高中数学必修5人教A教案1.1.1正弦定理

合集下载

高中数学 1.1.1正弦定理教案新人教A版必修5

《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、态度与价值观：通过正弦定理的发现与证明过程体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。

二、教学重点、难点分析重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

难点：正弦定理的发现并证明过程以及已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。

三、教学基本流程1、引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；2、结合初中学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理；3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；4、应用正弦定理解三角形。

五、教学反思1、新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力。

本设计创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。

2、新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下∠进行“再创造”过程。

本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来的正弦与B（在一般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。

高中数学必修5公开课教案1.1.1 正弦定理

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理沉着说课本章内容是处理三角形中的边角联络，与初中学习的三角形的边与角的根本联络有亲近的联络，与已知三角形的边和角持平断定三角形全等的常识也有着亲近的联络．教科书在引进正弦定理内容时，让学生从已有的几许常识动身，提出探求性问题“在恣意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角联络.咱们是否能得到这个边、角的联络准确量化的表明呢?”在引进余弦定理内容时，提出探求性问题“假如已知三角形的两条边及其所夹的角,依据三角形全等的断定办法，这个三角形是巨细、形状彻底确认的三角形.咱们依然从量化的视点来研讨这个问题，也便是研讨怎么从已知的两头和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联络的观念，重新的视点看曩昔的问题，使学生关于曩昔的常识有了新的知道，一同使新常识树立在已有常识的坚实根底上，构成杰出的常识结构．教育要点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其根本使用．教育难点1.正弦定理的探求和证明；2.已知两头和其间一边的对角解三角形时判别解的个数．教具预备直角三角板一个三维方针一、常识与技术1.经过对恣意三角形边长和视点联络的探求，把握正弦定理的内容及其证明办法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定了解斜三角形的两类根本问题．二、进程与办法1.让学生从已有的几许常识动身,一同探求在恣意三角形中，边与其对角的联络；2.引导学生经过调查、推导、比较，由特别到一般概括出正弦定理；3.进行定理根本使用的实践操作．三、情感情绪与价值观1.培育学生在方程思维辅导下处了解三角形问题的运算才能；2.培育学生探求数学规则的思维才能，经过三角函数、正弦定理、向量的数量积等常识间的联络来表现事物之间的遍及联络与辩证统一．教育进程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着极点C滚动．师考虑：∠C的巨细与它的对边AB的长度之间有怎样的数量联络？生明显，边AB的长度跟着其对角∠C的巨细的增大而增大．师能否用一个等式把这种联络准确地表明出来？师在初中，咱们已学过怎么解直角三角形，下面就首先来评论直角三角形中，角与边的等式联络．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,依据锐角三角函数中正弦函数的界说，有=sin A， =sin B，又sin C=1=,则.然后在直角三角形ABC中，.推动新课[协作探求]师那么关于恣意的三角形，以上联络式是否依然树立？（由学生评论、剖析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据恣意角三角函数的界说，有CD=A sin B=B sin A,则，同理，可得.然后.（当△ABC是钝角三角形时，解法相似锐角三角形的状况，由学生自己完结）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比持平，即.师是否可以用其他办法证明这一等式？生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角持平，来证明这一联络．师很好！这位同学能充分使用咱们曾经学过的常识来处理此问题，咱们一同来看下面的证法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O 为圆心,连接BO并延伸交圆于B′,设BB′=2R.则依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角持平可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sin C=sin B′=.∴.同理,可得.∴.这便是说,关于恣意的三角形,上述联络式均树立,因而,咱们得到等式.点评:上述证法采用了初中所学的平面几许常识,将恣意三角形经过外接圆性质转化为直角三角形从而求证,此证法在稳固平面几许常识的一同,易于被学生了解和承受,而且消除了学生所持的“向量办法证明正弦定理是仅有途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量办法证明正弦定理作了衬托.[常识拓宽]师接下来,咱们可以考虑用前面所学的向量常识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角联络,而在向量常识中,哪一常识点表现边角联络呢?生向量的数量积的界说式A·B=|A||B|C osθ,其间θ为两向量的夹角.师答复得很好,可是向量数量积触及的是余弦联络而非正弦联络,这两者之间能否转化呢?生可以经过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化.师这一转化发生了新角90°-θ,这就为辅佐向量j的增加供给了头绪,为便利进一步的运算,辅佐向量选取了单位向量j,而j笔直于三角形一边,且与一边夹角呈现了90°-θ这一方式,这是作辅佐向量j笔直于三角形一边的原因.师在向量办法证明进程中,结构向量是根底,并由向量的加法准则可得而增加笔直于的单位向量j是要害,为了发生j与、、的数量积,而在上面向量等式的两头同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,咱们再结合讲义进一步领会向量法证明正弦定理的进程,并留意总结在证明进程中所用到的向量常识点.点评: (1)在给予学生恰当自学时刻后,应着重学生留意两向量的夹角是以同起点为条件,以及两向量笔直的充要条件的运用.(2)要求学生在稳固向量常识的一同,进一步领会向量常识的东西性效果.向量法证明进程:1.△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j笔直于,则j与的夹角为90°-A,j与的夹角为90°-C.由向量的加法准则可得,为了与图中有关角的三角函数树立联络,咱们在上面向量等式的两头同取与向量j的数量积运算,得到由分配律可得.∴|j|Co s90°+|j|Co s(90°-C)=|j|Co s(90°-A).∴A sin C=C sin A.∴.别的,过点C作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.