第二章分子动理论的平衡态理论

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大学物理(第三版)热学第二章

一、理想气体的微观图象
1. 质点 P nkT P 0
在 T 一定的情况下 n 值小意味着分子间距大 2 .完全弹性碰撞
3. 除碰撞外分子间无相互作用 f=0
范德瓦耳斯力(简称：范氏力)
f
斥力
合力
r0
O
s
10 -9m r
d
引力
分子力
气体之间的距离
r 8r0 引力可认为是零可看做理想气体
第3步：dt时间内所有分子对dA的冲量
dI dIi ix 0
1 2
i
dIi
nimi2xdtdA
i
dIi
2ni mi2xdtdA
第4步：由压强的定义得出结果
P

dF dA

dI dtdA

i
ni
m
2 ix
i dA
ixdt
P

dF dA

dI dtdA
2. 气体分子的自由度
单原子分子双原子分子多原子分子
i3 i5 i6
二、能量按自由度均分原理条件：在温度为T 的平衡态下 1.每一平动自由度具有相同的平均动能
1 2
kT

1 3

3 2
kT

1 2
m
1
3
2

1 2
m
2 x

1 2
m
2 y

1 2
m
2 z
每一平动自由度的平均动能为 1 kT
2
2.平衡态各自由度地位相等
每一转动自由度每一振动自由度也具有与平动自由度相同的平均动能其值也为 1 kT

热学教案(第二章)

dN m 4 N 2kT
32
e

mv 2 2 kT
v 2 dv
得：
m f v 4 2kT
32
e

mv 2 2 kT
v2
2009级物理学专业热学教案
第2章分子动理学理论的平衡态理论
2009级物理学专业热学教案
第2章分子动理学理论的平衡态理论
（2）利用概率统计的方法；（3）研究和预言大量粒子组成的物体的物理性质
2009级物理学专业热学教案
第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.2 概率论的基本知识 2.2.1伽尔顿板实验伽尔顿板实验表明：在小球数量足够多的情况下，相同间隔内所获得的小球数量满足正态分布（较稳定的） 2.2.2 等概率性与概率的基本性质 1.概率的定义： (1)随机事件：在一定条件下，如果某一现象或某一事件可能发生也可能不发生。
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2009级物理学专业热学教案
第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.速度分布：速度分布函数为：
f v x ,v y ,v z

dN v x , v y , v z Ndvx dv y dvz

f v
dN Ndv
各速度分量的分布函数为：
NL PL lim N N
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
3.概率的基本性质：（1）n个相互排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和，简称概率相加法则；（2）同时或依次发生的、互不相关的（或统计相关的）事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概率相乘法则； 2.2.3 平均值及其运算 1.平均值:某个随机变量的平均值可有两种方法求得：（1）先求出这N个统计单位的随机变量之和，然后除以N个单位数

FreeKaoYan_第二章分子动(理学)理论的平衡态理论

热物理学的微观理论是在分子动（理学）理论（简称分子动理论）基础上发展起来的。

分子动理论方法的主要特点是，它考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动分子碰撞的详情。

它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。

从广义上来说，统计物理学是从物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。

按这种观点，分子动理论也应归于统计物理学的范畴。

统计物理学的狭义理解仅指玻尔兹曼统计与吉布斯统计.气体分子动理论在处理复杂的非平衡态系统时，都要加上一些近似假设。

由于微观模型细致程度不同，理论的近似程度也就不同，对于同一问题可给出不同理论深度的解释。

微观模型考虑得越细致，越接近真实，数学处理也越复杂。

对于初学者来说，重点应掌握基本物理概念、处理问题的物理思想及基本物理方法，熟悉物理理论的重要基础——基本实验事实。

在某些问题（特别是一些非平衡态问题）中可暂不去追究理论的十分严密与结果的十分精确。

因为相当简单的例子中常常包含基本物理方法中的精华，它常常能解决概念上的困难并能指出新的计算步骤及近似方法。

这一忠告对初学分子动理论的学生有一定的指导意义。

§2.2 概率论的基本知识在§1.6中讨论气体分子碰壁数及气体压强公式时简单地认为每一分子均以平均速率运动，并以此来替代相应物理量的统计平均，这里面有相当大的近似。

