第5章(弯曲正应力1-2)
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材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
第5章弯曲应力分析
49.4MPa
伸臂靠近轮毂接合处，直径较小
M F 0.125m 12875N m
max
M Wz
32M πd13
32
12875103 N mm
π 130mm3
59.7MPa
例 槽型截面铸铁梁及其横截面如图所示。已知横截
面对中性轴的惯性矩Iz=5493×104mm4,铸铁许用拉应
根据平面假设，两相邻横 截面之间所有纵向线段的 变形规律，与侧面上观察 到的情形相同。从下部纤 维的伸长逐渐过渡到上部 纤维的缩短，其中必有一 层纵向纤维弯曲后长度不 变，该层称之为中性层； 它与横截面的交线称为中 性轴。
对称弯曲时，中性层与 纵向对称平面 x y 相垂 直，即中性轴 z 与横截 面的对称轴 y 正交。相 邻横截面正是绕中性轴 相对转动的，可见在两 相邻横截面之间与中性 层平行的某层纤维，其 伸长（或缩短）变形是 相同的，只随该层纤维 到中性层的距离不同而 变化。
（5） 的对称性和横截面的对称性关系
M y
zdA E
A
A
yzdA
E
I yz
0
y是对称轴
I 0 yz
（6）正应力计算公式的适用范围
（a）平面假设成立 （b）层间无挤压应力 （c）拉压弹性模量相等
§6-2 横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面
一、横力弯曲时梁的正应力及其强度条件
I. 横力弯曲时的正应力
Fl
max
I
z
4
双轴对称截面：中性轴 z 为横截面的对称轴 b
h
z
z
y
y
My
max max
max
I
z
M
max
第5章 弯曲应力分析
中
来的横截面仍为平面,只是绕中
z性
性轴转动,且距中性轴等高处变
轴
形相等。
⑶ 几何方程
y(对称轴)
纵向纤维AB的纵向线应变
O
（
（（
A1B1 AB A1B1（ O1O2
AB
O1O2
(ρ y)dθ ρdθ y
ρdθ
ρ
ac
d
O1
O2 O1 O2 x
A
y B
A1
B1
bd y
— 纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
中性层是梁内一层既不 伸长也不缩短,不受拉应力和 压应力的纤维层。中性层与 横截面的交线为中性轴。
Northeastern University
纵向对称面 中 性 轴
中性层
ac
bd
M ac
M
bd
PAG 6
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
⑵ 平面假设:梁弯曲变形后,原
Aρ
z
σdA
x
σdA
y
E y2dA
ρA
Iz
y2dA
A
—
横截面对中性轴的惯性矩
EIz M 中性层的曲率 1 M z
ρ
ρ E—Iz 梁的弯曲刚度
PAG 12
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
等直梁纯弯曲时横截 面上任一点的正应力
σ Ey M z y
y
yC
x dA
a r
bC y
xC
x
典型应用：求组合截面的惯性矩
Ix ( Ii )x ( Ixci ai2 Ai )
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章 弯曲应力
第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。
弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。
MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。
二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。
CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。
此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。
三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。
在梁两端对梁施加纯弯矩M 。
A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。
•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。
3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。
——平截面假定。
•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。
•中性层与横截面的交线叫中性轴。
梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。
中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。
材料力学第五章 弯曲应力
x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学 第5章 弯曲变形-2
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
如何提高梁的承载能力
目标： 降低
降低
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
F
M
L/2
L/2
F
M
L/4
3L/4
F
对称 M
L/5
4L/5
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
工程实例
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
(a) (b)
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用教材附录C表 中第五种情况下的公式有
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
均布荷载:反对称均布荷载
C
挠曲线:与跨中截面反对称
在反对称荷载作用下，跨中截面不仅挠度为零，弯矩亦为零，但 转角不等于零，因此，可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为 受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。
A
D
B
F2=2kN C
C F2=2kN
=
+
A
D
F2 a
B
C
F2
F2 M
B
C
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
L=400mm a=0.1mF
A
D
B
C
A
200mm F1=1kN F2=2kN
解：❶结构变换
A
D
B
C
F1=1kN
a
第五章 弯曲应力
28.8 106 Pa
28.8MPa
Z
cC
M
B
y 2
Iz
2.5103 N m 52 10-3m 7.6410-6 m4
17.0 106 Pa
17.0MPa
3)计算B截面上的最大拉应力和最大压应力
cB
M
B
y 2
Iz
4 103 N m 8810-3m 7.6410-6 m4
目录
第五章 弯曲应力\梁横截面上的正应力
5.2. 2 横力弯曲时横截面上的正应力
横力弯曲时梁横截面上不仅有正应力，而且有切应力。由于切 应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出 的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面 上的正应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比 值 l ＞5时，其误差甚小。因此，纯弯曲时横截面的正应力计算公
5.2.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
1. 横截面上正应力的计算公式
研究梁横截面上正应力的方法与 研究圆轴扭转时横截面上切应力所用 的方法相似，也须综合研究变形的几 何关系、应力与应变间的物理关系以 及静力平衡关系。
1) 变形的几何关系 取截面具有竖向对称轴（例如
矩形截面）的等直梁，在梁侧面画 上与轴线平行的纵向直线和与轴线 垂直的横向直线，如图a所示。然后 在梁的两端施加外力偶Me,使梁发生 纯弯曲（图b）。此时可观察到下列 现象：
上式是研究梁弯曲变形的基本公式。由该式可知，EIz越大，曲
率半径越大，梁弯曲变形越小。EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，
称为梁的弯曲刚度。
将上式代入式 σ E y ，得 My
第五章 弯曲应力1
§5–4 弯曲切应力
一、梁横截面上的切应力
1、矩形截面梁
(1)两个假设 (a)切应力与剪力平行 (b)切应力沿截面宽度均匀分布
(2)分析方法
F1 F2 m n
q(x)
z
m
n
mn
x
dx
h yo
A1
B1
x
z
y
x
A
B
A1
B1
y bm
n
dx
FN1
A
ym
B
FN2
n
z
z
m
n
y
x
A1 dFS’
B1
FN1
A
B FN2
查型钢表中,20a号工字钢,有
Iz
S
* z
max
17.2cm
d=7mm
F
AC
B
5m
FSmax
据此校核梁的切应力强度
*
F S F Smax z ,max
max
I d ( I )d z
Smax z
+
S* z ,max
30 103
24.9MPa [ ] 以上两方面的强度条件都满
D
z
4
1
1
22
a1
Wz3
bh2 6
4a13 6
1.67Wz1
合理放置截面
bh2 WZ 左 6
WZ 右
