数学竞赛辅导资料(七年级上)
七年级数学上培优辅导讲座 第03讲 有理数的加减乘除运算拔尖训练能力提升竞赛辅导试题含答案
第三讲 有理数的加减乘除运算培优训练 1.(2013,南京),计算12-7×(-4)+8÷(-2)的结果是( ). A . -24 B .-20 C .6 D .36 2.(2012,绍兴)在一条笔直的公路边,有一些树和灯,每相邻的两盏灯之间有3棵树,相邻的树与树、树与灯间的距离都是10 m ,如图,第一棵树左边5m 处有一个路牌,则从此路牌起向右510 m ~550 m 之间树与灯的排列顺序是( ).3(2013,杭州)32 ×3.14+3×(-9.42)= . 4.计算:0-(-2)= ;(12-1)×(23-)= ;4-÷ =-2 5如果2(a 1)20b -++=,则220082007(b a)(a b)2(a b)ab -++++= .6.计算:(1)(-16.75)- 435-+( 1164+)+4.4; (2)-32÷3+(1223-)×12-32.7.计算:(1)-16-(-8)+(-11)-2; (2)(-22)+(-2÷12)- 3-×(-1)2011.8.初一某班有60名学生,在周练中分数超过90分的部分用正分表示,不足90分的部分用负分表示,在与90分的差值(单位:分) -26 -18 -8 0 8 15 人数481218108(1)该班的最高分与最低分相差____;(2)该班成绩低于90分的同学占全班同学的百分比是多少? (3)计算出该班这次数学周练的平均成绩.9.(武汉二中)10月,武汉二中广雅中学举行秋季运动会,初一某班选取36名同学参加入场式,若以160cm(1)有一栏记录被墨迹盖住,请求出该身高的同学有几人? (2)这36名同学的平均身高是多少?10.已知a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,12x -=.求(a b)x cdx x++-的值.竞赛训练11.(华师一附中理科招生)若实数x ,y 使得x +y ,x -y ,xy ,xy这四个数中的三个数相等,则y x -的值等于( ).A . 12-B .0C .12D .3212.(2011,“城市杯”竞赛) 1111120023003400460068008+++-=( ) A .16006 B . 17007- C . 98008 D . 19009-13.(2013,武汉市武珞路中学)让我们轻松一下,做一个抽签游戏.有一个盒子里面有三张纸签,每个纸签上分别写有一个数,它们分别是-0.31,-3.69,+122,甲从中抽出一个纸签,看完纸签上的数后放回盒子中,将盒子中的纸签摇匀后,再抽出一个纸签看完纸签上的数后,将两次的数相乘,再放回盒子中,你能算出所有这样的乘积的总和吗? 答案:总和为____(填一填).14. (2013,武汉二中):将1,2,3,…,40,这40个自然数,任意分成20组,每组两个数,现将每组两个数中任一数值记作a ,另一个记作b (a >b )代入式子1(a b)2a b -++中进行计算,求出其结果,代入后可求得20个值,求这20个值的和的最大值____.15.(华师一附中理科招生)整数x 0,x 1,x 2,…,x 2008满足条件:x 0=1,101x x =+,211x x =+,…,200820071x x =+,则0122008...x x x x ++++的最小值为16(2011,长郡中学自主招生)用数字1,2,3,4,5,6,7,8不重复地填写在下面连等式的方框中,使这个连等式成立:1+口+口=9+口+口 =8+口+口 =6+口+口 17.(2011,蚌自主招生)按下列程序进行运算.规定:程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算,若x =5,则运算进行____次才停止;若运算进行了5次才停止,则x 的取值范围是____.18.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数:14,12,1,2,4,8,16, 32, 64填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等.求图中x 的值. 32 x64参考答案: 1.D2. B [提示:因为相邻的树与树,树与灯闻的距离都是10 m ,所以相邻两灯之间是40m .12×40=480,13×40= 520.而第一棵树左边5m 处有一个路牌,所以从此路牌起向右510 m -550m 之间树与灯的排列顺序是B ]3.0. 4. 2;1;-2.5.- 2.[提示;易知a =1,b =-2,则220082007()()2()ba ab ab a b = 220082007(21)(12)21(2)(12)= 9141=-2]6.(1)原式=-16.75-3.8+16.25+4. 4=-0.1.(2)原式=-9÷3+(-16)×12-9=-3-2-9=-14.7.(1)原式=-16+8-11-2=-21.(2)原式=-4+(-4)-3×(-1)=-8+3=-5. 8. (1)41. (2)(4+8+12) ÷60=24÷60=40%. (3)90+(26)4(18)8(8)1281015860= 90+(-2.4)=87.6(分).9.(1)36-5-4- 5-5= 17(人).(2)3554(1)1725(2)536+160=160.5(cm ).10.∵ a .b 互为相反数,c ,d 互为倒数,∴a +b =0,cd =1∵12x -=,∴x =3或-1.当x =3时,(a b)x cd x x++-=13+0- 3=-223;当x =-1时,(a b)x cd x x++-=11+0-1=-211.C [提示:若x +y =x -y ,则y =0,这与x y 有意义矛盾,∴x +y ≠x -y ,则x +y =xy =x y 或x -y =xy =xy.由xy =xy可知xy 2=x , ∴x =0或y =±1.若x =0,则y =0,不合题意;若y =1, 则x +1=x ,不合题意;若y =-1,则x -1=-x ,故x =12,此时y =-1,∴y -x =1-12=12]12.C [提示:原式=11001(12+13+14+16-18)=11001×98=98008] 13.2. 25.[提示:总和为(-0.31-3.69+212)2=(-1.5)2 =2.25.]14. 610.[提示:∵a >b ,∴12(a b +a +b )=12(a -b +a +b )=a ,故分组时,只要这20组中的a 对应的数分别为40,39,38,…,21时,和最大.] 15.8.16. 1+8+6=9+5+1=8+3+4=6+7+2.17.4;2<x ≤4. [提示:(1)x =5,第一次:5×3-2=13, 第二次:13×3-2= 37,第三次:37×3-2=109, 第四次:109×3-2=325>244→停止. (2)第1次,结果是3x -2.第2次,结果是3×(3x -2)-2=9x -8;第3次,结果是3×(9x-8)-2=27x-26;第4次,结果是3×(27x-26) -2=81x-80;第5次,结果是3×(81x-80) -2=243x-242;∴243x-242>244……①,81x-80≤244……②,由①式子得x>2;由②式子得x≤4.∴2<x≤4,即5次停止的x的取值范围是2<x≤4.]18.这9个数的积为14×12×1×2×…×64=643所以每行、每列、每条对角线上三个数字之积为64 得ac=1,ef=1,ax=2.所以a,c,e,f分别为14,4,2,12,故x=8(如图所示)第18题图。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题06 多边形角的计算
