探究性问题

合集下载

中学探究式教学存在的问题及原因分析

中学探究式教学存在的问题及原因分析1.学生研究兴趣不足探究式教学强调学生的主动性和独立性，要求学生在学习中主动提出问题、积极探究和解决问题。

在现实中，不少学生的研究兴趣并不高，他们往往缺乏自主学习的动力，对于学习中的问题缺乏主动性和积极性。

2.学生学习能力不足探究式教学要求学生具有较强的学习能力，包括问题提出能力、思维能力、表达能力和沟通能力等。

许多学生的学习能力并不够强，面对学习中的问题往往无从下手，缺乏自主解决问题的能力，导致学习效果不佳。

3.教师教学准备不足探究式教学要求教师具备较强的教学准备能力，需要在教学前做好足够的教学准备工作，包括教学内容的准备、教学方法的选择和教学资源的整合等。

现实中很多教师在探究式教学中教学准备不足，往往面临材料不充足、教学方案不够完善等问题，导致教学效果不佳。

4.教学评价方式不合理探究式教学注重学生的实践能力和创新能力的培养，需要采用灵活多样的评价方式来评价学生的学习效果。

在现实中，很多学校的探究式教学评价方式比较单一，主要以传统的考试成绩和作业评价为主，忽视了学生的实践能力和创新能力的评价，导致学生的学习动力不足。

1.教师教学理念转变不够彻底传统的教学模式注重教师的教学，学生主要是被动学习接受教师的知识。

而探究式教学强调学生的主动性和独立性，要求教师应该成为学生学习的引导者、观察者和辅助者。

在现实中，部分教师的教学理念转变不够彻底，往往仍然沿用传统的教学方法和模式，导致探究式教学的效果不佳。

2.学校教育管理制度不完善学校教育管理制度对于教学模式的推广和实践起着重要的作用。

现实中很多学校的教育管理制度不够完善，教学资源配置不均衡，教师教学评价方式单一，不利于探究式教学模式的推广和应用，导致探究式教学存在问题。

3.学校教学环境不够理想学校教学环境对于学生的学习效果有着重要的影响。

在现实中，很多学校的教学环境不够理想，包括教学设备不完善、教学资源紧缺等问题，导致探究式教学难以有效开展。

探究性问题两个类型

探究性问题两个类型探究性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类问题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。

它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历一个发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，高考中主要考查考生对条件和结论的探索、猜想、归纳，以及对存在性问题的探索、判断。

例13、2015年四川高考（理科20）如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是√22，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2√2．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅰ在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得∣QA∣∣QB∣=∣PA∣∣PB∣恒成立? 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解法分析】第Ⅱ小题其实是一个定点问题，是属于对条件的探索。

可以先利用两个特殊位置，即直线与x轴平行和垂直的两个位置，利用所需要满足的恒等式为条件，来确定该定点的坐标。

然后，再将恒等式中的距离比转化为相应点的坐标的绝对值的比，从而达到证明该定点能使所满足的等式恒成立。

类型1——图形形状探究例14、2015全国Ⅱ卷（理科20）已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．Ⅰ证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；Ⅰ若l过点m,m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?若3能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【解法分析】第Ⅱ小题是判断是否存在满足条件的平行四边形，可用平行四边形判定定理即对角线互相平分的四边形为平行四边形为条件，转化为对角线的中点重合，即坐标相等。

然后，通过方程思想进行求解。

浅谈探究性提问的特点和技巧

浅谈探究性提问的特点和技巧探究性提问是一种启发式的提问形式，它具有引导学生对话、调查研究、思考和探索的特点，强调学生自己思考，培养独立思考的能力。

探究性提问具有以下几个特点：首先，探究性提问强调的是把握学习本质的能力，而不是知识的掌握。

它旨在深入分析和反思，鼓励学生有创造性地思考、提供多种解决方案、发现新见解以及探讨事物本质等。

其次，探究性提问可以从多个方面激发孩子的思考，使他们有机会去探索知识本身。

它可以通过讨论、尝试、研究思考等多种方式展开，让孩子们更深入地思考知识本质。

再次，探究性询问可以拓宽学生的视野，增强其思想的敏感性，促进广泛的认知发展。

它能够培养学生的逻辑思维能力和运用技术进行知识深度探究的能力，还能让他们学会阐述观点、辩证思维推理。

使用探究性提问有以下几个技巧：首先，在进行探究性提问时要尊重学生的思考，尽量把学生的探究视为一种有效的学习方式，并尊重学生的问题，以激发学习兴趣。

其次，在构建探究性提问时要简洁明了，需要引导学生思考的概念要突出显示，不要插入其他的概念和思维观念。

再次，在制定探究性提问时还要注意有效性，一定要考虑到学生的学习能力和实际情况，强调推论和解决问题的能力，而不是单纯把知识以问答的形式来传授。

总之，探究性提问是一种有效的挑战孩子们，鼓励他们去思考探究本质的提问形式，它可以改变传统知识教学中把确定知识作为核心的模式，使学生拥有学习的乐趣和探究的能力。

探究性提问是一种启发式的提问形式，它具有引导学生对话、调查研究、思考和探索的特点，强调学生自己思考，培养独立思考的能力。

探究性提问具有以下几个特点：首先，探究性提问强调的是把握学习本质的能力，而不是知识的掌握。

它旨在深入分析和反思，鼓励学生有创造性地思考、提供多种解决方案、发现新见解以及探讨事物本质等。

其次，探究性提问可以从多个方面激发孩子的思考，使他们有机会去探索知识本身。

它可以通过讨论、尝试、研究思考等多种方式展开，让孩子们更深入地思考知识本质。

探究性问题

探究性问题
昌平教师进修学校陈樱
一、探究性问题的特征
1. 开放性；
2. 操作性；
3. 探索性；
4. 综合性。
二、探究性问题的类型
1. 2. 3. 4.
存在探究性问题；规律探究性问题；条件探究性问题；结论探究性问题。
二、破译探究性问题的途径
(一) 破译的一般思路审明题意---制定计划---完成解答---回顾反思【审明题意】即认真阅读题目，在问题设置的情境中，充分收集、整理、处理信息，明确问题的条件和结论，寻找已知和未知的联系，从整体上把握题意．【制定计划】即根据上述分析，联想相关的数学知识、数学思想方法和相关的经验，确定解决问题的策略，制定解题的步骤和方法．在执行过程中如果。遇到困难，可以再一次审明题意，继续挖掘相关信息及联系，修改策略、计划，使之可以执行．
3．掌握基本的探究方法

