广州中考数学压轴题汇总
2024年广东省广州市中考数学考前押题密卷专用01
2024年广东省广州市中考数学考前押题密卷专用01一、单选题1．2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展的主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右；城镇新增就业1200万人以上．将数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A ．31210⨯ B ．71.210⨯ C ．61210⨯ D ．81.210⨯2．如图，不等式组1010x x +⎧⎨-≤⎩f 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．()523m m -=-B ．33mn m n -=C ．()2211m m -=- D ．23m n m m n ⋅= 5．开学前，根据学校要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如下表：这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（ ）A ．36.5C ︒，36.4C ︒B ．36.5C ︒，36.5C ︒ C ．36.8C ︒，36.4C︒ D ．36.8C ︒，36.5C ︒ 6．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x 里，则可列方程为（ ）A ．303011.5x x =+B ．30301.51x x =+C ．303011.5x x =-D ．30301.51x x =- 7．直线1l ：y kx b =-和直线2l ：2b y x b k=+在同一坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．如图，滑雪场有一坡角为18︒的滑雪道，滑雪道AC 长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB 的长为（ ）A ．150tan18︒米B ．150sin18︒米C ．150cos18︒米D ．150tan18︒米 9．如图，ABC V 内接于O e ，连接AO 并延长交BC 于点D ，交O e 于点E ，若1530DE AD ADC ==∠=︒，，，则BC 的长为（ ）A．4 B ．C ．D ．510．已知二次函数22(2)2y x m x m =+--+的图象与x 轴最多有一个公共点，若223y m tm =--的最小值为3，则t 的值为（ ）A ．12-B ．32或32-C ．52-或32-D ．52-二、填空题112=．12．如图，正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点F 在边CD 上（点F 不与点C 重合），且45EAF ∠=︒，那么CF BE的值为．13．如图，扇形AOB 中，140AOB ∠=︒，点C 为OA 的中点，4OA =，CD AO ⊥交»AB 于点D ，以OC 为半径画»CE交OB 于点E ，则图中阴影部分面积为．14．某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从600名学生家长中随机抽取150名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为x ），数据整理如下：根据以上数据，估计这600名学生家长评分不低于80分的有名．15．已知某二次函数的图象开口向上，与x 轴的交点坐标为()2,0-和()6,0，点()14,P m n +和点()232,Q m n -都在函数图象上，若12n n <，则m 的取值范围为.16．如图，在ABC V 中，904A AB AC D ∠=︒==，，为AB 上一点，E 为BC 上一点，若90CDE ∠=︒，则CE 的最小值为．三、解答题17．解不等式组215143x x x +<⎧⎪-⎨≤⎪⎩，并写出它的整数解． 18．如图，点E ，F 在线段BC 上（点E 在点F 左侧），BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，求证：A D ∠=∠．19．从2024年1月1日起，国务院、中央军事委员会颁布的《无人驾驶航空器飞行管理暂行条例》正式实施，非经营性活动的微型无人机适飞空域高度不超过50米．如图，在水平地面上选择观测点A 和B ，无人机悬停在C 处，此时在A 处测得C 的仰角为37°；无人机垂直上升10m 悬停在D 处，此时在B 处测得D 的仰角为63︒．20m AB =，点A ，B，C ，D 在同一平面内，A ，B 两点在CD 的同侧．请你判断此次无人机起飞是否在允许的范围内．（参考数据：tan370.75︒≈，sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan63 2.0︒≈，sin630.9︒≈，cos630.45︒≈．）20．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．(1)求整式M 、P ；(2)将整式P 因式分解；(3)P 的最小值为______．21．如图，直线y kx b =+与双曲线(0)m y x x=>相交于点()()2,6,1A n B ．(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；(2)直接写出关于x 的不等式(0)m kx b x x+>>的解集； (3)求ABO V 的面积．22．（1）若关于,a b 的多项式()()22223222a ab b a mab b -+--+中不含有ab 项，则m 的值为______．（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若3,1a b ab +==，求22a b +的值．解：∵3,1a b ab +==，2()9,22a b ab ∴+==2229.a b ab ∴++=227.a b ∴+=根据上面的解题思路与方法解决下列问题：i ）如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以,AC BC 为边向直线AB 两侧作正方形BCFG ，正方形AEDC ．设8AB =，两正方形的面积和为40，则AFC V 的面积为______； ii ）若(9)(6)2x x --=，求22(9)(6)x x -+-的值．23．如图，AB 是O e 的直径，C 为圆上一点，D 是劣弧BC 的中点，DE AB ⊥于E ，过点D 作BC 的平行线DM ，连接AC 并延长与DM 相交于点G ，连接AD 与BC 交于点H ．(1)求证：GD 是O e 的切线；(2)若6,8CD AD ==，求AH 的值．24．某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表(1)频数分布表中n=_______，并补全条形统计图；(2)若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？(3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．25．繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x 之间的函数关系如图所示：(1)求出当060x≤≤和60x>时，y与x的函数关系；(2)若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的53，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？。
