【火线100天】2015中考数学 第18讲 锐角三角函数
《火线100天》2015中考数学复习第18讲锐角三角函数
第18讲锐角三角函数1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶2;含45°角的三角板三边比为1∶12.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.命题点1 锐角三角函数的意义例1 (2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )A. 35B.45C.34D.43方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB的值是( )A. 45B.35C.34D.432.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是( )A. 45B.35C.34D.433.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 .命题点2 特殊角的三角函数值例2 (2014·舟山)+(12)-2-4cos45°.【解答】方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若,cosB=12,则∠C= .2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°( )命题点3 解直角三角形例 3 (2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则AB的长为 .【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=13，则BD的长为 .2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=3 2 ,求sinB+cosB的值.3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= 13，AD=1.求BC的长.命题点4 解直角三角形的应用例4 (2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.【解答】方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？ 1.414，精确到1米)2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B 处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.1.(2013·天津)tan60°的值等于( )D.22.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )A. 34B.43C.35D.453.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 m，则坡面AB的长度是( )4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是( )5.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为( )A.6B.7.5C.8D.12.56.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为( )A. 1213B.512C.1312D.1257.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 .8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=2；②cosB=12；③tanA=3；④，其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号) 9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示).10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为 5 m，则大树的高度为m(结果保留根号).11.(2014·内江)计算：2tan60°13)-1.12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值.13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)14.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i=1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度.(精确到0.1米，参考数1.414≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )B. 12C. 1317.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于( )A. 23B.34C.43D.3218.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= ;(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B= .图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA=513,求sinB.19.(2013·聊城)如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的点B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C 处.已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观测F 点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上.(参考数据：sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)？参考答案各个击破例1D题组训练 1.B 2.B 3.1 2例2原式×2题组训练 1.60° 2.B例3 3题组训练 1.62.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，在Rt△BCD中，BC10，∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC=45.∴sinB＋cosB＝75.3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=13，AD=1，∴AB=3，∴∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.∴例4 过B 点作BE ⊥DC 于E 点，DC 的延长线交地面于F.∵BA ⊥AF ，DF ⊥AF ，∴四边形ABEF 为矩形，BE=2.7.在Rt △BEC 中，∠CBE ＝30°，tan ∠CBE=CE BE , ∴CE=BE ·tan30°=9310；在Rt △BDE 中，∠DBE ＝45°，BE=2.7,∴DE=2.7，DC=2.7-≈1.2. 答：塑像CD 的高度约为1.2米.题组训练 1.∵CD ⊥AC ，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°,∴∠D=45°,∴CB=CD.在Rt △DCB 中：CD 2+BC 2=BD 2，∴2CD 2 =8002，566(米).答：直线l 上距离D 点566米的C 处开挖.2.过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h(海里),两船从A 、B 到C 的时间分别是t 甲、t 乙(小时). 则∠ACD=59°,∠CBD=90°-44°=46°.在Rt △ACD 中，cos59°=CD AC =h AC ≈0.52, 则AC=0.52h . 在Rt △BCD 中，sin46°=CD BC =h BC ≈0.72, 则BC=0.72h . ∴t 甲=20AC =0.5220h ⨯=10.4h , t 乙=18BC =0.7218h ⨯=12.96h .∵12.96>10.4,∴t 甲>t 乙，即乙船先到达C 处.3.过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 的长度即是A 到岸边BC 的最短距离.在Rt △ACD 中，∠ACD=45°.设AD=x,则CD=AD=x.