09年中考数学一轮复习专题训练34

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人教版中考数学一轮复习数学式解答题专题提升训练

2022-2023学年人教版中考数学一轮复习《数与式》解答题专题提升训练（附答案）1．计算：（1）（）÷；（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．2．计算：（1）﹣1[3+（﹣3）2]÷（﹣1）；（2）（﹣+）÷（﹣）；（3）（）÷（﹣）﹣；（4）﹣12022﹣（1﹣0.5）×[2﹣（﹣3）2]．3．计算：（1）；（2）．4．计算：﹣32+（﹣1）2021+（﹣π）0﹣﹣（﹣）2．5．（1）已知a＝2﹣4444，b＝3﹣3333，c＝5﹣2222，请用“＜”把它们按从小到大的顺序连接起来，说明理由．（2）请探索使得等式（2x+3）x+2021＝1成立的x的值．6．已知A＝x+，B＝．①当x为何值时，A、B互为相反数？②当x为何值时，2A﹣B＝1？7．计算：（1）﹣12022+﹣|1﹣|+﹣；（2）20222﹣2021×2023；（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2；（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）．8．已知A＝3b2﹣2a2+5ab，B＝4ab+2b2﹣a2．（1）化简：2A﹣3B；（2）当a＝﹣1，b＝4时，求2A﹣3B的值．9．先化简，再求值：﹣（3a2﹣4ab）+[a2﹣2（2a+2ab）]，其中a＝﹣2，b＝2022．10．已知A＝2ax3﹣3bx+6，当x＝﹣1时，A的值为10．（1）当a＝2时，求b的值．（2）当x＝﹣2时，A的值为12b﹣20a+k，求k的值．（3）设，当x＝1时，比较A与B的大小．11．阅读材料：求1+2+22+23+24+ (2100)首先设S＝1+2+22+23+24+…+2100①，则2S＝2+22+23+24+25+…+2101②，②﹣①得S＝2101﹣1，即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1．以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．请你根据上面的材料，解决下列问题：（1）1+2+22+23+24+ (22000)（2）1++（）2+（）3+（）4+…+（）2000；（3）求1+3+32+33+34+…+32022的值．12．下面是某同学对多项式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4因式分解的过程．解：设9x2﹣6x＝y，则原式＝（y+3）（y﹣﹣1）+4…第一步＝y2+2y+1…第二步＝（y+1）2…第三步＝（9x2﹣6x+1）2…第四步解答下列问题：（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是；A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）老师说该同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果；（3）请你尝试用以上方法对多项式n（n2+3n+2）（n+3）+1进行因式分解．13．已知下面一系列等式：①1×＝1﹣；②＝﹣；③×＝﹣；④×＝﹣…（1）请你根据这些等式的结构特征，写出第n（n为正整数）个等式：．（2）验证一下你写出的等式是否成立．（3）利用等式计算：++…+．14．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成了如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）：方法1：；方法2：．（2）观察图2，请你写出代数式（a十b）2，a2+b2，ab之间的等量关系式．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知a+b＝6，a2+b2＝26，求ab的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，求（x﹣2022）2的值．15．请同学观察、计算、思考完成下列问题：计算：（1）（a﹣b）（a+b）＝；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（3）（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；猜想并验证：（4）（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+a2b n﹣2+ab n﹣1+b n）＝；思考：（5）求22022+22021+22020+…+23+22+21的值．16．观察下列各式：①；②；③．（1）按规律第⑩为；（2）用规律计算：．17．甲、乙两个批发店销售同一种苹果，甲批发店的价格为每千克6元，在乙批发店，当一次购买数量不超过50kg时，价格为每千克7元：当一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格为每千克7元，超过50kg部分的价格为每千克5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x（kg）（x＞0）．（1）如表中，a＝，b＝，c＝；一次购买苹果的数量（单位：kg）2050100…甲批发店花费（单位：元）120a600…乙批发店花费（单位：元）b350c…（2）分别用含x的代数式表示：①甲批发店所花费的钱数为；②当一次购买数量不超过50kg时，乙批发店所花费的钱数为；③当一次购买数量超过50kg时，乙批发店所花费的钱数为；（3）如果小王在同一个批发店一次性购买120kg的苹果，通过计算说明他在甲、乙两个批发店哪个更实惠．18．观察下列等式：第一个等式：a1＝＝×（1﹣）第二个等式：a2＝＝×（﹣）第三个等式：a3＝＝×（﹣）第四个等式：a4＝＝×（﹣）…回答下列问题：①按以上规律列出第五个等式：a5＝＝；②用含n的代数式表示第n个等式：a n＝（n为正整数）③求a1+a2+a3+a4+…+a2022的值．19．请利用绝对值的性质，解决下面问题：（1）已知a，b是有理数，当a＞0时，则＝；当b＜0时，则＝．（2）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．（3）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值．20．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，（1）写出数轴上点B表示的数；（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：①：若|x﹣8|＝3，则x＝．②：|x+14|+|x﹣8|的最小值为．（3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．参考答案1．解：（1）（）÷＝（+﹣）×24＝×24+×24﹣×24＝6+9﹣14＝1；（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）＝（﹣1）×+×（﹣3）＝﹣+（﹣）＝﹣3．2．解：（1）﹣1[3+（﹣3）2]÷（﹣1）＝﹣1﹣×（3+9）×（﹣）＝﹣1﹣×12×（﹣）＝﹣1+＝；（2）（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣18）＝（﹣）×（﹣18）+×（﹣18）﹣×（﹣18）＝9﹣12+15＝﹣3+15＝12；（3）（）÷（﹣）﹣＝（）×（﹣）﹣＝（﹣）﹣+﹣2﹣＝﹣4+﹣﹣2＝﹣4﹣1﹣2＝﹣7；（4）﹣12022﹣（1﹣0.5）×[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣××（2﹣9）＝﹣1﹣××（﹣7）＝﹣1+＝．3．解：（1）原式＝＝1﹣3＝﹣2；（2）原式＝＝．4．解：原式＝﹣9﹣1+1﹣4﹣＝﹣13．5．解：（1）∵a＝2﹣4444＝（）1111，b＝3﹣3333＝（）1111，c＝5﹣2222＝（）1111，又∵，∴（）1111＞（）1111＞（）1111，∴a＞c＞b；（2）∵（2x+3）x+2021＝1，∴2x+3＝1或2x+3＝﹣1且x+2021为偶数或2x+3＝0且x+2021≠0，解得：x＝﹣1或x﹣1.5．6．解：①∵A、B互为相反数，A＝x+，B＝，∴A+B＝0，∴x++＝0，4x+10+5（2x+1）＝0，x＝﹣；②∵2A﹣B＝1，A＝x+，B＝，∴2（x+）﹣＝1，x+1﹣＝1，x＝，8x＝10x+5，﹣2x＝5，x＝﹣．7．解：（1）﹣12002+﹣|1﹣|+﹣＝﹣1+5﹣（﹣1）﹣2﹣3＝﹣1+5﹣+1﹣2﹣3＝﹣；（2）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1；（3）﹣a6•a5÷a3﹣（a2）3•（﹣3a）2＝﹣a6•a5÷a3﹣a6×9a2＝﹣a8﹣9a8＝﹣10a8；（4）[（x﹣3y）2﹣7（x+y）（y﹣x）+（2x﹣y）（2y+x）]÷（﹣x）＝[x2﹣6xy+9y2﹣7（y2﹣x2）+4xy+2x2﹣2y2﹣xy]÷（﹣）＝（x2﹣6xy+9y2﹣7y2+7x2+4xy+2x2﹣2y2﹣xy）÷（﹣x）＝（10x2﹣3xy）÷（﹣x）＝﹣20x+6y．8．解：（1）2A﹣3B＝2（3b2﹣2a2+5ab）﹣3（4ab+2b2﹣a2）＝6b2﹣4a2+10ab﹣12ab﹣6b2+3a2＝﹣a2﹣2ab．（2）当a＝﹣1，b＝4时，2A﹣3B＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）×4＝﹣1+8＝7．9．解：﹣（3a2﹣4ab）+[a2﹣2（2a+2ab）]＝﹣3a2+4ab+（a2﹣4a﹣4ab）＝﹣3a2+4ab+a2﹣4a﹣4ab＝﹣2a2﹣4a．当a＝﹣2，b＝2022时，原式＝﹣2×（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝﹣2×4+8＝﹣8+8＝0．10．解：（1）把x＝﹣1，a＝2，A＝10代入A＝2ax3﹣3bx+6，得：10＝2×2×（﹣1）3﹣3b×（﹣1）+6，整理，得：10＝﹣4+3b+6，解得：；（2）解：把x＝﹣2，A＝12b﹣20a+k代入A＝2ax3﹣3bx+6，得：12b﹣20a+k＝2a×（﹣2）3﹣3b×（12）+6，∴12b﹣20a+k＝﹣16a+6b+6，∴k＝﹣16a+6b+6﹣12b+20a＝4a﹣6b+6，∵当x＝﹣1时，A的值为10，∴10＝﹣2a+3b+6，即：2a﹣3b＝﹣4，∴k＝4a﹣6b+6＝2（2a﹣3b）+6＝2×（﹣4）+6＝﹣2；（3）当x＝1时，A＝2ax3﹣3bx+6＝2a﹣3b+6＝﹣4+6＝2，，∵n2+2≥2，∴B≥A．11．解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22000①，则2S＝2+22+23+24+…+22000+22001②，②﹣①得：S＝22001﹣1；（2）设S＝1++（）2+（）3+（）4+…+（）2000①，则S＝+（）2+（）3+（）4+…+（）2001②，①﹣②得：S＝1﹣（）2001，所以S＝2﹣2×（）2001＝2﹣（）2000．即1++（）2+（）3+（）4+…+（）2000＝2﹣（）2000；（3）设S＝1+3+32+33+34+…+32022①，则3S＝3+32+33+34+35+…+32023②，②﹣①得：2S＝32023﹣1，所以S＝，即1+3+32+33+34+…+32022＝．12．解：（1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的方法是：两个数和的完全平方公式，故选：C；（2）（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4＝（3x﹣1）4；（3）设n2+3n＝m，则原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（n2+3n+1）2．13．解：（1）第n（n为正整数）个等式为：×＝﹣，故答案为：×＝﹣；（2）∵左边＝，右边＝﹣＝，∴×＝﹣；（3）++…+＝﹣+﹣+……+﹣＝﹣＝．14．解：（1）方法1：大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各个部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，∴（a+b）2＝36，∵a2+b2＝26，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣26＝10，∴ab＝5．②令a＝x﹣2022，∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）]＝x﹣2022+1＝a+1，x﹣2023＝[x﹣（2022+1）]＝x﹣2022﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝48，解得a2＝23．∴（x﹣2022）2＝23．15．解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3，故答案为：a3﹣b3；（3）（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4，故答案为：a4﹣b4；（4）（a﹣b）（a n+a n﹣1b+a n﹣2b2+…+a2b n﹣2+ab n﹣1+b n）＝a n+1+a n b+a n﹣1b2+…+a3b n﹣2+a2b n﹣1+ab n﹣a n b﹣a n﹣1b2﹣…﹣a3b n﹣2﹣a2b n﹣1﹣ab n﹣b n+1＝a n+1﹣b n+1，故答案为：a n+1﹣b n+1；（5）22022+22021+22020+…+23+22+21＝（2﹣1）（22022+22021+22020+…+23+22+21+1）﹣（2﹣1）×1＝22023﹣1﹣1×1＝22023﹣1﹣1＝22023﹣2．16．解：（1）①；②；③．按规律第⑩为：﹣×＝﹣+，故答案为：﹣×＝﹣+；（2）原式＝﹣1+﹣++……﹣+＝﹣1+＝﹣．17．解：（1）①根据题意有，a＝50×6＝300，b＝20×7＝140，c＝50×7+50×5＝600，故答案为：300；140；600；（2）根据题意有，①6x；②7x；③50×7+（x﹣50）×5＝350+5x﹣250＝5x+100，故答案为：6x；7x；5x+100；（3）当x＝120 时，6x＝6×120＝720 （元）；5x+100＝5×120+100＝700 （元）；∵720＞700，∴乙批发店史实惠．18．解：（1）由所给式子，可得a5＝＝×（﹣），故答案为：，×（﹣）；（2）a n＝＝×（﹣），故答案为：＝×（﹣）；（3）a1+a2+a3+a4+…+a2022＝+++…+＝×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝×（1﹣）＝×＝．19．解：（1）∵a＞0，|a|＝a，∴＝1；∵b＜0，∴|b|＝﹣b，∴＝＝﹣1．故答案为：1，﹣1；（2）∵a+b+c＝0，abc＜0，∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设a＞0，b＞0，c＜0∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（a+c），c＝﹣（a+b），∴原式＝++＝﹣1﹣1+1＝﹣1；（3）①三个数同时大于0时，原式＝1+1+1＝3；②三个数同时小于0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；③一个数大于0，两个数小于0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；④两个数大于0，一个数小于0时，原式＝1+1﹣1＝1．综上所述，代数式的值为：3或﹣3或1或﹣1．20．解：（1）点B表示的数8﹣22＝﹣14．故答案为：﹣14；（2）①|x﹣8|＝3，x﹣8＝±3，则x＝5或11．故答案为：5或11；②|x+14|+|x﹣8|的最小值为8﹣（﹣14）＝22．故答案为：22；（3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是5t，则|8﹣2t|＝2，解得t＝3或t＝5．故当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2；（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4．此时P点表示的数是2t，Q点表示的数﹣14+4t，则|﹣14+4t﹣2t|＝4解得t＝9或t＝5．故当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4．。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题提优练习-一次函数和二次函数综合