就算这样是允许的，也有一个如何求平均速率的问题。

解决上述问题的关键是要求找到一个因分子速率大小不同，因而它们出现的概率也不同的规律，我们称它为分子按速率的概率分布律。

本节将介绍有关概率及概率分布函数的基本知识。

§2.2.1伽尔顿板实验有关概率统计的最直观的演示是伽尔顿板实验，如图2.1所示。

结构如右图所示。

由于无法使小球落入漏斗内的初始状态完全相同。

即使尽量使小球下落点的高度、水平位置、初速度等相同，但精确地测定，其初始条件仍会有所差异，而且这种差异是随机的，因而使小球进入哪个小槽完全随机。

分子动理论的基本内容

分子动理论的基本内容
分子动理论是研究物质微观结构和宏观性质之间关系的理论，它是热力学和统计物理学的基础，对于理解物质的热力学性质和运动规律具有重要意义。

分子动理论的基本内容包括分子的运动状态、分子间的相互作用以及与宏观性质的关联等方面。

首先，我们来看分子的运动状态。

根据分子动理论，分子具有三种基本的运动状态，即平动、转动和振动。

平动是指分子沿各个方向做直线运动，转动是指分子围绕自身中心进行旋转运动，振动是指分子内部原子相对位置的周期性变化。

这些运动状态决定了物质的宏观性质，如固体、液体和气体的状态。

其次，分子间的相互作用也是分子动理论的重要内容。

分子之间存在各种相互作用力，包括范德华力、静电力、共价键和离子键等。

这些相互作用力决定了物质的热力学性质，如融化点、沸点、热容等。

此外，分子间的相互作用还决定了物质的化学性质，如溶解度、反应活性等。

最后，分子动理论还涉及到分子与宏观性质之间的关联。

根据分子动理论，宏观性质可以通过分子的平均运动状态来描述，如温度可以看作是分子平均动能的度量，压强可以看作是分子对容器壁的撞击力。

因此，分子动理论为我们提供了一种从微观角度理解宏观性质的方法，为热力学和统计物理学的发展提供了重要的理论基础。

总之，分子动理论是研究物质微观结构和宏观性质之间关系的重要理论，它涉及到分子的运动状态、分子间的相互作用以及与宏观性质的关联。

通过深入理解分子动理论的基本内容，我们可以更好地理解物质的性质和行为，为科学研究和工程实践提供理论指导。

气体分子动理论的基本概念

F rs rt
s t
r ：两个分子的中心距离、、 s、t ：正数，由实验确定。
1.第一项是正的，代表斥力； 2.第二项是负的，代表引力； 3.s,t都比较大，所以随着分子间距r的增大，分子力急剧减小。 4.有一定的有效作用距离，超出此距离，作用力可忽略。 5.s>t，所以斥力的有效作用距离比引力小。
第二章气体分子动理论的基本概念
2.1 物质的微观模型
一、物质由大量分子所组成的论点是指宏观物体是不连续的，它由大量分子或原子（离子）所组成的。
利用扫描隧道显微镜技术把一个个原子排列成 IBM 字母的照片.
分子的数密度和线度
NA 6.0221367(36) 1023 mol1
分子数密度（ n ）：单位体积内的分子数目.
二、物体内的分子在不停地做着无规则热运动，其剧烈程度与物体的温度有关
由于分子之间的相互碰撞，每个分子的运动方向和速率都在不断地改变；任何时刻，在液体或气体内部，沿各个方向运动的分子都有，而且分子运动的速率有大有小。
与物体的温度有关，温度越高，分子的无规则运动越剧烈
扩散现象说明：一切物体（气体、液体、固体）的分子都在不
停地运动着。
布朗运动并非分子的运动，但它能间接反映出液体（或气体）内分子运动的无规则性。
为什么？
1. 为什么固体和液体的分子不会散开而能保持一定的体积？ 2. 为什么固体和液体的分子不会散开而能保持一定的体积？铅柱被切成两段，然后把两个断面对上，在两头加上不大的压力就能使两段铅柱重新接合起来。

N NA

m
RT

RT
1 m

R M
T

热学第二章分子动理论(3)

——玻尔兹曼密度分布律玻尔兹曼密度分布律
(描绘外力场中分子在位形空间的分布) 描绘外力场中分子在位形空间的分布)
表示保守力场中势能为E 表示保守力场中势能为 P 的空间位置附近单位体积内的分子数分子数. 位置附近单位体积内的分子数.
n = n0e
Ep kT
——玻尔兹曼分布的常用形式玻尔兹曼分布的常用形式
单原子刚性双原子刚性多原子
自由度 1mol 理想气体的内能
i=3
3 RT 2
i=5
5 RT 2
i=6
3RT
i 当温度发生微小变化时,内能的变化为: 当温度发生微小变化时,内能的变化为: dE = ν RdT 2 i 当温度由T 变到T 当温度由变到 +△T,则 E = ν RT ,
2
说明:(对一定量的理想气体说明:(对一定量的理想气体) :(对一定量的理想气体) 1)一定量的理想气体, 1)一定量的理想气体,内能只是温度的单值函数 , 一定量的理想气体 E=E(T).这是理想气体的一个重要性质. 这是理想气体的一个重要性质. 2)T 是状态量,与过程无关, 2) 是状态量,与过程无关,因而内能也是状态量与过程无关. 过程无关.一个过程中理想气体内能的变化仅与初末态温度变化有关,与过程无关. 末态温度变化有关,与过程无关. 3)公式变形: 公式变形:
二,重力场中微粒按高度的分布分子数密度n 分子势能分子势能E 设Z = 0 处,Ep= 0 , 分子数密度 0 ,分子势能 p = mgz 处单位体积内的分子数: 则高为 z 处单位体积内的分子数
n = n0e
gz m kT
= n0e
Mmolgz RT
说明:重力场中分子数密度n 说明:重力场中分子数密度随高度的分子数密度增加按指数衰减. 增加按指数衰减无规则热运动重力均匀分布平衡

