【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(十八) 理新人教版

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人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一(共7篇)

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (5)

课时作业5 函数的单调性与最值1．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( A ) A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：依题意可得函数在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A 正确． 2．(2019·阜阳模拟)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：①y ＝x 12在(0,1)上递增； ②∵t ＝x ＋1在(0,1)上递增，且0＜12＜1，故y ＝log 12(x ＋1)在(0,1)上递减； ③结合图象可知y ＝|x －1|在(0,1)上递减； ④∵u ＝x ＋1在(0,1)上递增，且2＞1，故y ＝2x ＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③. 3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( C ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1解析：由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1＜0，0＜a ＜1，(3a －1)×1＋4a ≥log a 1， ∴17≤a ＜13，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13. 4．(2019·山西晋城一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a ＞0且a ≠1)，若f (0)＜0，则此函数的单调递增区间是( C ) A ．(－∞，－1] B ．[－1，＋∞) C ．[－1,1) D ．(－3，－1] 解析：令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )＞0，可得－3＜x ＜1，故函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．根据f (0)＝log a 3＜0，可得0＜a ＜1，则本题即求函数g (x )在(－3,1)内的减区间．利用二次函数的性质可求得函数g (x )在(－3,1)内的减区间为[－1,1)，故选C. 5．(2019·河南郑州一模)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪|x |－1x 2在{x |1≤|x |≤4，x ∈R }上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝( A ) A.3116 B ．2 C.94 D.114 解析：可令|x |＝t ，则1≤t ≤4，y ＝t －1t 2，易知y ＝t －1t 2在[1,4]上递增， ∴其最小值为1－1＝0；最大值为2－116＝3116，则m ＝0，M ＝3116，则M －m ＝3116，故选A.6．(2019·山东济宁模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(lnπ)2，c ＝ln π，则( C ) A ．f (a )＞f (b )＞f (c ) B ．f (b )＞f (a )＞f (c ) C ．f (c )＞f (a )＞f (b ) D ．f (c )＞f (b )＞f (a ) 解析：由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又∵|a |＝lnπ＞1，b ＝(lnπ)2＞|a |,0＜c ＝lnπ2＜|a |， ∴f (c )＞f (|a |)＞f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．故选C. 7．(2019·河南安阳一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；②对定义域内的任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A ) A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x －x C ．f (x )＝ln|x ＋1| D ．f (x )＝cos x 解析：由题意得：f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上递增．对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0，故f (x )在(0，＋∞)上递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不符合题意；对于C ，由x ＋1≠0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不符合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)上不单调递增，不符合题意，故选A. 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0) 解析：二次函数y ＝x 2－4x ＋3图象的对称轴是直线x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3＜3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )＞f (2a －x )得到x ＋a ＜2a －x ，即2x ＜a ，∴2x ＜a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)＜a ，∴a ＜－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)，故选A. 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是[0,1)__．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 10．(2019·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 19x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3 . 解析：由题意知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12或f (0)>f (log 19x )＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， ∴log 19x ＞12或－12＜log 19x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜13或1＜x ＜3. 11．(2019·西安模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x ＞0时，f (x )＞－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 证明：在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞－1. 又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1＞f (x 2)，所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5. 由f (x 2＋2x )＋f (1－x )＞4得f (x 2＋x ＋1)＞f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1＞3，解得x ＜－2或x ＞1，故原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞1}． 12．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域； (2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x ＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2＞0. 因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )＞0. 即x ＋a x －2＞1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a ＞3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a ＞2时，恒有f (x )＞0. 因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．13．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( D ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0,1] D ．[1，3] 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x ＋32x －1，令g (x )＝12x ＋32x －1(x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0，得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]． 14．(2019·海南阶段性测试)已知函数f (x )＝2 017x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )－2 017－x ＋3，则关于x 的不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为( A ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(2，＋∞) 解析：因为函数y 1＝2 017x －2 017－x 是奇函数，函数y 2＝log 2 017(1＋x 2＋x )为奇函数，所以函数g (x )＝2 017x －2 017－x ＋log 2 017(x 2＋1＋x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (1－2x )＋f (x )＞6即g (1－2x )＋3＋g (x )＋3＞6，即g (x )＞g (2x －1)，∴x ＞2x －1，∴x ＜1， ∴不等式f (1－2x )＋f (x )＞6的解集为(－∞，1)．故选A. 15．设函数f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝4_033__. 解析：f (x )＝2 017x ＋1＋2 0162 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017x ＋1＋2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x ＝2 017－12 017x ＋1＋2 016sin x . 显然该函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上单调递增，故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，所以M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017π2＋1＋2 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2 017－12 017－π2＋1－2 016＝4 034－12 017π2＋1－ 2 017π21＋2 017π2 ＝4 034－1＝4 033. 16．(2019·中山模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (3)＝1. (1)判断f (x )的单调性； (2)解关于x 的不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1， ∵当x ＞1时，f (x )＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． (2)在f (x 1)－f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2中，令x 1＝9，x 2＝3， ∴f (9)－f (3)＝f (3)．又f (3)＝1，∴f (9)＝2. ∴不等式f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞2，可转化为f (3x ＋6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＞f (9)， ∴f (3x ＋6)＞f (9)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (9x )，由函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，∴0＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(0,1)． (3)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(六) 理新人教版

课时作业(六)1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12 D ．－12答案 B解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝13＋0＝13.2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案 A解析由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．3．(2020·广东理)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f (x )|－g (x )是奇函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )－|g (x )|是奇函数D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数答案 D解析设F (x )＝f (x )＋|g (x )|，由f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，得F (－x )＝f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|＝F (x )，∴f (x )＋|g (x )|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．4．(2020·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 A解析解法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.解法二：设x >0，则－x <0， ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ， ∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.5．已知f (x )(x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( ) A.12 B ．1 C.32 D ．2答案 C解析令x ＝－1，则f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)，即f (1)＝－f (1)＋f (2)，∴f (1)＝12.∴f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.6．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 答案 B解析由f (2)＝0，得f (5)＝0，∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．点评本题的易错点是，易忽略条件f (x )是偶函数，而且还易出现漏根的情况． 7．(2020·湖北)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x) C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析由f (x )＋g (x )＝e x可得f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x，则两式相减可得g (x )＝e x －e －x2，选D.8．(2020·济南模拟)函数f (x )在定义域R 上不是常数函数，且f (x )满足条件：对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，f (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是( )A ．奇函数但非偶函数B ．偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数答案 B解析依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，所以f (－x ＋2)＝f (－x )．又f (2＋x )＝f (2－x )，因此有f (－x )＝f (x )，即f (x )是偶函数；若f (x )是奇函数，则有f (－x )＝－f (x )＝f (x )，得f (x )＝0，这与“f (x )不是常数函数”相矛盾，因此f (x )是偶函数但不是奇函数，选B.9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2020)＝－17，则f (2020)＝________.答案 31解析 f (2020)＝a ·20205＋b ·20203＋c ·2020＋7，f (－2020)＝a (－2020)5＋b (－2020)3＋c (－2020)＋7，∴f (2020)＋f (－2020)＝14，∴f (2020)＝14＋17＝31. 10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像关于________点对称．答案(0,1)解析 f (x )的图像是由y ＝x 3＋sin x 的图像向上平移一个单位得到的．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2020)的值为________．答案 2解析 ∵f (x ＋10)＝f [(x ＋5)＋5]＝－f (x ＋5)＋2＝－[－f (x )＋2]＋2＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为10.∴f (2020)＝f (10×201＋2)＝f (2)＝2.12．(2020·上海文)设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为________．答案 [－2,7]13．(2020·山东潍坊)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________．答案 ①②⑤解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴f (x )是周期为2的函数，①正确，f (x )关于直线x ＝1对称，②正确， f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．14．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b 2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．答案 (1)a ＝2，b ＝1 (2)k <－13解析 (1)因为f (x )是奇函数， ∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1， ∴f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2.(2)解法一由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2.即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.解法二由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1.又由题设条件得：1－2t 2－2t 2＋2t 2－2t ＋1＋1－22 t 2－k2＋22 t 2－k ＋1<0，即：(22t 2－k ＋1＋2)(1－2t 2－2t)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(1－22 t 2－k)<0，整理得23t 2－2t －k>1，因底数2>1，故：3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)．思路 (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )是周期函数；(2)由f (x )在[0,2]上的解析式求得f (x )在[－2,0]的解析式，进而求f (x )在[2,4]上的解析式；(3)由周期性求和的值． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2020)＋f (2020)＋f (2020)＋f (2020)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＝0.1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( ) A ．y ＝e x－e －xB ．y ＝lg 1＋x1－xC ．y ＝cos2xD ．y ＝sin x ＋cos x答案 D2．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2答案 A解析 ∵函数周期T ＝5，且为奇函数， ∴f (1)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝1. ∴f (4)＝－1.又∵f (2)＝f (2－5)＝f (－3)＝－f (3)＝2， ∴f (3)＝－2.∴f (3)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.4．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (3)－2f (－3)＝0，则f x －f －x2x<0的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(0,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(0,3)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)答案 C解析因为函数f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (－3)＝－f (3)，由f (3)－2f (－3)＝0，得3f (3)＝0，f (3)＝0.又因为f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以当x >3或－3<x <0时，f (x )>0；当x <－3或0<x <3时，f (x )<0.由f x －f －x 2x <0，即f xx<0，可知－3<x <0或0<x <3，故选C.5．定义在R 上的函数f (x )满足：对任意α、β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2020，则下列说法正确的是( )A ．f (x )－1是奇函数B ．f (x )＋1是偶函数C ．f (x )－2020是偶函数D ．f (x )＋2020是奇函数答案 D解析令α＝β＝0，则得f(0＋0)－[f(0)＋f(0)]＝2020，解得f(0)＝－2020，显然f(0)＋2020＝0.又令α＝x，β＝－x，则有f(0)－[f(x)＋f(－x)]＝2020，所以－[f(x)＋2020]＝f(－x)＋2020.设g(x)＝f(x)＋2020，故有g(－x)＝－g(x)，所以函数f(x)＋2020是奇函数．故选D.6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.答案0解析依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.1．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数思路根据函数是偶函数和关系式f(x)＝f(2－x)，可得函数图像的两条对称轴，只要结合这个对称性就可以逐次作出这个函数的图像，结合图像对问题作出结论．答案 B解析解法一：由函数是偶函数，知函数的图像关于y轴对称，函数在区间[－2，－1]上的单调性与在区间[1,2]上的单调性相反，为增函数；由f(x)＝f(2－x)知函数的图像关于直线x＝1对称，故函数在区间[3,4]上的单调性与在区间[－2，－1]上的单调性相反，为减函数．故选B.解法二：求解本题的难点在于函数的抽象性，化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理，如根据函数是偶函数可得f(－x)＝f(x)，再根据f(x)＝f(2－x)，把其中的x 换成－x可得f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(x＋2)，即函数是周期为2的偶函数，再根据f(x)＝f(2－x)推知函数图像关于直线x＝1对称．2．(2020·广东六校联合体第二次联考)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，f (32)＝0，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．9答案 D解析对R 上的奇函数f (x )，有f (0)＝0；又f (1)＝sinπ＝0；再由T ＝3， ∴f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝0；f (6)＝f (3＋3)＝f (3)＝0； f (4)＝f (1＋3)＝f (1)＝0； f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0， f (2)＝－f (－2)＝0； f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＝0.因为f (32)＝0，所以f (92)＝f (32＋3)＝f (32)＝0.综上可知f (x )在区间[0,6]上的零点为0,1，32，2,3,4，92，5,6共9个，故选D.3．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2020(x )＝( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x1－x答案 C解析由题得f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝x －1x ＋1，f 4(x )＝f (x －1x ＋1)＝x ，f 5(x )＝1＋x 1－x ＝f 1(x )，其周期为4，所以f 2020(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1. 4．(2020·新课标全国卷)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}答案 B解析当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，又f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －23－8，x ≥2－x －23－8，x <2，⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x －23－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－x －23－8>0，解得x >4或x <0.故选B.5．(2020·湖南示范性高中一模)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f xg x －1＋f (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 B解析由条件知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝1g x，∴F (－x )＝2f－x g－x －1＋f (－x )＝－2f x1g x－1－f (x )＝－fx ·g x －f x 1－g x ＝f x g x ＋f xg x －1＝F (x )．6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x，则不等式f (x )<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 A解析当x >0时，1－2－x＝1－12x >0与题意不符，当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝1－2x，又∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝1－2x， ∴f (x )＝2x－1， ∴f (x )＝2x－1<－12，∴2x <12，∴x <－1，∴不等式f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．7．(2020·《高考调研》原创题)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且{x |f (x )＞0}＝{x |1＜x ＜3}，则f (π)＋f (－2)与0的大小关系是( )A ．f (π)＋f (－2)＞0B ．f (π)＋f (－2)＝0C ．f (π)＋f (－2)＜0D ．不确定答案 C解析由已知得f (π)<0，f (－2)＝－f (2)＜0，因此f (π)＋f (－2)＜0.8．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4)解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称，又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)， ∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．9．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时，f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为________．思路由函数联想图像，若x ，x ＋3x ＋4都在y 轴一侧，则这两个式子相等，在y 轴两侧，则其互为相反数，直接求解．答案－8解析依题意，当满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)时，有x ＝x ＋3x ＋4时，得x 2＋3x －3＝0，此时x 1＋x 2＝－3.又f (x )是连续的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴另一种情形是f (－x )＝f (x ＋3x ＋4)，有－x ＝x ＋3x ＋4，得x 2＋5x ＋3＝0. ∴x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f (x ＋3x ＋4)的所有x 之和为－3＋(－5)＝－8.。

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (2)