2023年中考数学一轮复习专题提优练习一次函数和二次函数综合一、选择题1．二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝mx +n 的图象如图所示，则满足ax 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围是（）A ．﹣3＜x ＜0B ．x ＜﹣3或x ＞0C ．x ＜﹣3D ．0＜x ＜3第1题第2题2．如图，直线y ＝kx +b 与直线y ＝mx 相交于点A （﹣1，2），与x 轴相交于点B （﹣3，0），则关于x 的不等式组0＜kx +b ＜mx 的解集为（）A ．x ＞﹣3B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．﹣1＜x ＜0D ．﹣3＜x ＜03．已知二次函数y=－(x －h)2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为（）A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或64．用列表法画二次函数y=x 2+bx+c 的图象时先列一个表，当表中自变量x 的值以相等间隔增加时，函数y 所对应的值依次为：20, 56, 110, 182, 274, 380, 506, 650. 其中有一个值不正确，这个不正确的值是（）A ．505B ．380C ．274D ．1825．若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫作“整点”. 例如：P （1，0），Q （2，－2）都是“整点”. 抛物线y=mx 2－4mx+4m －2（m>0）与x 轴的交点为A ，B ，若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包含边界）恰有7个“整点”，则m 的取值范围是（）A ．121<≤m B ．121≤<m C ．1<m ≤2 D ．1≤m<26．四位同学在研究函数y=x 2+bx+c （b, c 是常数）时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2+bx+c=0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4. 已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．根据关于x 的一元二次方程x 2+px +q ＝0，可列表如下：则方程x 2+px +q ＝0的正数解满足（）x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 x 2+px +q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.842.29A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是28. 已知二次函数c bx x y ++=2中，函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：X … 0 1 2 3 … y…5212…点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数图象上，则当0<x 1<1，2<x 2<3时，y 1与y 2的大小关系正确性是（）A ．y 1≥y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1≤y 2二、填空题9．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的两个根分别是x 1＝1.3和x 2＝．10．如图，在抛物线y 1＝ax 2（a ＞0）和和y 2＝mx 2+nx （m ＜0）中，抛物线y 2的顶点在抛物线y 1上，且与x 轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a ﹣m ）x 2﹣nx ＜0的解集是．第9题第10题第11题第12题11．如图，二次函数y 1＝ax 2+bx +c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为﹣4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是．12. 如图是抛物线y=c bx ax ++2(0≠a )的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x 轴的一个交点为B （5，0），则由图像可知，不等式02>++c bx ax 的解集是________. 13. 如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx +c 的两个交点坐标分别为A （﹣2，4），B （1，1），则方程ax 2＝bx +c 的解是__________________．第13题第14题14．已知点A （﹣2，0），点P 是直线y ＝x 上的一个动点，当以A ，O ，P 为顶点的三角形面积是3时，点P 的坐标为．15. 对于二次函数322-==mx x y ，有下列说法：①它的图像与x 轴有两个公共点；②如果当x≤1时，y 随x 的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=－1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为－3. 其中正确的说法是___________（把你认为正确说法的序号都填上）. 三、解答题16．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点A （﹣1，0），点C （0，5），点D （1，8）都在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB 的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．17．如图①，将抛物线y ＝ax 2（﹣1＜a ＜0）平移到顶点恰好落在直线y ＝x ﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式（用含a 、m 的代数式表示）（2）如图②，Rt △ABC 与抛物线交于A 、D 、C 三点，∠B ＝90°，AB ∥x 轴，AD ＝2，BD ：BC ＝1：2．①求△ADC 的面积（用含a 的代数式表示）②若△ADC 的面积为1，当2m ﹣1≤x ≤2m +1时，y 的最大值为﹣3，求m 的值．18．如图1，平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+4x 与x 轴交于O 、A 两点．直线y ＝kx +m 经过抛物线的顶点B 及另一点D （D 与A 不重合），交y 轴于点C ．（1）当OA ＝4，OC ＝3时．①分别求该抛物线与直线BC 相应的函数表达式；②连结AC ，分别求出tan ∠CAO 、tan ∠BAC 的值，并说明∠CAO 与∠BAC 的大小关系；（2）如图2，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接CE ．当a 为任意负数时，试探究AB 与CE 的位置关系？19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO ＝∠ACO ，写出此时点P 的坐标；（3）若直线l ：y ＝kx （k ≠0）与线段BC 交于点D （不与点B ，C 重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B ，O ，D 为顶点的三角形与△BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由．20. 如图，抛物线y=ax ax 22（a<0）位于x 轴上方的图象记为F 1，它与x 轴交于P 1，O 两点，图象F 2与F 1关于原点O 对称，F 2与x 轴的另一个交点为P 2，将F 1与F 2同时沿x 轴向右平移P 1P 2的长度即可得F 5与F 6；……；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F 1，F 2，…，F n ，我们把这组图象称为“波浪抛物线”.（1）当a=－1时， ①求图象F 1的顶点坐标.②点H （2014，－3）________（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F n 的顶点T n 的横坐标为201，则图象F n 对应的解析式为__________，其自变量x 的取值范围为_________.（2）设图象F m ，F m+1的顶点分别为T m ，T m+1（m 为正整数），x 轴上一点Q 的坐标为（12，0）.试探究：当a 为何值时，以O ，T m ，T m+1，Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m 的值.21. 设二次函数)(2b a bx ax y +-+=（a ，b 是常数，a≠0）.（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.（2）若该二次函数图象经过A （－1，4），B （0，－1），C （1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.（3）若a+b<0，点P （2，m ）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a>0.22. 如图所示，已知二次函数c bx x y ++-=2的图像经过点C （0，3），与x 轴分别交于点A.点B （3，0）.点D （n, y 1）.E （n+t ，y 2）.F （n+4，y 3）都在这个二次函数的图像上，其中0<t<4，连接DE.DF.EF ，记ΔDEF 的面积为S.（1）求二次函数c bx x y ++-=2的表达式；（2）若n=0，求S 的最大值，并求此时t 的值；（3）若t=2，当n 取不同数值时，S 的值是否变化？如不变，求该定值；如变化，试用含n 的代数式表示S.23.如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）.C.H.N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．。

一元一次方程-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)