在Rt △ABD 中，∠ABD=60°.由tan ∠ABD=AD BD 得tan60°=x BD,∴BD=60x tan ︒x . 又BC=4,即BD+CD=4,∴3x +x=4,解得即小岛上标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为)公里. 整合集训1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.12 8.②③④ 9.7tan α 10.)11.原式＝+3＝1.12.∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD=BD AD . ∵tan ∠BAD=34，AD=12，∴BD=9. ∴CD=BC-BD=14-9=5.∴∴sinC=AD AC =1213. 13.过点B 作BE ⊥CD 于E.在Rt △DEB 中，∠DEB=90°,BE=AC=22米,tan32°=DE BE, ∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64(米).又∵EC ＝AB ＝1.5米,∴CD=CE+ED=15. 14≈15.1(米).答：旗杆CD 的高度为15.1米.14.过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC 为x 海里.在Rt △APC 中，∵tan ∠A=PC AC ， ∴AC=67.5PC tan ︒=512x . 在Rt △PCB 中，∵tan ∠B=PC BC ， ∴BC=36.9x tan ︒=43x . ∵AC ＋BC=AB=21×5， ∴512x +43x =21×5，解得x=60. ∵sin ∠B=PC PB， ∴PB=PC sin B ∠=6036.9sin ︒=60×53=100(海里). ∴向阳号轮船所处位置B 与城市P 的距离为100海里.15.如图，分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，由题意知BE=CF=20，BC=EF=6，∠D=30°， 在Rt △ABE 中，i=BE AE =12.5，即20AE =12.5， ∴AE=50.在Rt △CDF 中，tan30°=CF DF ，即20DF ，∴≈34.6.∴AD=AE+EF+FD=50+6+34.6=90.6(米）.16.D 17.C18.1;1;1.(1)1.(2)∵sinA=a c，sinB=b c ，a 2+b 2=c 2. ∴sin 2A+sin 2B=(a c )2+(b c )2=222a b c +=1. (3)∵sinA=513，sin 2A+sin 2B=1,∴ =1213. 19.(1)能看到.依题意得∠AGC=53°，∠GFD=∠GCA=37°， ∴DG=DFtan 37°≈3米=DM.因此这只猫头鹰能看到这只老鼠.(2)∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），∴CG=AG ÷sin 37°≈5.7÷0.60=9.5(米). 因此猫头鹰至少要飞约9.5米.。
初三数学锐角三角函数知识精讲
初三数学锐角三角函数知识精讲锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这样便定义了直角三角形中锐角的三角函数，常用的有正弦函数sin A a c =余弦函数cos A bc =正切函数tan A ab =余切函数cot A ba=BCAcab2. 互余角的三角函数间的关系sin cos()cos sin()tan cot()cot tan()αααααααα=︒-=︒-=︒-=︒-909090903. 同余角三角函数间的关系 （1）倒数关系tan cot αα⋅=1（2）商的关系tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）平方关系sin cos 221αα+=4. 三角函数值角度三角函数0°30°45°60°90°sin α 0 12 22 32 1 cos α1 32 22 120 tan α 0 33 13 不存在 cot α不存在3133 0（2）锐角三角函数值的变化情况 <1>锐角三角函数值都是正数且当090︒<<︒α时，01101<<>>+>sin cos sin cos αααα，，，tan α>0，cot α>0。
<2>当角度在090︒︒~间变化时正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题。
例（1999某某）已知∆ABC 的两边长a c ==35，，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程x x m 240-+=的两个正整数根之一，求sinA 的值。
锐角三角函数知识点与典型例题讲义
《锐角三角函数》讲义知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=；∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围<sinA< cosA<tanA>例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图①＝______， ＝______；②＝______， ＝______； ③＝______， ＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．典型例题：类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ；(2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4. 已知A ∠是锐角，，求A cos ，A tan 的值对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为A．55B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ）.A ．35B .45C .34D . 43类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，及x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12B ．3C ．35D ．453.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin α=．4.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，，则这个菱形的面积=cm 2．5.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32 C ．34 D ．436. 如图6，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )D C B A Oy x第8题图Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35 Ｄ．457. 如图7，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若 ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22 8. 如图8，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练 1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是A.23 cm 2 .43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形例1 如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值（） A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.2．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 A.41 B. 31 C.21D.13．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（）A ． 5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而 例1．求下列各式的值．1）.计算：︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2． 2）计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2. 