二元函数中三个互不蕴涵关系的反例构造
二元关系逆关系
二元关系逆关系二元关系是指两个集合之间的关系，逆关系则是二元关系的反向关系。
具体来说，如果二元关系R包含了集合A和B的所有有序对(x,y)，那么其逆关系R^-1包含了集合B和A的所有有序对(y,x)。
二元关系逆关系在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
比如说，在关系数据模型中，我们往往需要对关系进行转置，这时逆关系就非常有用。
此外，在图论中，研究节点与节点之间的连接结构时，我们也可以利用逆关系来帮助研究。
下面，我们来分步骤阐述二元关系逆关系的定义和简单示例。
一、二元关系的定义二元关系是指两个集合之间的一个关系，这个关系可以由一个或多个有序对来表示。
比如说，如果我们定义了一个有序对集合{(1,2),(2,3),(3,1)}，那么这个集合就代表了关系R={(1,2),(2,3),(3,1)}。
这个关系R可以表示如下图所示的三个元素之间的关系。
二、逆关系的定义逆关系是指二元关系的反向关系。
如果有一个二元关系R={(a,b),(b,c),(c,d)}，那么对应的逆关系R^-1={(b,a),(c,b),(d,c)}。
逆关系是由原来的二元关系中所有有序对的元素颠倒位置而得到的，因此它的定义也很简单。
三、逆关系的示例我们可以举一个具体的例子来说明逆关系的应用。
假设我们有一个员工表，里面记录了每位员工的姓名和所在部门。
如果我们需要查找所有在销售部门工作的员工，我们可以定义一个二元关系R={(a,b)|a是员工姓名，b是部门名称}，然后用选择操作来筛选出部门为销售的所有员工。
这段SQL代码可能长这样：SELECT 员工姓名 FROM 员工表 WHERE 部门名称='销售'但是如果我们需要查找所有在某个员工所在的部门工作的所有员工呢？此时就需要用到逆关系了。
我们可以定义一个逆关系R^-1={(b,a)|a是员工姓名，b是部门名称}，然后用选择操作来筛选出与指定员工在同一部门工作的所有员工。
代码可能长这样：SELECT 员工姓名 FROM 员工表 WHERE 部门名称=(SELECT 部门名称 FROM 员工表 WHERE 员工姓名='某个员工的姓名')通过定义逆关系，我们可以用一条SQL语句来完成原本需要使用子查询才能完成的任务。
关于二元函数的混合偏导数不相等的反例之构造
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专 题 研 究
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关孑二元函数髓混合偏导数不相等的反例之构造
◎代 恩华 齐 玉 霞 （ 城 大 学 东 昌学 院 聊 ２ ２０ ） ５ ０ ０
【 要】 摘 本文指 出了二元 函数 的混合偏导数不相 等的本
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［ ］ 庚 哲 ， 济 怀 ． 学 分 析 教 程 （ 册 ・第 ３版 ） ２常 史 数 下
［ ． 京 ： 等教 育 出版 社 ，０ ４ Ｍ］ 北 高 ２０．
因此 ， 果 我 们 所 构 造 的 函 数 （ Ｙ 使 上 述 两 个 极限 如 ， ）
数 学 学 习与 研 究
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导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。
求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。
典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。
1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。
典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。
1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。
典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。
1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。
典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。
1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。
数学分析判断题36个经典反例
数学分析判断题36个经典反例本文介绍了数学分析中的36个经典反例，这些反例可以帮助读者更好地理解和掌握分析性数学的相关概念和方法。
反例一：可导不连续函数在某点可导不一定在该点连续，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处可导，但在该点不连续。
反例二：微积分基本公式不成立微积分基本公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$在一些情况下不成立，例如函数$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$在$[0,1]$上积分不满足基本公式。
反例三：连续不可导函数在某点连续不一定可导，例如函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续但在该点不可导。
反例四：一致连续性函数一致连续和点连续不等价，有些点连续的函数不一定一致连续，例如函数$f(x)=\sqrt{x}$在$[0,1]$上连续但不一致连续。
反例五：级数收敛性与函数可积性不等价级数收敛的函数不一定可积，例如函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$[0,\infty)$上级数收敛但不可积。
反例六：积分换序对于一些函数，交换积分次序会导致结果错误，例如函数$f(x,y)=\frac{xy}{(x^2+y^2)^2}$，交换积分次序后结果不同。
反例七：泰勒级数不收敛某些函数在某点的泰勒级数不收敛，例如函数$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$在$x=0$处泰勒级数不收敛。
反例八：函数可导与偏导数存在不等价当函数的偏导数存在且连续时，函数不一定可导，例如函数$f(x,y)=xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$在原点处偏导数存在但不可导。
反例九：连续与闭集不等价一个连续函数的原像不一定为闭集，例如函数$f(x)=\arctanx$在$(-\infty,\infty)$上连续但原像不是闭集。
反例十：一致收敛不保持函数类如果$f_n(x)$是$[0,1]$上的可积函数，$f_n(x)$在$[0,1]$上一致收敛于$f(x)$，则$f(x)$不一定可积。
二元函数中几个易混淆结论及反例
例 ｌ设 ， （ ， ） ， ） ： ｆ ， ＋ ＞ ｏ
【 ０ ， ＝ ｙ ＝ ０
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可以看出ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ ｆ （ ， Ｙ ） ＝ ０ ， ｌ ｉ ａ ｒ １ ｉ ｌ
’ —… 一（ ，） 即 ，） ０ ， ０ ） 处的两个累次极 限都存在且相
数中的结论延用到多元 函数中来 ， 常常引起错误． 对于这些基本概念 ， 多元 函数 比一元 函数情形包含更加
丰 富的 内容 ， 需要 重新认 识 ． 所以， 在多元 函数 教学 中 ， 强 调它们 之 间的 区别 ， 特别 是 易混 淆 的 问题 非常 重 要， 本 文列 举 了一些易 犯错误 的 问题 并精 选 了一些题 目作 为反例 ， 有利 于学 生对知 识 的准 确掌握 ．
杂， 内容更丰富， 结论也有差别． 本文重点强调几个易混淆结论 ， 并给 出相应的反例．
关键 词 ： 极限； 偏导数 ； 连续； 可微 ； 反 例
中图分类 号 ： Ｏ１ ７ ３ 文献标 志码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ６ ７ ３— ０ ５ ６ ９ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ ０ １ ６— ０ ３
例２ ， ｙ ）＝ ｓ ｉ “ １＋ ｙ ｓ ｉ ｎ １
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２— ０ ４—１ ３ ．
作者简介 ： 朱凤娟 （ １ ９ ６ ２ 一） ， 女， 副教授 ， 从 事高等数学教学与研究工作
通讯作者 ： ｚ ｈ ｕ ｆ ｅ ｎ ｇ ｉ ｕ ａ ｎ ６ ３ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｌ ，
Ｍａ ｔ ． ２ ０ １ ３
二元函数中几个 易混淆结论及反例
朱凤 娟
（ 渤海大学 数理学院 ， 辽宁 锦州 １ ２ １ ０ １ ３ ）
数学分析中的反例问题
数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立及否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现Mathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words:proposition; counter example;structure;mathematical analysis; reflect目 录1.引言 ............................................................. 12.反例在加深理解定义及相关概念中的体现 ............................. 1 2.1周期函数 ...................................................... 1 2.2复合函数 ...................................................... 1 2.3极值 .......................................................... 2 2.4一致连续 ...................................................... 2 2.5导数 .......................................................... 33.反例在掌握定理的内涵及外延中的体现 ............................... 3 3.1柯西收敛准则 .................................................. 3 3.2 STOLZ 公式 ...................................................... 4 3.3 比式判别法 .................................................... 5 3.4 比较原则 ...................................................... 5 3.5 阿贝尔判别法 .................................................. 6 3.6 莱布尼茨判别法 ................................................ 64.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 ............................... 75.反例在论证辩证关系中的体现 ....................................... 9 5.1 lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系 (9)5.2 原函数及可积函数之间的关系 ................................... 10 5.3 ()a f x dx +∞⎰收敛及lim ()x f x →+∞=0的关系 (10)5.4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 ......................... 116.结论 ............................................................ 13 参 考 文 献 ....................................................... 13 致 谢 .............................................. 错误!未定义书签。
构造函数证明二元不等式
龙源期刊网
构造函数证明二元不等式
作者：官增文
来源：《新课程·教师》2013年第12期
二元不等式即同时存在两个变量的不等式.利用函数证明此类不等式是近几年高考比较热
衷的题型之一，此类问题的特点为：问题以不等式形式呈现，而“主角”往往却是导数，因此构造函数成为证明不等式的良好“载体”.如何有效合理地构造函数是使不等式获得证明的关键.下面通过具体的实例谈谈构造函数的几种策略.