专题06 多边形角的计算专题解读】在几何学习中,我们常常要研究一些变化过程中的不变量.比如,随着多边形边数的变化,其内角和在变化,而外角和则始终保持不变.因此,在分析与解决有关多边形的角的计算题时,我们往往以图形的确定性分析为抓手,从基本图形的演变入手,在“变”与“不变”中探索规律.在解决问题的具体过程中,常常化多边形问题为三角形问题.此外,我们还可设立未知数表达相关的量,最终建立方程求解问题.思维索引】例1.如图,从四边形ABCD 的纸片中只剪一刀,剪去一个三角形,剩余的部分是几边形?请画出示意图,并在图形下方写上剩余部分多边形的内角和.DCBA例2.在△ABC 中,∠C =90°,点D ,E 分别是边AC ,BC 上的点,点F 是一动点.设∠FDA =α,∠FEB =β,∠DFE =n .(1)如图1,若点F 在线段AB 上,且n =50°,则α+β=;(2)如图2,若点F 在斜边BA 的延长线上运动(CE >CD ),请直接写出n 、a 、β之间的关系;(3)若点F 运动到△ABC 形外(只需研究图3情形),则n 、a 、β之间有何关系?并说明理由.图1ABCD E图2FEDC BA图3例3.如图:线段AB 、CD 相交于点O ,连接AD 、CB ,我们把这个图形称为“8字型”.根据三角形内角和容易得到:∠A +∠D =∠C +∠B .(1)利用“8字型”:如图(1):∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =; (2)构造“8字型”:如图(2):∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =;(3)发现“8字型”:如图(3):BE 、CD 相交于点A ,CF 为∠BCD 的平分线,EF 为∠BED 的平分线.①图中共有个“8字型”;②若∠B :∠D :∠F =4:6:x ,求x 的值.OABCD图1ABC DEF图2GABC DEF图3GFE D CBA素养提升1.如图是一个长方形和两个等边三角形,若∠3=50°,则∠1+∠2的值是 ( )A .90°B .100°C .130°D .180°第1题图321第2题图ACB 12第5题图ABC DE第6题图ABCDEFO2.如图,在△ABC 中,∠C =50°,按图中虚线将∠C 剪去后,∠1+∠2等于 ( )A .230°B .210°C .130°D .310°3.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是 ( ) A .360°B .540°C .720°D .900°4.一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )A .7B .7或8C .8或9D .7或8或95.如图,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 为 ( )A .360°B .300°C .220°D .180°6.如图,已知∠BOF =120°,则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = .7.如图的七边形ABCDEFG 中,AB 、ED 的延长线相交于O 点.若图中∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠BOD 的度数为.第7题图AB C DEFGO4321 第8题图B'A'HABC EFG第9题图AB CDEF第10题图A 2A 1OBA8.将六边形ABCDEF 沿直线GH 折叠,使A 、B 落在六边形CDEFGH 内部,若∠C +∠D +∠E +∠F =510°,则∠A ′KF +∠B ′JC =.9.如图,在同一平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,则∠AEB +∠CED -∠BEC =.10.如图,已知∠AOB =7°,一条光线从点A 出发后射向OB 边.若光线与OB 边垂直,则光线沿原路返回到点A ,此时∠A =90°-7°=83°.当∠A <83°时,光线射到OB 边上的点A 1后,经OB 反射到线段AO 上的点A 2,易知∠BA 1A =∠A 2AO .若A 1A 2⊥AO ,光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ,此时∠A =76°.若光线从A 点出发后,经若干次反射能沿原路返回到点A ,则锐角∠A 的最小值是.11.已知,在△ABC 和△DEF 中,∠A =40°,∠E +∠F =100°,将△DEF 如图1和图2摆放,使得∠D 的两条边分别经过点B 和点C .(1)当将△DEF 如图1摆放时,则∠ABD +∠ACD =.(2)当将△DEF 如图2摆放时,请求出∠ABD +∠ACD 的度数,并说明理由.(3)能否将△DEF 摆放到某个位置时,使得BD 与CD 同时平分∠ABC 和∠ACB ,请说出理由.ABCDEF图1AB EFDC图212.(1)在图甲中,猜想:∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2= ,并说明理由.(2)如果把图甲称为2环三角形,它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2;把图乙成为2环四边形,它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2+∠D 2;把图丙成为2环五边形,它的内角和为∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1+∠E 1+∠A 2+∠B 2+∠C 2+∠D 2+∠E 2.请你猜一猜,2环n 边形的内角和是多少?(只要直接写出结论)图甲A 2A 1B 2B 1C 2C 1图乙A 2A 1B 2B 1C 2C 1D 2D 1E 2E 1C 2D 1D 2C 1B 1B 2A 1A 2图丙E 2E 11D 2C 1C 2B 1B 2A 1A 2图丁F 1F 213.(1)如图1,AD 与BC 相交于E ,连接AB 、CD ,若AF 、CF 分别平分∠BAD 、∠BCD ,∠ABC =36°,∠ADC =16°,试求∠F 的度数;(2)如图2,直线AF 平分∠NAD ,CF 平分∠MCB ,若∠ABC =36°,∠ADC =16°,试求∠F 的度数; (3)在图3中,直线AF 平分∠NAD ,CF 平分∠MCB ,猜想∠F 与∠B 、∠D 的关系,直接写出结论,无需说明理由;(4)在图4中,AF 平分∠BAD ,CF 平分∠MCB ,猜想∠F 与∠B 、∠D 的关系,直接写出结论,无需说明理由.图1FE DCBAN MA BDE F图2图3F A NMC ED BBDEC MAF图414.(1)如图1,已知直线PQ 与直线EF 交于点N ,则∠PME 、∠P 、∠MEF 、∠PNE 之间有何数量关系?并说明理由;(2)根据(1)的结论求图2中∠P +∠F +∠Q +∠M +∠N +∠E 的度数. 拓展延伸一:如图3,若平面内有点12345678,,,,,,,P P P P P P P P ,连接132435PP P P P P 、、、465768P P P P P P 、、、7182P P P P 、,求68123457PP P P P P P P ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数是多少?拓展延伸二:若平面内有n 个点1234n P P P P P ⋯⋯、、、、、,且将这个点围成的多边形是凸多边形,连接132435112n n PP P P P P P P P P -⋯⋯、、、、、,则12341n n P P P P P P -∠+∠+∠+∠+⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠+∠+的度数是多少?(请用含n 的代数式表示)图1NMFEQP图2TFEMQP图3P 8P 7P 6P 54P 3P 2P 1专题06多边形角的计算思维索引】例1.180°;360°;540°;例2.(1)140°; (2)β-α-n =90°; (3)α+n -β=90°. 例3.(1)360° (2)540° (3)①6个; ②x =5. 素养提升】1.B ; 2.A ; 3.D ; 4.D ; 5.D ; 6.240°; 7.40°; 8.60°; 9.24°; 10.6°; 11.(1)240°; (2)40°; (3)不能; 12.(1)360°; (2)360°(n 一2);13.(1)26°; (2)26°; (3)∠F =180°-12 (∠B +∠D ); (4)∠F =90°+12 (∠B +∠D );14.(1)∠PME =∠P +∠MEF +∠PNE ; (2)∠P +∠F +∠Q +∠M +∠N +∠E =360°; 拓展延伸一:∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠P 4+∠P 5+∠P 6+∠P 7+∠P 8=720°. 拓展延伸二:∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠P 4+…+∠P n -1+∠P n =(n -4)180°.。
七年级数学竞赛 第15讲 不定方程(组)
例 5.某人家的电话号码是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14405,将前三位数组 成的数与后五位数组成的数相加得 16970,求此人家的电话号码。
(湖北省武汉市竞赛题)
分析与解:设此八位数为 abcdefgh ,为将两个已知条件变为两个方程,需进一步整体设元。
设 abc 为 x,d 为 y, efgh 为 z,则电话号码是 100000x+10000y+z,其中 x,y,z 均为自然数,
故小强支票面额为 14.32 元,误看成 32.14 元,
应退 32.14−14.32=17.82 元。
刻意练习
1.若正整数 a,b,c 满足 a+2bc= 49 ,则 a+b+c 的最大值是
.
