数学高考导数难题导数零点问题导数整理2017

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 1）因式分解求零点（1123)?Rx?1(?(a?)x)f(x?a?2ax 例1 讨论函数的单调区间232)?2?1)(x?1)x?2?(axf'(x)?ax?(2a)(xf'可以因式分的符号问

题。由解析：即求

方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。

112x3ax1)x??x(a?f(x)?(x?a?1)e?R?a，讨论函数，的极值情况例4

23x2x)1e?x?a?(x?a)(?(x?a)ex?(a?1)x?f'(x)?a)f'(x其它的零点就的一个零点为,解析：，只能解

出x0?1?e?x的根，不能解。是

2Ra?x?a)ln x,f(x)?(例5（2011高考浙江理科）设函数a?ex)xy?f(的极值点，求实数（Ⅰ）若为2exf()?4ea],3e(0,x?为自然对数），（Ⅱ）求实数恒有的取值范围，使得对任意的成立（注：方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求，2e)?0?4f(xa e1?1?x?30?x

有实时，对于任意的数题,恒有意，首②当先①当，由立成a e22e22,?e?a）

4e ln(3e)f(3e)?(3)1???a)(2ln xf'(x)?(x?e?e?3?a3，但这时解得由

x)e3ln(ln(3e)a??12ln x ax?0?'(x)f=0外还有会发现的解除了的解，显然无法用特殊值猜出。

xa??(x)2ln x?1h h(1)?1?a?0h(a)?2ln a?0，，令，注意到x2e?3e

ln(3e)1a)f02(ln3e?h(3e)?2ln(3e?2ln(3e)?1?)?1?且。=

e33e)e3ln(3f'(x)?0(1,a)h(x)h(x)(1,3e]内，及（13e在）至少还有一个零点，又在故+∞）内

单调递增，所以函数0在（，x1?x?a。，则有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们

可以采取设而不求的方法，记此零点为从

00x?(x,a)(0,x))x?x(0,)x f x)0f()x f0f,x)f'(x f a?(a??)'('(f在时，；当而，当时，，即；当时，000?2e?x(1,3)xa(ef?)(x4)a(??,恒成立，只要内单调递增，在对内单调递增。所以要使内单调递减，在0,．

22?f(x)?(x?a)ln x?4e,(1)?000成

立。?22f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)??a2320??2ln x?1?)h(xx f1a?2ln x?xe ln4xx?4，注意到函1）得，

又（，知3）将（3）代入（0000000x0231p x?exx ln2x ln x?x在（1.+ +∞)。再由（)内单调递增，故数3）以及函数内单调递增，可得在[1,+∞02e2e2e?a?3e??a?3e3e3e??e13p a?。所以的取值范围为）解得，综上，a。由（2ln(3e)ln(3e)ln(3e23ea??3?。

)e ln(3f(x)?ax?x ln|x?b|(e,f(e))（6 例已知函数e为自然对数的底数）处的切线斜率为是奇函数，且图像在3

a,b的值求（1）f(x)?kxk?Z?1k的最大值。对任意若，且恒成立，求（2）

x?1????2xaIn?x1?xf?x、x，有两个极值点（2009高考全国Ⅱ理科）设函数例7 ????xf xx??xf a且）证明：（I）求的单调性；的取值范围，并讨论211?2In2

（II，2124

方法四：避开求值，等价替换。

对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。避开方法：放缩不等式

x2ax?x?1(x)?e?f8 设函数例)f(x0?a的单调区间，求（Ⅰ）若,?0,f(x)x?0时a的取值范围。（Ⅱ）若当求

高考全国Ⅱ理科的最后一题，也是这样的处理方法。与例8类似，下面的2010??x?ef?x1?．设函数x???xf-1x＞；（Ⅰ）证明：当时，x?1x???fx0?x a的取值范围．（Ⅱ）设当时，，求1?ax