分子运动的理论

分子运动的理论
分子运动理论，也称为热力学研究中的热动力学，是一种由法国科学家拉斯，博罗钦在1860年开发的理论，它利用统计学原理来研究物
质处于静止状态能源的分布和变化以及物质在自然系统中不同状态之
间交换能量和物质的能力。

分子运动理论涉及特定状态的物质中的分子运动，以及分子之间的相互作用。

它还涉及如何确定特定分子的分布和变化，以及分子的受到的压力等因素如何影响这些变化。

分子运动理论可以说是动力学以及统计物理学的基础理论。

它是由热力学及分子物理学组成的，用来研究在特定条件下，物质中分子或原子运动以及相关之间的能量和物质的交换及其变化的过程。

该理论在不稳定的状态中至少提供了削近的计算方法，旨在解释热不定性现象的实质，并提供连续模型去模拟和研究应用于生物、物理、化学和地球物理学的实际研究中的现象的发生机制。

分子运动理论可以用来对非平衡态系统的性质和变化进行确定。

例如，可以用它来研究多元体系如气体、液体、凝固液体和固态体系中的分子如何移动和相互作用，以及如何改变系统的状态，以及它们受到其他外部因素（如温度、压力等）的影响是如何造成物质变化的。

因此，可以看出，分子运动理论在热力学和统计物理学中占有重要的地位，为研究物质现象和变化的原因及其机制提供了有力的理论支撑。

《热学》第二章和第三章复习

第二章分子动理学理论的平衡态理论基本要求一、麦克斯韦速率分布（1）掌握麦克斯韦速率分布函数，理解它的物理意义和它的分布曲线，并知道它的分布曲线是如何随温度或者分子质量变化。

（2）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率3个公式。

二、麦克斯韦速度分布（1）掌握麦克斯韦速度分布。

（2）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。

三、气体分子碰壁数及其应用（1）知道气体气体压强和碰壁数的物理意义。

(2)能利用麦克斯韦速度分布推导气体分子碰壁数公式和理想气体压强公式，并熟记它们。

（3）会利用气体分子碰壁数公式研究一些实际问题。

四、波尔兹曼分布（1）掌握粒子在外场中的分布；（2）掌握波尔兹曼分布；（3）会从波尔兹曼分布出发求粒子在外场中的分布和麦克斯韦速度分布。

五、能量均分定理（1）理解自由度和自由度数，知道单原子分子、双原子分子和多原子分子的自由度；（2）掌握能量积分定理；会求常温下理想气体的内能、定体热容等。

（3）了解固体的热容和杜隆－珀蒂定律第三章输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论基本要求一、黏性现象知道什么是层流，什么是湍流。