考向09 一元一次方程【考点梳理】1．一元一次方程的一般式：ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是常数，且a ≠0）.2．一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… 得到方程的解.3．列方程解应用题的常用公式：（1）行程问题：距离=速度·时间时间距离速度= 速度距离时间=；（2）工程问题：工作量=工效·工时工时工作量工效= 工效工作量工时=；（3）比率问题：部分=全体·比率全体部分比率= 比率部分全体=；（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；（5）商品价格问题：售价=定价·折·101 ，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；（6）周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abc ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.【题型探究】题型一：一元一次方程定义1．（2021·全国·九年级专题练习）关于x 的一元一次方程2224a x m --+=的解为1x =，则a m +的值为（）A ．9B ．8C ．7D ．52．（2022·广东·九年级专题练习）已知关于x 的方程()()22426k x k x k -+-=+是一元一次方程，则方程的解为（）A ．-2B ．2C ．-6D ．-13．（2019·福建漳州·校联考中考模拟）若x =2是关于x 的一元一次方程ax －2=b 的解，则3b －6a +2的值是( ).A ．－8B ．－4C ．8D ．4题型二：一元一次方程方程的解法4．（2022·贵州黔西·统考中考真题）小明解方程12123x x +--=的步骤如下：解：方程两边同乘6，得()()31122x x +-=-①去括号，得33122x x +-=-②移项，得32231x x -=--+③合并同类项，得4x =-④以上解题步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2023·河北·九年级专题练习）解方程221123x x --=-，嘉琪写出了以下过程：①去分母，得3(2)62(21)x x -=--；②去括号，得36642x x -=--；③移项、合并同类项，得710x =；④系数化为1，得107x =，开始出错的一步是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④6．（2022·重庆南岸·统考一模）解一元一次方程()()11151753x x +=--的过程如下．解：去分母，得()()3151557x x +=--． ①去括号，得3451557x x +=-+． ②移项、合并同类项，得823x =-． ③化未知数系数为1，得823x =-． ④ 以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④题型三：配套工程和销售问题7．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x 张彩纸制作圆柱侧面，则方程可列为（）A ．6020(200)x x =-B ．20260(200)x x =⨯-C ．26020(200)x x ⨯=-D ．22060(200)x x ⨯=-8．（2021·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考三模）某工程甲单独完成要25天，乙单独完成要20天．若乙先单独干10天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（）A ．101012025x ++=B ．101012520x ++=C ．101012520x -+=D ．101012520x -+= 9．（2022·贵州遵义·统考二模）如图为某披萨店的公告．某会员购买一个榴莲披萨付款83.6元，则一个榴莲披萨调价前的原价为（）A ．72．2元B ．78元C ．80元D ．96．8元题型四：比赛积分和数字问题10．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（）A ．14B ．15C ．16D ．1711．（2022·福建·模拟预测）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有x 间客房，则所列方程为（）A ．7x-7＝9x+9B ．7x +9＝9x+7C ．7x +7＝9x ﹣9D ．7x-7＝9x ﹣912．（2022·湖南长沙·模拟预测）《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．则买鸡的人数和鸡的价钱各是（）A ．8人，61文B ．9人，70文C ．10人，79文D ．11人，110文题型五：几何和差倍和水电问题13．（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，8cm AB =，4cm BC =，动点E 和F 同时从点A 出发，点E 以每秒2cm 的速度沿A D →的方向运动，到达点D 时停止，点F 以每秒4cm 的速度沿A B C D →→→的方向运动，到达点D 时停止．设点F 运动x （秒）时，AEF △的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．14．（2022·福建南平·统考模拟预测）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x ，则下面符合题意的方程是（）A ．9+11616x x =－B ．9+61611x x =+C ．9+11616x x =+D ．911616x x =+－15．（2018·四川绵阳·校联考中考模拟）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（）A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．19分钟题型六：行程比例和行程问题16．（2022·重庆璧山·统考一模）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到图书馆，小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店买水花费了5分钟，从商店出来后，爸爸的骑车速度比他之前的骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达图书馆．小明和爸爸两人离开家的路程s （米）与小明出发的时间t （分钟）之间的函数图像如图所示，则下列说法错误的是（）A ．17a =B ．小明的速度是150米/分钟C ．爸爸从家到商店的速度是200米/分钟D ．9t =时，爸爸追上小明17．（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（）A ．7x - 4 = 9x +8B ．7x +4 = 9x -8C ．4879x x +-=D ．4879x x -+= 18．（2019·湖北荆州·统考一模）在如图所示的2018年1月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是( )A ．23B ．51C ．65D ．75题型七：一元一次方程的综合19．（2019·重庆·统考中考真题）若关于x 的一元一次不等式组11(42)423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程24111y a y y y ---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．0B ．1C ．4D ．6 20．（2020·江苏盐城·统考中考真题）把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为：（）A ．1B ．3C ．4D ．621．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？【必刷基础】一、单选题22．（2022·重庆沙坪坝·统考一模）若关于x 的方程25x a +=的解是2x =，则a 的值为（）A ．9-B ．9C ．1-D ．123．（2022·辽宁营口·统考中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A ．24015015012x x +=⨯B ．24015024012x x -=⨯C ．24015024012x x +=⨯D ．24015015012x x -=⨯24．（2022·江苏苏州·统考中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（）A．60100100x x=-B．60100100x x=+C．10010060x x=+D．10010060x x=-25．（2022·云南昆明·云南师范大学实验中学校考三模）若整数a使关于x的方程21x a+=的解为负数，且使关于的不等式组()122113x axx⎧-->⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．6 B．7 C．9 D．1026．（2022·湖南长沙·长沙市湘郡培粹实验中学校考三模）周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（）A．15 B．14 C．13 D．1227．（2022·山东济宁·济宁市第十三中学校考一模）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：(1)若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只；(2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本＋生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润＝销售收入－投入总成本）．28．（2022·宁夏吴忠·校考一模）2020年，一场突如其来的疫情席卷全国，给人民生命、财产造成巨大损失，但英勇的中国人民不畏艰难，众志成城，最终取得了抗击疫情的阶段性胜利，疫情防控初期，某药店库存医用外科口罩10000副，进价2元/副，由于市民疯狂抢购，量价齐升，5天销售一空，通过5天的销售情况进行统计，得到数据如下：(1)求该药店这5天销售口罩的平均利润．(2)通过对上面表格分析，发现销售量y （副）与单价x （元/副）存在函数关系，求y 与x 的函数关系式．(3)该药店购进第二批口罩20000副，进价2.5元/副，虽然畅销，但被物价部门限价，每副口罩销售价为m 元，销售一半后，该药店响应国家号召，将剩余口罩全部捐献给了抗疫定点医院，若在两批口罩销售中，药店不亏也不赚，则m 的值是多少？【必刷培优】一、单选题29．（2022·云南德宏·统考模拟预测）若关于x 的方程()6324x k -=-的解为非负整数，且关于x 的不等式组()23432x x k x x ⎧-+≤-⎪⎨-≤⎪⎩无解，则符合条件的整数k 的值可以为（） A ．0 B ．3 C ．4 D ．630．（2023·全国·九年级专题练习）解方程2233522x x x x x--+=--，以下去分母正确的是（） A ．22335x x x ---=B ．22335x x x --+=C ．()223352x x x x ---=-D ．()223352x x x x --+=-31．（2022·广西钦州·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，此专著中有这样一道题：今有人共买鹅，人出九，盈十一；人出六，不足十六，人数、鹅价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一只鹅，若每人出9文钱，则多出11文钱；若每人出6文钱，则相差16文钱，求买鹅的人数和这只鹅的价格．设买鹅的人数有x 人，可列方程为（）A ．911616x x -=-B ．911616x x -=+C ．911616x x +=+D ．911616x x +=-32．（2022·河北·统考二模）数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a 和两张边长为()b a b >的正方形纸片如图1、图2所示，将它们无重叠的摆放在矩形ABCD 内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左下阴影矩形的周长为1l ，右上阴影矩形的周长为2l ．陈老师说，如果126l l -=，求a 或b 的值．下面是四位同学得出的结果，其中正确的是（）A ．甲：6a =，4b =B ．乙：6a =，b 的值不确定C ．丙：a 的值不确定，3b =D ．丁：a ，b 的值都不确二、填空题33．（2022·山东济南·山东师范大学第二附属中学校考模拟预测）已知224x x +=，且224120ax ax +-=，则22a a +的值为______．34．（2022·江苏扬州·校考二模）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”假设经过x 天相逢，则可列方程为_____．35．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）青团是清明节的一道极具特色的美食，据调查，广受消费者喜欢的口味分别是：红豆青团、肉松青团、水果青团，故批发商大量采购红豆青团、肉松青团、水果青团，为了获得最大利润，批发商需要统计数据，更好地进货．3月份批发商统计销量后发现，红豆青团、肉松青团、水果青团销量之比为2:3:4，随着市场的扩大，预计4月份青团总销量将在3月份基础上有所增加，其中水果青团增加的销量占总增加的销量的15，则水果青团销量将达到4月份总销量的13，为使红豆青团、肉松青团4月份的销量相等，则4月份肉松青团还需要增加的销量与4月份总销量之比为_____________．36．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程1103x -=是关于x 的不等式组2220x n n x -≤⎧⎨-<⎩的关联方程，则n 的取值范围是 ___________．37．（2022·北京西城·校考模拟预测）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况(见表格)，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊______个和钥匙扣______个，才能筹集到600元资金(即获得600元利润)．38．（2022·广西·统考中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．三、解答题39．（2022·福建泉州·校考三模）国庆黄金周，某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在商场内一次性消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．注：500~1000表示消费金额大于500元且小于或等于1000元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为1000元的商品，则消费金额为800元，获得的优惠额为1000(180%)60260⨯-+=（元）．(1)购买一件标价为1600元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)若顾客在该商场购买一件标价x 元(1250)x >的商品，那么该顾客获得的优惠额为多少？（用含有x 的代数式表示）(3)若顾客在该商场第一次购买一件标价x 元(1250)x >的商品后，第二次又购买了一件标价为500元的商品，两件商品的优惠额共为650元，则这名顾客第一次购买商品的标价为______元．40．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，数轴上a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，已知b 是最小的正整数，且a 、c 满足2(6)20c a -++＝．(1)①直接写出数a、c的值，；②求代数式222+-的值；a c ac(2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求与点B重合的点表示的数；(3)请在数轴上确定一点D，使得AD＝2BD，则D表示的数是．41．（2022·江苏镇江·统考中考真题）某地交警在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测，统计数据如下表：车速（km/h）40 41 42 43 44 45频数 6 8 15 a 3 2其中车速为40、43（单位：km/h）的车辆数分别占监测的车辆总数的12%、32%．(1)求出表格中a的值；(2)如果一辆汽车行驶的车速不超过40km/h的10%，就认定这辆车是安全行驶．若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数．42．（2022·广西玉林·统考二模）疫情期间，消毒液、口罩成为了咱们的生活必需品．淘宝某医用器械药房推出2种口罩进行销售，医用一次性口罩2.5元/个，医用外科口翠3元/个．(1)某地某学校购进两种口罩25000个，共花费70000元，请问学校购买医用外科口罩多少个？(2)因为4月份疫情逐渐过去，但口罩的市场需求盘依旧旺盛，该药房决定用320000元再次购进一批口罩进行销售．医用一次性口罩100个/盒，每盒120元，医用外科口罩50个/盒，每盒100元．要求购进的医用外科口罩个数不超过医用一次性口罩的2.6倍，但不低于医用一次性口罩的1.9倍．若这批口罩全部销售完毕，为使获利最大，该药房应如何进货？最大获利为多少元？43．（2021·贵州遵义·校考模拟预测）甲、乙两地间的直线公路长为400千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．1小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（千米）与轿车所用的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)货车的速度是______千米/小时；轿车的速度是______千米/小时．(2)求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)求货车出发多长时间两车相距90千米．参考答案：1．C【分析】先根据一元一次方程的定义可得出a 的值，再根据一元一次方程的解定义可求出m 的值，然后代入求值即可．【详解】方程2224a x m --+=是关于x 的一元一次方程，21a ∴-=，解得3a =，∴方程为224x m -+=，又1x =是方程224x m -+=的解，2124m ∴⨯-+=，解得4m =，则347a m +=+=，故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、以及解定义，掌握理解一元一次方程的定义是解题关键．2．D【分析】利用一元一次方程的定义确定出k 的值，进而求出k 的值即可．【详解】解：∵方程()()22426k x k x k -+-=+是关于x 的一元一次方程，∴24020k k ⎧-=⎨-≠⎩，解得：k =-2，方程为-4x =-2+6，解得：x =-1，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．3．B【分析】根据已知条件与两个方程的关系，可知2a- 2= b ，即可求出3b-6a 的值，整体代入求值即可．【详解】把x=2代入ax －2=b ，得2a- 2= b ．所以3b-6a=-6．所以，3b －6a +2=-6+2=-4.故选B ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．4．A【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【详解】解：方程两边同乘6，得()()31622x x +-=-①∴开始出错的一步是①，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．5．B【分析】解决此题应先去括号，再移项，移项时要注意符号的变化．【详解】在第②步，去括号得36642x x -=--，等式右边去括号时忘记变号，故选B ．【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1；在移项时要注意符号的变化，此题是形式较简单的一元一次方程．6．B【分析】检查解一元一次方程的解题过程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数华为1，找出出错的步骤，以及出错的原因．【详解】第②步出现错误，3451557x x +=-+． ②错误的原因是去括号时出现错误，应该改为：34515535x x +=-+．故选：B【点睛】此题考查了解一元一次方程，解方程去括号时，要注意不要漏乘括号里的每一项．7．D【分析】根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设把x 张彩纸制作圆柱侧面，则有（200-x ）张纸作圆柱底面，根据题意可得：22060(200)x x ⨯=-故选：D ．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．8．D【分析】设甲、乙一共用x 天完成，根据题意，列出方程，即可求解．【详解】解：设甲、乙一共用x 天完成，根据题意得：101012520x -+=．故选：D【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．C【分析】根据原价和售价的关系，列方程计算即可．【详解】解：设原价为x 元，由题意，得（1+10%）×95%·x =83.6，解得：x =80．故选：C ．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用—打折销售，解题的关键是确定等量关系列方程求解．10．B【分析】设小红答对的个数为x 个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．【详解】解：设小红答对的个数为x 个，由题意得()52070x x --=，解得15x =，故选B ．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．11．C【分析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可．【详解】设该店有x 间客房，则7x+7=9x-9，故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．12．B【分析】买鸡的人数为x 人，根据“如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．”列出方程，即可求解．【详解】解：买鸡的人数为x 人，根据题意得：911616x x -=+ ，解得：9x = ，∴鸡的价钱为911991170x -=⨯-= ，答：买鸡的人数为9人，鸡的价钱为70文．故选：B【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．13．B【分析】由点的运动，可知点E 从点A 运动到点D ，用时2s ，点F 从点A 到点B ，用时2s ，从点B 运动到点C ，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C 运动到点D，用时2s，∴y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，AE＝2x，AF＝4x，•2x•4x＝4x2，∴y＝12这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，AE＝4，×4×8＝16，此时y＝12③当3＜x≤5时，×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．y＝12故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．14．D【分析】设买鸡的人数为x，根据鸡的价格不变，建立等量关系，列出相关方程即可．【详解】解：设买鸡的人数为x，则由题意有：－，=+x x911616故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，准确找到等量关系是解题的关键．15．D【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.【详解】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.16．D【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A ，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B ，利用设爸爸开始时车速为x 米/分，列方程求解即可确定C ，利用小明和爸爸行走路程一样，设t 分爸爸追上小明，列方程求解可知D ．【详解】解：A ．12517a +=＝，故A 正确，不合题意；B ．小明的速度为330022150÷=米/分，故B 正确，不合题意；C ．设爸爸开始时车速为x 米/分，()()1225603300x x -++=，解得200x =米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意；D ．设y 分爸爸追上小明，()1502200y y +=，解得：6y =，故9t =时，爸爸追上小明，选项不正确，符合题意故选：D ．【点睛】本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键．17．B【分析】直接根据题中等量关系列方程即可．【详解】解：根据题意，7x +4 = 9x －8，故选：B ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．18．B【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x ，则上面的数是x-7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x ，因而这三个数的和一定是3的倍数．【详解】设中间的数是x ，则上面的数是x-7，下面的数是x+7，则这三个数的和是（x-7）+x+（x+7）=3x ，因而这三个数的和一定是3的倍数，则，这三个数的和都为3的倍数，观察只有51与75是3的倍数，但75÷3=25，25+7=32不符合题意，所以这三个数的和可能为51，故选B ．。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题提优练习-反比例函数