课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( A ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c 解析：将条件、结论都否定．命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”． 2．(2019·江西九江十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≥－1，ln (－x )，x ＜－1，则“x ＝0”是“f (x )＝1”的( B ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝0，则f (0)＝e 0＝1；若f (x )＝1，则e x ＝1或ln(－x )＝1，解得x ＝0或x ＝－e.故“x ＝0”是“f (x )＝1”的充分不必要条件． 3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D ) A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 4．(2019·河南郑州一模)下列说法正确的是( D ) A ．“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ＞1，则a 2≤1” B ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0＞4x 0成立D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题解析：对于选项A ，“若a ＞1，则a 2＞1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x ＞3x ，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D. 5．(2019·江西鹰谭中学月考)设f (x )＝x 2－4x (x ∈R )，则f (x )＞0的一个必要不充分条件是( C ) A ．x ＜0 B ．x ＜0或x ＞4 C ．|x －1|＞1 D ．|x －2|＞3 解析：依题意，f (x )＞0⇔x 2－4x ＞0⇔x ＜0或x ＞4. 又|x －1|＞1⇔x －1＜－1或x －1＞1，即x ＜0或x ＞2，而{x |x ＜0或x ＞4}{x |x ＜0或x ＞2}，因此选C. 6．(2019·山东日照联考)“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：当m ＜0时，由图象的平移变换可知，函数f (x )必有零点；当函数f (x )有零点时，m ≤0，所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件，故选A. 7．(2019·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D. 8．(2019·山西太原模拟)已知a ，b 都是实数，那么“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：若2a ＞2b ，则2a －b ＞1，∴a －b ＞0，∴a ＞b . 当a ＝－1，b ＝－2时，满足2a ＞2b ，但a 2＜b 2，故由2a ＞2b 不能得出a 2＞b 2，因此充分性不成立．必要性：若a 2＞b 2，则|a |＞|b |. 当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但2－2＜21，即2a ＜2b ，故必要性不成立．综上，“2a ＞2b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，故选D. 9．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜π6，sin θ＜12⇔θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ∴“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 10．(2019·江西红色七校模拟)在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为cos A ＞sin B ，所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角，又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，所以A ＜π2－B ，所以A ＋B ＜π2，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C ＞π2，所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角，则C ＞π2，所以A ＋B ＜π2，所以A ＜π2－B ，所以cos A ＞cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，即cos A ＞sin B . 故“cos A ＞sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件． 11．设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分__条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析：a ∥b ⇔sin2θ＝cos 2θ⇔cos θ＝0或2sin θ＝cos θ⇔cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件． 12．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：方法一命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞1或x ＜12.綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12. 方法二命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，即A B ， ∴⎩⎨⎧ a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎨⎧ a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.13．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：易知p 成立⇔a ≤1，q 成立⇔a ＞1，所以綈p 成立⇔a ＞1，则綈p 是q 的充要条件，故选C. 14．(2019·昆明诊断)下列选项中，说法正确的是( D ) A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln b B ．向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2m －1)(m ∈R )垂直的充要条件是m ＝1 C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：∵函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数， ∴若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错误；若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错误；命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n ∈N *,3n ≤(n ＋2)·2n －1”，故C 错误；命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象连续不断，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，D 正确． 15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是(2，＋∞)__．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2. 16．(2019·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是[9，＋∞)__．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x ＞10或x ＜－2}，设A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，∴綈q 对应的集合为{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}，设B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9， ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，N M ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十三) 理新人教版

课时作业(二十三)1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．30°答案 C解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sinπ3＝1sin B，∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ，得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°. 故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( ) A ．内部 B ．外部 C ．一边上 D ．以上都有可能答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5 答案 D解析本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45，则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5.5．(2020·太原模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32答案 D解析如图，由正弦定理得 sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°， ∴A ＝90°或A ＝30°， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34.7．(2020·天津理)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC＝2BD ，则sin C 的值为()A.33B.36C.63D.66答案 D解析设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3，在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13，则sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BC sin A ＝4c 3223，解得sin C ＝66，故选择D. 8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°.又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．9．(2020·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a＝________.答案255210 解析因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A ＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B，代入数据解得a ＝210.10．(2020·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________．答案π6解析因为sin C ＝23sin B ，所以c ＝23b ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，又A 是三角形的内角，所以A ＝π6.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若1＋tan A tan B ＝2cb ，则角A 的大小为________．答案π3解析 ∵2c b ＝2sin C sin B ，1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝sin A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B ，∴2sin C sin B ＝sin C cos A sin B. 在△ABC 中，sin B ≠0，sin C ≠0， ∴cos A ＝12，A ＝π3，故填π3.12．对于△ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；②若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形；③若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为所有正确的都填上)答案 ③解析 ①sin2A ＝sin2B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形，或2A ＋2B ＝π⇒A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形.故①不对．②sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形． ③sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．13．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．答案 (1)3 2 (2)13解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55，sin A ＝sin(180°－45°－C ) ＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝1＋18－2·1·32·22＝13. 讲评解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理asin A ＝csin C外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，试判断△ABC 的形状．答案 (1)π3(2)等边三角形解 (1)在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵2sin 2B2＋2sin 2C2＝1，∴1－cos B ＋1－cos C ＝1.∴cos B ＋cos C ＝1，即cos B ＋cos(2π3－B )＝1，即cos B ＋cos 2π3cos B ＋sin 2π3sin B ＝1，即32sin B ＋12cos B ＝1，∴sin(B ＋π6)＝1. ∵0<B <π，∴π6<B ＋π6<7π6.∴B ＋π6＝π2.∴B ＝π3，C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．15．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．答案 (1)π3(2) 3解析 (1)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)． ∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.1．(2020·北京西城期末)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°答案 D解析由正弦定理得1sin A ＝2sin45°，得sin A ＝12. 又a <b ，∴A <B ＝45°.∴A ＝30°，故选D.2．(2020·郑州质测)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的最大内角的度数是( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°答案 C解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ， ∴a ∶b ∶c ＝1∶1∶ 3. 设a ＝b ＝k ，c ＝3k ，则cos C ＝k 2＋k 2－3k22×k ×k＝－12，∴C ＝120°，故选C.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得：a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，则此三角形一定是等腰三角形．4．(2020·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．答案 (1)34(2)7＋1解析 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2(2cos C2＋1)＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方整理得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.5．(2020·湖北)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．答案 (1)5 (2)1116解析 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4.∴c ＝2.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－142＝154.∴sin A ＝a sin Cc ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－1582＝78， ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.1．(2020·温州五校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．答案3π4(或135°) 解析在△ABC 中，由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，而a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，∴cos C ＝－2ab 2ab ＝－22.∴角C 的大小为3π4.2．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2A 2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵角A 为△ABC 的内角，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(a ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4. 故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.3．有一解三角形的题，因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC 中，已知a ＝3，2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，________，求角A .经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝60°，试将条件补充完整，并写出详细的推导过程．思路本题容易产生的错误是忽视验证结果而填写b ＝ 2.利用正余弦定理解题，注意利用三角形内角和定理与大边对大角定理进行验证结果是否正确．解析将A ＝60°看作已知条件，由2cos2A ＋C2＝(2－1)cos B ，得cos B ＝22，∴B ＝45°.由a sin A ＝bsin B，得b ＝ 2. 又C ＝75°，得sin C ＝sin(30°＋45°)＝2＋64. 由a sin A ＝csin C，得c ＝2＋62. 若已知条件为b ＝2，且由已知得B ＝45°，则由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32，∴A ＝60°或120°不合题意．若已知条件为c ＝2＋62，则b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b ＝2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.综上所述，破损处的已知条件为c ＝2＋62. 4．已知函数f (x )＝32sin2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin(2x －π6)－1，∴函数f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，则sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴0<2C <2π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，C ＝π3，∵向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，∴12＝sin A sin B，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝2.5．(2020·大纲全国文)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C－2a sin C ＝b sin B . (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解析 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 6．(2020·辽宁文)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2 A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解析 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2 A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 7．(2020·江西文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．解析 (1)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2，则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(三十三) 理新人教版

课时作业(三十三)1．若0＜m ＜1，则不等式(x －m )(x －1m)＜0的解集为( )A ．{x |1m＜x ＜m }B ．{x |x ＞1m或x ＜m }C ．{x |x ＞m 或x ＜1m}D ．{x |m ＜x ＜1m}答案 D解析当0<m <1时，m <1m.2．若集合M ＝{y |y ＝x 2，x ∈Z}，N ＝{x ∈R|3x －1x －9≤1}，则M ∩N 的真子集的个数是( )A ．15B ．7C ．16D ．8答案 B解析由N ＝{x |－4≤x <9}，M ∩N ＝{4,1,0}，真子集个数23－1＝7. 3．函数y ＝log 12x 2－1的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2)答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0x 2－1≤1，得[－2，－1)∪(1，2]．4．已知集合M ＝{x |x 2－2020x －2020>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2020,2020]，则( )A ．a ＝2020，b ＝－2020B ．a ＝－2020，b ＝2020C ．a ＝2020，b ＝2020D ．a ＝－2020，b ＝－2020答案 D解析化简得M ＝{x |x <－1或x >2020}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2020,2020]可知N ＝{x |－1≤x ≤2020}，即－1,2020是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2020＝－2020，－a ＝－1＋2020，即a ＝－2020.5．(2020·济南统考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3，且f (1)>0，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是( ) A ．m <32B ．m <32且m ≠1C ．－1<m <32D ．m >32或m <－1答案 C解析由题意得f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<0，即2m －3m ＋1<0，∴－1<m <32，故选C.6.已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图像如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 A解析由导数图像知当x <0时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6<0，x 2－6>－2或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)答案 B解析 ∵f (x 0)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥12x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1x 20－2x 0－2>1，解得x 0∈(－∞，－1)∪[1，＋∞)．8．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A ．(－12，32)B ．(－32，12)C ．(－1,1)D ．(0,2)答案 A解析由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．解法1：故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，∴4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.故选A .解法2：即y 2－y <x 2－x ＋1对x ∈R 恒成立，∴y 2－y <(x 2－x ＋1)min ＝34.∴y 2－y <34，解之得－12<y <32.9．不等式2－xx ＋4>0的解集是________．答案 (－4,2)解析考查分式不等式的解法2－xx ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0，所以－4<x <2.10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)的部分对应值如表：答案 (－∞，－2)∪(3，＋∞)解析方程的根是对应不等式解集的端点，画草图即可．11．关于x 的不等式x 2－(a ＋1a ＋1)x ＋a ＋1a<0(a >0)的解集为________．答案 (1，a ＋1a)解析不等式可化为[x －(a ＋1a)](x －1)<0，∵a >0，∴a ＋1a≥2>1.∴该不等式的解集为(1，a ＋1a)．12．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．答案－2≤a <65解析当a 2－4＝0，即a ＝－2或a ＝2时，当a ＝2时不等式为4x －1≥0，解集不是空集．当a ＝－2时，不等式为－1≥0，其解集为空集，故a ＝－2符合题意．当a2－4≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上可知－2≤a <65.13．(2020·湖南理)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，对任意的x ∈R ，恒有f ′(x )≤f (x )．证明：当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.证明易知f ′(x )＝2x ＋b .由题设，对任意的x ∈R,2x ＋b ≤x 2＋bx ＋c ，即x 2＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2－4(c －b )≤0，从而c ≥b 24＋1.于是c ≥1，且c ≥2b 24×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0. 即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.14．设函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，是否存在这样的实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．思路首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．解析由于f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，所以不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对任意x ∈[0,1]都成立⇔不等式1－ax －x 2<2－a 对于任意x ∈[0,1]都成立．即不等式x 2＋ax －a ＋1>0在x ∈[0,1]上恒成立．方法一令g (x )＝x 2＋ax －a ＋1，只需g (x )在[0,1]上的最小值大于0即可．g (x )＝x 2＋ax －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋1.①当－a2<0，即a >0时，g (x )min ＝g (0)＝1－a >0⇒a <1，故0<a <1；②当0≤－a2≤1，即－2≤a ≤0时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋1>0 ⇒－2－22<a <－2＋22，故－2≤a ≤0；③当－a2>1，即a <－2时，g (x )min ＝g (1)＝2>0，满足，故a <－2.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．方法二由1－ax －x 2<2－a 得(1－x )a <x 2＋1， ∵x ∈[0,1]，∴1－x ≥0，∴①当x ＝1时，0<2恒成立，此时a ∈R ；②当x ∈[0,1)时，a <x 2＋11－x 恒成立．求当x ∈[0,1)时，函数y ＝x 2＋11－x的最小值．令t ＝1－x (t ∈(0,1])，则y ＝x 2＋11－x ＝1－t 2＋1t＝t ＋2t－2，而函数y ＝t ＋2t－2是(0,1]上的减函数，所以当且仅当t ＝1，即x ＝0时，y min ＝1. 故要使不等式在[0,1)上恒成立，只需a <1，由①②得a <1.故存在实数a ，使得不等式f (1－ax －x 2)<f (2－a )对于任意x ∈[0,1]都成立，其取值范围是(－∞，1)．1．(苏北四市调研)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为Ø，则实数a 的取值范围为________．答案 [24，＋∞) 解析解法1：原命题可等价于不等式ax 2－|x |＋2a ≥0对于任意的实数x 均成立，即a (x 2＋2)≥|x |对于任意的实数x 均成立，由于x 2＋2>0且|x |≥0，故a >0，分别作出f 1(x )＝a (x 2＋2)和f 2(x )＝|x |的图像如图：根据图像的对称性，只需研究x ≥0时满足即可，当x ≥0，二者相切时，应有f 1′(x )＝2ax ＝1，此时x ＝12a ，所以，欲使原命题成立，只需满足f 1(12a )≥f 2(12a )，即a ×14a 2＋2a ≥12a ⇒8a 2≥1，解之得a ≥24(a ≤－24舍去)．解法2：令t ＝|x |≥0，原不等式可化为at 2－t ＋2a <0在t ≥0不存在，即at 2－t ＋2a ≥0在t ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >012a <02a ≥0解之得a ≥24. 2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－12C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的对称轴为直线x ＝1，则有a2＝1，故a ＝2.又f (x )开口向下，所以f (x )在[－1,1]上为增函数．f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，∴b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2. 3．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．解析解x 2－x －2>0得x >2或x <－1 解2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0(有解集)得(2x ＋5)(x ＋k )<0由原不等式组，整数解为{－2}．得－52<x <－k ，∴－2<－k ≤3 ∴－3≤k <2. 4．设关于x 的一元二次方程ax 2＋x ＋1＝0(a >0)有两个实根x 1，x 2. (1)求(1＋x 1)(1＋x 2)的值； (2)求证：x 1<－1且x 2<－1；(3) 如果x 1x 2∈[110，10]，试求a 的最大值．解析 (1)(1＋x 1)(1＋x 2)＝1＋(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－1a ＋1a＝1.(2)令f (x )＝ax 2＋x ＋1，由Δ＝1－4a ≥0，得0<2a ≤12，∴抛物线f (x )的对称轴x ＝－12a≤－2<－1.又f (－1)＝a >0，∴f (x )图像与x 轴的交点都在点(－1,0)的左侧，故x 1<－1，且x 2<－1. (3)由(1)，x 1＝11＋x 2－1＝－x 21＋x 2. x 1x 2＝－11＋x 2∈[110，10]，所以－1x 2∈[111，1011]．所以a ＝1x 1x 2＝－1＋x 2x 22＝－[(－1x 2)－12]2＋14. 故当－1x 2＝12时，a 取得最大值为14.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业第十一章单元测试卷理新人教版