掌握牛顿黏性定律，理解气体黏性微观机理。

二、扩散现象掌握菲克定律，理解气体扩散微观机理。

三、热传导定律掌握傅立叶定律，理解气体热传导微观机理。

四、气体分子平均自由程（1）理解什么是碰撞（散射）截面，掌握刚性分子碰撞截面公式。

（2）掌握气体分子间平均碰撞频率和分子平均自由程公式。

五气体输运系数知道气体黏性系数、导热系数、扩散系数如何随温度和压强变化。

第二章和第三章复习题一选择题1 水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和化学能)？ (A) 66.7％． (B) 50％． (C) 25％． (D) 0．［］2 做布朗运动的微粒系统可看作是在浮力ρρ/0mg -和重力场的作用下达到平衡态的巨分子系统．设m 为粒子的质量，ρ 为粒子的密度，ρ 0为粒子在其中漂浮的流体的密度，并令z = 0处势能为0，则在z 为任意值处的粒子数密度n 为 (A) )}1(exp{00ρρ-⋅-kTmgz n ．(B) )}1(exp{00ρρ-⋅kTmgz n ．(C) }/exp{00kT z mgn ρρ-．(D) }/exp{00kT z mgn ρρ．［］3 在二氧化碳激光器中，作为产生激光的介质CO 2分子的两个能级之能量分别为ε1 = 0.172 eV ，ε2 = 0.291eV ，在温度为 400℃时，两能级的分子数之比N 2∶N 1为（玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J/K ，1 eV = 1.60×10-19 J ）(A) 31.5． (B) 7.7． (C) 0.13． (D) 0.03．［］ 4 温度为T 时，在方均根速率s/m 50)(212±v 的速率区间内，氢、氨两种气体分子数占总分子数的百分率相比较：则有（附：麦克斯韦速率分布定律：v v v ∆⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛π=∆222/32exp 24kT m kT m N N，(A) ()()22N H //N N N N ∆>∆， (B) ()()22N H //N N N N ∆=∆，(C) ()()22N H //N N N N ∆<∆(D) 温度较低时()()22N H //N N N N ∆>∆ ，温度较高时()()22N H //N N N N ∆<∆ [ ]5 下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？［］6 在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为：(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ． (B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． (C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ． (D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ．［］ 7 一定量理想气体分子的扩散情况与气体温度T 、压强p 的关系是：(A) T 越高、p 越大，则扩散越快． (B) T 越低、p 越大，则扩散越快． (C) T 越高、p 越小，则扩散越快． (D) T 越低、p 越小，则扩散越快．［］二填空题8 一容器内储有某种气体，若已知气体的压强为 3×105 Pa ，温度为27℃，密度为0.24 kg/m 3，则可确定此种气体是________气；并可求出此气体分子热运动的最概然速率为_______________________m/s. (普适气体常量R = 8.31 J ·mol -1·K -1)9质量为 6.2×10-14 g 的某种粒子悬浮于27℃的气体中，观察到它们的方均根速率为 1.4 cm/s ，则该种粒子的平均速率为__________．（设粒子遵守麦克斯韦速率分布律） 10 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v p 代表最概然速率，那么，速v v O O (B (A (D O(C O率在v p 到v 范围内的分子数占分子总数的百分率随气体的温度升高而__________(增加、降低或保持不变)．11用绝热材料制成的一个容器，体积为2V 0，被绝热板隔成A 、B 两部分，A 内储有1 mol 单原子分子理想气体，B 内储有2 mol 刚性双原子分子理想气体，A 、B 两部分压强相等均为p 0，两部分体积均为V 0，则两种气体各自的内能分别为E A ＝________；E B ＝________； (2) 抽去绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为T ＝______．12一氧气瓶的容积为V ，充入氧气的压强为p 1，用了一段时间后压强降为p 2，则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为__________．13 设某原子能反应堆中心处单位时间穿过单位面积的中子数为 4×1016 m -2·s -1，且设这些中子是温度为 300 K 的热中子，并服从麦克斯韦速度分布律，试求中子气的分压强．（阿伏伽德罗常量N A = 6.02×1023 mol -1,玻尔兹曼常量k = 1.38×10-23 J ·K -1 中子的摩尔质量为1.01×10-3 kg ）14玻尔兹曼分布律是自然界中的一条较为普遍的分布定律．对处于任何力场中的任何微粒系统只要______________________________可以忽略，这定律均适用． 15 一个很长的密闭容器内盛有分子质量为m 的理想气体，该容器以匀加速度a垂直于水平面上升（如图所示）．当气体状态达到稳定时温度为T ，容器底部的分子数密度为n 0，则容器内离底部高为h 处的分子数密度n =_____________________． 16 用总分子数N 、气体分子速率v 和速率分布函数f (v ) 表示下列各量：(1) 速率大于v 0的分子数＝____________________； (2) 速率大于v 0的那些分子的平均速率＝_________________；(3) 多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v 0的概率＝_____________． 17 图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况．由图可知，氦气分子的最概然速率为___________，氢气分子的最概然速率为________________．18 一定量的某种理想气体，先经过等体过程使其热力学温度升高为原来的4倍；再经过等温过程使其体积膨胀为原来的2倍，则分子的平均碰撞频率变为原来的__________倍．19 已知氦气和氩气的摩尔质量分别为M mol 1 = 0.004 kg/mol 和M mol 2 =0.04 kg/mol ，它们在标准状态下的粘度分别为η1 =18.8×10-6 N ·s ·m -2和η2 = 21.0×10-6 N ·s ·m -2．则此时氩气与氦气的扩散系数之比D 2/ D 1= __________________．三计算题20 由N 个分子组成的气体，其分子速率分布如图所示．(1) 试用N 与0v 表示a 的值． (2) 试求速率在1.50v ～2.00v 之间的分子数目． (3) 试求分子的平均速率．21 将1 kg 氦气和M kg 氢气混合，平衡后混合气体的内能是2.45×106 J ，氦分子平均动能a16v (m /s)f (v )1000020是 6×10-21 J ，求氢气质量M ． (玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1 ,普适气体常量R ＝8.31 J ·mol -1·K -1)22 假设地球大气层由同种分子构成，且充满整个空间，并设各处温度T 相等．试根据玻尔兹曼分布律计算大气层中分子的平均重力势能P ε．(已知积分公式⎰∞+-=01/!d e n ax n a n x x )23 在直径为D 的球形容器中，最多可容纳多少个氮气分子，才可以认为分子之间不致相碰？（设氮分子的有效直径为d ）．24 一长为L ，半径为R 1 = 2 cm 的蒸汽导管，外面包围一层厚度为2 cm 的保温材料（导热系数为 K = 0.1 W ·m -1·K -1）蒸气的温度为100℃，保温材料的外表面温度为20℃．求：(1) 每秒钟从单位长度传出的热量； (2) 保温材料外表面的温度梯度．四理论推导和证明25 试根据麦克斯韦分子速率分布律222/3)2exp()2(π4)(v vv kTm kTm f -=,验证以下不等式成立 1)1(>⋅vv ．［积分公式22321d )exp(λλ=-⎰∞x x x ，λλ21d )exp(02=-⎰∞x x x ］五错误改正题26 已知有N 个粒子，其速率分布函数为： f ( v ) = d N / (N d v ) = c ( 0 ≤v ≤v 0 ) f ( v ) = 0 (v ＞v 0) 有人如下求得c 与v(1) 根据速率分布函数的归一化条件，求得常数c ，即有1d d )(00===⎰⎰∞v vv v v Nc Nc Nf∴ c = 1 / (N v 0) (2) 此粒子系统的平均速率⎰∞=0d )(v v v v Nf ⎰=0d 1v v v v N N0021d 10v v v vv ==⎰上述关于c 、v 的解答是否正确？如有错误请改正．六回答题27 由理想气体的内能公式mol2MiRTM E =可知内能Ｅ与气体的摩尔数M / M mol 、自由度i 以及绝对温度T 成正比，试从微观上加以说明.如果储有某种理想气体的容器漏气，使气体的压强、分子数密度都减少为原来的一半，则气体的内能是否会变化？为什么？气体分子的平均动能是否会变化？为什么？28在什么条件下，气体分子热运动的平均自由程λ与温度T 成正比？在什么条件下，λ与T 无关？(设气体分子的有效直径一定)29 什么叫分子的有效直径？它是否随温度变化而变化？为什么？30 什么是气体中的输运过程？。