广州各区数学中考一模压轴题汇总
一、选择填空2、如图6，已知在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S正方形ABCD=4+6．其中正确结论的序号是* ．（二）黄浦区图6（三）铁一中学1、定义[]c b a ，，为函数c bx ax y ++=2的特征函数，下面给出特征数为[]m m m 2-11，，+-的函数的一些结论：①当3=m 时，函数图像的顶点坐标是()8-1-，；②当1＞m 时，函数图像截x 轴所得的线段长度定点。
其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ． 4个2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点CA、分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B（四）白云区第16题图（六） 番禺区1、抛物线92-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在函数xy 3=的图像上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ）【A 】2个； 【B 】3个； 【C 】4个； 【D 】6个．2、直线y=x-2与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，与反比例函数xk y =（k>0）的图象在第一象限交于点A ，连接OA ，若S △AOB ：S △BOC=1：2，则k 的值为（ ）（七）海珠区10、正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE 平分∠ADO 交AC 于点E ，把△ADE 沿AD 翻折，得到△ADE ’。
点F 是DE 的中点，连接AF 、BF 、E ’F ’。
若AE=2.下列结论：①AD垂直平分EE ’；②tan ∠ADE=12-；③122-=-∆∆ODE ADE C C ；④223'+=AEFE S 四边形。
其中结论正确的是（ ）第16题图16、设关于x 的方程04)4(2=--+k x k x 有两个不相等的实数根21,x x ，且2120x x <<<，那么k 的取值范围是（八）花都区10. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为60AFG ∠=︒，2GE BG =，则折痕EF 的长为（ D ） A ．4 B． C ．2 D．16.如图，30MON ∠=︒，点1B 在边OM上，1OB =过点1B 作11A B OM ⊥交ON 于点1A ,以11A B 为边在11B OA ∆外侧作等边三角形111C B A ∆，再过点1C 作22A B OM ⊥，分别交OM ，ON 于点2B 、2A ，再以22A B 为边在22B OA ∆的外侧作等边三角形222C B A ∆……按此规律进行下去，则第3个等边三角形333C B A ∆的周长为 ，第n 个等边三角形n n n C B A ∆的周长为 .（用含n 的代数式表示）272 136()2n -（九）华工附中10．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程20ax bx c m ++-=有两个不相等的实数根，下列结论：①240b ac -<；②0abc >；③0a b c -+<；④2m >-．其中，正确的个数有（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．416．已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是__________．（十）广雅10.如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为(2,0)，点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至'''B A O △的位置，此时点'A 的横坐标为3，则点'B 的坐标为（ ）A.(4,32)B.(3,33)C.(4,33)D.(3,32)16.如图,在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点,BE ⊥AC,垂足为点F ，连接DF.分析下列四个结 论：①△AEP ∽△CAB ；②CF=2AF ；③DF=DC ；④43tan =∠CAD .其中正确的结论是_____.（十一）四中10.如图，PA 、PB 切○O 于A 、B 两点，CD 切○O 于点E 交PA ，PB 于C ，D. 若○O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ） A. B.C.D.16.如图，已知：点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限，随着点A的运动，点C得位置也不断变化，但点C始终在双曲线＞上运动，则k的值是。
广州中考数学压轴题(学生版)
1．如图，以O 为原点的直角坐标系中，A 点的坐标为（0，1），直线1交x 轴于点B 。
P 为线段上一动点，作直线⊥，交直线1于点C 。
过P 点作直线平行于x 轴，交y 轴于点M ，交直线1于点N 。
（1）当点C 在第一象限时，求证：△≌△；（2）当点C 在第一象限时，设长为m ，四边形的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段上移动时，点C 也随之在直线1上移动，△是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由。
说明：●考查字母运算能力 ● 分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ●2.关于x 的二次函数y ＝2＋(k 2-4)x ＋22以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．(1)求此抛物线的解析式(2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作垂直x 轴于点B，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作垂直x 轴于点C, 得到矩形．设矩形的周长为C ，点A 的横坐标为x ，试求C 关于x 的函数关系式；(3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．x 第1题图 第2题图说明：●考查字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性3.