3）计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45° 锐角α 30° 45° 60° sin α cos αtan αCBA ABO4．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+． 5．计算：；例2．求适合下列条件的锐角α ．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3.已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.如图，△ABC 中，∠A=30°，，43AC =AB 的长.解直角三角形1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边及角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______； _____；______．④直角三角形中成比例的线段．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：，6=c ，求a 、b ；(4)已知：求a 、c ；DCBAACB(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角及俯角：例1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都及地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.类型四. 坡度及坡角例．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，及灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)综合题：三角函数及四边形：1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC= 6． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，，求CF 的长．A BCD ECB A三角函数及圆：1.已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 及⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结28锐角三角函数一、知识框架本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结，包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。
二、知识点、概念总结1.锐角三角函数的定义：在锐角三角形中，对于角A，其对边、邻边、斜边分别为a、b、c，则有：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a2.特殊值的三角函数：对于30°、45°、60°这几个特殊角度，其三角函数值为：3.互余角的三角函数间的关系：对于角度α和其互余角90°-α，有以下关系：sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα4.同角三角函数间的关系：平方关系：sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，cot²α+1=csc²α积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα，tanα=sinα·secα，cotα=cosα·cscα，secα=tanα·cscα，cscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=15.三角函数值：1）特殊角三角函数值2）0°～90°的任意角的三角函数值，可以查三角函数表。
3）锐角三角函数值的变化情况：i）锐角三角函数值都是正值ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1，1≥cosA≥0，tanA>0，cotA>0。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
《锐角三角函数》是九年级数学中的一个重要的章节，它在高中数学中也有重要的应用。
下面是对《锐角三角函数》的知识点进行总结归纳。
一、角度的度和弧度制1.角度的度制：一个圆周分为360等份，每一份称为一度，用符号°表示。
2.角度的弧度制：弧度制通过角对应的弧长与半径的比值来表示。
弧度制度数=角度的度数×π/180二、正弦、余弦、正切关系1. 正弦函数：对于任意锐角A，正弦函数表示为sinA=对边/斜边。
2. 余弦函数：对于任意锐角A，余弦函数表示为cosA=邻边/斜边。
3. 正切函数：对于任意锐角A，正切函数表示为tanA=对边/邻边。
三、特殊角的值1. 30°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=1/√32. 45°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=13. 60°特殊角的正弦、余弦、正切值：sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3四、三角函数的基本性质1. 同角三角函数值的关系：sinA/cosA=tanA，cosA/sinA=1/tanA，sin^2A+cos^2A=12. 三角函数的周期性：sin(A+2π)=sinA，cos(A+2π)=cosA，tan(A+π)=tanA。
3. 正负关系：在第一象限，sinA>0，cosA>0，tanA>0，在第二象限，sinA>0，cosA<0，tanA<0，在第三象限，sinA<0，cosA<0，tanA>0，在第四象限，sinA<0，cosA>0，tanA<0。
五、三角函数的应用1.解三角形：根据已知两边和夹角，用余弦定理和正弦定理求解。
2015年中考数学试题汇编----锐角三角函数解读
基础篇(2013•郴州计算:|﹣|+(2013﹣0﹣(﹣1﹣2sin60°.(2013,成都计算1260sin 2|3|2(2-+-+- 4(2013•达州计算:(21212tan 603-⎛⎫+-︒+ ⎪⎝⎭(2013•德州2cos30°的值是. (2013•广安计算:(﹣1+|1﹣|﹣﹣2sin60°.(2013•乐山如图3,在平面直角坐标系中,点P (3,m 是第一象限内的点,且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为4 3 ,则sin α的值为A .45 B. 54 C. 35 D. 53(2013•乐山如图6,已知第一象限内的点A 在反比例函数 y = 2 x的图象上,第二象限内的点B 在反比例函数 y = k x的图象上,且OA ⊥0B ,cotA= 33,则k 的值为A .-3 B.-6 C.- 3 D.-2 3(2013•泸州如图,点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点,把ADE ∆沿AE 对折,点D 的对称点F 恰好落在BC 一,已知折痕105AE =cm ,且3tan 4EFC ∠=,那么该矩形的周长为 A.72cm B. 36cm C. 20cm D. 16cm(2013•内江在△ABC 中,已知∠C=90°,sinA+sinB=,则sinA ﹣sinB= ±.F第11题图AD EBC(2013•自贡如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O 的圆心在格点上,则∠AED 的余弦值是.(2013•鄂州如图,Rt △ABC 中,∠A=90°,AD ⊥BC 于点D ,若BD :CD=3:2,则tanB=(A .B .C .D .(2013•武汉计算︒45cos = .(2013•龙岩如图①,在矩形纸片ABCD 中,313AB AD ,=+=.(1如图②,将矩形纸片向上方翻折,使点D 恰好落在AB 边上的D ¢处,压平折痕交CD 于点E ,则折痕AE 的长为_______________;(2如图③,再将四边形BCED ¢沿D E ¢向左翻折,压平后得四边形B C ED ⅱ ,B C ⅱ交AE 于点F ,则四边形B FED ⅱ的面积为_______________;(3如图④,将图②中的AED ¢D 绕点E 顺时针旋转a 角,得A ED ⅱ D ,使得EA ¢恰好经过顶点B ,求弧D D '''的长.(结果保留π(2013•长春如图,90ABD BDC ∠=∠=°,A CBD ∠=∠,AB=3,BD=2,则CD 的长为 B (A34. (B 43. (C 2. (D 3.