机械能守恒定律-——多物体问题

机械能守恒定律——多物体问题
教学目标
1、能够判断多物体是否机械能守恒
2、能够表达机械能守恒； 教学重难点
教学重点：
1、多物体是否守恒的判断；
2、灵活运用机械能守恒表达。

教学难点：
1、多物体机械能守恒的判断；
2、多个物体速度的关系
基础知识归纳
1、守恒条件：没有摩擦造成的系统机械能损失而减少；没有人、发动机等输入系统能量造成增加
2、表达式
（1）系统初状态的总机械能等于末状态的总机械能：设有A 、B 两个物体机械能守恒，则
末末初初B A B A E E E E +=+
（2）以系统内各种机械能为研究对象：减少的等于增加的，K P E E ∆-=∆
动能、势能的改变量的计算方法：
①|∆Ep | =|W G |=mgh ②∆E k 增=E K 末—E K 初 ③∆E k 减=E K 初—E K 末
（3）以组成系统的物体A 、B 为研究对象： A 减少的机械能等于B 增加的机械能，即
B A E E ∆-=∆
典例精析
【例1】如图，质量为m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m 的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，这时砝码的速率为多少？
解析：解法一：对木块和砝码组成的系统内只有重力势能和动能的转
化，故机械能守恒，以砝码末位置所在平面为参考平面，由机械能守恒定律得：
()mgh mgH v m mgH mv 222
1212
2+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得gh v 3
4
= 解法二：对木块和砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆-=∆，即
()mgh v m mv 2221
2122=+，解得gh v 3
4
=
解法三：对木块和砝码组成的系统机械能守恒，B A E E ∆-=∆，即
()22221
221v m mgh mv -=，解得gh v 3
4
= 【例2】如图，质量为m 的砝码用轻绳绕过光滑的定滑轮与质量为M （M >m )的砝码相连，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h 的距离时砝码未落地,求：这时砝码的速率为多少？
解析：两个砝码组成的系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆=∆-，即
()221
v m M mgh Mgh +=
-，解得gh m
M m
M v 2+-=．
【例3】如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A 和B 连接，A 的质量为4m ，B 的质量为m 。

开始时，将B 按在地面上不动，然后放开
手，让A 沿斜面下滑而B 上升，所有摩擦均忽略不计。

当A 沿斜面下滑距离s
后，细线突然断了。

求物块B 上升的最大高度H 。

（设B 不会与定滑轮相碰）
解析：设细线断裂前一瞬间A 和B 速度的大小为v ，A 沿斜面下滑s 的过程中，A 的高度降低了s sin θ，B 的高度升高了s 。

对A 和B 以及地球组成的系统，机械能守恒，有物块A 机械能的减少量等于物块B 机械能的增加量，即
222
1
421sin 4mv mgs mv mgs +=⋅-
θ。

细线断后，物块B 做竖直上抛运动，物块B 与地球组成的系统机械能守恒，设物块B
继续上升的高度为h ，有 2
21mv mgh =。

由以上两式联立解得 5
s
h =，
故物块B 上升的最大高度为 s s s h s H 5
6
5=+=+=。

点拨 在细线断裂之前，A 和B 以及地球组成的系统机械能守恒。

两个物体用同一根细线跨过定滑轮相连由于细线不可伸长，两个物体速度的大小总是相等的。

细线断裂后，B 做竖直上抛运动，由于只有重力做功，B 与地球组成的系统机械能守恒。

在处理实际问题时，要根据问题的特点和求解的需要，选取不同的研究对象和运动过程进行分析。

【例4】如图所示，两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b ，之间用一长为2l 的轻杆连接，杆在绕中点O 的水平轴无摩擦转动。

今使杆处于水平位置，然后无初速释放，在杆转到竖直位置的过程中，求：
（1）杆在竖直位置时，两球速度的大小 （2）杆对b 球做的功
（3）杆在竖直位置时，杆对a 、b 两球的作用力分别是多少？
答案：（1）以a 、b 和地球组成的系统为研究对象，以轻杆的水平位置为零势能面，由机械能守恒定律得：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝⎛+=mgl mv mgl mv b a 22212102
2① θ
B
A
由圆周运动的规律v l v v b a ===ω ② 由①②解得gl v 3
2=
（2）对b 球，由动能定理得：22212mv mgl W =+，解得mgl W 3
4
=
【例5】如图所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着
质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度
h=0.2m ，开始时让连接A 的细线与水平杆的夹角θ=53°。

