函数的奇偶性和周期性

高中数学基础之函数的奇偶性与周期性

高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称．中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。

函数函数的奇偶性与周期性

函数函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。

在数学中，我们经常会遇到函数的奇偶性与周期性的问题。

本文将探讨函数函数的奇偶性与周期性的概念、性质与判断方法。

一、函数的奇偶性在数学中，奇函数和偶函数是最常见的两种特殊函数。

1.1 奇函数奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意$x$，若$f(x)=-f(-x)$，则函数$f(x)$是奇函数。

奇函数的图像具有关于原点对称的性质。

例如，$y=x^3$就是一个奇函数。

当$x$取正值时，$f(x)$和$-f(-x)$的取值相等；当$x$取负值时，$f(x)$和$-f(-x)$的取值也相等。

奇函数的图像通常关于原点对称。

1.2 偶函数偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意$x$，若$f(x)=f(-x)$，则函数$f(x)$是偶函数。

偶函数的图像具有关于$y$轴对称的性质。

例如，$y=x^2$就是一个偶函数。

当$x$取正值时，$f(x)$和$f(-x)$的取值相等；当$x$取负值时，$f(x)$和$f(-x)$的取值也相等。

偶函数的图像通常关于$y$轴对称。

二、函数的周期性周期函数是指具有某个周期的函数。

2.1 周期周期是指函数中最小的正数$T$，使得对于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。

周期函数是在一个周期内具有相同函数值的函数。

例如，正弦函数$y=\sin x$和余弦函数$y=\cos x$就是周期函数。

它们的周期都是$2\pi$，也就是说对于任意$x$，都有$\sin(x+2\pi)=\sin x$和$\cos(x+2\pi)=\cos x$。

2.2 周期性质周期函数有以下几个重要的性质：（1）周期函数的图像在一个周期内是重复的；（2）周期函数的图像在不同周期之间也是重复的；（3）周期函数的图像可能是对称的。

三、判断函数的奇偶性与周期性的方法为了判断一个函数的奇偶性与周期性，我们可以通过函数关系式进行分析。

函数的奇偶性及周期性

函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[小题体验]1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案：B2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.答案：－13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.答案：x(1－x)1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1考点一函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)(易错题)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x ) ＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函数的周期性(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“f (x ＋2)＝－1f (x )”，求函数f (x )的最小正周期．解：∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4.[变式2] 若母题条件改为：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.[变式3] 在母题条件下，求f (x )(x ∈[2,4])的解析式．解：当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.考点三函数性质的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－12．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即(1＋1)(1＋a)1＋(－1＋1)(－1＋a)－1＝0，∴a＝－1.答案：－1角度二：单调性与奇偶性结合3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是() A．f(x)＝x2B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝log21|x|D．f(x)＝sin x解析：选C函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log21|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin x是奇函数，不合题意．4．已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋cos x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为()A．(0,1)B．(1，2)C．(－2，－2)D．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B依题意得，f′(x)>0，则f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0等价于f(1－a2)<－f(1－a)＝f(a－1)，则－1<1－a2<a－1<1，由此解得1<a< 2.角度三：周期性与奇偶性结合5．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)解：选A∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，∴2a－3a＋1＜1，即a－4a＋1＜0，解得－1＜a＜4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．[方法归纳]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e－x为奇函数，故选D.2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12C ．2D ．－2解析：选B因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝1 2.4．函数f(x)＝lg|sin x|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：选C∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sin x|，∴函数f(x)为偶函数．∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sin x|，∴函数f(x)的周期为π.5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－1二保高考，全练题型做到高考达标1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1x B．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1解析：选C函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．2．已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B一方面，若f(x)，g(x)均为偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数；另一方面，若h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)不一定均为偶函数，事实上，若f(x)，g(x)均为奇函数，h(x)也是偶函数，因此，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件．3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为() A．－1B．－2C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )是奇函数，且周期为2，所以f (－2 013)＋f (2 014)＝－f (2 013)＋f (2 014)＝－f (1)＋f (0)．又当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (－2 013)＋f (2 014)＝－1＋0＝－1.4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 B ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14 D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14解析：选B 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0,1]上是增函数，故f (x )在[－1,0]上也是增函数，综上函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数．又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，所以f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且 f ⎝⎛⎭⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <0或x >12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <0或x >12 7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案：29．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：选D 设x >0，则－x <0.∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴g (－x )＝－ln(1＋x )．又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)．2．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。