第十一章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为( )A ．6B ．10C ．20D ．30答案 B解析从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有C 35＝10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法．选择B.2．(1＋x )10(1＋1x)10展开式中的常数项为( )A ．1B ．(C 110)2C ．C 120 D ．C 1020答案 D解析因为(1＋x )10(1＋1x )10＝[(1＋x )(1＋1x )]10＝(2＋x ＋1x)10＝(x ＋1x)20(x >0)，所以T r ＋1＝C r 20(x )20－r (1x)r ＝C r 20x10－r，由10－r ＝0，得r ＝10，故常数项为T 11＝C 1020，选D.3.如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同位或同列的概率是( )a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33A.37B.47C.1314D.114答案 C解析所取三数既不同行也不同列的概率为6C 39＝114，所求概率为1－114＝1314.4．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( ) A.73B.53C ．5D ．3答案 A解析由已知2a －3，与a ＋2关于3对称，故(2a －3)＋(a ＋2)＝6，解得a ＝73.5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.23答案 C解析由题意知，此概率符合几何概型所有基本事件包含的区域长度为π，设A 表示取出的x 满足sin x ＋3cos x ≤1这样的事件，对条件变形为sin(x ＋π3)≤12，即事件A 包含的区域长度为π2.∴P (A )＝π2π＝12.6．一个坛子里有编号1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )A.122B.111C.322D.211答案 D解析分类：一类是两球号均为偶数且红球，有C 23种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有C 13C 13种取法因此所求的概率为C 23＋C 13C 13C 212＝2117．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为( ) A.19 B.112 C.115 D.118答案 B解析将一个骰子连抛三次，共有n ＝63种不同情形．其中，落地时向上的点数依次成等差数列的有：①公差d ＝±1的有4×2＝8(种)；②公差为±2的有2×2＝4(种)；③公差d ＝0的有6种，共有m ＝8＋4＋6＝18(种)，故所求概率为P ＝m n ＝1863＝112.8．2020年陕西园艺世博会期间，某国旅游团计划从8个他们最喜爱的中国城市里选择6个进行游览．如果M ，N ，P 为必选城市，并且在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，则他们可选择的不同游览线路有( )A ．240种B ．480种C ．600种D ．1200种答案 D解析此题分三步完成：先从除M ，N ，P 之外的5个城市中选3个，有C 35＝10种选法；将选中的6个城市全排列A 66＝720种排法；由于在游览过程中必须按先M 经N 到P 的次序经过M ，N ，P 三城市(游览M ，N ，P 城市的次序可以不相邻)，∴需要消序，故共有C 35A 66A 33＝1200种的旅游线路．9．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A ．(0，712)B ．(712，1)C ．(0，12)D ．(12，1)答案 C解析发球次数X 的分布列如下表，所以期望EX ＝p ＋2(1－解得p >52(舍去)或p <12，又p >0，故选C.10．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有( )A ．12种B ．48种C ．90种D ．96种答案 B解析可按照场地号安排，一号场地安排方法是C 23C 12C 12＝12；二号场地只能从剩余的一个国家的2人中任选一人，有2种选法，另一人从一号场地剩余的两个国家的另两人中任选一人，有2种选法；第三场地由剩余两人当裁判，因此总的选法有12×2×2＝48.11．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625答案 B解析从6个球中摸出两球有C 26＝15种方法，两球号码之积是4的倍数有6种方法，则获奖概率为P ＝25，4人摸奖恰有3人获奖的概率是C 34·35·(25)3＝96625.12．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量a ＝(m ，n )，b ＝(－1,1)若在△ABC 中，A B →与a 同向，C B →与b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是( )A.512B.712C.39D.49答案 A解析要使∠ABC 是钝角，必须满足A B →·C B →＜0，即a ·b ＝n －m ＞0，连掷两次骰子所得点数m 、n 共有36种情形，其中15种满足条件，故所求概率是512.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在神舟八号飞船飞行的过程中，地面上有A 、B 、C 、D 四个科研机构在接收其发回的重要信息．这四个科研机构两两之间可以互相接发信息，但飞船只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息．某日，这四个机构之间发送了三次信息后，都获得了飞船发回的同一条信息，那么是A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有________．答案 16种解析第一类：A 直接发送给B ，C ，D 三处，有C 33＝1种．第二类：A 直接发送给B ，C ，D 中的两处，再由其中一处通知第四处，有C 23·C 12＝6种．第三类：A 直接发送给B ，C ，D 中的一处，再由该处通知另两处，有C 13·(C 12＋1)＝9种．所以由A 机构接收到该信息后与其他机构互相联系的方式共有1＋6＋9＝16种．14．2020年奥运会足球预选赛亚洲区决赛(俗称九强赛)，中国队和韩国队都是九强赛中的队，现要将九支队随机分成三组进行决赛，则中国队与韩国队分在同一组的概率是________．答案 14解析 P ＝C 17×C 36·C 33A 22C 39·C 36·C 33A 33＝21C 39＝14.15．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E (ξ)＝________.答案 1解析由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示取得的球为一黑一红，所以P (ξ＝0)＝C 23C 24＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 24＝12，故Eξ＝0×12＋2×12＝1.16．为落实素质教育，衡水重点中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中，x 4的系数为________．答案 54000解析用直接法：k ＝C 13C 15＋C 13C 25＋C 23C 15＝15＋30＋15＝60，x 4的系数为C 26k 2＝15×3600＝54000. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)为备战2020年伦敦奥运会，射击队努力拼博，科学备战．现对一位射击选手100发子弹的射击结果统计如下：(1)该选手一次射击命中8环以上(含8环)的概率；(2)该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率．解析以该选手射击的频率近似估算概率． (1)射击一次击中8环以上的概率约为P ＝20＋35＋25100＝0.8.(2)记一次射击命中10环为事件P 1，则P 1＝0.2，一次射击命中9环为事件P 2，则P 2＝0.35，于是两次射击均命中10环的概率约为P (A )＝(P 1)2＝0.04，两次射击一次命中10环，一次命中9环的概率约为P (B )＝C 12P 1P 2＝0.14，即该选手射击2发子弹取得19环以上(含19环)成绩的概率约为0.18.18．(本小题满分12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．解析 (1)P (ξ＝0)＝C 03(12)3＝18；P (ξ＝1)＝C 13(12)3＝38；P (ξ＝2)＝C 23(12)3＝38；P (ξ＝3)＝C 33(12)3＝18. ξ的概率分布如下表：E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×8＋3×8＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927.(3)设“甲恰比乙多击中目标2次”为事件A ，“甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次”为事件B 1，“甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次”为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.19．(本小题满分12分)某农学院毕业生为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系，对一亩700棵高粱进行抽样调查，高度频数分布表如下：表1：红粒高粱频数分布表(2)估计这块地中高粱高(单位：cm)在[165,180)的概率；(3)在红粒高粱中，从高度(单位：cm)在[180,190)中任选3棵，设ξ表示所选3棵中高(单位：cm)在[180,185)的棵数，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)样本中红粒高粱为40棵，白粒高粱30棵，由抽样比例可得这亩地中红粒高粱棵数为400.频率分布直方图如图所示：(2)由表1、表2可知，样本中高在[165,180)的棵数为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42，样本容量为70，∴样本中高在[165,180)的频率f ＝4270＝35.(3)依题意知ξ的可能值为：1,2,3. ∵P (ξ＝1)＝C 14C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 36＝15，∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3P15 35 15∴ξ的数学期望E (ξ)＝1×5＋2×5＋3×5＝2.20.(本小题满分12分)李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．解析 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 03×(12)3＋C 13×12×(12)2＝12.所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝20.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B (3，12)，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )<E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．21．(本小题满分12分)某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到车站．求：(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率； (2)该旅客候车时间的分布列； (3)该旅客候车时间的数学期望．解析 (1)第一班客车若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到第一班客车，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)该旅客候车时间的分布列为：(3)10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30.∴该旅客候车时间的数学期望是30 min.22．(本小题满分12分)2020年12月25日某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品：点数之和小于8点的不得奖．求：(1)同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率； (2)若该俱乐部在游戏环节不亏也不赢利，求a 的值．解析 (1)设掷两颗正方体骰子所得的点数记为(x ，y )，其中1≤x ，y ≤6，则获一等奖只有(6,6)一种可能，其概率为136；获二等奖有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)，共5种可能，其概率为536.设事件A 表示“同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖”，则由(1)知P (A )＝C 13×136×(536)2＝2515552. (2)设俱乐部在游戏环节收益为ξ元，则ξ的可能取值为30－a ，－70,0,30，其分布列为：p136 536 14 712则Eξ＝(30－a )×136＋(－70)×36＋0×4＋30×12＝a36，由Eξ＝0，得a ＝310.1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________.答案 4解析令x ＝0，则有a 0＝n ，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2n ＋1－2.又∵C n n ·10·x n ＝a n x n，∴a n ＝1.∴29－n ＝2n ＋1－2－1－n ，则n ＝4.2．(2020·唐山一中)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34答案 C解析从4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为4C 24＝23.3．甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了2局裁判，那么整个比赛共进行了( )A ．9局B ．11局C ．13局D ．18局答案 A解析由题意甲与乙之间进行了两次比赛，剩余赛事为甲与丙或乙与丙进行，因此比赛场数为5＋6－2＝9.4．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ＝( )A.827 B.1681 C.113D.6581答案 C解析 ξ＝1时，P 1＝C 04(13)4(23)0＝134，ξ＝2时，P 2＝C 14(13)3·23＝834，ξ＝3时，P 3＝C 24·(13)2·(23)2＝2434，ξ＝4时，P 4＝C 34(13)·(23)3＝3234，ξ＝5时，P 5＝C 44(23)4＝1634，Eξ＝1×134＋2×834＋3×2434＋4×3234＋5×1634＝113.5.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种答案 C解析抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处是指三次投掷骰子之和为12，第一颗骰子点数为1时，有2种方法；第一颗骰子点数为2时，有3种方法；第一颗骰子点数为3时，有4种方法；第一颗骰子点数为4时，有5种方法；第一颗骰子点数5时，有6种方法；第一颗骰子点数为6时，有5种方法，共有2＋3＋4＋5＋6＋5＝25(种)方法．6．某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：休假次数 0 1 2 3人数5 10 20 15(1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f (x )＝x 2－ηx －1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.解析 (1)函数f (x )＝x 2－ηx －1过(0，－1)点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f 4<4f 6>0即：⎩⎪⎨⎪⎧16－4η－1<036－6η－1>0，解得154<η<356，所以，η＝4或η＝5，当η＝4时，P 1＝C 220＋C 110C 115C 250＝68245，当η＝5时，P 2＝C 120C 115C 250＝1249，η＝4与η＝5为互斥事件，所以有一个发生的概率公式 P ＝P 1＋P 2＝68245＋1249＝128245. (2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3.于是P (ξ＝0)＝C 25＋C 210＋C 220＋C 215C 250＝27， P (ξ＝1)＝C 15C 110＋C 110C 120＋C 115C 120C 250＝2249， P (ξ＝2)＝C 15C 120＋C 110C 115C 250＝1049， P (ξ＝3)＝C 15C 115C 250＝349.从而ξ的分布列：ξ 0 1 2 3P27 2249 1049 349ξ的数学期望：Eξ＝0×7＋1×49＋2×49＋3×49＝49.7．在上海世博会期间中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团．现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．(1)求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率； (2)求互换后中国馆内广东旅游团数的期望．解析 (1)记A ＝{互换后中国馆恰有2个广东旅游团}，①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团为事件A 1的概率为 P (A 1)＝C 12C 12C 14C 15＝15.②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件A 2的概率为P (A 2)＝C 12C 13C 14C 15＝310.又A ＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝15＋310＝12.∴互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为12.(2)设互换后中国馆内广东旅游团数为ξ，则ξ的取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝C 12C 13C 14C 15＝310，P (ξ＝2)＝12，P (ξ＝3)＝C 12C 12C 14C 15＝15，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝310×1＋12×2＋15×3＝10.∴互换后中国馆内广东旅游团的期望为1910.8．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并n 、a 、p 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为邻队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .解析 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，∴高为0.35＝0.06.频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，∴n ＝2000.2＝1000.由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1000×0.3＝300，∴p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为1000×0.15＝150，∴a ＝150×0.4＝60.(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，∴采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人．∵随机变量X 服从超几何分布，∴P (X ＝0)＝C 012C 36C 318＝5204，P (X ＝1)＝C 112C 26C 318＝1568，P (X ＝2)＝C 212C 16C 318＝3368，P (X ＝3)＝C 312C 06C 318＝55204.∴随机变量X 的分布列为∴EX ＝0×5204＋1×1568＋2×68＋3×204＝2.9．四个纪念币A 、B 、C 、D ，投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a <1).(1)求ξ的分布列与数学期望；(2)在概率P (ξ＝i )(i ＝0,1,2,3,4)中，若P (ξ＝2)的值最大，求a 的取值范围．解 (1)P (ξ)是ξ个正面向上，4－ξ个背面向上的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ＝0)＝C 02(1－12)2C 02(1－a )2＝14(1－a )2，P (ξ＝1)＝C 12·12(1－12)C 02(1－a )2＋C 02(1－12)2C 12a (1－a )＝12(1－a )，P (ξ＝2)＝C 22·(12)2C 02(1－a )2＋C 12·12(1－12)C 12a (1－a )＋C 02(1－12)2C 22a 2＝14(1＋2a －2a 2)，P (ξ＝3)＝C 22(12)2C 12a (1－a )＋C 12·12(1－12)C 22a 2＝a 2，P (ξ＝4)＝C 22(12)2C 22a 2＝14a 2.∴ξ的分布列为Eξ＝0×14(1－a )2＋1×12(1－a )＋2×14×(1＋2a －2a 2)＋3×a 2＋4×14a 2＝2a ＋1.(2)∵0<a <1，∴P (ξ＝0)<P (ξ＝1)，P (ξ＝4)<P (ξ＝3)．则P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝14(1＋2a －2a 2)－1－a 2＝－14(2a 2－4a ＋1)≥0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝14(1＋2a －2a 2)－a 2＝－14(2a 2－1)≥0，由⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－4a ＋1≤0，2a 2－1≤0，得222≤a ≤22，即a 的取值范围是[2－22，22]．10．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x ，y ，记ξ＝x ＋y .(1)求随机变量ξ的分布列及数学期望；(2)设“函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．解析 (1)由题知随机变量ξ的可能取值为2,3,4. 从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C 24＝6.当ξ＝2时，摸出的小球所标的数字为1、1，∴P (ξ＝2)＝16.当ξ＝4时，摸出的小球所标的数字为2、2，∴P (ξ＝4)＝16.∴可知当ξ＝3时，P (ξ＝3)＝1－16－16＝23，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝2×16＋3×23＋4×6＝3.(2)∵函数f (x )＝x 2－ξx －1在区间(2,3)上有且只有一个零点，∴f (2)f (3)＜0，即(3－2ξ)(8－3ξ)＜0，∴32＜ξ＜83，且ξ的所有可能取值为2、3、4， ∴ξ＝2，∴P (A )＝P (ξ＝2)＝16，∴事件A 发生的概率为16.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(六十六) 理新人教版