hb2 6
三、采用等强度梁
梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力,
则称为等强度梁. 例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁,若设
5章弯曲应力及弯曲强度
第5章弯曲应力及弯曲强度
5.1 平面弯曲的概念和实例 弯曲： 弯曲： 以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 的变形形式。 a) 外力特征 外力特征: 受横向荷载的作用， 受横向荷载的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. 直于杆轴 b) 变形特征 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 杆件的轴线由直线变为曲线 以弯曲变形为主要变形的杆件. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件
x M(x)
5.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 图示简支梁受力F作用 试作此梁的内力图。 作用， 例 5-4 图示简支梁受力 作用，试作此梁的内力图。
a A C RA
b F L
b B L RB
计算约束反力. 解：①计算约束反力
a b RB = F RA = F L L 写出内力方程. ②写出内力方程 AC段 AC段： Fs1(x) = RA = b F L b M1(x) = RA ⋅ x = Fx L CB段 CB段： a Fs2 (x) = −RB = − F L a M2 (x) = RB ⋅ (L − x) = F(L − x) L
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
• 正负号规定： 正负号规定： M──使梁下部受拉为正， M──使梁下部受拉为正， 使梁下部受拉为正 通常M图绘制在受拉侧，不标正负号。 通常M图绘制在受拉侧，不标正负号。 Fs──使脱离体顺时针转为正，逆时针转为负。 ──使脱离体顺时针转为正，逆时针转为负。 使脱离体顺时针转为正 ──拉为正 压为负。 拉为正， FN──拉为正，压为负。 Fs 、FN图正值绘在上侧，并标明正负号。 图正值绘在上侧，并标明正负号。 • 阴影线规定： 阴影线规定： 阴影线垂直于杆轴，表示取值方向。 阴影线垂直于杆轴，表示取值方向。
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
第5章 弯曲应力
一般梁： max
等截面梁： max
M max W
(5.6)
2、计算问题类型
•强度校核
•截面设计（选择）
•确定许可载荷
3、计算步骤
•确定危险截面及其弯矩值。 （一般由弯矩图判断确定）
•确定危险点。（由正应力分布规律判断确定）
•对危险点进行强度条件计算。 • 结论
解：1）计算简图
2）作弯矩图
M B y2 IZ
(4103 N m)(120 20 52) 103 m
763(102 m)4
46.2106 Pa c
4）梁满足正应力强度条件。
第5章 弯曲应力
课程小结（十四）
课程小结（十四）
1.弯曲按内力性质分类：纯弯曲，横力弯曲。
2、工程中横力弯曲正应力计算
•对L/h＜4的深梁，一般采用弹性力学方法计算。
•对L/h＞4的细长梁，近似使用
My
Iz
（工程中的梁一般为细长梁，此公式的计算误差在工程允
许范围内）
第5章 弯曲应力 5.3 横力弯曲时的正应力
3、横截面最大弯曲正应力
max
My m aΒιβλιοθήκη x IzM WW Iz 称为抗弯截面系数。
0.11) 2
3.42kN m
M3
23.6 (0.2
0.11) 2
25.3
0.11 2
4.64kN
m
第5章 弯曲应力 5.3 横力弯曲时的正应力
4）危险点为各截面的上下缘。 5）强度条件计算
截面1—1：
1max
M1 W1
4.72103 N m
(95103 m)3
32
56106 Pa
截面2—2： 2max
等截面梁： max
M max W
(5.6)
2、计算问题类型
•强度校核
•截面设计（选择）
•确定许可载荷
3、计算步骤
•确定危险截面及其弯矩值。 （一般由弯矩图判断确定）
•确定危险点。（由正应力分布规律判断确定）
•对危险点进行强度条件计算。 • 结论
解：1）计算简图
2）作弯矩图
M B y2 IZ
(4103 N m)(120 20 52) 103 m
763(102 m)4
46.2106 Pa c
4）梁满足正应力强度条件。
第5章 弯曲应力
课程小结（十四）
课程小结（十四）
1.弯曲按内力性质分类：纯弯曲，横力弯曲。
2、工程中横力弯曲正应力计算
•对L/h＜4的深梁，一般采用弹性力学方法计算。
•对L/h＞4的细长梁，近似使用
My
Iz
（工程中的梁一般为细长梁，此公式的计算误差在工程允
许范围内）
第5章 弯曲应力 5.3 横力弯曲时的正应力
