数学分析第一次主观题作业

《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业
一、判断下列命题的正误
1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. （正确）
2. 收敛数列必有界. （正确）
3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. （错误）
4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确）
5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. （正确）
二、选择题
1．设2,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩
, 则 [(1)]f f =( A ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2
2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列}{n x 收敛于a 的（ A ）.
A 充分必要条件；
B 充分条件但非必要条件；
C 必要条件但非充分条件；
D 既非充分又非必要条件
3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（B ）
A 必不存在 ；
B 至多只有有限多个；
C 必定有无穷多个 ；
D 可以有有限个，也可以有无限多个
4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ D ）．
A 收敛；
B 发散；
C 是无穷大；
D 可能收敛也可能发散
5．设a x n n =∞
→||lim ，则 （C ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞
→lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞
→lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ C ）
A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值；
B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值；
C )(x f 在0x 的函数值可以不存在；
D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值
7．下列极限正确的是（ D ） A 01lim sin 1x x x →=； B sin lim 1x x x
→∞=； C 1lim sin 0x x x →∞=； D 01lim sin 1x x x →= 8． 11
021lim 21x x x →-=+（ C ）
A 0；
B 1 ；
C 1- ；
D 不存在
三、计算题
1．求极限 9020
70)
15()58()63(lim --++∞→x x x x . 解: 90207090207090
20
70583155863lim )15()58()63(lim ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x
2．求极限 211lim()2
x x x x +→∞+-. 解：211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211x x x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21x x x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x
→∞--+- 2
64e e e
-==. 3．
求极限n →∞++ . 因为<<
又，所以由迫敛性定理，
n →∞++ =1 .
4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x
x x
x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 解： 当0x <时，有221()l i m l i m 11
x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩。

所以0是f 的跳跃间断点.
四、证明题
设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞
→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.
证明： 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2
lim b a a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。

又因为2
lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2
b a b n +>. 于是取},max{21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2。