课时作业(六十六)1．将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为( ) A ．第一次出现的点数 B ．第二次出现的点数 C ．两次出现点数之和 D ．两次出现相同点的种数答案 C解析 A 、B 中出现的点数虽然是随机的，但他们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果．D 中出现相同点数的种数就是6种，不是变量．C 整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共11种结果，但每掷一次前，无法预见是11种中的哪一个，故是随机变量，选C.2．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝1)等于( )A ．0 B.12 C.13 D.23答案 D解析设失败率为p ，则成功率为2p ，分布列为由p ＋2p ＝1，得p ＝13，∴2p ＝3.3．设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝a (23)i，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.1738B.2738 C.1719 D.2719答案 B解析 1＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝a [23＋(23)2＋(23)3]，解得a ＝2738.4．(2020·泰安模拟)若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)答案 B解析由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．5．(2020·安庆月考)从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235B.1235C.335D.235答案 B解析设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.6．(2020·衡水调研卷)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ －1 0 1P121－2qq 2则q 的值为( ) A ．1B ．1±22 C ．1＋22D ．1－22答案 D解析由分布列的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，解得q ＝1－22. 或由1－2q ≥0⇒q ≤12，可排除A 、B 、C.7．(2020·长沙联考)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于n －m A 2mA 3n的是( )A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)答案 D解析 P (ξ＝2)＝A 2m C 1n －mA 3n＝n －m A 2mA 3n.8．设随机变量X 的概率分布为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝答案512解析 13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.9．随机变量η的分布列如下：η 1 2 3 4 5 6P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2则①x ＝答案 ①0 ②0.45 ③0.4510．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.答案310解析 ξ可能取的值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (ξ＝1)＝C 13C 24＋C 23C 12C 14C 24C 26＝715，又P (ξ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，∴P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1－15－715－130＝310.11.(2020·郑州五校联考)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.答案 45解析方法一由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为ξ 7 8 9 10 P1531025110∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝10＋5＋10＝5.法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝45.12．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．解析本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为13.有540元、50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．解析 ξ的可能取值为30,40,50.P (ξ＝30)＝1C 35＝110，P (ξ＝40)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝50)＝C 24C 35＝35，分布列为14.从一批含有10个合格品与可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列：(Ⅰ)每次取出的产品都不放回此批产品中；(Ⅱ)每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品； (Ⅲ)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．解析 (Ⅰ)随机变量X 的取值为1,2,3,4，且有P (X ＝1)＝1013，P (X ＝2)＝313×1012＝526，P (X ＝3)＝313×212×1011＝5143，P (X ＝4)＝313×212×111×1010＝1286，∴X 的分布列为(Ⅱ)Y 的取值为1,2,3且P (Y ＝1)＝1013，P (Y ＝2)＝313×1013，P (Y ＝3)＝313×313×1013，……，P (Y ＝n )＝(313)n －1×1013，(n＝1,2,3……)∴Y 的分布列为P1013 313×1013 (313)2×1013… (313)n －1×1013…(Ⅲ)Z 的取值为1,2,3,4且P (Z ＝1)＝13，P (Z ＝2)＝313×1113＝33132 P (Z ＝3)＝313×213×1213＝72133， P (Z ＝4)＝313×213×113×1313＝6133，∴Z 的分布列为Z 1 2 3 4 P101333132 72133 61331．盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，请填写以下ξ的分布列.ξ 2 3 4 P答案ξ 2 3 4 P128371528解析 “ξ2个旧球全部取出，∴P (ξ＝2)＝C 22C 28＝128.“ξ＝3”表明原来2个旧球只取1个，∴P (ξ＝3)＝C 16C 12C 28＝37.“ξ＝4”表明原来2个旧球1个不取．∴P (ξ＝4)＝C 26C 28＝1528.2．某研究机构为了解某市公众睡眠状况，随机抽查了200人每天的睡眠时间进行统计分析，画出的频率分布直方图如下图所示．(1)试估计被调查者平均每天睡眠时间，并求睡眠时间小于8的频率；(2)为了解更详细的睡眠情况，从中随机抽取了12人进行面谈，其中睡眠时间小于8小时的有8人，睡眠时间不小于8小时的有4人，又从这12人中随机选3人进行健康情况调查，用ξ表示所选3人中睡眠时间不小于8小时的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解析 (1)被调查者平均每天睡眠时间为4．5×0.04＋5.5×0.26＋6.5×0.30＋7.5×0.28＋8.5×0.10＋9.5×0.02＝6.70(小时)．睡眠时间小于8小时的频率为0.04＋0.26＋0.30＋0.28＝0.88. (2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列如下：ξ 0 1 2 3p1455 2855 1255 155∴Eξ＝0×1455＋1×55＋2×55＋3×55＝1.思路 (1)利用取中间值法即可求得平均每天睡眠时间，睡眠时间小于8小时的频率由图易得．(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，分别计算各自的概率即得分布列，进而求得ξ的数学期望．3．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使有不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C 250＝1225. 选出2人使用版本相同的方法数为 C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350.故2人使用版本相同的概率为P ＝3501225＝27.(2)∵P (ξ＝0)＝C 215C 235＝317，P (ξ＝1)＝C 120C 115C 235＝60119，P (ξ＝2)＝C 220C 235＝38119，∴ξ的分布列为4.(2020·江苏理)80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解析 (1)由题设知，X 的可能取值为10,5,2，－3，且P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X 的分布列为：X －3 2 5 10P 0.02 0.08 0.18 0.72(2)设生产的4由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145，又n ∈N ，得n ＝3，或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.8192. 故所求概率为0.8192.5．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列．(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 0 1 2 3P724 2140 740 1120(2)设“取出的31件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.1．某中学80名学生参加了平均每天上网时间的调查，根据调查结果绘制的频率分布直方图如图所示．(1)估计这80名学生平均每天上网时间的平均数；(2)在10名学生中，有3名平均每天上网时间在[40,50)段内，4名平均每天上网时间在[50,60)段内，3名平均每天上网时间在[60,70)段内，从这10名学生中任取3名，记取出的3名学生平均每天上网时间在[40,50)段内学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .解析 (1)抽样学生的平均每天上网时间：45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05 ＝72.所以，估计这80名学生平均每天上网时间的平均数是72分钟．(2)由于从10名学生中任取3名的结果数为C 310，其中恰有k 名学生平均每天上网时间在[40,50)段内的结果数为C k 3C 3－k7，那么P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 37C 310＝724，P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (X ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以随机变量X 的分布列是X 0 1 2 3 P72421407401120EX ＝0×724＋1×2140＋2×40＋3×120＝10. 2．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行．求抽取次数ξ的分布列和数学期望．解析(1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以P(A)＝C23C26＝15.(2)ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝C13C16＝12，P(ξ＝2)＝C13C16·C13C15＝310，P(ξ＝3)＝C13C16·C12C15·C13C14＝320，P(ξ＝4)＝C13C16·C12C15·C11C14·C13C13＝120；故ξ的分布列为Eξ＝1×12＋2×310＋3×20＋4×20＝4. 答：ξ的数学期望为74.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二十六) 理新人教版

课时作业(二十六)1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．▱ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对称中心为O ，则CO →等于( ) A ．(－12，5)B ．(－12，－5)C ．(12，－5)D ．(12，5)答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AD →＋AB →)＝－12(1,10)＝(－12，－5)．3．设a 、b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1答案 D解析本题考查两向量共线的充要条件． BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A 、B 、D 三点共线⇒AB →＝λBD →⇒2a ＋p b ＝2λa －λb ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ⇒p ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1＋m,1－m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2答案 B解析由题可知a ＝λb ，所以(1，－2)＝λ(1＋m,1－m )，可得1＋m 1－m ＝－12，解得m ＝－3，故选B.5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C ．(－4,6)D ．(4，－6)答案 D解析由题知4a ＝(4，－12)，3b －2a ＝(－6,12)－(2，－6)＝(－8,18)，由4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，知c ＝(4，－6)，选D.6.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，且∠B ＝90°，∠BCD ＝135°，记向量AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.2a －(1＋22)b B ．－2a ＋(1＋22)b C ．－2a ＋(1－22)b D.2a ＋(1－22)b 答案 B 解析根据题意可得△ABC 为等腰直角三角形，由∠BCD ＝135°，得∠ACD ＝135°－45°＝90°，以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE ⊥y 轴于点E ，则△CDE 也为等腰直角三角形，由CD ＝1，得CE ＝ED ＝22，则A (1,0)，B (0,0)，C (0,1)，D (22，1＋22)，∴AB →＝(－1,0)，AC →＝(－1,1)，AD →＝(22－1,1＋22)，令AD →＝λAB →＋μAC →，则有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－μ＝22－1μ＝1＋22，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2μ＝1＋22，∴AD →＝－2a＋(1＋22)b . 7.已知c ＝m a ＋n b ，设a ，b ，c 有共同起点，a ，b 不共线，要使a ，b ，c ，终点在一直线l 上，则m ，n 满足( )A ．m ＋n ＝1B ．m ＋n ＝0C ．m －n ＝1D ．m ＋n ＝－1 答案 A解析 ∵AC →＝λAB →， ∴c －a ＝λ(b －a )， ∴m a ＋n b －a ＝λb －λa ， ∴(m －1＋λ)a ＋(n －λ)b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＋λ＝0n －λ＝0⇒m ＋n ＝1.8．(2020·深圳模拟)如图，A 、B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量： ①OA →＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →.这些向量中以O 为起点，终点在阴影区域内的是( ) A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．⑤答案 C解析由向量的平行四边形法则利用尺规作图，可得：终点在阴影区域内的是①③. 9．已知n ＝(a ，b )，向量n 与m 垂直，且|m |＝|n |，则m 的坐标为________．答案 (b ，－a )或(－b ，a ) 解析设m 的坐标为(x ，y )，由|m |＝|n |，得x 2＋y 2＝a 2＋b 2① 由m ⊥n ，得ax ＋by ＝0② 解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝by ＝－a或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－b y ＝a故m 的坐标为(b ，－a )或(－b ，a )10．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为________．答案 (－2，－6)解析 ∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)． ∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)．又∵表示4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形． ∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0. 解得d ＝(－2，－6)．11．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案－12解析 m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，则有2m －n 4＝3m ＋2n －1，∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－1212.已知边长为单位长的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴，y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 ∵2AB →＝(2,0)． 3BC →＝(0,3)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(3,4)．13．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →.答案 (1)E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0) (2)略解析 (1)设E 、F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则依题意，得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)．∴AE →＝(x 1，y 1)－(－1,0)＝(23，23)，BF →＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝(－23，1)．∴(x 1，y 1)＝(23，23)＋(－1,0)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(－23，1)＋(3，－1)＝(73，0)．∴E 的坐标为(－13，23)，F 的坐标为(73，0)．(2)由(1)知(x 1，y 1)＝(－13，23)，(x 2，y 2)＝(73，0)，∴EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(83，－23)，又4×(－23)－(－1)×83＝0，∴EF →∥AB →.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cosA ，cosB )，向量p ＝(22sin B ＋C2，2sin A )，若m∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．证明 ∵m∥n ，∴a cos B ＝b cos A . 由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0.∵A 、B 为△ABC 的内角，∴－π<A －B <π. ∴A ＝B .∵p 2＝9，∴8sin2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9. ∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴A ＝B ＝C .∴△ABC 为等边三角形．1.如图所示，在矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 答案 A解析 OC →＝12AC →＝12(AB →＋BC →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．2．(2020·西城区)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 C解析因为AB →＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →∥a ，所以3×2－1×(y －1)＝0，y ＝7，故选C.3．(2020·衡水调研卷)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )答案 A解析由题意知OC →＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.4．已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解析如图所示，以点O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，则B (cos150°，sin150°)，C (3cos240°，3sin240°)，即B (－32，12)，C (－32，－332)，∴a ＝(2,0)，b ＝(－32，12)，c ＝(－32，－332)．设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则(－32，－332)＝λ1(2,0)＋λ2(－32，12)＝(2λ1－32λ2，12λ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－3212λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3λ2＝－33.∴c ＝－3a －33b .1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0答案 D解析只要AC →，AB →共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1.2．已知向量a ＝(－3,1)，b ＝(1，－2)，若(－2a ＋b )∥(a ＋k b )，则实数k 的值是( ) A ．－17 B.53 C.1918D ．－12答案 D解析易知a ＋k b 为非零向量，故由题意得－2a ＋b ＝λ(a ＋k b )，∴λ＝－2,1＝λk ，∴k ＝－12.3．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2.任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．答案 4ab ＝1解析 E 1(2,1)，E 2(2，－1)．∴OP →＝a (2,1)＋b (2，－1)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴P (2a ＋2b ，a －b )．代入双曲线方程得：4ab ＝1. 4．(2020·安徽改编)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．答案 2解析以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2. 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α、β∈R 且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为________．答案 x ＋2y －5＝0解析设C 的坐标为(x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．由OC →＝αOA →＋βOB →得OC →＝(3α－β，α＋3β)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3α－β， ①y ＝α＋3β. ②由①＋②×2得x ＋2y ＝5(α＋β)，又因为α＋β＝1，所以x ＋2y ＝5.。

【人教版】2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (3)

