高三数学一轮复习课件：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
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高考数学大一轮复习 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件
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15
规律方法 1 1.本例第(1)题，若盲目化简：f(x)＝ x＋12·xx－＋11＝ x2－1将扩大函数的定义域，作出错
误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手．
2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原
点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，
根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情
不等式fx＋xf－x＞0 的解集为________．
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17
【答案】
(1)－1
(2)f(x)＝
x2－2x，x≥0， x2＋2x，x＜0
＜－2 或 0＜x＜2}
(3){x|x
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18
规律方法 2 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常 利用奇偶性构造关于 f(x)的方程，从而可得 f(x)的解析式．
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数， 常常采用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称 的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反．
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19
对点训练 (1)(2014·湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义
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3
1．奇、偶函数对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数 f(x)在原点有定义，则 f(0)＝0.
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4
二、周期性 1．周期函数：T 为函数 f(x)的一个周期，则需满足的条 件： ①T≠0； ② f(x＋T)＝f(x) 对定义域内的任意 x 都成立． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在 一个_最__小__的__正__数__，那么这个最__小__的__正__数___就叫做它的最小正 周期．
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
高三数学一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性课件
③函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);
④函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
【解析】选C.根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇 函数,所以①正确;又其图象关于直线x=1对称,所以②正确.
5.(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,
f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=
.
【解析】f(8)=f(5+3)=f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,
f(14)=f(15-1)=f(-1)=-f(1)=-1,
所以f(8)-f(14)=-2-(-1)=-1.
答案:-1
考点1 确定函数的奇偶性
【典例1】(1)(2013·广东高考)定义域为R的四个函数
【规范解答】(1)选C.y=x3,y=2sinx是奇函数,y=x2+1是偶函
数,y=2x是非奇非偶函数. (2)①要使f(x)有意义,则 1 ≥ 0x ,
1 x
解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
②因为
4
x
2
0,
x 3 3 ,
所以-2≤x≤2且x≠0.
函数f(x)为奇函数 关于_原__点__对称
函数f(x)为偶函数 关于_y_轴__对称
2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 _最__小__的__正__数__,那么这个_最__小__的__正__数__就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝ －f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． •∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
高考数学一轮复习 第二章第三节函数的奇偶性与周期性
判断下列函数的奇偶性．
4－x2
(1)f(x)＝
.
|x＋3|－3
x2＋2（x＞0）， (2)f(x)＝
－x2－2（x≤0）.
【解析】
(1)
由
4－x2≥0 |x＋3|≠3
，
得
－
2≤x≤2
且
x≠0.
∴函数 f(x)的定义域关于原点对称，
f(x)＝x＋4－3－x23＝
4－x2， x
又 ∵f( － x) ＝
－
x)
＝
lg[1－（－x）2] x
＝
－
lg（1－x2） －x
＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数．
1．本题第(1)题，若盲目化简：f(x)＝
x－1 （x＋1）2· ＝ x2－1将扩大函数的定义
Hale Waihona Puke x＋1域，作出错误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手． 2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是
否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下， 再化简解析式，根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断， 对于分段函数，应分情况判断．
区间上有________的单调性；偶函数在关于原点对称的 两个区间上有________的单调性． (3)奇函数图相象同与原点的关系： 如果奇函数f(x)相在反原点有意义，则f(0)＝_____ .
0
3．周期性
若于f(x0)的对常于数定)义，域则中f(x任)为意周x均期有函数__．____f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)(T为不等
D．y＝x|x|
【解析】 A选项中的函数为非奇非偶函数．B、C、D选项 中的函数均为奇函数，但B、C选项中的函数不为增函 数．
【答案】 D
高考数学一轮复习讲义 第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
2 定义在(－1,1)上的函数 f(x)． (ⅰ)对任意 x，y∈(－1,1)都有：f(x)＋f(y)＝f 1x＋＋xyy； (ⅱ)当 x∈(－∞，0)时，f(x)>0，回答下列问题． (1)判断 f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由； (3)若 f 15＝12，试求 f 12－f 111－f 119的值．
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A， 都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点 对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对 称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1．奇、偶函数的概念 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A， 都有 f(－x)＝f(x) ，那么称函数 y＝f(x)是偶函数． 如果对于任意的 x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数 y ＝f(x)是奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9；(2)f(x)＝(x＋1) (3)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
11－＋xx；
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点 对称．若对称，再验证 f(－x)＝±f(x)或其等价形式 f(－x)±f(x) ＝0 是否成立．
故原函数是奇函数．
(2)由22＋－xx≥0 且 2－x≠0⇒－2≤x<2，
定义域关于原点不对称，故原函数是非奇非偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x<0 时，－x>0， 故 f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2－x，则当 x>0 时，－x<0， 故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (4)由1|x－2－x22>|－0，2≠0 得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对 称，∴f(x)＝－l(gx(21－－2x)2－) 2＝－lg(1x－2 x2). ∵f(－x)＝－lg[1(－－(x－)2x)2]＝－lg(1x－2 x2)＝f(x)，
高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 文
故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2 ＞0.
