初三数学期中试卷及答案

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初三数学期中考试试卷及答案

初三数学期中考试试卷及答案第一卷：选择题（共80分）一、选择题（每小题1分，共40分）1. 下列各组函数中，相等的是（）a) y = x^2 - 2x + 1，y = (x - 1)^2b) y = |2x - 1|，y = -(2x - 1)c) y = |2x - 1|，y = 2|x| - 1d) y = 2|x + 1|，y = -2|x + 1|2. 单项式 2x^3 y z^2 的次数是（）a) 2 b) 3 c) 4 d) 53. 若 a:b = 7:5，b:c = 4:3，求 a:b:c =a) 7:5:3 b) 7:4:5 c) 7:10:12 d) 28:20:154. 圆心坐标为 (-4, 2)，半径为 5 的圆方程是（）a) (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2b) (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2c) (x + 4)^2 + (y + 2)^2 = 5^2d) (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 5^2...第二卷：非选择题（共70分）五、计算题（共30分）1. 化简：(3a^2b)^3 / (6a^5b^2) =2. 解方程：4x - 5 = 3x + 73. 已知图中三角形 ABC，其中∠B = 90°，AC = 8cm，BC = 6cm。

求 sin A 和 cos C 的值。

...八、解答题（共20分）1. 某商店购进一批相同的商品，第一天卖出了商品总数的 1/4，第二天又卖出了剩余商品总数的1/3 ，已知最后剩下的商品总数是60 件，求原先购进的商品总数。