(2013•宿迁如图,将AOB ∠放置在55⨯的正方形网格中,则tan AOB ∠的值是图①图②图③图④(第22题图A .23B .32C .21313D .31313(2013•淮安sin30°的值为.(2013•南通如图,正方形ABCD 的边长为4,点M 在边DC 上,M 、N 两点关于对角线AC 对称,若DM =1,则tan ∠ADN = ▲ .(2013•钦州计算:|﹣5|+(﹣12013+2sin30°﹣.(2013•包头3tan30°的值等于( A .B . 3C .D .(2013•包头如图,在三角形纸片ABC 中,∠C=90°,AC=6,折叠该纸片,使点C 落在AB 边上的D 点处,折痕BE 与AC 交于点E ,若AD=BD ,则折痕BE 的长为 4 .(2013•天津tan60°的值等于( 来#%源@~中教^网A . 1B .C .D . 2(2013• 济南2cos30°的值是 .第4题图AOBA (第17题B DM N C··(2013杭州在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=2BC ,现给出下列结论:①sinA=;②cosB=;③tanA=;④tanB=,其中正确的结论是 (只需填上正确结论的序号(2013•湖州如图,已知在Rt △ACB 中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cosB 的值为 .(2013兰州△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A .∠B 、∠C 的对边,如果a 2+b 2=c 2,那么下列结论正确的是(A .csinA=aB .bcosB=cC .atanA=bD .ctanB=b (2013•昆明计算:(2-10+(-12013+(31-1-2sin30゜(2013•邵阳在△ABC 中,若|sinA ﹣|+(cosB ﹣2=0,则∠C 的度数是( A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°2014中考试题权威汇编三角函数应用基础篇 1、(2013•十堰如图,在小山的东侧A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C 处,此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°,则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为米.2、(2013兰州如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB 是1.7m ,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上,测得旗杆顶端M 仰角为45°;小红眼睛与地面的距离(CD 是1.5m ,用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B 、N 、D 在同一条直线上.求出旗杆MN 的高度.(参考数据:,,结果保留整数.3、(2013•钦州如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比(1求点B距水平面AE的高度BH;(2求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据: 1.414, 1.7324.(2013济宁钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土(如图1,A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图2,点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A、B两点的距离约为5.5km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留小数点后两位?(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan47°≈1.07,tan36°≈0.73,tan11°≈0.195、盐城市2013如图是某地下商业街的入口,数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF.经测量,支架的立柱BC与地面垂直,即∠BCA=90°,且BC=1.5cm,点F、A、C在同一条水平线上,斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°,支撑杆DE⊥AB于点D,该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°,又测得AD=1m.请你求出该支架的边BE及顶端E 到地面的距离EF的长度.6、(2013•益阳如图,益阳市梓山湖中有一孤立小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD,小张在小道上测得如下数据:AB=80.0米,∠PAB=38.5°,∠PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A,B为参照点,结果精确到0.1米(参考数据:sin38.5°=0.62,cos38.5°=0.78,tan38.5°=0.80,sin26.5°=0.45,cos26.5°=0.89,tan26.5°=0.507.(2013聊城如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点M在DE上距D点3米.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75(1猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?(2要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米?8、(2013•内江如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1:(即AB:BC=1:,且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(侧倾器的高度忽略不计.9、(2013泰安如图,某海监船向正西方向航行,在A处望见一艘正在作业渔船D 在南偏西45°方向,海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向,又航行了半小时到达C处,望见渔船D在南偏东60°方向,若海监船的速度为50海里/小时,则A,B之间的距离为(取,结果精确到0.1海里.10、(2013•泰州如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.7511、(2013•漳州钓鱼岛是我国固有领土,为测量钓鱼岛东西两端A,B的距离,如图2,我勘测飞机在距海平面垂直高度为1公里的点C处,测得端点A的俯角为45°,然后沿着平行于AB的方向飞行3.2公里到点D,并测得端点B的俯角为37°,求钓鱼岛两端AB的距离.(结果精确到0.1公里,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.4112(2013•舟山某学校的校门是伸缩门(如图1,伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60°(如图2;校门打开时,每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图3.问:校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin5°≈0.0872,cos5°≈0.9962, sin10°≈0.1736,cos10°≈0.9848.13、(2013•广安如图,广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米,高8米,背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横截面为梯形ABCD急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽2米,加固后,背水坡EF的坡比i=1:2.(1求加固后坝底增加的宽度AF的长;(2求完成这项工程需要土石多少立方米?14、(2013•自贡在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图,在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距km的C处.