DBAyxOC 2023年中考数学一轮复习专题练习反比例函数的应用一、选择题1. 已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图像大致可表示为（）A B C D 2. 在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 3. 如图，已知双曲线(0)ky k x =<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（）A ．12B ．9C ．6D ．44. 如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=（x ＞0）及y 2=（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1﹣k 2的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．﹣45. 若点A （﹣5，y 1），B （﹣3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数y=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 16. 在同一平面直角坐标系中，函数y =mx +m 与y =xm（m ≠0）的图象可能是（）A B C D二、填空题7. 如图，在反比例函数xy 2=（x ＞0））的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝＿＿＿＿＿＿．第7题第8题8. 如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O 左侧固定位置B 处悬挂重物A ，在中点O 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O 的距离x （cm ），观察弹簧秤的示数y （N ）的变化情况．实验数据记录如下：x （cm ）...10 15 20 25 30... y （N ） (30)201512 10…猜测y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式为．9. 某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是年度2008 2009 2010 2011 投入技术改进资金x （万元） 2.5 3 4 4.5 产品成本y （万元∕件）7.264.5410. 根据图1的程序，得到了y 与x 的函数图象，如图2，若点M 是y 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则下列结论：①x ＜0时，y=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ=2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°．其中正确的序号有____________.11. 以矩形OABC 的顶点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A . C 分别在x . y 轴的正y2y x =xOP 1 P 2 P 3 P 4 1234第11题第12题半轴上，双曲线y ＝（x ＞0）的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，过OC 边上一点F ，把△BCF 沿直线BF 翻折，使点C 落在矩形内部的一点C ′处，且C ′E ∥BC ，若点C ′的坐标为（2，4），则tan ∠CBF 的值为．12. 如图，P 1是反比例函数y ＝（k ＞0）在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为（2，0）．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，则A 2点的坐标为．三、解答题13. 写出函数解析式表示下列关系，并指出它们各是什么函数：（1）体积是常数V 时，圆柱的底面积S 与高h 的关系；（2）柳树乡共有耕地面积S （单位：hm 2），该乡人均耕地面积y （单位：hm 2/人）与全乡总人口x 的关系．14. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （m 3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这一函数的解析式；（2）当气体体积为1m 3时，气压是多少？（3）当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0.01m 3）15. 如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，sin ∠AOB=54，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S=12，求OA 的长和点C 的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P. O. A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．16. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y＝交于点A，B，点A的坐标为（6，3），以AB为一边作△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，AC交y轴于点D，BC交x 轴于点E，点P从A出发，沿A﹣C﹣B的路线运动．（1）求点C的坐标及AC对应的函数表达式；（2）点P运动过程中，当以点O，D，P为顶点的三角形与△ADO相似时（全等除外），求点P坐标；（3）如图③，连接OP，OC，M是OC中点，连接BM，过点C作CQ⊥OP于点Q，连接BQ，在点P的整个运动过程中，的最小值是．。

专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题34 利用相似解决四边形问题——几何综合（解析版）专题诠释：几何综合题是中考必考题型。

试题一般以全等或相似为中心 , 以四边形为重点 , 常常是三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.解题策略：解答几何综合题应注意 :(1) 注意观察、分析图形 , 把复杂的图形分解成几个基本图形 , 通过添加辅助线补全或构造基本图形 .(2) 掌握常规的证题方法和思路 ;(3) 运用转化的思想解决几何证明问题 , 运用方程的思想解决计算问题。