2. 一辆汽车从 A 地开往 B 地，全程 300 km，开了 4 个小时到达终点。

第二天，汽车原路返回，回到 A 地用了 6 个小时。

求汽车在去程和返程时的平均速度。

...第三卷：答题卡（共10分）请将你的答案填写在答题卡上。

注意事项：1. 请认真核对试卷上的题号和试卷形式，确保填涂无误。

2023-2024学年北京东城区广渠门中学初三(上)期中数学试卷和答案

2023北京广渠门中学初三（上）期中数学本试卷共8页，100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无．．．．．．．效．．一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 习近平总书记提出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2. 下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A. 31y x =−B. 21y x =C. 231y x x =+−D. 321y x =− 3. 若关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A. 9−B. 94−C. 94D. 94. 如图将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒到ADE ，若50DAE ∠=︒，则CAD ∠=（）A. 30︒B. 40︒C. 50︒D. 90︒ 5. 如图，O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于点C ，则OC 的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y （单位：米）与飞行的水平距离x （单位：米）之间具有函数关系21531682y x x =−++，则小康这次实心球训练的成绩为（）A. 14米B. 12米C. 11米D. 10米7. y 是x 的二次函数，其对应值如下表：A. 该二次函数的图象的对称轴是直线 1x =B. 1m =C. 当3x >时，y 随x 的增大而增大D. 图象与x 轴有两个公共点8. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 在AD 边上自A 至D 运动，点N 在BA 边上自B 至A 运动，M ，N 速度相同，当N 运动至A 时，运动停止，连接CN ，BM 交于点P ，则AP 的最小值为（）A. 1B. 2 1二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 点(3,2)−关于原点对称的点的坐标为_______．10. 已知2x =是一元二次方程220x mx −+=的一个根，则另一个根是_________．11. 某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x ，降价后的出厂价为144元、依题意可列方程为：___________．12. 如图，平面直角坐标系中，AB x ⊥轴于点B ，点A 的坐标为(32)，，将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，则A '的坐标是_____．13. 若抛物线24y x =向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是________．14. 关于x 的方程220x x c +−=无实数根，则二次函数22y x x c =+−的图象的顶点在第______ 象限． 15. 已知点()()1,,2,m n −在二次函数223(0)y ax ax a =++>的图象上，则m _____________n ．（填“>”“<”或“=”）16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2y ax bx =+，其中0a b +>，下列结论：①若这个函数的图象经过点(2,0)，则它必有最大值；②若这个函数的图象经过第三象限的点P ，则必有a<0；③若a<0，则方程20ax bx +=必有一根大于1；④若0a >，则当112x ≤≤时，必有y 随x 的增大而增大．结合图象判断，所有正确结论的序号是____________．二、解答题（共12小题，共68分）17. 按要求解下列方程．（1）用因式分解法解：250x x +=；（2）用公式法解：2310x x ++=．18. 小北同学解方程2210x x −−=的过程如下所示．解方程：2210x x −−=．解：221x x −=⋯第一步2(1)1x −=⋯第二步10x =，22x =⋯第三步（1）小北同学是用___________（“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）来求解的，从第___________步开始出现错误．（2）请你用与小北同学相同的方法解该方程．19. 若m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根，求2322−+m m 的值．20. 已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(1,10),(2,8)A B −−两点．（1）求b ，c 的值．（2）求该函数图象与x 轴的交点坐标．21. 已知抛物线22(21)y x m x m m =−−+−．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上，求m 的值．22. 如图，正方形网格中，ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）画出与ABC 关于坐标原点O 成中心对称的111A B C △．（2）111A B C △的面积为___________．（3）将ABC 绕某点逆时针旋转90︒后，其对应点分别为2(1,2)A −−，2(1,3)B −，2(0,5)C −，则旋转中心的坐标为___________．23. 如图，已知△ABC 是等边三角形，在△ABC 外有一点D ，连接AD ，BD ，CD ，将△ACD 绕点A 按顺时针方向60旋转得到△ABE ，AD 与BE 交于点F ，∠BFD ＝97°．（1）求∠ADC 的大小；（2）若∠BDC ＝7°，BD ＝2，BE ＝4，求AD 的长．24. 2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践若设菜地的宽AB 为x 米．（1）BC =（）米（用含x 的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB ．25. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程25140x x +−=，即(5)14x x +=的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是2(5)x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为(5)14x x +=，中间的小正方形面积为25，所以大正方形的面积又可表示为24145⨯+，据此易得原方程的正数解为2x =．任务：（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程23100x x −−=解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）．（2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程22150x x +−=的正数解（写出必要的思考过程）26. 在平面直角坐标系xOy 中，点123(1)(1)(2)y y y −，，，，，在抛物线2y ax bx =+上．（1）若12a b ==−，，求该抛物线的对称轴并比较1y ，2y ，3y 的大小；（2）已知抛物线的对称轴为x t =，若2310y y y <<<，求t 的取值范围．27. 