如图所示, 在平面直角坐标系中, 矩形的边长、分别为12、6, 点A、C 分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线2经过点A、B, 且18a + c = 0.(1)求抛物线的解析式.(2)如果点P由点A开始沿边以1的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿边以2的速度向终点C移动.①移动开始后第t秒时, 设△的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形如第3题图果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.说明：●图形必须准确，存在性问题如果不会做，可通过画图判断（答存在得分的机会大得多）4．已知二次函数2＋＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.（1）求这个二次函数的关系式；（2）若有一半径为r 的⊙P ，且圆心P 在抛物线上运动，当⊙P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.（3）半径为1的⊙P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P 与y 轴相离、相交？说明：●考查画图能力和字母运算能力 ●分类讨论思想，取值范围内解的有效性 ● 方法多样化，易错点为用字母表示边长时，注意边长的非负性5．如图示已知点M 的坐标为（4，0），以M 为圆心，以2为半径的圆交x 轴于A 、B ，抛物线c bx x y ++=261过A 、B 两点且与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标并画出抛物线的大致图象（2）过C 点作⊙M 的切线，求直线的解析式．说明：●图形必须准确，画切线后巧妙解法是利用两直线平行，K 相等 ●易错点为漏解（过圆外一点作圆的切线有两条） ● 两直线垂直，K 互为负倒数可以使用6.如图，在ABC ∆中，∠A 90=°，10=BC , ABC ∆的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合)，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．设x DE =以DE 为折线将△ADE 翻折，所得的DE A '∆与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y.（1）．用x 表示∆的面积;第5题图（2）．求出0﹤x≤5时y与x的函数关系式；（3）．求出5﹤x﹤10时y与x的函数关系式；（4）．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？说明：●考查画图能力和字母运算能力●分类讨论思想，取值范围内解的有效性●方法多样化，在设未知数或用字母表示未知量时，要充分发挥“勾股、相似、锐角三角函数”的作用，挖掘题目中的特殊角（特殊比值）来巧妙运算7.在△中，∠Ａ＝90°，＝４，3，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作∥交于点N. 以为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形，令. 当x为何值时，⊙O与直线相切？8.如图，直线334y x=+和x轴y轴分别交与点B、A，点C是的中点，过点C向左方作射线⊥y轴，点D是线段上一动点，不和B重合，⊥于点P，⊥于点E，连接。
广州中考数学压轴题汇总
广州中考压轴题汇总选择题（2014·广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2?S△EFO=b2?S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个（2015·广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10（2016·广州）定义运算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b?b﹣a?a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关（2017·广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．（2017·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到A n．则△OA2A2018的面积是（）A．504m2B．m2 C．m2 D．1009m2填空题（2014·广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．（2015·广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．（2016·广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB 绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是．（2017·广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，?OABC的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．（2018·广州）如图，CE是?ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE；③AF：BE=2：3；④S四边形AFOE ：S△COD=2：3．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）解答题（2014·广州24）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．（2014·广州25）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S1，△CEF的面积为S2．（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值．（2015·广州24）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8，①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．（2015·广州25）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．（2016·广州24）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．（2016·广州25）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．（2017·广州24）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．（2017·广州）如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．（1）求证：∠CAB=45°；（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（2018·广州24）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．（2018·广州25）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．。