函数的奇偶性和周期性

最小正周期
最小正周期的定义
如果存在一个正数T，使得对于函数 f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称T为函数f(x)的一个周期。所有周期中最小的一个称为最小正周期。
最小正周期的意义
最小正周期是描述函数重复性特征的重要参数，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。在数学和物理中，最小正周期常常被用来研究函数的变化规律和行为特征。
02 函数的周期性
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期。
周期函数的性质
周期函数在其周期内的图像是重复的。周期函数的图像是连续不断的，且可以由一个周期内的图像平移得到整个定义域上的图像。
偶函数的周期性
偶函数并不一定具有周期性，但如果一个偶函数具有周期性，那么它的周期一定是 $T=npi$（$n$为整数）。
04 奇偶性和周期性的应用
在数学领域的应用
奇偶性
在数学分析中，函数的奇偶性可以帮助我们研究函数的对称性质，进而简化函数的性质和图像。例如，偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$，对于所有 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
图像特性
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$。
常见周期函数类型
正弦函数和余弦函数： y=sin(x)和y=cos(x)的最小正周期为2π。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．x x e e y --= 解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数．答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称． (3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1)B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2. 又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意． ②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0 ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎨⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，则b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213 解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则)23(f ＝________.解析：由已知易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1. 答案：1课时规范训练 A 组基础演练1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．x x y -+=22D ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ， ∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则)25(f ＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，故选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝x e x -- ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )， ∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )．又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x ) ∴f (x )＝⎩⎨⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 组能力突破1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A. 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。

(完整版)函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．x x e e y --= 解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数．答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称． (3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1)B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2. 又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意． ②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0 ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎨⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，则b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213 解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则)23(f ＝________.解析：由已知易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1. 答案：1课时规范训练 A 组基础演练1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．x x y -+=22D ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ， ∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则)25(f ＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，故选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝x e x -- ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )， ∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )．又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x ) ∴f (x )＝⎩⎨⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 组能力突破1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A. 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。

函数奇偶性及周期性

第六节函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．课前检测1．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1解读：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln (－x )2＋1＝ln x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解读：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．2解读：选B ∵f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (0)＝0，T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解读：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0，对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|，故a ＝0. 答案：05．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解读：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期．一、函数奇偶性的判断[例1]设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x －1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答]∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x＝－e x －11＋e x＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．[答案]A 由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意]判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．以题试法1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3x －3－x ；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x >0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．二、函数奇偶性的应用[例2](1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. (2)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )＋f (－x )x >0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)[自主解答](1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x >0.∴xf (x )>0.∴⎩⎨⎧ x >0，f (x )>0或⎩⎨⎧x <0，f (x )<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)． [答案](1)－1 (2)B本例(2)的条件不变，若n ≥2且n ∈N *，试比较f (－n )，f (1－n )，f (n －1)，f (n ＋1)的大小．解：∵f (x )为偶函数，所以f (－n )＝f (n )， f (1－n )＝f (n －1)．又∵函数y ＝f (x )在(0，＋∞)为减函数，且0<n －1<n <n ＋1， ∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)．∴f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)＝f (1－n )．由题悟法函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解读式．利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解读式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．以题试法2．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解读：(1)当x <0时，则－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.(2)因为f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)>f (2a )，只需3－a 2>2a ，解得－3<a <1.答案：(1)0 (2)(－3,1) 三、函数的周期性及其应用[例3]设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.[自主解答]依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋1＝32. [答案]32由题悟法1．周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．以题试法3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解读式．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．课堂练习1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝sin x C ．y ＝x D ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x答案：A2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.12解读：选A 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎣⎡⎦⎤2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解读：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．4．已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数解读：选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数．画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．5．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解读：选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 解读：选A ∵f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )， ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.7．已知f (x )是偶函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，f (x )＝________. 解读：x >0，－x <0，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故x >0时，f (x )＝x 2－x . 答案：x 2－x8.定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解读：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23和⎝⎛⎭⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23.答案：⎣⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，23 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 011)＝________.解读：f (2 011)＝f (3×670＋1) ＝f (1)＝－f (－1) ＝－log 2(3＋1)＝－2. 答案：－210．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2， f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解读式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1,0]时， f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.课后练习1．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解读：选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f (x )>f (－3)或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f (x )<f (3)，所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．解读：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－103．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝⎛⎭⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )，(1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝⎛⎭⎫12，f (－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3－x )＋f ⎝⎛⎭⎫12≥0＝f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)，则⎩⎨⎧ －x >0，3－x >0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0. 故不等式的解集为[－1,0)．能力提升 1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解读：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)2．关于y ＝f (x )，给出下列五个命题：①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解读：由f (－1＋x )＝f (1＋x )可知，函数周期为2，①正确；由f (1－x )＝－f (1＋x )可知，y ＝f (x )的对称中心为(1,0)，②错；y ＝f (x －1)向左平移1个单位得y ＝f (x )，故y ＝f (x )关于y 轴对称，③正确；两个函数对称时，令1＋x ＝1－x 得x ＝0，故应关于y 轴对称，④错；由f (1－x )＝f (1＋x )得y ＝f (x )关于x ＝1对称，⑤错，故正确的应是①③.答案：①③3．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，求实数a 的取值范围．解：由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax ＋1)≤f (x －2)，则|ax ＋1|≤|x －2|，又x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，故|x －2|＝2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .故x －3≤ax ≤1－x,1－3x ≤a ≤1x－1，在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立．由于⎝⎛⎭⎫1x －1min ＝0，⎝⎛⎭⎫1－3x max ＝－2，故－2≤a ≤0.。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一种重要工具，用来描述两个变量之间的关系。