已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；（3）联结AF ，求证：DE =．28. 定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x m =，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x m =的“镜面函数”．例如：图①是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为1(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨−+<⎩，也可以写成1y x =+．（1）在图③中画出函数21y x =−+关于直线1x =的“镜面函数”的图象．（2）函数222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线y x n =−+有三个公共点，求n 的值．（3）已知抛物线242(0)y ax ax a =−+<，关于直线0x =的“镜面函数”图像上的两点()11,P x y ，()22,Q x y ，当111t x t −≤≤+，24x ≥时，均满足12y y ≥，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，每道小题2分，共16分）1. 【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A .该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧能完全重合的图形叫轴对称图形；将一个图形绕一点旋转180度后能与自身完全重合的图形叫中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．2. 【答案】C【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，故此选项不合题意；B 、21y x =不是二次函数，故此选项不合题意； C 、y =3x 2+x -1是二次函数，故此选项符合题意；D 、y =2x 3-1不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．3. 【答案】C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ0=，进而即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x x m −+=有两个相等的实数根，∴24940b ac m ∆=−=−=．解得：94m =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．4. 【答案】B【分析】由旋转的性质可得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，即可求解．【详解】解：由旋转的性质，得50BAC DAE ∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，∴40CAD BAD BAC ∠=∠−∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．5. 【答案】C【分析】由于OC AB ⊥于点C ，所以由垂径定理可得142AC AB ==，在Rt ABC 中，由勾股定理即可得到答案．【详解】解：在O 中，∵OC AB ⊥，8AB = ∴142AC AB == ∵在Rt ABC 中，5OA =，4AC =∴由勾股定理可得：3OC ===故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键．6. 【答案】B【分析】根据铅球落地时，高度0y =，把实际问题可理解为当0y =时，求x 的值即可．【详解】解：当0y =时，则215301682x x −++=，解得2x =−（舍去）或12x =．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．7. 【答案】D【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A ，当0x =时，求出m 的值，可以判断B ，根据a 的值和对称轴确定y 随x 的变化情况，可以判断C ，根据根的判别式确定与x 轴的交点个数，可以判断D ，从而得到答案．【详解】解：设二次函数为2y ax bx c =++，则01424a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=−+⎩，解得：121a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：221y x x =−+，对称轴为：2122b x a −=−=−=，故选项A 正确，当0x =时，1y =，1m ∴=，故选项B 正确，10a ∴=>，∴图象开口向上，∴当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，∴当3x >时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确，()22424110b ac ∆=−=−−⨯⨯=，∴图象与x 轴有一个公共点，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式．8. 【答案】C【分析】先确定点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，再求AP 的最小值即可【详解】解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB BC CD DA A ABC ===∠=∠=︒，∴90BCN BNC ∠+∠=︒，又BN AM =,∴ABM BCN ∆≅∆，∴ABM BCN ∠=∠，∴90ABM BNC ∠+∠=︒，∴90BPC BPN ∠=∠=︒，∴点P 的运动轨迹为以BC 为直径的一段弧，如图2所示，连接1AO 交弧于点P ，此时，AP 的值最小，在1Rt ABO ∆中，112,12AB BO BC ===，由勾股定理得，1AO ===，∴111AP AO PO =−=，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及圆的性质，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键．二、填空题（共8小题，每道小题2分，共16分）9. 【答案】(3,2)−【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：点()3,2−关于原点对称的点的坐标为()3,2−，故答案为：()3,2−．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点(),x y 关于原点O 的对称点是(),x y −−．10. 【答案】1x =【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】解：设该方程的另一个根为a ，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：22a =，∴1a =；故答案为1x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11. 【答案】2400(1)144x −=【分析】平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格400(1)x −元，第二次降价后的价格为2400(1)x −元．根据降价后的出厂价为144元，列出方程即可．【详解】解：根据题意，列方程为2400(1)144x −=．故答案为：2400(1)144x −=．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据所设未知数，表示出第二次降价后价格是解决本题的关键．12. 【答案】(23)−，【分析】根据题意画出图形旋转后的位置，根据旋转的性质确定对应点A '的坐标．