(此处应着重学生留意两向量夹角是以同起点为条件,避免误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B)∴.2.△ABC为钝角三角形,无妨设A＞90°,过点A作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Co s(90°-C)=C·Co s(A-90°),∴A sin C=C sin A.∴别的,过点C作与笔直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为90°+B.同理,可得.∴（方式1）.综上所述,正弦定理关于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均树立.师在证明了正弦定理之后,咱们来进一步学习正弦定理的使用.[教师精讲]（1）正弦定理阐明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且份额系数为同一正数，即存在正数k使A=ksin A，B=ksin B，C=ksin C；（2）等价于 (方式2).咱们经过调查正弦定理的方式2不难得到,使用正弦定理,可以处理以下两类有关三角形问题.①已知三角形的恣意两角及其间一边可以求其他边，如.这类问题因为两角已知,故第三角确认,三角形仅有,解仅有,相对简单,讲义P4的例1就归于此类问题.②已知三角形的恣意两头与其间一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题改变较多,咱们在解题时要辨明标题所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的进程叫作解三角形．师接下来,咱们经过例题剖析来进一步领会与总结.［例题剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 c m,解三角形.剖析:此题归于已知两角和其间一角所对边的问题,直接使用正弦定理可求出边B,若求边C,再使用正弦定理即可.解：依据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;依据正弦定理，b=≈80.1(c m);c=≈74.1(c m).[办法引导]1.此类问题成果为仅有解,学生较易把握,假如已知两角和两角所夹的边,也是先使用内角和180°求出第三角,再使用正弦定理.2.关于解三角形中的杂乱运算可使用计算器.【例2】在△ABC中，已知A=20c m，B=28c m，A=40°，解三角形（视点准确到1°，边长准确到1 c m）．剖析:此例题归于B sin A＜a＜b的景象,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的查验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到意图很清晰,一同领会剖析问题的重要性.解：依据正弦定理，sin B=≈0.899 9.因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）当B≈64°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，C=≈30(c m).（2）当B≈116°时，C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，C=≈13(c m).[办法引导]经过此例题可使学生清晰,使用正弦定理求角有两种或许,可是都不契合题意,可以经过剖析取得,这就要求学生了解已知两头和其间一边的对角时解三角形的各种景象.当然关于不契合题意的解的取舍,也可经过三角形的有关性质来判别,关于这一点,咱们经过下面的例题来领会.变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(准确到1°)和C(保存两个有用数字).剖析:此题归于A≥B这一类景象,有一解,也可依据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来扫除B为钝角的景象.解：已知B<A,所以B<A,因而B也是锐角.∵sin B=≈0.513 1,∴B≈31°.∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.∴C=≈91.[办法引导]同样是已知两头和一边对角,但或许呈现不同成果,应着重学生留意解题的灵活性,关于本题,假如没有考虑角B 所受约束而求出角B的两个解,从而求出边C的两个解,也可使用三角形内两头之和大于第三边,两头之差小于第三边这一性质从而验证而到达扫除不契合题意的解.变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(准确到1°)和C(保存两个有用数字).剖析:此题归于A为钝角且A>B的景象,有一解,可使用正弦定理求解角B后,使用三角形内角和为180°扫除角B为钝角的景象.解：∵sin B=≈0.618 6,∴B≈38°或B≈142°(舍去).∴C=180°-（A+B）=22°.∴ C=≈12.[办法引导](1)此题要求学生留意考虑问题的全面性,关于角B为钝角的扫除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)归纳上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两头与其间一边的对角解三角形.3.关于已知两头夹角解三角形这一类型,将经过下一节所学习的余弦定理来解.师为稳固本节咱们所学内容,接下来进行讲堂操练：1.在△ABC中(成果保存两个有用数字)，1.已知C =,A=45°,B=60°，求B;2.已知B＝12,A＝30°,B＝120°,求A.解：(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，，∴B=≈1.6.(2)∵，∴A=≈6.9.点评:此题为正弦定理的直接使用,意在使学生了解正弦定理的内容,可以让数学成果较弱的学生进行在黑板上回答,以增强其自信心.2.依据下列条件解三角形(视点准确到1°,边长准确到1):1.B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1) ∵.∴sin A=≈0.909 1.∴A1≈65°，A2≈115°.当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C1=≈22.当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C2=≈13.2.∵sin B=≈0.505 1,∴B1≈30°，B2≈150°.因为A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或许由B＜A知B＜A,故B应为锐角).∴C=180°-(45°+30°)=105°.∴C=≈38.3.∵,∴sin B=≈0.654 6.∴B1≈41°,B2≈139°.因为B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去.∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°,A=≈24.4.sin B= =1.212＞1.∴本题无解.点评:此操练意图是使学生进一步了解正弦定理,一同加强解三角形的才能,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种或许,又要结合标题的具体状况进行正确取舍.讲堂小结经过本节学习,咱们一同研讨了正弦定理的证明办法,一同了解了向量的东西性效果,而且清晰了使用正弦定理所能处理的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两头和其间一边的对角解三角形.安置作业（一）讲义第10页习题1.1第1、2题.（二）预习内容：讲义P5～P 8余弦定理[预习提纲]1.温习余弦定理证明中所触及的有关向量常识.2.余弦定理怎么与向量发生联络.3.使用余弦定理能处理哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明办法:3.使用正弦定理,可以处理两类问题:1.平面几许法 (1)已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两头和其间一边的对角。