在实际问题中，我们通常会遇到一些特殊类型的函数，比如奇函数、偶函数以及周期函数。

本文将讨论函数的奇偶性与周期性，并探究它们在数学和实际应用中的作用。

一、奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在自变量取相反数时所具有的性质。

具体来说，一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)。

反之，若对于任意的 x 有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数。

奇函数和偶函数的性质如下：1. 对于奇函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = -b。

2. 对于偶函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = b。

3. 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后与原图像重合。

4. 偶函数关于 y 轴对称，即图像关于 y 轴对称。

在实际应用中，奇函数和偶函数广泛存在。

例如，奇函数在描述电路中的交流信号的正负变化、对称图形的性质等方面有广泛的应用。

而偶函数则在描述偶对称的物理现象、对称图形的性质等方面发挥重要作用。

二、周期函数周期函数是指函数在自变量增加或减少一个周期后，函数值保持不变的函数。

常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数等三角函数。

周期函数的性质如下：1. 周期性：如果函数 f(x) 是周期为 T 的周期函数，那么对于任意的x 和正整数 k，都有 f(x + kT) = f(x)。

2. 周期的计算：对于三角函数，周期 T 可以通过函数的周期公式推导得出，例如正弦函数的周期为2π。

周期函数在科学和工程领域有广泛的应用，在描述物体振动、电磁波传播等现象时发挥重要作用。

周期函数的性质使得我们能够更好地理解和分析这些周期性的现象。

三、函数的奇偶性与周期性的关系奇函数和偶函数可以看作是周期函数的特殊形式。

事实上，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。

具体来说，如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数，并且具有周期 T，那么它也是一个周期函数。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。

在数学中，我们经常对函数的性质进行研究，其中包括奇偶性和周期性。

本文将探讨函数的奇偶性与周期性，并讨论它们在实际问题中的应用。

一、奇偶函数的定义与性质奇函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。

换句话说，奇函数关于原点对称。

偶函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。

换句话说，偶函数关于y轴对称。

奇偶函数的性质：1. 若函数f(x)是偶函数，则f(0) = f(-0)，即函数在原点对称，图像关于y轴对称。

2. 若函数f(x)是奇函数，则f(0) = -f(-0)，即函数在原点对称，图像关于原点对称。

3. 若函数f(x)是偶函数，则可以推导出f(-x) = f(x)，即偶函数的性质在整个定义域内成立。

4. 若函数f(x)是奇函数，则可以推导出f(-x) = -f(x)，即奇函数的性质在整个定义域内成立。

二、周期函数的定义与性质周期函数定义：对于任意实数x，若存在正常数T，使得f(x+T) =f(x)，则称f(x)为周期函数。

换句话说，周期函数在自身的一个周期内，函数值具有相同的周期性重复。

周期函数的性质：1. 若函数f(x)是周期函数，则任意一个周期内的函数值都相同。

2. 若函数f(x)是周期函数，则其所有周期的长度都是T的整数倍。

3. 周期函数可以是正弦函数、余弦函数等传统函数，也可以是其他基于数学模型得出的函数。

三、奇偶函数与周期性的应用奇偶函数与周期函数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。

以下是一些具体的应用案例：1. 电信号的表示在电子工程中，信号可以表示为奇函数或偶函数的组合。

根据信号的特性，我们可以通过分析奇偶性来判断信号的对称性和周期性，从而更好地进行信号处理和调整。

2. 物理振动奇函数和周期函数经常用来描述物体的振动情况。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性函数是我们学习高中数学的重要内容，它在解决实际问题的过程中有着重要的应用。