【详解】解：如图．∵将AOB 绕原点O 顺时针旋转90︒得到A OB ''△，∴23A B AB OB OB ''==='=，，90OA B OBA ∠=∠=''︒，∴(23)A '−，．故答案为：(23)−，．【点睛】此题考查了旋转变换、点的坐标及旋转的性质，解答本题的关键是掌握旋转的三要素，及旋转的性质：()a b ，绕原点顺时针旋转90︒得到的坐标为()b a −，． 13. 【答案】()2421y x =−−【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：平移后的抛物线的解析式是()2421y x =−−，故答案为：()2421y x =−−【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14. 【答案】二【分析】由程220x x c +−=无实数根，可知抛物线与x 轴没有交点，由二次项系数大于0可知抛物线在x 轴的上方，然后结合对称轴即可求解．【详解】解：∵关于x 的方程220x x c +−=无实数根，∴二次函数22y x x c =+−的图象与x 轴没有交点，∵10a =>，∴二次函数22y x x c =+−的图象开口向上，∴抛物线在x 轴上方， ∵对称轴为直线12b x a=−=−， ∴抛物线顶点在第二象限．故答案为：二．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．15. 【答案】>【分析】根据二次函数的图象性质，得对称轴=1x −，结合对称性判断．【详解】解：二次函数223(0)y ax ax a =++>，对称轴为212a x a=−=−， ∵1(1)21(2)1−−=>−−−=，∴(1,)m 与对称轴的距离较(2,)n −与对称轴的距离远．而0a >，∴m n >．故答案为：>【点睛】本题考查二次函数的图象性质；确定对称轴，理解对称性是解题的关键．16. 【答案】①③④【分析】①将点(2,0)代入2y ax bx =+中，得2b a =−，再将其代入0a b +>，判断出a 与0的关系，从而判断最值即可；②通过0a >，0b >，可得抛物线过一、二、三象限，从而判断出a<0错误即可；③根据a<0，0a b +>判断出对称轴的取值范围，再利用抛物线的对称性可判断方程的根；④当0a >时，0b ≥或0b <进行分类讨论，先判断对称轴的范围，最后判断增减性即可．【详解】解：①将(2,0)代入2y ax bx =+中，得420a b +=，∴2b a =−，∵0a b +>，∴20a b a a a +=−=−>，即a<0∴抛物线开口向下，有最大值，故①正确；②∵抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴当0a >，0b >时，对称轴02b x a=−<， ∴图象经过第三象限时，不一定有a<0，故②错误；③抛物线2y ax bx =+过原点，且0a b +>，∴方程20ax bx +=的其中一个根为0，当a<0时，b a >−，则有对称轴122b x a =−>，根据抛物线的对称性可知：方程20ax bx +=的另一根大于1，故③正确；④当0a >，0b ≥时，抛物线对称轴02b x a=−≤， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大，当0a >，0b <时，即0a b −<<，抛物线对称轴122b x a =−<， ∴112x ≤≤，y 随x 增大而增大，综上所述：若0a >时，则当112x ≤≤，y 随x 增大而增大，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练掌握其性质．二、解答题（共12小题，共68分）17. 【答案】（1）120,5x x ==−（2）1233,22x x −−== 【分析】（1）先用提取公因式分解方程的左边，然后求解即可；（2）先用根的判别式判别一元二次方程根的情况，然后再根据求根公式解答即可．【小问1详解】解：250x x +=()50x x +=0,50x x =+=120,5x x ==−．【小问2详解】解：2310x x ++=2341150∆=−⨯⨯=>3322x −−±==1233,22x x −−==．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解答本题的关键．18. 【答案】（1）配方法，二（2）11x =+，21x =【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．（1）根据配方法解一元二次方程的一般步骤判断；（2）利用配方法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：小北同学是用配方法来求解的，从第二步开始出现错误，故答案为：配方法，二．【小问2详解】2210x x −−=．解：221x x −=2(1)2x −=1x −=11x =，21x =．19. 【答案】1【分析】把x m =代入210x x −−=即可得到21m m −=，再整体代入即可求值．【详解】解：∵m 是关于x 的一元二次方程210x x −−=的根∴把x m =代入210x x −−=得：210m m −−=∴21m m −=∴2232232()3211m m m m −+=−−=−⨯=．【点睛】本题考查一元二次方程的解，利用整体求值是解题的关键．20. 【答案】（1）5,6b c ==−（2）()(1,0),60−，【分析】（1）依据题意，将A 、B 代入解析式进行计算可以得解；（2）由（1）再令0y =，从而计算可以得解．【小问1详解】解：点(1,10),(2,8)A B −−代入抛物线，得110,428b c b c −+=−⎧⎨++=⎩5.6b c =⎧∴⎨=−⎩【小问2详解】∵5,6b c ==−∴256y x x =+−．令0y =，解得，121,6x x ==−．∴二次函数与x 轴的交点坐标为()(1,0),60−，．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，解题时要熟练掌握并理解是关键．21. 【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为-3或1.【分析】（1）先求得△的值，然后证明△0>即可；（2）依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上可得到233m m m −=−+，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）令0y =得：22(21)0x m x m m −−+−=①△22(21)4()10m m m =−−−=>∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）令：0x =，根据题意有：233m m m −=−+，整理得：2230m m +−=解得3m =−或1m =．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，依据此抛物线与直线33y x m =−+的一个交点在y 轴上得到关于m 的方程是解题的关键．22. 【答案】（1）见解析（2）52（3）()01−，【分析】本题考查作图—旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键.（1）根据中心对称的性质作图即可.（2）利用割补法求三角形的面积即可.（3）连接22,AA CC ，分别作线段22,AA CC ，的垂直平分线，两线相交于点M ，则点M 为ABC 与222A B C 的旋转中心，即可得出答案.【小问1详解】如图, 111A B C △即为所求.【小问2详解】111A B C △的面积为()111523221312222⨯+⨯−⨯⨯−⨯⨯=，故答案为：52. 【小问3详解】如图, 连接22,AA CC ，再分别作线段22,AA CC 的垂直平分线，两线相交于点M ，则 ABC 是绕点M 逆时针旋转90︒后得到的222A B C ，∴旋转中心的坐标为()01−，，故答案为：()01−，.23. 