高中数学第二章圆锥曲线与方程综合训练(1班) 新人教A版选修2-1

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【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 含解析

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1a=6,c=1的椭圆的标准方程是()A.x 236+y235=1B.y 236+x235=1C.x 236+y21=1D.x 236+y235=1或y236+x235=12椭圆x 225+y2=1上的一个点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为() A.5 B.6 C.7 D.8a2=25,∴a=5,2a=10.设P到另一个焦点的距离为d,由椭圆的定义知,d+2=2a=10,故d=8.3如果方程x 2a2+y2a+6=1表示焦点在x轴上的椭圆,那么实数a的取值范围是()A.a>3B.a<-2C.a>3或a<-2D.a>3或-6<a<-24已知椭圆x 225+y29=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是()A.2B.4C.8D.325若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为√3,则这个椭圆的方程为( ) A.x 212+y 29=1B.x 29+y 212=1 C.x 212+y 29=1或x 29+y 212=1D.以上都不对6椭圆x 29+y 22=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小为 .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中,cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=-12. 故∠F 1PF 2=120°.120°7已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .,有{|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故b=3.8已知椭圆的两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点(52,-32),求它的标准方程.椭圆的焦点在x 轴上,∴可设标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0). ∵2a=√(5+2)2+(-3)2+√(5-2)2+(-3)2=2√10,∴a=√10,a 2=10.∵c=2,∴c 2=4,∴b 2=a 2-c 2=6.故椭圆方程为x 210+y 26=1.9已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,求|PF 2|的长.F 1的坐标为(-√3,0).设P (-√3,y ),把P (-√3,y )代入椭圆的方程中,得|y|=12,即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4,故|PF 2|=4-|PF 1|=4-12=72. 能力提升1已知两椭圆ax 2+y 2=8与9x 2+25y 2=100的焦距相等,则a 的值为( )A.9或917B.34或32C.9或34D.917或32椭圆9x 2+25y 2=100的标准方程为x 21009+y 24=1, ∴焦点在x 轴上,且c 2=1009-4=649, ∴c=83. 又∵椭圆ax 2+y 2=8的标准方程为x 28a +y 28=1, ∴8a -8=649或8-8a =649, 解得a=917或a=9.2已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1,F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 到x 轴的距离为( )A.2√3B.2√6C.√3D.√33若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024), OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2, 当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为6.4已知F 1,F 2是椭圆x 224+y 249=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积等于( ) A.24 B.26 C.22√2 D.24√2a 2=49,a=7,所以|PF 1|+|PF 2|=2a=14.又因为|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,所以|PF 1|=8,|PF 2|=6.又因为|F 1F 2|=2c=2√49-24=10,所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,所以PF 1⊥PF 2.故△PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.5已知F 1,F 2为椭圆x 225+y 29=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F 2A|+|F 2B|=12,则|AB|= .,知|F 2A|+|F 1A|+|F 2B|+|F 1B|=4a=20,则|F 1A|+|F 1B|=|AB|=20-12=8.6若方程x 2a +ay 2=1表示椭圆,则实数a 满足的条件是 . 将x 2a +ay 2=1化为x 2a +y 21a =1. 由题意,得a>0,且a ≠1a ,解得a>0,且a ≠1.0,且a ≠17F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M ,N 分别为其短轴的两个端点,且四边形MF 1NF 2的周长为4,设过F 1的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,且|AB|=43,则|AF 2|·|BF 2|的最大值为 .8求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)过点A (√63,√3)和B (2√23,1)的椭圆; (2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (√63,√3)和B (2√23,1), ∴{ m ·(√63)2+n ·(√3)2=1,m ·(2√23)2+n ·12=1, 解得m=1,n=19. ∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 2=1. (2)∵已知椭圆x 2+y 2=1中a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a '2+y 2a '2-5=1. ∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a '2+4a '2-5=1.∴a'2=15. ∴所求椭圆方程为x 2+y 2=1.★9已知点M 在椭圆x 236+y 29=1上,MP'垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P',并且M 为线段PP'的中点,求点P 的轨迹方程.P (x ,y ),点M 坐标为(x 0,y 0).∵点M 在椭圆x 236+y 29=1上,∴x 0236+y 029=1.∵M 是线段PP'的中点,∴{x 0=x ,y 0=y 2. 把{x 0=x ,y 0=y 2代入x 0236+y 029=1,得x 236+y 236=1, 即x 2+y 2=36.故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=36.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习新人教A版高二选修1-1数学试题

2.2 双曲线（1）A 级基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程练习新人教A版选修2_1

2.1曲线与方程(建议用时：40分钟)、选择题1•“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0的解”是“曲线C的方程是f(x, y)=0” 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B [“曲线C的方程是f(x,y) = 0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0的解”和“以方程f (x, y) = 0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x, y) = 0的解”是“曲线C的方程是f(x, y) = 0”的必要不充分条件，故选B.]2. 方程y=—、..：3 —x?表示的曲线是()A. —个圆B. —条射线C.半个圆D. —条直线【答案】C [方程y =—3-x2可化为x2+ y2= 3(y<0)，故选C.]3. 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A( —1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线1AP与BP的斜率之积等于一£则动点P的轨迹方程为()2 2A. x —3y = 42,2 ,B. x + 3y = 42 2C. x —3y = 4( x 工土1)2 2D. x + 3y = 4( x 工土1)【答案】D [由点B与点A—1,1)关于原点对称，得点B的坐标为(1 , —1).设点Py — 1 y +1 1 o o的坐标为(x,y),由题意得k AP- k BP= -------------------------------- • - = —(x^± 1),化简得x + 3y = 4,且x工土1.x+ 1 x—1 3故动点P的轨迹方程为x2+ 3y2= 4(X M土1).]4. 已知点P是直线x—2y + 3= 0上的一个动点，定点M —1, 2) , Q是线段PM延长线上的一点，且|PM = |MQ，则点Q的轨迹方程是()A. x + 2y+ 3 = 0B. x—2y—5= 0C. x — 2y — 7 = 0D. x — 2y + 7= 0【答案】D ［设 Rx o , y o )，贝U x o — 2y o + 3= 0(1).又设 Qx , y )，由 | PM = | MQ ，知2— x ) — 2(4 — y ) + 3= 0，即 x — 2y + 7 = 0.故选 D.］2 25.设点A 为圆(x — 1) + y = 1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA = 1,则P 点的轨迹方程为( )A. y 2= 2xB. (x — 1)2+ y 2= 42 2 2C. y = — 2xD. (x — 1) + y = 2【答案】D ［如图，设P (x , y )，圆心为M (1,0).连接MA 则MA_ PA 且| MA = 1,又••• | PA = 1,•••I PM =p I MA 2 + I PA 2=2.即|PM 2=2,2 2•••(x — 1) + y = 2.]二、填空题6. ______________________________________ 方程(x — 1) ?+寸y 一 2 = 0表示的是 .x — 1 = 0x = 1【答案】点(1,2)[由题意知，｛，即？y — 2= 0y= 2.所以方程(x — 1)2+ y — 2= 0表示点(1,2).]7. _________________________ 设命题甲：点 P 的坐标适合方程f (x , y ) = 0,命题乙：点 P 在曲线C 上，命题丙: 点Q 坐标不适合f (x , y ) = 0，命题丁：点 Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的 _______ 条件.【答案】充分不必要条件[由甲是乙的必要不充分条件知，曲线 C 是方程f (x , y ) = 0的曲线的一部分，则丙？丁，但丁 D? /丙，因此丙是丁的充分不必要条件.]&已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点 M 在x 轴上，且PM- PF = 0,延长MP 到点N,使得|PM = |P N ，则点N 的轨迹方程是 _________________________ .【答案】y 2= 4x [由于|PM = | P N ，则P 为MN 的中点.设Nx ,y )，则M — x, 0) ,Pp 計由 P M - P F = 0,得[一 x ,— 2) ]— y 1= 0，所以(—X )• 1+ (— y ) [— 2=。