前文已经提到，解答探究性问题往往需要在我们收集信息的基础上，通过观察、分析、综合、归纳、类比、抽象、概括、猜想和证明等操作过程，这些基本方法是解题的基础，需要我们掌握．而这些方法往往又具有新颖性，需要我们打破框框，不断接受新的内容．
4．具备扎实的“双基”

探究性问题虽然对创新意识和情感、对思维品质和能力提出了较高的要求，但是解答的基础还是扎实的基础知识和基本技能“万丈高楼平地起”，离开了“双基”，创新探究就成了空中楼阁，失去了根基．因此，我们还要特别注重打好基础

2.培养创新思维品质

在上一节中，我们已经阐述了解答探究性问题的基本思路，即审明题意、制定计划、完成解答、回顾反思等．但是要使上面各个环节顺利实施，还需要培养创新性思维的品质．我们知道，解答这类问题只运用逻辑思维难以完成，它往往需要把逻辑思维、形象思维和直觉思维综合起来发挥作用，产生创新性思维．而对创新性思维的要求又体现在思维品质上，思维的深刻性反映着对数学本质的理解；思维的发散性，体现着思维的流畅、变通和独特；灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化，及时改变思维过程；独特性是指求新颖、求独特、求发展，标新立异的思维品质；批判性是指在思维活动中，严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的品质；敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速性。这些思维品质综合体现了创新性思维能力，它们也是我们顺利解答探究性问题的条件．

初中数学专题复习数学探究性题目七例(含答案)

数学探究性题目七例1．时钟上的数学我们每个同学家里都有大大小小的钟，绝大部分钟都有时针、分针、秒针，时时刻刻都可以听到它们不停的“滴答、滴答”走动的声音，当然他们的走动有快有慢，秒针最快，时针最慢，不知你有没有注意到它们之间的一些数学关系？为了使问题简单起见，我们假设所讨论的时钟只有时针和分针。

问题：在一天之内时针和分针重合多少次？每次发生在什么时候？什么时候两针互相垂直？什么时候两针在一条直线上？如果时针和分针交换它还能表示某一时刻的时间么？希望大家在解决以上问题之后讨论一下是否还有其他有趣的问题。

2．揭穿转摊的骗术在车站，码头附近有时会看到一些碰运气、赌输赢的地摊，这些地摊大多引诱来往过路旅客，用骗术骗取他们的钱财。

转摊就是其中之一。

摊主在一个固定的圆盘上划出若干扇形区域，并顺次标上号码1，2，3，4，5，6，。

，在每一奇数扇区上放上值钱的物品，如名酒，中华香烟等，而在每一个偶数区域上放着廉价的物品，如糖块，小食品等。

圆盘中心安装一根可以转动的轴，轴的顶端有一根悬臂，臂端吊一根线，线头上系一根针。

你如果付给摊主一元钱，就可以随便转动一次，当悬臂停止转动时，针就停在某一区域，按照摊主制订的规则，这一格上的数是几，就从下一格起，按顺时针方向数出几，最后数到哪一格，那一格中的物品就归你，例如：当针指向“6”时，就要从“7”数起，顺时针方向数出“6”，最后应该数到“12”这一格。

参加这种赌博的人认为，圆盘中奇数、偶数格占一半，输赢得机会各占一半，于是就去碰碰运气，然而，不管转多少次，最后总是数到偶数区域中，你只能用自己的很多钱换来几粒糖果等廉价物品。

为什么大家的“运气”都这样不好，你能用数学知识解开这个迷吗？类似的还有1．音乐教室里有7排座位，每排7把椅子，每把椅子上坐一名学生，教师每月都要将座位调换一次，张明同学提出建议：每次交换时，每一名同学都必须与她相邻（前、后、左、右）的某一个同学交换位置，以示公平。

探究性问题

3
yN
C
xB
∴ （3 – x）2 = （3 – 2x）2 +（4 x）2
3
∴x= 54 43
P
O
Mx
Q 3-
xA
x
3 若PA = AM
AM = 3 - x
4
AQ = x PQ = x
3
∴PA = 5 x 3
∴3-x = 5 x
3
yN
C
B
P
O xM Q A
x
∴x = 8 9
∴有三种情况：x =1 或
A
m
C
P
O
B
条件探索性问题的解题思路:
1、由果索因，即先把结论当做已成立的条件，由此“倒推”寻求符合题目要求的结果
2、把分析得到的条件用于解题中，看能否推出结论
结论探索性问题
直线AC//BD,连接AB,直线AC，BD及线段AB把平面分成① ②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
③A
C
②
P①
B④ D
③
A
C
② ①
B④ D
A③ C
②
①
B④ D
已知正比例函数y=ax的图像与反比例函数 y k
的图像交于点A（3,2）
x
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式
（2）根据图像回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m,n)是反比例函数图像上的一动点，其中0<m<3，
A
G

探究性试题案例分析(案例一)

探究性试题案例分析(案例一)案例一：提出问题【例题1】两人相距较远说话时，听不到对方的声音，但同样情况下，用自制的土电话就可以听到相互的说话声；耳朵贴在铁轨上能听到远处火车开来的声音而站起来就听不到了。