【答案】（1）23°；（2）【分析】（1）由旋转的性质可得AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，由三角形的内角和定理可求解；（2）连接DE ，可证△AED 是等边三角形，可得∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，由旋转的性质可得△ACD ≌△ABE ，可得CD ＝BE ＝4，由勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴AB ＝AC ，∠ADC ＝∠E ，∠CAB ＝∠DAE ＝60°，∵∠BFD ＝97°＝∠AFE ，∴∠E ＝180°−97°−60°＝23°，∴∠ADC ＝∠E ＝23°；（2）如图，连接DE ，∵AD ＝AE ，∠DAE ＝60°，∴△AED 是等边三角形，∴∠ADE ＝60°，AD ＝DE ，∵将△ACD 绕点A 按顺时针方向旋转得到△ABE ，∴△ACD ≌△ABE ，∴CD ＝BE ＝4，∵∠BDC ＝7°，∠ADC ＝23°，∠ADE ＝60°，∴∠BDE ＝90°，∴DE ，∴AD ＝DE ＝【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．24. 【答案】（1）36-3x（2）8【分析】对于（1），根据3432BC AB =−+即可表示；对于（2），根据面积公式列出方程，求出解，并判断．【小问1详解】根据题意可知3432363BC AB x =−+=−；故答案为：363x −；【小问2详解】根据题意，得(363)96x x −=，解得8x =或4x =（不合题意，舍去）．所以，宽AB 为8米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键．25. 【答案】（1）② （2）3x =【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()215x x +=，中间的小正方形面积为22，即可解决问题.【小问1详解】∵应构造面积是 ()23x x +−的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为 ()310x x −=，中间的小正方形面积为23,∴大正方形的面积又可表示为2410349⨯+=，∴大正方形的边长为7，所以 37x x +−=5x ∴=，故正确构图②，故答案为: ②;【小问2详解】首先构造了如图2所示的图形，图中的大正方形面积是()22x x ++，其中四个全等的小矩形面积分别为()215x x +=，中间的小正方形面积为22，所以大正方形的面积又可表示为2415264⨯+=，进一步可知大正方形的边长为8，所以28x x ++=，解得 3.x =【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想.26. 【答案】（1）132y y y >>；（2）112t <<．【分析】（1）将12a b ==−，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解；（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论0a >与a<0两种情况．【小问1详解】解：（1）∵12a b ==−，，∴22y x x =−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线212x −=−=， ∵1(1)2111−−>−>−， ∴132y y y >>；【小问2详解】把0x =代入2y ax bx =+得0y =， ∴抛物线经过原点(00)，， ①0a >时，抛物线开口向上，∵20y <，∴0t >，当31y y =时，12122t −+==， ∵31y y <， ∴12t >；当20y =时，0212t +==， ∴112t <<满足题意． ②a<0时，抛物线开口向下， ∵20y <，∴0t <，∴0x >时，y 随x 增大而减小， ∴32<y y ，不符合题意．综上所述，112t <<．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．27. 【答案】（1）30°；（2）不变；45°；（3）见解析【分析】（1）利用图形的旋转与正方形的性质得到△BEC 是等边三角形，从而求得α=∠DCE =30°．（2）因为△CED 是等腰三角形，再利用三角形的内角和即可求∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒. （3）过A 点与C 点添加平行线与垂线，作得四边形AGFH 是平行四边形，求得△ABG ≌△ADH .从而求得矩形AGFH 是正方形，根据正方形的性质证得△AHD ≌△DIC ，从而得出结论．【详解】（1）证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE =CD ,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE =60°.又∵∠BCD =90°,∴α=∠DCE =30°.（2）∠BEF 的度数不发生变化.在△CED 中，CE =CD ,∴∠CED =∠CDE =1809022︒−αα︒−，在△CEB 中,CE =CB ,∠BCE =90α︒−,∴∠CEB =∠CBE =1804522BCE α︒−∠=︒+, ∴∠BEF =18045CED CEB ︒−∠−∠=︒.（3）过点A 作AG ∥DF 与BF 的延长线交于点G ，过点A 作AH ∥GF 与DF 交于点H ，过点C 作CI ⊥DF 于点I易知四边形AGFH 是平行四边形，又∵BF ⊥DF ，∴平行四边形AGFH 是矩形.∵∠BAD =∠BGF =90°，∠BPF =∠APD ，∴∠ABG =∠ADH .又∵∠AGB =∠AHD =90°，AB =AD ，∴△ABG ≌△ADH .∴AG =AH ，∴矩形AGFH 是正方形.∴∠AFH =∠FAH =45°，∴AH =AF∵∠DAH +∠ADH =∠CDI +∠ADH =90°∴∠DAH =∠CDI又∵∠AHD =∠DIC =90°，AD =DC ，∴△AHD ≌△DIC∴AH =DI ，∵DE =2DI ，∴DE =2AH AF【点晴】本题考查正方形的性质和判定、图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．28. 【答案】（1）见解析（2）4或74（3）33t −≤≤【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数21y x =−+的“镜面函数”的图象即可；（2）分直线y x m =−+过“镜面函数”图象与直线=1x −的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于t 的不等式组，解之即可得出结论.【小问1详解】解：如图，即为函数函数 21y x =−+关于直线 1x =的“镜面函数”的图象，【小问2详解】如图,对于 222,y x x 当0x =时, 2y =，∴函数 222y x x −=+与y 轴的交点坐标为()02，, 当直线y x n =−+经过点 ()1,5−时, 4m =；此时222y x x −=+关于直线=1x −的“镜面函数”与直线有三个公共点，当直线y x n =−+与原抛物线只有一个交点时，则有：222x mx x −+=+−，整理得 220,x x m −+−=此时()()2Δ1420m =−−−=，解得74m =，综上，m 的值为4或74；【小问3详解】根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：()()()222240,224(0)a x a x y a x a x ⎧−+−≥⎪=⎨++−<⎪⎩ 函数图象如图所示：当 24x =时，如图，点Q 关于直线2x =的对称点为 ()20Q y '，，关于 0x =的对称点为 ()24,Q y −''，若当 1211,4t x t x −≤≤+≥时，均满足12,y y 则需满足 1414t t −≥−⎧⎨+≤⎩，解得3 3.t −≤≤故答案为：33t −≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键.。