高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理

正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C，所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状．解：[法一化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2＝b 2＋c 2，故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________．解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1，所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55，所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)．答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ，又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)，所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。

高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)_1

正弦定理一、教学内容的分析“正弦定理”是人教A版必修五第一章第一节的主要内容。

其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．二、学生学习情况分析在初中学生已经学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理任意三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革的主要任务。

这就要求教师在教学中引导学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得知识。

所以本节课的教学将以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。

四、三维目标1、知识与技能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及证明方法，并能解决一些简单的三角形问题。

2、过程与方法通过对特殊三角形边长和角度关系的探索，发现正弦定理，初步学会用特殊到一般的思想方法发现数学规律。

3、情感态度与价值观通过生活实例的探究引出正弦定理，体现数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。

五、教学重难点重点：正弦定理的证明及其基本运用．难点：（1）正弦定理的探索和证明；（2）已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个a cb O B C A 数．六、教学过程设计（一）新课导入如图，河流两岸有A 、B 两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A 、B 两地的距离(假设现在的位置是A 点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。

【说课稿】人教A版高中数学必修5第一章1.1.1正弦定理说课稿

《正弦定理》说课稿---人教A版高中数学必修5第一章1.1.1一、教材分析1.教材的地位：正弦定理是从以前初中教材逐步分离并划归到高中教材的一部分内容，学生在初中直角三角形部分的习题中见过正弦定理的结论，并且有一些学生能用面积法来证明。

从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，应属于向量应用的一方面。

教材用向量作为工具推导出正弦定理，并应用它们解斜三角形问题和一些实际问题。

从某种意义讲，本节课是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。

2.教学目标知识目标：在创设的问题情境中，学生主动地去发现正弦定理和推证正弦定理。

能力目标：引导学生观察发现、猜想和实验探索，培养学生的创新能力和动手能力情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

3.教学重难点重点：正弦定理的发现和推导难点：正弦定理的推导二、教学方法和手段课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。

根据这样的原则及所要达成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：（1）教学方法：观察发现、启发引导、动手实验相结合的教学方法。

在此基础上，通过学生交流与合作，从而扩展自已的数学知识和使用数学知识及数学工具的能力，实现自觉地、主动地、积极地学习。

（2）教学手段：没有学生参与的教学活动几乎是无效（起码是低效）的教学活动。

以往的计算机辅助教学只是把教师做好的课件展示给学生，学生只是把焦点集中在感观的形象上，而忽视了学生主体的地位。

“高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学难以呈现的课程内容”“尽可能的利用教育技术平台，加强数学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机计算器等进行探索活动”本节课地点选在多媒体教室，学生利用软件《几何画板》，来主动地去验证自已猜想，发现规律，让信息技术成为探讨数索问题、做数学实验的平台。