一、把二元不等式中的两个变量独立分开到不等式的两边
1.若两边可以看做同一个函数的两个函数值，则可构造对应的函数，利用单调性证明
总之，利用函数做“嫁衣”证明一些复杂的二元不等式的关键是构造合理的函数，熟练掌握用导数研究函数的性质，并且能利用函数思想解决数学问题是重中之重。
编辑谢尾合。
CH4 二元关系和函数 3 闭包和等价关系
其中 1~4~7，2~5~8，3~6
画图
证明： 1.证自反性 对任意x∈A，因为x≡x（mod3）， 所以<x,x> ∈R。R满足自反性 2.证对称性 已知对任意x，y∈A，如果<x ,y> ∈R ， 则根据定义有x≡y（mod3）， 即：x－y＝3k（k为整数） 可得：y－x＝ －3k＝3（－k） 因为k为整数，则－k也为整数， 所以y≡x（mod3） 即： <y ,x> ∈R ，R满足对称性
一般,将R的自反闭包记作r(R） 对称闭包记作s(R) 传递闭包记作t(R)
例 :A={1,2,3},A 上 的 关 系 R={〈1,1〉, 〈1,2〉, 〈2,2〉, 〈2,3〉}, 求R的自反、 对称和传递闭包。
1
1
2
3
2
3
R
r(R)
1
1
2
3
2
3
s(R)
t(R)
定理（闭包的性质和求法）:
②{ {a，b，c，d}} ③{ {a，b}，{c}，{a，d}}
√
× × ×
④{
，{a，b}，{c，d}}
⑤{ {a}，{b，c}}
5.集合A上的等价关系与集合A上的划分一一对应 ①每个A上的等价关系所产生的商集是一个划分 上例中A/R={{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6}} 就是一个划分
2、关系闭包的求解方法
集合运算法 关系矩阵法
关系图法
例:设A={a,b,c,d},A上的关系 R={〈a,b〉, 〈b，a〉， 〈b,c〉,〈c,d〉}, 求R的r(R),s(R),t(R) 。
①、集合运算法：按定义逐步求解
r（R） =R ∪ IA ={〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,c〉,〈c,d〉} ∪{〈a,a〉,〈b,b〉,〈c,c〉,〈d,d〉} ={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,a〉,〈b,b〉,〈b,c〉, 〈c,c〉,〈c,d〉, 〈d,d〉}
[反例的作用及几种构造方法]反例的作用
![[反例的作用及几种构造方法]反例的作用](https://img.taocdn.com/s3/m/3ccdf657d4d8d15abf234ea3.png)
[反例的作用及几种构造方法]反例的作用数学中的反例是指符合某个命题的条件，而不符合该命题结论的例子。
当一个数学命题被提出后，一是通过一系列的正确推理，对命题作出证明；一是寻求反例（一个足够），否定这个命题。
1 反例的作用1.1 反例可用来判断命题的真假在数学中要证明一个命题为真命题，必须经过严密的推理；而要否定一个命题，只要举出一个符合命题条件但与命题结论矛盾的例子就可以了。
费尔马（Fermart）是17世纪法国杰出的数学家，他曾提出猜测：形如，当n是自然数时，是质数。
过了半个多世纪，欧拉（Euler）首先找到一个反例，计算出当n=5时，不是质数，即：，是一个合数。
欧拉（Euler）通过反例否定了费尔马的这个猜想，用反例判断命题真假的作用由此而见。
【命题1】周期函数之和仍是周期函数，非周期函数之和仍是非周期函数。
取，周期为2，，周期为，但是为非周期函数。
又可取均为非周期函数，但是它们的和显然是周期为的周期函数。
从上面的反例可以判定命题1是假命题。
1.2 反例可用来构造证明一个命题对于一个命题，从一方面看，它的反例可以起到否定这个命题的作用。
如果没有找到反例，也不能说明命题为真命题，因为有可能反例是存在的，只是没有找到它而已。
从另一方面看，一个命题的反例，有时也是其否命题的极好证明。
【命题2】质数是有限多个。
如果质数仅有有限多个，那么就可以把它们全部写出来，不妨设为，此外再没有其他的质数了。
现构造一数：。
或是一个质数，它显然比一切都大；或是一个合数，又显然不能整除，所以还有其他的质数因子。
但无论哪种情况，都说明有其他的质数存在。
这个反例表明：命题“质数是有限多个”是假命题。
1.3 反例有助于加深理解数学概念与定理数学中的概念与定理有许多结构复杂，条件结论犬牙交错，使人不容易理解。
通过一些反例的分析，有助于加深理解数学概念。
借助于反例能将定理的条件、结论之间的关系弄得一清二楚。
【命题3】周期函数必有最小正周期。
双重三元运算符 -回复
双重三元运算符-回复双重三元运算符是一种在编程中经常用到的条件表达式。
它可以通过一个简洁的语法结构表示三种可能的结果，根据给定的条件来选择执行不同的代码路径。
在本文中，我将详细介绍双重三元运算符的用法和一些示例，以帮助读者更好地理解这个概念。
首先，让我们来了解一下什么是双重三元运算符。
双重三元运算符由三个部分组成：条件表达式，条件成立时的结果，以及条件不成立时的结果。
它的一般语法结构如下：条件表达式? 条件成立时的结果: 条件不成立时的结果在这个语法结构中，条件表达式是一个可以求值为布尔值的表达式。
如果条件表达式的结果为true，则返回条件成立时的结果；如果条件表达式的结果为false，则返回条件不成立时的结果。
这个语法结构提供了一种简洁的方式来表示多个条件分支，使代码看起来更加清晰。
那么我们该如何使用双重三元运算符呢？下面是一些使用这个运算符的示例：示例1：判断一个整数是奇数还是偶数pythonnum = 5result = "奇数" if num 2 != 0 else "偶数"print(result) # 输出："奇数"在这个示例中，我们使用了双重三元运算符来判断一个整数是奇数还是偶数。
首先，我们使用条件表达式`num 2 != 0`，它判断`num`是否不可被2整除，如果为true，则返回结果"奇数"，否则返回结果"偶数"。
最后，我们将结果打印出来。
示例2：计算一个数的绝对值pythonnum = -10abs_num = num if num >= 0 else -numprint(abs_num) # 输出："10"在这个示例中，我们使用了双重三元运算符来计算一个数的绝对值。
如果`num`大于等于0，则返回`num`的值；否则返回`-num`的值。
最后，我们将结果打印出来。
多元函数微分学中几个概念间的关系及反例
多元函数微分学中几个概念间的关系及反例多元函数微分学是数学中的一个重要分支，与传统的微积分相比，它更能够帮助我们更加深入地探索多元函数。
在多元函数微分学中，有一些概念是密不可分的，且它们之间存在着某种关系，本文将详细讨论它们之间的关系及反例。
首先，需要清楚的是，这些概念之间的关系主要分为两种，一种是相关性，一种是依赖性。
相关性就是说，这些概念之间是有某种直接联系的，而依赖性则表明某个概念受到另一概念的影响。
其次，具体到几个概念之间的关系及反例，我们首先需要来探讨关于偏导数的内容。
偏导数也成为分量导数，表示对多元函数在某一特定点的某一特定方向变化的率，它与梯度的概念是息息相关的，而梯度是指一个多元函数的极值点的方向和大小。
因此，可以清楚的看出，偏导数与梯度之间存在着相互依赖的关系。
另外，偏导数概念也可以与偏微分概念相结合，偏微分是指对多元函数中某一变量求导数，而忽略其他变量，这种概念与偏导数概念具有很强的相关性。
此外，又有一个与多元函数微分学密切相关的概念，即极限，它是指函数中某个变量接近某个值时，函数的某个特定的值的过程。
极限的关系也与多元函数的梯度有关，当两者同时存在时，极限可以用来判断梯度的大小，而且极限也具有很强的依赖性，需要依赖多元函数中的某些变量才能得到极限的值。
最后，可以说，以上几个概念之间的关系是十分密切的，它们之间都存在着紧密的联系，更重要的是，这些概念之间不仅存在着实质性的关系，还存在着紧密的依赖性。
此外，上述概念及关系之间也可能存在某些反例，如偏导数与梯度的关系可能在某些情况下是不成立的，这也是极限概念可以帮助我们阐明的。
总之，这篇文章详细介绍了多元函数微分学中几个概念之间的关系及反例，了解了这些概念之间的关系及特点，对于我们更好地理解多元函数微分学有重要意义。
离散数学第七章 关系-二元关系的性质
(5) 对每个x,y,z∊A，若(x，y)∊R且(y，z)∊R，则有(x,z)∊R， 说关系R有传递性, 或称R是A上的传递关系。
例1 设 A={1，2，3} ，令 R1＝{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)} R2＝{(2,3),(3,2)} R3＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,1)}。 问R1、R2、R3具有哪些性质？ 答： R1有自反性、传递性、反对称性；
证明(4): R有反对称性当且仅当 R∩R⊆△A
设 R有反对称性，要证 R∩R⊆△A。 对于任意的(x,y) ∊R∩R，则有(x,y) ∊R且(x,y) ∊R ∴ (y,x) ∊R且(x,y) ∊R， 由于有反对称性，知x＝y， ∴ (x,y)=(x,x)∊△A。故 R∩R⊆△A 反之，若R∩R⊆△A，要证R有反对称性。 对于任意的x，y∊A，若(x,y) ∊R且(y,x) ∊R， ∵ (y,x) ∊R ∴ (x,y) ∊R， ∴ (x,y) ∊R∩R ⊆△A， ∴ x＝y ，即R有反对称性。
证明(5): R有传递性当且仅当 R◦R⊆R
设 R有传递性， 要证R◦R⊆R。
对于任意的 (x,y)∊R◦R，则存在z∊A，
使得 (x,z)∊R 且 (z,y)∊R，
由R有传递性，∴ (x,y)∊R 所以 R◦R⊆R 反之，若R◦R⊆R，要证R有传递性。 对于任意的 x，y，z，若(x,y)∊R 且(y,z)∊R ， 则 (x,z)∊R◦R ⊆R， 即有(x,z)∊R，故R有传递性得证。
例3 (p80) R1和R2是集合A上两个二元关系， 若R1和R2均有对称性，问 R1∪R2， R1∩R2， R1－R2， R1⊕R2 哪些仍有对称性？
解：R1∪R2，R1∩R2，R1－R2，R1⊕R2 都仍有对称性。 仅证明R1∪R2有对称性，其余类似, 见下页。
例谈中学数学问题的反例构造方法
例谈中学数学问题的反例构造方法柯街中学周德春摘要：在中学数学学习中，反例对于数学问题的解决有着重要的作用。
数学中的反例是对命题十分简明的否定，同时又是对命题极有说服力的肯定，一个恰当的反例不仅能加深学生对概念的理解，而且有利于学生数学思维能力的培养。
关键词：中学数学；数学反例；数学思维1.基本概念界定所谓反例构造，就是为了说明一个命题不成立，我们常常选择符合题设已知条件，但命题结论不成立的例子，这个过程就是反例构造[1]。