第二章分子动理学理论的平衡态理论

这组数给出了小球在槽内的分
配情况，我们称为一种分布。
实验指出，只要小球的总数足够大，则每次所得的分布几乎相等，也即每个槽内的小球的数目与小球总数之比
N1, N2, N3,,Ni , NNN N
几乎是完全确定的，即具有稳定的特性，只略有一些偏差。
§2.2 概率论的基本知识
由此可见，大量小球在各槽内的一组分布决不是偶然的，而是一个必然规律。这种由大量偶然事件的总体所服从的规律称
f (v) dN Ndv
f (v)
o
v
§2.3 麦克斯韦速率分布
2、三种统计速率
(1)、最概然速率v p
令
df (v) 0 dv vvp
f (v)
f max
根据分布函数求得
o vp
v
vp
2kT m
2RT Mm
物理意义
气体在一定温度下分布在最概然速
率附v p近单位速率间隔内的相对分子
数最多。
二、麦克斯韦速率分布
1、麦克斯韦速率分布
麦克斯韦利用理想气体分子在三个方向上作独立运动的假设,导出了理想气体分子在平衡态时按速度分布规律，然后得到理想气体分子按速率分布规律。
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略
时，分布在任意速率区间 v vdv分子数的比率
为
dN f(v )d v4 π ( m) e vd 32 m 2k v2T2 v
T130K0
f (v)
T2120K0
O2
H2
o v p1 vp2
v
N2 分子在不同温度下的速率分布
o v p 0 v pH
v
同一温度下不同气体的速率分布
§2.3 麦克斯韦速率分布

热学第二章分子动理论(2)

dN ( vx , vy , vz ) f ( vx , vy , vz )dvxdvydv z N
f ( vx )dvx f ( vy )dvy f ( vz )dvz
dN ( vx ) dN ( v y ) dN ( v Z ) N N N
( 0.21%) 9 10
P O
v vz
vz vy 直角坐标表示的速度空间
vy
代表点：在速度空间，仅以速度矢量的端点来表示这一矢量的点。
在 vx vx+dvx ， vy vy+dvy， vz vz+dvz区间内划
出一个体积为 dvx dvy dvz 微分元。
微分元中的代表点数目：
vz
dv x dv y dv z
N个分子中速度x分量落在vx vx+dvx范围内的分子数是多少？
在速度空间中划出一个垂直于vx轴的厚度为dvx的无
穷大平板，不管速度 y、z 的分量如何，只要速度的 x 分量在vx vx+dvx范围内，则所有这些分子的代表点都落在此平板中。 v
z
设平板中代表点的数目dN( v x ) 为
d N v xv yvz N
m m v 2 v 2y v z2 2 kT x d v x d v y d vz e 2kT
3 2
—— 麦克斯韦速度分布律
＊麦克斯韦速度分布律表明了分子代表点在速度空间 dvx dvy dvz 中的分布情况。
dN ( vx , vy , vz ) f ( vx , vy , vz )dvxdvy , dvz N f ( vx )dvx f ( vy )dvy f ( vz )dvz