从而有 f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
∴f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)．
故 f(x)为奇函数．
(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0 时，－x＜0，
解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周 期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋ ∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5)＝－0.5.
考点1 判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性：
x1－3 x，x∈－∞，0.
【互动探究】
3．(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，则当 x>0 时，f(x)的解析式为__
2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是( C )
A．y＝ex
B．y＝x12
C．y＝x3
D．y＝cosx
3．函数 f(x)＝1x－x 的图象关于( C )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
4．设函数 f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则 a＝_0__. 5．设 f(x) 是( －∞，＋∞) 上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x) ，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，则 f(7.5)＝____－__0_.5.
2x＋1 ∵f(－x)＝22－ －xx＋ －11＝1－2x2x＝－22xx＋ －11＝－f(x)，
从而有 f(x)＝x＋12－－x22＝
1－x2 x.
∴f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝－f(x)．
故 f(x)为奇函数．
(4)∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x＞0 时，－x＜0，
解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周 期的函数．故f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)．又f(x)是(－∞，＋ ∞)上的奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(7.5)＝f(－0.5) ＝－f(0.5)＝－0.5.
考点1 判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性：
x1－3 x，x∈－∞，0.
【互动探究】
3．(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，则当 x>0 时，f(x)的解析式为__
2．下列函数中，在其定义域内是奇函数的是( C )
A．y＝ex
B．y＝x12
C．y＝x3
D．y＝cosx
3．函数 f(x)＝1x－x 的图象关于( C )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
4．设函数 f(x)＝(x2＋1)(x＋a)为奇函数，则 a＝_0__. 5．设 f(x) 是( －∞，＋∞) 上的奇函数，f(x＋2) ＝－f(x) ，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，则 f(7.5)＝____－__0_.5.
2x＋1 ∵f(－x)＝22－ －xx＋ －11＝1－2x2x＝－22xx＋ －11＝－f(x)，
高考数学一轮复习第二章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版22
又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(0)=-1+0=-1.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).
√+1+1
,
又 f(-1)=-ln(-1+√ + 1)=ln
f(1)=ln(1+√ + 1),
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
对称
奇函数
-3知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2.奇(偶)函数的性质
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在
关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数
=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函
因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);
∴f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(0)=-1+0=-1.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).
√+1+1
,
又 f(-1)=-ln(-1+√ + 1)=ln
f(1)=ln(1+√ + 1),
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;
思考判断函数的奇偶性要注意什么?
|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),
对称
奇函数
-3知识梳理
双基自测
1
2
3
4
2.奇(偶)函数的性质
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在
关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇函数±奇函数=奇函数,偶函数±偶函数
=偶函数,奇函数×奇函数=偶函数,偶函数×偶函数=偶函数,奇函
因为函数定义域不关于原点对称,所以函数为非奇非偶函数.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件
f(x)是偶函数_y_轴___对称
关于__原__点___对称
知识点二 函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的 任何值时，都有____f(_x_＋__T_)＝___f(_x_) __，那么就称函数y＝f(x)为周期函数， 称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最__小__的__正__数___，那么这 个__最__小__正__数___就叫做f(x)的最小正周期．
〔变式训练1〕 (1)(角度1)将例2中“函数f(x)在R上为奇函数”改为“函数f(x)为偶函 数且定义域为{x∈R|x≠0}”，则f(x)的解析式为_f_(x_)_＝____x－_＋_x_1＋_x_1>_0_x<_，_0_. (2)(角度2)(2019·北京，13，5分)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若 f(x)为奇函数，则a＝__－__1__.
题组一 走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．
(× )
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.