课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(A) A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)解析：命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．2．(2019·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(D)A．∀x∈R，x2－πx＜0 B．∀x∈R，x2－πx≤0C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0解析：全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”，故选D.3．(2019·衡水二调)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(B)A．∃x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0B．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0C．∀x1，x2∉R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0解析：根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0.4．(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞2x，则下列命题为真的是(A) A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q解析：对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A)A．綈p∨綈q B．p∨綈qC．綈p∧綈q D．p∨q解析：命题p是“甲降落在指定范围”，则綈p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则綈q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为綈p∨綈q.故选A.6．(2019·河南郑州外国语中学模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i，则下列命题中为真命题的是(C)A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．p∧q解析：复数z满足(z－i)·(－i)＝5，则z ＝－5i ＋i ＝6i ，故命题p 为真命题，则綈p 为假命题；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )·(1－2i )(1＋2i )·(1－2i )＝35－15i ，则z 的虚部为－15，故命题q 为假命题，则綈q 为真命题．由复合命题真假判断的真值表可知(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题．故选C. 7．(2019·山东泰安联考)下列命题正确的是( D ) A ．命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a ·b ＞0”及它的逆命题均为真命题 D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0” 解析：对于选项A ，命题“∃x ∈[0,1]，使x 2－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1＜0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题；q 为真命题，则綈q 为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确，因此选D. 8．(2019·江西七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( B ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q ) 解析：因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题，故选B. 9．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1＞0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋a ＝0.若p ∧q 为真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(－∞，4] B ．[0,4) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，命题p 为真；当a ≠0时，若命题p 为真，则a ＞0且Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4.故命题p 为真时，0≤a ＜4.命题q 为真时，Δ＝1－4a ≥0，即a ≤14.命题p ∧q 为真命题时，p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 10．(2019·聊城模拟)已知函数f (x )在R 上单调递增，若∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，则实数a 的取值范围是( A ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．[8，＋∞) D ．(0,2] 解析：∵函数f (x )在R 上单调递增， ∴∃x 0∈R ，f (|x 0＋1|)≤f (log 2a －|x 0＋2|)，等价为∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤log 2a －|x 0＋2|成立，即|x ＋1|＋|x ＋2|≤log 2a 有解， ∵|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋2－x －1|＝1， ∴log 2a ≥1，即a ≥2. 11．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假．其中，正确的是②__.(填序号) 解析：命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交． 12．(2019·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ . 解析：依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172. 又g (x )＝2x ＋a 在[2,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.13．已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是( D ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，3 B ．[3，＋∞)C ．[2,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52∪[3，＋∞) 解析：命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0解集为空集，a ＝0时，不满足题意．当a ≠0时，必须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(22)2－4a ≤0，解得a ≥2. 命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，可得函数f (x )在R 上单调递减， ∴0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3. ∵命题p ∧(綈q )是真命题， ∴p 为真命题，q 为假命题． ∴⎩⎨⎧ a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a 的取值范围是[3，＋∞)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.故选D. 14．(2019·河北衡水中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的部分图象如图所示，其中|MN |＝52，记命题p ：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，命题q ：将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2π3的图象，则以下判断正确的是(D )A ．p ∧q 为真B ．p ∨q 为假C ．(綈p )∨q 为真D ．p ∧(綈q )为真解析：由|MN |＝52，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω2＋22＝52，解得ω＝π3，因为f (0)＝1，所以sin φ＝12. 又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6. 故p 为真命题．将f (x )图象上所有的点向右平移π6个单位，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6－π218的图象，故q 为假命题．所以p ∧q 为假，p ∨q 为真，(綈p )∨q 为假，p ∧(綈q )为真，故选D. 15．(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，给出以下四个命题： ①∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )； ②∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0； ③∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2； ④∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |. 其中所有真命题的序号是( D ) A ．①② B ．③④ C ．①②③ D ．①②③④解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，且其定义域为(－1,1)，∴f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝－f (x )，即∀x ∈(－1,1)，有f (－x )＝－f (x )，故①是真命题；对于②，∵x ∈(－1,1)，由f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2≥2＞0，可知f (x )在区间(－1,1)上单调递增，即∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，故②是真命题；对于③，∵f ′(x )＝21－x 2在(0,1)上单调递增， ∴∀x 1，x 2∈(0,1)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)2，故③是真命题；对于④，设g (x )＝f (x )－2x ，则当x ∈(0,1)时，g ′(x )＝f ′(x )－2≥0， ∴g (x )在(0,1)上单调递增， ∴当x ∈(0,1)时，g (x )＞g (0)，即f (x )＞2x ，由奇函数性质可知，∀x ∈(－1,1)，|f (x )|≥2|x |，故④是真命题，故选D. 16．已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是[0,2]__．解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e x x ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x ＞1时，f ′(x )＞0，函数f (x )＝e x x 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0＜x ＜1或x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )＝e x x 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m ＜e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.。

一轮复习《高考调研》全套复习课件和练习5-133页PPT

授人
(3)① A→B＋ B→C＝A→C，A→B＋B→A＝ 0，A→B－A→C＝ C→B
以
渔
②A→1A2＋A→2A3＋……＋An－1An＋A→nA1＝ 0
③ ||a|－ |b||≤ |a± b|≤ |a|＋ |b|
课时作业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第五章 ·第1课时
课
前实数与向量的积(数乘) 自
人
以
现高难度的题目，所以复习时应以基本内容为主.
渔
课时作业
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第五章 ·第1课时
课
课前自助餐
前
自
课本导读
助
一、向量的有关概念
餐
授
1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．
人以
2．向量的长度：表示A→B 的有向线段的长度，即A→B的大小叫做A→B的长度或
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的
以
充要条件；
渔
(3)a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
(4)两向量a、b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
(5)有相同起点的两个非零向量不平行．
【解析】 (1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，
因此由|a|＝|b|推不出a＝b.
高三数学（人教版）
高考调研 ·新课标高考总复习
第五章 ·第1课时
课
5. 2011·衡水市联考卷在△ABC中， A→B＝c， A→C
前自
＝b，若点D满足→ BD＝2D→C，则A→D＝(
)
助餐
A.23b＋13c B.53c－23b

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(八) 理新人教版

课时作业(八)1．下列大小关系正确的是( ) A ．0.43<30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4C ．log 40.3<0.43<30.4D ．log 40.3<30.4<0.43答案 C解析 ∵log 40.3<0,0<0.43<1,30.4>1，∴选C.2．(2020·厦门一模)log 2sin π12＋log 2cos π12的值为( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2答案 C解析 log 2sin π12＋log 2cos π12＝log 2(sin π12cos π12)＝log 212sin π6＝log 214＝－2，故选C.3．设f (x )＝lg(21－x ＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0. 解之，得a ＝－1.∴f (x )＝lg 1＋x1－x .令f (x )<0，则0<1＋x1－x<1，∴x ∈(－1,0)．4．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1 答案 B解析 0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1 5．0＜a ＜1，不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1 C ．x ＞1 D ．0＜x ＜a 答案 B解析易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1 6．下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2答案 D解析 0<ln2<1,0<(ln2)2<ln2<1，ln(ln2)<0， ln 2＝12ln2<ln2.7．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,3) D ．(3，＋∞)答案 B解析记u ＝(3－a )x －a ，当1<a <3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数，∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求．当a >3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数，而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0<a <1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题意． 8．函数y ＝f (x )的图像如下图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图像大致是( )答案 C解析由y ＝f (x )的图像可知，y ＝f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则可知，y ＝log 12 f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故选C.9．(2020·衡水调研卷)已知函数f (x )＝(13)x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析因为f (x )＝(13)x－log 2x 在其定义域(0，＋∞)上单调递减，而f (x 0)＝0，所以f (x 1)>f (x 0)＝0.10．若x log 32＝1，则4x＋4－x＝________. 答案829解析由已知得x ＝1log 32＝log 23，所以4x ＋4－x ＝22x ＋2－2x ＝22log 23＋2－2log 23＝9＋19＝829.11．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．解析 ∵a 2＋1＞1, log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是(12，1)．12．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m，则m ＝________ _ .(lg2≈0.3010)答案 155 解析由10m －1＜2512＜10m得m －1＜512lg2＜m ，∴m －1＜154.12＜m ，∴m ＝155.13．作为对数运算法则：lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)是不正确的．但对一些特殊值是成立的，例如：lg(2＋2)＝lg2＋lg2.那么，对于所有使lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b (a >0，b >0)成立的a ，b 应满足函数a ＝f (b )表达式为________．答案 a ＝bb －1解析 lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，∴a ＋b ＝ab ，∴a (b －1)＝b ，∴a ＝bb －1(b >1)．14．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)的值． (2)若x ∈[－a ，a ](其中a ∈(0,1))，试判断函数f (x )是否存在最大值或最小值？答案 (1)0(2)有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a1－a解析 (1)由1－x1＋x >0得函数的定义域是(－1,1)，又f (－x )＋f (x )＝log 21＋x 1－x ＋log 21－x1＋x ＝log 21＝0，∴f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )是奇函数， ∴f (－12007)＋f (12007)＝0， f (－12008)＋f (12008)＝0，∴f (－12007)＋f (－12008)＋f (12007)＋f (12008)＝0. (2)f (x )＝－x ＋log 2(1－x )－log 2(1＋x )， ∴f ′(x )＝－1＋－11－x ln2－11＋x ln2<0，有最小值f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a ，有最大值为f (－a )＝a ＋log 21＋a1－a.评析本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减，但相对来说，在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性，运算量小得多．15．设f (x )＝log 12 1－ax x －1为奇函数，a 为常数．(1)求a 的值；(2)证明f (x )在区间(1，＋∞)内单调递增；(3)若对于区间[3,4]上的每一个x 的值，不等式f (x )>(12)x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即log 12 1＋ax －1－x ＝－log 121－axx －1，即log 12 1＋ax －x －1＝log 12 x －11－ax ，∴1＋ax －x －1＝x －11－ax ，化简整理得(a 2－1)x 2＝0，∴a 2－1＝0，a ＝±1，经检验a ＝－1，f (x )是奇函数，∴a ＝－1.(2)证明由(1)得f (x )＝log 12x ＋1x －1，设1<x 1<x 2，则x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1>0， ∴x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1>0，从而log 12 x 1＋1x 1－1<log 12x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(1，＋∞)内单调递增．(3)原不等式可化为f (x )－(12)x>m ，令φ(x )＝f (x )－(12)x，则φ(x )>m 对于区间[3,4]上的每一个x 都成立等价于φ(x )在[3,4]上的最小值大于m .∵φ(x )在[3,4]上为增函数， ∴当x ＝3时，φ(x )取得最小值， log 123＋13－1－(12)3＝－98，∴m <－98.1．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a 、b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( )A ．b >a >1B ．a b >1D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0，∴a ，b ∈(1，＋∞)，且b >a ，∴选A.2．当0<x <1时，下列不等式成立的是( ) A ．(12)x ＋1>(12)1－xB ．log (1＋x )(1－x )>1C ．0<1－x 2<1 D ．log (1－x )(1＋x )>0答案 C解析法一：考察答案A ：∵0<x <1，∴x ＋1>1－x ，∴(12)x ＋1<(12)1－x，故A 不正确；考察答案B ：∵0<x <1，∴1＋x >1,0<1－x <1， ∴log (1＋x )(1－x )<0，故B 不正确；考察答案C ：∵0<x <1，∴0<x 2<1，∴0<1－x 2<1，故C 正确；考察答案D ：∵0<1－x <1,1＋x >1.∴log (1－x )(1＋x )<0，故D 不正确．法二：(特值法)取x ＝12，验证立得答案C.3．f (x )＝a x，g (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，则y ＝f (x )与y ＝g (x )在同一坐标内的图像可能是下图中的( )答案 D解析由于指数函数与对数函数互为反函数，所以，f(x)与g(x)同增或同减，排除A、C.由于f(3)·g(3)<0，即当x＝3时，f(x)、g(x)的图像位于x轴的两侧，排除B，选D.4．若0<a<1，在区间(0,1)上函数f(x)＝log a(x＋1)是( )A．增函数且f(x)>0 B．增函数且f(x)<0C．减函数且f(x)>0 D．减函数且f(x)<0答案 D解析∵0<a<1时，y＝log a u又u＝x＋1，∴f(x)为减函数；又0<x<1时，x＋1>1，又0<a<1，∴f(x)<0.选D.5．已知函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围是________．错解分析令f(x)＝x2－ax－a，则y＝log2f(x)，f(x)>0恒成立，所以，应有Δ＝a2＋4a<0，解之得－4<a<0，即a的取值范围为(－4,0)．上述解法错误的原因在于没有准确地理解函数y＝log2(x2－ax－a)的值域为R的意义．根据对数函数的图像和性质可知，当且仅当f(x)＝x2－ax－a的值能取遍一切正实数时，函数y＝log2(x2－ax－a)的值域才是R，而当Δ<0时，由图可知，f(x)>0恒成立，这只能说明函数y＝log2(x2－ax－a)的定义域为R，而不能保证f(x)可以取遍一切正数，要使f(x)能够取遍一切正数，结合二次函数的图像可知，f(x)的图像应与x轴有交点才能满足．答案 (－∞，－4]∪[0，＋∞)解析要使f (x )＝x 2－ax －a 的值能取遍一切正实数，应有Δ＝a 2＋4a ≥0，解之得a ≥0或a ≤－4，即a 的取值范围为(－∞，4]∪[0，＋∞)．6．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．思路 a >0且a ≠1，问题等价于在[0,1]上恒有{ a >12－ax >0.答案 (1,2)解析 ∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是{ a >12－a >0，即1<a <2.∴a 的取值范围是(1,2)．1．(2020·山东潍坊质检)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2020x 1＋log 2020x 2＋…＋log 2020x 2020的值为( )A ．－log 20202020B ．－1C ．log 20202020－1D ．1答案 B 解析由y ＝xn ＋1，得y ′＝(n ＋1)x n，则曲线在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴log 2020x 1＋log 2020x 2＋…＋log 2020x 2020＝log 2020(x 1·x 2·…·x 2020)＝log 2020(12×23×34×…×20092010)＝log 202012010＝－1，故选B.2．(2020·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析由题意知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的定义域为{x |x >－12}，所以该函数的单调增区间为(－12，＋∞)．3．(2020·江苏徐州模拟)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )，对于任意x ≥2，当Δx >0时，恒有f (x ＋Δx )>f (x )，则实数a 的取值范围是________．答案－4<a ≤4解析 ∵当Δx >0时，恒有f (x ＋Δx )>f (x )，则f x ＋Δx －f xΔx>0，∴当x ≥2时，f (x )为增函数．∴二次函数g (x )＝x 2－ax ＋3a 的对称轴a2≤2.∴a ≤4.又g (x )>0在[2，＋∞)上恒成立， ∴g (x )min ＝g (2)>0，∴a >－4.综上，－4<a ≤4. 4．比较下列各组数的大小． (1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7；(3)已知log 12 b <log 12 a <log 12 c ，比较2b,2a,2c的大小关系．解析 (1)∵log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)方法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log 0.71.1>log 0.71.2，∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，即由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7. 方法二：作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图像．如图所示两图像与x ＝0.7相交可知log 1.1 0.7<log 1.20.7.(3)∵y ＝log 12 x 为减函数，且log 12 b <log 12 a <log 12c ，∴b >a >c ，而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c.5．已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a >0，a ≠1)．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(r ，a －2)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 与r 的值．答案 (1)m ＝－1 (2)a >1时减，0<a <1时增 (3)r ＝1，a ＝2＋ 3 解析 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )在其定义域内恒成立，即log a1＋mx －x －1＝－log a 1－mxx －1， ∴1－m 2x 2＝1－x 2恒成立， ∴m ＝－1或m ＝1(舍去)，故m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0，a ≠1)，任取x 1，x 2∈(1，＋∞)．设x 1<x 2，令t (x )＝1＋xx －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log ax 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， f (x )在(1，＋∞)上是减函数；当0＜a ＜1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)当a >1时，要使f (x )的值域是(1，＋∞)，则log a x ＋1x －1>1，∴x ＋1x －1>a ，即1－a x ＋a ＋1x －1>0，而a >1，∴上式化为x －a ＋1a －1x －1<0. ① 又f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)， ∴当x >1时，f (x )>0；当x <－1时，f (x )<0.因而，欲使f (x )的值域是(1，＋∞)，必须x >1，所以对于不等式①，当且仅当1<x <a ＋1a －1时成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，a －2＝a ＋1a －1，a >1，解得r ＝1，a ＝2＋ 3.7．已知过原点O 的一条直线与函数y ＝log 8x 的图像交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log 2x 的图像交于C 、D 两点．(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．解析 (1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1>1，x 2>1，则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以log 8x 1x 1＝log 8x 2x 2，点C 、D 的坐标分别为(x 1，log 2x 1)、(x 2，log 2x 2)，由于log 2x 1＝log 8x 1log 82＝3log 8x 1，log 2x 2＝3log 8x 2， OC 的斜率为k 1＝log 2x 1x 1＝3log 8x 1x 1， OD 的斜率为k 2＝log 2x 2x 2＝3log 8x 2x 2，由此可知k 1＝k 2，即O 、C 、D 在同一直线上．(2)解：由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1＝log 8x 2，即得log 2x 1＝13log 2x 2，x 2＝x 31，代入x 2log 8x 1＝x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1＝3x 1log 8x 1，由于x 1>1，知log 8x 1≠0，故x 31＝3x 1，又因x 1>1，解得x 1＝3，于是点A 的坐标为(3，log 83)．。