分子动理学理论的平衡态理论

) v 3dv
m
2021/3/11
——分子束速率分布
13
பைடு நூலகம்
F (v)dv
m2 2(kT )2
exp(
mv 2 2kT
) v 3dv
2. 分子束的平均速率及方均根速率：
v束
vF(v)dv
0
0
m2 2(kT )2
exp(
mv2 2kT
)
v4dv
9 kT
8m
1
1
(v束 )2
v2F
(v
)dv
2
0
0
则dt时间内能运动到dA与之相碰且速度介于
v
~
v
dv
的分子数为：
dN n'dV' nf (vx ) f (v y ) f (vz )dvxdv ydvz dA vxdt
则单位时间内碰到单位器壁面积上且速度介于
v
~
v
dv的分子数为：
2021/3/11
dv
dN dt dA
nv x f (vx ) f (v y ) f (vz )dvxdv ydvz
● 稀薄气体分子间距较大，其相互作用随压强的减小变弱，但因分子无规运动，使得对分子本身的探测和研究较困难。
● 分子束或原子束中，分子或原子作准直得很好的定向运动，它们之间的相互作用可予忽略，利用它来研究分子或原子的性质及其相互作用较为理想。
● 所以分子束或原子束技术在原子物理、分子物理以及气体激光动力学、等离子体物理、化学反应动力学，甚至在空间物理、天体物理、生物学中都有重要应用。
v
2 x
f
(v
x
,
v
y

大学物理分子动理论

xM1M3 (p1p3)V1
M2
p2V2
(1301)0329.6(天 ) 1400
6-2 理想气体压强公式
气体对器壁的压强是大量分子对容器不断碰撞的统计平均效果。
每个分子对器壁的作用 f t
所有分子对器壁的作用 F f t
t
理想气体的压强公式
p F S
一、理想气体的分子模型 1、分子可以看作质点
说明： •平衡态是一种热动平衡
处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。
例如：粒子数
箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。
•平衡态是一种理想状态
对热力学系统的描述：
1. 宏观量——状态参量
解： (1) p1V1 p2V2
T1
T2
由已 :V 1知 2V 2,T 127 2 3 730 K ,0
T227 1 374 75 K0
p2V V 1 2T T 2 1p12 V V 22 3405 00 3p1
(2) w 3kT 2
ww2w123k(T2T1)
31.381 023(45030)03.1 11 021J 2
w 3 kT 2
p nkT
6-4 能量均分定理理想气体的内能
一、自由度确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。
He
O2
H2O
NH 3
以刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例
z
z
C(x, y,z)
y
C(x, y,z)
y
x
单原子分子
平动自由度t=3
itr3

热力学-2.气体分子动理论

分子间势能曲线：
分子间距离改变dr时，分子间势能的增量就等于分子力做的功：
dE p Fdr
取r=∞时势能为零：
r
r
Ep

Fdr

(rs

rt
)dr

'
r s1

'
r t 1
分子碰撞有效直径d
d随温度升高将如何变化？
承认分子固有体积的存在就是承认存在分子间排斥力？
p

1 3
nmv 2
p

2 3
n(
1 2
mv 2 )

2 3
n k
•理想气体的压强正比于气体分子的数密度和分子的平均平动动能； •理想气体的压强公式揭示了宏观量与微观量统计平均值之间的关系。
分析：
p 2 n
3
系统总粒子数增高
碰撞频率增高
体系压强增高。
粒子平均动能增高
运动速率增高
碰撞频率增高冲量增高，
气体分子在不停地运动着。
液体分子在不停地运动着。
• 有人做过这样一个实验，把磨得很光滑的铅片和金片紧压在一起，在室温下过了5年，铅片和金片就结合在一起了，切开后发现铅和金相互渗透了约1mm深。
• 固体分子在不停地运动着。
固体、液体、气体都存在扩散现象。扩散现象说明了：一切物体的分子都在不停地做无规则的运动。
v12 m2
v22
m1
•当温度T=0时，气体的平均平动动能为零，这时气体分子的热
运动将停止。然而事实上是绝对零度是不可到达的(热力学第三定律)，因而分子的运动是永不停息的。
温度1000ºC及0ºC时气体分子的平均动能。