而函数的奇偶性和周期性则是函数的两个重要性质，它们在函数的特殊性质中起着至关重要的作用。

函数的奇偶性指的是函数的对称性，即对于任意一个实数x，如果f(-x)=-f(x)成立，则f(x)是奇函数；如果f(-x)=f(x)成立，则f(x)是偶函数。

奇函数和偶函数有着明显的对称性，且它们有着特殊的性质。

首先来看奇函数。

奇函数的图像具有对称性，即对于图像上任意一点（x,y），该函数的图像在点(-x,-y)处也有一个相应的点，这种对称性使得奇函数在某些情况下计算更加方便。

奇函数还有一个重要的性质，即在正负区间上它的值分别相反。

这个性质在某些应用中也非常有用，例如在对称的电路中，电流的正负方向是相反的。

偶函数也有着类似的性质。

偶函数的图像具有轴对称性，即对于图像上任意一点（x,y），该函数的图像在y轴上也有一个相应的点(x,-y)，这种对称性使得偶函数在某些计算中也更加方便。

与奇函数类似，偶函数在正负区间上的值是相等的，这个性质在某些应用中也非常有用，例如在物体匀速运动的过程中，物体的速度是随时间偶对称的。

此外，函数还有一个重要的性质就是周期性。

周期函数指的是在给定的周期内函数值具有相同的周期性变化规律，即如果存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则f(x)是T周期函数。

周期函数在物理和工程等领域中有着广泛的应用，例如正弦函数和余弦函数就是常见的周期函数。

在物理中，周期函数可以描述一个物体的集中振动状态，而在工程中，周期性变化的信号可以用来传输信息。

总的来说，函数的奇偶性和周期性决定着函数的一些特殊性质，这些性质又在现实生活中有着广泛的应用。

因此，对函数的奇偶性和周期性的深入理解是极为重要的，只有深刻理解了这些特殊性质，才能更好地应用它们解决实际问题。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。

在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。

本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。

具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。

以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。

通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。

对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。

例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。

具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。

常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。

例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。

周期函数在数学和物理中有广泛的应用。

例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。

周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。

结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。

函数奇偶性与周期性概念

函数奇偶性与周期性概念函数是数学中一种重要的概念，描述了一种输入和输出之间的对应关系。

在函数的研究中，奇偶性和周期性是两个重要而有趣的特性。

本文将介绍函数的奇偶性和周期性，并讨论它们在数学中的应用。

一、奇偶性的定义和性质1. 奇函数：若对于函数f(x)，对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

换句话说，当自变量取相反数时，函数值也取相反数。

2. 偶函数：若对于函数f(x)，对任意实数x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

换句话说，当自变量取相反数时，函数值不变。

3. 奇偶函数的性质：a. 奇函数的特点在于，当函数的定义区间关于原点对称时，奇函数图像关于原点对称。

b. 偶函数的特点在于，无论是函数的定义区间如何，偶函数图像关于y轴对称。

c. 奇函数和偶函数的图像都具有完全的对称性，这是它们的一个重要性质。

二、周期性的定义和性质1. 周期函数：若存在正数T，对于函数f(x)，对任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

周期T称为函数的周期，满足最小的正周期。

2. 周期函数的性质：a. 周期函数的图像在任意相邻两个周期内有重复的性质。

b. 周期函数的周期可以有多个，但存在最小的正周期。

c. 周期函数的定义区间一般为整个实数集，但也可以是部分实数集。

三、奇偶性和周期性在数学中的应用1. 奇函数和偶函数的应用：a. 奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，它们在各个数学分支和实际问题中都有广泛的应用。