广州市中考数学压轴题练习及答案
广州市中考数学压轴题练习23.（本小题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC交于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F，BD=BF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BC=12,AD=8，求»DE的长.24．（本小题满分14分）第23题F已知四边形OABC 的一边OA 在x 轴上，O 为原点，B 点坐标为（4,2）.（1）如图①，若四边形OABC 的顶点C （1，4），A （5，0），直线CD 平分该四边形的面积且交x 轴于点D ，试求出△OAC 的面积和D 点坐标；（2）如图②，四边形OABC 是平行四边形，顶点C 在第一象限，直线平分该四边形的面积，若关于x 的函数25．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，A 点坐标为（0，4），C 点坐标为（10，0）.1-=kx y k m x k m mx y +++-=2)3(2第24题图①（1）如图25-①，若直线AB ∥OC ，AB 上有一动点P ，当PO =PC 时，请直接写出P 点坐标; （2）如图25-②,若直线AB 与OC 不平行，在过点A 的直线4y x =-+上是否存在点P ，使 ∠OPC =90°，若有这样的点P ，求出它的坐标，若没有，请简要说明理由；（3）若点P 在直线4y kx =+上移动时，只存在一个点P 使∠OPC =90°，试求出此时4y kx =+中的k 值.23. (本小题满分12分)如图所示，直线与反比例函数交于点A 、B ，与轴交于点C 。
b x y +-=2xky =x（1）若A （－3，）、B （1，）。
直接写出不等式的解。
（2）求sin ∠OCB 的值。
（3）若CB — CA =5，求直线AB 的解析式。
m n xkb x >+-224．（本小题满分14分）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C 关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF—tan∠ECP=．22．如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．23．如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．23.（本题满分12分）（1）证法1：连接OE - ---------1分 证法2：连接OE ----------1分 ∵BD =BF ∵BD =BF∴∠BDF =∠F ∴∠BDF =∠F ∵OD =OE ∵OD =OE∴∠ODE =∠0ED ∴∠ODE =∠0ED∴∠OED =∠F ----------3分 ∴∠OED =∠F ----------3分 ∴OE ∥BF ∵∠BCA =90° ∴∠OEA =∠BCA =90° ∴∠F +∠FEC =90°∴AC 是⊙O 的切线 ----------5分 ∵∠FEC =∠AED , ∠OED =∠F ∴∠OED +∠AED =90°∴AC 是⊙O 的切线 --------5分此题证明思路很多，学生可能会绕弯，按照踩分点相应给分。
挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)
03挑战压轴题（解答题一）(1)尺规作图：将法）；(2)在（1）所作的图中，连接V①求证：ABD②若tan BAC∠2．（2022·广东广州·统考中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD = 1.6m，BC =5CD．(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE = 1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设PAO V 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围；（3）作PAO V 的外接圆C e ，延长PC 交C e 于点Q ，当POQ △的面积最小时，求C e 的半径．(1)沿AC BC 、剪下ABC V ，则ABC V 是_______三角形（填“锐角______．(2)分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；2．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A ，B 重合），以CD 为边作等边EDC △，AC 与DE 交于点F ，连接AE ．(1)求证：ADF BCD △∽△；(2)若:5:2AB BD =，且20AB =，求ADF △的面积．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，9AB =，E 为AC 上一点，以AE 为直角边构造等腰直角AEF △（点F 在AB 左侧），分别延长FB ，DE 交于点H ，DH 交线段BC 于点M ，AB 与EF 交于点G ，连结BE ．(1)求证：AFB AED≅V V (2)当62AE =时，求sin MBH ∠的值．(3)若BEH △与DEC V 的面积相等，记△(1)当点D 与圆心O 重合时，如图2所示，求DE 的长．(2)当CEF △与ABC V 相似时，求cos BDE ∠的值．6．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）如图，矩形ABCD 中，8AB =厘米，12BC =厘米，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点，若点P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度沿AB 方向运动，同时，点Q 从点B 出发以2厘米/秒的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．(1)设PBQ V 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与BDC V 相似？7．（2021下·湖北随州·七年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程0x y -=的一个解11x y =⎧⎨=⎩可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程0x y -=的解为坐标的点的全体叫作方程0x y -=的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程0x y -=的图象称为直线0x y -=．直线x －y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x －y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x －y ＝0的上方区域内。