气体分子动理论

v p 1.41
RT 1.57103 m / s M
2.氧气
v2 1.73
RT 1.73 M
8.31 300 32 103
4.83102 m /
s
v 1.60 RT 4.45102 m / s M
v p 1.41
RT 3.95102 m / s M
五、速率分布律的实验测定
自1859年麦克斯韦从理论上推得速率分布律后，大约经过 62年斯特恩首先用实验测定了气体分子的速率分布。 1930～1934年我国科学家葛正权利用下面的装置，通过实验测定了气体分子的速率分布规律。
0
麦氏分布函数代入得 v 8kT 8RT 1.60 RT
3.方均根速率
M
M
分子速率平方的平均值再开平方，称为气体分子的方均根速率。
方均根速率可按平均速率的原理，进行计算
v2
v2 Nf (v)dv
0
v2 f (v)dv
N
0
将麦氏分布函数代入得方均根速率为
v2 3kT 3RT 1.73 RT
3.气体的质量（m）：气体分子的质量的和．
４.摩尔质量(M)：１mol气体分子的质量．（Ｎ）
二、理想气体状态方程
PV m RT M
R = 8.31 J / mol·k
设气体的分子质量为μ,气体的分子个数为N，气体质量为
m，则 m=N μ 。气体的摩尔质量为M ，1摩尔分子个数为
N0，则 M =N0 μ 。代入气态方程，得
f 斥力
分子力
r 0 0
r
r
r＜r0
引力
r
r=r0
平衡位置
u
10-10m。
r
r＞r0

分子动理理论的平衡态理论

在材料科学中的应用
材料结构和性质的
预测
平衡态理论可以用于预测材料的结构和性质，如晶体的稳定性、电子结构和磁性等，为新材料的发现和应用提供理论支持。
材料性能的优化
通过平衡态理论，可以研究材料的组成、结构和性能之间的关系，从而优化材料的性能，提高其稳定性和可靠性。
材料合成和制备的
指导
平衡态理论可以用于指导材料的合成和制备过程，如控制合成温度、压力和组分等，以获得具有优异性能的材料。
03 分子动理的平衡态理论
分子分布函数
01
分子分布函数描述了分子在空间中的分布情况，即分子在各个状态上的概率分布。
02
分子分布函数与系统的宏观性质密切相关，如温度、压强等。
在平衡态下，分子分布函数满足一定的统计规律，如玻尔兹曼
03
分布、费米分布等。
分子碰撞与散射
01
分子间的碰撞与散射是分子动理过程中的重要现象，
02
研究分子运动规律的理论，主要探讨分子之间的相互作用、分
子运动状态和分子能量分布等问题。
平衡态
03
在一定的条件下，系统内部各种相互作用达到相对稳定的状态，
此时系统宏观性质不再随时间变化。
分子动理论的发展历程
早期发展
从19世纪初开始，科学家们开始研究气体分子运动，提出了气体分子平均自由程的概念，奠定了分子动理论的基础。
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感谢您的观看
在生物医学中的应用
药物设计和筛选
平衡态理论可以用于预测药物分子的性质和行为，从而优化药物设计和筛选过程，提高药物的疗效和安全性。
生物分子结构和功能的预测
平衡态理论可以用于研究生物分子的结构和功能，如蛋白质、核酸和细胞膜等，为生物医学研究和疾病治疗提供理论支持。