2.反例的构造2.1特例构造法特殊与一般属于对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面相互联系和相互依赖[2]。
利用它们之间这样的关系，可由“特殊”发现“一般”，利用它们之间的对应，又可由“特殊”否定“一般”。
因此利用“特殊”否定“一般”称之为反例的特例构造法，在反例的构造中占有很大的比重。
例1.无理数的无理数指数幂是无理数。
分析：初看这个问题，很多人一定无从下手，故举特例可以进行反驳。
S=，若S为有理数，则说明命题不成立，若S为无理数，则22===⎪⎭，为有理数，则命题不成立。
由此可见，无论S是否是有理数，命题都不成立。
2.2性质构造法性质构造就是根据反例本身性质特征，按一定的数学知识技能进行反例构造[3]例2．周期函数必有最小正周期。
可举反例：()11xf xx⎧=⎨-⎩是有理数是无理数分析：设T为任意有理数，当x为有理数时，x T+也为有有理数，x为无理数时，x T+也为无理数。
则有()11x Tf x Tx T+⎧+=⎨-+⎩是有理数是无理数即：()()f x f x T=+，则()f x以任意有理数T为周期，但有理数中无最小正有理数，所以()f x不存在最小正周期[5]。
βαPCAB2.3逼近构造法所谓逼近构造法就是通过分析问题，查找到命题的使用范围，继而找到反例的应用范围。
然后逐步将范围缩小，并构造出所需要的反例。
例3.“过圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例。
离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分第四章、二元关系和函数4.1 集合的笛卡儿积与二元关系有序对定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>实例：点的直角坐标(3,-4)有序对性质有序性 <x,y>¹<y,x> （当x¹ y时）<x,y> 与 <u,v> 相等的充分必要条件是<x,y>=<u,v> Û x=u Ù y=v例1 <2, x+5> = <3y- 4, y>，求x, y.解 3y- 4 = 2, x+5 = yÞ y = 2, x = - 3定义一个有序n (n³3) 元组 <x1, x2, …, x n> 是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即<x1, x2, …, x n> = < <x1, x2, …, x n-1>, x n>当n=1时, <x> 形式上可以看成有序 1 元组.实例 n 维向量是有序 n元组.笛卡儿积及其性质定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A´B，即A´B ={ <x,y> | xÎA Ù yÎB }例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}A´B ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}B´A ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>, <b,3>,<c,3>}A={Æ}, P(A)´A={<Æ,Æ>, <{Æ},Æ>}性质：不适合交换律A´B¹B´A (A¹B, A¹Æ, B¹Æ)不适合结合律 (A´B)´C¹A´(B´C) (A¹Æ, B¹Æ)对于并或交运算满足分配律A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)(BÈC)´A=(B´A)È(C´A)A´(BÇC)=(A´B)Ç(A´C)(BÇC)´A=(B´A)Ç(C´A)若A或B中有一个为空集，则A´B就是空集.A´Æ=Æ´B=Æ若|A|=m, |B|=n, 则 |A´B|=mn证明A´(BÈC)=(A´B)È(A´C)证任取<x,y><x,y>∈A×(B∪C)Û x∈A∧y∈B∪CÛ x∈A∧(y∈B∨y∈C)Û (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)Û <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×CÛ <x,y>∈(A×B)∪(A×C)所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).例3 (1) 证明A=B Ù C=D Þ A´C=B´D(2) A´C=B´D是否推出A=B Ù C=D ? 为什么？解 (1) 任取<x,y><x,y>ÎA´C Û xÎA Ù yÎCÛ xÎB Ù yÎD Û <x,y>ÎB´D(2) 不一定. 反例如下：A={1}，B={2}, C=D=Æ, 则A´C=B´D 但是A¹B.二元关系的定义定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.例 4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=Æ, R4={<0,1>}. 那么R1, R2, R3, R4是从A 到B的二元关系, R3和R4同时也是A上的二元关系.计数|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以A上有个不同的二元关系.例如 |A|=3, 则A上有=512个不同的二元关系.设A 为任意集合，Æ是A 上的关系，称为空关系E, I A 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：AE={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×AAI={<x,x>|x∈A}A例如, A={1,2}, 则E={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}AI={<1,1>,<2,2>}A小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系RÍ定义：L={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, AÍR，R为实数集合AD={<x,y>| x,y∈B∧x整除y},BBÍZ*, Z*为非0整数集R={<x,y>| x,y∈A∧xÍy}, A是集合族.Í类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则L={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}AD={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}AA=P(B)={Æ,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是R={<Æ,Æ>,<Æ,{a}>,<Æ,{b}>,<Æ,{a,b}>,<{a},{a}>,Í<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}二元关系的表示表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m´n, 其中r ij= 1Û < a i, b j> ÎR.关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集.如果<x i,x j>属于关系R，在图中就有一条从x i到x j 的有向边.注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},R的关系矩阵M和关系图G R如下：R4.2 关系的运算基本运算定义：定义域、值域和域dom R = { x | $y (<x,y>ÎR) }ran R = { y | $x (<x,y>ÎR) }fld R = dom RÈ ran R例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则dom R={1, 2, 4}ran R={2, 3, 4}fld R={1, 2, 3, 4}逆与合成R-1 = {<y,x> | <x,y>ÎR}R∘S = |<x,z> | $ y (<x,y>ÎRÙ<y,z>ÎS) }例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}R-1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}R∘S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}S∘R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}定义 F 在A上的限制F↾A = {<x,y> | xFyÙ xÎA}A 在F下的像F[A] = ran(F↾A)实例R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}R↾{1}={<1,2>,<1,4>}R[{1}]={2,4}R↾Æ=ÆR[{1,2}]={2,3,4}注意：F↾AÍF, F[A] Íran F基本运算的性质定理1 设F是任意的关系, 则(1) (F-1)-1=F(2) dom F-1=ran F, ran F-1=dom F证 (1) 任取<x,y>, 由逆的定义有<x,y>∈(F -1)-1 Û <y,x>∈F-1 Û <x,y>∈F所以有 (F-1)-1=F(2) 任取x,x∈dom F-1 Û $y(<x,y>∈F-1)Û $y(<y,x>∈F) Û x∈ran F所以有dom F-1= ran F. 同理可证 ran F-1 = dom F.