广东中考数学压轴题
广东09压轴题127．（广东省）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM ＝x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN ，并求此时x 的值．128．（广东省广州市）如图，二次函数y ＝x2＋px ＋q （p ＜0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．M B CND A129．（广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由．130．（广东省深圳市）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．（1）连结P A，若P A＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？备用图131．（广东省深圳市）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．132．（广东省珠海市）已知抛物线y ＝x2－32mx 与x 轴相交于点A 、B ，抛物线的顶点为C ．（1）试用含m 的代数式表示AB 的长度； （2）当△ABC 为等边三角形时，求点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，如何平移抛物线，使AC ＝213AB ？133．（广东省佛山市）如图1，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处． （1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB ＝4，BC ＝4，CC 1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）求点B 1到最短路径的距离． A Bxy O 图1C A B x y O PD E图2 C A BPxy O D E 图3 C 备用图 图1134．（广东省茂名市）已知：如图，直线l ：y ＝31x ＋b ，经过点M (0，41)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…，B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)，…，A n +1(x n +1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）． （1）求b 的值；（2）求经过点A 1、B 1、A 2的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当d （0＜d ＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．135．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点OA 不重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC ，再在AB 边上选取适当的点D ，将△P AD 沿PD 翻折，得到△PFD ，使得直线PE 、PF 重合．（1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P 、C 、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP ＝x ，AD ＝y ，当x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点P 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△PDQ 是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．136．（广东省肇庆市）如图，⊙O 的直径AB ＝2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD ＝x ，BC ＝y ． （1）求证：AM ∥BN ；（2）求y 关于x 的关系式；（3）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S≥2．137．（广东省清远市）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，∠B 和∠C 都为锐角，M 为AB 上一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作MN ∥BC ，交AC 于点N ，在△AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A 1，△A 1MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？138．（广东省梅州市）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3．点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ． （1）当E 是CD 的中点时：①tan ∠EAB 的值为______________； ②证明：FG 是⊙O 的切线；（2）试探究：BE 能否与⊙O 相切？若能，求出此时DE 的长； 若不能，请说明理由．NB C N M A139．（广东省梅州市）如图，已知直线L过点A(0，1)和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．1。
2024年中考数学压轴题型(广东专用)专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题(学生版)
专题04特殊平行四边形中全等相似与最值问题通用的解题思路:一、四边形与全等相似1.三角形与全等之六大全等模型:(1)一线三等角模型锐角一线三等角(2)手拉手模型(3)半角模型(4)倍长中线模型模型(6)雨伞等模型(5)平行线中等模型2.三角形与相似之四大相似模型:(1)A字模型(3)手拉手模型(2)8字模型(4)一线三等角模型B 二、四边形线段最值问题囹 1 C B D 02B （1）将军饮马模型两定一动模型一定两动模型两线段相减的最大值模型（三点共线）• B（2）费马点模型：将边以A 为顶点逆时针旋转60。
，得到AQE,连接P0则^APQ 为等边三角形,PA=PQ O1. （2023-r 东深圳•中考真题）（1）如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，连接BE,①若= 过C 作CFLBE 交BE 于点、F ,求证：AABE^AFCB ；②若S 矩形倔8 = 2。
时，则BECF=(2)如图，在菱形ABCD 中，cosA = |,过。
