x3. =73.6
第二章 试验的方差分析
方差来源
F值
组间(因素影响) 组内(误差) 总和
SSA SSE SST
k-1 n-k n-1
MSA MSA/ MSE MSE
例2.1中：F=25.6152/2.4428=10.486, 取 α＝0.05，查表 F α （k-1,n-k）＝ F 0.05 （3,16）＝3.23887
由于F ＞F α ，故可以认为在显著性水平α ＝0.05或可因度为1- α＝95％情况下，不 同Cr含量对金属硬度有显著影响。
● 为检验因素A的影响是否显著，采用下面的
统计量
MSA FA ~ F k 1, (k 1)( r 1) MSE
● 为检验因素B的影响是否显著，采用下面的
统计量
MSB FB ~ F r 1, (k 1)( r 1) MSE
例2.2：某商品有五种包装（因素A），在五个不同地 区销售（因素B），每个地区物种包装方式的销售资 料见下表。问包装方式和地区是否对销售量产生影响。
ij
ni
(i 1,2,, k )
例2.1中：
x1 =(26.5+28.7+…+27.2)/5=27.32
2.总平均值
x
x
i 1 j 1
k
ni
ij
n n 式中：n n1 n2 nk
=(26.5+28.7+…+32.8)/25=28.695
n x
i 1 i
和SSB) 、误差项离差平方和(SSE) 之间的关系
x
k r i 1 j 1 k r i 1 j 1
ij
x
2
xi. x x. j x xij xi. x. j x
第二章 方差分析课件
DFAB a 1b 1 6
SSe SST SSt 1170
当 p 3 时，
0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著 0.05 水平上不显著
yC yA 8 0.05 水平上显著 yD yB 6 0.05 水平上不显著 当 p 4 时， yD yA 9 0.05 水平上显著
3、新复极差法（SSR法） 同 q 法，其中：LSR SSR;df , p SE 例2.4 接例2.1数据
地块A
B1 化学控制
田间管理B
B2 集成虫害管理
合计TA
B3 改良集成虫害管理
平均yi
A1 A2 A3 A4 A5 A6
合计TB 平均y j
71 90 59 75 65 82
442 73.67
73 90 70 80 60 86
459 76.50
77 92 80 82 67 85
483 80.50
T
2 j
.
C
a
MS B
a 1 b 1 SSe SST SSA SSB MSe
ab 1
SST y2 C
F F
MS A MS e MS B MS e
多重比较：
A因素
SE MSe b
B因素
SE MSe a
例2.5 为了研究不同的田间管理方法对草莓产 量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分 成3个小区，随机安排3种田间管理方法，数据 入下表。进行方差分析。
221
73.67
272
90.67
209
69.67
237
79.00
192
64.00
253 84.33
T 1384
解：由题可知 a 6,b 3
方差分析 PPT
假定原假设成立
r
2 i
i1 ＝0
1
E(S A ) =
SS A 2 1
SSA ＝ SSe
1 (r 1)
FA SA / Se 1
说明条件引起的波动与试验 误差引起的波动差不多。
§1.2 单因素方差分析
方差分析的原理
➢ （5）统计量的分布
➢方差齐性 （homoscedascity）：各水平下的总体具有相 同的方差。但实际上，只要最大/最小方差小于3，分析结果
都是稳定的。可用Levene test、Brown- Forsythe‘s Test 。
§1 方差分析
主要内容
§1.1 基本概念 §1.2 单因素方差分析 §1.3 双因素方差分析 §1.4 多因素方差分析 §1.5 多重t-test方法
∼ N (02, )
r
E( i. 2 ) 2 r
E( 2 ) 2
r
[ ] r
SS A E
( )2 r
i
i.