(× )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对
称．
(√ )
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心
判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判 断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称 的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论． (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对 称．
函数的奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
,
则
的最小值为
x
1 e
m n
− = −
−x ∈ A，且_______________，那么函数f
x 就叫作奇函数
图象
关于
轴
______
对称
关于
坐标原点
_______
对称
【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点
对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
1.函数f x 具有奇偶性的前提是什么？
D.f c > f b > f a
1
log 2 ，
4
活动四 奇偶性的应用(求参数)
34页 2.已知函数f x = a −
2
ex +1
1
a ∈ 是奇函数，则a =___.
[例4] （1）若函数f x = x + a ln
A.−1
（2）若f x = ln a +
B.0
√
1
1−x
2x−1
2x+1
为偶函数,则a =(
B.c < b < a
C.b < c < a
2.（2024·常州调研）已知f x = lg e
则f a ,f b ,f c 的大小关系为(
A.f c
√
x
+ 1 ，a =
20.3 ，b
)
D.a < b < c
= log 3 2，c =
)
>f a >f b
B.f b > f a > f c
C.f a > f b > f c
3.已知f x = ax 2 + bx是定义在[a − 1,2a]上的偶函数，那么a + b的值是(
则
的最小值为
x
1 e
m n
− = −
−x ∈ A，且_______________，那么函数f
x 就叫作奇函数
图象
关于
轴
______
对称
关于
坐标原点
_______
对称
【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点
对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
1.函数f x 具有奇偶性的前提是什么？
D.f c > f b > f a
1
log 2 ，
4
活动四 奇偶性的应用(求参数)
34页 2.已知函数f x = a −
2
ex +1
1
a ∈ 是奇函数，则a =___.
[例4] （1）若函数f x = x + a ln
A.−1
（2）若f x = ln a +
B.0
√
1
1−x
2x−1
2x+1
为偶函数,则a =(
B.c < b < a
C.b < c < a
2.（2024·常州调研）已知f x = lg e
则f a ,f b ,f c 的大小关系为(
A.f c
√
x
+ 1 ，a =
20.3 ，b
)
D.a < b < c
= log 3 2，c =
)
>f a >f b
B.f b > f a > f c
C.f a > f b > f c
3.已知f x = ax 2 + bx是定义在[a − 1,2a]上的偶函数，那么a + b的值是(
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：函数的奇偶性、周期性
那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且_f_(_－__x_)＝__－__f_(x_)_， 关于_原__点__对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
知识梳理
2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(_x_＋__T_)＝__f_(_x_) _，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
√A.f(2 023)＝0 √B.f(x)的值域为[－1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[－6,6]上有8个零点
f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]， 由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；
教材改编题
2.已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝_－__6_.
因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x， 所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
教材改编题
3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝ _－__1__.
高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点 关于_y_轴__对称
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
目录 CONTENTS
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
目录 CONTENTS
选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
目录 CONTENTS
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
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第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
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选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
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第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
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第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
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高考理数学一轮复习课件第二章第三节函数的奇偶性与周期性
(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)= .
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
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第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性
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ONTENTS
主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业
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结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．
主干知识 自主排查
1．函数的奇偶性
奇偶性 定 义 图象特点
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 偶函数 个 x，都有
(1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称， 则函数 f(x)必为 周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x) 必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
6． 设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的偶函数， 当 x∈[0,1]时， f(x)＝x＋1，则 f
3 3 ＝___ຫໍສະໝຸດ ____. 2 2解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
3 1 1 1 3 则 f 2 ＝ f － 2 ＝ f 2 ＝ ＋ 1＝ . 2 2
[小题诊断] 1．(2018· 肇庆质检)下列函数为偶函数的是( A．y＝sin x C．y＝ex B．y＝ln( x2＋1－x) D．y＝ln x2＋1 )
解析：A 选项定义域为 R，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数；B 选项定义域为 R，f(－x)＝ln[ －x2＋1－ (－x)]＝ln( x2＋1＋x)≠f(x)，∴函数不是偶函数；C 选项定义 1 域为 R，f(－x)＝e ＝ x≠f(x)，∴函数不是偶函数；D 选项定 e
2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那 么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
1 解析：A中函数y＝ x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故 A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数， 故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
3．已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝2x＋m， 则 f(－2)＝( A ) A．－3 5 C. 4 5 B．－ 4 D． 3
－x
义域为 R， f(－x)＝ln －x2＋1＝ln x2＋1＝f(x)， ∴函数为偶 函数，故选 D.
答案：D
2．(2018· 石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋ ∞)上单调递增的是( B ) 1 A．y＝x C．y＝lg x B．y＝|x|－1
1 D．y＝2|x|
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝ x＋1，则当
－x－1 x＜0 时，f(x)＝－ __________.