对此，请你提出一个要研究的问题。

【诠释】题中给出的情景要求提出问题，且是与相关物理的科学问题。

，空气、棉线、铁轨三种不同传声介质，听到声音的距离不相同，所以可以从传声与介质的关系，或能量损失与介质的关系知识着手提出问题。

考查的知识点是声音的传播与介质的关系；涉及考查方向是提出问题。

提出问题：声波在固体中传播的能量损失笔在空气中少吗？声音的传播距离与介质有关吗？声音的固体中的传播距离比在空气中传播的远吗？（其它答案只要合理，同样给分）【例题2】七、八月份属高温天气，又正值农村蔬菜栽种季节，当菜苗栽上后，很容易因蒸发过快而失水干枯，不易成活，农民常用一些树叶、树枝遮盖在新栽菜苗上并洒上水，使菜苗不致干枯，请用你学过的物理知识提出一个可以研究的的问题。

【诠释】根据题意提问，要注意题意是防止菜苗失水进行提问，菜苗失水是因为水蒸发造成的，影响蒸发快慢的因素有三个：一个是液体温度，另外还有液体蒸发面积和液面上空气流动快慢。

盖住的目的是不让菜苗受到太阳直接照射而温度升高，同时也让菜苗上空空气流动慢；洒水是利用水蒸发时吸热降低菜苗上树枝的温度。

考查的知识点是影响蒸发快慢的因素。

【例题3】提啤酒瓶的学问：（1）甲同学一手可竖直向上提几个空啤酒瓶，也不感到费劲。

（2）乙同学一手提一个装有啤酒的瓶子，就感到费劲。

（3）丙同学用毛巾包着装有啤酒的瓶颈，再提起就感到不太费劲。

就此提出问题：猜想与假设：【诠释】根据题意，提酒瓶费力和不费力问题，我们提出问题时就要从费力和不费力角度着手，由于装有啤酒后，物体重力增大了，要提起它时需要的力也要增大，则需要的摩擦力也要增大，而用毛巾包着后，增大了接触面的粗糙程度，所以可以增大摩擦。

小学数学课堂有效提问的策略探究

小学数学课堂有效提问的策略探究在小学数学课堂中，有效的提问可以激发学生的思维，促进他们的学习与探究能力的发展。

在设计提问策略时，应考虑以下几个方面：1. 设置启发性问题在提问时，教师应注意不仅仅关注结果，而是注重引导学生思考的过程。

通过提问能够激发学生的思维，引导学生去探索问题的本质。

在讲解数字大小关系时，可以提问：“两个数相乘，结果比其中一个数小，这两个数分别是多少？”这种问题能够引导学生思考乘法的性质，并激发他们的求解欲望。

2. 探究性问题探究性问题能够引导学生积极主动地探索和发现数学规律。

在学习数形关系时，可以提问：“如果一个正方形的边长是2cm，它的面积是多少？如果边长是3cm呢？”通过这样的问题，学生可以发现边长和面积之间的关系，并进而进一步探索更多的情况。

3. 多元化的问题在提问过程中，应尽量设计多元化的问题，以满足不同学生的学习和思维需求。

在讲解面积计算时，可以提问：“面积是什么？”、“面积的单位有哪些？”、“如何计算一个长方形的面积？”等不同类型的问题。

这样可以帮助学生全面理解面积的概念，同时也可以满足不同学生的学习需求。

4. 追根溯源的问题在问题设计中，要着力于让学生关注问题的来源和背后的原因。

在讲解用倍数表示数字时，可以提问：“为什么我们要用倍数来表示数字？”、“什么是倍数？”等问题。

通过这些问题，学生可以深入理解倍数的概念，并理解为什么要用倍数来表示数字。

5. 引导性的问题在提问过程中，教师可以通过巧妙的问题设计来引导学生思考。

在学习几何图形的性质时，可以提问：“一个四边形边的个数是偶数还是奇数？”通过这样的问题，学生可以思考四边形的性质，进而得到结论。

这种引导性的问题能够帮助学生将知识应用到实际问题中。

在小学数学课堂中，教师应设计有效的提问策略，激发学生的思维和兴趣，引导他们主动参与学习。

通过精心设计的问题，学生可以更深入地理解数学概念和规律，并能够在实际问题中运用所学的数学知识。

中考试题中的探究性问题简析

试题研究＞试题探究
数学教学通讯（师版）教
投稿邮籀：ｊｖ３ｏｌｓｋｉ１。ｒｘ＠ｐ６ｃｒ
圈嗣匿
中考试题中的探究性问题简析
甘肃武威五和中学
问活的懈『茔问一一螂论蚨啦虢在一务．进断蝻帮一受精睐
的思想．
倒３（０９肃天水）正方形ＡＣ２０甘在ＢＤ巾，是Ｃ边上一动点ＰＤ
点，结，别过点，连分Ｄ作Ｂ＿，＿Ｐ垂足分别为Ｅ，ＥｊＤＦＬＡ，Ｆ，
如图３．
例４（０９州）图６示，梯形ＡＣ２０鄂如所在ＢＤ中，Ｄ／ＣＡＢＪＡ／，Ｂ＿
当的方法．出所需寻找的条件．求
，
存在性探究型问题
结论探究型问题
结论探究型问题是指在给定的条件下来探求结论．解题在
过程中。要求对题设、它图形进行大胆的推理、测，进行一定猜并
四种．
条件探究型问题
条件探究型问题是由给定的结论来反求命题所具备的条件．它从结论出发，用逆向思维寻求结论成立的条件．利再对这些条
制虢培型
件进行分析、究、理取舍，终得到合适的答案．一般来说。研合最
图中“ ” 个数为８３（＋）３２２第三个图中“ ” 个数为ｏ的＝ｘ１１：ｘ＋，ｏ的

数学探究性问题

装订线数学探究性问题（1）一、“类比、归纳”型探究性问题：1、已知如图AB ∥CD ，P 为任意一点，请用一个等式来表示，∠B 、∠D 、∠P 之间的数量关系，并说明你们的理由。