2 i
(
1)
2
i1 j
i1
1
SA
SS A
1
r
2 i
i1
1
2
Se =
SSe
(r 1)
2
误差方差是总体方差的无偏估计
§1.2 单因素方差分析
单因素方差分析的数学模型
（4）构造原假设和统计量
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4
§1 方差分析
主要内容
基本概念 单因素方差分析 两因素方差分析 多因素方差分析
§1.2 单因素方差分析
概述
➢单因素方差是仅仅讨论一种试验条件对试验结果有无显 著影响的分析。 ➢单因素方差分析对因素的水平数没有限制，可任意选择 ，但一般多见的是选3至6个水平。
方差分析实验报告
实验报告方差分析学院:参赛队员:参赛队员: 参赛队员: 指导老师:目录一、实验目的 (6)1.了解方差分析的基本容； (6)2.了解单因素方差分析； (6)3.了解多因素方差分析； (6)4.学会运用spss软件求解问题； (6)5.加深理论与实践相结合的能力。
(6)二、实验环境 (6)三、实验方法 (7)1. 单因素方差分析； (7)2. 多因素方差分析。
(7)四、实验过程 (7)问题一： (7)1.1实验过程 (7)1.1.1输入数据，数据处理； (7)1.1.2单因素方差分析 (8)1.2输出结果 (9)1.3结果分析 (10)1.3.1描述 (10)1.3.2方差性检验 (10)1.3.3单因素方差分析 (10)问题二： (10)2.1实验步骤 (11)2.1.1命名变量 (11)2.1.2导入数据 (11)2.1.3单因素方差分析 (12)2.1.4输出结果 (14)2.2结果分析 (15)2.2.1描述 (15)2.2.2方差性检验 (15)2.2.3单因素方差分析 (15)问题三： (15)3.1提出假设 (16)3.2实验步骤 (16)3.2.1数据分组编号 (16)3.2.2多因素方差分析 (17)3.2.3输出结果 (22)3.3结果分析 (23)五、实验总结 (23)方差分析一、实验目的1.了解方差分析的基本容；2.了解单因素方差分析；3.了解多因素方差分析；4.学会运用spss软件求解问题；5.加深理论与实践相结合的能力。
二、实验环境Spss、office三、实验方法1. 单因素方差分析；2. 多因素方差分析。
四、实验过程问题一：用二氧化硒50mg对大鼠染尘后不同时期全肺湿重的变化见下表，试比较染尘后1个月，3个月，6个月，三个时期的全肺湿重有无差别。
1个月3个月6个月3.4 3.4 3.63.64.4 4.44.3 3.45.14.1 4.2 54.2 4.75.53.34.2 4.71.1实验过程1.1.1输入数据，数据处理；1.1.2单因素方差分析选择：分析比较均值单因素AVONA；将变量大鼠全肺湿重放置因变量列表栏中，月份放置因子栏中；两两比较中，勾选最小显著差异法；选项中，勾选描述性，方差同质性检验，welch;1.3.1描述由描述可知，一月份的均值为3.817，标准差为0.4355，三月份的均值为4.050，标准差为0.5357，六月份的均值为4.717，标准差为0.66161.3.2方差性检验由方差齐性检验可知，Sig值＝0.826>0.05，说明各组的方差在α=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性1.3.3单因素方差分析根据输出的p值为0.034可以看出，小于0.05，大于0.01，因此拒绝原假设，染尘后1个月，3个月，6个月，三个时期的全肺湿重有无差别有显著性意义，结论是染尘后1个月，3个月，6个月，三个时期的全肺湿重有差别，一个月大鼠的全肺湿重最小，三个月其次，六个月大鼠的全肺湿重最大。
应用统计方差分析
异常值处理
异常值的识别
方差分析对异常值较为敏感，少量异常值可 能导致分析结果偏离真实情况。因此，在进 行方差分析前，需要对数据进行异常值检测 和处理。
处理方法的选取
对于检测出的异常值，应根据具体情况选择 合适的处理方法。常见的处理方法包括删除 异常值、用中位数或平均数替代异常值等。
交互作用与协方差分析
R语言应用
开放性
R语言是一个开源项目，用 户可以自由获取和使用源代 码。
灵活性
R语言提供了丰富的函数库 和工具包，用户可以根据需 要自由组合。
高效性
R语言在处理大数据和复杂 模型方面表现优秀，能够提 高分析效率。
学术研究支持
R语言在学术界广泛使用， 许多统计和机器学习领域的 论文都是基于R语言实现的。
详细描述
双因素方差分析是用来比较两个分类变量对数值型因变量的交互作用。例如，比较不同品牌和型号手机的使用寿 命是否具有显著差异。
多因素方差分析
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型因变量的影响。
详细描述
多因素方差分析是用来比较多个分类变量对数值型因变量的交互作用。例如，比较不同品牌、型号、 屏幕大小和操作系统的手机的使用寿命是否具有显著差异。
Python应用
通用性
高效性
丰富的库
人工智能支持
Python是一种通用的编程语 言，不仅适用于统计分析， 还可以用于数据清洗、数据
可视化等多个环节。
Python的语法简洁明了，运 行速度快，能够提高分析效
率。
Python拥有众多的第三方库 和工具包，如NumPy、
Pandas、SciPy等，可以满 足各种统计分析需求。
方差分析的统计量计算
【精品文档】方差分析实验报告word版本 (4页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==方差分析实验报告篇一：SPSS的方差分析实验报告实验报告篇二：方差分析实验报告方差分析实验报告学生姓名：琚锦涛学号：091230126一．实验目的根据方差分析的相关方法，利用excel中的相关工具，将数据收集，整理，从而了解方差分析的特点和性质。