b. 在对称性相关问题中，奇偶函数的性质可以简化计算过程，提供更简洁的解决方法。

c. 在优化问题中，奇函数的性质可以简化极值点的寻找过程。

2. 周期函数的应用：a. 周期函数广泛应用于信号处理、音乐理论、电路分析等领域。

b. 在物理学中，周期函数被用于描述波动现象，如光的干涉、声音的频率等。

c. 在经济学中，周期函数被用于描述经济指标的变化规律，如季节性波动等。

数学复习：函数的奇偶性与周期性

数学复习：函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数关于原点对称偶函数设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.[常用结论与微点提醒]1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期.()(4)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误.(4)反例：f(x)＝x3，x∈[－3，5]，存在x＝1，使f(－1)＝－f(1)，但f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，(4)错误.2.(多选)(教材改编)给出下列函数，其中是奇函数的有()A.f(x)＝x4B.f(x)＝x5C.f(x)＝x＋1x D.f(x)＝1x2答案BC解析对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋1x是奇函数，f(x)＝1x2是偶函数.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________.答案(－2，0)∪(2，5]解析由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(－1)＝1，则f(2025)＝______.答案－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，所以f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.考点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)2＋x，x＜0，x2＋x，x＞0；(3)f(x)＝log2(x＋x2＋1).解(1)－x2≥0，2－3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3－x2＋x2－3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.因为当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋（－x）2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数.感悟提升判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.训练1(1)(多选)下列命题中正确的是()A.奇函数的图象一定过坐标原点B.函数y＝x sin x是偶函数C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数D.函数y＝x2－xx－1是奇函数答案BC解析对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，所以B正确；对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，所以C正确；对于D，函数y＝x2－xx－1满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确.(2)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是()A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数B.f(x)－g(x)为R上的偶函数C.f（x）g（x）为R上的偶函数D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数答案D解析因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x).对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误；对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)，则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误；对于C ，x ∈R ，g (x )≠0，设M (x )＝f （x ）g （x ），M (－x )＝f （－x ）g （－x ）＝－f （x ）g （x ）＝－M (x )≠M (x )，故错误；对于D ，x ∈R ，设H (x )＝|f (x )g (x )|，H (－x )＝|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|＝H (x )，所以H (x )为偶函数，故正确.考点二函数奇偶性的应用角度1求解析式(参数或值)例2(1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x )＝(x ＋a )ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝()A.－1 B.0C.12D.1答案B 解析法一设g (x )＝ln2x －12x ＋1，易知g (x )∞且g (－x )＝ln－2x －1－2x ＋1＝ln 2x ＋12x －1＝－ln 2x －12x ＋1＝－g (x )，所以g (x )为奇函数.若f (x )＝(x ＋a )ln2x －12x ＋1为偶函数，则y ＝x ＋a 也应为奇函数，所以a ＝0，故选B.法二因为f (x )＝(x ＋a )ln2x －12x ＋1为偶函数，f (－1)＝(a －1)ln 3，f (1)＝(a ＋1)ln13＝－(a ＋1)ln 3，所以(a －1)ln 3＝－(a ＋1)ln 3，解得a ＝0(经检验，此时f (x )为偶函数)，故选B.(2)已知函数f (x )为奇函数且定义域为R ，当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案x －1解析当x ＜0时，－x ＞0.f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1.角度2奇偶性与单调性例3(1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则()A.f(f(1))<f(f(2))B.f(g(1))<f(g(2))C.g(f(1))<g(f(2))D.g(g(1))<g(g(2))答案BD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，所以BD正确，C错误.若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误.(2)(2024·广州质检)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为()A.(1，3)B.(3，＋∞)C.(－3，－1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(3，＋∞)答案D解析偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增.因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)，所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1，所以x∈(0，1)∪(3，＋∞).当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)，所以－1<x－2<1，解得1<x<3，所以解集为空集.综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)，故选D.感悟提升 1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.2.