定理2 设F, G, H是任意的关系, 则(1) (F∘G)∘H=F∘(G∘H)(2) (F∘G)-1= G-1∘F-1证 (1) 任取<x,y>,<x,y>Î(F∘G)∘HÛ$t(<x,t>∈F∘G∧<t,y>∈H) Û $t ($s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H)Û $t $s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H)Û $s (<x,s>∈F∧$t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H))Û $s (<x,s>∈F∧<s,y>∈G∘H)Û <x,y>∈F∘(G∘H)所以 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)(2) 任取<x,y>,<x,y>∈(F∘G)-1Û <y,x>∈F∘GÛ $t (<y,t>∈F∧(t,x)∈G)Û $t (<x,t>∈G-1∧(t,y)∈F-1)Û <x,y>∈G-1∘F-1所以 (F∘G)-1 = G-1∘F-1幂运算设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：(1) R0={<x,x> | x∈A }=I A(2) R n+1 = R n∘R注意：对于A上的任何关系R1和R2都有R 10 = R20 = IA对于A上的任何关系R 都有R1 = R性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只有个.当列出R 的各次幂R0, R1, R2, …, , …,必存在自然数s 和t 使得R s=R t.定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则(1) R m∘R n=R m+n(2) (R m)n=R mn证用归纳法(1) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有R m∘R0=R m∘I=R m=R m+0A假设R m∘R n=R m+n, 则有R m∘R n+1=R m∘(R n∘R)=(R m∘R n)∘R=R m+n+1 ,所以对一切m, n∈N有R m∘R n=R m+n.(2) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.若n=0, 则有(R m)0=I A=R0=R m×0假设 (R m)n=R mn, 则有(R m)n+1=(R m)n∘R m=(R mn)∘R m=R mn+m=R m(n+1)所以对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.4.3 关系的性质自反性反自反性定义设R为A上的关系,(1) 若"x(x∈A→<x,x>ÎR), 则称R在A上是自反的.(2) 若"x(x∈A→<x,x>ÏR), 则称R在A上是反自反的.实例：反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A小于等于关系L A, 整除关系D A反自反关系：实数集上的小于关系幂集上的真包含关系例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{<1,1>,<2,2>}1R＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}2R＝{<1,3>}3R自反,2R反自反,3R既不是自反也不是反自反的1对称性反对称性定义设R为A上的关系,(1) 若"x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R), 则称R为A上对称的关系.(2) 若x"y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y), 则称R为A上的反对称关系.实例：对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系Æ反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,其中R＝{<1,1>,<2,2>}，R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}1R＝{<1,2>,<1,3>}，R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}3R对称、反对称.1R对称，不反对称.2R反对称，不对称.3R不对称、也不反对称.4传递性定义设R为A上的关系, 若"x"y"z(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R),则称R是A上的传递关系.实例：A上的全域关系E,恒等关系I A和空关系ÆA小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，真包含关系例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R＝{<1,1>,<2,2>}1R＝{<1,2>,<2,3>}2R＝{<1,3>}3R和R3 是A上的传递关系1R不是A上的传递关系2关系性质的充要条件设R为A上的关系, 则(1) R在A上自反当且仅当I A ÍR(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=Æ(3) R在A上对称当且仅当R=R-1(4) R在A上反对称当且仅当R∩R-1ÍI A(5) R在A上传递当且仅当R°RÍR证明模式证明R在A上自反任取x,xÎAÞ ……………..….……. Þ <x,x>ÎR前提推理过程结论例4 证明若I A ÍR ，则 R在A上自反.证任取x,xÎA Þ <x,x> ÎIÞ <x,x>ÎRA因此R 在A 上是自反的.证明模式证明R在A上对称任取<x, y><x,y>ÎRÞ……………..….……. Þ <y,x>ÎR前提推理过程结论例5 证明若R=R-1 , 则R在A上对称.证任取<x,y><x,y>ÎR Þ <y,x>ÎR-1Þ <x,y>ÎR因此R 在A 上是对称的.证明模式证明R在A上反对称任取<x, y><x,y>ÎRÙ<y,x>ÎRÞ ………..………. Þ x=y前提推理过程结论例6 证明若R∩R-1ÍI A , 则R在A上反对称.证任取<x,y><x,y>ÎR Ù<y, x>ÎRÞ <x,y>ÎR Ù<x,y>ÎR-1Þ <x,y>ÎR∩R-1Þ <x,y>ÎI AÞ x=y因此R 在A 上是反对称的.证明模式证明R在A上传递任取<x, y>，<y, z><x,y>ÎRÙ<y, z>ÎRÞ…..………. Þ <x,z>ÎR前提推理过程结论例7 证明若R°RÍR , 则R在A上传递.证任取<x,y>，<y, z><x,y>ÎR Ù<y,z>ÎRÞ <x,z>ÎR°RÞ <x,z>ÎR因此R 在A 上是传递的.4.4 关系的闭包闭包定义定义设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R¢, 使得R¢满足以下条件：（1）R¢是自反的（对称的或传递的）（2）RÍR¢（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R¢¢ 有R¢ÍR¢¢. 一般将R 的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).闭包的构造方法定理1 设R为A上的关系, 则有(1) r(R) = R∪R0(2) s(R) = R∪R-1(3) t(R) = R∪R2∪R3∪…说明：对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过R n. 若R是自反的，则r(R)=R; 若R是对称的，则s(R)=R; 若R是传递的，则t(R)=R. 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, M r, M s 和M t , 则M= M + ErM= M + M’sM= M + M2 + M3 + …tE 是和M 同阶的单位矩阵, M’是M 的转置矩阵.注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, G r, G s, G t , 则G r, G s, G t 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边：考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到G r . 考察G的每条边, 如果有一条x i 到x j 的单向边, i≠j, 则在G中加一条x j 到x i 的反方向边，最终得到G s. 考察G的每个顶点x i, 找从x i 出发的每一条路径，如果从x i 到路径中任何结点x j 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图G t .4.5 等价关系和偏序关系定义设R 为非空集合上的关系. 如果R 是自反的、对称的和传递的, 则称R 为 A 上的等价关系. 设R 是一个等价关系, 若<x,y>∈R, 称x 等价于y, 记做x～y.实例设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R：R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) }其中x≡y(mod 3) 叫做x 与y 模3相等, 即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等.验证模 3 相等关系R 为A上的等价关系, 因为"x∈A, 有x ≡ x(mod 3)"x, y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3)"x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3),则有x≡z(mod 3)自反性、对称性、传递性得到验证定义设R为非空集合A上的等价关系, "x∈A，令[x]R = { y | y∈A∧xRy }称 [x]R 为x 关于R 的等价类, 简称为x 的等价类, 简记为[x].实例A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}等价类的性质：定理1 设R是非空集合A上的等价关系, 则(1) "x∈A, [x] 是A的非空子集.(2) "x, y∈A, 如果x R y, 则 [x]=[y].(3) "x, y∈A, 如果x y, 则 [x]与[y]不交.