3、横截面最大弯曲正应力
max
My m aΒιβλιοθήκη x IzM WW Iz 称为抗弯截面系数。
0.11) 2
3.42kN m
M3
23.6 (0.2
0.11) 2
25.3
0.11 2
4.64kN
m
第5章 弯曲应力 5.3 横力弯曲时的正应力
4）危险点为各截面的上下缘。 5）强度条件计算
截面1—1：
1max
M1 W1
4.72103 N m
(95103 m)3
32
56106 Pa
截面2—2： 2max
第五章 弯曲应力
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
1）减小M（合理按排梁的受力情况）:支座
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
1）减小M（合理按排梁的受力情况）：布载
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：矩形
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：工字形、槽形、矩形、
圆形比较（W/A值）
习题讨论课
2）不同材料
组合截面梁
c
Ac
hc
sc
∑Fx=0
σt=Ety/ρ σc=Ecy/ρ
t
s d A = F
A
N
At
ht
t
st
FN=0
c
中性轴？
At
s dA s
Ac
dA = 0
习题讨论课
2）不同材料
c
Ac
hc
组合截面梁
sc
∑My=0
At
ht
t
st
( E ) zdA = 0
例（书例5-1)
★ 横力弯曲时的正应力
※ 弯曲强度特点
1)危险面往往有几处 2)同一截面危险点往往不只一个
★ 横力弯曲时的正应力
※ 有些材料 s t s c 拉压强度要分别校核
s t max
M s t = W t z max
M s c = W c z max
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：注意和思考 a) 工艺成
本（如空心截面） b) 考虑材质（如铸铁T形梁等）
★
第五章 弯曲应力
三类条件
物理关系
静力关系
1.变形几何关系
m a
n
a
m a o b m
n a o dx
b m
dx
b n
b n
假设oo层为中性层 变形前：aa = bb = oo = dx
m M a
o b m
n a M M
d M
dx
o b n
m o
b′
n o
b′
m
n
变形后：假设中性层oo层变形后的曲率半径为，则
max
M [ ] Wz max
(2) 设计截面尺寸
(3) 计算许用载荷
M Wz [ ]
M max Wz [ ]
例2. T形截面铸铁梁，已知[σt]=30MPa,[σc]=60MPa, 试 80 校核梁的强度。
9kN
A 1m
4kN
B D 1m
20
CLeabharlann 1m120讨论： 1.横截面是绕中性轴转动。 (中性层不伸长也不缩短，中性轴是中性层与横截
面的交线 。) 上部受压
当M > 0时 下部受拉 上部受拉 下部受压
当M < 0时
讨论： 2.纵向纤维的伸长或者缩短与它到中性层的
距离成正比。
m
n′
n a
y
a
y
b m
b
中性层 n′
中性轴 横截面
n
定量分析
与圆轴扭转问题相似，弯曲问题的理论分析也 必须包含三类条件。 变形几何关系
结论： 1.横截面上只存在正应力。
(纵向线与横向线保持直角。)
2.正应力分布不是均匀的。
(纵向线中既有伸长也有缩短的。)
材料力学 第5章 弯曲应力
材料力学
（三）静力学关系
FN x
dA 0
A
Mz A (dA) y M
1 Mz
EI z
由(2)(3)两式可得
… …(3)
x
M y Iz
z x
y
EIz ——抗弯刚度
...... (4)
材料力学
（四）最大正应力
… …(5)
z x
Wz
Iz ymax
——抗弯截面系数
y
z
D
z b
实心圆截面
Pa
92.6MPa
④全梁最大正应力
max
M max Wz
67.5103 6.48 104
Pa
104
.2MPa
材料力学
5.4 弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x dx 图a
M(x) Fs(x)
Fs(x) y
x 图b
dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
b FN1
t
y FN2 图c
1、两点假设： ①切应力与剪力平行； ②距中性轴等距离处，切应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
60
103 (60 10 3 ) 5.832 10 5
Pa
61.7MPa
材料力学
1 q=60kN/m
A
B
1m
2m
1
180 30
12 z
120 y
qL2
M
8
+
M1 Mmax
x
③1-1截面上的最大正应力
Wz
Iz y
Iz h2
6.48 10 4 m3
1max
第5章弯曲应力正应力
材料的许用应力 60MPa.