【高考调研】高考数学一轮复习课时作业(二十) 理新人教版

课时作业(二十)1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝( )A ．－247B ．－724C.724D.247答案 A解析方法一 ∵x ∈(－π2，0)，∴sin x <0，∴sin x ＝－35，∴sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝725，∴tan2x ＝sin2x cos2x ＝－247.方法二由方法一知：sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 2．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos2α的值是( ) A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2答案 A 解析原式＝12＋121＋cos2α2＝12－12cos α＝|sin α2|. ∵450°<α<540°，∴225°<α2<270°.∴原式＝－sin α2.3．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为( )A.223B ．－223C.23 D ．－23答案 A解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ＝1， ∴2sin 2θcos 2θ＝49，∴(sin2θ)2＝89.∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π，∴sin2θ>0，∴sin2θ＝223.4．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( ) A ．－195B.195C.113D ．－113答案 A解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 5．若cos2αα－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－72B ．－12C.12D.72答案 C解析 cos2αα－π4＝π2－2αα－π4＝π4－απ4－αα－π4＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.6．(2011·全国新课标理)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 7．(2011·辽宁理)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.8．已知sin x ＝5－12，则sin2(x －π4)＝________. 答案 2－ 5解析 sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x＝－(1－2sin 2x )＝2sin 2x －1＝2－ 5.9．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝__________.答案－34解析 sin3αsin α＝α＋αsin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π，又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.10．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.答案－33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－33.11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析解法一：(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13，∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13，∴cos 2α－sin 2β＝13.解法二：cos(α＋β)cos(α－β)＝12[cos2α＋cos2β]＝13，即12[2cos 2α－1＋1－2sin 2β]＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13.12．(2012·衡水调研卷)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝__________.答案－45解析解法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1， sin2θ＝－cos2(θ＋π4)＝－1－tan2θ＋π41＋tan2θ＋π4＝45， cos2θ＝sin2(θ＋π4)＝θ＋π41＋tan 2θ＋π4＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45.解法二：tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45. 13．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋12π4－x 2π4＋x .答案 12cos2x解析原式＝2cos 2x2x －＋12π4－x 2π4＋x＝12－2cos 2x sin 2x π4－x π4－x ·sin 2π4＋x＝12－12x 2π4＋x π4＋x ·sin 2π4＋x＝12cos 22x π2＋2x ＝12cos2x .14．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)分别求cos α与cos β的值； (2)求tan α－β2的值．答案 (1)cos α＝35 cos β＝－1665 (2)－1123解析 (1)cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝35，∵0＜α＜π2，∴sin α＝45.∵α＋β∈(π2，3π2)，sin(α＋β)＝513，∴cos(α＋β)＝－1213，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1213)·35＋513·45＝－1665.(2)∵2cos2β2－1＝cos β＝－1665且β2∈(π4，π2)， ∴cos β2＝7130，∴sin β2＝9130，∴tan β2＝97.∴tan α－β2＝tan α2－tanβ21＋tan α2tanβ2＝－1123.15．已知3π4<α<π，tan α＋cot α＝－103，(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82α－π4的值．解析 (1)∵tan α＋cot α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－3或tan α＝－13，∵3π4<α<π，∴－1<tan α<0. ∴tan α＝－13.(2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82α－π4＝2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6·1＋cos α2－8sin α－cos α＝5＋4sin α＋3＋3cos α－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.1．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，且sin A ·cos A ＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析 ∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ， ∴tan(A ＋B )＝－3，得A ＋B ＝120°，又由sin A cos A ＝34，得sin2A ＝32， ∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，所以△ABC 为等边三角形．2．(2011·江苏理)已知tan(x ＋π4)＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析由tan(x ＋π4)＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝2，得tan x ＝13，tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34，故tan xtan2x＝13×43＝49. 3．在△ABC 中，三内角分别为A 、B 、C ，若4sin A sin B ＝3cos A cos B ，a ＝(7cos C2，－cosA －B2)，求|a |.答案 2解析 ∵4sin A sin B ＝3cos A cos B ，∴7(cos A cos B －sin A sin B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ∴7cos(A ＋B )＝cos(A －B )，又A ＋B ＋C ＝π，∴－7cos C ＝cos(A －B )， ∴|a |＝7cos 2C 2＋cos 2A －B 2＝72＋cos C ＋12[1＋A －B ＝2.4．(2011·天津理)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π4)，(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈(0，π4)，若f (α2)＝2cos2α，求α的大小．解析 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为{x∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }．f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)＝2cos2α，得tan(α＋π4)＝2cos2α，α＋π4α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈(0，π4)，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.∴2α＝π6，∴α＝π12.5．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A－12A ＋π4的值．解 (1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15， ∴sin A ＋cos A ＝－15，①两边平方并整理得2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.②联立①②得sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2tan A 1－tan A ＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sinA －12A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－－341＋－34＝13.1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且f (π4)＝ 2.(1)求ω，φ的值；(2)若f (α2)＝－65(0<α<π)，求cos2α的值．解 (1)由函数f (x )的周期为π，可知2πω＝π，所以ω＝2.又由f (π4)＝2，得2sin(π2＋φ)＝2，所以cos φ＝22.又φ∈(0，π)，所以φ＝π4. (2)方法一：由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35<0，所以α＋π4∈(π，5π4)．所以cos(α＋π4)＝－45.所以cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2425.方法二：由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35<0，所以α＋π4∈(π，5π4)．所以cos(α＋π4)＝－45.所以cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－7210.所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－7210)2－1＝2425.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业（十九）理新人教版

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业（十九）理新人教版课时作业(十九)1．(2020·福建)计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )A.12 B.33 C.22D.32答案 A解析原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365C ．－1665D ．－5665答案 A解析因为α是第二象限角，且sin α＝1213，所以cos α＝－1－144169＝－513. 又因为β是第四象限角，cos β＝45，所以sin β＝－1－1625＝－35. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于( )A.75 B.15 C ．－75D ．－15答案 B解析因为α∈(0，π2)，sin α＝35，所以cos α＝1－925＝45.所以2cos(α＋π4)＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝2(22cos α－22sin α)＝cos α－sin α＝45－35＝15.4．化简cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β的结果为( ) A ．sin(2α＋β) B ．cos(α－2β) C ．cos α D ．cos β答案 C解析等式即cos(α－β＋β)＝cos α.5．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c<="" p="">B ．a <b<="" p="">C ．b <c<="" p="">D ．b <a<="" p="">答案 B解析 a ＝2sin(45°＋14°)＝2sin59°，b ＝2sin(45°＋16°)＝2sin61°，c ＝62＝2sin60°，∴b >c >a . 6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则cos A cos B ＝( )A.14B.34 C.12 D ．－14答案 B解析 tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝sin A ＋B cos A cos B ＝sin60°cos A cos B＝32cos A cos B ＝233，∴cos A c os B ＝34.7．已知tan(α＋β)＝25，tan ? β－π4＝14，那么tan ? ????α＋π4等于( ) A.1318 B.1322C.322D.16答案 C解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－?β－π4，所以tan ? ????α＋π4＝tan ?α＋β－?β－π4＝tan α＋β－tan ?β－π41＋tan α＋βtan ? ????β－π4＝322.8．(2020·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23 D ．－2答案 A解析3sin α＝－cos α?tan α＝－13.1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋191－23＝103. 9．(2020·全国卷Ⅰ)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.答案－17解析由cos2α＝2cos 2α－1＝－35，且α为第三象限角，得cos α＝－55，sin α＝－255，则tan α＝2，tan2α＝－43，tan(π4＋2α)＝1＋tan2α1－tan2α＝－17.10．(2020·沧州七校联考)化简：sin3α－πsin α＋cos 3α－πcos α＝________.答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.11．不查表，计算1sin10°－3sin80°＝________.(用数字作答)答案 4解析原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°sin20°＝4.12．已知tan2θ＝34(π2<θ<π)，求2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4的值．答案－12解∵tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝34，∴tan θ＝－3或tan θ＝13，又θ∈(π2，π)，∴tan θ＝－3，∴2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12. 13．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．答案(1)45 (2)β＝3π4解 (1)解法一：sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cosα2sin 2α2＋cos2α2＝2tanα21＋tan 2α2＝45. 解法二：tan α＝2tanα21－tan 2α2＝43，所以sin αcos α＝43.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45.(2)因为0<α<π2<β<π，所以0<β－α<π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210. 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)cos α ＝7210×35＋210×45＝2. 因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.14．(2020·广东)已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R .(1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．答案 (1) 2 (3)1665解析(1)∵f (x )＝2sin(13x －π6)，∴f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin(β＋π2)＝65，即sin α＝513，cos β＝35，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.15．已知sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝16，x ∈(π2，π)，求sin4x 的值．答案－42思路由题设注意到π4＋x ＋π4－x ＝π2，因此需交换后再用公式求解．解析∵sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝sin(π4＋x )cos[π2－(π4－x )]＝sin(x ＋π4)cos(π4＋x )＝12sin(2x ＋π2)＝12cos2x ＝16，∴cos2x ＝13.∵x ∈(π2，π)，∴2x ∈(π，2π)，∴sin2x＝－223.∴sin4x ＝2sin2x cos2x ＝－429.探究 (1)一般说来，在题目中有单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意2α，2α－π2，α－π4等之间关系的运用．(2)在求cos2x 的过程中，本题也可采用如下方法：sin(x ＋π4)sin(π4－x )＝(22sin x ＋22cos x )(22cos x －22sin x )＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos2x ＝16，从而得cos2x ＝13.1．化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是( )A ．tan9°B ．－tan9°C ．tan15°D ．－tan15°答案 B 解析sin15°·cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π答案 B解析 f (x )＝2sin(2x －π4)，∴T ＝2π2＝π.3．若sin2θ＝1，则tan ? ????θ＋π3的值是( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．－2－ 3D ．－2＋ 3答案 C解析由已知，得θ＝k π＋π4，代入即可得tan ? ????θ＋π3＝tan ?k π＋π4＋π3 ＝tan ? ??π4＋π3＝－2－ 3. 4．(2020·浙江)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2答案 B解析考查三角函数的运算与转化能力，已知正弦和余弦的一个等量关系，可以结合正弦余弦平方和等于1，联立方程组解得正弦余弦的值，再利用tan α＝sin αcos α求得，但运算量较大，作为选择题不适合．也可以利用三角变换处理，原等式即5sin(α＋φ)＝－5，其中tan φ＝12，0<φ<π2，∴sin(α＋φ)＝－1，∴α＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴tan α＝cot φ＝2.也可观察得到答案．5．已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π4.求cos α的值．答案210解析sin(α＋π4)＝45且π4<α<3π4∴π2<α＋π4<π ∴cos(α＋π4)＝－1－sin2α＋π4＝－35∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210.1．已知在△ABC 中，cos B cos C ＝1－sin B ·sin C ，那么△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形答案 B解析由条件知cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，cos(B －C )＝1，B －C ＝0，∴B ＝C . 2．在△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件答案 C解析在△ABC 中，A ＝π－(B ＋C )，∴cos A ＝－cos(B ＋C )，又∵cos A ＝2sin B sin C ，即－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C . ∴cos(B －C )＝0，∴B －C ＝π2，∴B 为钝角． 3．设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且α、β满足53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，求cos(α＋β)的值．解析∵53sin α＋5cos α＝8，∴sin(α＋π6)＝45.∵α∈(0，π3)，∴(α＋π6)∈(π6，π2)，∴cos(α＋π6)＝35.又∵2sin β＋6cos β＝2，∴sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴(β＋π3)∈(π2，5π6)，∴cos(β＋π3)＝－22，∴sin[(α＋π6)＋(β＋π3)]＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3)＝－210，∴cos(α＋β)＝－210. 4．求(tan10°－3)·cos10°sin50°的值．解析(tan10°－3)·cos10°sin50°＝(tan10°－tan60°)·c os10°sin50°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·cos10°sin50°＝sin10°cos60°－sin60°cos10°cos10°cos60°·cos10°sin50°＝－sin 60°－10°cos10°·cos60°·cos10°sin50°＝－1 cos60°＝－2.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(六十九) 理新人教版

课时作业(六十九)1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x 轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)答案 A2．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，μ、σ(σ＞0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝12 2πe－x－σ4D．f(x)＝－12πex22答案 B解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84答案 A解析利用正态分布图像的对称性，P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．(2020·广东理)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585 答案 B解析 P (X >4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.5．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，已知P (400＜ξ＜450)＝0.3，则P (550＜ξ＜600)等于( )A ．0.3B ．0.6C ．0.7D ．0.4 答案 A6．设随机变量ξ～M (μ，σ2)，且P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，则P 的值为( ) A ．0 B ．1C.12 D ．不确定与σ无关答案 C解析 ∵P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，∴C ＝μ，且P ＝12.7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.答案0.36解析由正态分布图像的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.8.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图像关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.9．若随机变量ξ～N(0,1)，且ξ在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的大小关系为________．答案 P 1＝P 2 解析如图所示，由正态分布图像的对称性可得，两阴影部分面积相等，即在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率P 1＝P 2.10．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)，又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．11．若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则η＝ξ－32服从参数为________的正态分布．答案 (μ－32，σ2)解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2. 而η＝ξ－32也服从正态分布，即Eη＝E (ξ－32)＝12Eξ－32＝μ－32， Dη＝D (ξ－32)＝14D ξ＝σ24.∴Dη＝σ2服从(μ－32，σ2)的正态分布． 12．设X ～N (1,22)，试求(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)；(3)P (X ≥5)．解析 ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826. (2)∵P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，∴P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， ∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)]＝12[1－0.954]＝0.023.13．如下图所示，是一个正态曲线，试根据图像写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．解析从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12 π，所以μ＝20.由12πσ＝12 π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x )＝12πe －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.14．某市有210名学生参加一次数学竞赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩列表如下：成绩(分) 1 2 3 456789 10 人数6 15 21 12 33(1)(2)若总体服从正态分布，求此正态曲线近似的密度函数．解析 (1)平均成绩x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，S 2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S ＝1.22.即样本平均成绩为6分，标准差为1.22.(2)以x ＝6，S ＝1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值，即μ＝6，σ＝1.22.正态曲线密度函数近似地满足y ＝11.22 2πe －(x －6)22×1.5 .1．若随机变量ξ的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的关系为( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不确定答案 C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P 1＝P 2.2．正态总体N (0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( ) A ．0.46 B ．0.9974 C ．0.03 D ．0.0026 答案 D解析 P (－2<ξ≤2)＝P (0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为：1－0.9974＝0.0026.3．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－(x－μi)22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图像如图所示，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3答案 D解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.4．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，求c的值．解析由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.5．(2020·沧州七校联考)2020年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．思路首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量解析由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．。

