高三(理)数学长郡中学2014届高三第2次月考试卷答案

（
）
２
因为集合 犃 是“ 好集” ， 所以 ０ 若狓， 则０ 即－ 所以 狓－ （ 即 狓＋ 所 － － ∈犃． ∈犃， 狔∈犃， 狔∈犃， 狔∈犃． 狔） 狔∈犃， ） 是真命题； 对任意一个“ 好集” 任取狓， 若狓， 显然狓 下设狓， ， 以（ ３ 犃， 狔∈犃， 狔 中有０或１时， 狔∈犃． 狔 均不为０ １ 由定义可知： ，１ ， 所以 １ ∈犃， 所以 狓（ ） 由（ ） 可得： ） 即 １ ． 狓－ １ 狓－１ ３ 狓（ 狓－１ ＋狓∈犃， ∈犃． ∈犃． ） 狓－ １狓 狓（ 狓－ １
炎德·英才大联考 长郡中学 ２ 二） ０ １ ４ 届高三月考试卷 （
数学 （ 理科 ） 参考答案
一、 选择题 题 号 答 案 二、 填空题 ｛ ｝ ９ ． ２ １ ０ ． １ １ ． 狓 ０ 狓＜ ２ ３ 槡 ｜ ＜ １ ２ ．－ １ Ｂ ２ Ｄ ３ Ｄ ４ Ｂ ５ Ａ ６ Ｂ ７ Ｃ ８ Ｂ
（
）
π π π π π 由２ ） 得： ） 犽 － ≤ ２ 狓－ ≤ ２ 犽 ＋ （ 犽∈犣 犽 － ≤ 狓≤ 犽 ＋ （ 犽∈犣 π π π π ２ ６ ２ ６ ３
［ ］［ ］ π π （ ） ， 则ｓ － １ ＝ ０ ＝ １ ２ 犃） ＝ ｓ ｉ ｎ（ ２ ｉ ｎ（ ２ 犃－ ） 犃－ ） 犳（ ６ ６
２ ９ 狓 ２ 所以 犛＝ ９ 狓 ， 其定义域为［ ， ］ ＋（ １ ０ ３ ０ ． （ ６分） ２ １ ６ 狓－ ９）
［
］
（ ） 根据已知条件， 要使液晶广告屏的造价最低， 即要液晶广告屏的面积 犛 最小． ２
２ 狓 ９ ９ ２ （ 设 犛＝ ， 则 狓） ＝ 狓 ＋（ １ ０ 狓≤ ３ ０） ≤ 犳（ ２ ） １ ６ 狓－ ９
｛
→ ， 犿· 犆 犈＝ ０
→ ， 犿· 犆 犉＝ ０
， － ２ ２槡 ２ 狕＝ ０ 烄 狔＋ 即烅 可取 犿＝（ ， ） ０ １ ２， 槡 ， ３ 狓－ ２ 狕＝ ０ 烆 槡 狔＋槡
→ → 犆 → 设侧面 犆 由狀⊥犅 及 ， ） ， 犆 犉 的一个法向量为狀， 犆， 狀⊥ 犆 犆 犅＝（ － １ ０ ３， 槡 １ １， 犆 → ， ， ） ， 可取狀＝（ ， ） ， 犆 ０ ０ ３槡 ２ １ ０ ３， 槡 １＝ （
［
］
２ ２ ３ ） （ ） ９ ２ （ ） ］ １ ８ 狓（ 狓－ ９ － ９ 狓 × ２ 狓－ ９ ９ 狓［ 狓－ ９ － ８ １ ， （ 狓） ＝ 狓＋ ＝ × ８分） ′（ ２ 犳 ４ ３ （ ） （ ） １ ６ １ ６ 狓－ ９ 狓－ ９
［
］
令犳 ， 得狓＝ ′（ 狓） ＝ ０ ９ ＋ ３槡 １ ０分） ３， （
π ，５ π， （ 分） 所以， 在［ ， ］ 上的单调递增区间为 ０ ， 狓） ０ ６ π π ． 犳（ ３ ６