2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程测评含解析新人教A版选修2_1

第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.方程x 2+2y 2=4所表示的曲线是()A.焦点在x 轴的椭圆B.焦点在y 轴的椭圆C.抛物线D.圆方程化为x 24+y 22=1,因此其表示焦点在x 轴的椭圆.2.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)分别过点A (2,0)和B (0,-1),则该椭圆的焦距为() A.√3 B.2√3 C.√5 D.2√5a=2,b=1,所以a 2=4,b 2=1,所以c=√a 2-b 2=√4-1=√3,所以2c=2√3.故选B .3.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2√33x ,则此双曲线的离心率为()A.√72B.√133C.53D.√213x 轴上,所以ba=2√33,于是e=ca=√1+(b a)2=√73=√213.4.已知抛物线C :y 2=8x 焦点为F ,点P 是C 上一点,O 为坐标原点,若△POF 的面积为2,则|PF|等于() A.5B.3C.72D.4F (2,0),设P (x 0,y 0),则12·2·|y 0|=2,所以|y 0|=2,于是x 0=12,于是|PF|=x 0+p2=52.5.已知一个动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆圆心P 的轨迹是() A.双曲线的一支 B.椭圆 C.抛物线D.圆R ,依题意有|PO|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点P 的轨迹为双曲线的右支.6.已知点A 是抛物线y 2=2px (p>0)上一点,点F 是抛物线的焦点,O 为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是()A.x=-1B.x=-3C.x=-1或x=-3D.y=-1∠BFA=∠OFA-90°=30°,过点A 作准线的垂线AC ,过点F 作AC 的垂线,垂足分别为C ,B.如图,A 点到准线的距离为d=|AB|+|BC|=p+2=4,解得p=2,则抛物线的准线方程是x=-1. 故选A.7.双曲线C :x 2-y 23=1的一条渐近线与抛物线M :y 2=4x 的一个交点为P (异于坐标原点O ),抛物线M 的焦点为F ,则△OFP 的面积为() A.2√33B.4√33C.23D.43解析双曲线C :x 2-y 23=1的一条渐近线方程为y=√3x ,将y=√3x 代入抛物线方程,可得3x 2=4x ,解得x=0(舍)或x=43,所以P 43,4√33,又抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0),则△OFP 的面积为S=12×1×4√33=2√33.故选A .8.已知双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,若双曲线的一个焦点坐标为(0,√5),且圆x 2+(y-√5)2=1与双曲线的渐近线相切,则双曲线的方程是() A.x 24-y 2=1B.y 24-x 2=1C.x 26-y 2=1D.y 26-x 2=1(0,√5),则c=√5.由题意可知焦点在y 轴上, 设双曲线为y 2a2−x 2b 2=1,渐近线为by ±ax=0.焦点到渐近线的距离为1=√a 2+b 2=b ,即b=1,a=√c 2-b 2=2,则双曲线的方程是y 24-x 2=1,故选B.9.已知点P (x 0,y 0)在椭圆x 212+y 23=1上,其左、右焦点分别是F 1,F 2,若∠F 1PF 2为钝角,则x 0的取值X 围是() A.(-3,3)B.(-∞,-2√2)∪(2√2,+∞)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-2√2,2√2)F 1(-3,0),F 2(3,0),所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-x 0,-y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x 0,-y 0),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 02+y 02-9,而y 02=3-14x 02, 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34x 02-6.又∠F 1PF 2为钝角,所以34x 02-6<0,解得-2√2<x 0<2√2.10.椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,若△AF 1F 2的面积为√3,且∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2,则椭圆方程为() A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1 C.x 24+y 2=1D.x 24+y 23=1△AF 1F 2中,AF 1=AF 2,∠F 1AF 2=4∠AF 1F 2,则∠AF 1F 2=30°,所以bc =√33. 又△AF 1F 2面积为√3, 即S=12×2c×b=√3,解得b=1,c=√3,则a=√b 2+c 2=2, 所以椭圆方程为x 24+y 2=1.11.直线y=k (x-1)与椭圆C :x 24+y 22=1交于不同的两点M ,N ,椭圆x 24+y 22=1的一个顶点为A (2,0),当△AMN 的面积为√103时,则k 的值为()A.±√2B.±√3C.±1D.±√5y=k (x-1)与椭圆C 联立{y =k (x -1),x 24+y 22=1消元可得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-4=0,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-41+2k 2,∴|MN|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2.∵A (2,0)到直线y=k (x-1)的距离为d=√1+k 2, ∴△AMN 的面积S=12|MN|d=|k |√4+6k 21+2k 2.∵△AMN 的面积为√103, ∴|k |√4+6k 21+2k 2=√103, ∴k=±1,故选C .12.如图所示,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l ,交抛物线于点A ,B.交其准线于点C ,若|BC|=√2|BF|,且|AF|=√2+1,则此抛物线的方程为()A.y 2=√2xB.y 2=2xC.y 2=√3xD.y 2=3x,过点A 作AD 垂直于抛物线的准线,垂足为D ,过点B 作BE 垂直于抛物线的准线,垂足为E ,点P 为准线与x 轴的交点,由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=√2+1,因为|BC|=√2|BF|,所以|BC|=√2|BE|,所以∠DCA=45°, |AC|=√2|AD|=2+√2,|CF|=2+√2−√2-1=1, 所以|PF|=√2=√22,即p=|PF|=√22,所以抛物线的方程为y 2=√2x ,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知双曲线C :y 2a 2−x 2b 2=1的焦距为4,点P (1,√3)在双曲线C 的渐近线上,则C 的方程为.C :y 2a2−x 2b2=1的渐近线方程为y=±a bx ,∵双曲线C :y 2a 2−x 2b 2=1的焦距为4,点P (1,√3)在C 的渐近线上,可得a=√3b ,∴2c=4, ∵c 2=a 2+b 2,∴a 2=3,b 2=1, ∴双曲线C 的方程为y 23-x 2=1.故答案为y 23-x 2=1.2=114.若直线x-my+m=0经过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,则p=.直线x-my+m=0可化为x-m (y-1)=0,所以直线x-my+m=0过点(0,1), 即抛物线x 2=2py (p>0)的焦点F 为(0,1),∴p2=1,则p=2,故答案为2.15.已知双曲线E :x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0)与抛物线C :y 2=2px (p>0)有共同的一个焦点,过双曲线E 的左焦点且与抛物线C 相切的直线恰与双曲线E 的一条渐近线平行,则E 的离心率为.,所以c=p2,p=2c ,抛物线方程为y 2=4cx ,设双曲线的左焦点为F 1,F 1(-c ,0),过F 1与一条渐近线y=ba x 平行的直线方程为y=ba (x+c ), 由{y 2=4cx ,y =ba(x +c )得by 2-4acy+4bc 2=0, 所以Δ=16a 2c 2-16b 2c 2=0,所以a=b ,从而c=√a 2+b 2=√2a ,离心率为e=ca =√2. √216.已知椭圆方程为x 2a2+y 2b2=1(a>b>0),双曲线方程为x 2m2−y 2n 2=1(m>0,n>0),若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为.椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),双曲线方程为x 2m 2−y 2n 2=1(m>0,n>0),若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标F 2(c ,0),F 1(-c ,0),正六边形的一个顶点Ac 2,√32c .|AF 1|+|AF 2|=(c2(√3c 2)(c2-c) (√3c 2)=2a , 因为√3c+c=2a ,所以椭圆离心率e 1=ca =√3-1,因为双曲线的渐近线的斜率为√3,即nm =√3,可得双曲线的离心率为e 2=√1+n 2m 2=2.所以e 1+e 2=√3-1+2=√3+1. 故答案为√3+1. √3+1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知双曲线C 的一个焦点与抛物线C 1:y 2=-16x 的焦点重合,且其离心率为2. (1)求双曲线C 的方程;(2)求双曲线C 的渐近线与抛物线C 1的准线所围成三角形的面积.