【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业18

课时作业26 平面向量的概念及其线性运算1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．2．(2019·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC→＋CB →＝0，则向量OC →等于( C ) A ．23OA →－13OB →B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA→)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(2019·济宁模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2.4．(2019·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →) ＝－23AB →＋13AD →.5．(2019·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16 B ．13 C ．12D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，又S △ACD ＝13S △ABC ，所以S △BCD ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S△ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13.故选B ． 6．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λ·AC →，则|AP →|的取值范围为( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ，使得AD →＝23AB →，过D 作DH ∥AC ，交BC 于H .∵AP →＝23AB →＋λAC →，且点P 是△ABC 内一点(含边界)，∴点P 在线段DH 上．当P 在D 点时，|AP→|取得最小值2；当P 在H 点时，|AP →|取得最大值，此时B ，P ，C 三点共线， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴λ＝13， ∴AP →＝13AC →＋23AB →，∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC →＝529，∴|AP →|＝2133. 故|AP →|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB→＋AC →＝mAM →成立，则m ＝3__. 解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB→＋AC →＝3AM →，则m ＝3. 8．(2019·郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为－94.解析：由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD→. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 .解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，∴AB →＝2DC →， ∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE→＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2，∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(2019·太原质检)设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心，∴GA→＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→，GC →不共线，∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知，b ＝a ＝c ， ∴△ABC 是等边三角形，则B ＝60°.11．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解：由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13B ．所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(2019·四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →，则点P 是△ABC 的( A )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →，得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0，即AB →·[(CB→－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0，所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点，则AB →·2PD →＝0，故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →，所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →，所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ，同理可得BC →·PE →＝0，所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点，所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，点F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF→＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →，因为C ，F ，D 三点共线，所以2x ＋y ＝1，即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2，则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2，令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)．当0＜x ＜2－1时，f ′(x )＜0，当x ＞2－1且x ≠1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时，f (x )取得极小值，亦为最小值，最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(2019·河北百校联盟联考)已知在△ABC 中，点D 满足2BD →＋CD →＝0，过点D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点M ，N ，AM →＝λAB →，AN →＝μAC →.若λ＞0，μ＞0，则λ＋μ的最小值为3＋223 .解析：连接AD ．因为2BD →＋CD →＝0，所以BD →＝13BC →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ，M ，N 三点共线，所以存在x ∈R ，使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →，则AD→＝xλAB →＋(1－x )μAC →，所以xλAB →＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →，所以xλ＝23，(1－x )μ＝13，所以x ＝23λ，1－x ＝13μ，所以23λ＋13μ＝1，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223，当且仅当λ＝2μ时等号成立，所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则关于平面向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ，则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0，则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )．正确的序号是①③④__.解析：①恒成立，②λ(a⊗b)＝λ|a|·|b|sin〈a，b〉，(λa)⊗b＝|λa|·|b|sin〈a，b〉，当λ＜0时，λ(a⊗b)＝(λa)⊗b不成立，③a＝λb，则sin〈a，b〉＝0，故a⊗b＝0恒成立，④a＝λb，且λ＞0，则a＋b＝(1＋λ)b，(a＋b)⊗c＝|(1＋λ)||b|·|c|sin〈b，c〉，(a⊗c)＋(b⊗c)＝|λb|·|c|sin〈b，c〉＋|b|·|c|sin 〈b，c〉＝|1＋λ||b|·|c|sin〈b，c〉，故(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)恒成立．。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(二) 理新人教版

课时作业(二)1．(2020·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．选B. 2．(2020·《高考调研》原创题)已知a 、b 是实数，则3a＜3b是log 3a ＜log 3b 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由题知，3a＜3b⇔a ＜b ，log 3a ＜log 3b ⇔0＜a ＜b .故3a＜3b是log 3a ＜log 3b 的必要不充分条件．故选B.3．(2020·天津)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件，故选择A.4．(2020·福建文)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.5．(2020·合肥质检)“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵当a ＝1时，f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ＝1⇒f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增，而f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增可得a >0，∴“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.6．在△ABC 中，“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”是“C ＝90°”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ∴2cos(A －π4)＝2cos(B －π4)∴A ＝B ⇒/ C ＝90°反之，当C ＝90°，∴A ＋B ＝90°，∴A ＝90°－B ∴cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B即C ＝90°⇒cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B .故选B.7．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析甲⇒乙，可用反证法证明．反之直线EF 和GH 不相交，不能推出E 、F 、G 、H 四点不共面．如当EF ∥GH 时，E 、F 、G 、H 共面．8．(2020·浙江理)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件．9．(2020·湖北理)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 C解析根据题意知，a ，b 互补，且a ，b 非负，其中至少有一个为0.由φ(a ，b )＝a 2＋b2－a －b ＝0可得a ≥0，b ≥0，且ab ＝0.当a ≥0，b ≥0且ab ＝0时，同样可以求出φ(a ，b )＝0.10．(2020·湖南)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件． 11．命题A ∩B ＝A 是命题∁U B ⊆∁U A 的________条件．答案充要12．(2020·广东茂名)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x ≥1”的________条件．答案充分不必要解析当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x≥2x ·14x＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋a x ≥1，只需f (x )＝x ＋a x的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x ＋a x的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．13．(2020·浙江温州)如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．答案必要不充分解析可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是〈x 〉＝〈y 〉的必要不充分条件． 14．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个必要但不充分条件．答案 (1){a |－3≤a ≤5} (2)在{a |－3≤a ≤5}中可任取一个值a ＝0 (3){a |a ≤5} 解析由题意知，a ≤8.①M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件：－3≤a ≤5②M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充分但不必要条件，显然，a 在[－3,5]中任取一个值都可 ③若a ＝－5，显然M ∩P ＝(－5，－3)∪(5,8)是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的必要条件结合①②知a ≤5时为必要不充分．15．已知f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．答案略思路题干中已知函数的单调性，利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小，当已知两个函数值的关系时，也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系，则不容易直接利用单调性，故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．解析 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.(用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)内的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－b )＋f (－a )＝f (－a )＋f (－b )． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题．1．(2020·陕西理)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．2．(2020·北京)“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2k π(k ∈Z )，知2α＝π3＋4k π(k ∈Z )，则cos2α＝cos π3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2k π±π3，即α＝k π±π6(k ∈Z )，故选A.3．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0 B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y | C ．甲：xy ＝0 乙：x 、y 至少有一个为零 D ．甲：x <y 乙：xy<1 答案 B解析选项A ：甲：xy ＝0即x 、y 至少有一个为0，乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0 甲⇒/ 乙，乙⇒甲．选项B ：由甲xy ＝0即x 、y 至少有一个为0乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x 、y 至少有一个为0或同号．故甲⇒乙且乙⇒/ 甲．选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲⇒/ 乙． 4．(2020·大纲全国)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3答案 A解析由a >b ＋1得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.5．设M 、N 是两个集合，则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 B解析M ∪N ≠∅，不能保证M ，N 有公共元素，但M ∩N ≠∅，说明M ，N 中至少有一元素，∴M ∪N ≠∅.故选B.6．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件．答案充分不必要解析 1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y . (2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案充分不必要解析题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．1．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析设⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0所对应的区域如上图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1＝2.故选B.2．(2020·西城模拟)命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 3．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C ＞π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.4．(2020·福建)“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．答案充要解析若a ＝1，则两直线的斜率分别为－1和1，垂直；若两直线垂直，则直线x －ay ＝0的斜率为1，故a ＝1，所以为充要条件．5．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是________．答案 ①②④解析由题意知，∴s ⇔q ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q ，∴p ⇒q ，但q ⇒/ p ，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．6．(2020·鞍山月考)若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________．答案 [1,2)解析 x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，得1≤x <2.点评 “A 或B ”的否定是“綈A 且綈B ”．。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(六十八) 理新人教版