(1求该轮船航行的速度(保留精确结果;(2如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.15、(2013•遂宁钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土,为维护国家主权和海洋权利,我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B,B船在A船的正东方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向, B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C,求此时船C与船B的距离是多少.(结果保留根号16、(2013•烟台如图,一艘海上巡逻船在A地巡航,这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地,有一艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于北偏西30°方向上,A地位于B地北1偏西75°方向上, A、B两地之间的距离为12海里.求A、C两地之间的距离(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45,结果精确到0.117、(2013•恩施州“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110,到达B处,测得“香顶”N的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 1 米，参考数据：）．，18、如图，小山顶上有一信号塔 AB，山坡 BC 的倾角为 30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚 C 处为一测量点，测得塔顶仰角为 45 °，然后顺山坡向上行走 100 米到达 E 处，再测得塔顶仰角为 60°，求塔高 AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）。
初三锐角三角函数学习指导手册
初三锐角三角函数学习指导手册1. 什么是锐角三角函数锐角三角函数是指在一个锐角三角形内，利用三角比值来定义的三个函数，分别为正弦函数、余弦函数和正切函数。
锐角三角函数是数学中的重要概念，对于初三学生来说，研究锐角三角函数是必不可少的。
2. 正弦函数的定义和性质正弦函数是一个周期为360度（或2π弧度）的周期函数，它的值域为[-1, 1]。
正弦函数的定义可以用以下公式表示：$$\sin(\theta) = \dfrac{{\text{对边}}}{{\text{斜边}}}$$正弦函数的性质有：- 正弦函数在0度至90度之间单调递增。
- 正弦函数在90度至180度之间单调递减。
- 正弦函数在180度至270度之间单调递增。
- 正弦函数在270度至360度之间单调递减。
- 正弦函数的周期为360度（或2π弧度）。
3. 余弦函数的定义和性质余弦函数也是一个周期为360度（或2π弧度）的周期函数，它的值域为[-1, 1]。
余弦函数的定义可以用以下公式表示：$$\cos(\theta) = \dfrac{{\text{邻边}}}{{\text{斜边}}}$$余弦函数的性质有：- 余弦函数在0度至90度之间单调递减。
- 余弦函数在90度至180度之间单调递减。
- 余弦函数在180度至270度之间单调递增。
- 余弦函数在270度至360度之间单调递增。
- 余弦函数的周期为360度（或2π弧度）。
4. 正切函数的定义和性质正切函数是一个周期为180度（或π弧度）的周期函数，它的定义可以用以下公式表示：$$\tan(\theta) = \dfrac{{\text{对边}}}{{\text{邻边}}}$$正切函数的性质有：- 正切函数在0度至90度之间单调递增。
- 正切函数在90度至180度之间单调递减。
- 正切函数的周期为180度（或π弧度）。
5. 如何研究锐角三角函数为了更好地研究锐角三角函数，你可以采取以下研究策略：- 理解锐角三角函数的定义和性质，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系。
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容，也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法，可以帮助我们解决与角度有关的各种问题，如计算角度的大小、求角的三角函数值等。
下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。
1.弧度制和角度制在介绍锐角三角函数之前，我们首先要了解弧度制和角度制。
在角度制中，一个圆的周长被定义为360度，而在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
所以可以得到以下关系：360度=2π弧度180度=π弧度90度=π/2弧度2.定义对于任意一个锐角A，我们可以在一个单位圆上面取点P，使得∠POA 的顶点为O，点O为圆心，点P在单位圆上。
这样，我们可以定义以下几个锐角三角函数：正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。
3.性质(1) 正弦函数sinA：在单位圆上，点P的纵坐标就是正弦值sinA。
(2) 余弦函数cosA：在单位圆上，点P的横坐标就是余弦值cosA。
(3) 正切函数tanA：tanA的值等于sinA/cosA。
(4) 余切函数cotA：cotA的值等于cosA/sinA。
(5) 错位现象：sinA等于cos(90度-A)，cosA等于sin(90度-A)。
4.基本关系式(1) sin²A + cos²A = 1，即sin²A = 1 - cos²A，cos²A = 1 -sin²A。
(2) tanA = sinA/cosA，cotA = 1/tanA = cosA/sinA。
(3) sin(180度 - A) = sinA，cos(180度 - A) = -cosA。
(4) cos(360度 - A) = cosA，sin(360度 - A) = -sinA。
5.锐角三角函数的值(1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的，需要进行熟记。
最新2015广东中考高分突破第18节锐角三角函数
考点2 三角函数与图形相结合（★★） 母题集训 1. （2011茂名）如图，已知：45°＜A＜ 90°，则下列各式成立的是（ ） A． sinA=cosA B． sinA＞cosA C． sinA＞tanA D． sinA＜cosA
解析：∵45°＜A＜90°， ∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA随 角度的增大而减小， 当∠A＞45°时，sinA＞cosA. 答案：B．
3. （ 2014•温州）如图，在△ ABC 中，∠ C=90°， AC=2， BC=1， 则 tanA 的值是 ．
解析： 答案： ．
4. （ 2014•兰州）如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90°， BC=3， AC=4，那么 cosA 的值 等于（ ） A． B． C． D．
解析： ∵在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90°， AC=4， BC=3，
解析：根据圆锥的底面半径为 5cm，则底 面周长是 10π． 根据扇形的面积公式 S= L•R， 则 65π= •10π•R，∴R=13，因而 sinθ = ． 答案：B．
中考预测 3.在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则 sinB= ．
解析：∵在△ABC 中，∠C=90°，BC=3， AC=4， ∴AB= = =5， ∴sinB= = ， 答案： ．
第18节 锐角三角函数
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考纲要求 1. 通过实例认识锐角三角函数( sinA，cosA，tanA)， 知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由 已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它 对应的锐角． 年份 题型 分值 近五年广州市考 高 频 考 点 分 试内容 析 未考 在近五年广 州市中考， 本节考查的 重点是三角 函数与图形 相结合，命 2014 选 择 3 三角函数与图形 题 难 度 不 大 ， 题 相结合 题型以选择 题为主.