１ π π １ π π π π （ 分） ， ， ∵ ０ ∴－ ＜ ２ 犃－ ＜ ∴ ２ 犃－ ＝ ， 犃＝ ８ ＜犃＜π ６ ６ ６ ６ ２ ３ ， 与向量狀＝（ ， 共线， ∵向量 犿＝（ １ ｓ ｉ ｎ犅） ２ ｓ ｉ ｎ犆） ∴ ｓ ｉ ｎ犆＝ ２ ｓ ｉ ｎ犅， 由正弦定理得， 犮 ＝ ２ 犫 （ １ ０分） π 即 ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 由余弦定理得， 犪 ＝ 犫 ＋ 犮 － ２ 犫 犮ｃ ｏ ｓ ， 犪＝ 犫＋ ４ 犫 － ２ 犫 ３
［
３， ３ ２
］ ［ ］ ［
］ ３ 最大值为 ３ π π ， 所以犳（ 的取值范围是 ［ ３ ｓ ｉ ｎ（ － ） ３ ｓ ｉ ｎ ＝ 狓） ＝－ ， ３ － ， ３ ． ６ ２ ２ ２ ］ ３ １ ３ ． － ， ０ ［ ４ ］
２槡 １ ０ １ ４ ． ５
π ， π π５ π 由三角函数图象知： （ ） 【 解析】 由题意知， ， 因为狓∈ ０ 所以２ ， ２ 狓－ ∈ － ， ， ω＝ 犳 狓 的最小值为 ２ ６ ６ ６
犪 狀 ＋ １ 由①－②得： ， 即 （ ） （ 犪 ２ 犪 ０ ＝ ２ 狀≥ ２ ３分） 狀 ＋ １－ 狀＝ 犪 狀 犪 ２ 当狀＝ ， ， ， ２时 ， 犪 犪 １ ∵ 犪 １ ∴ 犪 ２ ＝ ２ １－ ２＝－ １＝ ２＝ 犪 １
狀 － １（ 所以， 数列｛ 是首项为１ ， 公比为２的等比数列， 故犪 犪 ２ 狀∈犖 ） ． 百度文库 （ ５分） 狀｝ 狀＝
狓 所以 犃犕＝ ３ ． （ ２分） 狓－ ９
２ 狓 ９ ２ 所以 犕犖＝ 槡 ， （ 分） 犃犕２＋犃犖２ ＝ 狓 ＋（ ２ ３ ） 狓－ ９
槡
０ 因为３ ， ， 所以１ ３ ０ １ ０ 狓≤ ３ ０ ０ 狓≤ ３ ０ ． （ ５分） ≤犃犕≤ ≤ ≤ ７
２ ２ 犪 犪 狀 ＋ １＋ 狀 ＋ ２ 狀 － １， （ ） ＝ １ ＋ ２ ２ ∵ 犪 ２ ∴ 犱 １ ＋ ｌ ｏ 狀 ｌ ｏ ２ 狀＝ 狀＝ 犪 犪 ｇ ｇ ５ ， 犱 犱 ２ ｌ ｏ ２ ∵ 狀 ＋ １－ 狀＝ 犪 ｇ
是以犱 以２ ∴｛ 犱 １ ＋ ２ ｌ ｏ ２为首项， ｌ ｏ ２为公差的等差数列， （ ８分） 狀｝ １＝ 犪 犪 ｇ ｇ ） ２ 狀（ ２ 狀－ １ ） ） 狀（ １ ＋ ２ ｌ ｏ ２ ＋ ２ ｌ ｏ ２ ２ ×（ 犪 犪 ｇ ｇ ） 犛 ２ ＋（ ４ 狀＋ ２ ｌ ｏ ２ ２ ２ 狀 犪 ｇ ∴ ＝ ＝ ＝ λ （ ） （ ） 犛 狀 狀 － １ １ ＋ 狀 ＋ １ ｌ ｏ ２ 狀 犪 ｇ ） ） 狀（ １ ＋ ２ ｌ ｏ ２ ＋ ２ ｌ ｏ ２ ×（ 犪 犪 ｇ ｇ ２ ） ） （ ） － ４ 狀 ｌ ｏ ２ ＋（ － ２ １ ＋ ｌ ｏ ２ ＝ ０ （ １ ０分） （ λ λ 犪 犪 ｇ ｇ （ ） ， － ４ ｌ ｏ ２ ＝ ０ λ 犪 ｇ 犛 ２ 狀 ∵ 恒为一个与狀 无关的常数λ， ∴ 犛 狀 （ ） （ ） ， － ２ １ ＋ ｌ ｏ ２ ＝ ０ λ 犪 ｇ