a
(“希望杯”邀请赛试题)
2.有 5 克、25 克、30 克 50 克的砝码各若干个,从中共取 n 个,每类砝码至少取 1 个,50 克的砝码不能超
(3)当 k≤−1 时,若 k=−1,则 x=−4,y=3,|x|+|y|=7;
若 k<−1,则|y|≥12,|x|>0,从而|x|+|y|>12。
由上述可知,至少要用 7 只这样的砝码,其中 9 克的 4 只,13 克的 3 只。
分离整系数 类似于假分数的化简,当分子的次数大于或等于分母的次数时,通过除法,我们可以把一个分式化为整
可表示为
x y
= =
x0 y0
− bt, + at,
(t 为整数)。
问题解决:
例 1.正整数 m,n 满足 8m+9n=mn+6,则 m 的最大值是
.
பைடு நூலகம்
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1,已知△ABC内有一点M,沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时,再沿着平行于AB的直线运动到BC边时,又沿着平行于AC直线运动到AB边时,再重复上述运动,试证:点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1,B1,B2,C2,C3,A3,A4,B5,….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线,△A C2B2可由△A1CB1平移得到;△A3C3B可由△AC2B2平移得到;△A1CB1可由△A3C3B平移得到,此时,A3应平移至A4,所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致,因此从A3平移到A1的过程中必经过点M,这表明在第七步时,点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法,它们零散地分布在初中几何教材之中.例如,平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成,这里的平行移动,就是平移变换.2.一般地,把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换,简称平移.由此可知,线段平移可以保持长短、方向不变,角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F',这样的几何变换简称为对称,它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F',由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变,两直线的夹角不变,且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换,能够集中图形中的已知条件,沟通各条件间的联系.例1 已知:如图18-2,△ABC中,AD平分∠CAB,交BC于D,过BC中点E作AD的平行线交AB于F,交CA的延长线于C.求证:2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式,条件中又有角平分线和中点,如果能切分BF、CG,使分出的两部分一部分是AB的一半,余下的是AC的一半,问题就解决了.由中点,我们不难想到中位线,两条有推论效力的辅助线(EH和EI)就产生了,H、I切分了BF、CG,由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6,再由中位线定理,等腰三角形的判定定理,切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I,由平行线性质及已知条件得,∠1=∠2=∠3=∠4=∠6, ∴EI =GI ,EH =FH .∵E 为BC 中点,EH ∥AC ,EI ∥AB , ∴EI =2AB =BH ,EH =2AC=CI , ∴EI =GI =2AB=BH , FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH , CG =GI +CI , ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3,E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点,F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点,求证:AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上,欲证它们之间的关系,似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸,使等量关系转移(比如证某两个三角形全等,中位线的关系等).此题中可将FD 延长至G ,使得DG =BE ,于是易证△AGD ≌△AEB ,则将AE 与AG ,BE 与GD 联系了起来,转而只需证明AG =GF ,即只要证明△AGF 为等腰三角形即可,由∠1=∠2,∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE , ∵△ADG ≌△ABE ,∴AG =AE ,GD =BE ,∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4, ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ,∴∠DFA =∠2+∠3, ∴∠1+∠4=∠DFA , ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°,P 为∠MON 内一点,A 为OM 上一点,B 为ON 上的点,则△PAB 的周长取最小值时,求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4,若在OM 上A 点固定,不难在ON 上找出点B (B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点),同样若在ON 上B 点已固定,则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ,因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点,这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点,P ''为P 关于ON 的对称点,连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点,则△PAB 周长为最小,这时△ABP 的周长等于P'P ''的长(连接两点间距离最短).∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°,∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知:∠PAB =2∠P',∠PBA =2∠P '', ∴∠APB =180°-(∠PAB -∠PBA )=180°-(2∠P'-2∠P '')=100°.例4 如图18-5,在ABC 中,BC =h ,AB +AC =l ,由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线,垂足为D 、E , 求证:BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值,AB +AC =l 是定值,要证BD ·CE 是定值,设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示,充分利用DE 是BAC 的外角平分线,构造对称图形,再利用勾股定理。
七年级数学竞赛 第02讲 绝对值
七年级数学竞赛第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?(1)|a+b|=|a|+|b|;(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;(4)若|a|=b,则a=b;(5)若|a|<|b|,则a<b;(6)若a>b,则|a|>|b|.解 (1)不对.当a,b同号或其中一个为0时成立.(2)对.(3)对.(4)不对.当a≥0时成立.(5)不对.当b>0时成立.(6)不对.当a+b>0时成立.例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.解由图1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有理数加减运算的符号法则,有b-a<0,a+c<0,c-b<0.再根据绝对值的概念,得|b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c.于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例3已知x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x<0)=|3+|3+x||=|3-(3+x)|(因为3+x<0)=|-x|=-x.解因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0.(1)当a,b,c均大于零时,原式=3;(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3;(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1;(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1.说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.例5若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.解因为|x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3.(1)当y=2时,x+y=-1;(2)当y=-2时,x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且|a-b|19,|c-a|99为两个非负整数,和为1,所以只能是|a-b|19=0且|c-a|99=1,①或|a-b|19=1且|c-a|99=0.②由①有a=b且c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有c=a且a=b ±1,于是|b-c|=|a-b|=1.无论①或②都有|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1,所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2.解依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|.因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有|x-y+3|=0且|x+y-1999|=0.即由①有x-y=-3,由②有x+y=1999.②-①得2y=2002, y=1001,所以例8 化简:|3x+1|+|2x-1|.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简|3x+1|,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们为三个部分(如图1-2所示),即这样我们就可以分类讨论化简了.原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;原式=(3x+1)+(2x-1)=5x.即说明解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.例9已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.