另外还用结合数学思想和方法。

第一部分专题典例剖析类型一利用相似解决平行四边形问题1．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且ED ＝BF ，连接AF ，CE ，AC ，EF ，且AC 与EF 相交于点O ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若AC 平分∠FAE ，AC ＝8，tan ∠DAC =34，求四边形AFCE 的面积．思路引领：（1）根据平行四边形性质得出AD ＝BC ．AE ∥FC ，根据等量减等量差相等，得出AE ＝FC ，从而证明四边形AFCE 是平行四边形；（2）先证明平行四边形AFCE 是菱形，根据三角函数求出EO ＝3，求出S △AEO =12AO •EO ＝6，从而求出四边形AFCE 的面积．（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ．AE ∥FC ，∵ED ＝BF ，∴AD ﹣ED ＝BC ﹣BF ，∴AE ＝FC ，∴四边形AFCE 是平行四边形；（2）解：∵AE ∥FC ，∴∠EAC ＝∠ACF ，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO=12AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC=3 4，∴EO＝3，∴S△AEO=12AO•EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．总结提升：本题考查了解直角三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键．2．（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14．（1）若AB＝8，求线段AD的长．（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．思路引领：（1）证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16，同理可得△EFC的面积＝9，根据面积差可得答案．解：（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD AB =DE BC =14，∵AB ＝8，∴AD ＝2；（2）∵△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =（DE BC ）2＝（14）2=116，∵△ADE 的面积为1，∴△ABC 的面积是16，∵四边形BFED 是平行四边形，∴EF ∥AB ，∴△EFC ∽△ABC ，∴S △EFC S △ABC =（34）2=916，∴△EFC 的面积＝9，∴平行四边形BFED 的面积＝16﹣9﹣1＝6．总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．3．（2021•长春）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝4，BD ＝8，点E 在边AD 上，AE =13AD ，连结BE 交AC 于点M ．（1）求AM 的长．（2）tan ∠MBO 的值为．思路引领：（1）由菱形的性质可得△AEM ∽△CBM ，再由AM CM =AE BC求解．（2）由tan ∠MBO =MO BO求解．解：（1）在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴△AEM∽△CBM，∴AMCM=AEBC，∵AE=13 AD，∴AE=13 BC，∴AMCM=AEBC=13，∴AM=13CM=14AC＝1．（2）∵AO=12AC＝2，BO=12BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM=12AO＝1，∴tan∠MBO=OMBO=14．故答案为：1 4．总结提升：本题考查菱形与直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的性质与解直角三角形的方法．类型二利用相似解决矩形问题4．（2022•玉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．思路引领：（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAF，∴△ADE∽△ABF，∴ADAB=DEBF，即48=aBF，∴BF＝2a，（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AG∥CE，∵GC∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．∴AG＝CE＝8﹣a，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如图，过点G作GM⊥AF于点M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴GMAE=GFEF，∴GM2AE2=GF2EF2，∴GM216+a2=5a25a2+80，∴GM＝a，∴GM＝BG，又∵GM⊥AF，GB⊥FC，∴GF是∠AFB的角平分线，∴EA＝EC，∴平行四边形AGCE是菱形．解法二：∵AG∥CE，CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AG＝CE，∵AB＝CD，∴BG＝DE＝a，∴tan∠EFC=GBBF=ECCF=12，∴EC＝a+2＝8﹣a∴a＝3，∴AE=32+42=5，∴AE＝CE＝5，∴四边形AGCE是菱形．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的判定、矩形性质等，解题关键是熟练掌握相关性质与判定．5．（2022•泰安）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．思路引领：（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解．（1）证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴EFOF=CFBF，∴23=CFBF，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴OFBF=BFAF，∴BF2＝OF•AF，∴BF2＝3（OA+3）②，联立①②，可得BF＝1±19（负值舍去），∴DE＝BE＝2+1+19=3+19．总结提升：本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．6．（2022秋•苏州期末）如图，矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在射线AB上向右运动，运动时间为t秒，连接DP交AC于点Q．（1）求证：△DCQ∽△PAQ；（2）若△ADQ是以AD为腰的等腰三角形，求运动时间t的值．思路引领：（1）由题意可知AB∥CD，从而可知∠DCQ＝∠PAQ，由∠DQC＝∠PQA，可证△DCQ∽△PAQ；（2）由矩形性质可得及勾股定理可知，AC＝5，DP=9+t2，分两种情况：①当AD＝AQ时，②当AD ＝DQ时，分别利用相似三角形列出比例式可求解得t的值．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCQ＝∠PAQ，又∵∠DQC＝∠PQA，∴△DCQ∽△PAQ；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，CD＝4，∴AC＝5，由题意知，AP＝t，DP=AD2+AP2=9+t2，①当AD＝AQ时，即：AQ＝3，CQ＝2∵△DCQ∽△PAQ，∴CQAQ=DCAP，即：23=4t，解得：t＝6；②当..时，即：DQ＝3，PQ=DP―DQ=9+t2―3∵△DCQ∽△PAQ，∴DQPQ=DCAP，即：39+t2―3=4t，整理得：34t+3=9+t2，两边同时平方得：916t2+92t+9=9+t2，整理得：t2―727t=0，解得：t=727或t＝0（舍去）．综上：△ADQ是以AD为腰的等腰三角形时，t＝6或t=72 7．总结提升：本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形定义、矩形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，分类讨论求解是解决问题的关键．类型三利用相似解决菱形问题7．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC 交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BEEC=14，则tan∠BCF的值为　．思路引领：（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；（2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB=15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．（1）证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝CD，∵DF＝DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：∵BEEC=14，∴CE＝4BE，设BE＝a，则CE＝4a，由（1）可知，四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，∴∠BEA＝∠BCF，∵∠ABC＝90°，∴AB=AE2―BE2=(4a)2―a2=15a，∴tan∠BCF＝tan∠BEA=ABBE=15aa=15，故答案为：15．总结提升：本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．8．（2022秋•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，经过点C 的直线分别与AB ，AD 的延长线相交于点P ，Q ，QB ，PD 相交于点O ．（Ⅰ）求证：BD 2＝PB •DQ ；（Ⅱ）求证：BD 2＝OD •PD ．思路引领：（Ⅰ）由四边形ABCD 是菱形，得到AB ＝AD ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据平行线的性质得到∠PBC ＝∠A ＝∠CDQ ，∠APQ ＝∠DCQ ，∠AEF ＝∠DCF ，于是求得△BCP ∽△CDQ ，得到BP CD=BC DQ ，等量代换即可得到BP BD =BD DQ ；（Ⅱ）推出△DBP ∽△QBD ，根据相似三角形的性质得到∠BED ＝∠FBD ，证得△BDO ∽△PBD ，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠PBC ＝∠A ＝∠CDQ ，∠APQ ＝∠DCQ ，∴△BCP ∽△CDQ ，∴BP CD =BC DQ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝BC ＝CD ，∴BP BD =BD DQ，∴BD 2＝PB •DQ ；（Ⅱ）∵BP BD =BD DQ，∵∠PBD ＝∠BDQ ＝120°，∴△DBP∽△QBD，∴∠BPD＝∠QBD，∵∠BDO＝∠BDP，∴△BDO∽△PBD，∴BDDP=DOBD，∴BD2＝OD•PD．总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．（2022秋•汝州市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE ∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）连接AE，交CD于点F，当∠ADB＝60°，AD＝43时，直接写出EA的长．思路引领：（1）先证四边形ODEC是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到∠DOC＝90°，根据矩形的定义即可判定四边形ODEC是矩形．（2）根据含30度角直角三角形的性质、勾股定理来求EA的长度即可．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）解：∵Rt△ADO中，∠ADO＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12AD＝23，AO＝6，∴AC＝12，EC＝23，∴AE＝233．总结提升：本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．10．（2022秋•白塔区月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．（1）求证：AF2＝EF•GF；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．思路引领：（1）先由菱形的性质得到AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，然后结合BF＝BF得到△ABF≌△CBF，进而得到AF＝CF；由菱形得到∠BAD＝∠BCD、AD∥BE，从而得到∠DAF＝∠DCF、∠DAF＝∠FEC，再结合∠CFG＝∠EFC得到△CFG∽△EFC，然后利用相似三角形的性质得到CF2＝EF•GF，最后结合AF＝CF得到AF2＝EF•GF；（2）先由∠BAD＝120°得到∠DCE＝60°，然后结合菱形边长为2得到CD的长，进而利用DE⊥BC 得到CE、AE的长，然后通过证明△FAD∽△FEB、△GAD∽△GEC，进而得到AF、AG的长，最后得到FG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，∴∠DAF＝∠FEC，∵△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，∴∠DAF＝∠DCF，∴∠GCF＝∠CEF，∵∠CFG＝∠EFC，∴△CFG∽△EFC，∴CFEF=FGCF，∴CF2＝EF•GF，∵AF＝CF，∴AF2＝EF•GF．（3）解：∵∠BAD＝120°，∴∠DCE＝60°，∵菱形边长为2，∴CD＝AD＝2，∵DE⊥BC，∴∠ADE＝∠CED＝90°，∴∠CDE＝30°，∴CE=12CD=1，DE=3，∴AE=AD2+DE2=22+(3)2=7，BE＝BC+CE＝2+1＝3，∵AD∥BE，∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，∴AFEF=ADBE=23，AGEG=ADCE=21，∴AF=25AE=275，AG=23AE=273，∴FG＝AG﹣AF=273―275=4715．总结提升：本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质得到相关的角相等．类型一利用相似解决正方形问题11．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，四边形DEFC是边长为4的正方形，且D、E、F分别在边AC、AB、BC上．把三角形ADE绕点E逆时针旋转一定的角度．（1）当点D与点F重合时，点A的对应点G落在边BC上，此时四边形ACGE的面积为；（2）当点D 的对应点D 1落在线段BE 上时，点A 的对应点为点A 1，在旋转过程中点A 经过的路程为l 1，点D 经过的路程为l 2，且l 1：l 2＝3：2，求线段AD 1的长．思路引领：（1）由题意可知，△ADE ≌△GFE ，所以S 四边形ACGE ＝S △ADE +S 四边形DCGE ＝S △GFE +S 四边形DCGE 等于正方形DEFC 的面积，求解即可；（2）由l 1：l 2＝3：2得AE DE =32，求出AE ＝6，在Rt △ADE 中，求出AD ，在Rt △AD 1A 1中，求出AD 1．解：（1）由题意可知，△ADE ≌△GFE ，DC ＝CF ＝EF ＝DE ＝4，∴S 四边形ACGE =S △ADE +S 四边形DCGE =S △GFE +S 四边形DCGE =S 正方形DCFE =DC 2=42=16，故答案为：16；（2）如图：设旋转角为n °，则l 1=nπ⋅AE 180，l 2=nπ⋅DE 180，∵l 1：l 2＝3：2，∴nπ⋅AE 180nπ⋅DE 180=AE DE =32，∵DE ＝4，∴AE ＝6，∴AD 1＝AE +D 1E ＝AE +DE ＝10，在Rt △ADE 中，AD =AE 2+DE 2=62+42=25，在Rt △AD 1A 1中，AD 1=AD 12+A 1D 12=102+(25)2=430．总结提升：本题考查了旋转的性质、正方形的性质、弧长公式、以及用勾股定理求线段长度；熟练利用旋转的性质、勾股定理求线段长度是解题的关键．12．（2022秋•成华区期末）如图，点E 是正方形ABCD 的对角线CA 延长线上一点，连接BE ，将BE 绕点B 顺时针旋转90°至BF ，连接EF ，EF 交AD 于点G ．（1）求证：△ABE ∽△AEG ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，点G 为AD 的中点，求AE 的长．思路引领：（1）由AB ＝CB ＝AD ＝CD ，∠ABC ＝∠D ＝90°，得∠BAC ＝∠DAC ＝45°，则∠BAE ＝∠EAC ＝180°﹣45°＝135°，由旋转得BE ＝BF ，∠EBF ＝90°，则∠BEF ＝45°，可推导出∠AEG ＝∠AEG ＝45°﹣∠AEB ，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABE ∽△AEG ；（2）由AB ＝AD ＝4，得AG =12AD ＝2，由△ABE ∽△AEG ，得AE AG =AB AE ，可求得AE ＝22．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ＝AD ＝CD ，∠ABC ＝∠D ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴∠BAE ＝∠EAC ＝180°﹣45°＝135°，∵将BE 绕点B 顺时针旋转90°得到BF ，∴BE ＝BF ，∠EBF ＝90°，∵∠BEF ＝∠F ＝45°，∴∠AEG ＝45°﹣∠AEB ，∵∠ABE ＝∠BAC ﹣∠AEB ＝45°﹣∠AEB ，∴∠ABE ＝∠AEG ，∴△ABE ∽△AEG ．（2）解：∵正方形ABCD 的边长为4，点G 为AD 的中点，∴AB ＝AD ＝4，∴AG =12AD ＝2，∵△ABE ∽△AEG ，∴AE AG =AB AE，∴AE 2＝AB •AG ＝4×2＝8，∴AE ＝22，∴AE 的长是22．总结提升：此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∠ABE ＝∠AEG 是解题的关键．13．（2022秋•洛阳期末）如图，把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0°＜n ＜90°）得到正方形ODEF ，DE 与BC 交于点P ，ED 的延长线交AB 于点Q ，交OA 的延长线于点M ，若BQ ：AQ ＝4：1，求AM 的值．思路引领：由BQ ：AQ ＝3：1，AQ ：AB ＝1：4，再由△ODM ∽△QAM 可得AM ：DM ＝1：4，设AM ＝x ，在Rt △ODM 中由勾股定理即可求解；解：∵BQ ：AQ ＝3：1，∴AQ AB =14，∵把边长为3的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转n °（0＜n ＜90）得到正方形ODEF ，∴OD ＝AB ＝OA ＝3，∠ODE ＝∠OAB ＝90°，∴∠ODM ＝∠QAM ＝90°，又∵∠M ＝∠M ，∴△ODM ∽△QAM ，∴AQ OD =AM DM =AQ AB =14，设AM ＝x ，则DM ＝4x ，OM ＝3+x ，在Rt△ODM中，由勾股定理得：OD2+DM2＝OM2，即32+（4x）2＝（3+x）2，解得：x=25或0（舍去），∴AM=2 5．总结提升：本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2022秋•邹平市校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．思路引领：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°．∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝4，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，在Rt △ADE 中，DE =AD 2+AE 2=32+32=32，∵△ADF ∽△DEC ，∴AD DE =AF DC，即332=AF 4，∴AF =4×332=22．总结提升：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质．第二部分专题提优训练1．