《热学习题思考题解题指导》第二章第1,2节

第二章分子动理论的平衡态理论§2.1 基本概念和基本要求（一）了解分子动理论的主要特点。

（二）掌握概率的基本性质和求平均值和基本方法。

知道什么是概率分布函数。

（三）麦克斯韦速率分布（1）初步了解验证麦克斯韦速率分布的分子射线束实验。

（2）掌握麦克斯韦速率分布函数，知道它的物理意义，知道它的分布曲线是如何的，知道它的分布曲线是如何分别随了温度或者气体分子质量而改变的。

（3）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率这3个公式。

（四）麦克斯韦速度分布（1）理解速度空间概念。

※（2）知道麦克斯韦速度分布是任一分子处在速度空间中任一体积为z y x v v v d d d 的小立方体中的概率。

（3）掌握麦克斯韦速度分布。

※（4）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。

* （5）了解相对于最概然速率的麦克斯韦速度分布和速率分布。

※（五）了解气体分子碰壁数及其应用。

（六）外力场中自由粒子的分布玻耳兹曼分布（1）掌握等温大气压强公式。

※（2）了解旋转体中悬浮粒子径向分布及其应用。

※（3）了解玻耳兹曼分布。

（七）能量均分定理（1）理解自由度与自由度数。

（2）掌握能量均分定理，知道对于常见的双原子分子一般都有3个平第二章分子动理论的平衡态理论 34 动自由度、2个转动自由度。

※（3）知道能量均分定理的局限性。

§2.2 解题指导和习题解答2. 2. 1 在图中列出某量x 的值的四种不同的概率分布函数的图线。

试对于每一种图线求出常数A 的值，使在此值下该函数成为归一化函数。

然后计算 x 和 x 2 的平均值，在图（a ）情形下还应该求出 x 平均值。

〖解〗：（a ）按照归一化条件，概率分布曲线下面的面积为 1。

则,1)]([=⨯--+A a a a A 2/1=所以概率分布函数为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<≤≤-=a x a x a x a a x f ;02/1)(⎰⎰+-+-===a a a a x x a x x xf x 0d 21d )(3d 21d )(2222a x x a x x f x x a a aa ===⎰⎰+-+-2/d )(d )(00a x x xf x x xf x a a =+-=⎰⎰-（b ）归一化条件： aA a =⋅-)02( a A 2/1=概率分布函数为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><≤≤=a x x a x a x f 2;00202/1)(§2.2 解题指导和习题解答 35a x a x x a x x xf x aa a =⋅===⎰⎰2022020221d 21d )( 2220220234d 21d )(a x x a x x f x x a a===⎰⎰（c ）归一化条件为[]1)()2/1(=⋅--+A a a a A /1=概率分布函数为： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--<<-+=a x aa x x a a a x x f 0/)(0/)()(220d )(==⎰+-x x xf x a a6/d )(222a x x f x x a a ==⎰+-2．2．2 量x 的概率分布函数具有形式 22π4)ex p()(x ax A x f ⋅⋅-=,式中 A 和 a 是常数，试写出x 的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。

基于平衡态理论的生物分子动力学模拟

基于平衡态理论的生物分子动力学模拟生物分子动力学模拟是一种模拟分子间相互作用和运动的技术。

这种技术可以帮助科学家了解生物分子的结构和功能。

其中，平衡态理论则是一种描述分子停留在平衡态的方法。

平衡态理论是描述分子系统在平衡态时所遵循的物理学规律的一种方法。

在这个理论中，分子被认为是一个弹簧系统，弹簧的强度受到分子之间的相互力的影响。

当分子的相互作用达到平衡时，分子系统就达到了一个稳定的状态。

这个状态可以被描述为分子动力学的一个基本概念，也被称为平衡态。

生物分子动力学模拟基于平衡态理论，通过使用数学模型和计算机程序，模拟生物分子在平衡态时的运动和相互作用。

模拟过程中，被模拟的生物分子被看作一个弹簧系统，并受到分子间相互作用和溶剂（如水）的影响。

生物分子动力学模拟的应用广泛，如药物设计、生物大分子结构探索以及功能研究等。

其中，药物设计是目前应用最广泛的领域之一。

药物设计的主要目的是找到对特定疾病有治疗作用的化合物。

在生物分子动力学模拟中，科学家可以针对某个生物大分子（如蛋白质）进行模拟，对接药物分子寻找最佳结合方式，从而预测药品的活性和效果。

生物分子动力学模拟在药物设计中的应用与理论计算和实验室实验相互补充。

理论计算可以帮助科学家预测重要的分子参数，如分子的构象和能量等，而实验室实验则可以验证这些预测结果。

除了药物设计，生物分子动力学模拟还在其他领域得到应用。

如，人类基因组计划的成功使科学家能够了解人类基因组的构成和功能，但是我们仍需要了解基因组中各种蛋白质之间的相互作用和运动方式。

生物分子动力学模拟可以帮助科学家更好地了解蛋白质的结构和功能，从而更好地理解基因组的构成和功能。

总之，生物分子动力学模拟是一种理论科学工具，通过使用计算机模拟生物分子之间的相互作用和运动，帮助科学家了解生物分子结构和功能。

在药物设计和其他领域中，这种模拟技术也有着重要的应用。

第二章分子动力学理论的平衡态理论

这种在大量随机事件的集合中出现的规律性叫统计规律性。
少数分子无规律性
大量分子的统计分布 7
二、等概率性与概率的基本性质
1、概率的定义
概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。
No Image
离散变量xi
P(xi)N li m N Ni
连续变量x , x-x+dx区间
d(N x)
§2.3 麦克斯韦速率分布
要深入研究气体的性质，不能光是研究一些平均值，
如t ，V2
等，还应该进一步弄清分子按速率和按能量等的分布情况。
个别分子的运动是杂乱无章的，但大量分子运动的集体表现存在着一定的统计规律。
统计物理关心两件事：
1. 平均值; 2. 分布;
几个要用的积分公式高斯积分
Q xn e a2d x ,x (a0 ,n0 ,1 ,2 ,3 , ) 0
一、分子射线束实验
实验装置
接抽气泵
No Image
No Image
No Image
金属蒸汽
狭缝
No Image
No Image
显
No Image
示
屏
19
二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平衡态下，
分子速率分布函数为：
f(v)4(
m3/2 m 2v/2kT 2 m——分子的质量 ) e v T——热力学温度
分子平动动能的平均值
讨论速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
vv1~v2
v2 v f(v)dv