分析首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者.解有三个分界点:-3,1,-1.(1)当x≤-3时,y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4.(2)当-3≤x≤-1时,y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6.(3)当-1≤x≤1时,y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6.(4)当x≥1时,y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0.综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6.例10设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦.若能利用|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|的几何意义来解题,将显得更加简捷便利.解设a,b,c,d,x在数轴上的对应点分别为A,B,C,D,X,则|x-a|表示线段AX之长,同理,|x-b|,|x-c|,|x-d|分别表示线段BX,CX,DX之长.现要求|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|之和的值最小,就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B,C,D四点距离之和最小.因为a<b<c<d,所以A,B,C,D的排列应如图1-3所示:所以当X在B,C之间时,距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b).例11若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x的项相加为零,即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一种情况.因此必须有|4-5x|=4-5x且|1-3x|=3x-1.故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7.练习二1.x是什么实数时,下列等式成立:(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|;(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).2.化简下列各式:(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p ≤x≤15的x来说,T的最小值是多少?6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为( ).(1)在A,C点的右边;(2)在A,C点的左边;(3)在A,C点之间;(4)以上三种情况都有可能.。
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1.乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。
公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2.基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2立方和(差)公式:(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广:①多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5)…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n4.公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)由公式的推广③可知:当n为正整数时a n-b n能被a-b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
七年级上册数学竞赛题和经典题
七年级上册数学竞赛题和经典题一、竞赛题与经典题。
1. (有理数运算)计算:( 2)^3+[26 ( 3)×2]÷4解析:先计算指数运算( 2)^3=-8。
再计算括号内的式子,[26-( 3)×2]=[26 + 6]=32。
然后进行除法运算32÷4 = 8。
最后进行加法运算-8+8 = 0。
2. (整式的加减)化简:3a + 2b 5a b解析:合并同类项,3a-5a=-2a,2b b=b。
所以化简结果为-2a + b。
3. (一元一次方程)解方程:3(x 1)-2(x + 1)=6解析:先去括号,3x-3-2x 2=6。
再移项,3x-2x=6 + 3+2。
合并同类项得x = 11。
4. (数轴相关)在数轴上,点A表示的数为-3,点B表示的数为5,求A、B两点间的距离。
解析:数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数(大数减小数)。
所以AB = 5-( 3)=5 + 3 = 8。
5. (绝对值)已知| x|=3,| y| = 5,且x>y,求x + y的值。
解析:因为| x|=3,所以x=±3;因为| y| = 5,所以y=±5。
又因为x>y,当x = 3时,y=-5,此时x + y=3+( 5)=-2;当x=-3时,y=-5,此时x + y=-3+( 5)=-8。
6. (有理数的混合运算)计算:(1)/(2)×(-2)^2-((2)/(3))^2÷(2)/(9)解析:先计算指数运算,(-2)^2 = 4,((2)/(3))^2=(4)/(9)。
然后进行乘除运算,(1)/(2)×4 = 2,(4)/(9)÷(2)/(9)=(4)/(9)×(9)/(2)=2。
最后进行减法运算2-2 = 0。
7. (整式的概念)若3x^m + 5y^2与x^3y^n是同类项,则m=_ ,n=_ 。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗?试作一代换:若令疋= ),,贝IJ原式=h + ),3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换,把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题,这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法,它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用,因式分解的方法很多,技巧性强,认真学好因式分解,不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础,而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是:前者是把一个多项式变成几个整式的积,后者是把几个整式的积变成一个多项式,因式分解初中可在有理数域或实数域中进行,高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分,不然分解式的系数会超过有理数的范围;在实数域中,它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中,它的分解式是因式分解的方法很多,除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上,对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来进行运算,从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开,过于复杂,考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想,它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解:设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则,原式=(a -1): + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注:这里用到公式a,+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征:当代数式中出现相同、相近或相关联(如:互为相反数,互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法,其应用很广泛.在因式分解时,只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积,而这些因式中某些系数未定,可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质,即两边对应项的系数必相等,可列出关于待定系数的方程或方程组,解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积,则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构:因多项式中疋的系数是1,常数项是0,以及没有护项,所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数,得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式,关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式,完全平方公式,在因式分解中还常用到下列公式:立方和公式:a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式:a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式:(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式:(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式:(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式:a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式:a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简,及能用公式,给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要,这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退,这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77),+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时,需要对某些项作适当的变形,使其能分组分解,添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式:x3-9x+8.