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。
2.锐角：指角度小于90°的角。
3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。
初三数学中考专项练习 锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．Cab要点二、特殊角的三角函数值要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．Cab类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模） +tan60°﹣．【答案与解析】 解：（1）原式==12(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+3；(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若∠A=45°，则∠B = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】∠B =45°，sinA =2， cosA =2，sinB =2， cosB =2． 类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状．（2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值． 【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ，∴ 4AC a ==，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，BD ==，∴ sadA 5BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
初中锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数及其应用榆林第六中学 高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 为△ABC 中的一锐角，则有 ∠A的正弦：斜边的对边A A ∠=sin c a= ?∠A 的余弦：斜边的邻边A A ∠=cos cb = ∠A的正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法,（2）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、2、3；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、对边.AC?30°角的正弦值。
（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表：)考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，方向角？指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．lhi==αtan二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016•陕西）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）-A．B．C．D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【解析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．"在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016•陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈．（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．-【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°52′≈×≈故答案为：8，例3、（2015•陕西）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为米，铅直高度BC 为米，则∠A的度数约为°（用科学计算器计算，结果精确到°）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．》【解答】解：∵tan∠A==≈，∴∠A=°，故答案为：°．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．例4、(2014•陕西)用科学计算器计算：+3tan56°≈（结果精确到）【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．【解答】解：≈，tan56°≈，…则+3tan56°≈+3×≈故答案是：．【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到．例5、(2014•陕西)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．:【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，、DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015•陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC 的值最小若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．|【考点】四边形综合题．.【专题】综合题．【解析】（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC 的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，可得出△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ 交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O 与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，（∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S △BMC=BC•AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，;∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，|作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，^∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．。
2015中考数学专题复习课件锐角三角函数
(参考数据： sin36.9
3 , tan36.9 5
3, 4
sin67.5 12 , 13
tan67.5
)1.2 5
第41页，共46页。
【解析】过点P作AB的垂线交AB于
C点，由题意知AB=105海里，
∠ACP=∠BCP=90°，设AC=x cm，
则BC=(105-x)cm，
第30页，共46页。
8.(2010·湖州中考)河堤横断面如图所
示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是
(坡比是坡面的铅直高度BC与水平
1∶ 3 宽度AC之比)，则AC的长是( )
(A) 米 (B)10米 (C)15米 (D)
【解析5 】3选A.∵
,∴
米.
米
10 3
BC∶AC 1∶ 3 AC 3BC 5 3
(1)说明本次台风会影响B市； (2)求这次台风影响B市的时间.
第36页，共46页。
【思路点拨】
第37页，共46页。
【自主解答】(1)作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,由条件知,
PB=320,∠BPQ=30°,得BH=320×sin30°=160<200,∴本次台
风会影响B市.