二．实验内容1.单因素方差分析利用以下数据进行单因素方差分析,判断不同产地的原材料是否显著影响产品的质量指标；2.双因素方差分析利用以下数据进行双因素方差分析，检验因素A与因素B搭配下是否对其有显著差异，交互作用是否显著；三．实验结果分析1.单因素方差分析由以上数据可知，P-value=0.2318>0.05，因此可得出：原材料产地的这一质量指标无显著影响。
2.双因素方差分析样本、列及交互的P-value远小于0.05，由此可得出燃料和推进器两因素对于火箭影响显著。
数据来源：《应用统计学》第二版；篇三：单因素方差分析实验报告天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称单因素方差分析所属课程名称实验类型设计型实验日期201X.11.22班级 09统计一班学号 291050146 姓名成绩【实验目的】通过测量数据研究各个因素对总体的影响效果，判定因素在总变异中的重要程度【实验原理】比较因素A的r个水平的差异归结为比较这r个总体的均值.即检验假设Ho : μ1 = μ2 = … = μr, H1 : μ1, μ2, … , μr 不全相等给定显著水平α，用P值检验法，当P值大于α时，接受原假设Ho，否则拒绝原假设Ho【实验环境】 R 2.13.1Pentinu(R)Dual-Core CPU E6700 3.20GHz 3.19GHz,2.00GB的内存【实验方案】准备数据，查找相关R程序代码并进行编写运行得出结果进行分析总结【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1.根据四种不同配方下的元件寿命数据。
第2章 试验的方差分析
第2章 试验的方差分析问题的提出:先看一个例子：考察温度对某一化工厂产品的得率的影响，选了五种不同的温度。
总平均得率=89.6%要分析温度的变化对得率的影响从平均得率来看，温度对得率的影响?1)同一温度下得率并不完全一样，产生这种差异的原因是由于试验过程中各种偶然性因素的干扰及测量误差等所致，这一类误差统称为试验误差；2)两种温度的得率在不同的试验中的倾向有所差别。
如65oC 与70oC相比较，第一次65oC比70oC好，而后二次70oC比65oC好。
产生这种矛盾的现象也是由于试验误差的干扰。
由于试验误差的存在，对于不同温度下得率的差异自然要提出疑问，这差异是试验误差造成的，还是温度的影响呢?1) 由于温度的不同引起得率的差异叫做条件变差；例中的全部15个数据，参差不齐，它们的差异叫做总变差(或总离差)。
产生总变差的原因一是试验误差，一是条件变差。
2) 方差分析解决这类问题的思想是：a. 由数据的总变差中分出试验误差和条件变差，并赋予它们的数量表示；b. 用条件变差和试验误差在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明条件的变化对指标影响不大；反之，则说明条件的变化影响是很大的，不可忽视；c. 选择较好的工艺条件或确定进一步试验的方向；自由度的提出(2)：平均数与过去的结果是相近的，但平方和是显著地变大了。
我们要设法消除数据个数的多少给平方和带来的影响。
一个直观的想法是用平方和除以相应的项数，但从数学理论上推知这不是一个最好的办法，而应把项数加以修正，这个修正的数就叫做自由度。
自由度的提出(3)：设有n个数y1, y2, …, y n, 它们的平方和的自由度是多少呢? 这就看{y i} 之间有没有线性约束关系，如果有m个(0<m<n)线性约束方程a11y1+a12y2+… +a1n y n = 0a21y1+a22y2+… +a2n y n = 0…a m1y1+a m2y2+… +a mn y n = 0并且这m个方程相互独立，即方程系数矩阵的秩等于m, 则S 的自由度是n - m.一. 方差分析的两类误差：1. 随机误差：◆因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异◆比如，同一温度下产品的得率是不同的◆这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差2.系统误差：◆因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异◆比如，不同温度之间的产品得率之间的差异◆这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于温度差异所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差二. 方差分析的两类方差：1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称为方差2. 组内方差(within groups)◆因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差◆比如，同一温度下产品得率的方差◆组内方差只包含随机误差3. 组间方差(between groups)◆因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差◆比如，不同温度下产品得率之间的方差◆组间方差既包括随机误差，也包括系统误差三. 方差的比较：1. 若不同温度对产品得率没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。
第二节双因素试验的方差分析详解
11
可以证明，
r
r
i i r r r 0 ，
i 1
i 1
s
s
j j s s s 0 ，
j 1
j 1
rs
rs
r
s
ij
ij s i r j rs rs rs rs rs 0 ．