解析多项式有三项,若考虑拆项,有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项,式中无二次项,可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋,原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法,可谓“横看成岭侧成峰,左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子,因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式,将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容:如果x=a时,多项式的值为零,即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除,即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法:12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式,则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边,则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中,a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件:三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差,应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪,后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法,设原式=(x+y-2)(x+^y-3)展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 (江苏省第十七届初中数学竞赛)如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式,则b 的值为()A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法,依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00,-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式,贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为(兀3-X-d ) - (F+x-d ) = x (x+l )(x-2),所以,X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时,£7=0;当公因式为X —2时,a = 6.例4 (2003年太原市初中数学竞赛)已知直角三角形的各边长为正整数,它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重! 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即(80—。
数学竞赛专题讲座七年级第9讲_绝对值与一元一次方程(含答案)
绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存有的条件,对这个方程的解实行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,所以,探求这种关系是解本例的关键,•使用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存有6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、水平拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
七年级数学上册辅导资料
七年级数学上册辅导资料七年级数学上册辅导资料一、教材解读知识点1有理数加减法统一成加法的意义1.有理数加减混合运算,可以通过有理数减法法则将减法转化为加法,统一成只有加法运算的和式.如:(-11)-(+7)+(-4)-(-3)=(-11)+(-7)+(-4)+(3)2.在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式:如:(-11)+(-7)+(-4)+(+3)=-11-7-4+33.和式的读法:一是按这个式子表示的意义,读作“-11,-7,-4,+3的和”二是按运算意义读作“负11,减7,减4,加3”.例1把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(-26)-(-7)+(-10)-(-3);(2)(-30)-(-8)+(-12)-(-5).分析:先统一成加法,再省略括号和加号.解:(1)(-26)-(-7)+(-10)-(-3)=-26+(+7)+(-10)+(+3)=-26+7-10+3.(2)(-30)-(-8)+(-12)-(-5)=(-30)+(+8)+(-12)+(+5)=-30+8-12+5.小结:在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时,符号容易变错,做这样的题目时,一定要注意符号的变化.知识点2有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法,写成省略加号,括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算,这里应注意的是:通常把同号(指同正、同负)的结合,整数与整数结合,同分母分数或容易通分的分数结合,互为相反数的结合,几个加数能凑整的结合在一起相加;对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2计算:(-47111)-(-5)+(-4)-(+3).8248分析:加减混合运算应注意有条理按步骤进行,下面将具体作法及其根据写在每一步后面的括号里,以便你更好地归纳.解:原式=(-47111)+(+5)+(-4)+(-3)(统一化成加法)82487111+5-4-3(省略加号)82487111=-4-4+5-3(加法交换律)84287111=(-4-4+3)+5(加法结合律)84827111=(-4+4+3)+5(加法法则)848211=-12+5423=-6(加法法则).4=4小结:把同号的数相结合相加,这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1把下列各式写成省略加号的和的形式,并说出它们的两种读法.(1)-2-(+3)-(-5)+(-4);(2)(+8)-(-9)+(-12)+(+5).分析:先把加减法统一成加法;再省略括号和加号.解:(1)-2-(+3)-(-5)+(-4)=-2+(-3)+(+5)+(-4)=-2-3+5-4读作:①负2,负3,正5,负4的和;②负2减3加5减4.(2)(+8)-(-9)+(-12)+(+5)=(+8)+(+9)+(-12)+(+5)=8+9-12+5学习是一个不断深入的过程,他需要我们对每天学习的新知识点及时整理,接下来由为大提供了初一上册数学辅导练习,望大家好好阅读。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲代数式的化简与求值(含答案)
第十讲代数式的化简与求值趣题引路】如图10-1所示的八个点处各写一个数字,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点" + b + c + 〃 + *(e+ /" + &+力)</ + Z> + c + J- i(e + / + g + 〃)解答如下:-a=d + h + e , b=a + c+ f , J + 宀, d=a + c + h.3 3 3 32(a + b + c + d) + (e + f + g +力)/• a+b+e= ------------------ --------------------- .3设a+b+c+cl=/n, e+f+g+h=n ・• a. , . 2m + n■ ■ a+b+c+d= -----3. 2/n + n..m= ---------- ,3m=n.即a+b+c+d=e+f+g+h ・知识拓展】1.在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明,苴中也涉及到它们的化简与求值.本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来,其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容.2.对于代数式的化简、求值,常用到的技巧有:(1)因式分解,对所给的条件、所求的代数式实施因式分解,达到化繁为简的目的;(2)运算律,适当运用运算律,也有助于化简;(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等;(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方,也不失为一种有效的方法.例1已知x=4-d,求"f—X+lh+T的值. x— 8x + 15处的数字的平均数,则代数式a + h + c + cl + ^(e+ f + f* + h)a + h + c + d --(e+ f + g+h)3 32m - n 32 3m一n2m -m 3 3-------- x --------- =—2 3m - m 4应填扌.图10-1解析:由已知得(x—4尸=3,即A2—8x+13=0.所以兀** - 6A?— 2f +1 8A' + 23 _ x2 (x"— 8x + 13) + 2x(才—8x +13) + (A*~— 8x + 13) + 10 _ 10 _、F x2-8x + 15 (X2-8X +13)+2 込—…点评:本题使用了整体代换的作法.例2已知A+Y+Z=3. (^),求匕上空学二遊二岀£2竺凹的值. (x-6/f+(y-t/f+(z-6/f解析:分式的分子、分母是轮换对称形式,可考虑用换元法.解:由x+y+z=3e 得(x—a)(y—a)(z~a)=0.设x—“=〃】, y—a=n> z~a—p>贝0 m+n+p=0・•••" = — (〃?+〃)・•『i 弋—mn + n P + m P —mn + P(m + n) —nm一(m + n)2_ -m2一mn一n2_1八m2 + n2 + p2 nf + n2 + p2 nr + n2 + (m + n)2 2(nr + mn + n2) 2 *点评:实际上,本例有巧妙的解法,将〃?+”+" = 0两边平方,得加2 + "2+卩2=一2(”山+ " + 〃初,.・.mn + np + mp _1m2 +n2 + 2 "例 3 已知" + i = + 求(“ + 〃)(/+、)(「+ “)的值.c b a abc解析:对于分式等式,如岀现两个(或两个)以上的等于号,可设为一个字母为h解:设c^b-c =a-b + c = -a + b + c=k cb aa + b-c = ck,① < a —b +c = bk 9 (^)-a + b + c = ak・③① + ②+③,得:R("+b+e)="+b+c・当“+b+e0 时,k=l,此时a+b=2c,“+c=2b, b+c=2a・.(a + h)(b + c)(c + a) _ 2a ■ 21} ■ 2cabc abc当“+〃+c=0 时♦“ + b= —Ct a + c= —b,〃+c= —a.・・.原式=(-“)•(如p)=_l.abc点评:注意本例须按a+h+c等于零和不等于零两种情况进行讨论.例4 已知“+b+c=l, a2-\-b2+c2=2. a3+b3+c3=39求(1) “be 的值;(2) a4+b4-^c4的值. 解析:•••以+胪+5=2, :•(“+b+c)2—2(ab+be+ca)=2.A ab-¥bc~i rca = ——•2又•••帀+沪+"=3,(“+b+c)(</2+b2-\-c2— ab—be—ca) + 3abc=3 ・:.1x(2+ —)+3“bc=3・2:.abc=-,即"c的值为丄.6 6又•: a4+沪+c4=(a2+护+c2)2—2(crb2+b2c2+c2a2)=4 —2[(ab+be+ca)2—2abc{a + 方+c)]=4—2(丄4 cl ix 25—2x- xl)=—・6 6•••/+戸+疋的值为色.6点评:这道题充分体现了三个数的平方和,三个数的立方和,及三个数四次方和的常规用法,这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的.好题妙解】佳题新题品味例1 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为",第二次提价的百分率为b:乙商场:两次提价的百分率都是⑺(">0, 2 b>0);丙商场:第一次提价的百分率为几第二次提价的百分率为",则提价最多的商场是( )A.