抛物线C 1:y 2=-16x 的焦点坐标为(-4,0),因此可设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a>0,b>0),则依题意有{c =4,c a =2,解得a 2=4,b 2=12, 故双曲线C 的方程为x 24−y 212=1.(2)抛物线C 1的准线方程为x=4,双曲线C 的渐近线方程为y=±√3x , 于是双曲线C 的渐近线与抛物线C 1的准线的两个交点为(4,4√3),(4,-4√3), 所围成三角形的面积S=12×8√3×4=16√3.18.(本小题满分12分)已知抛物线x 2=-2py (p>0)上纵坐标为-p 的点到其焦点F 的距离为3. (1)求抛物线的方程;(2)若直线l 与抛物线以及圆x 2+(y-1)2=1都相切,求直线l 的方程.由已知得抛物线的准线方程为y=p2,则由抛物线的定义知p+p2=3,则p=2,所以抛物线的方程为x 2=-4y.(2)由题意知直线l 的斜率存在,设其方程为y=kx+b ,则有{y =kx +b ,x 2=-4y ,消去y 得x 2+4kx+4b=0,则有Δ=16k 2-16b=0,即k 2=b.又直线l 与圆x 2+(y-1)2=1都相切,所以√k 2+1=1.解方程组{√k 2+1=1,k 2=b ,得{k =0,b =0或{k =√3,b =3或{k =-√3,b =3,故所求直线l 的方程为y=0或y=√3x+3或y=-√3x+3. 19.(本小题满分12分)已知F 1,F 2是椭圆M :y 2a2+x 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,椭圆M 的离心率为√63,P (x 0,y 0)是M 上异于上下顶点的任意一点,且△PF 1F 2面积的最大值为2√2.(1)求椭圆M 的方程;(2)若过点C (0,1)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l 的方程.据题意,得{ ca =√63,12×2c ×b =2√2,c 2=a 2-b 2,∴a 2=6,b 2=2.∴椭圆M 的方程为y 26+x 22=1.(2)据题设知,直线AB 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+1. 据{y =kx +1,y 26+x 22=1,得(3+k 2)x 2+2kx-5=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2k3+k 2,x 1x 2=-53+k 2. ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(-x 1,1-y 1)=2(x 2,y 2-1). ∴x 1=-2x 2.∴x 1+x 2=-x 2=-2k3+k 2,则x 2=2k3+k 2.又x 1x 2=-2x 22=-53+k 2,∴(2k3+k 2)2=53+k 2×12, ∴k=±√5.故直线l 的方程为y=-√5x+1或y=√5x+1.20.(本小题满分12分)已知点F 是抛物线C :x 2=2py (p>0)的焦点,点M 是抛物线上的定点,且MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0). (1)求抛物线C 的方程;(2)直线AB 与抛物线C 交于不同两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),且x 2-1=x 1+m 2(m 为常数),直线l 与AB 平行,且与抛物线C 相切,切点为N ,试问△ABN 的面积是否是定值.若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 设M (x 0,y 0),由题知F (0,p2),所以MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0,p 2-y 0)=(4,0).所以{-x 0=4,p 2-y 0=0,即{x 0=-4,y 0=p 2. 代入x 2=2py (p>0)中,得16=p 2,解得p=4. 所以抛物线C 的方程为x 2=8y.(2)由题意知,直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b. 由{y =kx +b ,x 2=8y ,消去y ,整理得x 2-8kx-8b=0, 则x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-8b.∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2b=8k 2+2b ,设AB 的中点为Q , 则点Q 的坐标为(4k ,4k 2+b ). 由条件,设切线方程为y=kx+t , 由{y =kx +t ,x 2=8y ,消去y 整理得x 2-8kx-8t=0.∵直线与抛物线相切, ∴Δ=64k 2+32t=0. ∴t=-2k 2. ∴x 2-8kx+16k 2=0, ∴x=4k , ∴y=2k 2.∴切点N 的坐标为(4k ,2k 2). ∴NQ ⊥x 轴,∴|NQ|=(4k 2+b )-2k 2=2k 2+b. ∵x 2-x 1=m 2+1,又∵(x 2-x 1)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=64k 2+32b.∴2k 2+b=(m 2+1)232.∴S △ABN =12|NQ|·|x 2-x 1|=12·(2k 2+b )·|x 2-x 1|=(m 2+1)364.∵m 为常数,∴△ABN 的面积为定值,且定值为(m 2+1)364.21.(本小题满分12分)已知F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P -1,√22在椭圆E 上,且抛物线y 2=4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 2+y 2=a 2+b 2相交于A ,B 两点,且与椭圆E 相交于C ,D 两点,当F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1时,求△F 1CD 的面积.y 2=4x 焦点为F (1,0),则椭圆E 的焦点F 1(-1,0),F 2(1,0). 2a=|PF 1|+|PF 2|=2√2. 解得a=√2,c=1,b=1,所以椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由已知,可设直线l 方程为x=ty+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{x =ty +1,x 2+y 2=3,得(t 2+1)y 2+2ty-2=0,易知Δ>0.则{y 1+y 2=-2tt 2+1,y 1y 2=-2t 2+1.F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(ty 1+2)(ty 2+2)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2+2t (y 1+y 2)+4=2-2t 2t 2+1.因为F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 所以2-2t 2t 2+1=1,解得t 2=13.联立{x =ty +1,x 22+y 2=1,得(t 2+2)y 2+2ty-1=0,Δ=8(t 2+1)>0.设C (x 3,y 3),B (x 4,y 4), 则{y 3+y 4=-2tt 2+2,y 3y 4=-1t 2+2.S △F 1CD =12|F 1F 2|·|y 3-y 4|=√8(1+t 2)t 2+2=√8×4373=4√67. 22.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的长轴长为2√2,离心率为√22.(1)求椭圆C 的方程;(2)过动点M (0,m )(m>0)的直线交x 轴于点N ,交椭圆C 于点A ,P (P 在第一象限),且点M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ,延长QM 交椭圆C 于点B.①设直线PM 、QM 的斜率分别为k ,k',证明kk '为定值;②求直线AB 斜率取最小值时,直线PA 的方程.由题意得2a=2√2,ca =√22, 所以a=√2,c=1,b=√a 2-c 2=√2-1=1. 故椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)①设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),由M (0,m ),可得P (x 0,2m ),Q (x 0,-2m ), 所以直线PM 的斜率k=2m -m x 0=m x 0,直线QM 的斜率k'=-2m -m x 0=-3mx 0.此时kk '=-13,所以kk '为定值-13.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线PA 的方程为y=kx+m ,直线QB 的方程为y=-3kx+m.联立{y =kx +m ,x 22+y 2=1,整理得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-2=0, 由{Δ=16k 2m 2-8(m 2-1)(2k 2+1)>0,x 0x 1=2m 2-22k 2+1, 可得x 1=2m 2-2(2k 2+1)x 0, y 1=kx 1+m=k 2m 2-2(2k 2+1)x 0+m ,同理x 2=2m 2-2(18k 2+1)x 0,y 2=-3kx 2+m=-3k2m 2-2(18k 2+1)x 0+m.所以x 1-x 2=32k 2(m 2-1)(2k 2+1)(18k 2+1)x 0, y 1-y 2=3k 2m 2-2(18k 2+1)x 0+k2m 2-2(2k 2+1)x 0,y 1-y 2=2k (m 2-1)24p 2+4(2k 2+1)(18k 2+1)x 0=8k (m 2-1)6k 2+1(2k 2+1)(18k 2+1)x 0,所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=6k 2+14k=146k+1k ,由m>0,x 0>0,可知k>0,所以6k+1k≥2√6,当且仅当k=√66时取等号.由P (x 0,2m ),m>0,x 0>0在椭圆C :x 22+y 2=1上,得x 0=√2-8m 2, k=m x 0=√2-8m 2,此时√2-8m2=√66,即m=√77,word11 / 11 由Δ>0得,m 2<2k 2+1,所以k=√66时,m=√77符合题意.所以直线AB 的斜率最小时,直线PA 的方程为y=√66x+√77.。