(4) ∪{ [x] | x∈A}=A，即所有等价类的并集就是A.A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：[1]=[4]=[7]={1,4,7}，[2]=[5]=[8]={2,5,8}，[3]=[6]={3,6}以上3 类两两不交，{1,4,7}È{2,5,8}È{3,6} = {1,2, (8)定义设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做A/R, A/R = { [x]R| x∈A }实例A={1,2,…,8},A关于模3等价关系R的商集为A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }A关于恒等关系和全域关系的商集为：A/I= { {1},{2}, … ,{8}}AA/E= { {1, 2, … ,8} }A集合的划分：定义设A为非空集合, 若A的子集族π(πÍP(A)) 满足下面条件：(1) ÆÏπ(2) "x"y (x,y∈π∧x≠y→x∩y=Æ)(3) ∪π=A则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.例1 设A＝{a, b, c, d},给定π1,π2,π3,π4,π5,π6如下：π= { {a, b, c}, {d} }，π2= { {a, b}, {c}, {d} }1π= { {a}, {a, b, c, d} }, π4= { {a, b}, {c} }3π= { Æ,{a, b}, {c, d} }, π6= { {a, {a}}, {b, c, d} }5则π1和π2是A的划分, 其他都不是A 的划分.为什么？等价关系与划分的一一对应商集A/R 就是A 的一个划分不同的商集对应于不同的划分任给A 的一个划分π, 如下定义A 上的关系R：R = {<x,y> | x,y∈A∧x 与y 在π的同一划分块中}则R 为A上的等价关系, 且该等价关系确定的商集就是π.例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系求解思路：先做出A的所有划分, 然后根据划分写出对应的等价关系.例3 设A={1, 2, 3, 4}，在A´A上定义二元关系R：<<x,y>,<u,v>>ÎR Û x+y = u+v，求R 导出的划分.解A´A={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>,<4,2>, <4,3>, <4 ,4>}根据 <x,y> 的x + y = 2,3,4,5,6,7,8 将A´A划分成7个等价类：(A´A)/R={ {<1,1>}, {<1,2>,<2,1>},{<1,3>, <2,2>, <3,1>},{<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>},{<2,4>, <3,3>, <4,2>},{<3,4>, <4,3>}, {<4,4>} }定义非空集合A上的自反、反对称和传递的关系，称为A上的偏序关系，记作≼. 设≼为偏序关系, 如果<x, y>∈≼, 则记作x≼y, 读作x“小于或等于”y. 实例集合A上的恒等关系I A 是A上的偏序关系.小于或等于关系, 整除关系和包含关系也是相应集合上的偏序关系.x与y 可比：设R为非空集合A上的偏序关系,x,yÎA, x与y可比Û x≼y ∨y≼x.结论：任取两个元素x和y, 可能有下述情况：x≺y (或y≺x), x＝y, x与y不是可比的.全序关系：R为非空集合A上的偏序, "x,yÎA, x与y 都是可比的，则称R 为全序（或线序）实例：数集上的小于或等于关系是全序关系整除关系不是正整数集合上的全序关系覆盖：设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果x ≺y且不存在zÎA 使得x ≺z ≺y, 则称y 覆盖x.实例：{ 1, 2, 4, 6 }集合上的整除关系,2 覆盖 1,4 和 6 覆盖 2.4 不覆盖 1.定义集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记作 <A,≼>.实例：整数集和小于等于关系构成偏序集<Z,≤>，幂集P(A)和包含关系构成偏序集<P(A),RÍ>.哈斯图：利用偏序自反、反对称、传递性简化的关系图特点：每个结点没有环，两个连通的结点之间的序关系通过结点位置的高低表示，位置低的元素的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点之间连边偏序集的特定元素定义设<A,≼>为偏序集, BÍA, y∈B.(1) 若"x(x∈B→y≼x) 成立, 则称y 为B 的最小元.(2) 若"x(x∈B→x≼y) 成立, 则称y 为B 的最大元.(3) 若Ø$x (x∈B∧x ≺y) 成立, 则称y 为B的极小元.(4) 若Ø$x (x∈B∧y ≺x) 成立, 则称y 为B的极大元.特殊元素的性质对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个.最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一.最小元一定是极小元；最大元一定是极大元.孤立结点既是极小元，也是极大元.定义设<A, ≼>为偏序集, BÍA, yÎA.(1) 若"x(x∈B→x≼y) 成立, 则称y 为B的上界.(2) 若"x(x∈B→y≼x) 成立, 则称y 为B的下界.(3) 令C＝{y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界或上确界.(4) 令D＝{y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界或下确界.特殊元素的性质下界、上界、下确界、上确界不一定存在下界、上界存在不一定惟一下确界、上确界如果存在，则惟一集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对.4.6 函数的定义和性质函数定义：定义设F 为二元关系, 若 "x∈dom F 都存在唯一的y∈ran F 使xFy 成立, 则称F 为函数. 对于函数F, 如果有xFy, 则记作y=F(x), 并称y 为F 在x 的值.例1 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}F={<x1,y1>,<x1,y2>}2F是函数, F2不是函数1函数相等：定义设F, G为函数, 则F =G Û FÍG∧GÍF如果两个函数F 和G 相等, 一定满足下面两个条件：(1) dom F = dom G(2) "x∈dom F = dom G 都有F(x) = G(x)实例函数F(x)=(x2-1)/(x+1), G(x)=x-1不相等, 因为 dom FÌdom G.定义设A, B为集合, 如果f 为函数dom f = Aran f Í B,则称f 为从A到B的函数, 记作f：A→B.实例f：N→N, f(x)=2x 是从N 到N 的函数g：N→N, g(x)=2也是从N 到N 的函数定义所有从A 到B 的函数的集合记作B A,读作“B上A”，符号化表示为B A ={ f | f：A→B }计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=n m.A=Æ, 则B A=BÆ={Æ}.A≠Æ且B=Æ, 则B A=ÆA= Æ.例2 设A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求B A.解B A = {f0, f1, … , f7}, 其中f={<1,a>,<2,a>,<3,a>}, f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>}f={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}2f={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}4f={<1,b>,<2,b>,<3,a>}, f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}6定义设函数f：A→B, A1ÍA.A在f 下的像：f(A1) = { f(x) | x∈A1 }1函数的像f(A)注意：函数值f(x)∈B, 而像f(A1)ÍB.函数的性质定义设f：A→B,（1）若ran f = B, 则称f：A→B是满射的.（2）若 "y∈ran f 都存在唯一的x∈A使得f(x)=y, 则称f：A→B是单射的. （3）若f：A→B既是满射又是单射的, 则称f：A→B是双射的f满射意味着："y ÎB, 都存在xÎA使得 f(x) = y.f 单射意味着：f(x) = f(x2) Þ x1= x21例4判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?(1) f：R→R, f(x) = -x2+2x-1(2) f：Z+→R, f(x) = ln x, Z+为正整数集(3) f：R→Z, f(x) = ëxû(4) f：R→R, f(x) = 2x+1(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.解 (1) f：R→R, f(x)=-x2+2x-1在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射.(2) f：Z+→R, f(x)=ln x单调上升, 是单射. 但不满射, ran f={ln1, ln2, …}.(3) f：R→Z, f(x)= ëxû满射, 但不单射, 例如f(1.5)=f(1.2)=1.(4) f：R→R, f(x)=2x+1满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ran f=R.(5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射.构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}解 A={Æ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={ f, f1, … , f7 }, 其中f={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},f={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},2f={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},4f={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.6令f：A→B,f(Æ)=f, f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,f({1,2})=f, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f74常函数、恒等函数、单调函数1. 