2021年新高考数学一轮专题复习第16讲-导数与函数的零点(解析版)

【答案】 4－2ln 2
【解析】 由题意得，|AB|＝|et＋1－(2t－1)|
＝|et－2t＋2|，令 h(t)＝et－2t＋2，
则 h′(t)＝et－2，所以 h(t)在(－∞，ln 2)上单调递减，
在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以 h(t)min＝h(ln 2)＝4－2ln 2>0，
即|AB|的最小值是 4－2ln 2.
＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到 b，使 f′(b)<0.
2．由(1)知，函数 f′(x)存在唯一零点 x0，则 f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明 f(x0)≥2a ＋aln 2.
a [方法技巧]
1．解决函数 y＝f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象 与 x 轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等． 2．通过等价变形，可将“函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程 f(x)＝g(x)的解”问题相互转化． 3．函数 y＝f(x)在某一区间(a，b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证.
解之得 a>－e2，因此－e2<a<0.
9.已知函数
f(x)＝ax3－ax2－ax－2 的图象过点
A
4，10 3
.
64
Байду номын сангаас
(1)求函数 f(x)的单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－2m＋3 有 3 个零点，求 m 的取值范围.
【解析】
(1)因为函数
f(x)＝ax3－ax2－ax－2
的图象过点 A
(1)构建函数 g(x)(要求 g′(x)易求，g′(x)＝0 可解)，转化确定 g(x)的零点个数问题求解，利用导数 研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出 g(x)的图象草 图，数形结合求解函数零点的个数． (2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单 调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 考点二 已知函数零点个数求参数的取值范围 【例 2】 函数 f(x)＝ax＋xln x 在 x＝1 处取得极值． (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 y＝f(x)－m－1 在定义域内有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围． 解 (1)函数 f(x)＝ax＋xln x 的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为 f′(1)＝a＋1＝0，解得 a＝－1， 当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋xln x， 即 f′(x)＝ln x，令 f′(x)>0，解得 x>1； 令 f′(x)<0，解得 0<x<1. 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． (2)y＝f(x)－m－1 在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为 y＝f(x)与 y＝m＋1 图象有两个不同 的交点．
1
1 e2
0，
f
1
1 e
0
，可知
x1
1 e
,1
.
4．（2020·黑山县黑山中学高二月考）函数 f x x2 6x 2ex 的极值点所在的区间为（ ）
A． 0,1
B． 1,0
C． 1, 2
D． 2, 1
【答案】A
【解析】∵ f x x2 6x 2ex ，
∴ f x 2x 6 2ex ，且函数 f x 单调递增．
结合图象可得，当 x≥0 时，由 f（x）＜0，即 xf（x）＜0，可得 0≤x＜2； 当 x＜0 时，由 f（x）＜0，即 xf（x）＞0，可得﹣2＜x＜0．
综上 x 的取值范围是（﹣2，2）．
3．（2020·安徽省高三二模（理））函数 f x ln x ax 恰有两个零点 x1 ， x2 ，且 x1 x2 ，则 x1 所在区间为
所以 m 的取值范围是(－2，－1)．
规律方法 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并
结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范
围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
考点三 函数零点的综合问题
【例 3】 设函数 f(x)＝e2x－aln x.
x
x
∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋x32－4x＝(x－1x)(2x－3)，令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3.
当 x 变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：
X
(0，1)
1
(1，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大值
极小值
当 0<x≤3 时，g(x)≤g(1)＝－4<0， 当 x>3 时，g(e5)＝e5－e35－20－2>25－1－22＝9>0. 又因为 g(x)在(3，＋∞)上单调递增， 因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1 个零点， 故 g(x)仅有 1 个零点． 规律方法 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
由于 f(0)＝f(3)＝2，1<a<2，所以 y＝f(x)－a 的零点个数为 4.
2．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（文））设函数 f x 是偶函数 f x 的导函数， f x 在区间 0, +
上的唯一零点为 2，并且当 x 1,1 时，xf x f x 0 ，则使得 f x 0 成立的 x 的取值范围是（ ）
当 x 1, 时， f x ln x ax ，
f
x
1 ax x
，则
f
x
在
0,
1 a
上单调递增，在
1 a
,
上单调递减，
所以
f
xmax
f
1 a
ln
1 a
1，
则只需 ln 1 1 0 ，故 a 1 ，
a
e
当 x 0,1 时， f x ln x 1 x ，
e
易知
f
1 e
2021 年新高考数学一轮专题复习 第 16 讲-导数与函数的零点
一、 经典例题
考点一 判断零点的个数
【例 1】已知二次函数 f(x)的最小值为－4，且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3， x∈R}． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)＝f(x)－4ln x 的零点个数．
A． 2, 2
B． , 2 2,
C． 1,1 D． 2,0 0, 2
【答案】A
【解析】令 g（x）=xf（x） , x 1,1 ，则 g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵当 x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0， ∴函数 g（x）在（﹣1，1）上单调递减．
∵g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x）， ∴g（x）在 R 是奇函数． ∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为 2， 即 g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为 2， ∴g（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 且 g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0， 画出函数 g（x）的图象，如下图所示，
4，10 3
，
64
所以32a－4a－4a－2＝10，解得 a＝2，
3
3
即 f(x)＝1x3－1x2－2x－2， 32
所以 f′(x)＝x2－x－2.
由 f′(x)>0，得 x<－1 或 x>2.
所以函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞).
A．
,
2 e
B．
0,
2 e
C． 1, e
D．
1 e
,
2 e
【答案】B
【解析】取
f
(x)
xe ax
1 x
0 xeax
1 eax x
1 x2
a
2 ln x
x
(x
0)
设
g(x)
2 ln x
x
，
g
'( x)
2
1
ln x2
x
，
g(x)
在
(0, e)
上单调递增，
(e, )
上单调递减
g (x)max
（）
A．
0,
1 e3
B．
1 e3
,
1 e2
C．
1 e2
,
1 e
D．
1 e
,1
【答案】D 【解析】当 a 0 时不符合题意；
当 a 0 时，考查函数 g x ln x 与 h x ax 图象
易知， g x 与 h x 图象在区间 0,1 上必有一个交点
则在区间 1, 上有且仅有一个公共点，
8.若函数 f(x)＝ax－a＋1(a<0)没有零点，则实数 a 的取值范围为________. ex
【答案】 (－e2，0)
【解析】 f′(x)＝aex－（ax－a）ex＝－a（x－2）(a<0).
e2x
ex
当 x<2 时，f′(x)<0；当 x>2 时，f′(x)>0，
∴当 x＝2 时，f(x)有极小值 f(2)＝ea2＋1. 若使函数 f(x)没有零点，当且仅当 f(2)＝ea2＋1>0，
(1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数；
(2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln 2. a
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－a(x>0)． x