i1 j 1
于水平 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 之和．我们把效应
ij 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 所得到差 ij
称为 Ai 和 B j 对试验指标的交互作用的效应，简称交互
效应．在多因素试验中，通常把因素 A 与因素 B 对试验
指标的交互效应设想为某一新因素的效应．这个新因素
看作是取自正态总体 Xij ~ N ij , 2 中的容
量为 t 的样本．将这些数据列成下表
5
B 因素 各水平 B1
A 因素 各水平
A1
X111, X112, , X11t
A2
X 211, X 212, , X 21t
B2
X121, X122, , X12t X 221, X 222, , X 22t
2
设在某项试验中有两个因素 A ， B 在变化．因素 A 有 r
个不同的水平
A1, A2, , Ar ， 因素 B 有 s 个不同水平
B1, B2, , Bs ．
在水平组合 Ai , Bj 下的试验结果用 X ij 表示．
3
我们假定
X ij i 1, 2, , r ; j 1, 2, , s
17
为构造检验统计量，我们仿造单因素试验方差分析 的做法，记
试验的方差分析
∑ X ij2
j =1
1
0.86 0.89 0.91 0.90 3.56
3.1698
2
0.80 0.83 0.88 0.84 .3.35
2.8089
3
0.83 0.90 0.94 0.85 3.52
3.1050
4
0.76 0.81 0.84 0.82 3.23
2.6117
5
总和
0.96
方差分析主要是检验试验中有关因素对试验结果影响的显著 性
1
几个常用的术语
试验指标：为 衡 量 试 验结果的好坏或处理效应的 高低 ，在试验中具体测定的性状或观测的项目称为 试验指标。
试验因素：影响试验指标的因素叫试验因素。 试验水平：试验因素所处的某种特定状态或数量等
级称为因素水平，简称水平。
mSA= 25.615
0 SA =10.486 mSE= SE 2.4428
3.23
显著 影响 ***
显著性判别：P70，先看书例3-1
若 FA ＞ F0.01(dfA，dfe) ，称因素A对试验结果有非常显著的 影响，用 “* *”号表示；
若 F0.05(dfA，dfe) ＜ FA ＜ F0.01(dfA，dfe) ，则因素A对试验 结果有显著的影响，用“*”号表示；
随机误差：每一种催化剂所得结果的标准偏差
系统误差：各催化剂所得平均值 的差异
2
3.1 单因素方差分析
目的：考察一个因素的p个水平对实验结果 是否存在显著性差异。
例 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
超市
1 2 3 4 5
表 该饮料在五家超市的销售情况
无色
方差分析IIppt课件
第2页
§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方
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方差分析
第12页
（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
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方差分析
第13页
固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
研究特定处理，即
i 1
rs
误差平方和： SSe
(xij xi x j x)2
i1 j1
fe r 1s 1
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方差分析
相应的均方差为：
MS
A
SS A r 1
MS
B
SS B s1
MS
பைடு நூலகம்
E
SS e ( r 1 )( s 1 )
第23页
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方差分析
第16页
多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
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试验资料的方差分析 PPT
2MSe r
缺区与非缺区间得比较
s xi• x j•
MSe [2
k
]
r
(r 1)(k 1)
第三节 两因素随机区组设计试验资 料得方差分析
一、数学模型与期望均方
设试验有A与B两因素,A因素有a个水平,B因素有b 个水平,随机区组设计,重复r次,则该试验共有abr个观 察值。
任一观察值得数学模型为:
38.766 2.170 1.126 32.206 3.264
dfT k 2 1 52 1 24, dfr dfc dft k 1 5 1 4
dfe (k 1)(k 2) (5 1) (5 2) 12
方差分析
经过方差分析,得表10-12。
各品种小区产量平均数间得多重比较 (LSD法)
缺区估计
一、缺区估计得原理
缺区估计得原理就是最小二乘法(Least squares method),取误差平方与为最小值得方法来估计。
对于随机区组试验,有
xi'j
Tt' xi'j r
TB'
xi'j k
T ' xi'j kr
0
xi'j
rTB' kTt' T ' (r 1)(k 1)
【例10-6】资料处理与区组两向表,见表10-26。 A与B因素两向分组整理,见表10-27。
平方与得计算
x2 1525.42
C
64634.588