比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.3.解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).训练2(1)(2023·全国乙卷)已知f(x)＝x e xe ax－1是偶函数，则a＝()A.－2B.－1C.1D.2答案D解析法一f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即x e xe ax－1＝－x e－xe－ax－1，即e(1－a)x－e x＝－e(a－1)x＋e－x，即e(1－a)x＋e(a－1)x＝e x＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2.法二f(x)＝x e xe ax－1＝xe（a－1）x－e－x，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2.(2)已知函数f(x)为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(2)，b＝f(－1)，c＝f(e 13)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a 答案B解析由题意得，偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减. b＝f(－1)＝f(1)，(2)6＝8，(e13)6＝e2，因为8>e2，所以2>e13，又e13>1，所以f(2)<f(e13)<f(－1)，所以a<c<b.故选B.(3)函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式f （x ）－2f （－x ）x >0的解集为________.答案(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由于f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (－x )＝－f (x )可得，f （x ）－2f （－x ）x ＝f （x ）＋2f （x ）x ＝3f （x ）x >0，由于x 在分母位置，所以x ≠0，当x <0时，只需f (x )<0，由图象可知x <－2；当x >0时，只需f (x )>0，由图象可知x >2；综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞).考点三函数的周期性及应用例4(1)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (3)＝2，则f (2025)＝________.答案132解析∵f (x )f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13f （x ），∴f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝1313f （x ）＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2025)＝f (1)＝13f （3）＝132.(2)设f (x )是定义在R 上周期为4的偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数f (x )在[2，4]上的解析式为________________________.答案f (x )＝log 2(5－x )，x ∈[2，4]解析根据题意，设x∈[2，4]，则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]，又x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)，又f(x)为周期为4的偶函数，所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]，则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4].感悟提升 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.训练3(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则()A.f(2024)＝－1B.f(x)的值域为[－1，2]C.f(x)在[4，6]上单调递减D.f(x)在[－6，6]上有8个零点答案AB解析f(2024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f(x)＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于函数的周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]上有6个零点，所以D错误.【A 级基础巩固】1.(2024·北京海淀区质检)下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是()A.y ＝1xB.y ＝－x |x |C.y ＝e x －e －xD.y ＝－ln x答案B解析对于A ，函数y ＝1x为奇函数，在定义域上不单调，故A 错误；对于B ，函数y ＝－x |x |为奇函数，当x >0时，y ＝－x |x |＝－x 2，当x ≤0时，y ＝－x |x |＝x 2，故函数y ＝－x |x |在定义域内为减函数，故B 正确；对于C ，由于函数y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故y ＝e x －e －x 在定义域内为增函数，故C 错误；对于D ，函数y ＝－ln x 为非奇非偶函数，故D 错误.2.(2024·重庆诊断)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝－2，且h (x )＝－x 2＋f (3x )为奇函数，则f (－3)＝()A.4B.－2C.0D.2答案A解析因为h (x )＝－x 2＋f (3x )是奇函数，所以有h (－1)＋h (1)＝0，即－1＋f (－3)－1＋f (3)＝0，又f (3)＝－2，所以f (－3)＝4.3.(2024·济南模拟)设f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则使f (x )＞0的x 的取值范围是()A.{x |x ＞1}B.{x |－1＜x ＜0}C.{x |x ＜－1或x ＞1}D.{x |1＜x ＜0或x ＞1}答案C解析∵当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1单调递增，又∵f(x)为偶函数，故可以作出f(x)的图象如图所示.由图象可知，若f(x)＞0，则x＜－1或x＞1.4.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－1f（x），且f(1)＝1 3，则f(2025)＝()A.－13B.13C.－1D.1答案B解析由f(x＋2)＝－1f（x），得f(x)的周期T＝4，f(2025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝13.5.(多选)(2024·昆明检测)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则()A.f(－1)＝－1B.g(－1)＝－2C.f(1)＋g(1)＝1D.f(1)＋g(1)＝2答案AC解析法一由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1.x）－g（x）＝x3＋x2－1，f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1，得f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋1.对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正确；对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B错误；对于C和D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误.