课时作业(六十八)1．(2020·衡水调研卷)若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．3·2－10C ．2－4D ．2－8答案 B解析 Eξ＝np ＝6，Dξ＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，P (ξ＝1)＝C 112(12)12＝3·2－10.2．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝1.6，则a ×b ＝( )A.0.2 C ．0.15D ．0.4解析由分布列的性质得0.1＋a ＋b ＋0.1＝1， ∴a ＋b ＝0.8①又由Eξ＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3②由①②解得a ＝0.3，b ＝0.5， ∴a ×b ＝0.3×0.5＝0.15. 答案 C3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.52B ．Eξ＝3.5，Dξ＝3512C ．Eξ＝3.5，Dξ＝3.5D ．Eξ＝3.5，Dξ＝3516答案 B4．(2020·沧州七校联考)某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A ．60.82元B ．68.02元C ．58.82元D ．60.28元答案 A解析 E (ξ)＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82，∴选A.5．(2020·岳阳联考)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.16答案 D解析设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E (X )＝3a ＋2b ＝2≥23a ×2b ，所以ab ≤6，当且仅当3a ＝2b 时，等号成立． 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若Eξ＝3，则Dξ的值是( )A.13B.23C.59D.79解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且Eξ＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13.联立三式得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴Dξ＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.答案 C7．若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝n )＝a .若Eξ＝2，则Dξ的最小值等于________．答案 0解析依题意有a ＝1－13＝23，所以Eξ＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6，又Dξ＝13(m －2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，Dξ取最小值为0.8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案 12，25解析 Dξ＝100p (1－p )≤100·(p ＋1－p2)2＝25当且仅当p ＝1－p .即p ＝12时，Dξ最大为25.9．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元，设一年内事件E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的10%，公司应要求投保人交的保险金为________元．解析设要求投保人交x 元，公司的收益额ξ作为随机变量，则p (ξ＝x )＝ 1－p ，p (ξ＝x －a )＝p ，故Eξ＝x (1－p )＋(x －a )p ＝x －ap ， ∴x －ap ＝0.1a ，∴x ＝(0.1＋p )a . 答案 (0.1＋p )a10．(2020·江苏)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝________.答案165解析可以先把这组数都减去6再求方差，16511．(2020·浙江理)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.12．(2020·江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克的概率为45. (1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a 万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得a2万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得a3万元．设甲得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望．解析 (1)这一技术难题被攻克的概率P ＝1－(1－23)(1－34)(1－45)＝1－13×14×15＝5960.(2)X 的可能取值分别为0，a 3，a2，a .P (X ＝0)＝13×1－14×155960＝1959， P (X ＝a 3)＝23×34×455960＝2459，P (X ＝a 2)＝23×34×15＋14×455960＝1459，P (X ＝a )＝23×14×155960＝259.∴X 的分布列为X 0 a3a2aP19592459 1459259∴E (X )＝0×1959＋a 3×2459＋2×59＋a ×59＝59a .13．(2020·广州综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800、600、0的四个球(球的大小相同)．参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球，则没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望．解析设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金减半，即分别为500,400,300,0.则ξ的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0. 依题意得P (ξ＝1000)＝P (ξ＝800)＝P (ξ＝600)＝14，P (ξ＝500)＝P (ξ＝400)＝P (ξ＝300)＝P (ξ＝0)＝116，则ξ的分布列为E (ξ)＝14×(1000＋800＋600)＋116×(500＋400＋300＋0)＝675(元)．即一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望是675元．14．(2020·衡水调研卷)甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如下：甲运动员乙运动员100.35 合计801若将频率视为概率，回答下列问题： (1)求甲运动员击中10环的概率；(2)求甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率；(3)若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及E (ξ)．解析由题意得x ＝100－(10＋10＋35)＝45，y ＝1－(0.1＋0.1＋0.45)＝0.35.因为乙运动员的射击环数为9时的频率为(1－(0.1＋0.15＋0.35)＝0.4，所以z ＝0.4×80.1＝32.由上可得表中x 处填45，y 处填0.35，z 处填32.(1)设“甲运动员击中10环”为事件A ，则P (A )＝0.35，即甲运动员击中10环的概率为0.35. (2)设甲运动员击中9环为事件A 1，击中10环为事件A 2，则甲运动员在一次射击中9环以上(含9环)的概率为P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝0.45＋0.35＝0.8，故甲运动员在3次射击中至少有一次击中9环以上(含9环)的概率P ＝1－[1－P (A 1＋A 2)]3＝1－0.23＝0.992.(3)ξ的可能取值是0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝0.22×0.25＝0.01，P (ξ＝1)＝C 12×0.2×0.8×0.25＋0.22×0.75＝0.11，P (ξ＝2)＝0.82×0.25＋C 12×0.8×0.2×0.75＝0.4， P (ξ＝3)＝0.82×0.75＝0.48.所以ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.010.110.40.48E (ξ)1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( ) A.35B.815C.1415 D ．1答案 A解析离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，∴EX ＝nM N ＝2×310＝35.2．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为( )A ．0.4B ．1.2C ．0.43D ．0.6答案 B解析 ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴EX ＝3×0.4＝1.2. 3．设ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13B ．12，23C ．18，23D ．12，13答案 C解析由⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12np 1－p ＝4，解得n ＝18，p ＝23.4．(2020·沈阳模拟)设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，2 2.用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 答案 47解析当l 的斜率为±2时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝13；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝23；k ＝0时，d 4＝1.由等可能性事件的概率可得分布列如下： X13 12 23 1P27272717∴EX ＝13×27＋12×27＋23×7＋1×7＝7.5．(2020·江西理)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望．解析 (1)X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4， P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即X 0 1 2 3 4P170 1670 3670 1670 170(2)令Y 则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝170， P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝835， P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝5370，EY ＝3500×170＋2800×1670＋2100×5370＝2280，所以此员工月工资的期望为2280元．6．(2020·陕西理)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(Ⅰ)为了尽量大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(Ⅰ)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．【解析】(Ⅰ)A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.(Ⅱ)A，B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(Ⅰ)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，∴P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(A B＋A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为X 01 2P 0.040.420.54∴EX1．已知离散型随机变量ξ，η，满足ξ＋η＝8，且ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是( ) A．6、2.4 B．2、2.4C．2、5.6 D．6、5.6解析由均值、方差的性质，ξ＋η＝8，得η＝8－ξ，Eη＝8－Eξ＝8－10×0.6＝2，Dη＝D (8－ξ)＝(－1)2Dξ＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 B2．(2020·合肥第一次质检)工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．(1)求报废的合格品少于2件的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，而P (ξ＝0)＝A 226×5＝115，P (ξ＝1)＝A 22A 12A 146×5×4＝215，故P (ξ<2)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝115＋215＝15.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4，P (ξ＝2)＝A 13×A 12×A 24A 46＝15， P (ξ＝3)＝A 14×A 12×A 34A 56＝415， P (ξ＝4)＝A 15×A 12×A 44A 66＝13，由(1)知P (ξ＝0)＝115，P (ξ＝1)＝215，故ξ的分布列为：Eξ＝0×115＋1＋15＋2×5＋3×15＋4×3＝3.3．(2020·温州第一次适应性测试)一个盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球．规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元．(1)若某人摸一次球，求他获奖励的概率；(2)若有10人参加摸球游戏，每人摸一次，摸后放回，记随机变量ξ为获奖励的人数， ①求P (ξ>1)；②求这10人所得钱数的期望．(结果用分数表示，参考数据：(1415)10≈12)解析 (1)由已知得，摸一次球获奖励的概率为P ＝2C 34C 310＝115.(2)①由题意，ξ服从N (10，115)，则P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)＝1－(1415)10－C 110×115×(1415)9≈17.②设η为在一局中的输赢，则Eη＝115×10－1415×2＝－65，∴E (10η)＝10Eη＝10×(－65)＝－12.4．(2020·海淀期末)某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A 区投篮2次或选择在B 区投篮3次．在A 区每进一球得2分，不进球得0分；在B 区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A 区和B 区每次投篮进球的概率分别为910或13.(1)如果选手甲以在A 、B 区投篮得分的期望较高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择在哪个区投篮？(2)求选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分的概率．解析 (1)方法一：设选手甲在A 区投两次篮的进球数为X ，则X ～B (2，910)，故E (X )＝2×910＝95，则选手甲在A 区投篮得分的期望为2×95＝3.6.设选手甲在B 区投三次篮的进球数为Y ，则Y ～B (3，13)，故E (Y )＝3×13＝1，则选手甲在B 区投篮得分的期望为3×1＝3. ∵3.6>3，∴选手甲应该选择在A 区投篮．方法二：设选手甲在A 区投篮的得分为ξ，则ξ的可能取值为0,2,4，P (ξ＝0)＝(1－910)2＝1100； P (ξ＝2)＝C 12×910×(1－910)＝18100； P (ξ＝4)＝(910)2＝18100.所以ξ的分布列为∴Eξ＝0×1100＋2×18100＋4×100＝3.6. 同理，设选手甲在B 区域投篮的得分为η，则η的可能取值为0,3,6,9，P (η＝0)＝(1－13)3＝827；P (η＝3)＝C 13×13×(1－13)2＝49；P (η＝6)＝C 23(13)2(1－13)＝29；P (η＝9)＝(13)3＝127.所以η的分布列为∴Eη＝0×827＋3×49＋6×9＋9×27＝3.∵Eξ>Eη，∴选手甲应该选择在A 区投篮．(2)设选手甲在A 区投篮得分高于在B 区投篮得分为事件C ，甲在A 区投篮得2分、在B 区投篮得0分为事件C 1，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得0分为事件C 2，甲在A 区投篮得4分、在B 区投篮得3分为事件C 3，则C ＝C 1∪C 2∪C 3，其中C 1，C 2，C 3为互斥事件．则：P (C )＝P (C 1∪C 2∪C 3)＝P (C 1)＋P (C 2)＋P (C 3)＝18100×827＋81100×827＋81100×49＝4975，故选手甲在A 区投篮得分的概率为4975.5．某制药厂新研制出一种抗感冒药，经临床试验疗效显著，但由于每位患者的身体素质不同，可能有少数患者服用后会出现轻微不良反应，甲、乙、丙三位患者均服用了此抗感冒药，若他们出现轻微不良反应的概率分别是15，13，14.(1)求恰好有一人出现轻微不良反应的概率； (2)求至多有两人出现轻微不良反应的概率；(3)设出现轻微不良反应的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)患者甲出现轻微不良反应，患者乙、丙没有出现轻微不良反应的概率为15×23×34＝110；患者乙出现轻微不良反应，患者甲、丙没有出现轻微不良反应的概率为45×13×34＝15；患者丙出现轻微不良反应，患者甲、乙没有出现轻微不良反应的概率为45×23×14＝215，所以，恰好有一人出现轻微不良反应的概率为P 1＝110＋15＋215＝1330.(2)有两人出现轻微不良反应的概率P 2＝15×13×34＋45×13×14＋15×23×14＝120＋115＋130＝320.三人均没有出现轻微不良反应的概率P 0＝45×23×34＝25，所以，至多有两人出现轻微不良反应的概率为25＋1330＋320＝5960.(3)依题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，由(1)(2)得，P (ξ＝0)＝25，P (ξ＝1)＝1330，P (ξ＝2)＝320，P (ξ＝3)＝1－25－1330－320＝160.于是ξ的分布列为：ξ的数学期望Eξ＝0×25＋1×30＋2×20＋3×60＝60.6．(2020·天津理)学校游园活动有这样的一游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(Ⅰ)求在1次游戏中，(ⅰ)摸出3个白球的概率； (ⅱ)获奖的概率；(Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )．解析 (Ⅰ)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则A 1∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(Ⅱ)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12710×(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝(710)2＝49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×50＋2×100＝5. 7．(2020·山东理)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率；(Ⅱ)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解析 (Ⅰ)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5. 红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (Ⅱ)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(Ⅰ)知D E F 、D E F 、D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：因此Eξ8．甲、乙、丙三人组成一组参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)设团体总分为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析 (1)设乙闯关成功的概率为P 1，丙闯关成功的概率为P 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13P 1＝16，P 1·P 2＝15.解得P 1＝12，P 2＝25.即乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.(2)由题意知，ξ的可能取值为0,2,4,6，且P (ξ＝0)＝(1－13)×(1－12)×(1－25)＝15；P (ξ＝2)＝13×(1－12)×(1－25)＋(1－13)×12×(1－25)＋(1－13)×(1－12)×25＝1330；P (ξ＝4)＝(1－13)×12×25＋13×(1－12)×25＋13×12×(1－25)＝310；P (ξ＝6)＝13×12×25＝115. 所以随机变量ξ的分布列为所以Eξ＝0×15＋2×1330＋4×10＋6×15＝15.9．新研制的药品R 临床试验，在一个疗程内不起作用的概率为0.2，对某人进行5个疗程观察，若在5个疗程均起作用，可定药效为3级；若有一个疗程不起作用，可定药效为2级；若有两个疗程不起作用，可定药效为1级，若有三个疗程及三个疗程以上不起作用可定药效为0级．求新研制的药品R 药效是多少级？解析设新研制的药品R 临床试验不起作用疗程为X 个，则X ～B (5,0.2)，于是X 有概率分布P (X ＝k )＝C k 50.2k 0.85－k(k ＝0,1,2,3,4,5)．设新研制的药品R 临床药效为Y 级，则Y ＝g (X )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，X ＝0，2，X ＝1，1，X ＝2，0，X ≥3.Y 的概率分布为P (Y ＝3)＝P (X ＝0)＝0.85≈0.328；P (Y ＝2)＝P (X ＝1)＝C 15×0.2×0.84≈0.410； P (Y ＝1)＝P (X ＝2)＝C 25×0.22×0.83＝0.205；P (Y ＝0)＝P (X ≥3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝0.057.故研制的药品R 5个疗程临床药效为EY ＝3×0.328＋2×0.410＋1×0.205＋0×0.057＝2.009.10．袋子中装有大小形状完全相同的m 个红球和n 个白球，其中m ，n 满足m >n ≥2且m ＋n ≤10(m ，n ∈N ＋)．若从中取出2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．(1)求m ，n 的值；(2)从袋子中任取3个球，设取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．解析 (1)依题意得C 2m ＋C 2n C 2m ＋n ＝C 1m C 1n C 2m ＋n即(m －n )2＝m ＋n ，则m ＋n 是完全平方数．又m >n ≥2，m ＋n ≤10，∴m ＋n ＝9，m －n ＝3. ∴m ＝6，n ＝3.(2)ξ的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 33C 39＝184，P (ξ＝1)＝C 23C 16C 39＝314；P (ξ＝2)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝3)＝C 36C 39＝521.∴ξ的分布列为：Eξ＝0×184＋1×314＋2×28＋3×21＝2.11．2020年男足世界杯将在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，规则如下：任两支队伍进行比赛，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1和P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．解析 (1)根据题意知，若甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队， ∴甲队获第一名的概率为P 1×P 2＝16，①若乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， ∴乙队获第一名的概率为(1－P 1)×15＝115，②解②得P 1＝23，代入①得P 2＝14.∴甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)由题意知ξ可能的取值为0,3,6，ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为 P (ξ＝0)＝(1－23)(1－14)＝14；ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为 P (ξ＝3)＝23×(1－14)＋14×(1－23)＝712； ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P (ξ＝6)＝23×14＝16.∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×14＋3×712＋6×16＝4.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(七) 理新人教版

课时作业(七)1．(2020·郑州质检)给出下列结论： ①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④答案 B解析 (a 2) 32 >0，a 3<0，故①错， ∵2x ＝16，∴x ＝4，∵3y＝127，∴y ＝－3.∴x ＋y ＝4＋(－3)＝1，故④错．2．函数f (x )＝3－x－1的定义域、值域是( ) A ．定义域是R ，值域是R B ．定义域是R ，值域是(0，＋∞) C ．定义域是R ，值域是(－1，＋∞) D ．以上都不对答案 C解析 f (x )＝(13)x－1，∵(13)x>0，∴f (x )>－1. 3．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2答案 D解析 y 1＝21.8，y 2＝21.44，y 3＝21.5，∵y ＝2x在定义域内为增函数， ∴y 1>y 3>y 2.4．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝5 12－xB ．y＝(13)1－xC ．y ＝12x－1D ．y ＝1－2x答案 B5．若函数f (x )＝(a ＋1e x－1)cos x 是奇函数，则常数a 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D 6．函数f (x )＝x |x |·a x(a >1)的图像的大致形状是( )答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >0－a xx <07．已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关答案 A解析因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像上，所以有a n＝a n，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，又2a 5＝2a 5，故选A.8．(2020·菏泽联考)已知函数y ＝4x－3×2x＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析 y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x－32)2＋34∈[1,7]，∴(2x－32)2∈[14，254]．∴2x－32∈[－52，－12]∪[12，52]．∴2x∈[－1,1]∪[2,4]，∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．9．函数y ＝12π·(2a －3) －x 23 的部分图像大致是如图所示的四个图像的一个，根据你的判断，a 可能的取值是( )A.12B.32 C ．2 D ．4答案 D解析函数为偶函数，排除①②，又函数值恒为正值，则排除④，故图像只能是③，再根据图像先增后减的特征可知2a －3>1，即a >2，符合条件的只有D 选项，故选D.10．(2020·哈师大附中)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈(－32，0)时，f (x )＝－(12)1＋x ，则f (2020)＋f (2020)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2答案 A解析由已知得，f (2020)＋f (2020)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.11．已知函数f (x )＝|2x－1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a<2c; ④2a ＋2c<2. 答案 ④ 解析作出函数f (x )＝|2x－1|的图像如图中实线所示．又a f (c )>f (b )，结合图像知f (a )<1，a <0，c >0，∴0<2a<1，∴f (a )＝|2a－1|＝1－2a， ∴f (c )<1，∴0<c <1，∴1<2c<2，f (c )＝|2c－1|＝2c－1，又f (a )>f (c )，即1－2a>2c－1， ∴2a＋2c<2.12．已知f (x )＝a x (a >1)，g (x )＝b x(b >1)，当f (x 1)＝g (x 2)＝2时，有x 1>x 2，则a 、b 的大小关系是________．答案 a <b解析 x 1＝log a 2>x 2＝log b 2>0，∴log 2a <log 2b . ∴a <b .13．已知f (x )＝a x －a －xa x ＋a－x (0＜a ＜1)．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的值域．答案 (1)略 (2)(－1,1)解析 (1)由已知f (x )的定义域为R ，f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1＝1－2a 2x ＋1，设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则(2)令y ＝f (x )＝a 2x －1a 2x ＋1，解得a 2x＝1＋y 1－y∵a 2x＞0， ∴1＋y 1－y ＞0，解得－1＜y ＜1.故f (x )的值域为(－1,1)．14．是否存在实数a ，使函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0, 且a ≠1)在[－1,1]上的最大值是14?答案 a ＝3或a ＝13解析令t ＝a x，则y ＝t 2＋2t －1. (1)当a >1时，∵x ∈[－1,1]， ∴a x∈[1a ，a ]，即t ∈[1a，a ]．∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2在[1a ，a ]上是增函数(对称轴t ＝－1<1a)．∴当t ＝a 时y max ＝(a ＋1)2－2＝14. ∴a ＝3或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝3. (2)当0<a <1时t ∈[a ，1a]，∵y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上是增函数，∴y max ＝(1a＋1)2－2＝14，∴a ＝13或a ＝－15.∵0<a <1，∴a ＝13.综上，a ＝3或a ＝13.15．已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．答案 (1)奇函数 (2)在R 上是增函数 (3)(－∞，－1] 解析 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x)＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x为增函数．所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x－a －x为减函数．所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f (－1)≤f (x )≤f (1)．所以f (x )min ＝f (－1)＝aa 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a2a＝－1.所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1. 故b 的取值范围是(－∞，－1]．1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6－22；－342＝4－34×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A 解析 36a 3＝36a ≠2a ；3－2＝－32<0，6－22＝622＝32>0，∴3－2≠6－22；－342<0，4－34×2>0，故－342≠4－34×2.故选A.2．函数y ＝4－2x的定义域是( ) A ．(0,2] B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 B解析由4－2x≥0，得x ≤2.3．(2020·重庆)函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)答案 C4．若0<a <1,00，∴0<x －3<1，∴3<x <4.5．(2020·上海高考理)已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中a ，b 满足a ·b ≠0 (1)若a ·b >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若a ·b <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解析 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x>0.当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .1．集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．R答案 B 2．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图像不经过第一象限，则m 的取值范围是________．答案 m ≤－23．(2020·太原模拟)设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x－1，则f (12)＋f (1)＋f (32)＋f (2)＋f (52)＝________.答案2解析由题意知f (x )为奇函数且为周期函数，周期为2， ∴f (32)＝f (－12)＝－f (12)，f (52)＝f (12)，f (2)＝f (0)，∴所求为f (12)＋f (1)＝212 －1＋1＝ 2.4．在数列{a n }中，a 1＝2，且对任意正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a n ·a m ，令f (n )＝a n ，则满足f (n )>100的最小正整数n 为________．答案 6解析由a m＋n＝a n·a m，令m＝1，则a n＋1＝a1·a n＝2a n，∴a n＝2n，∴f(n)＝2n，∴2n>100⇒n≥6，∴n＝6.。

【高考调研】2020届高考数学一轮复习课时作业(十八) 理 新人教版

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