设f：A→B, 若存在c∈B 使得 "x∈A 都有f(x)=c, 则称f：A→B是常函数.2. 称A 上的恒等关系I A为A 上的恒等函数, 对所有的x∈A 都有I A(x)=x.3. 设f：R→R，如果对任意的x1, x2∈R，x1<x2, 就有f(x1) £ f(x2), 则称f 为单调递增的；如果对任意的x1, x2∈A, x1< x2, 就有f(x1) < f(x2), 则称f 为严格单调递增的.类似可以定义单调递减和严格单调递减的函数.例8 (1) A的每一个子集A’都对应于一个特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如A={a, b, c}, 则有= { <a,0>, <b,0>, <c,0> }，cÆc= { <a,1>, <b,1>, <c,0>}{a,b}(2) 给定集合A，A 上不同的等价关系确定不同的自然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如A={1, 2, 3}, R={<1,2>,<2,1>}∪IAg(1) = g(2) = {1,2}, g(3) = {3}4.7 函数的复合和反函数函数复合的定理定理设F, G是函数, 则F∘G也是函数, 且满足(1) dom(F∘G)={ x | x∈dom F Ù F(x)∈dom G}(2) "x∈dom(F∘G) 有F∘G(x) = G(F(x))推论1 设F, G, H为函数, 则 (F∘G)∘H 和F∘(G∘H)都是函数, 且 (F∘G)∘H = F∘(G∘H)推论2 设f：A→B, g：B→C, 则f∘g：A→C, 且"x∈A 都有f∘g(x) = g(f(x)).函数复合运算的性质定理设f：A→B, g：B→C.(1) 如果f：A→B, g：B→C 都是满射的, 则f∘g：A→C也是满射的.(2) 如果f：A→B, g：B→C 都是单射的, 则f∘g：A→C也是单射的.(3) 如果f：A→B, g：B→C 都是双射的, 则f∘g：A→C也是双射的.证 (1) "c∈C, 由g：B→C 的满射性, $b∈B 使得g(b)=c. 对这个b, 由f：A→B 的满射性，$a∈A使得f(a)=b. 由合成定理有f∘g(a)=g(f(a))=g(b)=c从而证明了f∘g：A→C是满射的.(2) 假设存在x1, x2∈A使得f∘g(x1) = f∘g(x2)由合成定理有g(f(x1))=g(f(x2)).因为g：B→C是单射的, 故f(x1)=f(x2). 又由于f：A→B也是单射的, 所以x1=x2. 从而证明f∘g：A→C是单射的.(3) 由 (1) 和 (2) 得证.定理设f: A®B，则f = f∘I= I A∘fB反函数存在的条件任给函数F, 它的逆F -1不一定是函数, 是二元关系.实例：F={<a,b>,<c,b>}，F -1={<b,a>,<b,c>}任给单射函数f：A→B, 则f -1是函数, 且是从 ran f 到A的双射函数, 但不一定是从B 到A 的双射函数.实例：f : N →N, f(x) = 2x,f -1 : ran f→N, f -1 (x) = x/2反函数定理设f：A→B是双射的, 则f -1：B→A也是双射的.证因为f 是函数, 所以f -1 是关系, 且dom f -1 = ran f = B , ran f -1 = dom f = A,对于任意的y∈B = dom f -1, 假设有x1, x2∈A使得<y,x1>∈f -1∧<y,x2>∈f -1成立, 则由逆的定义有<x1,y>∈f∧<x2,y>∈f根据f 的单射性可得x1 = x2, 从而证明了f -1是函数，且是满射的. 下面证明f -1的单射性.若存在y1, y2∈B 使得f -1 (y1) = f -1 (y2) = x, 从而有<y1,x>∈f -1∧<y2,x>∈f -1Þ <x,y1>∈f∧<x,y2>∈fÞ y1 = y2反函数的定义及性质对于双射函数f：A→B, 称f -1：B→A是它的反函数.反函数的性质定理设f：A→B是双射的, 则f -1∘f = I, f∘f -1 = I AB对于双射函数f：A→A, 有f -1∘f = f∘f -1 = IA函数复合与反函数的计算问题描述——多机调度问题：有2台机器c1, c2；6项任务t1, t2, …, t6. 每项任务的加工时间分别为：l(t)=l(t3)=l(t5)=l(t6)=1, l(t2)=l(t4)=21任务之间的顺序约束是：任务t3只有在t6和t5完成之后才能开始加工；任务t2只有在t6, t5和t4都完成后才能开始加工；任务t1只有在t3和t2完成之后才能开始加工.调度：任务安排在机器上加工的方案截止时间：开始时刻0，最后停止加工机器的停机时刻问题描述集合任务集T={t1, t2, ... , t n}, nÎZ+机器集M={c1, c2, ... , c m}，mÎZ+时间集 N函数和关系加工时间——函数l:T®Z+.顺序约束R ——T上的偏序关系，定义为R={<t i, t j>| t i, t jÎT, i=j 或t i 完成后t j 才可以开始加工}可行调度分配到机器：T 的划分 p={T, T2, ... , T m}，划分块T j 是T 的非空子集，1由安排在机器c j上加工的所有任务组成.每个机器上的任务开始时间"T jÎp，存在调度函数 s j:T j®N，满足以下条件：(1) 任意时刻i，每台机器上正在加工至多1个任务"i, 0 £ i<D,| { t k| t kÎT j, s j(t k)£i<s j(t k)+l(t k) }| £1, j=1, 2, …, m(2) 任务的安排满足偏序约束"t iÎT i, t jÎT j, <t i,t j>ÎRÛ s i(t i)+l(t i)£s j(t j) i, j=1, 2, …, m机器j 的停止时间D=max{s j(t k)| t kÎT j}+l(t k)j所有任务的截止时间D=max{D| j=1,2,...,m}.j我们的问题就是确定使得D达到最小的可行调度.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
二元关系逆关系
二元关系逆关系二元关系是数学中重要的概念之一，它将两个集合中的元素进行配对，形成一种关系。
在二元关系中，每个元素都与另一个元素配对。
例如，在集合A={1,2,3}和集合B={4,5,6}中，可以构建一个二元关系R={(1,4),(2,5),(3,6)}，其中(1,4)表示A中的1与B中的4配对。
这个关系可以通过箭头图表示。
但是，在实际问题中，有时需要考虑元素之间的相反关系，即逆关系。
逆关系是指如果关系R中有(a,b)，则逆关系R-1中有(b,a)。
例如，在上面的例子中，关系R中有(1,4)，则逆关系R-1中有(4,1)。
逆关系的概念可以帮助我们更好地理解二元关系。
例如，在社交网络中，如果A关注了B，则可以构建一个二元关系R={(A,B)}，表示A关注了B。
逆关系R-1={(B,A)}则表示B被A关注。
逆关系的概念可以帮助我们更好地分析社交网络中的关系。
逆关系还可以用来判断一个关系是否是对称关系。
对称关系是指如果关系R中有(a,b)，则逆关系R-1中也有(a,b)。
例如，关系R={(1,2),(2,1)}是对称关系，因为它的逆关系R-1={(2,1),(1,2)}也是这样的关系。
逆关系在实际问题中有广泛的应用。
在数据库中，逆关系可以用来处理关系型数据库中的数据，例如在电子商务中，可以通过逆关系来处理用户和商品之间的关系。
在社交网络中，逆关系可以用来分析用户之间的关注关系。
在机器学习中，逆关系可以用来构建分类器和聚类器。
总之，逆关系是二元关系中重要的概念之一，它可以帮助我们更好地理解和分析实际问题中的关系。
在实际应用中，逆关系的概念无处不在，可以帮助我们更好地处理数据，分析关系，并从中挖掘出有价值的信息。
11第十一次课(二元关系运算与函数)1
11第十一次课(二元关系运算与函数)1离散数学第三章--- 二元关系Functions 函数在实际问题中，在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关系，而是具有某些特殊性质的关系。
为了更好的处理而是具有某些特殊性质的关系。
这些关系，有必要深入研究关系的性质。
这些关系，有必要深入研究关系的性质。
对A上的关系上的关系来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、反对称性、传递性。
反对称性、传递性。
2011-2-27Hongzhi Qiao, XiDian Univ.离散数学第三章--- 二元关系上的关系R, 对A上的关系，若对任意的上的关系上自反的关系；称R为A上自反的关系；若对任意的为上自反的关系则称R为上非自反的关系则称为A上非自反的关系这个定义也可以写成：这个定义也可以写成：在A上是自反的上是自反的在A上是非自反的上是非自反的2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ.都有都有,则，离散数学第三章--- 二元关系如果R是上自反的上自反的，如果是A上自反的，Functions 函数则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是(即的主对角线元素都是1( 则关系矩阵的主对角线元素都是1),关系图G(R)的每个顶点都有自圈。
),关系图的每个顶点都有自圈。
),关系图的每个顶点都有自圈如果R是A上非自反的，如果是上非自反的，上非自反的都的主对角线元素都是0, 则M(R)的主对角线元素都是，G(R)的每个顶点的主对角线元素都是的每个顶点都没有自圈。
都没有自圈。
2011-2-27 Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 3离散数学第三章--- 二元关系在非空集合A上的恒等关系例1 在非空集合上的恒等关系都是自反的。
在非空集合A上的空关系例2 在非空集合上的空关系集合N上的小于关系是非自反的。
集合上的小于关系是非自反的。
和全关系是非自反的。
二元函数中值定理的简单应用