人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1、2.1.2

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4，0)和(－1，0) B ．(4，0)和(－2，0) C ．(4，0)和(1，0)D ．(4，0)和(2，0)【解析】在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1，0)和(4，0)．【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP→·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( ) A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1，2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1，2)＝x＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x2＋y2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆【解析】原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x2＋y2－1≥0，故选C. 【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】由方程得⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN→|，则点N 的轨迹方程是________. 【导学号：18490037】【解析】由于|PM→|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2-1-1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2-1-1【解】以O1O2的中点为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O1(－2，0)，O2(2，0)．连结PO1，O1M，PO2，O2N.由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2，又在Rt△PO1M中，|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2，在Rt△PO2N中，|PN|2＝|PO2|2－|NO2|2，即得|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10．△ABC的三边长分别为|AC|＝3，|BC|＝4，|AB|＝5，点P是△ABC 内切圆上一点，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值与最大值．【解】因为|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以∠ACB＝90°.以C为原点O，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC|＝3，|BC|＝4，得C(0，0)，A(0，3)，B(4，0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )，由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|P A |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的轨迹方程是( ) A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5)【解析】注意到|AB |＝5，则满足到点A (0，0)，B (－3，4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A.【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P到定点(1，0)和定直线x＝3的距离之和为4，则点P的轨迹方程为()A．y2＝4xB．y2＝－12(x－4)C．y2＝4x(x≥3)或y2＝－12(x－4)(x<3)D．y2＝4x(x≤3)或y2＝－12(x－4)(x>3)【解析】设P(x，y)，由题意得（x－1）2＋y2＋|x－3|＝4.若x≤3，则y2＝4x；若x>3，则y2＝－12(x－4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】设动点P(x，y)，依题意|P A|＝2|PB|，∴（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π.【答案】4π4．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：18490038】【解】法一设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x ，0)，B 点的坐标为(0，2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2，4)， ∴P A ⊥PB ，即k P A ·k PB ＝－1，而k P A ＝4－02－2x ＝21－x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1，∴21－x·2－y 1＝－1(x ≠1)，整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1，2)，它满足方程x ＋2y －5＝0. 综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y )，连结PM .∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝（x －2）2＋（y －4）2，|AB|＝（2x）2＋（2y）2，∴2（x－2）2＋（y－4）2＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程.。

高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.3.2 有答案

高中数学人教a版高二选修2-1_第二章_圆锥曲线与方程_2.3.2 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是()A.y218－x218＝1 B.x218－y218＝1C.x28－y28＝1 D.y28－x28＝1【解析】设等轴双曲线方程为x2a2－y2a2＝1(a＞0)，∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为x218－y218＝1.【答案】 B2．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A．4条B．3条C．2条D．1条【解析】因为双曲线方程为x2－y24＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.【答案】 B3．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的焦距等于()A．2B．2 2C．4D．4 2【解析】由已知得e＝ca＝2，所以a＝12c，故b＝c2－a2＝32c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±ba x＝±3x，由焦点到渐近线的距离为3，得32c＝3，解得c＝2，故2c＝4，故选C.【答案】 C4．若实数k满足0<k<5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解析】若0<k<5，则5－k>0，16－k>0，故方程x216－y25－k＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k4；同理方程x216－k－y25＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为16－k，虚半轴的长为5，焦距2c＝221－k，离心率e＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D.【答案】 D5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为() A．2 B. 3C. 2D.3 2【解析】双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即ba＝1，e＝ca＝ 2.【答案】 C 二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．【解析】∵c2＝m＋m2＋4，∴e 2＝c2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2. 【答案】 27．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5，0)，且A (5，0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】 448．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝b a x ，得点A 的坐标为： ⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎨⎧x －3y ＋m ＝0，y ＝－b a x ，得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2，∵k AB ＝13，∴k CP ＝3b 2m 9b 2－a 2a 2m9b 2－a 2－m＝－3，即3b 2a 2－（9b 2－a 2）＝－3，化简得a 2＝4b 2，即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，∴e2＝54，∴e＝52.【答案】5 2三、解答题9．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．【解】由椭圆x216＋y264＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴设双曲线方程为y2a2－x2a2＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.∴所求双曲线的方程为y224－x224＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝c2a2＝2，又e>0，∴e＝ 2.10．已知双曲线x23－y2b2＝1的右焦点为(2，0)．(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．【解】(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为x23－y2b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，∴双曲线的方程为x23－y2＝1.(2)∵a＝3，b＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±33x，令x ＝－2，则y ＝±233，设直线x ＝－2与双曲线的渐近线的交点为A ，B ，则|AB |＝433，记双曲线的渐近线与直线x ＝－2围成的三角形的面积为S ，则S ＝12×433×2＝433.[能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A.355B.62C.32D.55【解析】曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3，0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A.【答案】 A2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0【解析】由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，故选D.【答案】 D3．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．【解析】双曲线的左焦点为F 1(－2，0)，将直线AB 的方程y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 【答案】 34．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．【解】 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B>2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1，于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.。

2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

章末检测(二) 圆锥曲线与方程时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( )A. 3 B ． 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案：C3．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A5．已知椭圆x2a 2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．答案：A7．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为( ) A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：由题意，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，所以S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.答案：D8．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.答案：B9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．答案：D10．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.52D.32解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案：A12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意：B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12.答案：1214．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 315．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33p ，16p ，B ⎝⎛⎭⎪⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13.答案：1316. 已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0，由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4，所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2, 0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a 2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得 (20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a220－8a 2.∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫352×x 1＋x 22－4x 1x 2＝85× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1. 19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且过点P (2,2)，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)求抛物线的方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切．解析：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：x 2－(1＋2t 2)x ＋14＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB为直径的圆与准线l 相切．20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1， ①∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk. 又|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.点P⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 22．(13分)已知椭圆E 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其右焦点为F 2(1,0)，上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ，N .问：直线MN 是否一定经过x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解析：(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0)，∴c ＝1，左焦点为F 1(－1,0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4. ∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 点坐标为(－2,0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋3x 2＋4y 2＝12⇒(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4. 若6－8k 23＋4k 2＝6k 2－83k 2＋4，则得k 2＝1，即直线MN 的方程为x ＝－27，此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.当k 2≠1时，假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0)，则Q ′M →∥NQ ′→，又Q ′M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k2－m ，12k 3＋4k 2，NQ ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6k 2－83k 2＋4，12k 3k 2＋4，则由Q ′M →∥NQ ′→，解得m ＝－27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.。