人教版高中数学必修五导学案：1.1.1正弦定理

§ 正弦定理班级姓名学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备试验：固定 ABC 的边 CB 考： C 的大小与它的对边及AB B ，使边 AC 绕着极点的长度之间有如何的数C转动．思量关系？明显，边 AB 的长度跟着其对角确地表示出来？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就第一来商讨直角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ， AC=b ， AB=c ，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc 进而在直角三角形ABC 中，abcsin A sin B ．sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD = asin B bsin A ，则 a b c bsin A ，同理可得 sin C ，a bc sin B sin B 进而sin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即abc ．sin A sin Bsin C试一试：（ 1）在ABC中，必定建立的等式是（）．A ．a sin A bsinB B .a cosA b cosBC. a sin B bsin A D .a cosB bcosA（ 2）已知△ ABC 中， a＝ 4， b＝ 8，∠ A＝ 30°，则∠ B 等于．[理解定理 ]（ 1）化边为角；（ 2）化角为边．（ 3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的随意两角及其一边能够求其余边，如a b sin A ；b．sin B②已知三角形的随意两边与此中一边的对角能够求其余角的正弦值，如sin A asin B ；sinCb ．（ 4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例 1. 在ABC中，已知 A45，B60 ，a 42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知B45 ， C 60 ，a12cm，解三角形．例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a 2,求 b和B, C ．变式：在 ABC 中， b3, B 60 , c 1, 求a 和A,C ．三、总结提高 ※ 学习小结1. 正弦定理：a b csin A sin B sin C2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和此中一边的对角．※ 知识拓展abc 为外接圆直径 .sin A sin B2R ，此中 2Rsin C学习评论1. 在 ABC 中，若cos Ab，则 ABC 是（） .cos B aA ．等腰三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 2. 已知△ ABC 中， A ∶ B ∶ C ＝ 1∶ 1∶ 4，则 a ∶ b ∶ c 等于（） .A ．1∶ 1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶ 1∶ 3D ．2∶ 2∶ 33. 在△ ABC 中，若 sin A sin B ，则 A 与 B 的大小关系为（）.A. A BB. A BC. A ≥BD. A 、 B 的大小关系不可以确立4. 已知 ABC 中， sin A:sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a : b: c = ．5. 已知ABC 中，A 60 ， a3 ，则a b c=．sin A sin B sin C课后作业1.已知△ ABC 中， AB ＝6，∠ A＝ 30°，∠ B＝120，解此三角形．2. 已知△ ABC 中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ k∶ (k＋1)∶ 2k (k≠0)，务实数k 的取值范围为．。

高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理

必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）；（2）．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（1）当A 为锐角（2）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【重点】理解正弦定理的及应用．【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ，由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题：（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（3）当A 为锐角（4）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数．解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ，所以此三角形只有一解．（2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况：有三种，我们分情况给予讨论（5）当A 为锐角（6）当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论：如果sin B>l ，则问题无解；如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解（B ）有两个解（C ）无解（D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8．在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。

1.1.1正弦定理教案

1.1.1正弦定理一、教学目标： 1、能力要求：①掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形； ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。

2、过程与方法：①使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系——正弦定理。

②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

二、教学重点、难点：重点：理解和掌握正弦定理的证明方法。

难点：理解和掌握正弦定理的证明方法；三角形解的个数的探究。

三、预习问题处理：1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做。

4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？四、新课讲解：在ABC Rt ∆中，设90=C ，则1sin ,sin ,sin ===C c b B c a A ，即：C cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===, CcB b A a sin sin sin ==。

问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？设ABC ∆为锐角三角形，其中C 为最大角。

如图（１）过点A 作BC AD ⊥于D ，此时有bADC c AD B ==sin ,sin ，所以C b B c sin sin =，即C c B b sin sin =．同理可得CcA a sin sin =，所以CcB b A a sin sin sin ==。

高中数学人教A版必修五第一章正弦定理教学设计

六、板书设计
老师板书定理
生 3 的板书生 4 的板书
生 11 的板书生 12 的板书
生 13 的板书
生 14 的板书
生 11 的证法：如图，设锐角三角形的
外接圆为圆 O，连接 CO 延长交圆 O 于点 D,则
A D, a a 2R (R 为圆 O 半径)
C
sin A sin D
同理可得 b 2R, c 2R 。
sin B
Байду номын сангаас
sin C
生 12 的证法：
O
连接AO,CO,作DO ^ AC ,Q ? AOD ? COD
生 2：构造直角三角形。生 3：首先在锐角三角形中作高构造直角三角形。师：很好，那么我们具体怎么做呢？请你展示一下学生板书、老师巡视, 和学生一起探讨证明过程：
如图，在 ABC中，作 CD AB,则CD a sin B,
CD bsin A, a sin B bsin A，
B
C A
D
得到 a b ,同理可得 b c
师生活动：学生小组讨论，老师巡视观摩，并请小组成员作答。生 7：结果等于一个定值。生 8：结果等于一个常数。师：两位同学猜想结果等于一个定值，都等于 c 吗？很显然，在非直角三角形中不成立。生 9：结果等于直角三角形外接圆的直径。师：对，大家能猜想到什么呢？生 10：对非直角三角形也成立。师：很好，那怎么探究呢？学生板书，老师巡视，发现问题并投影解决。
sin A sin B
sin B sin C 。
师：现在我们已经论证了等式在锐角三角形中成立，还要考虑哪种三角形？生 4：钝角三角形。师：你能在钝角三角形中得出同样的结论呢？学生板书，老师巡视并点评。师：通过上述讨论，我们得到了一个三角形边与角的准确量化的关系，我们称为正弦定理，你能概括一下正弦定理的内容吗？生 5：三角形中，一边和它所对角的正弦的比等于同一个数。师：有没有其他意见？生 6：各边和它所对角的正弦的比相等。师：两位同学都总结的不错，数学语言讲究精简，老师板书。