甲B.乙C•.丙 D.不能确定解析用代数式表示三个商场提价后的价格,再比较大小.解:(1)甲商场两次提价后,价格为(l+“)(l+b)=l+“+b+“b.(2)乙商场两次提价后,价格为(1 + 口)(1 + 口)=1+(“+坊+(口)2:2 2 2(3)丙商场两次提价后,价格为(1+")(1+“)=/+"+b+“b.因为(爭)2 —“b>0,所以(字)2>“b.故乙商场两次提价后,价格最髙.选B.例2已知非零实数“、b、c满足0+护+以=1, “(J.+J_)+b(丄+ b + c(丄+丄)=一3,求a+b+c的 b c a c a b 值.解析:因为ubc^O,在已知的第二个等式两边同乘以“be,得"2(c+b)+b2(c+")+c2(“+")= —3"bc, 即ab(a+/?)+bc(b-\-c)4-ac(a+c) + 3abc=0.将&历c 拆开为ubc+abc+ubc,可得ab(“+b+c)+bc(a+b+ c)+ac(a+/?+c)=0・于是(a+b+c)(ab+he+ac)=0.所以a+h+c=0或ab+bc+ac=0.若ab+bc+ac=O.由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2cd^2bc+2cic= 1 得“+b+c=±l ・ \ 所以“+"+c的值可能为6 — 1 >1.中考真题欣赏例1 (2003年陕西中考题)先化简,再求值:皆胃L岳,其中眉存—x + 1 (x2+1)(A+ l)(x-l) x-3 _ x-1 x-3 _ 2 尿 = - : 一 = — =0+1 (x + 1) A +1x + 1 x + 1 x + 1解析:当x= 73 + 1时,原式== 4一2逅.V3+2例2 (重庆市)阅读下而材料:在计算3+5+7+9+11 + 13+15+17+19+21时,我们发现,从第一个数开始,以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的左值.具有这种规律的一列数,除了直接相加外,我们还可以用公式5= 必+巴二12xd计算它们的和.(公式中的〃表示数的个数,“表示第一个数的值,〃表示这个相差的泄值), 2那么3+5+7+9+11 + 13+15 + 17+19+21 = 10x3+巴” x2=120・2用上而的知识解决下列问题:为保护长江,减少水上流失,我市某县决泄对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林,以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地.由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响,都有相同数量的新坡荒地产生,下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统汁数据•假设坡荒地全部种上树后,不再有水上流失形成新的坡荒地,问到哪一年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.解析:1997 年减少了24 000-22 400=1 600.m年减少了1 200+400x(/?/-1 996)・1 200+1 600+…+ 1 200+400(加一1 996)=25 200.令n=m—\ 995»得必1200 + 盲_><400一1)=400x HX3+———-=25200. 2 ..・.% +竺匸—6326n+n(n-1)=126n:+5n-126=0.m 二9,血二一14 (舍去).m=1995+9=2004.••• 到2004年,可以将坡荒地全部种上树木°竞赛样题展示例1 (2003年“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将苴排列成前多后少的梯形队阵(排数>3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么,满足上述要求的排法的方案有( )A. 1种B.2种C. 4种D. 0种解析设最后一排有k个人,共有n排,那么从后往前各排的人数分别为k, k+1, lc+2,…,k+ (n-l),由题意可知如+ 答丄= 100,即〃[2« + (“-1)] = 200.因为k, n都是正整数,且n$3,所以n<2k+ (n-l),且n与2k+ (n-l)的奇偶性不同。
初中七年级数学竞赛培优讲义
初中七年级数学竞赛培优讲义《初中七年级数学竞赛培优讲义》哎呀,一提到数学竞赛培优讲义,我这心里就像揣了只小兔子,怦怦直跳!为啥?因为这可真是个充满挑战又超级有趣的东西啊!你想想,数学就像一座神秘的城堡,里面藏着无数的宝藏和秘密。
而七年级的数学竞赛培优讲义,那就是打开这座城堡大门的一把神奇钥匙!我们先来说说那些有趣的几何图形吧。
三角形、四边形、圆形,它们就像是城堡里不同形状的房间。
三角形稳定得像泰山,不管怎么推怎么挤,它都稳稳当当的,难道这还不够神奇吗?四边形呢,有时候像个调皮的孩子,轻轻一拉就变形了。
圆形就更妙啦,像个超级大皮球,从哪个角度看都那么圆润可爱。
再讲讲代数部分,那些字母和数字的组合,就像是一场精彩的魔术表演。
X、Y 一会儿变大,一会儿变小,一会儿又消失不见,然后又突然冒出来,这难道不像魔术师手中的道具,让人眼花缭乱又惊喜连连?我们在课堂上,老师拿着培优讲义,就像拿着一本武功秘籍,给我们传授着一招一式。
“同学们,这道题可不容易哦,大家好好想想!”老师这么一说,大家都皱起了眉头,开始苦思冥想。
我心里想:“哼,我就不信我解不出来!”然后和同桌小声嘀咕:“你觉得从哪里入手好?”同桌挠挠头:“我也不太清楚呢,咱们再看看。
”小组讨论的时候那才热闹呢!“我觉得应该这样做。
”“不对不对,应该那样。
”大家争得面红耳赤,可谁也不服谁。
最后老师来给我们指点迷津,一下子就恍然大悟,那种感觉,就像在黑暗中突然看到了光明,别提多兴奋啦!做数学竞赛题,有时候就像爬山。
一开始觉得山坡好陡啊,怎么爬都爬不上去。
可是当你咬咬牙,坚持一下,突然就发现找到了一条小路,然后顺着这条路,一下子就爬到了山顶,那种成就感,简直无与伦比!数学竞赛培优讲义里的每一道题,都是一个小怪兽,我们就是勇敢的战士,拿着知识的武器去打败它们。
有时候会被小怪兽打得晕头转向,但是只要不放弃,总有战胜它们的时候。
经过这么长时间的学习和努力,我深深地觉得,数学竞赛培优讲义虽然难,但是它就像一个超级好玩的游戏,只要你用心去玩,就能从中获得无尽的乐趣和收获。
初中数学竞赛辅导资料(七年级上)
数的整除(一)内容提要:如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,当1+2+3+4+X 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位X 4能被4整除时,X =0,4,8 ∴X =8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习1.分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积)①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2.若四位数a 987能被3整除,那么 a=_______________ 3.若五位数3412X 能被11整除,那么 X =__________- 4.当 m=_________时,535m 能被25整除5.当 n=__________时,n 9610能被7整除 6.能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7.能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________8.8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):6________,8__________,9_________,11__________9. 从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个, 能被3整除但不是5的倍数的共______个。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第五讲一元一次方程
第五讲一元一次方程趣面引路】观察下列演算过程,判断运算过程是否正确,若不正确,请指出错在哪里? 解方程:x+2=2x+4.解原方程可化为x+2=2 (x+2), ① 两边同时除以(x+2)得1二2.②解析 1=2显然不正确,问题出在从第①步到第②步的变形,方程两边同时除以一个代数式,要对 (x+2)的值进行讨论,当x+2二0时,两边不能除。
一般地,在等式的两边同时除以一个代数式的时候要 对其分等于零和不等于零两种情况进行讨论。
知识延伸】一、一元一次方程的解法一元一次方程的解法一般有去分母,去扌舌号,移项,合并同类项等步骤,但在解题过程中不要生搬硬 套,往往需要我们活用所学方法,灵活地解决问题.例 1•解方程:(1) 2003X2004X (x+」一)X2005X2006=0:20052x 2x 2x 2x------ 1 ------------1 -- -------------------------- • • +1x3 3x5 5x7 2003x2005解析(1)依题意得x+」一=0,2005・r = __1_2005(2)原方程可化为2004XX ----------- 2005 x = 2005点评点评(1)本题的关键是:发现要使左边二0,必有X+」—=0,若按常规去括号可麻烦了;20052 2 2 2(2) —— + —— +——+•••+ --------------------- = 2004是我们熟悉的式子,于是左边反用乘法分配律,1x3 3x5 5x72003x2005提出一个X,剩下的就可以用裂项法进行化简.一般的,一-—=丄-一—n{n + a ) n n + a(2) = 2004x(l ——+ ------ --- --------3 3 5 2003 ^)= 2°04= 2004二、一元一次方程根的存在性讨论 一元一次方程最终都可化成ax 二b 的形式 显然,当aHO 时,方程有唯一的实数根; 当a 二0且b 二0时,方程有无数根; 当a 二0且1>工0时,方程无根。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲有理数的巧算
第一讲有理数的巧算趣题引路】(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算:2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005解析 原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl 型式子,有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点 来进行考査,有理数的运算有许多技巧和方法,是中考和竞赛的热点。
知识延伸】 一、 巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理,再看是否可以用运算律简化运算。
7113 1 1例 1 计算:(1)-1999- X 16: (2)(-一一一 +二一一)-(——)86 36 4 12 48解析⑴原式=-(2000-])><168= -(3200-2) = -31998(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22?・6 36 4 12 3 37 1点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时,往往将其写成2000--、2000+3的形式:(2)利用乘8 8法对加法的分配律时,应注意符号的处理技巧,尽量以免错误。