2、已知AB ∥CD ，P 1、、P 2、P3、P4、…… P n 为任意n 点，请用一个等式来表示，∠B 、∠D 、∠P 1、、∠P 2、∠P 3、∠P 4、…… ∠P n 之间的数量关系。

3、如果上面的n 个点P ，一内一外交替摆放，情况又会怎样？（注意奇偶性）CDDC A23234p 523AA2421装订线4、探究规律：如图1，已知直线m//n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点。

（1）请写出图1中，面积相等的各对三角形：_______________________；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有_________与△ABC 的面积相等。

理由是：____________________________。

解决问题：如图2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图。

经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图3中折线CDE ）还保留着。

张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。

请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。

（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。

5、“聪明线”的定义：如果一条线段，经过多边形的一个顶点，并且把这个多边形的面积二等分，我们就把这样的线段叫作这个多边形的“聪明线”。

如：AD 是△ABC 的中线，则△ABD 与△ACD 等底等高，因此△ABD 与△ACD 的面积相等，线段AD 就是 △ABC 的“聪明线” 。

科学探究活动的问题及对策

科学探究活动的问题及对策科学探究活动是指学生通过实验、实践和观察等方式，积极参与科学研究，以培养学生的观察、实验、分析和解决问题的能力。

科学探究活动可以在学校的科学课程中开展，也可以作为课外活动进行。

科学探究活动也存在一些问题，如实验条件不足、学生缺乏实践经验，甚至安全隐患等。

针对这些问题，我们需要制定一些对策，以保障科学探究活动的顺利进行。

一、问题：1. 实验条件不足。

由于学校实验室设备不完善，实验材料不齐全，导致学生无法开展一些实验。

2. 学生缺乏实践经验。

很多学生缺乏实际动手操作的经验，导致他们在实验中出现操作失误，无法完成实验。

3. 安全隐患。

部分科学实验涉及到一些化学药品或器材，如果不注意安全操作，容易造成意外伤害。

二、对策：2. 加强实践教学。

学校可以组织一些实践性很强的科学探究活动，让学生更多地动手操作，积累实践经验，从而提升实验能力。

3. 增加安全教育。

学校在开展科学探究活动前，应加强安全教育，让学生明确实验中的安全操作规范，防范安全隐患。

三、案例分析：小明是学校一名六年级学生，他热爱科学，并参与了学校组织的一次科学探究活动。

活动要求学生根据自己的兴趣和爱好，选择一个科学主题进行探究，并设计实验方案。

小明对电磁感应很感兴趣，决定以此为主题进行研究。

由于学校实验室设备有限，小明无法找到合适的实验设备完成实验。

小明也因为缺乏实践经验，不太清楚如何进行实验设计和操作。

最终，他在实验准备阶段遇到了很多困难，最终只好选择了其他主题进行科学探究。

四、解决方案：为了帮助像小明这样的学生更好地参与科学探究活动，学校可以采取一些措施。

学校可以加大对实验室设备的投入，保证学生能够找到合适的设备进行实验。

学校可以组织一些实践性很强的科学探究活动，让学生更多地动手操作，积累实践经验。

关于安全隐患问题，学校可以加强安全教育，让学生明确实验中的安全操作规范，防范安全隐患。

从以上分析可以看出，科学探究活动在学校教育中具有重要的意义，但同时也面临一些问题。

探究性问题

专题10：探究性问题探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。

由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答。

由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律； 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致；3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果； 4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。

以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用。

前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题，本专题原创编写条件探究型和结论探究型模拟题。

原创模拟预测题1.【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC；（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．【答案】（1）证明见解析；成立；证明见解析；（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．②结论AM=DE+BM不成立．【解析】试题解析：（1）延长AE、BC交于点N，如图1（1），∴△ADE≌△NCE（AAS）．∴AD=NC．∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．（2）AM=DE+BM成立．过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．∴AM=FM．∴AM=FB+BM=DE+BM．（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．延长AE、BC交于点P，如图2（1），②结论AM=DE+BM不成立．假设AM=DE+BM成立．过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．∵∠QAB=∠EAD=∠EAM ， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠QAB =∠QAM ． ∴∠Q=∠QAM ． ∴AM=QM ． ∴AM=QB+BM ． ∵AM=DE+BM ， ∴QB=DE ．在△ABQ 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠∠=∠DE BQ D ABQ EAD QAB 090， ∴△ABQ ≌△ADE （AAS ）． ∴AB=AD ．与条件“AB ≠AD “矛盾，故假设不成立．∴AM=DE+BM 不成立．考点：1、角平分线的定义；2、平行线的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、矩形及正方形的性质．原创模拟预测题2.已知点A（0，0），B（0，3），C（4，t+3），D（4，t）. 记N（t）为□ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t）所有可能的值为【】A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9【答案】D。