高二数学人教版选修2-1习题第2章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

第二章 2.4 2.4.1一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．2．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线[答案] D[解析] 如图，设点P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，因此选D.3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1B ．32 C ．2D ．52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2， ∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 抛物线的准线为x ＝－p2，将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p ＝2，故选C.6．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] ∵点P 到y 轴的距离为6，∴点P 到抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2的距离d ＝6＋2＝8，根据抛物线的定义知点P 到抛物线焦点的距离为8. 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.[答案] －18[解析] 抛物线方程化为标准形式为x 2＝1a y ，由题意得a <0，∴2p ＝－1a ，∴p ＝－12a ，∴准线方程为y ＝p 2＝－14a ＝2，∴a ＝－18.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).[答案] x ＝－2[解析] 由直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2. 三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程.[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)．又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程.[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |[答案] C[解析] ∵点P 1、P 2、P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.4．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522 B ．522＋1 C.522－2D ．522－1[答案] D[解析] 设抛物线焦点为F ，过P 作P A 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.二、填空题5．已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物于点B ，过B 点作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.[答案]2[解析] 由抛物线的定义可得BM ＝BF ，F (P2，0)，又AM ⊥MF ，故点B 为线段F A 中点，即B (p 4，1)，所以1＝2p ×p4⇒p ＝ 2.6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称．点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0＝________.[答案] 1＋ 2[解析] ∵点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称，∴B (1,0)，根据题意，得y 20x 20－1＝2，又y 20＝4x 0，∴2x 0＝x 20－1，即x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x 0＝1＋ 2. 三、解答题7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6. ∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .8．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值.[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a2，－a 4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得 0．82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

人教新课标版(A)高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程综合例题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章圆锥曲线与方程综合例题例1. 设圆()25y 1x 22=++的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与直线CQ 交于M ，求M 点的轨迹方程。

分析：由M 在AQ 的中垂线上，知|MA ||MQ |=，于是发现CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |=+=+|=5，又C 、Q 为定点，可知轨迹为椭圆。

解：∵M 是AQ 的中垂线上的点， ∴|MA ||MQ |=，∴5|CQ ||MQ ||MC ||MA ||MC |==+=+。

∴点M 的轨迹是以C （-1，0），A （1，0）为焦点，以5为长轴长的椭圆。

∴5a 2=，2c 2=，25a =，1c =，4211425b 2=-=。

∴M 点的轨迹方程是121y 425x 422=+。

点拨：利用平面几何知识寻求轨迹的几何特征，再根据椭圆的定义求得轨迹方程，几何法、定义法都是求轨迹的重要方法。

例2. 如图，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

分析：根据曲线C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等可知，该曲线段C 是在某条抛物线上的，以1l 为x 轴，MN 的中点O 为原点建立如图所示的坐标系，据题意可知，点N 是该抛物线的焦点，2l 是准线，所以可令抛物线方程为()0p px 2y 2>=。

解：设A （A x ，A y ）、B （B x ，B y ），且B A x x <，B A y y 0<<。

∵点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，点N ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ，又17|AM |=，3|AN |=。

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+9y 2p x ,17y 2p x 2A 2A 2A 2A ，得p 4x A =，又A 2A px 2y =，∴8p4p 2y 2A =⋅=， ∴1782p p 42=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解得⎩⎨⎧==2x ,2p A ，或⎩⎨⎧==1x 4p A。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2 椭圆预习案新人教A版选修2-1(2021年整理)

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2.2 椭圆§2.2。

1 椭圆及其标准方程（一)【教学目标】1.知识与技能：掌握椭圆的定义;了解椭圆标准方程的推导过程，熟记椭圆标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆方程中的参数a、b、c的关系．2。

过程与方法：借助课件展示椭圆轨迹的产生，让学生经历椭圆的形成过程，师生共同推导标准方程，体会坐标法在平面解析几何中的应用，感受数学推理的严密．3.情感态度价值观：椭圆的定义及标准方程是本章的重点,也是高考经常涉及的考点；体会数与形的内在联系和完美统一,激发学生的求知欲．【预习任务】阅读教材P38—40，回答:1.（1）写出椭圆的定义．椭圆的焦点、焦距,椭圆定义中，有哪些特别注意事项；（2）若常数=｜F1F2|,则动点的轨迹是什么？；若常数<｜F1F2｜,则动点的轨迹是否存在？2.建立适当坐标系，推导椭圆的标准方程．3．根据椭圆的标准方程如何确定焦点所在的位置？4．找出右图中能表示a,b，c的所有线段．写出a,b，c 的关系式并体会它们的大小关系．B ACDF1F2【自主检测】1。

已知两点A(0，—3)、B(0，3)，由下列条件,分别写出点M的轨迹方程(1)｜MA｜+|MB｜=8 （2) |MA|+|MB｜=62.课本P42练习1,2,3【组内互检】椭圆的定义．椭圆的焦点、焦距及标准方程§2.2。