二、 有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律:正数>零>负数:两个负数比较大小,绝对值大的反而小:两个正数比较 大小,倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时,往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运 用一些熟知的规律进行比较.1991 QI log? 09例2 (1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序1992 92 1993 93排列是 __________________________________ •a 疋1992(1 92 ,1 1993(1 93(11991 1991 91 91 1992 1992 92 92点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同,再进行比较,除了通分外,倒数法也 是经常用到的方法•实际上,此类习题具有-般规律;弓<角⑴是正整数),如!|<|斗…199991一'921 1<922 311999999而丄9191-92< >丄9292-939391-92, < 92-9192一93 <一93一921,, < 9 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 << 2 3929999 19'- 9 1 1三. 有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时,经常会出现一些较大或较多的数求和的问题,仔细观察它们的特点,探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.1 •倒序相加法例 3 计算:(1)1+2 + 3 + ・・・+2003 + 2004:(2)1 — 2 + 3—4+・・・ + 2003 — 2004・解析(1)设S=l+2+3 + ・・・ + 2003+2004 ①则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ②①+②,得2S=(l+2004)+(2+2003)+・・・+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)=2005X2004,即原式=2009010・(2)原式=(1 一2)+(3—4)+・・・ + (2003 — 20Q4)= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.点评:(1)式的特点是:后一项减去前一项的差都相等,这样的一列数称为等差数列,第一项叫首项, 通常用“I 表示;最后一项叫末项,通常用血表示;相等的差叫公差,通常用d 表示。
七年级数学竞赛复习资料
攀登杯竞赛考试数学复习要点第一节:绝对值第一类题型:去绝对值符号化简.【例1】(1) 若x <﹣2,则|1﹣|1+x||= .(2)已知1=a ,2=b ,3=c ,且c b a >>,那么c b a -+= .(3)非零整数m 、n 满足05=-+n m ,所有这样的整数组),(n m 共有______组.(4)已知d d =-,化简12d d ---所得的结果是________.(5) 若2x+|4-5x |+|1-3x |+4的值恒为常数,则x 取值范围是 .【例2】(1) 如果是非零有理数,且0=++c b a ,那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( ).A .0B . 1或1-C .2或2-D .0或2-(2)若c b a 、、为整数,且19919=-+-a c ba ,求cb b a ac -+-+-的值.c b a 、、【例3】化简 (1)12-x (2)31-+-x x (3)1331++--x x第二类题型:含绝对值式子求最值问题.【例4】(1)整数a,b,c,d 满足28,318,510,a b b c c d =+=-=+则7d a +的最小值为(2)设由1到8的自然数写成的序列12,,,,n a a a ⋅⋅⋅则1223347881a a a a a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-++的最大值为【例5】已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ,求z y x 32++的最大值和最小值.【例6】(1)代数式131211++-++x x x 的最小值为_____.(2)代数式4321-+-+-+-a a a a 的最小值为 .(3)If a <b <c ,ac <0 and <<,then the minimum of is .【例7】(1) 代数式122015x x x -+-+⋅⋅⋅+-的最小值是多少? 并求此时x 的范围;(2) 求当12131201x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+-取最小值时x 的范围?【例8】已知|x|≤1,|y|≤1,设M=|x+y|+|y+1|+|2y ﹣x ﹣4|,求M 的最大值与最c b a c x b x a x ++-+-小值.【例9】已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y 的最大值.第二节: 实数运算【例1的平方根是 .【例2】已知实数a 满足21999,1999a a a -=-=则 .【例3】已知22(4)0,x y -++=求()y xz 平方根.变式:1.已知实数211,,a-b 0,24c a b c c c ab -+=满足则的算术平方根是 .2.=在实数范围内成立,其中a 、x 、y 是两两不相等的实数,则22223x xy y x xy y +--+的值是 .3.已知4,1x y y x +=+则= .4.若,,x y m试求4m-的算数平方根.【例4a,小数部分为b,求2-16ab-8b的立方根.+++⋅⋅⋅+【例5】计算:【例6】由下列等式:===…… 所揭示的规律,可得出一般的结论是 .第三节: 方程及方程组【例1】已知()()063922=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程,如果m a ≤,那么m a m a -++的值为_________【例2】已知⎩⎨⎧=-=12y x 是方程⎩⎨⎧=++=-274123ny x y mx 的解,则______________==n m【例3】解方程:(1)()()b x a x a 3512+-=- (2)8453=+-x【例4】解下列方程组(1)()⎩⎨⎧=+=++22422y x y x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-++441511y x y x【例5】m 取何整数值时,方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数?【例6】已知关于x ,y 的方程组111456ab bc ca a b b c c a ===+++,,分别求出当a 为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.【例7】已知a 、b 、c 为实数,且求a+b+c 的值.【例8】解方程组12233420152016201620171220162017...1...2017x x x x x x x x x x x x x x +=+=+==+=+=⎧⎨++++=⎩.【例9】已知正数f e d c b a ,,,,,满足41,16,9,4====d abcef c abdef b acdef a bcdef ,161,91==f abcde e abcdf .求()()f d b e c a ++-++的值.【例10】(1) 设,则 .(2) 已知882210322)2()1()1()7()1(++⋅⋅⋅+++++=-+x a x a x a a x x ,则7654321a a a a a a a +-+-+-= .【例11】(1),12=+x x 求200522234+--+x x x x 的值.(2)如果05-2=+x x ,则3223++x x = .【例12】(1)[]x 表示不大于x 的最大整数,若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ,则x 的取值范围是 (2)解方程:[]21213-=+x xf ex dx cx bx ax x +++++=+23455)13(=-+-+-f e d c b a【例13】(河南省竞赛题)若关于x 的方程9x -17=kx 的解为正整数,则k 的值为k =第四节: 不等式及不等式组【例1】关于x 的不等式06>+--x k 的正整数解为1,2,3,那么k 的取值范围是 .变式1.不等式03≤-a x 的正整数解为1,2,3,那么a 的取值范围是 .2.关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩ 有四个整数解,则a 的取值范围是 .3.已知关于x 的不等式组302x a b x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩的整数解有且只有4个:-1, 0, 1, 2,那么适合这个不等式组的所有可能的整数对(a,b )共有多少个?【例2】关于x 的不等式05)2(>-+-b a x a b 的解为710<x ,试求032)4(>-+-b a x b a 的解.【例3】若不等式组841x x x m+<-⎧⎨≥⎩的解是x>3,则m 的取值范围是 .变式:若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++01456m <x x >x的解集为4x <,则m 的取值范围是 .【例4】已知不等式125-+x >22+ax 的解是x >21-的一部分,试求a 的取值范围.【例5】若x+y+z=30,3x+y -z=50,x,y,z 均为非负数,求M=5x+4y+2z 的最大值和最小值.【例6】已知非负数a ,b ,c 满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1,若m=3a+b-7c , 求m 的最小值和最大值.【例7】若不等式a x x ≤-+-3312有解,求实数a 的最小值【例8】若方程019971997=--x x a 只有负数根,求a 的取值范围.【例9】若b a ,满足b a s b a 32,75322-==+,求s 的取值范围.【例10】求证:2222111171234n ++++<L【例11】已知19911198311982119811198011+⋅⋅⋅++++=S ,求 S 的整数部分.第五节:应用题【例1】一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?【例2】有一水库,在单位时间内有一定量的水流进,同时也向外放水,按现在的进出水量,水库中的水可使用40天,因最近在水源的地方降雨,流入水库的水量增加20%,如果放水量增加10%,则仍可使用40天,如果按原来的放水量放水,可使用多少天?【例3】有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是8,并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差,所得的商为11,余数为5,求这个两位数.【例4】甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。
七年级数学(上)期中复习知识竞赛材料PPT课件
4 0 2 8 1 9 24
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8 4 1 5 16
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1 0 3 0 5 0 .01
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35214
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0.7550.3
4
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32182231
4
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化简:
4pqpr4pqpr
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化简: p2 3pq68p2 pq
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化简:
32x2xy4x2xy6
.