探究性问题

图1图2 探究性问题集锦1．如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm ，宽为15cm ，厚为1cm ，现有一张面积为875cm 2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为60cm ，宽为50cm 的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？1．解： (1) 设折叠进去的宽度为x cm ，则 (2x ＋31) (2x ＋21)＝875，化简得 x 2＋26x －56＝0， ∴ x ＝2或－28(不合题意，舍去)，即折叠进去的宽度为2 cm ． (2) 设折叠进去的宽度为x cm ，则 ①⎩⎨⎧≤+≤+,50212,60)312(2x x得x ≤－21，不符合题意；②⎩⎨⎧≤+≤+，x ，x 6021250)312(2得x ≤－3，不符合题意；③⎩⎨⎧≤+≤+++，x ，x x 5031260)212()312(得x ≤2； ④⎩⎨⎧≤+≤+++，x ，x x 6031250)212()312(得x ≤－21，不符合题意；⑤⎩⎨⎧≤+≤+，x ，x 50)212(260312 得x ≤2；⑥⎩⎨⎧≤+≤+，x ，x 60)212(250312 得x ≤4.5．综上， x ≤4.5．即折叠进去的宽度最大为4.5cm ．2．如图1，已知点D 在AC 上，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点.（1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形.图1（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒45，如图2，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.图2（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒135，如图3，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）. 图3（4）我们是否可以猜想，将ADE ∆绕点A 任意旋转一定的角度，如图4，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”均成立？（不用说明理由）.图42．（1）证明：∵点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点， ∴BM =21EC=MC ，∴∠MBC =∠MCB .∴∠BME =2∠BCM .同理可证：DM =21EC =MC ，∠EMD =2∠MCD . ∴∠BMD =2∠BCA =90°，∴BM =DM .∴△BMD 是等腰直角三角形. （2）（1）中的结论仍然成立.延长DM 与BC 交于点N ∵DE ⊥AB CB ⊥AB ，∴∠EDB=∠CBD =90°∴DE ∥BC.∴∠DEM =∠MCN .又∵∠EMD =∠NMC ， EM =MC∴△EDM ≌△MNC. ∴DM =MN.DE =NC =AD.又AB =BC ，∴AB －AD =BC －CN ∴BD =BN.∴BM ⊥DM. 即∠BMD =90°. ∵∠ABC =90°，∴BM =21DN =DM.∴△BMD 是等腰直角三角形. （3）（1）中的结论成立. （4）（1）中的结论成立.3．如图，ABM ∠为直角，点C 为线段B A 的中点，点D 是射线BM 上的一个动点（不与点B 重合），连结A D ，作B E A D ⊥，垂足为E ，连结C E ，过点E 作E F C E ⊥，交B D 于F ．（1）求证：BF FD =；（2）A ∠在什么范围内变化时，四边形A C F E 是梯形，并说明理由；（3）A ∠在什么范围内变化时，线段D E 上存在点G ，满足条件14D G D A =，并说明理由．3．（1）在R t AEB △中，A C B C = ，12C E A B ∴=，C B C E ∴=，C E B C B E ∴∠=∠．90CEF CBF ∠=∠=， BEF EBF ∴∠=∠，EF BF ∴=．90BEF FED ∠+∠=，90EBD EDB ∠+∠=， FED ED F ∴∠=∠． EF FD = ．BF FD ∴=．（2）由（1）BF FD =，而B C C A =， C F A D ∴∥，即AE C F ∥．若A C E F ∥，则A C E F =，B C B F ∴=．BA BD ∴=，45A ∠=．∴当045A <∠<或4590A <∠<时，四边形A C F E 为梯形．（3）作G H B D ⊥，垂足为H ，则G H A B ∥．14D G D A =，14D H D B ∴=．又F 为B D 中点，H ∴为D F 的中点．G H ∴为D F 的中垂线． G D F G F D ∴∠=∠．点G 在E D h 上，E F D G F D ∴∠∠≥．ABC D FEMG HABC D F EM180EFD FDE DEF ∠+∠+∠= ，180GFD FDE DEF ∴∠+∠+∠≤．3180EDF ∴∠ ≤．60EDF ∴∠≤．又90A EDF ∠+∠= ，3090A ∴∠<≤．∴当3090A ∠<≤时，D E 上存在点G ，满足条件1D G D A =．4．（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xk y =（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行． 4. （1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ，垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分∴ CG ∥DH ．∵ △ABC 与△ABD 的面积相等， ∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形． ∴ AB ∥CD ． ……………………………3分（2）①证明：连结MF ，NE ． …………………4分设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2∵ 点M ，N 在反比例函数xk y =（k ＞0∴ k y x =11，k y x =22． ∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2． ∴ S △EFM ＝ky x 212111=⋅， ………………5分 S △EFN ＝ky x 212122=⋅． ………………6分图 3ABDC 图 1AB DC图 1G H∴S △EFM ＝S △EFN ． ……………… 7分由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8分 ② MN ∥EF ． …………………10分（若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）5．如图1，在四边形A B C D 中，A B C D =，E F 、分别是B C A D 、的中点，连结E F 并延长，分别与B A C D 、的延长线交于点M N 、，则B M E C N E ∠=∠（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连结B D ，取B D 的中点H ，连结H E H F 、，根据三角形中位线定理，证明H E H F =，从而12∠=∠，再利用平行线性质，可证得B M E C N E ∠=∠．）问题一：如图2，在四边形A D B C 中，A B 与C D 相交于点O ，A B C D =，E F 、分别是B C A D 、的中点，连结E F ，分别交D C A B 、于点M N 、，判断O M N △的形状，请直接写出结论．问题二：如图3，在A B C △中，A C A B >，D 点在A C 上，A B C D =，E F 、分别是B C A D 、的中点，连结E F 并延长，与B A 的延长线交于点G ，若60E F C ∠=°，连结G D ，判断A G D △的形状并证明．6．（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到A E F △（如图②）．小明认为A E F △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片A B C D 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．AC B DFE NM O BC DH A F N M 1 2 图1图2 图3ABCDF GE ACD B 图①ACD B图②FEED C F BA图③ED C ABF G ' D 'ADECB F G α图④图⑤7．几何模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形A B C D 的边长为2，E 为A B 的中点，P 是A C 上一动点．连结B D ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线A C 对称．连结E D 交A C 于P ，则PB PE +的最小值是___________；（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，O A O B ⊥，60A O C ∠=°，P 是O B 上一动点，求P A P C +的最小值；（3）如图3，45A O B ∠=°，P 是A O B ∠内一点，10P O =，Q R 、分别是O A O B 、上的动点，求PQR △周长的最小值．8．问题探究（1）请在图①的正方形A B C D 内，画出使90A P B ∠=°的一个．．点P ，并说明理由．（2）请在图②的正方形A B C D 内（含边），画出使60A P B ∠=°的所有．．的点P ，说明理由．问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43A B C D A B B C ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的A P B △和C P D '△钢板，且60A P B C P D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出A P B △的面积（结果保留根号）．ABA ′PlOA B PRQ 图3 OABC 图2 AB E CP图1P DCB A①DCBA③DCB A ②9．问题解决如图（1），将正方形纸片A B C D 折叠，使点B 落在C D 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕M N ．当12C E C D=时，求A MB N的值．