2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程能力检测含解析新人教A版选修2_1

第二章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分) 1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2 C ．y ＝2 D ．y ＝－2【答案】B【解析】抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－42＝－2.故选B ．2.(2020年山东潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( ) A.2 B.1 C.2 3 D. 3 【答案】A【解析】由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3.又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.3．若抛物线y 2＝2px的焦点与双曲线x 22－y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【答案】D【解析】双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2,0)，即抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，∴p2＝2，p＝4.故选D ．4．(2019年山东济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【解析】由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |>|OF |.∴点P 的轨迹是以点O ，F 为焦点的椭圆．5.(2020年辽宁沈阳模拟)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是( )A.x －2y ＋1＝0B.x －2y －1＝0C.2x －y ＋1＝0D.2x －y －1＝0 【答案】D【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2.又点A ，B 在抛物线y 2＝4x 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB的斜率k ＝2.所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.6.(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 29＋y 25＝1B.x 29＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D.x 23＋y 22＝1 【答案】A【解析】由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，故△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2.所以b 2＝a 2－c 2＝5.所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.故选A.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ∈[2，2]，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则此角的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π2B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2 C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤2π3，5π6【答案】C【解析】ba ＝e 2－1∈[]1，3，∴θ2∈⎣⎡⎦⎤π4，π3.∴θ∈⎣⎡⎦⎤π2，2π3. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】C【解析】设双曲线的离心率为e 1，椭圆的离心率为e 2，则e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝m 2－b 2m 2，由已知得e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2·m 2－b 2m2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 9．(2019年云南昆明模拟)已知F 1，F 2是双曲线M ：y 24－x 2m 2＝1的焦点，y ＝255x 是双曲线M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆E 与双曲线M 的焦点相同，P 是椭圆E 与双曲线M的一个公共点，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．10B ．12C ．14D ．16 【答案】B【解析】由题意易得双曲线的方程为y 24－x 25＝1，椭圆的方程为x 27＋y 216＝1，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 1|－|PF 2|＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝2⇒|PF 1|·|PF 2|＝12.10．(2019年江西南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则△MFN 的面积等于( )A ．83B ．163C ．833D ．1633【答案】C【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，化简得3y 2－4y －43＝0，y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833.故选C ． 11.(多选题)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的是( )A.y ＝2x －3B.y ＝2x ＋1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋3 【答案】ACD【解析】直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故选项A ，C ，D 的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.12.(多选题)已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值可以为( )A. 3B.－ 3C.413 D.－413【答案】ABCD【解析】由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2.将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，解得k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k4－k 2，x 1x 2＝－54－k2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2019年广西贵港期末)若以F 1(－3，0)，F 2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________________．【答案】x 22－y 2＝1【解析】设双曲线方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3.解得a 2＝2，b 2＝1.∴该双曲线的标准方程是x 22－y 2＝1.14．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为________________．【答案】y 2＝8x【解析】由抛物线定义知点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点的抛物线，p ＝4，∴其方程为y 2＝8x .15.(2020年广东广州模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 .【答案】－22【解析】∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x .∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1,22).∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.16.如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，则|BC |与|AD |的比值为；(2)若存在直线l ，使得BO ∥AN ，则两椭圆离心率e 的取值范围为 . 【答案】(1)34 (2)⎝⎛⎭⎫22，1【解析】(1)∵C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1(a >b >0)，直线l ：x ＝t (|t |<a ).分别和C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a ba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，baa 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC ||AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时的l 不符合题意.t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t＝a b a 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .∵|t |<a ，又0<e <1，∴1－e 2e 2<1，解得22<e <1.∴当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN ，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)已知点A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程．解：∵AB ＝32＋42＝5，∴AB 边上高h ＝205＝4.故点C 的轨迹是与直线AB 之间距离等于4的两条平行线．∵k AB ＝43，∴AB 的方程为4x －3y ＋4＝0.∴可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0.由|c －4|5＝4得c ＝24或c ＝－16. 故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.18．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x －1截得的弦长为15，求抛物线方程．解：设直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝ax .消去y ，得4x 2－(4＋a )x ＋1＝0. ∴x 1x 2＝14，x 1＋x 2＝4＋a 4.则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝⎛⎭⎫1＋a42－1＝15. 解得a ＝－12或a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－12x 或y 2＝4x .19．(12分)双曲线C 过点(2，5)且与双曲线x 24－y 2＝1有相同的渐近线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)求直线y ＝x ＋1被双曲线C 截得的弦长．解：(1)由公共渐近线可设C 的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线C 过点(2，5)， ∴λ＝224－(5)2＝－4.∴双曲线C 的方程为x 24－y 2＝－4，即y 24－x 216＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 24－x 216＝1，消去y ，可得3x 2＋8x －12＝0.则Δ>0.设直线与双曲线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－83，x 1x 2＝－4.∴所求弦长为1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4326.20．(12分)若抛物线y ＝－x 2－2x ＋m 和直线y ＝2x 相交于不同的两点A ，B ． (1)求实数m 的取值范围； (2)求|AB |；(3)求线段AB 的中点坐标．解：联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝－x 2－2x ＋m ，消去y 得x 2＋4x －m ＝0.(1)∵直线与抛物线有两个相异交点， ∴Δ>0，即42－4(－m )>0.∴m >－4.(2)当m >－4时，方程x 2＋4x －m ＝0有两个相异实根，设为x 1，x 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝－m . ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25m ＋20.(3)设线段AB 的中点坐标为(x ，y )，则 x ＝x 1＋x 22＝－42＝－2，y ＝y 1＋y 22＝2x 1＋2x 22＝－4.∴线段AB 的中点坐标为(－2，－4)．21．(12分)(2019年山东烟台模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，化简，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k2，－2x 22＝－83＋4k 2.消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2.解得k ＝±12. ∴直线l 的方程为y ＝±12x ＋1.22.(12分)(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P (2,1)在直线l 的左上方.若∠APB＝90°，且直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求线段MN 的长度.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2ab ＝8，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设直线l ：y ＝12x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.由Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＞0，得－2＜m ＜2. 所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 因为k P A ＝y 1－1x 1－2，k PB ＝y 2－1x 2－2，所以k P A ＋k PB ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝(y 1－1)(x 2－2)＋(y 2－1)(x 1－2)(x 1－2)(x 2－2)，上式中，分子＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1(x 2－2)＋12x 2＋m －1(x 1－2)＝x 1x 2＋(m －2)(x 1＋x 2)－4(m －1)＝2m 2－4＋(m －2)(－2m )－4(m －1)＝0，所以k P A ＋k PB ＝0.因为∠APB ＝90°，所以k P A ·k PB ＝－1，则k P A ＝1，k PB ＝－1. 所以△PMN 是等腰直角三角形，所以|MN |＝2x P ＝4.。

人教A版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程-圆锥曲线基本题型总结习题

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程；【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。

