湖南省岳阳市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

2018年上学期高二年级期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）A ．2C ．12D ．22.若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x -<，则下列结论中正确的是（ ） A ．AB φ= B ．A B R =C ．A B ⊆D ．B A ⊆3.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则估计该次数学成绩的中位数是（ ）A ．71.5B ．71.8C ．72D ．75 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．27 B ．18 C ．9 D ．35.设曲线11x y x +=-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．-2 D ．26.在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=（ ）A ．8B ．-8C ．4D ．-47.如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为棱'BB 的中点，点F 为棱''B C 的中点，则空间四边形'OEFD 在该正方体的面上的正投影不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8.设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ⋅等于（ ） A ．34 B ．34- C ．3 D ．-3 9.已知函数()xf x e x =÷.若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(1,0)-D ．(,1)-∞- 10.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．212π- B ．24π- C ．12π- D ．14π- 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 12.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点）.设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为 ．14.已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则26a a ⋅= ． 15.42()x x-展开式中的常数项为 ． 16.已知函数3,0(),0x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈，存在唯一的2x R ∈，使得12()()f x f x =，当(2)(3)f a f b =成立时，则实数a b += ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，2B A =. （Ⅰ）求cos A 及边c 的值； （Ⅱ）求cos()6B π-的值.18.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）求二面角M AN B --的余弦值.19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点(2,0)F -，左顶点1(4,0)A -.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知(2,3)P ，(2,3)Q -是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.若APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.20.某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立.（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望. 21.已知函数21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈. （1）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12ln ln 2x x +>. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），两曲线相交于M ，N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）若(2,4)P --，求PM PN +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.2018年高二数学期末考试参考答案一、选择题1-5: ACCAD 6-10: ACBBB 11、12：CD 二、填空题13. 6 14. 64 15. 24 16. 3 三、解答题17.解：（Ⅰ）ABC ∆中，3a =，b =∴3sin A =2B A =，∴3sin A =，3sin A =，解得cos A =；又2222cos a b c bc A =+-，292423c c =+-⋅， 28150c c -+=，解得3c =或5c =；（Ⅱ）∵2B A =，∴21cos cos 22cos 13B A A ==-=，∴sin B =∴cos()cos cossin sin666B B B πππ-=+1132326=⨯+=. 18.解法一：依条件可知AB 、AC 、1AA 两两垂直， 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -.根据条件容易求出如下各点坐标：(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)B ，1(1,0,2)C -，(0,1,2)M ，1(,1,0)2N -.（Ⅰ）证明：∵1(,0,2)2MN =--，(0,2,0)AB =，是平面11ACC A 的一个法向量，且10022002MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=， 所以MN AB ⊥.又∵MN ⊄平面11ACC A ，∴//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）设(,,)n x y z =是平面AMN 的法向量， 因为(0,1,2)AM =，1(,1,0)2AN =-， 由00AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得020102y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)n =-， 由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos ,2121m n m n n m⋅<>===-， ∴二面角M AN B --的余弦值是21. 解法二：（Ⅰ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ， ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1//2DN AB ， 又∵11112A M AB =，11//A B AB ， ∴1//A M DN ，∴四边形1ADNM 是平行四边形， ∴1//A D MN ，∵1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， ∴//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ， ∴1//MH BB ，∵1BB ⊥底面ABC ，∵1B B A C ⊥，1BB AB ⊥，∴MH A C ⊥，AH AB ⊥，∴ABAC A =，∴MH ⊥底面ABC ，在平面ABC 内，过点H 做HG AN ⊥，垂足为G ，连接MG ，AN HG ⊥，AN MH ⊥，HG MH H =，∴AN ⊥平面MHG ，则AN MG ⊥， ∴MGH ∠是二面角M AN B --的平面角， ∵12MH BB ==，由AGHBAC ∆∆，得HG =所以MG ==，所以cos 21HG MGH MG ∠==， ∴二面角M AN B --. 19.解：（Ⅰ）由题意可得，4a =，2c =由222a b c =+，得2224212b =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=. （Ⅱ）当APQ BPQ ∠=∠时，AP ，BP 的斜率之和为0， 设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，PA 的方程为3(2)y k x -=-.联立223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得2222(34)8(3)4(4912)480k x k k x k k ++-++--=，所以128(23)234k k x k -+=+，同理228(23)234k k x k++=+， 所以2122161234k x x k-+=+，1224834k x x k --=+， 所以21122212()412AB y y k x x k k x x x x -+-===--，所以AB 的斜率为定值12. 20.解：（Ⅰ）250.520a ==，150.350b ==， 依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率0.5p =， 设5天中该种商品有Y 天的销售量为1.5吨，则(5,0.5)YB ，∴2235(2)0.5(10.5)0.3125P Y C ==⨯⨯-=.（Ⅱ）X 的可能取值为4，5，6，7，8，则：2(4)0.20.04P X ===，(5)20.20.50.2P X ==⨯⨯=，2(6)0.520.20.30.37P X ==+⨯⨯=，(7)20.30.50.3P X ==⨯⨯=，2(8)0.30.09P X ===，∴X 的分布列为：X 的数学期望()40.0450.260.37E X =⨯+⨯+⨯70.380.09 6.2+⨯+⨯=.21.解：（1）∵21()ln ()2f x x x mx x m R =--∈在(0,)+∞上是减函数， ∴'()ln 0f x x mx =-≤在定义域(0,)+∞上恒成立，∴max ln ()xm x ≥， 设ln ()x h x x =，则21ln '()xh x x -=，由'()0h x >，得(0,)x e ∈，由'()0h x <，得x e >， ∴函数()h x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，∴max 1()()h x h e e ==，∴1m e≥. 故实数m 的取值范围是1[,)e+∞.证明：（2）由（1）知'()ln f x x mx =-，∵函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <， ∴1122ln 0ln 0x mx x mx -=⎧⎨-=⎩，则12121212ln ln ln ln x x m x x x x m x x +⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-⎩，∴12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，∴12112122ln ln ln x x xx x x x x ++=⋅-112212(1)ln 1x x x x x x +⋅=-， 设12(0,1)x t x =∈，则12(1)ln ln ln 1t t x x t +⋅+=-， 要证12ln ln 2x x +>， 只需证(1)ln 21t t t +⋅>-，只需证2(1)ln 1t t t -<+，只需证2(1)ln 01t t t --<+， 构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，则22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t -=-=>++，∴2(1)()ln 1t g t t t -=-+在(0,1)t ∈上递增， ∴()(1)0g t g <=，即2(1)()ln 01t g t t t -=-<+， ∴12ln ln 2x x +>.22.解：（Ⅰ）根据cos x ρθ=、sin y ρθ=，求得曲线C 的直角坐标方程为24y x =， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程20x y --=.（Ⅱ）直线l的参数方程为：224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）， 代入24y x =，得到2480t -+=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=1248t t ⋅=，∴12PM PN t t +=+=23.解：（1）由于3,1()31,113,1x x f x x x x x --≥⎧⎪=---≤<⎨⎪+≤-⎩，当1x ≥时，函数的最大值为134--=-， 当11x -<<时，()(1)312f x f <-=-=， 当1x ≤-时，max ()(1)132f x f =-=-+=，所以max ()(1)2k f x f ==-=.（2）由已知22222a cb ++=，有2222()()4a b bc +++=， 因为222a b ab +≥（当a b =取等号），222b c bc +≥（当b c =取等号）， 所以2222()()42()a b b c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，故max [()]2b a c +=.。