（2023•偃师市一模）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ．已知四边形BFED 是平行四边形，DE BC =14．（1）若AB ＝12，求线段AD 的长．（2）若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．思路引领：（1）证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC 的面积是16，同理可得△EFC 的面积＝9，根据面积差可得答案．解：（1）∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC =14，∴AD＝3；（2）∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DEBC）2＝（14）2=116，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴S△EFCS△ABC=（34）2=916，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．总结提升：本题主要平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．2．（2022秋•济南期末）如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．（1）求证：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE=2，S△AEF=2 3．①求AB的长；②求△EBC的面积．思路引领：（1）根据平行四边形的性质，可以得到BA∥CD，然后即可得到∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，从而可以得到结论成立；（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长；②根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出△EBC的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF，∴AEDC=AFDF，∵AF：DF＝1：2，AE=2，∴2DC=12，∴DC＝22，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB＝22；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴S△EAFS△EBC=（EAEB）2，∵S△AEF=23，AB＝22，AE=2，∴EB＝EA+AB＝32，∴EAEB=232=13，∴23S△EBC=(13)2，解得S△EBC＝6，即△EBC的面积是6．总结提升：本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2022秋•金东区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，动点E在边BC上，连结DE，过点A 作AH⊥DE，垂足为H，AH交CD于F．（1）求证：△CDE∽△DAF；（2）当FC＝1时，求EC的长．思路引领：（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠BCD＝90°．根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到DC＝AB＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，又∵AH⊥DE，∴∠EDC＝90°﹣∠DFA＝∠DAF，∴△ADF∽△DCE；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝3，∵FC＝1，∴DF＝DC﹣FC＝2，∵△ADF∽△DCE，∴ADDC=DFEC，∴EC=DC⋅DFAD=3×26=1．总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．（2022秋•惠济区校级期末）如图1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为BD上的一个动点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF．（1）若点E与点B重合（如图2），判断AF与BD的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）若以A，F，B，E为顶点的四边形是平行四边形，BD＝3，请直接写出线段BE的长度．思路引领：（1）如图2，先根据矩形的性质得到AD ＝BC ，AD ∥BC ，然后判断四边形AFBD 为平行四边形，从而得到AF ＝BD ，AF ∥BD ；（2）当AB 为对角线时，如图1，先根据矩形的性质得到OC ＝OA ，OB ＝OD ，再根据三角形中位线的性质得到OE ∥AF ，OE =12AF ，当AB 为对角线时，如图1，根据平行四边形的性质得到AF ＝BE ，则OB =32BE ，此时BE ＝1；当AB 为边时，如图3，此时E 点与D 点重合，从而得到BE ＝BD ＝3．解：（1）AF ＝BD ，AF ∥BD ．理由如下：如图2，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵EF ＝CF ，∴EF ＝AD ，∵AD ∥EF ，∴四边形AFBD 为平行四边形，∴AF ＝BD ，AF ∥BD ．（2）∵四边形ABCD 为矩形，∴OC ＝OA ，OB ＝OD ，∵CE ＝EF ，∴OE ∥AF ，OE =12AF ，当AB 为对角线时，如图1，∵四边形AFBE 为平行四边形，∴AF ＝BE ，∴OB ＝OE +BE =32BE ，∵BD ＝3，∴32BE＝1.5，∴BE＝1；∴当AB为边时，如图3，∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB＝CE，而AB＝CD，∴此时E点与D点重合，∴BE＝BD＝3，综上所述，BE的长为1或3．总结提升：本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；也考查了平行四边形的判定和三角形中位线性质．5．（2022秋•路南区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，点P为AB边上一动点，DP交AC 于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒2个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC？思路引领：（1）根据矩形的性质可得CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DCQ＝∠QAP，∠PDC＝∠QPA，进而可得判定△APQ∽△CDQ；（2）首先证明△DAP∽△ABC，结合相似三角形即可得到t的值．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCQ＝∠QAP，∠PDC＝∠QPA，∴△APQ∽△CDQ；（2）解：当t＝2时，DP⊥AC；∵∠ADC＝90°，DP⊥AC，∴∠AQD＝∠AQP＝∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠APQ＝∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB，∴△DAP∽△ABC，∴DAAB=APBC，∴816=2t8解得：t＝2，即当t＝2时，DP⊥AC．总结提升：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．6．（2022秋•嘉定区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB 于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．思路引领：（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．（1）证明：∵EM⊥EC，∴∠AEM+∠DEC＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠DEC+∠ECD＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∵∠ANE＝∠DCE，∴∠ANE＝∠AEM．∵∠A＝∠A，∴△ANE∽△AEM，∴AEAN=AMAE．∴AE2＝AM•AN，∴AE是AM和AN的比例中项；（2）解：如图，AC=AD2+CD2=32+42=5．∵AC与NE互相垂直，∴∠AFE＝90°，∴∠ANE+∠NAF＝90°．∵∠NAF+∠CAD＝90°，∴∠ANE＝∠DAC．∵∠ANE＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠DCE ，∵∠D ＝∠D ，∴△EDC ∽△CAD ，∴CD AD =DE CD，∴34=DE 3，∴DE =94，∴AE ＝AD ﹣DE =74．∵EM ⊥EC ，∴∠AEM +∠DEC ＝90°．∵四边形ABCD 为矩形，∴∠MAE ＝∠D ＝90°，∴∠DEC +∠ECD ＝90°，∴∠AEM ＝∠DCE ，∴△AME ∽△DEC ，∴AE AM =CD DE，∴74AM =394，∴AM =2116．由（1）知：AE 2＝AM •AN ，∴AN =73，∴MN ＝AN ﹣AM =73―2116=4948．总结提升：本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022秋•唐河县期末）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点M 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿AB 向点B 运动，同时动点N 以2cm /s 的速度从点D 出发，沿DA 向点A 运动，设运动的时间为t 秒（0＜t ＜3）．（1）当t 为何值时，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的19？（2）是否存在某一时刻t ，使得以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）根据矩形的性质求出∠BAD ＝90°，求出AM 、AN ，根据三角形的面积公式，利用S =19×18建立方程，解之即可；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t 值即可说明存在，反之则不存在．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝6cm ，∠BAD ＝90°，AM ＝tcm ，AN ＝6﹣2t （cm ），∴S △AMN =12AN •AM =12×（6﹣2t ）×t ＝﹣（t ―32）2+94（0≤t ≤3），依题意得：﹣（t ―32）2+94=19×3×6，t 2﹣3t +2＝0，t 1＝2，t 2＝1．答：经过1秒或2秒时，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的19；（2）设运动时间为t 秒，由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（6﹣2t ）（cm ），AM ＝t （cm ），若△NMA ∽△ACD ，则有AD ：AN ＝CD ：AM ，即6：（6﹣2t ）＝3：t ，解得t ＝1.5，若△MNA ∽△ACD则有AD ：AM ＝CD ：AN ，即6：t ＝3：（6﹣2t ），解得t ＝2.4，答：当运动时间为1.5秒或2.4秒时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似．总结提升：本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．8．（2022秋•运城期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，连接AE交BD于点G，交CD于点H．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求证：DG2＝FG•BG；（3）若AB＝14，BC＝24，求线段GH的长度．思路引领：（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）由已知可证得△ADG∽△EBG，△AGF∽△EGD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到DG2＝FG•BG；（3）由已知可得到DH，AH的长，又因为△ADG∽△EBG，从而求得AG的长，则根据GH＝AH﹣AG 就得到了线段GH的长度．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵延长BC到点E，使CE＝BC，∴AD∥CE，AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）证明：∵ABCD是矩形，且AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，∴DGBG=AGGE，∵四边形ACED是平行四边形，∴AC∥DE，∵△AGF∽△EGD，∴AGEG=FGDG，∴DGBG=FGDG，∴DG2＝FG•BG；（3）解：∵四边形ACED为平行四边形，AE，CD相交点H，∴DH=12DC=12AB＝7，AD＝CE＝24，在Rt△ADH中，AH2＝AD2+DH2，∴AH＝25，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE＝50，∵△ADG∽△EBG，∴AGEG=ADBE=12，∴AG=12 GE，∴GE＝2AG，∴AG=13×AE=503，∴GH＝AH﹣AG=25 3．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理，正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．9．（2021秋•三原县期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝4，点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD．（1）求DE的长；（结果保留根号）（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，AF⊥EF．①求证：△AGE∽△DGF；②求DF的长．（提示：过点E作EH⊥CD于点H．）思路引领：（1）只要证明DE 是等边△DBC 的高即可解决问题；（2）①由△AGD ∽△EGF ，可得AG EG =DG FG ，推出AG DG =EG FG，又∠AGE ＝∠DGF ，即可推出△AGE ∽△DGF ；②求出CF 的长即可解决问题．（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ＝CD ，∵∠C ＝60°，∴△CDB 是等边三角形，∴DB ＝DC ＝AB ＝4，∵BE ＝EC∴DE ⊥BC ，∴DE ＝CD •sin C °＝23．（2）①证明：∵AD ∥BC∴∠ADG ＝∠DEC ＝90°，∴∠ADG ＝∠GFE ＝90°，又∵AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF ，∴AG EG =DG FG ，∴AG DG =EG FG ，∵∠AGE ＝∠DGF ，∴△AGE ∽△DGF ，②解：作EH ⊥CD 于H ．∵△AGE∽△DGF，∴∠EAG＝∠GDF＝30°，∵∠GFE＝∠ADG＝90°，∴EF=12AE=1242+(23)2=7，在Rt△ECH中，CH＝1，EH=3，在Rt△EFH中，FH=(7)2―(3)2=2，∴CF＝2+1＝3，∴DF＝CD﹣CF＝1．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．10．（2022•江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．思路引领：（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴ABAE=ACAB，∵AB＝6，AC＝4，∴6AE=46，∴AE=364=9．总结提升：本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．11．（2021秋•宝塔区校级期末）如图，在菱形ABOC中，对角线AO，BC相交于点D，BE⊥AC于点E，A0与BE交于点H．（1）求证：△BAD∽△HBD；（2）延长OC交BE的延长线于点F．求证：HB2＝HE•HF．思路引领：（1）由题意可知，∠ADB＝∠HEA＝90°．由互余及菱形的性质可知，∠CAD＝∠DBH＝∠BAD，由此可得结论；（2）如图，连接CH，由菱形的性质可知，AD垂直平分BC，所以HB＝HC，则∠HBC＝∠HCB．由平行的性质可得，∠HCF＝90°．可证△FHC∽△CHE，所以HC：HE＝HF：HC，进而可得结论．证明：（1）∵四边形ABOC是菱形，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝90°．∵BE⊥AC于点E，∵∠CAD+∠AHE＝∠DBH+∠BHD＝90°，∠AHE＝∠BHD，∴∠CAD＝∠DBH，∴∠BAD＝∠DBH．又∵∠ADB＝∠BDH，∴△BAD∽△HBD．（2）如图，连接CH，∵四边形ABOC是菱形，∴AD垂直平分BC，∴HB＝HC，∴∠HBC＝∠HCB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BEC＝90°，∴∠HBC+∠ACB＝90°，∴∠HCB+∠ABC＝90°．∵CF∥AB，∴∠ABC+∠HCB+∠HCF＝180°，∴∠HCF＝90°．∵∠HCF＝∠HEC＝90°，∠FHC＝∠CHE，∴△FHC∽△CHE，∴HC：HE＝HF：HC，∴HC2＝HE•HF，∴HB2＝HE•HF．总结提升：本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质及平行线的性质等若干几何知识点，具有一定的综合性与难度．12．（2022秋•未央区校级期末）已知有一块三角形材料∠ABC，其中BC＝120cm，高AD＝80cm，现需要在三角形ABC上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形EFGH的顶点E、F分别在边AB，AC上，H、G在BC上，裁下的正方形EFGH的边长是多少？思路引领：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出边长．解：∵正方形EFGH的边HG在BC上，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴EFBC=AMAD，∴设EF＝xcm，则EH＝EH＝MD＝xcm，∴x120=80―x80，∴解得：x＝48，∴这个正方形零件的边长为48cm．总结提升：本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．27．（2022秋•东明县校级期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB=13时，求S△CEFS△CDF的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12 BG．思路引领：（1）由四边形ABCD是正方形得BC＝AD，由CEEB =13得CEBC=14，则CEAD=14，再证明△CFE∽△AFD，得EFDF =CEAD=14，即可求得S△CEFS△CDF=EFDF=14；（2）由E是BC的中点得CE＝BE=12BC，则CE=12AD，再证明△CFE∽△AFD，得CFAF=CEAD=12，由FG∥AB，根据平行线分线段成比例定理得CGBG =CFAF=12，所以CG=12BG．（1）解：如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，∵CEEB=13，∴CEBC=14，∴CEAD=14，∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴EFDF=CEAD=14，∵△CEF与△CDF在EF、DF边上的高相等，∴S△CEFS△CDF=EFDF=14，∴S△CEFS△CDF的值是14．（2）证明：如图②，∵E是BC的中点，∴CE＝BE=12 BC，∴CE=12 AD，∵CE∥AD，∴△CFE∽△AFD，∴CFAF=CEAD=12，∵FG⊥BC于点G，∴∠FGC＝∠ABC＝90°，∴FG∥AB，∴CGBG=CFAF=12，∴CG=12 BG．总结提升：此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识，证明△CFE∽△AFD是解题的关键．。