类比归纳在图（1）中，若13C E CD =，则A M B N的值等于；若14C E C D=，则A M B N的值等于；若1C E C Dn =（n 为整数），则A M B N的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片A B C D 折叠，使点B 落在C D 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕M N ，设()111A BC E mB C mC D n =>=，，则A M B N的值等于．（用含m n ，的式子表示）10．问题解决解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形A B N M 和四边形F E N M 关于直线M N 对称． ∴M N 垂直平分B E ．∴BM EM BN EN ==，． ∵四边形A B C D 是正方形， ∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112C EC EDE C D =∴==，．设B N x =，则N E x =，2N C x =-．在R t C N E △中，222NE CN CE =+． ∴()22221x x =-+．解得54x =，即54B N =．在R t A B M △和在R t D E M △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14A M =．方法指导：为了求得A MB N的值，可先求B N 、A M 的长，不妨设：A B =2图（2） AB CD EFM图（1）A BCDEFMNN图（1-1）A BCDEFM∴15A MB N=．方法二：同方法一，54B N =．如图（1－2），过点N 做N G C D ∥，交A D 于点G ，连接B E ．∵A D B C ∥，∴四边形G D C N 是平行四边形．∴N G C D BC ==．同理，四边形A B N G 也是平行四边形．∴54A G B N ==．∵90M N B E E B C B N M ⊥∴∠+∠=，°．90N G BC M N G BN M EBC M N G ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，．在B C E △与N G M △中90EBC M N G BC N G C N G M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴B C E N G M E C M G =△≌△，．∵114A M A G M G A M =--=5，=．4∴15A M B N=．类比归纳25（或410）；917；()2211n n -+············································································10分联系拓广2222211n m n n m -++ ····································································································12分N图（1-2）A B C DEFMG10．如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．阅读理解：（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB = c时，⊙O恰好自转1周．（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2 = n°，⊙O在点B处自转360n周．实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB = 2c，则⊙O自转周；若AB = l，则⊙O自转周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC =120°，则⊙O在点B处自转周；若∠ABC =60°，则⊙O在点B处自转周．（2）如图3，∠ABC=90°，AB=BC=12c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转周．拓展联想：（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接．．写出⊙O自转的周数．10．解：实践应用（1）2；lc ．16；13．（2）54．拓展联想（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了lc 周．图4图1图3图5又∵三角形的外角和是360°， ∴在三个顶点处，⊙O 自转了3601360（周）．∴⊙O 共自转了（lc+1）周．（2）lc+1．11．学有所得：大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．．．. 学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，其一腰上的高为h , M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h . （1）请你结合图形1来证明：1h +2h =h . 证明：(2) 当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论.请你画出图形，并直接写出结论不必证明. 解：学会应用：（3）利用以上结论解答，如图2在平面直角坐标系中有两条直线1l :y =43x +3，2l :y =-3x +3，若2l 上的一点M 到1l 的距离是23．求点M 的坐标.解：11.证明：连接AM ，由题意得1h =ME ，2h =MF ，h=BD .∵S ABC ∆=S ABM ∆+S AMC ∆-----------------------------------1分. S ABM ∆=21×AB×ME=21×AB×h 1 S AMC ∆=21×AC×MF=21×AC×h 2又∵S ABC ∆=21×AC×BD=21×AC×hAB=AC ∴21×AC×h=21×AB×h 1+21×AC×h 2∴1h + 2h =h .----------------------------------------------4分.(2) 如图所示：-----------------------------------------5分.1h -2h =h.--------------------------------------7分.（3）解：在y=43x+3 中，令x=0得y=3;令y=0得x=-4.所以A （-4，0），B （0，3）同理求得C （1，0）.AB= AC=5所以AB=AC ，即△ABC 为等腰三角形.----------------9分. （ⅰ）当点M 在BC 边上时，由1h + 2h =h 得：23+y M =OC.y M =3-23=23，把它代入y=-3x+3中求得：x M =12，所以此时M （12，23）.-----------------------------------------------10分.（ⅱ）当点M 在CB 延长线上时，由1h -2h =h得：yM-23=OC. y M =3+23=29，把它代入y=-3x+3中求得：x M = -12，所以此时M （-12，29）---------------------------------------------------------------------------------11分.综合（ⅰ）、（ⅱ）知：点M 的坐标为 M （12，23）或（-12，29）------------------------12分.C12. 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG .请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.12．解：（1）拼接成的平行四边形是A B C D （如图3）．（2）正确画出图形（如图4）平行四边形M NPQ 的面积为25．13．小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中α=∠ACB ，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，∆EFD 纸片的直角顶点D 落在∆ACB 纸片的斜边AC 上，直角边DF 落在AC 所在的直线上.（1）若ED 与BC 相交于点G ，取AG 的中点M ，连接MB 、MD ，当∆EFD 纸片沿CA 方向平移时（如图3），请你观察、测量MB 、MD 的长度，猜想并写出MB 与MD 的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出BMD ∠的大小（用含α的式子表示），并说明当45=α°时， BMD ∆是什么三角形？（3）在图3的基础上，将∆EFD 纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时CGD ∆变成CHD ∆，同样取AH 的中点M ，连接MB 、MD （如图4），请继续探究MB 与MD 的数量关系和BMD ∠的大小，直接写出你的猜想，不需要图3DAB CA DGC BE QH F M N P 图4证明，并说明α为何值时，BMD ∆为等边三角形.14．如图1，点C 将线段A B 分成两．部分，如果A C B C A BA C=，那么称点C 为线段A B 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在A B C △中，若点D 为A B 边上的黄金分割点（如图2），则直线C D 是A B C △的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交A B 于点E ，再过点D 作直线D F C E ∥，交A C 于点F ，连接E F （如图3），则直线E F 也是A B C △的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是□ABCD 的边A B 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交D C 于点F ，显然直线E F 是□ABCD 的黄金分割线．请你画一条□ABCD 的黄金分割线，使它不经过□ABCD 各边黄金分割点．A BA BCDEF图1图2AB CDE FGM 图3ABCDEFMH 图415．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称，；（2）如图16（1），已知格点（小正方形的顶点）(00)O ，，(30)A ，，(04)B ，，请你画出以格点为顶点，O A O B ，为勾股边且对角线相等的勾股四边形O A M B（3）如图16（2），将A B C △绕顶点B 按顺时针方向旋转60 ，得到D BE △，连结A D D C ，，30DCB = ∠．