rab 3 4 3
SST x2 C 39.82 43.32
44.32 64634.588 3885.152
SSAR
xi2 l
C
方差分析
06-1二因素随机区组试验的方差分析
ΣTr −C a
2
r-1 k-1
ΣTt −C r
2
ΣTr −C ab ΣTr2 −C r 2 ΣTA / br − C
2
r-1 abab-1 a-1 b-1 (ab(a-1)( b-1)
ΣTB / ar − C
2
SSt-SSA-SSB
SST − SSr − SSt
SST = ΣX 2 − C
dfT − dfr − dft = dft ⋅ dfr
第六章
复因素试验结果的方差分析
第一节 二因素随机区组试验的 方差分析
（一）资料整理 （二）平方和与自由度分解 计算MS MS与 （三）计算MS与F测验 （四）多重比较 （五）统计结论
导言
复因素试验： 复因素试验：在一个试验中同时考察两个或两个以上 因素的试验叫复因素试验。 因素的试验叫复因素试验。 例如不同的植物生长调节剂对不同龙眼品种产量影响 的试验，这个试验同时考察了“植物生长调节剂” 的试验，这个试验同时考察了“植物生长调节剂”和“龙 眼品种”两个因素对产量的影响，称为复因素试验。 眼品种”两个因素对产量的影响，称为复因素试验。 处理组合：复因素试验中， 处理组合：复因素试验中，不同因素的水平互相搭配 构成处理组合，也称为处理。 构成处理组合，也称为处理。 处理组合数等于各因素水平数的乘积。 处理组合数等于各因素水平数的乘积。
SSA×B = SSt - SSA - SSB = 276.22 A×B
SSe = SST - SSr - SSt = 177.94
自由度分解： 自由度分解：
自由度分解 总自由度
abr36dfT = abr-1 = 36-1 = 35 r- 3dfr = r-1= 3-1= 2 a-1=3dfA= a-1=3-1= 2 b- 4dfB = b-1= 4-1= 3 =11dfA×B= dft-dfA-dfB=11-3-2 = 6
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2两类方差2. 两类方差
1）组内方差
●因素的同水平(同个总体 )下样本数据的方●因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方
差
●组内方差只包含随机误差
2）组间方差
●因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方●因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方
饮料颜色共有四种分别为橘黄色粉色饮料颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、
绿色和无色透明。随机从五家超市收集前
期的销售量见下表问饮料颜色是否一期的销售量，见下表。问饮料颜色是否
对销售量产生影响。
..问题的提出..问题的提出
四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值
超
市
( j )( j )
人数1 6 9 15
7
2
则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
人数1 6 9 15
7
2
则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
期望值描述随机变量取值的平均特征
期望值—描述随机变量取值的平均特
例设某
班
40名学生的概率统计成绩及得分
数如下表所示数如下表所示：
EngineeringEngineering
第二章第二章
试验的方差分析试验的方差分析
第二章第二章
试验的方差分析试验的方差分析
..知识回顾（补充）..知识回顾（补充）
..期望值（均值）
..方差、标准差（均方差）
..知识回顾（补充）..知识回顾（补充）
..期望值（均值）
..方差、标准差（均方差）
kiiknijxnxiΣΣΣiijnnx=====111knnnnnn+++=L21式中：
例2.1中
：
Hale Waihona Puke =(26.5+28.7+…+32.8)/25=28.695x
3离差平方和SST (Sum of Squares for Total离差平方和SST (Sum of Squares for Total)
1. 两类误差
1）随机误差
在因素的同水平(同个总体 )下在因素的同一水平(同一个总体)下，
样本的各观察值之间的差异
..方差分析的基本思想和原理..方差分析的基本思想和原理
1. 两类误差
1）随机误差
在因素的同水平(同个总体 )下在因素的同一水平(同一个总体)下，
样本的各观察值之间的差异
XXXX
μ3≠μ1≠μ2≠μ4
★方差分析要解决的问题★方差分析要解决的问题
f(X)f(X)
XX
1)销售均值相等
μ1=μ2=μ3=μ4f(X)f(X)
橘黄无色粉色绿色橘黄无色粉色绿色
2)销售均值不等
XXXX
μ3≠μ1≠μ2≠μ4
..方差分析的基本思想和原理..方差分析的基本思想和原理
组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方
差的比值就会大于1
..当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平
之间存在着显著差异之间存在着显著差异
3方差比较3. 方差比较
..如果水平对指标没有影响，那么在组间方差中只
包含有随机误差，而没有系统误差。这时，组间
方差与组内方差就应该很接近，两个方差的比值
水平A ( i )
无色(A1)无色(A1)粉色(A2)粉色(A2)橘黄色(A3)橘黄色(A3)绿色(A4)绿色(A4)