（1）轮轴为塑性材料
截面关于中性轴对称
max
M
max
Wz
弯矩 M 最大的截面
（2）危险截面：
抗弯截面系数 Wz 最小的截面；
（3）危险点
危险截面的最上、下边缘处。
（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）危险截面 B截面，C截面
M
Fb
Fb Fa
(D d )
4
D4 (1 4 )
Wz
32
D3 (1 4 )
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲 F
Fs
M FL 横截面上内力
F x x
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
横截面
不再保持为平面
且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
120
180
K
30 z
y
M C yK 60 103 60 103 K 61.7 MPa 5 IZ 5.832 10
（压应力） 4 C 截面上最大正应力
M C ymax 60 103 90 103 Cmax 92.55MPa 5 IZ 5.832 10
My IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲; 2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。I z 7.64 106 m4 求最大拉应力、最大压应力。 9KN A 1m C 1m B 1m
4KN
52
88
zc
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置；
（1）轮轴为塑性材料
截面关于中性轴对称
max
M
max
Wz
弯矩 M 最大的截面
（2）危险截面：
抗弯截面系数 Wz 最小的截面；
（3）危险点
危险截面的最上、下边缘处。
（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）危险截面 B截面，C截面
M
Fb
Fb Fa
(D d )
4
D4 (1 4 )
Wz
32
D3 (1 4 )
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲 F
Fs
M FL 横截面上内力
F x x
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
横截面
不再保持为平面
且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
120
180
K
30 z
y
M C yK 60 103 60 103 K 61.7 MPa 5 IZ 5.832 10
（压应力） 4 C 截面上最大正应力
M C ymax 60 103 90 103 Cmax 92.55MPa 5 IZ 5.832 10
My IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲; 2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。I z 7.64 106 m4 求最大拉应力、最大压应力。 9KN A 1m C 1m B 1m
4KN
52
88
zc
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置；
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第五章 弯曲应力
⑶ 工字形截面。
选用50C号工字钢,其截面面积为13900mm2。
WZ 208010 mm
3
3
max
M max 14.4MPa Wz
结论如下：
在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的 最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最 大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，工字 形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。
⑴ 线弹性。
(2)符号：① 由M与y的符号确定σ的符号（内力）；
② 由弯曲变形确定（变形）。 (3) max
WZ
M y max M I W z z
=
Iz ymax
抗弯截面系数
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第五章 弯曲应力
① z轴为对称时：
② z轴为非对称时:
M c t max max Wz
22.5
My σ Iz
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第五章 弯曲应力
作业 5-5 5-6(b) 5-7 5-8
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第五章 弯曲应力
谢
谢！
12.1
3 22 . 5 10 0.1
21.7
材料力学电子教案
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q＝20kN/m
第五章 弯曲应力
40 1.5m
A
D 4m
B
2m
C
M
22.5
220 60
c
z
∴σt max = 21.7 MPa，
发生在D截面的下边缘各点处。 σc max = 38.6 Mpa， 发生在B截面的下边缘各点处。
P＝20kN A C 3ｍ 3ｍ B
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第五章 弯曲应力
解：该梁C截面的弯矩最大.
P＝20kN B C 3ｍ 3ｍ
Mmax=10×3=30kNm
⑴ 矩形截面:
A
bh3 Wz 1 32.67 104 mm3 2h
1 12
h b
max
M max 91.8 MPa Wz
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第五章 弯曲应力
微段
1
2
横截面
o1 a
1
o2 b
2
(中性轴）
y
z
y（对称轴）
dθ 2 ρ
ρ——变形后中性层的曲率半径 y——任一纤维到中性层的距离。
中性层 o1
a
o2
b
dθ——m-m和n-n截面的相对转角。
1
2
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3 40 10 0.1
Iz
21.4 MPa Iz 38.6 MPa
y
21.4
3 40 10 0.18
38.6
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第五章 弯曲应力
t B max
21.4 MPa
c B max
38.6 MPa
M
1.5m
40
60 220 250 60 220 110 yc 180mm 60 220 22 60
60
220
c
yc=180
60
z
280
(3) 计算横截面的惯性矩Iz .