法二因为f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，将x ＝－1代入得f (－1)－g (－1)＝－1，所以－f (1)－g (1)＝－1，即f (1)＋g (1)＝1，故C 正确，D 错误；将x ＝1代入得f (1)－g (1)＝1，又f (1)＋g (1)＝1，所以f (1)＝1，g (1)＝0，所以f (－1)＝－1，g (－1)＝0，故A 正确，B 错误.6.(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是()A.f (x )＝(x －1)1＋x 1－x是偶函数B.f (x )2＋x （x <0），x 2＋x （x >0）是奇函数C.f (x )＝3－x 2＋x 2－3是非奇非偶函数D.f (x )＝1－x 2|x ＋3|－3是奇函数答案BD 解析对于A ，由1＋x 1－x ≥0，解得－1≤x <1，所以该函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，是非奇非偶函数，故A 错误；对于B ，设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x 2－x ，则f (－x )＝－f (x )，同理当x >0时，f (－x )＝－f (x )，所以该函数是奇函数，故B 正确；对于C ，由x 2－3≥0，解得x ≥3或x ≤－3，所以函数的定义域是(－∞，－3]∪[3，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝3－(－x )2＋（－x ）2－3＝3－x 2＋x 2－3＝f (x )，所以该函数是偶函数，故C 错误；对于D －x 2≥0，＋3|－3≠0，1≤x ≤1，≠0，所以该函数的定义域为[－1，0)∪(0，1]，f (x )＝1－x 2x .又f (－x )＝1－（－x ）2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，所以该函数是奇函数，故D 正确.7.(多选)f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，均有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(2－x )，则下列结论正确的是()A.函数f(x)的一个周期为4B.f(2024)＝1C.当x∈[2，3]时，f(x)＝－log2(4－x)D.函数f(x)在[0，2024]内有1010个零点答案ABC解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为4，故A正确；f(2024)＝f(4×506)＝f(0)＝1，故B正确；当x∈[2，3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)＝－f(x－2)＝－log2[2－(x－2)]＝－log2(4－x)，故C正确；易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2021)＝f(2023)＝0，于是函数f(x)在[0，2024]内有1012个零点，故D错误.8.写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.答案cos2x(答案不唯一)解析y＝cos2x满足定义域为R，最小正周期T＝2π2＝π，且为偶函数，符合要求.9.(2024·东北三省三校模拟)若f(x)＝a＋1e x－1＋1为奇函数，则实数a＝________.答案1解析函数f(x)＝a＋1e x－1＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，＝a＋1e x－1－（a＋1）e xe x－1＋2＝0，解得a＝1.10.若函数f(x)＝e x－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________.答案(e，＋∞)解析因为f(x)＝e x－e－x，定义域为R，且f(－x)＝－(e x－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数，又y ＝e x ，y ＝－e －x 均为增函数，故f (x )为R 上的增函数，则原不等式等价于f (ln x )>f (1－ln x )，也即ln x >1－ln x ，整理得ln x >12，解得x >e ，故不等式的解集为(e ，＋∞).11.已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].12.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2024).(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ).∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4).又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)解f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＋f(2023)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＝0＋f(2024)＝0＋f(0)＝0.【B级能力提升】13.(2024·保定调研)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列结论错误的是()A.f(0)＝2B.f(x)为偶函数C.f(x)为奇函数D.f(2)＝－1答案C解析因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A正确；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错误，B正确；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f (1)＝1，f (0)＝2，所以f (2)＝－1，D 正确.14.已知定义在R 上的函数为y ＝f (x )满足：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f （x ）；②函数y ＝f (x )是偶函数；③当x ∈(0，1]时，f (x )＝x ＋e x ，则f 是________________.答案解析由题意知f (x ＋1)＝1f （x ），且f (x ＋2)＝1f （x ＋1）＝f (x )，故函数y ＝f (x )的周期为2，∵当x ∈(0，1]时，f (x )＝x ＋e x 单调递增，∴故15.(2024·湖北九师联盟质检)设函数f (x )＝2－cos x 3＋－3＜x ＜3)，则不等式f (1＋x )＋f (2)＜f (1－x )的解集是________.答案(－2，－1)解析由题意知f (x )的定义域为(－3，3)，且f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，当x ∈[0，3)时，易证f (x )单调递增，所以f (x )在(－3，3)上单调递增，令g (x )＝f (1＋x )＋f (2)－f (1－x )，3＜1＋x ＜3，3＜1－x ＜3，则－2＜x ＜2，且g (x )在(－2，2)上单调递增，又g (－1)＝f (0)＋f (2)－f (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(－2，－1).16.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.解(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数.证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数.(3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16).又f (x )在(0，＋∞)上是增函数.所以0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.所以x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17，且x ≠1}.。