(完整版)1.1.1 正弦定理

人教版A版高中必修五
第一章解三角形 1.1.1 正弦定理
学习目标
• 1. 掌握正弦定理的内容； • 2. 掌握正弦定理的证明方法； • 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题。
学习重点：
正弦定理的内容；正弦定理的基本应用。
学习难点：
正弦定理的证明。
在初中阶段我们学过：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。
C 180°（A B）=105°
得 sin A a sin B 1 b2
由b c sin B sin C
∵ 在 ABC 中 a b
∴ A 为锐角
得c bsin C 4 sin B
2 sin105 sin 45

2
62
2
A 30
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C）
A. asin A bsinB
B. acos A bcos B
C. asin B bsin A
D. acos B bcos A
（2）在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，sina
A

b sin B

c sin C

k
则k为( A )
A.2R B.R C.4R D.R
【探究二】正弦定理的在解三角形中的应用
我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？
例1 在 ABC 中，已知 c 10, A 45,C 30 ，求a和b。
（保留两个有效数字）.
解：根据正弦定理
ac sin A sin C
a

c sin A sin C

10sin 45 sin 30

高二数学人教A版必修5教学教案1-1-1正弦定理(2)

《正弦定理》教学设计一、教学背景分析 1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。

《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。

正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。

通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

2.学生现实分析(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：①勾股定理： ②三角函数式，如： (2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：① ②两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ③大边对大角，大角对大边(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型 3.教学目标分析知识目标：(1)正弦定理的发现 (2)证明正弦定理的方法 (3)正弦定理的简单应用能力目标：(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力情感目标：(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣 (2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思二、教学展开分析1.教学重点与难点分析教学重点是发现正弦定理、用几何法和外接圆法证明正弦定理。