(2)如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风
第20页，共46页。
【例1】(2013·乐山中考)如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )
(A)1
(B)2
【思路点拨】
(C)
1 2
(D)
5 2
第21页，共46页。
【自主解答】选B.根据网格的特点：设每一小正方形的边长
பைடு நூலகம்
为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的
中考数学专题复习讲座 锐角三角函数专题
锐角三角函数杨老师专题讲座锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦4直角三角形中 的边角关系6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin A B ．tan A＝12C ．cos BD ．tan B 分析 sin A ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cos B ＝BC AB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于；分析 在Rt △ABC中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中，BC 3，∴sin A ＝35BC AB =．故填35． 例3（12·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是；【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=54. 例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ；【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC ．例5 ( 2012宁波)，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 ；【解析】cosB=BC AB =23，又∵AB=6∴BC=4例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；图4图4（2）如图，已知tanA=43，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。
中考数学数学锐角三角函数课件
一、锐角三角函数的定义
在Rt ABC中，C=90，
A的对边
A
sinA= 斜边
A的邻边
C
B
cosA= 斜边 A的对边
tanA= A的邻边
例题1填空题
（1）在Rt△ABC中∠C=90 °, AC=40 ，BC=9，则∠ B的正弦值是__, 余弦 值是___，∠ A的正切值是___
（2）如果两条直角边分别都扩大2倍
，那么锐角的各三角函数值都（ ）
（A）扩大2倍；（B）缩小2倍；（C ）不变；（D）不能确定
（3）在Rt△ABC中∠C=90 °，下列 式子中不一定成立的是（）
（A）cosA=cosB; (B)cosA=sinB
(C)sinA=cosB; (D)sin(A+B)=sinC
(4) Rt△ABC中∠C=90 °则下列关系式 正确的是（ ）
（A）sin30 °+cos30 °=1 ( C )cos46 °>sin43 ° (B)sin30 °+sin60 °=1 (D)tan40 °<tan50 °
五、解直角三角形 A
C
B
例2 填空题
（1）在Rt⊿ABC中,∠C=90°
a=2,c=4，则b= 。
, ∠B= ，∠A=
（2）在⊿ABC中，∠C=90°，
（Ａ）c=a.sinA
(B)c=a/sinA
(C )c=a.cosA
(D)c=a/cosA
二、互余两角的三角函数关系
sin(90°A)=cosA; cos(90 ° A)=sinA;
1 tan(90-A)= tanA
利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小． sin10、 cos30、 sin 50 、 cos 70
2015秋华师大版数学九上24.3.1《锐角三角函数》word教案2
第二课时 锐角三角函数(二) 教学目标 使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°、45°、60°等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
教学过程 一、引入新课 如图，这是一块三角形草皮，∠A ＝60°，AB ＝2米，AC ＝ 1.8米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢?让同学们思考并加以引导，过C点作AB 的垂线CD ，垂足为D ，我们知道，CD AC＝sinA ，CD ＝ACsin60°，AC 是已知的，假如sin60°能够知道，那么CD 就可求，那么这个问题就得到解决。
本节课我们一同来探讨30°、45°、60°的三角函数值。
二、新课1．通过测量，计算sin30°的值，进而求出30°的其他三角函数值请每位同学画一个含有30°的角的直角三角形，而后用刻度尺量出它的对边和斜边，计算sin30°的值，并与同伴交流，看看这个值是多少。
通过测量计算，我们可以得到sin30°＝对边斜边＝12,即斜边等于对边的两倍。
因此，我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
从图中看，即c ＝2a ，由勾股定理得到b ＝c 2－a 2＝(2a)2－a 2＝3a 所以cos30°＝b c＝3a 2a ＝32 ,tan30°＝a b ＝33 ,cot30°＝b a＝ 3 2．由上面测量得到的sin30°值，推出60°角的四个三角函数值。
如右图，若∠A ＝30°，则∠B ＝60°，c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝(2a)2－a 2＝3a,则sin60°＝b c ＝3a 2a ＝32 ,cos60°＝a c ＝a 2a ＝12,tan60°＝b a ＝3,cot60°＝a b ＝333．用同样的方法，求出45°角的三角函数值。
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第18讲 锐角三角函数考点2 特殊角三角函数值1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为12;含45°角的三角板三边比为1∶12.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.命题点1 锐角三角函数的意义例1 (2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=( )A. 35B.45C.34D.43方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB的值是( )A. 45B.35C.34D.432.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是( )A. 45B.35C.34D.433.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 .命题点2 特殊角的三角函数值例2 (2014·舟山)12)-2-4cos45°.【解答】方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若,cosB=12,则∠C= .2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°( )命题点3 解直角三角形例3 (2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB的长为 .【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=13，则BD的长为 .2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=32,求sinB+cosB的值.3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= 13，AD=1.求BC的长.命题点4 解直角三角形的应用例4 (2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1 1.7)【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.【解答】方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？ 1.414，精确到1米)2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离.1.(2013·天津)tan60°的值等于( )2.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )A. 34B.43C.35D.453.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 m，则坡面AB的长度是( )4.