2025年广西中考数学一轮复习小专题过关课件：专题14+中常用辅助线的探寻

解得m=2或m=9(舍去),
∴AN=3,∴AB=6.
(3)如图,连接AD与CM交于点E,
∵BD是直径,∴∠BAD=90°,
∴AD∥x轴,∴AD⊥MC,
由勾股定理可得AD=8,∴D(8,-2).
由(2)可得C(4,0),
设直线CD的解析式为y=kx+b,

−

+ =
=
∴
,解得
.
+ = −
=

∴直线CD的解析式为y=- x+2.

17.(全等证垂直)如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥
BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.
【解析】(1)连接OD,∵AD∥OC,

∴OP= × =4,

∵∠OBC=90°,∴BC2+OB2=OC2,
∵CP=CB,OB=OA=8,
∴BC2+82=(BC+4)2,解得BC=6,
∴CB的长为6.
16.(平行证垂直)如图,已知半径为5的☉M经过x轴上一点C,与y轴交于A,B两点,连
接AM,AC,AC平分∠OAM,AO+CO=6.
1
_______.
෽
9.如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长
线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC= 3,求AD的长.
【解析】(1)连接AC,
∵AB为直径,
∴∠ACB=∠ACE=90°,
෾
又∵点C是的中点,

2023年中考苏科版数学一轮复习专题练习-一次函数与反比例函数综合应用

2023年中考数学一轮复习专题练习一次函数与反比例函数综合应用一、选择题 1．下列式子：①y =3x −5；②y =x 1；③y=1-x ；④y 2=x ；⑤y =|x |，其中y 是x 的函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．点P （3，﹣1）关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．（﹣3，1）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，﹣3）D ．（3，1） 3.下列函数是反比例函数的是（）A ．2x y =B ．x y 1-=C ．y ＝x 2D ．y ＝2x ＋1 4.在反比例函数x m y 31-=的图像上有A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（）A ．m ＞31B ．m ＜31C ．m≥31D ．m≤31 5．一次函数y ＝—2x ＋3的图象与坐标轴的交点是（） A ．(3，1)(1，23) B ．(1，3)(23，1) C ．(3，0)(0，23) D ．(0，3)(23，0) 6．若函数y ＝（m +2）x |m |﹣3是反比例函数，则m 的值是（） A ．2 B ．﹣2C ．±2D ．不为2的实数 7．已知点A （﹣2，y 1）、B （﹣1，y 2）、C （3，y 3）都在反比例函数y ＝的图象上，则（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 8. 函数y 1＝x 和y 2＝x1的图像如图所示，则y 1＞y 2的x 取值范围是（） A ．x ＜－1或x ＞1 B ．x ＜－1或0＜x ＜1C ．－1＜x ＜0或x ＞1D ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1 9. 如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－x4的图像相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，则四边形ACBD 的面积为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8第8题第9题二、填空题10．已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y ＝（k2≠0）的图象交于M．N两点，若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是．11．如图，直线y 1＝x+2与双曲线y2＝交于A（2，m）、B（﹣6，n）两点．则当y1≤y2时，x的取值范围是．12．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为．13．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y＝﹣的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为．14．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝．三、解答题15．如图，点A和点E(2，1)是反比例函数y＝kx（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝6x（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．（1）k＝；（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2；（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：．第11题第12题第13题16．如图，反比例函数y ＝与一次函数y ＝ax +b 的图象交于点A (﹣2，6)、点B (n ，1)．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．（3）将一次函数y ＝ax +b 的图象沿y 轴向下平移n 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝的图象有且只有一个交点，求n 的值．17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数y ＝ax 2+2x +c 的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点B ，求k 的值．19.已知一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+ b﹣＜0的解集；（3）点C（a，b），D（a，c）（a＞2）分别在一次函数和反比例函数图象上，且满足CD＝2，求a的值．20如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．21.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B 在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．23．如图，在平面直角坐标系中，□ABCO的顶点A在x轴正半轴上，两条对角线相交于点D，双曲线y＝（x＞0）经过C，D两点．（1）求□ABCO的面积．（2）若□ABCO是菱形，请直接写出：①tan∠AOC＝．②将菱形ABCO沿x轴向左平移，当点A与O点重合时停止，则平移距离t与y轴所扫过菱形的面积S之间的函数关系式：．24．学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P′也随之运动，并且点P′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A（1，1），α＝90°，点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P1（﹣1，1）．（1）点P1旋转后，得到的点P1′的坐标为；（2）若点P′的运动轨迹经过点P2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A（0，0），α＝45°，点P是反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上的动点，过点P′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M，求△OMP′的面积．【灵活运用】如图3，设A（1，﹣），α＝60°，点P是二次函数y＝x2+2x+7图象上的动点，已知点B（2，0）、C（3，0），试探究△BCP′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．。

2020年中考数学一轮专项复习34 圆的综合问题(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——圆的综合问题1.（2019绵阳中考第23题）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ．（1）求证：△BFG ≌△CDG ；（2）若AD =BE =2，求BF 的长．2.（2019黔东南州中考第22题12分）如图，点P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线PO 与⊙O 相交与点A 、B ，（1）若∠A=30゜，求证：PA=3PB ；（2）小明发现，∠A 在一定范围内变化时，始终有)90(21P BCP ∠-︒=∠成立，请你写出推理过程.3. （2019贵港中考第23题）如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE ⊥OA 交CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接AE ．（1）求证：AE 是半圆O 的切线；（2）若PA =2，PC =4，求AE 的长．4．（2019湖北十堰中考第22题 8分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为C 延长线上一点，且∠CDE ＝∠BAC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝3BD ，CE ＝2，求⊙O 的半径．5．在⊙O 中，AB 为直径，C 为⊙O 上一点．(1)如图①，过点C 作⊙O 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝27°，求∠P 的大小；(2)如图②，D 为AC ︵上一点，且OD 经过AC 的中点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若∠CAB ＝10°，求∠P 的大小．6.(2019鄂州中考第22题10分)如图，P A是⊙O的切线，切点为A, AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E.过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB.（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△P AB的内心；（3）若cos∠P AB=10, BC =1，求PO的长.7．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，求∠DOR的度数。

中考数学一轮复习《命题、定理与证明》知识要点及专题练习

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：命题、定理与证明（含答案）一、知识要点：1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。

命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。

“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。

定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。

其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。

如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。

2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

二、课标要求：1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。

2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。

会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。

4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。

三、常见考点：1、命题及命题真伪的判断。

2、命题的条件和结论的区分。

3、写出命题的逆命题。

四、专题训练：1．下列说法正确的是（）A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题D．三角形的外角大于任何一个内角2．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．下列说法中，不正确的个数是（）①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个7．写出“对顶角相等”的逆命题．8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为．（按一、二、三、四的名次排序）9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为．11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为．12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为．13．如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为．14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为．15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．①弦AB的长度为；②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为．16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为．17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少次操作后所有纸牌全部正面向上；（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．18．阅读下面内容，并解答问题．在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：．（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF 的度数为．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为．19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC 的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；；②任意的三角形都存在等角点；；（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．参考答案1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；故选：A．2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；②∵（﹣4）2的平方根是±4，∴本小题说法是假命题；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；④∵两直线平行，同旁内角互补，∴本小题说法是假命题；故选：C．4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，∴a2＞b2，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；故选：D．5．解：连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，∴tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝30°，∵旋转角为30°，∴A、B′、C共线．∴AC＝＝＝2，∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，∴S阴＝﹣＝﹣，故选：B．6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；故选：B．7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．8．解：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．故答案为：甲、丙、乙、丁．9．解：连接OP．∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（02），∴OA＝2，OB＝2，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴四边形OMPN是矩形，∴MN＝OP，∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA•sin30°＝，故答案为．10．解：如图，连接AC，AC′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，∵AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝，∵cos∠DAB′＝，∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．故答案为﹣．11．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∴在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝120°，∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°，OA＝＝，所以弧AB的长为：＝．则点F的运动路径的长度为．故答案为：．12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，∴OE＝B1E＝A1B1＝4，又∵B1C1＝BC＝4，∴C1E＝＝4，∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．故答案为：4+4．13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．理由：在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF（SAS），∴DE＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AE＝FC，同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，故答案为：3．14．解：如图，连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴∠K＝45°，∴△AKB是等腰直角三角形．∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，∴∠KAD＝∠BAE，在△ADK和△AEB中，∴△ADK≌△AEB（SAS），∴∠ABE＝∠K＝45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵AC＝BC＝4，∴AB＝4，∵M为AB中点，∴BM＝2，∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，∴BM＞MG，∴当ME＝MG时，ME的值最小，∴ME＝BE＝2．故答案为2．15．解：①如图，连接OA．∵OA＝OC＝2，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，∴AE＝OA•sin60°＝，∵OE⊥AB，∴AE＝EB＝，∴AB＝2AE＝2，故答案为2．②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，∵OA＝OC，AH＝HC，∴OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，∵∠COH＝30°，∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，∵CF⊥AP，∴∠AFC＝90°，∴HF＝AC＝，∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，∴OF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度所以弧AA1的长＝＝π，第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，所以弧A′A″的长＝＝π，所以总长为π．故答案为π．17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，次数（至少）：14÷2＝7，故答案为：7；（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，不能全正，总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，故不能所有纸牌全正；故答案为：14；（3）由题可知：0＜n≤7．①当n＝1时，由（1）可知能够做到，②当n＝2时，由（2）可知无法做到，③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，14＝6+6+2，故n＝3可以，④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，故＝4不可以，⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，14＝10+2+2，故n＝5可以，⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，无法组合，故n＝6不可以，⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，故n＝1，3，5，7时，可以．18．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴，，∴．在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为EG⊥GF．（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．19．解：（1）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACE＝∠ACF，在△ACE与△ACF中，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．20．解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；解决问题如图②，连接PB，PC∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，∴∠A＝，∴该三角形三个内角的度数分别为，，。

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_数轴及有理数在数轴上的表示-单选题专训及答案

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_数轴及有理数在数轴上的表示-单选题专训及答案数轴及有理数在数轴上的表示单选题专训1、(2020九台.中考模拟) 如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A . 3B . 2C . 1D . －12、(2019长春.中考真卷) 如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A . -2.B . 2.C .D .3、(2014徐州.中考真卷) 点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A . 3B . 2C . 3或5D . 2或64、(2016南京.中考真卷) 数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A . ﹣3+5B . ﹣3﹣5C . |﹣3+5|D . |﹣3﹣5|5、(2017无棣.中考模拟) 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为（）A . aB . bC . cD . d6、(2018房山.中考模拟) 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A .B .C .D .7、(2017滨海新.中考模拟) 有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式中正确的是（）A . a+b＜0B . a+b＞0C . a﹣b=0D . a﹣b＞08、(2017路南.中考模拟) 如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（）A . 点EB . 点FC . 点MD . 点N9、(2019吉林.中考模拟) 如图，若数轴上A、B两点之间的距离是5，且点B在原点左侧，则点B表示的数是（）A . 5B . -5C . 2D . -210、(2017灌南.中考模拟) 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，AB=BC，则下列关系正确的是（）A . a+c=2bB . b＞cC . c﹣a=2（a﹣b）D . a=c11、(2018金华.中考模拟) 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示-2的相反数的点是（）A . 点DB . 点C C . 点BD . 点A12、(2018青岛.中考真卷) 如图，点A所表示的数的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C .D .13、(2017揭西.中考模拟) 如图所示，则下列选项中代表数值最小的是（）A . aB . bC . ﹣aD . ﹣b14、(2019梧州.中考模拟) 在数轴上，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，线段AB的中点表示的数为（）A . 1B . ﹣1C . 3D . ﹣315、(2020四川.中考模拟) 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A .B .C .D .16、(2019信阳.中考模拟) 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）A .B .C .D .17、(2022黄埔.中考模拟) 如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 418、(2017乌鲁木齐.中考真卷) 如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣219、(2019沙雅.中考模拟) 实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（）A .B . a-b＞0C . ab＞0D . a+b＞020、(2020遵化.中考模拟) 如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 421、(2020鼓楼.中考模拟) (2019·中山模拟) 如图，点A所表示的数的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C .D .22、(2020贵州.中考模拟) 下列说法中错误的有（）个①绝对值相等的两数相等.②若a，b互为相反数，则=﹣1.③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数.④任意有理数都可以用数轴上的点来表示.⑤x2﹣2x ﹣33x3+25是五次四项.⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小.⑦一个数的相反数一定小于或等于这个数.⑧正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数.A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个23、(2020开平.中考模拟) 如图，数轴上，，，，五个点表示连续的五个整数，，，，，且，则下列说法正确的有（）①点表示的数字是②③④A . 都之前B . 只有①③正确C . 只有①②③正确D . 只有③错误24、(2020邯郸.中考模拟) 边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A 点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（）A . 4B . 6C . 8D . 1025、(2016河北.中考真卷) 点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b。