正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。

正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

高中数学1.1.1正弦定理教学设计新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．师思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，cb=sin B ，又sin C =1=c c ,则c simC c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中，simCcB b A a ==sin sin . 推进新课 [合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B bC c sin sin =.从而CcB b A a sin sin sin ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=∴R Cc2sin =同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==∴R C cB b A a 2sin sin sin ===这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫[知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C os θ,其中θ为两向量的夹角师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢生可以通过三角函数的诱导公式sin θ=Co s(90°-θ)进行转化师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用向量法证明过程(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为-A ,j 与的夹角为90°-C由向量的加法原则可得=+为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+Co s90°+|j|Co s(90°-C )=|j|Co s(90°-A∴A sin C =C sin A ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j 与的夹角为90°-B∴CcB b A a sin sin sin ==(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C由=+,得j·=j·即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -∴A sin C =C sin A∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为B .同理,可得C cB b sin sin = ∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用[教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可解：根据三角形内角和定理，C =180°-(A +B )=180°-根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(cc =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c[方法引导(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B（1）当B ≈64°时，C=180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c（2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =∴B∴C =180°-(A +B )=180°-∴C =oo A C a 38sin 111sin 60sin sin =[方法引导同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =∴B ≈38°或B ≈142°(舍去∴C =180°-（A +B ） ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导])此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习： 1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B (2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，Cc B b sin sin =， ∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到(1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A(3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A解： (1) ∵B bA a sin sin = ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a∴A 1≈65°，A 2当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b∴B 1≈30°，B 2由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角∴C =180°- ∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a(3)∵CcB b sin sin = ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b∴B 1≈41°,B 2由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去∴当B =41°时，A =180°-A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c(4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题（二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理[预习提纲(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识(2)余弦定理如何与向量产生联系(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题板书设计正弦定理1.正弦定理证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法已知两角和一边(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角习题详解（课本第5页练习）1.解：（1）∵B b A aC c sin sin sin ==,∴a =︒︒=30sin 45sin 10sin sin C A cB =180°-A -C =105°,∴b =︒︒=30sin 105sin 10sin sin C B c（2）C =180°-A -B =180°-60°-∵B bA a C c sin sin sin == ∴a =︒︒=75sin 60sin 20sin sin C A cb =︒︒=∙75sin 45sin 20sin sin C B c2.解：（1）∵C cB b A a sin sin sin == ∴sin A =11101130sin 20sin =︒=b B a又0°＜A ＜180°,∴A ≈65°或A①当A ≈65°时，C =180°-A -B =180°-65°-c =︒︒=30sin 85sin 11sin sin B C b②当A ≈115°时，C =180°-115°-c =︒︒=30sin 35sin 11sin sin B C b(2)∵C c B b A a sin sin sin ==,∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b又B 为锐角∴B ≈41°,A∴A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c备课资料一、知识总结1.判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形,这类问题分为一解、二解和无解三种情况.一方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性进行分析.设已知A 、B 、A ,则利用正弦定理aAb B sin sin =如果sin B ＞1,则问题无解如果sin B ＝1,则问题有一解如果求出的sin B ＜1,则可得B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.利用三角形面积证明正弦定理已知△ABC ,设BC ＝A , CA ＝B ,AB ＝C ,作AD ⊥BC ,垂足为D则Rt△ADB 中,ABADB =sin∴AD =AB ·sin B =c sin B∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=∙同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21sin 21=∴ S △ABC =Bac A bc C ab sin 21sin 21sin 21==∴ab sin c =bc sin A =ac sin B在等式两端同除以ABC ,可得bBa A c C sin sin sin ==即CcB b A a sin sin sin ==.3.利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成A =2Rsin A ,B =2Rsin B ,C =2Rsin C 或sin A =Rc C R b B R a 2sin ,2sin ,2==.（R 为△ABC 外接圆半径）这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用二、典型例题1．若△ABC 中(A 2+B 2)sin(A -B )=(A 2-B 2)sin C ,则△ABC 是（）A.等腰三角形B.直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形分析:运用正弦定理A =2Rsin A ,B =2Rsin B 以及结论sin 2A -sin 2B =sin(A +B )sin(A -B由（A 2+ B 2）sin(A -B ) = (A 2- B 2)sin C∴(sin 2A +sin 2B )sin(A -B ) =(sin 2A -sin 2B )sinC =sin(A +B )·sin(A -B )·si n C若sin(A -B )= 0,则 A = B若sin(A -B )≠0,则sin 2A +sin 2B =sin 2CA 2+B 2=C 2∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故答案选D2.在△ABC 中,A =45°，B ∶C = 4∶5，最大边长为10，求角B 、C ,外接圆半径及面积分析：由A +B +C =180°及B ∶C =4∶5,可得B =4K,C =5K ，则9K=135°，故K=15°.那么B =60°，C由正弦定理)26(575sin 210-=︒=R由面积公式32575sin sin 221sin 21-=∙∙=∙=A B R c A bc S点评：求面积时B 未知但可转化为B =2Rsin B ,从而解决问题3.在△ABC 中,已知A =30°，A 、B 分别为角A 、B 对边，且A =4，B =43，解此三角形分析：由正弦定理知23sin sin 3430sin 4sin sin =⇒=︒⇒=B B B b A a那么B 1=60°，C 1=90°，C 1=8或B 2=120°，C 2=30°，C 2点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有2个4.已知△ABC 的三个内角成等差数列并且t a n A ·t a n C =2+3,（1）求A 、B 、C 的度数;（2）若AB 边上的高CD =43,求三边A 、B 、C 的长．分析：（1）由2B =A +C ，得B =60°，则A +C =120°，32cos cos sin sin 32tan tan +=∙∙⇒+=∙CA CA C A .即(2+3)CO s A ·CO s C -sin A ·sin C⇒(1+3)CO s A ·CO s C + (CO s A ·CO s C -sin A ·sin C )=0 ⇒(1+3)·21［CO s(A +C )+CO s(A -C )］+CO s(A +C⇒231+［-21 +CO s(A -C )］+CO s(A +C )=0.∴CO s(A -C )=23得|A -C |=30°.又∵A +C =120°.∴A =45°,C =75°或A =75°,C（2）如图,若A ＜B ＜C ,由正弦定理得A =8，B =46，C =BCO s A +ACO s B =4(3同理，若A ＞B ＞C 时，则A =4(3+1)，B =46,，C点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差得A +C =120°,恒等变形的目标就是寻找A 与C 的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化．此题还可以由t a n A ·t a n C =2+3求出t a n A +t a n C =3+3，运用韦达定理解出t a n A 和t a n C ,这对综合能力的训练大有益处．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理