初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性

初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性初中数学知识归纳：函数的奇偶性与函数的周期性函数是初中数学中的重要概念之一，它描述了数学关系中的变化规律。

在数学中，函数的奇偶性和周期性是函数性质的两个重要方面。

下面将对函数的奇偶性和周期性进行归纳和讲解。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。

考察一个函数关于原点对称，可以分成以下两种情况：1. 偶函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。

也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值不发生改变。

常见的偶函数有：幂函数 x^n (n 为偶数)、三角函数 cos(x)、指数函数 e^x 和常数函数等。

举例说明：考虑函数 f(x) = x^2，我们可以验证 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。

所以函数 f(x) 是一个偶函数。

2. 奇函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。

也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值相反数乘以-1。

常见的奇函数有：幂函数 x^n (n 为奇数)、三角函数 sin(x)、反比例函数 1/x 等。

举例说明：考虑函数 f(x) = x^3，我们可以验证 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

所以函数 f(x) 是一个奇函数。

函数的奇偶性可以通过以下方法进行验证：- 将函数关于原点对称，若图像可以完全重合，则函数是偶函数；- 将函数关于原点对称，若图像可以对称映射，但不重合，则函数是奇函数；- 通过函数的表达式进行推导与验证。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在水平方向上的重复性。

一个函数称为周期函数，如果在定义域内存在一个正数 T，对于任意的 x，函数满足f(x+T) = f(x)。

常见的周期函数有：正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数tan(x) 等。

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。

函数的奇偶性与周期性是函数特性的一种表现形式。

在本文中，我们将探讨函数的奇偶性与周期性，并分析其在数学中的应用意义。

一、函数的奇偶性奇偶性是指函数在平面直角坐标系中关于原点的对称性质。

对于函数 f(x)，若对于任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

1.1 奇函数的特点奇函数具有以下特点：- 在原点处对称，即图像关于原点对称；- 若 f(x) 是奇函数，那么其图像关于 y 轴的负半轴和正半轴对称。

1.2 偶函数的特点偶函数具有以下特点：- 在 y 轴上的值相等，即图像关于 y 轴对称；- 若 f(x) 是偶函数，那么其图像关于 x 轴对称。

二、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以某个常数为周期重复出现的性质，常用于描述周期性现象。

对于函数 f(x)，若存在正数 T，使得对于任意x，都有 f(x+T) = f(x)，则称 T 为函数 f(x) 的周期。

2.1 周期函数的特点周期函数具有以下特点：- 在每个周期内，函数的取值和性质相同；- 周期函数的图像在每个周期内重复出现。

三、奇偶函数的周期性奇偶函数的周期性与其奇偶性质有一定的联系，具体如下：3.1 偶函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的偶函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于 y 轴对称。

3.2 奇函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的奇函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于原点对称。

四、函数奇偶性与周期性的应用函数的奇偶性与周期性在数学中有广泛的应用，特别是在函数图像的分析和计算中。

4.1 奇偶性在函数图像中的应用通过判断一个函数的奇偶性，可以有效简化函数图像的分析过程。

高中数学基础之函数的奇偶性与周期性

D.
考点二函数奇偶性的应用
【例 2】 (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则
当 x<0 时，f(x)＝( D ) A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)(2020·长沙第一中学期末)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝ ___1_____.
又 x<0，∴－x>0. ∵x≥0 时，f(x)＝ex－1，∴－y＝e－x－1， ∴y＝－e－x＋1(x<0)，即 f(x)＝－e－x＋1(x<0)．解法三(赋值法)：∵f(x)是奇函数，且 x≥0 时，f(x)＝ex－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，即 f(－1)＝－e＋1，只有 D 符合． (2)因为 f(x)－f(－x)＝xln(x＋ a＋x2)＋xln(－x＋ a＋x2)＝xln(a＋x2－x2)＝xlna ＝0，所以 a＝1.
1．(2020·福州市高三期末)下列函数为偶函数的是( B )
A．y＝tan(x＋π4)
B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcosx
D．y＝ln|x|－sinx
[解析] 对于选项 A，易知 y＝tan(x＋π4)为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)
＝x2＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．最小正周期为 2π 的奇函数
C．最小正周期为 π 的偶函数
D．最小正周期为 2π 的偶函数
(2)(2020·河南南阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且满足 f(x＋

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的工具，用来描述变量之间的关系。

在实际应用中，我们经常遇到一些特殊性质的函数，比如奇偶性与周期性。

本文将探讨函数的奇偶性与周期性的概念、特征以及在数学和实际问题中的应用。

一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于坐标轴的对称性。

具体来说，若对于函数中的任意一个元素x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于函数中的任意一个元素x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

若函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则称该函数为既非偶函数又非奇函数的函数。

以数学表达式为例，对于偶函数来说，f(x) = f(-x)；对于奇函数来说，f(x) = -f(-x)。

若一个函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，可以通过将f(x)拆分为偶函数和奇函数的和的形式来表示。

函数的奇偶性具有以下特点：1. 若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 若一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称；3. 若一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则其图像对于原点和y轴都没有对称性。

函数的奇偶性在数学推导和计算中有重要的作用。

在一些题目中，我们可以通过函数的奇偶性来简化计算，减少工作量。

二、函数的周期性函数的周期性是指函数在一定区间内以相同的规律重复出现。

具体来说，若对于函数中的任意一个元素x，有f(x + T) = f(x)，其中T为一个正常数，则称该函数为周期函数。

周期函数具有以下特点：1. 函数在一个周期内的变化规律是相同的；2. 函数的周期可以大于一个周期；3. 若函数的周期为T，则f(x + T) = f(x)，且对于一切正整数n，f(x+ nT) = f(x)。

周期函数在数学分析、物理学、信号处理等领域中具有广泛的应用。

很多实际问题中的变量可以通过周期函数来进行建模和分析，例如交流电信号和天体运动等。

三、函数的奇偶性与周期性的关系函数的奇偶性和周期性是两种不同的概念，但它们之间存在一定的联系。