作CE1AB 交A8的延长线于点E,过E 作EF _LAD 交AD 于点、F ,若S 菱形*d =24时，求EF BC 的值.(3)如图，在平行四边形ABCD 中，匕4 = 60。
，AB = 6, AD=5,点E 在CD 上，且CE = 2,点F 为BC 上一点，连接时，过E 作EGLEF 交平行四边形ABCD 的边于点G,若EF ・EG = 70时，请直接写出AG 的长.D,E E a C C A B AB备用图2.（2022广东广州•中考真题）如图，在菱形ABCQ中，0BAD=120°,AB=6,连接8Q.⑴求BQ的长；⑵点E为线段BQ上一动点（不与点B,。
重合），点E在边AQ上，且BE二也DF,①当CE±AB时，求四边形的面积；②当四边形的面积取得最小值时，CE+右CT的值是否也最小？如果是，求CE+也CF的最小值；如果不是，请说明理由.题型一特殊平行四边形中全等相似计算1.（2024-P东汕头•一模）（1）如图1,在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接8E,①若BE=BC,过。
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广州中考压轴题汇总
选择题
（2014·广州）如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG ≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
（2015·广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
（2016·广州）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
（2017·广州）a≠0，函数y=与y=﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可
能是（）
A．B．C．D．
（2017·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走
路线如图所示，第1次移动到A
1，第2次移动到A
2
，…，第n次移动到A
n
．则△
OA
2A
2018
的面积是（）
A．504m2B．m2C．m2D．1009m2填空题
（2014·广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x
1、x
2
，
则x
1（x
2
+x
1
）+x
2
2的最小值为．
（2015·广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．
（2016·广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：
①四边形AEGF是菱形
②△AED≌△GED
③∠DFG=°
④BC+FG=
其中正确的结论是．
（2017·广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，▱OABC的顶点A，C的坐标分别是（8，0），（3，4），点D，E把线段OB三等分，延长CD、CE分别交OA、AB于点F，G，连接FG．则下列结论：
①F是OA的中点；②△OFD与△BEG相似；③四边形DEGF的面积是；④OD=
其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）．
（2018·广州）如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：
①四边形ACBE是菱形；
②∠ACD=∠BAE；
③AF：BE=2：3；
④S
四边形AFOE ：S
△COD
=2：3．
其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）
解答题
（2014·广州24）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
（2014·广州25）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5．点E为线段CD上一动点（不与点C重合），△BCE关于BE的轴对称图形为△BFE，
连接CF．设CE=x，△BCF的面积为S
1，△CEF的面积为S
2
．
（1）当点F落在梯形ABCD的中位线上时，求x的值；
（2）试用x表示，并写出x的取值范围；（3）当△BFE的外接圆与AD相切时，求的值．
（2015·广州24）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8，①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；
②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．
（2015·广州25）已知O为坐标原点，抛物线y
1
=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交
于点A（x
1，0），B（x
2
，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x
1
•x
2
＜0，|x
1|+|x
2
|=4，点A，C在直线y
2
=﹣3x+t上．
（1）求点C的坐标；
（2）当y
1
随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y
1
向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大
的部分为P，直线y
2
向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．
（2016·广州24）已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B
（1）求m的取值范围；
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有
最值？若有，求出该最值及相对应的m值．
（2016·广州25）如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2017·广州24）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD 的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC=cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．
（2017·广州）如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2018·广州24）已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．
（2018·广州25）如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度数；
（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度．。