数学·必修5(人教A版)解三角形本章概述课标导读1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.要点点击1.边长a、b、c对应角分别为A、B、C，非特殊要求不能改变．2.注意使用三角形内角和为180°.3.建立边角关系一般使用正弦定理和余弦定理．4.多边形和多面体的计算一般通过解三角形来完成．5.解测量问题时，一般把问题抽象成平面多边形或空间多面体问题，再利用解三角形方法求解.网络构建1.1正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理►基础达标1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝( )A．30° B．45° C．60° D．90°解析：由2B＝A＋C⇒3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°，故选C.答案：C2.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )A．4 3 B．2 3 C. 3 D.3 2解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsin B＝BCsin A，∴AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝( ) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶1解析：设A＝k，B＝2k，C＝3k，由A＋B＋C＝180°，得6k ＝180°，k ＝30°，∴A ＝30°，B ＝60° ，C ＝90°， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2.C答案：C4．(2013·湖南卷)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析：∵b sin B ＝a 32，∴sin A ＝32，∵△ABC 是钝角三角形，∴A ＝π3. 答案：D5．在△ABC 中，若b ＝2，B ＝30°，C ＝135°，则a ＝________.解析：∵B ＝30°，C ＝135°，∴A ＝180°－30°－135°＝15°.由正弦定理，a sin A ＝bsin B得： a ＝b sin A sin B ＝2sin 15°sin 30°＝4sin 15°. 又sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝64－24， ∴a ＝6－ 2.答案：6－ 2►巩固提高6．在△ABC 中，如果B ＝31°，a ＝20，b ＝10，则此三角形( )A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．有无穷多解解析：∵a sin B ＞b ，∴无解．答案：C7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．解析：利用正弦定理及三角形内角和性质求解．在△ABC 中，由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，即sin B ＝b sin A a ＝3×323＝12. 又∵a >b ，∴∠B ＝π6. ∴∠C ＝π－∠A －∠B ＝π2. 答案：π28．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝ABsin C ，∴sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32， ∴C ＝60°或120°，①当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；②当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1.答案：1或29．已知：在△ABC 中，A ＝45°，c ＝6，a ＝2，解此三角形．解析：c sin C ＝a sin A ⇒sin C ＝c sin A a ＝6×24＝32，当C ＝60°时，B ＝75°，∴b ＝a sin B sin A＝3＋1. 当C ＝120°时，B ＝15°，∴b ＝a sin B sin A＝3－1.10．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状．解析：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，∵2A 、2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 为等腰或直角三角形．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a ，b ，A 解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A ＜a ＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．特别强调：把a＝2R sin A，b＝2R sin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．。

人教A版高中数学必修五优秀教案示范教案正弦定理

1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理从容说课本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．教学重点1.正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用．教学难点1.正弦定理的探索和证明；2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．教具准备直角三角板一个三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt △ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，cb=sin B ，又sin C =1=c c ,则c simC c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形ABC 中，simCcB b A a ==sin sin . 推进新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得BbC c sin sin =.从而Cc B b A a sin sin sin ==. （当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==. 师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系．师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R BbR A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢? 生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢? 生可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得AB CB AC =+而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键,为了产生j 与AB、AC 、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j与CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得AB CB AC =+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(由分配律可得AB j CB j AC •=•+.∴|j|ACCo s90°+|j|CBCo s(90°-C )=|j|ABCo s(90°-A ).∴A sin C =C sin A . ∴CcA a sin sin =. 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC 的夹角为90°-C ,j与AB 的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==. (2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j,则j 与AB的夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .由AB CB AC =+,得j·AC+j·CB =j·AB ,即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°), ∴A sin C =C sin A . ∴CcA a sin sin =另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j,则j 与AC的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =. ∴Cc B b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°; 根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性. 解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9. 因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时， C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m). （2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m).[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1, ∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91. [方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知A ＝28,B ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6, ∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°. ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习： 1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B ;(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A . 解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =， ∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1): (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°; (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =. ∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1. ∴A 1≈65°，A 2≈115°.当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22. 当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13. (2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a Ab ≈0.505 1, ∴B 1≈30°，B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角). ∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38. (3)∵Cc B b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6. ∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去. ∴当B =41°时，A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题. （二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识. (2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。

高中数学新人教A版必修5教案 1.1.1 正弦定理

【教学目标】：1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定及其变形2．能初步用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.(第一种类型)【新课导入】工程师为了测定河岸A 点到对岸C 点的距离，在岸边选定100米长的基线AB ，并测得∠B =120o ，∠A =45o ，你可以求出A 、C 两点的距离吗？【预习收获】1．正弦定理定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC 中，a sin A ＝b sin B＝______. 2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．【问题解决】对定理的证明，课本给出了锐角三角形的情况．对于钝角三角形，应如何证明？（引导学生证明钝角三角形的情况，并总结归纳正弦定理的适应范围）【几何意义】在Rt △ABC 中，若C ＝90°，你能借助所学知识导出asin A 的具体值吗？在锐角三角形中这个结论成立吗？钝角三角形中呢？【探究结论】设任意△ABC 的外接圆的半径为R ，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝ 2R. 【定理变形】1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC 中，a sin A ＝bsin B＝______.(2)变形：设△ABC 的外接圆的半径为R ，则有a sin A ＝b sin B ＝csin C＝_____. ①a :b :c ＝sin A :_____:sin C . ②a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c＝______. ③asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C . ④a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝________.【例题讲解】类型一已知两角及一边解三角形在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .【探究拓展】在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A :B :C ＝1:2:3，则a :b :c ＝________.【智能训练】今天的概念你清楚了吗？1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝a :b :c .其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4结合初中的概念，你的基础牢固吗？2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形三角形中最重要的定理是什么？3．在△ABC 中，sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则C ＝________.今天的知识你可以参加高考了吗？4．(2012·广东卷)在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°， BC ＝32，则AC ＝( )A．4 3 B．2 3C. 3D.3 2你知道如何判断最小边吗？5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．【探究发现】可以实际应用了吗？解决开头提出的问题：工程师为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定100米长的基线AB，并测得∠B=120o，∠A=45o，你可以求出A、C两点的距离吗？【课后作业】1.课本P4.1、（1）（2）2.课本 P10 1、（1）（2）。