由静止释放A ，在以后的运动过程中，A 所能获得的最大速度为多少？（sin53°=0.8，
cos53°=0.6，g 取10m/s 2，且B 不会与水平杆相碰。

）
解析：物体A 被拉至左侧定滑轮的正下方时获得最大速度，此时物体B 的瞬时速度为0。

以物体A 所在水平面为参考平面，在从物体A 刚被释放到物体A 运动至左侧定滑轮正下方的过程中，对系统应用机械能守恒定律，有
)sin (212h h mg mv -=θ
， 解得A 所能获得的最大速度为
)2.053
sin 2.0(102)sin (
20
-⨯⨯=-=
h h g v θm/s=1m/s 。

点拨：求解本题的关键是正确选取研究对象，而且要能判断出获得最大速度时所处的位置。

分析时还可从系统何时具有最小重力势能着手，即只有当物体A 被拉至左侧定滑轮的正下方时，物体B 的位置最低，此时系统有最小重力势能，也就有最大动能，又此时物体B 的瞬时速度为0，故物体A 具有最大动能，则具有最大速度。

课外作业
1．如图1所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)．a 站在地面上，b 从图示的位置由静止开始向下摆动， 运动过程中绳始终处于伸直状态．当演员b 摆至最低点时，a 刚好对地面无压力，则演员a 的质量与演员b 的质量之比为 ( ) A ．1∶1 B ．2∶1 C ．3∶1 D ．4∶1 答案：B
2．如图所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a 和b .a 球质量为m ，静置于地面；b 球质量为3m ，用手托住，高度为h ，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b 后，a 可能达到的最大高度为( ) A ．h B ．1.5h C ．2h D ．2.5h 答案：B
B A h
θ
3．如图所示，质量为2m 和m 可看做质点的小球A 、B ，用不计质量的不可伸长的细线相连，跨在固定的半径为R 的光滑圆柱两侧，开始时A 球和B 球与圆柱轴心等高，然后释放A 、B 两球，则B 球到达最高点时的速率是多少?
解：此题用运动学很难解答，但选取A 、B 球及细线为研究系统，重力以外的力不做功，故用机械能守恒定律求解．
选取轴心所在水平线为势能零点，则刚开始时系统机械能为零，即E 1＝0．
当B 球到达最高点时，系统机械能为E 2＝mgR ＋
21mv 2－2mg 2
142+R π（2m ）v 2 由于E 1＝E 2，即0＝mgR ＋
21mv 2－2mg 2142+R π（2m ）v 2解得 v ＝)1(3
2
-πgR
4．如图所示，轻杆两端各系一质量为m 的小球A 、B ，轻杆可绕过O 的光滑水平轴在竖直面内转动.A 球到O 的距离为L 1，B 球到O 的距离为L 2，且L 1＞L 2，轻杆水平时无初速释放小球.不计空气阻力，求杆竖直时两球的角速度大小.
答案：设杆竖直时A 、B 两球速度分别为v A 和v B ，A 、B 系统机械能守恒： mgL 1 － mgL 2 =
21mv A 2＋2
1
mv B 2又v A ＝ωL ，v B ＝ωL 2，得ω＝)
()(22
22
121L L L L g +-.
5．如图所示，光滑固定的竖直杆上套有一个质量m ＝0.4 kg 的小物块A ，不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上大小可忽略的定 滑轮D 连接小物块A 和小物块B .虚线CD 水平，间距d ＝1.2 m ，此时连接小物块A 的细绳与竖直杆的夹角为37°，小物块A 恰能保持静止．现在在小物块B 的下端挂一个小物块Q (未画出)，小物块A 可从图示位置上升并恰好能到达C 处．不计摩擦和空气阻力，cos 37°＝0.8、sin 37°＝0.6，重力加速度g 取10 m/s 2.求：
（1）小物块A 到达C 处时的加速度大小； （2）小物块B 的质量； （3）小物块Q 的质量． 答案：(1)10 m/s 2 (2)0.5 kg (3)0.3 kg。