1
22
3
4
55
26.5
28.728.7
25.1
29.1
27.227.2
31.2
28.328.3
30.8
27.9
29.629.6
的误差是由系统性因素造成的
2）系统误差2）系统误差
●在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值●在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值
之间的差异
●比如同家超市不同颜色饮料的销售量●比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量
也是不同的
●这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，
也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成
构
..单因素方差分析..单因素方差分析
因素(A) i
观察值( j )
因素(A) i
水平A1水平A2 …水平Ak
1
2
x11 x12 … x1k
x x x2
:
x21 x22 … x2k
: : : :
:
n
: : : :
x x xn xn1 xn2 … xnk
E[X-E(X)]2
为X的方差，记为D(X),或Var(X).
..方差、标准差（均方差）（）..方差、标准差（均方差）（）
D(
X
)
称σ(
X
)
=
为X的标准差或均方差
为X的标准差或均方差
..方差分析的基本问题..方差分析的基本问题..方差分析的基本问题..方差分析的基本问题
：
分
数
40 60 70 80 90 100
1
++
×+
×
40+
6×
60+
9×
70+15×80
790+
2×100
76.5(分
1+
6+
9
15
7+
2
期望值
期望值
定义若X~P{X=xxk}=pkk,k, k=1,2,…n,1,2,…n,则称则称
差
●组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
2两类方差2. 两类方差
1）组内方差
●因素的同水平(同个总体 )下样本数据的方●因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方
差
●组内方差只包含随机误差
2）组间方差
●因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方●因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方
4
误差项平方和SSE
4.误差项平方和SSE
●反映每个样本各观察值的离散状况，又
称组内离差平方
和
●该平方和反映的是随机误差的大
小
()ΣΣ.=iijxxSSE2==ij11
()ΣΣkni2
例2.1中：
例2.1中
：
SSE1=(26.5-27.32)2+(28.7-27.32)2+…+(27.2-27.32)
定义若XP{X k}p
n
E((
X
))
=
Σ∑
xkk
ppkk
k=
1
为X的数学期望，简称期望值或均值。
，
..方差、标准差（均方差）（）..方差、标准差（均方差）（）
方差—衡量随机变量取值波动程度的一个数
字特征
字特征。
定义若E(X),E(X2)存在，则称
ijxx3.离差平方和SST (Sum of Squares for Total)
●全部观察值与总平均值的离差平方和
●反映全部观察值的离散状
况
●反映全部观察值的离散状
况
n
k
()ΣΣ.=
knijixxSST2()ΣΣ==ijij11
例2.1中
：
SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.695
13 22
2=10.688
SSE2=(31.2-29.56)2+…+(29.6-29.56)2=8.572
SSE3=(27.9-26.44)2+…+(26.5-26
SSE3 (27 9 26 44)2 (26 5 .442(26442) =13.22
SSE4=((30.8-31.46))2+…+((32.8-31.46))2=6.632
n2=5 2
.x3 =26.44
n3=5 3
.x4 =31.46
n4=54
总均
x =28.695
★方差分析要解决的问题★方差分析要解决的问题
f(X)f(X)
XX
1)销售均值相等
μ1=μ2=μ3=μ4f(X)f(X)
橘黄无色粉色绿色橘黄无色粉色绿色
2)销售均值不等
2）系统误差2）系统误差
●在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值●在因素的不同水平(不同总体)下，各观察值
之间的差异
●比如同家超市不同颜色饮料的销售量●比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量
也是不同的
●这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，
也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成也可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成
Hubei Automotive IndustriesHubei Automotive IndustriesHubei Automotive IndustriesHubei Automotive Industries
InstituteInstitute
试验优化设计试验优化设计
主讲：刘建永
材材料料工工材材料料工工
1.样本（组内）平均