高中数学第一章解三角形 1.1.1 正弦定理教案新人教

1.1.1正弦定理一、教学目标：1、掌握正弦定理的内容及其证明方法；能用正弦定理解决一些简单的三角度量问题；2、让学生从已有的几何知识出发,探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察、猜想、推导，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力。

3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现及探索过程，逐步学生培养探索精神和创新意识。

二、教学重点难点：教学重点：正弦定理的探索与发现。

教学难点：正弦定理证明及简单应用。

三、教学策略“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，在教师的启发引导下，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，结合现代多媒体教学手段，通过观猜想—验证--发现--证明--应用等环节逐步得到深化，体验数学知识的内在联系，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，逐步培养学生探索精神和创新意识。

四、教学过程探寻特例提出猜想1、回顾直角三角形中边角关系.引导学生寻求联系，发现规律深化学生对直角三角形边角关系的理解.利用c边相同，寻求形式的和谐统一发现在直角三角形中根据学生认知规律，由特殊三角形入手，让学生经历由特殊到一般的发现过程，从而体验数学的探索过程，激发了学生探究欲，突显了学生的主体地位。

2、问题1、发现对于锐角、钝角三角形成立吗？学生思考交流。

3、个例验证发现将两个全等的30°、60°的直角三角形，拼在一起验证.4、提出猜想：学生大胆猜想：对于直角、锐角、钝角三角形发现均成立。

逻辑推理证明猜想1、多媒体课件验证猜想。

（任意改变三角形形状，由计算机算出各边与对角正弦值的比，观察是否相等）教师演示，学生观察。

通过多媒体验证，学生从感性认识猜想的正确性。

2、问题2：你能通过严格的推理证明猜想吗？学生合作交流，探索证明方法。

高中数学必修五教案-1.1.1 正弦定理(25)-人教A版

课题: 5.9.1 余弦定理教学目标:1.知识与技能目标(1)掌握余弦定理及其推导过程．(2)会利用余弦定理求解简单的斜三角形边角问题． 2.过程与能力目标(1)通过用向量的方法证明余弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识．(2)通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 3.情感与态度目标通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一关系.教学重点:余弦定理的证明及应用．教学难点:用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索．教学过程:I.情景引入柳州有很多隧道, 技术人员在修建每个隧道前（打通前）都需要确定隧道长度.其方法是:先在地面上选一适当位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离,再利用测量仪器测出A ∠的大小,最后通计算求出山脚的长度BC.大家想知道工程技术人员是怎样计算出来的吗?Ⅱ.探索研究这其实是个数学问题:“三角形中已知两边及夹角,求第三边.” 其对应数学模型:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =及A A ∠=,求()a BC 即.学情分析：在学习本节内容之前学生已经学习了解直角三角形以及利用正弦定理解斜三角形的知识。

大多数同学已掌握，并能熟练应用这一知识。

教学准备：学案，投影（学生展示用），通过学生讨论，老师引导的方法突破难点.3分钟后请学生回答,若没人想出老师需进一步启发、引导.思路一:(构造直角三角形) ()()222222222,.sin cos 2cos B BD AC D BD DC BC c A b c A a b c bc A a ⊥+=⋅+-⋅=+-=过点作垂足为则所以即思路二: (利用平面向量知识)222222222:()22cos 2cos BC AC AB BC AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB A a b c bc A=-=-=+-⋅=+-⋅=+-由得即（引出课题:这个就是我们今天要讲的余弦定理的第一个公式.）板: 5.9.1余弦定理公式:①2222cos a b c bc A =+-1.强化对公式的记忆问:公式①中存在几个量?等式右边是哪几个量? 答:四个量,等式右边是两个边及其夹角. 问:用文字语言怎样描述这四个量的关系呢?答:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．(请同学根据这一关系写出22,b c 所对余弦定理公式.)板:②2222cos b a c ac B =+- ③2222cos c a b ab C =+-2.余弦定理与勾股定理间关系当022290,A a b c ==+时,也就是直角三角形勾股定理. 勾股定理是余弦定理的一种特殊情况, 余弦定理是勾股定理的扩充推广.此方法不作过多强调。