11
以下各平面图形中,不是多边形的有( ) A、三角形 B、圆 C、八边形 D、长方形
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12
下面几何体的俯视图是( )
A
B
C
.
13
下面四张图中,能折叠成棱柱的是( )
A
B
C
D
.
14
5的相反数是( )
.
15
在1, 30%, 1.25,7, 3.5, 0中,分(数有 ) 2
.
16
在数轴上 2与4, 之间的距 ( 离)是
.
17
绝对值等于 5的数是( ) 2
.
18
比较大小:3 2
4
.
19
某天最高气温是8℃,最低气温是—2 ℃,则这一天 的温差是( )
.
20
12的倒数是( ) 3
.
21
417016( ) 34
.
22
在63中,底数是( ),指数是( )。
.
23
23的值为 ( )
.
24
最小的正整数是( ), 最小的负整数是( )。
七年级数学竞赛教材
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数的整除(一)内容提要:如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,当1+2+3+4+X 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位X 4能被4整除时,X =0,4,8 ∴X =8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习1.分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积)①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2.若四位数a 987能被3整除,那么 a=_______________ 3.若五位数3412X 能被11整除,那么 X =__________- 4.当 m=_________时,535m 能被25整除5.当 n=__________时,n 9610能被7整除 6.能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7.能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________8.8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):6________,8__________,9_________,11__________9. 从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个, 能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10. 由1,2,3,4,5这五个自然数,任意调换位置而组成的五位数中,不能被3整除的数共有几个?为什么? 11. 己知五位数A 1234能被15整除,试求A 的值。
12. 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13.在十进制中,各位数码是0或1,并能被225整除的最小正整数是____(1989年全国初中联赛题)1.两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A叫做B的倍数,B叫做A的约数。
例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。
2.因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数,7是0的约数。
3.整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。
4.整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1,±2,±3,±6。
5.通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6.公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。
7.在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作:A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除例如23=3×7+2则23-2能被3整除。
例题例1 写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32。
那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)例如求360的正约数的个数解:分解质因数:360=23×32×5,360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)例2 用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数解:∵24=23×3,90=2×32×5∴最大公约数是2×3,记作(24,90)=6 最小公倍数是23×32×5=360,记作[24,90]=360例3 己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6 经检验1和2不合题意,∴N=6,3例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。
解:∵[10,9,8]=360,∴所以所求的数是359练习21.12的正约数有_________,16的所有约数是_________________2.分解质因数300=_________,300的正约数的个数是_________3.用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。
4.一个三位数能被7,9,11整除,这个三位数是_________5.能同时被3,5,11整除的最小四位数是_______最大三位数是________6.己知14和23各除以正整数A有相同的余数2,则A=________7.写出能被2整除,且有约数5,又是3的倍数的所有两位数。
答____8.一个长方形的房间长1.35丈,宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满,问正方形最大边长可以是几寸?若用整数寸作国边长,有哪几种规格的正方形瓷砖适合?9.一条长阶梯,如果每步跨2阶,那么最后剩1阶,如果每步跨3阶,那么最后剩2阶,如果每步跨4阶,那么最后剩3阶,如果每步跨5阶,那么最后剩4阶,如果每步跨6阶,那么最后剩5阶,只有每步跨7阶,才能正好1.正整数的一种分类:1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数(质数也称素数)。
合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数。
2. 根椐质数定义可知1) 质数只有1和本身两个正约数, 2) 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
例题例1两个质数的和等于奇数a (a ≥5)。
求这两个数解:∵两个质数的和等于奇数,∴必有一个是2.所求的两个质数是2和a -2。
例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解:∵质数m 只含两个正约数1和m, 又∵(-1)(-m )=m ,∴所求的两个整数是1和m 或者-1和-m. 例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30,求适合条件的a,b,c 的值 解:分解质因数:30=2×3×5适合条件的值共有: ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a ,b ,c ,d 值共有24组,试把它写出来。
例4试写出4个連续正整数,使它们个个都是合数。
解:(本题答案不是唯一的)设N 是不大于5的所有质数的积,即N =2×3×5,那么N +2,N +3,N +4,N +5就是适合条件的四个合数. 即32,33,34,35就是所求的一组数。
本题可推广到n 个。
令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N +2,N +3,N +4,……N +(n+1)就是所求的合数。
练习31.小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2.己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P =__,Q =__ 3.己知两个素数的差是41,那么它们分别是_____ 4. 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是___如果两个整数的积等于73,那么它们是____ 如果两个质数的积等于15,则它们是_____5.两个质数x 和y ,己知 xy=91,那么x=______,y=______,或x=______,y=______.6.三个质数a,b,c 它们的积等于1990. 那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7. 能整除311+513的最小质数是__8.己知两个质数A 和B 适合等式A +B =99,AB =M 。
求M 及B A +AB的值 9.试写出6个連续正整数,使它们个个都是合数。
10.具备什么条件的最简正分数可化为有限小数?11.求适合下列三个条件的最小整数:1)大于1 2)没有小于10的质因数 3)不是质数12.某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是___ 13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是__。
零的特性内容提要一零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数,是整数,是偶数。
1.零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高;收支衡可记作结存0元。
2.零是判定正、负数的界限。
若a >0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则a>0记作a>0 ⇔a是正数读作a>0等价于a是正数b<0 ⇔ b 是负数c≥0 ⇔c是非负数(即c不是负数,而是正数或0)d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数,而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0(即e不是0,而是负数或正数)3.在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。
记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0;a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。
3.在一切非正数中有一个最大值是0。