求证：222DC BC AC +=，即四边形A B C D 是勾股四边形．16．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图12），连结BD 、MF ，若此时他测得BD =8cm ，∠ADB =30°．（1）试探究线段BD 与线段MF 的关系，并简要说明理由；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图13），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；A 图15（1）A图15（2）图12 CD MA BFE图13D MKFA B B 1D 1（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图14），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少？17．如图1，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使PC ＝P A ，PD ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，连接CD ，点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ．(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答．．．．，不必说明理由； (2)当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90º，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．18．问题背景：在A B C △中，A B 、B C 、A C小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点A B C △（即A B C △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求A B C △的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将A B C △的面积直接填写在横线上．__________________ 思维拓展：（2）我们把上述求A B C △面积的方法叫做构图法．．．．若A B C △三边的长分别为、（0a ），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的A B C △，并求出它的面积．探索创新：（3）若A B C △三边的长分别为A B P图1 图2 图3图14D M N BA P A 2M 2 F 2F（图①）（图②）（第18题）ACB、00m n >>，，且m n ≠），试运用构图法．．．求出这三角形的面积．19．已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点104M ⎛⎫⎪⎝⎭，，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y By B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：11223311(0)(0)(0)(0)n n A x A x A x A x ++ ，，，，，，，，（n 为正整数），设101x d d =<<（）．（1）求b 的值；（2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．20．如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．21．如图15，在△ABC 和△PQD 中，AC = k BC ，DP = k DQ ，∠C =∠PDQ ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线BC 上，连结EQ 交PC 于点H ．（第19题图）图1 图2 图3猜想线段EH 与AC 的数量关系，并证明你的猜想．22．先阅读下列材料，再解答后面的问题．材料：密码学是一门很神秘、很有趣的学问．在密码学中，直接可以看到的信息称为明码，加密后的信息称为密码，任何密码只要找到了明码与密码的对应关系—蜜钥，就可以破译它．密码学与数学是有关系的．为此，八年级一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的一次函数知识制作了一种蜜钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母—明码对照表”：因此，“自”字经加密转换后的结果是“9140”． (1)请你求出当蜜钥为y ＝3x ＋13时，“信”字经加密转换后的结果；(2)为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换蜜钥．若“自信”二字用新的蜜钥进行加密转换后得到下表：请求出这个新的蜜钥，并直接写出“信”字用新的蜜钥加密转换后的结果．23．（10分）阅读材料：Q(H)EDCQAB CDEPHHQ PEDCBAB(P)A图 15 图 16 图 17如图，A B C △中，A B A C =，P 为底边BC 上任意一点，点P 到两腰的距离分别为12r r ，，腰上的高为h ，连接AP ，则ABP AC P ABC S S S +=△△△．即：12111222A B r A C r A B h +=12r r h ∴+=（定值）．（1）理解与应用如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 为对角线BD 上的一点，且B E B C =，F 为CE 上一点，F M B C ⊥于M ，FN BD ⊥于N ，试利用上述结论求出F M F N +的长．（2）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边A B C △内任意一点P 到各边的距离分别为123r r r ，，，等边A B C △的高为h ，试证明123r r r h ++=（定值）．（3）拓展与延伸若正n 边形12n A A A 内部任意一点P 到各边的距离为12n r r r ，请问是12n r r r +++ 是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．24. 如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长.巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB 、AC 为对称轴，画出△ABD 、△ACD 称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，证明四边形AEGF 是正方形；(2)设AD =x ，利用勾股定理，建立关于x25.阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题：图1如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.26. 在A B C D 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90 得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=43,AE=1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.26．解：（1）①直线1FG 与直线C D 的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线1FG 与直线C D 的交点为H ．∵线段1EC EP 、分别绕点E 逆时针旋转90°依次得到线段1EF EG 、，图2xCOy ABD 1 1∴111190P EG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，． ∵1190G EF P EF ∠=-∠°，1190P EC P EF ∠=-∠°， ∴11G EF P EC ∠=∠． ∴11G EF P EC △≌△． ∴11G FE P C E ∠=∠． ∵EC C D ⊥， ∴190P C E ∠=°， ∴190G FE ∠=°． ∴90E F H ∠=°． ∴90F H C ∠=°． ∴1FG C D ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线C D 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形A B C D 是平行四边形， ∴B A D C ∠=∠．∵461tan 3AD AE B ===，，，∴45tan tan 3D E E B C B =∠==，．可得4C E =．由（1）可得四边形E F C H 为正方形． ∴4C H C E ==．①如图2，当1P 点在线段C H 的延长线上时， ∵1114FG C P x P H x ===-，， ∴11111(4)22P F G x x S FG P H -=⨯⨯=△．∴212(4)2y x x x =->．②如图3，当1P 点在线段C H 上（不与C H 、∵1114FG C P x P H x ===-，， ∴11111(4)22P F G x x S F G P H -=⨯=△．FDCBA E图1G 2G 1P 1H P 2∴212(04)2y x x x =-+<<．③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11P FG △不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2y x x x =->或212(04)2y x x x =-+<<．27．如图，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰．能拼成一个．．．．．矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；【解】（2）求x y的值．【解】27．解：（1） …………………………5分说明：其它正确拼法可相应赋分．（2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++………………8分因为y ≠0，整理得：01)(2=-+y x y x解得：215-=yx （负值不合题意，舍去）……………………………………10分解法二：由拼成的矩形可知：yx yy x y x =+++)(…………………………………8分以下同解法一．……………………………………………………………………10分③④① ②yx。