Iz
1 12 1 12
60 220 60 220 70
3 2
220 603 60 220 702
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第五章 弯曲应力
第五章
平面弯曲杆件的应力
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第五章 弯曲应力
本章主要内容
？ • 横截面上有什么样的应力
• 横截面上的应力分布规律
• 各点的应力如何计算 • 梁的变形如何计算 强度和刚度条件?
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第五章 弯曲应力
§5 -1 梁横截面上的正应力
a P C P D a
A
B
如何研究？ 纯弯曲：如图CD段。
剪切弯曲：如图AC段 和BD段。
FS
M
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一、几何方面
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第五章 弯曲应力
z y
M
M
（1）纵线：弯 成弧线，上部缩短， 下部伸长,中间有一 层纵线既不伸长，也 不缩短——中性层。 中性层与横截面的交 线——中性轴；
（2）横线：变形后仍为直线，但转过一角度， 并与纵线仍正交。
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第五章 弯曲应力
• 基本假设
z y
M
1
M
2
1
2
1.平面假设：横截面变形后仍为平面，与弯曲 后的纵线正交； 2.单向受力假设：各纵向纤维之间无挤压， 处于单向受力状态（轴向）。
? 由上两个假设可得到什么应变和应力结果（规律） 无切应变，只有线应变，且轴向线应变只于y坐标 （位置）有关ε=ε(y)；横截面上只有正应力。
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第五章 弯曲应力
例2：一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。试 求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截 面上的正应力分布图。
220
q＝20kN/m
60
c
z
A
280
D
B 4m
2m
C
60
y
单位mm
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q＝20kN/m
q＝20kN/m A C 3ｍ 3ｍ
M( x )y Iz
B
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第五章 弯曲应力
例1 ：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采 用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截 面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高 为140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。
z
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件。 E E 2 M Z yσdA y dA Iz M A A ρ ρ
1 M ρ EI z
y（对称轴）
z
EIZ
抗弯刚度
My σ Iz
y
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第五章 弯曲应力
弯曲正应力：
My σ Iz
第五章 弯曲应力
任一条纤维的线应变为：
' ' a 'b ' o1 o2 ' ' o1 o2
dθ 2
ρ
( y )d d d
中性层 o1 1
a’
o2
b’
y
2
ρ中性层曲率半径
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第五章 弯曲应力
y
中性层 o1
280
yc=18 0 60
y
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第五章 弯曲应力
计算梁横截面上正应力的步骤： 1. 计算梁的弯矩，画弯矩图，并确定最大正负弯矩.
2. 计算横截面的中性轴位置，计算Iz或Wz。 3. 计算最大拉应力和压应力。
40
q＝20kN/m A
D 4m
B 2m
C
M
1.5m
第五章 弯曲应力
220 60
A
D 4m
B 2m
C c
yc=180
z
280
解: ⑴ 画弯矩图.
1.5m
40 60
y
M max 22 .5kNm M max 40 kNm
M
22.5
(2) 确定横截面形心的位置.
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第五章 弯曲应力
(2) 确定横截面形心的位置.
q＝20kN/m A
220
D 4m
B
2m
C
22.5
60
cyc=180 60z280•D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处产生最 大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力：
y
t D max c D max
3 22 . 5 10 0.18
Iz Iz
21.7 MPa 12.1MPa
y
I Z 186.6 104 mm4
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q＝20kN/m
第五章 弯曲应力
40
1.5m
A
D 4m
B
2m
C
M
220
22.5
60
•B截面：上边缘各点处产生最大拉应力， 下边缘各点处产生最大 压应力。
c
yc=180 60
z
280
t B max c B max
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第五章 弯曲应力
(2) 圆截面:
A d bh d 133 .5mm
1 4 2
d
Wz
1 64
d
1 2
4
d
23.3610 mm
3
3
max
M max 128.4 MPa Wz