目录一、引言 (1)二、主要定理的证明、应用 (1)2.1二元函数中值定理的第一种形式 (1)2.11定理及推论的证明 (1)2.12定理及推论的应用 (2)2.2二元函数中值定理的第二种形式 (5)2.21定理及推论的证明 (5)2.22定理及推论的应用 (5)2.3二元函数中值定理的不等式形式 (6)2.31定理及推论的证明 (6)2.32定理及推论的应用 (8)三、结论 (9)四、参考文献 (9)五、致谢 (9)数学科学学院本科学年论文二元函数中值定理的简单应用二元函数中值定理的简单应用内容摘要给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型.在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容.此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理.关键词：二元函数中值定理一、引言我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理.二、主要定理的证明、应用2.1二元函数中值定理的第一种形式2.11定理及推论的证明定理 1 若二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的邻域G 存在两个偏导数，则G y y x x ∈∆+∆+∀),(00，全改变量0000,(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 证明：显然，若点G y y x x ∈∆+∆+),(00，则点)(0,0y y x ∆+与G y x x ∈∆+),(00，且连接两点),(00y y x x ∆+∆+与),(00y y x ∆+或),(00y y x x ∆+∆+与),(00y x x ∆+的线段也属于G ，如图1,为此，将全改变量z ∆改写为如下形式：),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)],(),([)],(),([00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 上述等式右端第一个方括号内，y y y ∆+=0是常数，只是x 由0x 变到x x ∆+0；第二个方括号内0x x =是常数，只是y 由0y 变到y y ∆+0.根据一元函数中值定理，有),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 2.12 定理及推论的应用定理2 若二元函数),(y x f 在点),(000y x p 的邻域G 存在两个偏导数，且两个偏 数在点),(000y x p 连续，则二元函数),(y x f 在点),(000y x p 可微. 证明：（利用二元函数中值定理）G y y x x ∈∆+∆+∀),(00，根据定理，将全改变量z ∆写为：),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 已知偏导数在),(000y x p 连续，有.),('),('00010αθ+=∆+∆+y x f y y x x f x x 0lim 0=→αρβθ+=∆+),('),('00200y x f y y x f y y 0lim 0=→βρ从而有.),('),('0000y x y y x f x y x f z x x ∆+∆+∆+∆=∆βαρβραρβαy x yx ∆+∆≤∆+∆0→+≤βα )0(→ρ或 )(ρβαo y x =∆+∆ 于是， ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)(),('),('0000ρo y y x f x y x f x x +∆+∆= 即函数),(y x f 在点),(000y x p 可微.注：偏导数连续是二元函数可微的充分条件，而不是必要条件.定理3 若二元函数),(y x F z =在以点),(00y x 为中心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1) ),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续（从而),(y x F 在D 连续）； 2) 0),(00=y x F ； 3) 0),('≠y x F y . 则：1) 0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =（隐函数）使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且ββ+<<-00)(y x f y . 2) )(x f y =在区间连续.3) )(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=.证明：1) 的证明未涉及到本文提到的二元函数中值定理，故略之，直接用其结论.2) 隐函数)(x f y =在区间∆连续，只需证明，∆∈∀x ，函数)(x f y =在x 连续， 已知),('y x F x 与),('y x F y 闭区间);(0000ββαα+≤≤-+≤≤-y y y x x x G 连续.且0),('>y x F y .则),('y x F x 在G 有上界，),('y x F y 在G 有下界.即0>∃M 与0>m ，G y x ∈∀),(，有M y x F x ≤),('与m y x F y ≥),('给自变量x 该变量x ∆，使∆∈∆+x x ，相应的有函数)(x f y =的该变量y ∆，即)()(x f x x f y -∆+=∆或)(x x f y y ∆+=∆+ 且 ),(00ββ+-∈∆+y y y y ， 已知 0),(=y x F 与.0),(=∆+∆+x y x x F).,(),(0y x F x y x x F -∆+∆+=).,(),(),(),(y x F y y x f y y x F x y x x F -∆++∆+-∆+∆+=根据二元函数中值定理，有，.),('),('021y y y x F x y y x x F y x ∆∆++∆∆+∆+=θθ （1） 其中10,1021<<<<θθ，将(1)式改写为 x y y x F y y x x F x f x x f y y x ∆∆+∆+∆+-=-∆+=∆),('),(')()(201θθ有 )()(x f x x f y -∆+=∆.),('),('21x mMx y y x F y y x x F y x ∆≤∆∆+∆+∆+-=θθ于是=∆→∆y x 0lim 0lim →∆x .0)]()([=-∆+x f x x f即隐函数)(x f y =在x 连续，从而在∆连续.3) 隐函数)(x f y =在区间∆有连续导数，∆∈∀x ，由（1）式，有-=∆∆x y),('),('21y y x F y y x x F y x∆+∆+∆+θθ 其中10,1021<<<<θθ.已知)(x f y =在x 连续，从而当0→∆x 时，有0→∆y ，又可知),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续，有=)('x f 0lim→∆x x y∆∆00lim→∆→∆-=y x ),('),('201y y x F y y x x F y x ∆+∆+∆+θθ-=),('),('y x F y x F y x )0),('(≠y x F y 即隐函数)(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=注：为使层次分明，定理2的结论分为三部分，实际上，这三部分可以合并，叙述以下更加简明的形式“则存在点0x 的邻域∆，在∆存在唯一一个有连续导数的隐函数)(x f y =，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=. 2.2二元函数中值定理的第二种形式2.21定理及推论的证明定理4 设二元函数f 在凸区域2R D ⊂上连续，在D 所有的内点都可微，则对D 内任意两点,),(),,(D k b h a Q b a P ∈++存在某)10(<<θθ使得 ),(),(b a f k b h a f -++.),('),('k k b h a f h k b h a f y x θθθθ+++++= （2）证明：令 ).,()(tk b th a f t ++=ϕ它是定义在]1,0[上的一元函数，由定理中的条件知)(t ϕ在]1,0[上连续，在]1,0[可微，于是根据一元函数中值定理，存在)10(<<θθ使得)(')0()1(θϕϕϕ=- （3） 由复合函数的求导法则，k k b h a f h k b h a f y x ),('),(')('θθθθθϕ+++++= （4） 由于D 是凸区域，所以.),(D k b h a ∈++θθ故由（3）、（4）即得所要证的（2）式. 2.22 定理及推论的应用 定理5（中值定理的推论）若二元函数二元函数),(y x f 在凸区域D 上存在偏导数，且0),('),('==y x f y x f y x ，则),(y x f 在区域D 上是常函数.证明：,),(),,(00D y x y x ∈∀因为D 是区域⇒存在一条完全属于D 的折线将),(),,(00y x y x 连接，不妨设这折线的转接点依次是：).,(),,(),(),,(),,(11221100y x y x y x y x y x k k --⋅⋅⋅ （记y y x x k k ==,）不失一般性，可以使这些点适当的接近，从而使折线段 ),(),(11++→i i i i y x y x 11,0-⋅⋅⋅=k i也全部在区域D 内，因为),(y x f 在区域内存在偏导数，且0),('),('==y x f y x f y x 故利用中值定理),(11y x f ),(00y x f -))]((),(['01010010x x y y y x x x f x --+-+=θθ))]((),(['01010010y y y y y x x x f y --+-++θθ0=其中10<<θ.从而有 ),(11y x f ),(00y x f =同理推得,),(00y x f ),(11y x f =).,(),(),(1122y x f y x f y x f k k ==⋅⋅⋅==-- 将),(00y x 点确定),(y x 在D 中随意选取上式均成立，由此得证结论成立. 例1 通过对y x y x F cos sin ),(=施用中值定理，证明对某)1,0(∈θ有6sin3sin 66cos 3cos 343πθπθππθπθπ-= 解：二元函数y x y x F cos sin ),(=在2R 上连续且可微，由中值定理知，对D 内两点)0,0(),(=b a 及).6,3(),(ππ=++k b h a )1,0(∈∃θ，有 =-++),(),(b a F k b h a F .),('),('k k b h a F h k b h a F y x θθθθ+++++⇒ =-)0,0()6,3(F F ππ6sin 3sin66cos 3cos 3πθπθππθπθπ- 即， .6sin 3sin 66cos 3cos 343πθπθππθπθπ-=2.3二元函数中值定理的不等式形式2.31定理推论的证明定理6 设二元函数),(y x f 在凸区域2R D ∈内任取一点，沿任意方向的方向导lf∂∂存在一 致有界，即存在n m ,使得,n lfm ≤∂∂≤则对D 内任意两点),,(b a P ),(k b h a Q ++有 ,),()()(n Q P P f Q f m ≤-≤ρ 其中22),(k h Q P +=ρ （5）1P 0Q 1Q 为证这个定理，先叙述一个引理.