探究性问题集锦

探究题集锦探究性题目1 目前，高中生或多或少有些零花钱、压岁钱，将来走上社会，也必然要与金钱打交道。

如何正确认识和支配金钱对我们的一生都很重要。

某班同学在老师的指导下，成立合作学习小组，围绕“正确对待金钱”这一主题开展研究性学习活动。

第一小组的同学调查了本校同学对金钱的看法。

甲说：“有钱真好。

日常生活离不开钱，有钱才可以过健康、有品质的生活。

”乙说：“钱够花就好。

金钱是魔鬼，追求更多的金钱，会让人活得很累，还会使人误入歧途。

”丙说：“钱少也好。

因为钱少，才能使人奋发向上，穷则思变……”第二小组对本班同学拥有和支配压岁钱、零花钱的状况进行了调查，发现班级有个别同学迷恋网吧，把钱花在玩游戏上；有部分同学贪吃零食；有些同学相互攀比，购买高档电子产品等。

针对这些现象，该组同学倡议制订“用好零花钱”的班级公约。

(1)如果该班邀请你参加讨论，请针对第一组中某位同学的观点，并结合经济生活中的相关货币理论知识，谈谈你对金钱的认识。

(2)请你针对该班同学存在的上述某一现象，对班级公约的内容提出两条建议，并简要说明理由。

解析：回答第(1)问，要选择甲、乙、丙三者中一个人的观点结合货币理论知识去分析，可以从货币的本质、职能、正确的金钱观等角度分析。

第(2)问答案具有开放性，言之有理即可。

答案：(1)①甲看到了货币在现实生活中的作用，但有钱不一定能过上健康、有品质的生活。

(或乙没有正确认识货币在现实生活中的作用，人误入歧途并不仅仅是因为追求更多的金钱；或丙的观点有一定的道理，但人奋发向上并不仅仅是因为钱少。

)②要辩证地看待金钱，金钱不是万能的，但没有金钱也是不行的。

在社会主义初级阶段，仍然存在着商品货币关系。

货币是充当一般等价物的商品，它具有价值尺度和流通手段两个基本职能。

在一定意义上，货币是财富的象征。

③对于金钱，要取之有道、用之有益、用之有度。

(2)如：为解决“攀比消费”问题，建议在班级公约中写上①提倡勤俭节约、艰苦奋斗；②做到量入为出，适度消费，克服炫耀心理，不盲目攀比。

开放探究性问题

开放探究性问题教学目标：1、通过观察、探究等活动，理解探索性数学问题中的三大类型，并体会解题策略；2、能根据相对应的解题策略解决探索性问题。

教学重点：条件开放型、结论开放型、综合开放型的探索问题教学难点：对各种探索型问题策略的理解学法指导：通过由因导果，顺向推理或实行猜测、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存有的结论，然后经过论证作出取舍．教学过程：类型1 条件开放型问题【例1】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从以下四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC⊥BD中，使□ABCD为正方形（如图），现有以下四种选法，选两个作为补充条件，你认为其中错误的选项是（）A. ①②B.②③C. ①③D. ②④白板显例如题后，学生读题，思考，小组交流，典型发言。

[跟踪训练]已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：_____________或者_____________．（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠B，求证：EF是⊙O的切线.学生独立完成，在小组内交流，然后代表小组展示成果。

类型2 结论开放型问题单纯探索结论型【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，对称轴为直线x=1．写出至少3个符合题意的结论。

白板显例如题后，学生读题，思考，小组交流，典型发言。

结论多样开放型【例3】（正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为_______________.存有探索结论型【例4】如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；（3）探究在抛物线上是否存有点P，使得△APB的面积等于3？若存有，求出点P的坐标；若不存有，请说明理由．类型3 综合开放型问题【例5】如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接AD、AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD ＝CE．以上面三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成一个真命题，并实行证明。

解答探究性问题的五种有效策略

解答探究性问题的五种有效策略思想在解题中的体现，先运用特值试探可以将繁杂的问题简单化，将抽象的问题具体化.二、观察猜想法当题目中给出几个具体的关系式，要求写出一般性规律或后续某一项的具体形式或结果时，考生可通过观察、分析，进而发现或猜测得到结果，必要时还应按要求对猜测结论进行证明.小结考生能否完成归纳，关键在于能否通过观察，抽象、概括出隐藏在现象背后的规律.三、逆推判断法当判断在某些确定条件下的某数学对象是否存在或某一结论是否成立时，考生可采用逆推的策略，即先假设题中的数学对象存在、结论成立或暂且认可部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.小结上例及其变式分别是从某一数学对象最终存在与不存在两个角度进行设计.值得一提的是，逆推时，由常见的当数学对象不存在的依据可能导出常识性错误，也可能导出知识深度性错误，所以解题策略应往这两个方面考慮.四、分类整合法在探究性问题中，由于参数的变化或元素的位置关系可能有多种情况发生，因此往往需要用分类整合的方法进行探索或排除.恰当地进行分类整合，可避免以偏概全，防止丢值漏解.小结变式实际上用到了多重分类讨论，这很好地考查了解题者思维的缜密性.用分类整合的方法，有利于“化整为零，各个击破，再积零为整”.五、联想类比法题目先给出某一数学对象的性质或特征，要指出与该数学对象处于同一体系内或不同维度下的另一种数学对象的性质或特征.要解决此类问题，常需进行类比、分析、联想，构造数学模型，或将问题从低维推广到高维，最终给出具体或得出新的结论.小结解答上述例题的关键是由抽象函数问题联想类比到与其同处于函数体系下的三角函数知识.解答上述变式时用到的联想类比思维体现在两个方面：一是从二维结论联想类比到三维结论.二是从二维“面积法”联想到三维“体积法”.。