人教版高中数学选修2-1第二章单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年选修2-1第二章训练卷圆锥曲线与方程(一)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若椭圆2212x y m+=的离心率为12,则实数m =( )A.32或83B.32C.38D.32或382.已知双曲线E 的中心为原点,F (3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为N (－12,－15),则E 的方程为( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -=D.22154x y -= 3.双曲线2214x y k+=的离心率()1,2e ∈,则k 的取值范围是( )A.(－∞,0)B.(－12,0)C.(－3,0)D.(－60,－12)4.若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹为( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.已知两定点()11,0F -,()21,0F ,且1212F F 是1PF 与2PF 的等差中项,则动点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段6.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( )C.2D.37.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在8.已知(4,2)是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点,则l 的方程是( )A.x －2y ＝0B.x ＋2y －4＝0C.2x ＋3y ＋4＝0D.x ＋2y －8＝09.过椭圆22142x y +=的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点,已知双曲线的焦点在x 轴上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A 、B 两点,则双曲线的离心率e 为( ) A.1210.双曲线()2210x y mn m n-=≠有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合,则m n +的值为( ) A.3 B.2C.1D.以上都不对11.设1F ,2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=><的左、右焦点,点P 在双曲线上,若120PF PF ⋅=,且(122PF PF ac c ⋅==,则双曲线的离心率为( )C.2 12.已知1F ,2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线右支上此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号的任意一点,若212PF PF 的最小值为8a ,则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(1,2]C.(D.(1,3]二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.若双曲线的渐近线方程为13y x =±,它的一个焦点是),则双曲线的标准方程是________.14.椭圆22192x y +=的焦点为1F ,2F ,点P 在椭圆上,若14PF =,则2PF =________,12F PF ∠的大小为________. 15.已知1F 、2F 是椭圆22221x ya b+=的左、右焦点,点P 是椭圆上任意一点,从1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线,交2F P 的延长线于M ,则点M 的轨迹方程是________. 16.设1F ,2F 分别为椭圆2213xy +=的左,右焦点,点A ,B 在椭圆上,若125F A F B =,则点A 的坐标是________.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)求与椭圆22194x y+=有公共焦点,的双曲线方程.18.(12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率e =,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ,B .已知点A 的坐标为(),0a -,点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上,且4QA QB ⋅=,求0y 的值.19.(12分)已知过抛物线()220y Px P =>的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ,()22,B x y 两点.求证：(1)12x x 为定值； (2)11FA FB+为定值.20.(12分)已知)A、()B 两点,动点P 在y 轴上的射影为Q ,22PA PB PQ ⋅=.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线M 过点A ,斜率为k ,当0<k <1时,曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线M试求k 的值及此时点C 的坐标.21.(12分)图2设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>,抛物线222:C x by b +=.(1)若2C 经过1C 的两个焦点,求1C 的离心率；(2)设()0,A b,54Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又M ,N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点,若△AMN 的垂心为30,4B b ⎛⎫⎪⎝⎭,且△QMN 的重心在2C 上,求椭圆1C 和抛物线2C 的方程.22.(12分)()()000,P x y x a ≠±是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>上一点,M ,N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM ,PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC OA OB λ=+,求λ的值.2018-2019学年选修2-1第二章训练卷圆锥曲线与方程(一)答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】A【解析】如果2m <,则c =12=,所以32m =；如果2m >,则c =12=,则83m =.故选A. 2.【答案】B【解析】∵F (3,0),AB 的中点N (－12,－15),∴1501123ABk --==--. 又∵F (3,0),可设双曲线的方程为22221x y a b -=,易知229a b +=①再设()11,A x y ,()22,B x y ,则有2211221x y a b -=② 2222221x y a b-=③由②－③可得2222121222x x y y a b --=,即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -++-= ∴21212212121AB y y x x b k x x a y y -+=⨯==-+. 又∵12122x x +=-,12152y y +=-,∴式可化为2212115b a -⎛⎫⨯= ⎪-⎝⎭,∴2254b a =④ 由①和④可知25b =,24a =,∴双曲线的方程为22145x y -=,故选择B.3.【答案】B【解析】∵24a =,2b k =-,∴24c k =-.∵()1,2e ∈,∴()2241,44c ka -=∈,k ∈(－12,0). 4.【答案】D【解析】设M (2,0),由题设可知,把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线2x =-,则点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |,所以动点P 的轨迹为抛物线,故选D.5.【答案】D【解析】依题意知12122PF F F P F +==,作图可知点P 的轨迹为线段,故选D. 6.【答案】B【解析】不妨设双曲线C 为()222210,0x y a b a b-=>>,并设l 过()2,0F c 且垂直于x 轴,则易求得22b AB a=,∴2222b a a =⨯,222b a =,∴离心率c e a ===故选B.7.【答案】B【解析】过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A ,B 两点,若直线AB 的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.故设直线AB 的斜率为k ,则直线AB 为()1y k x =-代入抛物线24y x = 得()2222220k x k x k -++=,A ,B 两点的横坐标之和等于5,()22225k k +∴=,243k =,∴这样的直线有且仅有两条.故选B. 8.【答案】D【解析】设l 与椭圆的两交点分别为()11,x y 、()22,x y ,则得22122212936y y x x -=--,所以121212y y x x -=--.故方程为()1242y x -=--,即280x y +-=.故选D. 9.【答案】C【解析】)A,)1B-,设双曲线为()222210,0x y a b a b-=>>,渐近线方程为by x a=±,因为A 、B 在渐近线上,所以1b a =b a =c e a ==故选C. 10.【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点为F (1,0),故双曲线221x y m n-=中0m >,0n >,且21m n c +==.C 选项正确. 11.【答案】A【解析】由120PF PF ⋅=可知12PF F △为直角三角形,则由勾股定理, 得222124PF PF c +=,① 由双曲线的定义,得()22124PF PF a -= ②又122PF PF ac ⋅=,③由①②③得220c ac a --=,即210e e --=,解得e =或e =(舍去).故选A.12.【答案】D 【解析】()222212222244448a PF PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥+=,当且仅当2224a PF PF =,即22PF a =时取等号.这时14PF a =.由1212PF PF F F ≥+, 得62a c ≥,即3ce a=≤,得(]1,3e ∈,故选D.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.【答案】2219x y -=【解析】由双曲线的渐近线方程为13y x =±,知13b a =,它的一个焦点是),知2210a b +=,因此3a =,1b =,故双曲线的方程是2219x y -=.14.【答案】2,120°【解析】由椭圆的定义知122236PF PF a =⨯+==,因为14PF =,所以22PF =.在12PF F △中,222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==-.∴12120F PF ∠=︒.15.【答案】(2224x ya +=【解析】由题意知1MP F P =,∴1222PF PF MF a +==.∴点M 到点2F 的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点2F 为圆心,以2a 为半径的圆,其方程为(2224x ya +=.16.【答案】()0,1±【解析】设11(),A x y ,22(),B x y ,由()1F ,)2F ,且125F A F B =得(2115x x =+,2115y y=.又A 、B 两点在椭圆上,故有(221122111317525x y x y+⎧⎪⎪⎨=++=⎪⎪⎩,消去1y 得(2211243x x +-=,有10x =,从而11y =±,故点A 的坐标为(0,1)和(0,)1-.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】2214x y -=.【解析】由椭圆方程22194x y +=,知长半轴13a =,短半轴12b =,焦距的一半1c∴焦点是()1F,)2F ,因此双曲线的焦点也是()1F ,)2F ,设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,由题设条件及双曲线的性质,得222c c a b c a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,故所求双曲线的方程为2214x y -=.18.【答案】(1)2214x y +=；(2)0y =±或0y =.【解析】(1)由c E a ==,得2234a c =.再由222c a b =-,得2a b =.由题意可知12242a b ⨯⨯=,即2ab =.解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩,得a ＝2,b ＝1.所以椭圆的方程为2214xy +=. (2)由(1)可知()2,0A -.设B 点的坐标为()11,x y ,直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为()2y k x =+. 于是A ,B 两点的坐标满足方程组()22214y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 由方程组消去y 并整理,得()()222214161640k x k x k ++-=+.由212164214k x k --=+,得2122814k x k-=+.从而12414ky k =+. 设线段AB 的中点为M ,则M 的坐标为22282,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 以下分两种情况：①当k ＝0时,点B 的坐标为(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴,于是()02,QA y =--,()02,QB y =-.由4QA QB ⋅=,得0y =±.②当k ≠0时,线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令x ＝0,解得02614ky k =-+. 由()02,QA y =--,()110,QB x y y =-.()()210102222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --⎛⎫⋅=---=++ ⎪++++⎝⎭()()4222416151414k k k +-==+,整理得272k =,故k =所以0y =.综上,0y =±或0y =. 19.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)抛物线22y Px =的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,消去y ,得()22222204k p k x P k x -++=. 由根与系数的关系,得2124p x x = (定值).当AB ⊥x 轴时,122px x ==,2124p x x =,也成立.(2)由抛物线的定义,知12p FA x =+,22pFB x =+.()()121222121212121111222422x x p x x p p p pp p p FA FB x x x x x x x x +++++=+==+++++++()121222x x p ppx x p ++==++ (定值). 当AB ⊥x 轴时,FA FB P ==,上式仍成立. 20.【答案】(1)222y x -=；(2)k =,(C . 【解析】(1)设动点P 的坐标为(x ,y ),则点Q(0,y ),(),0PQ x =-,()2,PA xy =-,(),PB x y =-,222PA PB x y ⋅=-+.∵22PA PB PQ ⋅=,∴22222x y x -+=,即动点P 的轨迹方程为222y x -=. (2)设直线M ：(()01y k x k =<<,依题意,点C 在与直线M 平行且与M ,设此直线为1:M y kx b =+.=,即22b +=.①把y kx b =+代入222y x -=,整理,得()()2221220k x kbx b -++-=,则()()222244120Δk b k b =---=,即2222b k +=.② 由①②,得k =,b =此时,由方程组222y y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩,解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(C . 21.【答案】；(2)1C ：2211643x y +=,2C ：224x y +=. 【解析】(1)因为抛物线2C 经过椭圆1C 的两个焦点1,()0F c -,()2,0F c ,可得22c b =. 由22222a b c c =+=,有2212c a =,所以椭圆1C的离心率e =.(2)由题设可知M ,N 关于y 轴对称,设()11,M x y -,()11,N x y ,()10x >,则由△AMN 的垂心为B ,有0BM AN ⋅=, 所以()2111304x y b y b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭①由于点()11,N x y 在2C 上,故有2211x by b +=②由①②得14by =-,或1y b = (舍去),所以1x =,故,4b M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,4b N ⎫-⎪⎪⎝⎭, 所以△QMN的重心为4b ⎫⎪⎭,由重心在2C 上得：2234b b +=,所以2b =,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,12N ⎫-⎪⎭,又因为M ,N 在1C 上,所以(2221214a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=,得2163a =.所以椭圆1C 的方程为：2211643x y +=, 抛物线2C 的方程为：224x y +=. 22.【答案】；(2)λ＝0或λ＝－4. 【解析】(1)点()()000,P x y x a ≠±在双曲线22221x y a b-=上,有2200221x y a b -=.由题意又有000015y y x a x a ⋅=-+,可得225a b =,22226c a b b =+=,则c e a ==.(2)联立22255x y b y x c⎧-=⎨=-⎩,得22410350x cx b -+=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则1221252354c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ① 设()33,OC x y =,OC OA OB λ=+,即312312x x x y y y λλ=+⎧⎨=+⎩,又C 为双曲线上一点,即2223355x y b -=, 有()()222121255x x y y b λλ+-+=,化简得()()()2222221122121255255x y x y x x y y b λλ--+⋅-=.②又()11,A x y ,()22,B x y 在双曲线上,所以2221155x y b -=,2222255x y b -=.由①式又有()()()221212121212125545510x x y y x x x c x c x x c x x c b -=--⋅-=-++-=,得：240λλ+=,解出λ＝0或λ＝－4.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程习题课_双曲线的综合问题及应用课件新人教A版选修2_1