２ ２ ２ ， ， ＝ １ 犪 ＝ ４ 犫 ＝ ３ ． ②代入①解得犮 ２ ２ 狓 故椭圆 犆 的方程为 ＋狔 ＝ １ ． （ ５分） ４ ３ （ ） 由题意可设 犃 （ ） ２ 犅 的斜率为犽，则直线 犃 犅 的方程为狔＝ 犽 狓－ １ ③ ２ ２ 代入椭圆方程３ 狓＋ ４ １ ２并整理， 狔＝ ２ ２ ２ ２ 得（ ） （ ） ， （ ４ 犽 ＋ ３ 狓 － ８ 犽 狓＋ ４ 犽 － ３ ＝ ０ ７分） ２ ２ （ ） ８ 犽 ， ４ 犽－ ３ 设 犃（ ， ， 则有 狓 狓 犅（ 狓 狓 狓 狓 ④ １， １） ２， ２） １＋ ２＝ １ ２＝ 狔 狔 ２ ２ ４ 犽 ＋ ３ ４ 犽 ＋ ３ 在方程③中令狓＝ ， ） ４得 ， 犕 的坐标为（ ４ ３ 犽 ．
３ ３ 因为１ ； ， ０ 狓＜ ９ ＋ ３槡 ′（ 狓） ０ ９ ＋ ３槡 狓≤ ３ ０时 ， ′（ 狓） ０ ３时， ３＜ ≤ ＜ ＞ 犳 犳
３
炎德·英才大联考理科数学参考答案（ 长郡版） －２
３ 所以狓＝ 即液晶广告屏幕 犕犖 ９ ＋ ３槡 犛 取得最小值， 犈 犉 的造价最低． ３时， ３ 故当狓＝ 液晶广告屏幕的造价最低． （ ９ ＋ ３槡 １ ２分） ３米时， 【 解析】 （ ） 由题犪 ２ ０ ． １ 犪 犪 犪 １ ① １＋ ２＋ … ＋ 狀 － １－ 狀 ＝－ ∴ 犪 犪 犪 犪 １ ② １＋ ２＋ … ＋ 狀－ 狀 ＋ １＝－
犪 （ ∴ ＝槡 ３． １ ２分） 犫
【 解析】 以 犃 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 犃－ 如图： １ ８ ． 狓 狕， 狔 则 犃（ ， ， ） ， ， ） ， ， ， ） ， ， ， ） ， ， ， ） ， ， ） ０ ０ ０ 犅（ １ ０ 犆（ ０ ２ ０ 犆 ０ ２ ３槡 ２ 犈（ ０ ０ ２槡 ２ 犉（ １ ３， ３， ２ 槡 槡 槡 １（
３ ３ ２ 狓＋ 狔 ２ ２ ２ ２ ２ 【 解析】 ， ， 即（ ， ∵ ４ 狓 ＋ ＋ 狓 １ ∴（ ２ 狓＋ －３ 狓 ２ 狓＋ － ·２ 狓 ∴（ ２ 狓＋ － 狔 狔＝ 狔） 狔＝１ 狔） 狔＝１ 狔） ２ ２ ２ ８ 即 ２槡 １ ０ ２槡 １ ０ ２ ， 解之得： （ １ ２ 狓＋ － ２ 狓＋ ≤ ≤ ， ≤ 狔） 狔≤ ５ ． ５ ５ １ ５ ． ７槡 ３－ １ ２ 【 解析】 （ ） （ ） （ ） （ ） １ ６ ． ２ ３ ４ ５ 由新定义知１ ） ， ， ｝ 中， 所以（ ） 错误； －（ － １ ＝ ２不在集合 犅＝｛ － １ ０ １ １ 有理数集 犙 满足以上条件， 有理数集 犙 是“ 好集” ，所以（ ） 是真命题； ２