(2014·湖州)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC 的长是( )5.(2014·滨州)在Rt △ACB 中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC 的长为( ) A.6 B.7.5 C.8 D.12.56.(2014·巴中)在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=513，则tanB 的值为( ) A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 1257.(2014·温州)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA 的值是 .8.(2013·杭州)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2BC ，现给出下列结论：①cosB=12；③④，其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号)9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC=7米，则树高BC 为 米(用含α的代数式表示).10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5 m ，则大树的高度为 m(结果保留根号).11.(2014·内江)计算：2tan60°13)-1.12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值.13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)14.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i=1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度.(精确到0.1 1.414 1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )A.10 B. 12 C. 13 D. 1017.(2013·济南)已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tanα的值等于( )A. 23B.34C.43D.3218.(2014·遂宁)如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= ;(1)观察上述等式.猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°.都有：sin2A+sin2B= .图4(2)如图4,在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c.利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.(3)已知：∠A+∠B=90°,且sinA=513,求sinB.19.(2013·聊城)如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的点B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住.为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处.已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A 的距离AD=2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M距D点3米，且点M在DE上.(参考数据：sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)？参考答案各个击破例1D题组训练 1.B 2.B 3.1 2例2原式×2题组训练 1.60° 2.B例3 3题组训练 1.62.在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB-AD＝8，在Rt△BCD中，BC10，∴sinB＝CDBC＝35，cosB＝BDBC=45.∴sinB＋cosB＝75.3.∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC.在Rt△ABD中，∵sinB=ADAB=13，AD=1，∴AB=3，∴∵在Rt△ADC中，∠C=45°，∴CD=AD=1.∴例4 过B点作BE⊥DC于E点，DC的延长线交地面于F.∵BA⊥AF，DF⊥AF，∴四边形ABEF为矩形，BE=2.7.在Rt△BEC中，∠CBE＝30°，tan∠CBE=CE BE,∴CE=BE·tan30°=9310；在Rt△BDE中，∠DBE＝45°，BE=2.7,∴DE=2.7，DC=2.7-≈1.2.答：塑像CD的高度约为1.2米.题组训练 1.∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°.∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°,∴∠D=45°, ∴CB=CD.在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，∴2CD 2 =8002，566(米).答：直线l 上距离D 点566米的C 处开挖.2.过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h(海里),两船从A 、B 到C 的时间分别是t 甲、t 乙(小时). 则∠ACD=59°,∠CBD=90°-44°=46°.在Rt △ACD 中，cos59°=CDAC =hAC ≈0.52,则AC=0.52h.在Rt △BCD 中，sin46°=CDBC =hBC ≈0.72,则BC=0.72h.∴t 甲=20AC =0.5220h ⨯=10.4h,t 乙=18BC =0.7218h ⨯=12.96h.∵12.96>10.4,∴t 甲>t 乙，即乙船先到达C 处.3.过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 的长度即是A 到岸边BC 的最短距离.在Rt △ACD 中，∠ACD=45°.设AD=x,则CD=AD=x.在Rt △ABD 中，∠ABD=60°.由tan ∠ABD=AD BD 得tan60°=xBD ,∴BD=60x tan ︒=3x .又BC=4,即BD+CD=4,x +x=4,解得即小岛上标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为公里. 整合集训1.C2.C3.B4.A5.A6.D7.128.②③④9.7tan α 10.11.原式＝＝1.12.∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD=BDAD .∵tan ∠BAD=34，AD=12，∴BD=9.∴CD=BC-BD=14-9=5.∴=13.∴sinC=ADAC =1213.13.过点B 作BE ⊥CD 于E.在Rt △DEB 中，∠DEB=90°,BE=AC=22米,tan32°=DEBE ,∴DE=BEtan32°≈22×0.62=13.64(米).又∵EC ＝AB ＝1.5米,∴CD=CE+ED=15.14≈15.1(米).答：旗杆CD 的高度为15.1米.14.过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC 为x 海里.在Rt △APC 中，∵tan ∠A=PCAC ，∴AC=67.5PCtan ︒=512x.在Rt △PCB 中，∵tan ∠B=PCBC ，∴BC=36.9x tan ︒=43x.∵AC ＋BC=AB=21×5， ∴512x +43x=21×5，解得x=60.∵sin ∠B=PCPB ，∴PB=PCsin B ∠=6036.9sin ︒=60×53=100(海里).∴向阳号轮船所处位置B 与城市P 的距离为100海里.15.如图，分别过点B 、C 作BE ⊥AD 、CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，由题意知BE=CF=20，BC=EF=6，∠D=30°，在Rt △ABE 中，i=BE AE =12.5，即20AE =12.5，∴AE=50.在Rt △CDF 中，tan30°=CFDF ，即20DF =3，∴34.6.∴AD=AE+EF+FD=50+6+34.6=90.6(米）.16.D 17.C18.1;1;1.(1)1.(2)∵sinA=ac ，sinB=bc ，a 2+b 2=c 2.∴sin 2A+sin 2B=(a c )2+(b c )2=222a b c +=1.(3)∵sinA=513，sin 2A+sin 2B=1,∴=1213.19.(1)能看到.依题意得∠AGC=53°，∠GFD=∠GCA=37°，∴DG=DFtan 37°≈3米=DM.因此这只猫头鹰能看到这只老鼠.(2)∵AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米），∴CG=AG ÷sin 37°≈5.7÷0.60=9.5(米).因此猫头鹰至少要飞约9.5米.。