积为 2 ,求实数k的值.
思路分析直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的
关系⇒直线与双曲线的位置关系.
探究一
探究二
当堂检测
= -1,
2 - 2 = 1,
消去 y 并整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
1- 2 ≠ 0,
则
= 4 2 + 8(1- 2 ) > 0,
(1)定义:|r1-r2|=2a.
(2)余弦公式:4c2=12 + 22 -2r1r2cos θ.
1
(3)面积公式:△ 1 2 = 2r1r2sin θ.
一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.
【思考】直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)
相切,那么,直线与双曲线相切,能用这个方法判断吗?
1
有唯一公共点,由于双曲线的渐近线为 y=±2x,
1
1
故直线 l 的方程为 y=2(x-2)或 y=-2(x-2),
1
1
即 y=2x-1 或 y=-2x+1.故选 C.
答案C
2

【做一做4】双曲线x2- 3=1的左、右顶点分别为A,B,右支上有一
点M,且kMA=1,则△MAB的面积为
.
2

解析因为kMA=1,A(-1,0),故直线MA的方程为y=x+1,代入x2- 3 =1,整
习题课——双曲线的综合问题及应用
课标阐释
思维脉络
1.掌握利用双曲线的定义解决双曲线的综合问题及应用
有关问题的方法.
双曲线定义的应用
2.理解直线与双曲线的位置关

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 Word版含答案

(0，2)．
由椭圆的定义知，
2a＝ 32＋（2＋2）2＋ 32＋（2－2）2＝8，
所以 a＝4，所以 b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在 y 轴上， y2 x2
所以椭圆的标准方程为＋＝1. 16 12
(2)由题意知，2a＝26，即 a＝13，又因为 c∶a＝5∶13，所以 c＝
5，
所以 b2＝a2－c2＝132－52＝144，
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题 x2 y2
1．(2016·潍坊高二检测)如果方程＋＝1 表示焦点在 x 轴上 a2 a＋6
的椭圆，则实数 a 的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
【解析】由于椭圆的焦点在 x 轴上，
∴|QF1|＝4，F1(－1，0)，
∴动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心，4 为半径的圆， ∴动点 Q 的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝16
三、解答题
x2 y2
9．设
F1， F2 分别是椭圆
C：＋＝ 1(a＞ b＞ 0)的左、右焦 a2 b2
36 20
P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2 的面积等于( )
A．5
B．4
C．3
D．1
【解析】由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝ 5，∴|PF1|＋|PF2| ＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由 22＋42＝(2
3
＝1

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章圆锥曲线与方程 2.3.2

2.3.2 双曲线的简单几何性质课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围对称性顶点轴长实轴长＝____，虚轴长＝____ 离心率渐近线一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于________．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±ba时，Δ＝(－2a 2mk)2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y 22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y 210＝1 2．双曲线x 225－y 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52xC ．y ＝±425xD ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43 B 53 C . 2 D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝⎛⎭⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．设双曲线x 2－y 22＝1上两点A 、B ，AB 中点M(1,2)，求直线AB 的方程．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A . 2 B . 3C .3＋12D .5＋1213．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1 (a>0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B.(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a ，0)，实轴长为2a ，虚轴长为2b ；其上任一点P(x ，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e ＝c a 的取值范围是(1，＋∞)，其中c 2＝a 2＋b 2，且ba＝e 2－1，离心率e 越大，双曲线的开口越大．可以通过a 、b 、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记为x 2a 2－y 2b 2＝0；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为x 2a 2－y2b2＝λ (λ≠0)． 2.3.2 双曲线的简单几何性质知识梳理 1. 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝2c范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≥a 或y ≤－a ，x ∈R对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a )，(0，a ) 轴长实轴长＝2a ，虚轴长＝2b离心率 e ＝ca(e >1)渐近线 y ＝±b a x y ＝±abx作业设计1．B [∵e ＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B.]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝⎛⎭⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y 2－4x 2＝1.故选C.] 4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .] 5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c －a ，即2a ≥3c －3a ，即5a ≥3c ，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a >b ，∴a ＝3，b ＝2.∴c ＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y 216＝1(x >3) 解析以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－5,0)，C (5,0)，而|AB |－|AC |＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝(－3)29－(23)216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y 24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫1542a 2－32b2＝1，b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上．因为PF 1⊥PF 2，且|OP |＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP |＝12，所以c ＝6.又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y 224＝1.11．解方法一 (用韦达定理解决) 显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2，∴k ＝1，满足Δ>0，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2，∴k AB ＝2×1×22×2＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.∴直线AB 的方程为y ＝x ＋1. 12.D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]13．解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得－2<a <2且a ≠±1. 又∵a >0，∴0<a <2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝ 1a 2＋1，∴0<a <2，且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2.∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)．∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此可得x 1＝512x 2.∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2，消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169.又∵a >0，∴a ＝1713.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章圆锥曲线与方程 2.3.1

§ 2.3双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题8．已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A 的轨迹方程．能力提升A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．§2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线不存在 (2)双曲线的焦点双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0) (0，－c ) (0，c ) (3)c 2＝a 2＋b 2 作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲乙，只有当2a <|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab <0，所以ba <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线，故选B.]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m ＋3＋m ＝c 2＝4.∴m ＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a 2－y 25－a 2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.故选B.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4，又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2 ＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k <1解析因为方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k )(1－k )>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k <1.解析设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解方法一设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(±15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.方法二将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)．所以2a ＝|(±15－0)2＋(4＋3)2－(±15－0)2＋(4－3)2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.11．解设A 点的坐标为(x ，y )，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC |2R －|AB |2R ＝12·|BC |2R ，又|BC |＝8，所以|AC |－|AB |＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1 (x >2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，13．解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝⎛⎭⎫－23，－53. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y 25＝1.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。