｛
１ 解之得： ， ＝ ４ 犪＝ ． （ １ ３分） λ ２ ３ 在椭圆上得， １ ９ 【 解析】 （ ） 由犘 １ ， ２ １ ． １ １ ① ２ ＋ ２＝ ２ 犪 犫 ４ ２ ２ 依题设知犪＝ ， 则犫 ２ 犮 ＝ ３ 犮 ②
（
π π π ２ ） 狓＝ ｓ ｉ ｎ２ 狓ｃ ｏ ｓ ＋ 狓 ｓ ｉ ｎ －（ ｃ ｏ ｓ ２ 狓＋ １ － ２ ｃ ｏ ｓ ｃ ｏ ｓ ２ ６ ６ ６
）
３ １ 槡 π ｉ ｎ２ ｏ ｓ ２ － １ （ ＝ ｓ 狓－ ｃ 狓－ １ ＝ ｓ ｉ ｎ２ ３分） 狓－ ２ ２ ６ 炎德·英才大联考理科数学参考答案（ 长郡版） －１
犿· 狀 ６ ２ 槡 槡 ｜ ｜ 设二面角 犈－ ， 于是由θ为锐角可得ｃ 犆 犉－ 犆 ｏ ｓ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ４ ５ ° θ θ １ 的大小为θ · 犿 狀 ｜ ｜ ｜ ｜ 槡 ３× ２ ２
即所求二面角 犈－ 犆 犉－ 犆 ５ ° ． （ １ ２分） １ 的大小为 ４ ９ 犕犘 ，３ 犖 犘， 【 解析】 （ ） 由题意在△犃犕犖 中， 所以 ９ ＋ ３ ＝ １ ９ ． １ ＝ ＝ １ ． 狓 犕犖 犃犕 犕犖 狓 犃犕
２ ２ ２ ２ 同理可得狔 若狓＋ ， 则显然（ 若 狓－ ， 或 狓－ ， 则（ 狓 ０或狓＋ １ 狓＋ ０ １ 狓－ ∈犃． ∈犃， ∈犃， 狔＝ 狔＝ 狔） 狔＝ 狔＝ 狔）
１ １ １ ２ ２ ２ 所以２ 所以 １ ∈犃． 由（ ） 可得： 所以 狓 综上可 狓 狓＋ － 狓 － ３ ＝ ＋ ∈犃． ∈犃， ∈犃， 狔＝（ 狔∈犃． 狔） 狔 ２ 狓 狓 狓 狓 狔 狔 ２ 狔 ２ 狔 知， 即（ ） 为真命题； 狓 ４ 狔∈犃， 若狓， 且狓≠ ， 则 １ ∈犃， 所以 狔 ＝ · １ ∈犃， 即（ ） 是真命题． ０ ５ 狔∈犃， 狓 狓 狔 狓 三、 解答题 【 解析】 （ ） １ ７ ． １ 狓） ＝ ｓ ｉ ｎ２ 狓＋ 犳（
→ → １ → １ → （ ） ， ， ） ， ， ） ， ， １ 犆 犈＝（ ０ － ２ －槡 ２ 犆 犉＝（ － １ 犆 犈· 犆 犉＝ ０ ＋ ２ － ２ ＝ ０ ∴ 犆 犉⊥ 犆 犈． ３， ２ 槡 槡 １ → （ ） ， ， ） ， 设平面 犆 ） ２ 犆 犈＝（ ０ － ２ ２槡 ２ 犈 犉 的一个法向量为犿＝（ 狓， 狕 狔， → → 由 犿⊥ 得 犆 犈， 犿⊥ 犆 犉，