2023年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练-整式的加减(解析版)

专题03整式的加减【专题目录】技巧1：求代数式值的技巧技巧2：整式加减在几何中的应用技巧3：整体思想在整式加减中的应用【题型】一、代数式求值【题型】二、同类项【题型】三、整式的加减【题型】四、化简求值【题型】五、图形类规律探索【考纲要求】1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．【考点总结】一、整式整式的相关概念单项式由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。

如：单项式321abπ-系数是π21-，次数是4。

多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

如：多项式2+4x2y﹣3231yx是五次三项式整式整式是单项式与多项式的统称。

同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

【考点总结】二、整式的加减运算【注意】1、去括号法则如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．(1)、去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘．(2)、去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．(3)、对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号．(4)、去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．2、添括号法则添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．(2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误：如：()a b c a b c +-+- 添括号去括号，()a b c a b c -+-- 添括号去括号合并同类项把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

专题03 因式分解(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)

中考数学一轮复习学案03 因式分解考点课标要求考查角度1因式分解①理解因式分解的概念；②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．考查因式分解的两种方法．以选择题、填空题为主．1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．中考命题说明思维导图知识点1：因式分解的概念知识点梳理典型例题【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2－x－1=x(x－1)－1B．x2－1=(x－1)2C．x2－x－6=(x－3) (x＋2)D．x(x－1)= x2－x【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．1. 一般方法：（1）提公因式法：知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D．【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（）A．x(x－4)＋4B．(x＋2) (x－2)C．(x＋2)2D．(x－2)2【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m ＋n －3)2．故答案为：(m ＋n －3)2．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握2222()a ab b a b ±+=±是解题的关键．【例9】已知二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），则b +c 的值为（）A ．1B ．–1C ．–5D ．5【分析】∵二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），∴x 2+bx +c ＝（x –3）（x +1）＝x 2–2x –3，∴b ＝–2，c ＝–3，故b +c ＝–5．故选C ．【答案】C ．【例10】（2022•内江）分解因式：a 4－3a 2－4＝．【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a 4－3a 2－4＝(a 2＋1)(a 2－4)＝(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)，故答案为：(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．【例11】因式分解：x 2 – y 2 –2x +2y ．【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x –y 即可.【答案】x 2 – y 2–2x +2y = (x 2 – y 2 )–( 2x –2y )= ( x +y ) ( x –y ) –2 ( x –y )= ( x –y ) ( x +y –2 ) ．【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a －3ab －4＋6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a (2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2)解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．【考点】因式分解的应用【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)＝(x＋a) (x－a＋1)；（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．几种方法的综合运用【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．知识点3：因式分解的应用知识点梳理因式分解的应用：利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.典型例题【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是．【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为．【考点】因式分解的应用【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+ 2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．巩固训练15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会(14)ICME -会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示14ICME -的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A 选项，()ax ay a x y +=+，故该选项不符合题意； B 选项，333()a b a b +=+，故该选项符合题意；C 选项，2244(2)a a a ++=+，故该选项不符合题意；D 选项，2a 与b 没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握2222()a ab b a b ++=+是解题的关键．2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+【考点】多项式乘多项式；因式分解-提公因式法；合并同类项；完全平方公式【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．23x 与34x 不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．22222()2x y x xy y x y +=++≠+，故选项B 计算不正确；C ．22(23)(23)4994x x x x +-=-≠-，故选项C 计算不正确；D ．2242(12)xy xy xy y +=+，故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )巩固训练解析A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故选：A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-【考点】因式分解-运用公式法【分析】把所给公式中的b 换成b -，进行计算即可解答．【解答】解：3322()()a b a b a ab b +=+-+，33a b ∴- 33()a b =+-33()a b =+-22[()][(()()]a b a a b b =+--⋅-+-22()()a b a ab b =-++故选：A ．【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，把所给公式中的b 换成b -是解题的关键．5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式(3)m m =+．故答案为：(3)m m +．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：23(3)m m m m +=+，故答案为：(3)m m +．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22()x y xy xy x y +=+．故答案为：()xy x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式即可．【解答】解：()ax ay a x y +=+．故答案为：()a x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2(1)m m m m +=+．故答案为：(1)m m +．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故答案为：(2)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：23(3)a a a a -=-．故答案为：(3)a a -．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：2(1)x x x x +=+．故答案为：(1)x x +．【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式2x ，进而得出答案．【解答】解：原式2(4)x x =-．故答案为：2(4)x x -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而得出答案．【解答】解：23(3)a a a a +=+．故答案为：(3)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】提取公因式x ，整理即可．【解答】解：22(2)x x x x -=-．故答案为：(2)x x -．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +【考点】因式分解-提公因式法【分析】此题只要提取公因式3即可．【解答】解：363(2)x x +=+．【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案．【解答】解：22(2)a a a a -=-．故答案为：(2)a a -．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =-+．故答案为：(3)(3)x y x y -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：原式(5)(5)x x =+-．故答案为：(5)(5)x x +-．【点评】本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：22()()m n m n m n -=+-，故答案为：()()m n m n +-．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式分解即可．【解答】解：原式225(5)(5)a a a =-=+-．故答案为：(5)(5)a a +-．【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(1)(1)x x =+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-．故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：216(4)(4)a a a -=-+．故答案为：(4)(4)a a -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝(a ＋2)2，故答案为：(a ＋2)2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(3)(3)x x =+-，故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)m m m -=+-．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2221(1)x x x -+=-．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式223(4)x x y =-3(2)(2)x x y x y =+-．故答案为：3(2)(2)x x y x y +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)a a =++22(1)a =+．故答案为：22(1)a +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：233x y y -3(1)(1)y x x =+-，故答案为：3(1)(1)y x x +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：29xy x -2(9)x y =-(3)(3)x y y =+-，故答案为：(3)(3)x y y +-．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：269ay ay a ++2(69)a y y =++故答案为：2(3)a y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式23(1)m =-3(1)(1)m m =+-．故答案为：3(1)(1)m m +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)x x x =++22(1)x x =+．故答案为：22(1)x x +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-．故答案为：()()a a b a b +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=+-，故答案为：(2)(2)m m m +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2xy x -，2(1)x y =-，(1)(1)x y y =-+．故答案为：(1)(1)x y y -+．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ．【考点】因式分解的应用【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，根据“和倍数”的定义表示F （A ）和G （A ），代入()()16F A G A +中，根据()()16F AG A +为整数可解答．【解答】解：（1）357(357)357152312÷++=÷=⋯⋯，357∴不是“和倍数”； 441(441)441949÷++=÷=，441∴是9的“和倍数”；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，由题意得：F （A ）ab =，G （A ）cb =，。

中考数学第一轮复习坐标系专题训练

中考数学第一轮复习专题训练一、填空题：（每题3分，共36分）１、点A （3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。

２、P （2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。

３、P （－2，3）到轴的距离是＿＿＿＿＿。

４、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿＿＿号。

５、以坐标平面内点A （2，4），B （1，0），C （－2，0）为顶点的三角形的面积是＿＿。

６、如图１，△AOB 的顶点A 的坐标为＿＿＿＿＿。

７、如图１，△AOB 沿x 轴向右平移1个单位后，得到△A'O'B'，则点A'的坐标为＿＿＿＿。

８、如图２，矩形ABOC 的长OB ＝3，宽AB ＝2，则点A＿＿＿。

９、如图３，正方形的边为2，则顶点Ｃ的坐标为＿＿＿＿＿。

10、如图４，△AOB 和它缩小后得到的△COD 。

则△AOB 和△COD 的相似比为＿＿＿＿。

11、小东要在电话中告诉同学如图５的图形，他应当怎样描述。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、如图６，一个机器人从O 点出以，向正东方走3米到达A 点，再向正北方走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，n)，在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三名象限D 、第四象限２、若P （m ，2）与点Q （3，n ）关于轴的对称，则m 、n 的值是（） A 、－3，2 B 、3，－2 C 、－3，－2 D 、3，2 ３、A 在B 的北偏东30°方向，则B 在A 的（）A 、北偏东30°B 、北偏东60°C 、南偏西30°D 、南偏西60°４、下列说法正确的是（）A 、两个等腰三角形必是位似图形B 、位似图形必是全等图形C 、两个位似图形对应点连线可能无交点D 、两个位似形对应点连线只有一个交点５、将△ABC 的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）yy x 东（6）x ）A 、关于 x 轴对称B 、关于轴对称C 、关于原点对称D 、原图形向轴负方向平移1个单位６、如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A 、B 的位置，下列说法错误的是（）A 、B 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 A 重合B 、A 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 B 重合C 、B 在 A 的东北方向且相距 22 个单位D 、若点 B 的坐标为（0，0），则点 A 的坐标为（－2，－2）三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）１、在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只子的位置分别是A （b ，3），B （d ，5），C （f ，7），D （h ，2），请在图中描出它们的位置。

中考数学二轮专题复习课件：第34课找规则

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13．(2019·黄石)将被 3 整除余数为 1 的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵：
1
47
10 13 16
19 22 25 28
31 34 37 40 43
……
……
则第 20 行第 19 个数是__6_2_5___．
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14．(2020·咸宁)按一定规律排列的一列数：3，32，3－ 1，33，3－4，37，3－11，318，…，若 a，b，c 表示这列数中的连续三个数，猜想 a，b，c 满足的关系式是 __b_c_＝__a__．
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6．(2019·烟台)如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面
积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其
面积标记为 S2，……，按照此规律继续下去，则 S2 019 的值为( C )
A．
2 2
2 016
B．
2 2
2
017
C．12 2 016
推，……，则点 B6 的坐标为__(2___6__，___0_)_．
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5．(2020·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，点 P1 的坐
标
22，
2 2
，将线段 OP1 绕点 O 按顺时针方向旋转
45°，再将其长度伸长为 OP1 的 2 倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2 绕点 O 按顺时针方向旋转 45°，长度伸长为 OP2 的 2 倍，得到线段 OP3；如此下去，得到线段 OP4、OP5，……，OPn(n 为正整数)，则点 P2 020 的坐标是__(_0_，__－__2_2 _01_9_) __．