引理 设二元函数),(y x f 在凸区域D 的内点),(0b a P 沿方向L 的方向导数存在，),(y x f 在点0P 沿方向L 连续.证明:设),(y x P 为L 上的点（含于D 内），则由=-)()(0P f P f ),,(),()()(Q P Q P P f Q f ρρ-令+→0),(Q P ρ便得结论. 定理的证明：对任意,','n m ,'m m <.'n n < 先证'),()()('n Q P P f Q f m ≤-≤ρ （6）然后在（6）式取极限 ,'m m → .'n n →（先固定Q P ,）便可得（1）. 用反证法（6）式，假设存在D 内点Q P ,使'),()()(n Q P P f Q f >-ρ （7）则).(),(')(1111P f Q P n Q f +>ρ把线段11Q P 上各点按到点1P 的距离大小排列，线段11Q P 上任意两点21,t t ，当1t 到1P 的距离小于2t 到1P 的距离时，就记为,21t t <从而 可令}),()(),(')(|inf{1110Q t Q t g P f p t n t f Q Q <<=+>=ρ由引理，),(y x f 沿方向11Q P 连续，故有,101Q Q P <≤且).(),(')(1111P f Q P n Q f +=ρ 如图2.对,10Q Q Q <≤),()()(00Q Q Q f Q f ρ-'.),()](),('[)(),('011011n Q Q P f P Q n P f P Q n =+-+>ρρρf ⇒在0Q 沿11Q P 方向导数n n lf>≥∂∂'矛盾.所以，'),()()(n Q P P f Q f ≤-ρ类似可证（6）式左边，从而(5)式成立.推论 设二元函数),(y x f 在凸区域D 的内任意一点沿任意方向的方向导数lf∂∂存在且一 致有界，即存在,0>M 使.||M lf≤∂∂则对D 任意两内点Q P ,有, ),(|)()(|Q P M Q f P f ρ⋅≤- 2.32定理及推论的应用 定理7（连续性充分条件）若二元函数),(y x f 在点0P 的某邻域)(0P U 内的点沿任意方向的方向导数一致有 界，则),(y x f 在)(0P U 内连续.证明：对Q P ,∈)(0P U ，有推论,0>∃M 使 ),(|)()(|Q P M Q f P f ρ⋅≤-.0>∀ε取,Mεδ=当δρ<),(Q P 时， ε≤-|)()(|Q f P f所以，),(y x f 在点0P 的邻域)(0P U 连续.定理8 设二元函数),(y x f 在凸区域D 内任意一点沿任意方向的方向导数存在且一致有 界，则),(y x f 在D 内一致连续. 证明：设在D 内任意一点M l f ≤∂∂||（M 为正常数）则,0>∀ε取,Mεδ=.,D Q P ∈∀只要 .),(δρ<Q P便有 εερ=⋅<⋅≤-MM Q P M Q f P f ),(|)()(|故),(y x f 在D 内一致连续.结论通过本文，我们了解了二元函数中值定理的三种不同形式：含1θ、2θ两个参变量、含θ一个参变量以及不等式形式.二元函数作为一元函数向多元函数的过渡，在我们学习了一元函数中值定理之并领略其重要作用后，利用二元函数作为多元代表，进一步去研究中值定理在多元函数中的作用.在本文中，我们粗略的给出定理的应用，但是已经能够窥知中值定理，这一伟大的定理在研究多元函数起着举足轻重的作用.参考文献[1]同济大学数学研究室. 高等数学(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社，1988.[2]T.M菲赫金哥尔茨,北京大学高等数学教研室. 微积分教程[M]. 北京：人民教育出版社，1956.[3]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M]. 北京：高的教育出版社，1991.[4]华东师范大学数学系. 数学分析（第三版）[M]. 北京：高的教育出版社，2001.[5]朱正佑. 数学分析[M]. 上海：上海大学出版社，2001.[6]刘玉链. 数学分析[M]. 北京：高的教育出版社，2008.[7]张宇萍. 多元函数中值定理[J]. 西安联合大学学报，1999，2（2）：249-252.[8]李日光，欧苡. 多元函数中值定理的不等式形式[J]. 广西师范学报（自然学报），2000，17（1）：88-90.。
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例， １
ｉ ） ｉ ）０ ｆｙ ｓ ，ｙ（） ｘ： ｎ ， 寿 ， ， ≠０
【． ０ ，）０ ）＝ ，
（） ２ 偏导数存在等连续 ｚｊ ，） ００的偏导数存在仅仅表 示 曲线 ｚｊ ，） ｚ Ｏ ｙ 在 （ ＝ｘ ｙ ￣ 在（，） ＝ ｘ Ｄ（ ４（，） 或 轴方 向的变 化率存在 ， 除此 ￣ 或 ） 而对
导数 等之 间的关系 ．
２连 续 性 与 偏 导 数 存 在 互 不 蕴 涵
（） １连续秀偏 导数存在 元 函数中连续是可导的必要不充分条件， 一个典型 的例子：
一
） ：
唁 。 ≠
【 ，Ｏ ０ ｘ －
不难 验证／ ） ｘ Ｏ 在 ＝ 处连续但不可导． 虽然二元 函数偏 导数 并不是真 正意义的导数 ， 但我们不难 由例 １ 构造 出一 二元 函数在 （，） ０ ０点连续但
段。 不过 常 见 于各 类 参 考 书 中 的反 例 结 构 较 复 杂 ， 乏 直 观 性 ． 文 从 一 元 函数 中所 举 反 例 出发 给 出几 个 直 观 缺 本 明显 。 非 常容 易想 到 的 例 子来 说 明二 元 函数 的 几 个 关 键概 念 间 的相 互 关 系。 又 关键 词 ： 二元 函数 ； 续 性 ； 导数 ； 向 导 数 连 偏 方
收稿 日期 ：０ ８０ — ５ ２０ － ２ ２
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３偏 导 数存 在 与 方 向导 数存 在 互不 蕴 涵
（） 向导数存在 偏导数存在 １方 首先我们明确下方向导数在 （，） ００ 定义 ：ｍｆ ｃｓ ，ｉ Ｏ ｊ ， ｌ ｌ ｏＯｐｓ ）￣ Ｏ ｉ ｐ ｎ －Ｏ ）
二 元 函数 中三 个 互 不 蕴 涵 关 系 的反 例 构 造
张 梅
（ 州 学 院 数 学 系 ， 徽 滁 州 ２ ９０ ） 滁 安 ３０ ０
摘 要 ： 二 元 函数 的教 学 中 ， 反 例 是 帮 助 学 生 理 解 一 元 函数 与 二 元 函数 分 析 性 质 的 区别 与 联 系的 重 要 手 在 举
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第 ｌ ０卷 第 ３期 ２ｏ ０ ８年 ５ 月
滁 州 学 院 学 报
ＪＵ Ｎ Ｌ Ｏ Ｈ Ｚ Ｏ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ ０ Ｒ Ａ Ｆ Ｃ Ｕ Ｈ Ｕ Ｕ ＩＥ Ｓ Ｙ Ｔ
Ｖｏ ．０ １１ Ｎｏ３ 。
Ｍａ 。０ ８ ｙ２ ０
而
Ｊ ｌ
ｌ 血 ｉ ｍ
Ｐ
ｐｏＯｐｓＯ＝ 。 ｃｓ ，ｉ ）｛ ｎ
，
ｌ 、 ／ １ ，
：
， ｌ
其 它
： ∞ 在 （ ，） ＋ ０ ０ 点方 向导数 不存在．
，
在 这个例子 中， 我们通过一系列收敛于 原点的 同心 圆环 （ 每个 圆环有 四个断点 ） 破坏 了除两坐标轴外的 所 有趋 向于（ ， ） ０ ０ 的射 线的连 续性进 而影响 了方 向导数 的存在 １
【 审稿 ： 慧卿： 杨 责编： 谭玉明】
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虽然二元 函数可微是连续 ， 偏导数存 在 ， 向导数存在 的充分 条件 ， 方 但后三者之 间两 两互不蕴涵．
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。
ｐ
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般容易错误地认为方向导数是蕴涵着偏导数的。不过我们要注意到这是一个单侧极限式， 与偏导数不同。
先考虑一个简单的一元函数例子： 例３ 如； ＝ Ｉ、 ， ＿ ／ 在原 点 ｘ Ｏ处 ， ＝ 我们断定函数在 ｘ Ｏ不可 导 ， ＝ 因为它的两个单侧极 限都 存在但不等 。我们将例 ３ 直接推
以外的区域没有规定． 甚至不能保证 曲面 ｚｊ ，） ０ ０的连续性 （ ＝ｘｙ ￣ 在（，） 我们可 以把连续 性看成 是 ‘ 面面俱 到 ’ ！ 的）
如
ｒ， ０
例２
， ０ｙ ｏ ， ＝
【． １其它
显然 ｚｊ ，） （， ） ＝ ｘ ｙ ０ ０ 处偏导数都存在且为 ０ 但在（ ，） ￣ 在 ， ０ ０ 处不连续！
中图分类号： １２ １ ０ ７ ．
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：６ ３ １９ ２ ０ ） ３ ０ １— ２ １ ７— ７ ４（０ ８ ０ — ０ ８ ０
作者简介 ： 梅（９ ０ ） 女， 苏徐 州人 ， 张 １ ８一 ， 江 滁州学院教学 系．
１引 言
二元函数是一 元函数的推广 ， 其分 析性质与 一元 函数有很 多类似 ， 同时也有很多本质 区别． 但 我们可 以 借助 一元 函数分析性质研究 中的反例来构造反例 以说 明二元函数的一些 主要概念如 连续性 、偏导数和方 向
广 到二元 函数 中得到：
例 ３
ｆ ， ＾ ＋ Ｉ ＼ ？ ｃ ，
不难 计算：
ｌ ｉ ｍ
ｒ ． ：－ｏ
二 Ｑ
ｔｘ —（ １Ｕ ． ＝．
即 ， 不存在 ， ０ ） 类似可得 ０ ０ 也不存在 ． ’）
但ｌ 血 ｉ ｍ
Ｐ
－ｍ ｌ监 ｉ
Ｐ
： 即方 向导数 存在． １
．
（ ） 导数存在参方 向导数存在 ２偏 我们 可 以沿例 ２的思路构 造出偏４
Ｊ ｘ＝Ｏ ｒ ｘ＝Ｏ ０ ０
、 ／ ＝ 且 ｘ ，≠０ ＃Ｏ， ，
， ｌ
【 其 它 ０
容 易得到 ｚ ￣ ，） ０ ｏ处两个偏 导数 存在 ， ＝ ｘ，在（，） Ｊ ，
４连续性与方 向导数存在互不蕴涵
（） １连续参 向导数存在
连续但不 存在 方向导数 的例子 不难 给 出 ， 为了方便计算 。仿照例 １ 可得 ：
，
＝ ｛
【， ０
ｎ （） 寿 ０ ’ ｏ
， ＝０ ｏ ， （，） ， ）
（ ） 向导数存在参连续 ２方
，
簇 如