概率论与数理统计ppt课件

例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A2 , A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 , A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
B
A
S
(1) A B
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2.和事件:
A B { x | x A或x B }称为A与B的和事件. 即A, B中至少有一个发生 , 称为A与B的和, 记A B. 可列个事件A1 , A 2 , 的和事件记为

A .
k k 1
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的 A 积，即事件A与B 同时发生. A B 可简记为AB.
注
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二、几何定义:
定义若对于一随机试验, 每个样本点出现是等可能的,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个, 且具有非 零的, 有限的几何度量, 即0 m() , 则称这一随机 试验是一几何概型的.
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定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任 意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域 是等可能的,则事件 A 的概率可定义为
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
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例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二
和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的? 实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
3. 频率的特性: 波动性和稳定性.
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四. 概率公理化定义:
1.定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个
事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合 函数P(.)满足下列条件: (1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念 前 言
1. 确定性现象和不确定性现象.
2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在 大量重复试验中其结果又具有统计规律性. 3. 概率与数理统计的广泛应用.
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§1.随机试验
我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。
举例:
E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.
A
s
B
(4)A B
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5.事件的互不相容(互斥): 若A B , 则称A与B是互不相容的 , 或互斥的,即
A与B不能同时发生 .
B
A
AB
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6. 对立事件(逆事件)：
为对立事件. 即 : 在一次实验中 , 事件A与B中必然有一 个发生, 且仅有一个发生 .
若A B S且A B ，则称A与B互为逆事件，也称
(一) 频率 1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次 数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为 fn(A).
2. 频率的基本性质： (1) 0 f（ 1； （非负性） n A） (2) f n ( S ) 1; （规范性） （3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).(有限可加性）
E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.
E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况. E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.
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随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的 结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
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例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“
恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
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（三）事件间的关系与事件的运算 1.包含关系和相等关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
分配律: 对偶律:
A (B C) ( A B) ( A C); A (B C) ( A B) ( A C).
A B A B; A B A B.
证明 对偶律.
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例.事件A、B、C两两互不相容， 则有 ABC 反之 不成立
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
计算条件概率有两种方法: 1. 公式法：
先计算P(A), P(AB), 然后按公式计算
P(AB) P(B | A) . P(A)
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2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并 在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
P ( AB) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ).
n i 1 1 i j n
P( A1 A 2 An ) P( A i )
P( A i A j )

1 i j k n

P( A i A j A k ) P( A 1 A 2 A n ).
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古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
A中的基本事件数 k (3) 用下列公式计算: P ( A) S中的基本事件总数 n
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例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样. 求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
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2.概率的性质：
性质1. P() 0.
性质2. 若 A1 , A 2 ,, An 是两两互不相容的事件 , 则 P( A1 A 2 An)
P( A1) P( A 2) P( A n). (有限可加性)
性质3. 若A B, 则有 P(B A) P(B) P( A);
A的对立事件记为 A.若A与B互为对立事件，则记为 A B, 或B A.
B A
S
BA
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7.事件的运算律: 交换律: A B B A；A B B A. 结合律: A (B C) ( A B) C ;
A (B C) ( A B) C.
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S＝{1, 2, … , n}, 设事件A包 含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为
A中的基本事件数 k P ( A) S中的基本事件总数 n
1 对于每一个事件 B, 有 1 P(B | A) 0.
0
2 P(S | A) 1.
0
3 设B 1 , B 2 , 两两互不相容, 则 P( B i | A ) P(B i | A).
i 1 i 1
0
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
B A 类Biblioteka 地, 事件 S 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
k 1 K
(2) A B A B
S
(3)A B
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4.差事件:
事件A-B={x|xA且xB} 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:
A - B A AB
显然: A-A=, A- =A, A-S=
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( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
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§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
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性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件A, P( A) 1 P( A).
性质6. 对任意两事件 A, B有 P( A B) P( A) P(B) P( AB ).
推广
P( A B C) P ( A) P ( B ) P (C )
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§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 灯泡的寿命{t|t≥0}.