解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝ x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－( －x＋1)， 即x＜0时，f(x)＝－( －x＋1)＝－ －x－1.
[小题纠偏] 1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a ＋b 的值是( B ) 1 A．－ 3 1 B． 3 1 C. 2 1 D．－ 2
f(－x)＝f(x)
，那么函 关于 y轴 对称
数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 奇函数 个 x，都有 f(－x)＝－f(x) 数 f(x)是奇函数 ，那么函 关于 原点对称
[必记结论] 1．函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么 一定有 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x ∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两 个对称的区间上具有相反的单调性．
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m ＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
1 4．函数 f(x)＝x＋x＋1，f(a)＝3，则 f(－a)的值为( B ) A．－3 C． 1 B．－1 D． 2
1 1 解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋a＋1＋(－a)＋ ＋1＝2. －a ∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.
2．有关对称性的结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)为偶函数，则函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称． 若函数 y＝f(x＋a)为奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若 f(x)＝f(2a－x)，则函数 f(x)关于 x＝a 对称； 若 f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数 f(x)关于点(a，b)对称．
[必记结论] 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝ f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a－b|. 1 若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝ ，f(x＋a)＝－ fx 1 (a>0)，则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期． fx 对称性与周期的关系：
1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原 点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件． 2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝ －f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
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主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业
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结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义．
主干知识 自主排查
1．函数的奇偶性
奇偶性 定 义 图象特点
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 偶函数 个 x，都有
(1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称， 则函数 f(x)必为 周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x) 必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
6． 设函数 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的偶函数， 当 x∈[0,1]时， f(x)＝x＋1，则 f
3 3 ＝___ຫໍສະໝຸດ ____. 2 2解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，
3 1 1 1 3 则 f 2 ＝ f － 2 ＝ f 2 ＝ ＋ 1＝ . 2 2
[小题诊断] 1．(2018· 肇庆质检)下列函数为偶函数的是( A．y＝sin x C．y＝ex B．y＝ln( x2＋1－x) D．y＝ln x2＋1 )
解析：A 选项定义域为 R，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数；B 选项定义域为 R，f(－x)＝ln[ －x2＋1－ (－x)]＝ln( x2＋1＋x)≠f(x)，∴函数不是偶函数；C 选项定义 1 域为 R，f(－x)＝e ＝ x≠f(x)，∴函数不是偶函数；D 选项定 e
2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 y＝f(x) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那 么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
1 解析：A中函数y＝ x 不是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，故 A错误；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数， 故C错误；D中函数不满足在(0，＋∞)上单调递增，故选B.
3．已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝2x＋m， 则 f(－2)＝( A ) A．－3 5 C. 4 5 B．－ 4 D． 3
－x
义域为 R， f(－x)＝ln －x2＋1＝ln x2＋1＝f(x)， ∴函数为偶 函数，故选 D.
答案：D
2．(2018· 石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋ ∞)上单调递增的是( B ) 1 A．y＝x C．y＝lg x B．y＝|x|－1
1 D．y＝2|x|
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x＞0 时，f(x)＝ x＋1，则当
－x－1 x＜0 时，f(x)＝－ __________.
解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝ x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－( －x＋1)， 即x＜0时，f(x)＝－( －x＋1)＝－ －x－1.
[小题纠偏] 1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a ＋b 的值是( B ) 1 A．－ 3 1 B． 3 1 C. 2 1 D．－ 2
f(－x)＝f(x)
，那么函 关于 y轴 对称
数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 奇函数 个 x，都有 f(－x)＝－f(x) 数 f(x)是奇函数 ，那么函 关于 原点对称
[必记结论] 1．函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么 一定有 f(0)＝0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x ∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两 个对称的区间上具有相反的单调性．
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m ＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
1 4．函数 f(x)＝x＋x＋1，f(a)＝3，则 f(－a)的值为( B ) A．－3 C． 1 B．－1 D． 2
1 1 解析：由题意得f(a)＋f(－a)＝a＋a＋1＋(－a)＋ ＋1＝2. －a ∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，故选B.
2．有关对称性的结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)为偶函数，则函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称． 若函数 y＝f(x＋a)为奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若 f(x)＝f(2a－x)，则函数 f(x)关于 x＝a 对称； 若 f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数 f(x)关于点(a，b)对称．
[必记结论] 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝ f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a－b|. 1 若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝ ，f(x＋a)＝－ fx 1 (a>0)，则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期． fx 对称性与周期的关系：
1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原 点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件． 2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝ －f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．