九年级上册数学期中试卷【含答案】

九年级上册数学期中试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 下列哪个数是实数？（）A. √-1B. 3/0C. ∞D. -54. 一次函数y=2x+3的图像是一条（）A. 水平线B. 垂直线C. 斜线D. 曲线5. 二元一次方程组x+y=5, x-y=3的解为（）A. x=4, y=1B. x=2, y=3C. x=3, y=2D. x=1, y=4二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何两个有理数的和仍然是有理数。

（）2. 任何两个实数的积一定是实数。

（）3. 一元二次方程的解一定是实数。

（）4. 一次函数的图像一定是一条直线。

（）5. 二元一次方程组一定有解。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a+b=5, a-b=1，则a=_____, b=_____.2. 若x²-5x+6=0，则x=_____, x=_____.3. 一次函数y=kx+b的图像是一条_____.4. 二元一次方程组的解法有_____, _____.5. 实数包括_____, _____, _____.四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是有理数。

2. 解释什么是无理数。

3. 解释什么是实数。

4. 解释一次函数的图像是一条直线的原因。

5. 解释二元一次方程组有解的条件。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为a，求它的面积。

2. 已知一个长方形的长为a，宽为b，求它的面积。

3. 已知一次函数y=kx+b的图像过点(1, 3)，(2, 5)，求k和b的值。

4. 已知二元一次方程组x+y=5, x-y=3，求x和y的值。

5. 已知一元二次方程x²-5x+6=0，求它的解。

六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析什么情况下两个有理数的和是无理数。

九年级期中数学试卷及答案

九年级期中数学试卷及答案（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1.若a>b，则下列哪个选项一定成立？A.ac>bcB.a+c>b+cC.ac>bcD.a/c>b/c（c≠0）答案：A2.下列哪个是无理数？A.√9B.√16C.√3D.π答案：C3.若x^25x+6=0，则x的值为？A.2或3B.1或6C.-2或-3D.-1或-6答案：A4.下列哪个函数是增函数？A.y=-2x+3B.y=x^2C.y=1/xD.y=-x^2答案：A5.若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的周长为？A.26B.28C.30D.32答案：C6.下列哪个图形不是正多边形？A.矩形B.菱形C.正五边形D.正六边形答案：A7.若一个数的算术平方根是3，则该数为？A.9B.6C.12D.18答案：A二、判断题（每题1分，共20分）8.若a>b，则ac>bc。

（c>0）答案：错误9.两个无理数的和一定是无理数。

答案：错误10.两个等腰三角形的面积相等，则它们的周长也相等。

答案：错误11.若一个数的平方是正数，则该数一定是正数。

答案：错误12.任何两个奇数之和都是偶数。

答案：正确13.任何两个负数相乘都是正数。

答案：正确14.若一个数的立方是负数，则该数一定是负数。

答案：正确三、填空题（每空1分，共10分）15.若a=3，b=-2，则a+b=___________，ab=___________。

答案：1516.若x^25x+6=0，则x的值为___________或___________。

答案：2317.若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的周长为___________。

答案：2818.若一个数的算术平方根是3，则该数为___________。

答案：919.两个等腰三角形的面积相等，则它们的周长也相等。

（判断对错）答案：错误四、简答题（每题10分，共10分）20.请简述勾股定理的内容。

初三上数学期中试卷较难

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且a>0，b=2，顶点坐标为（1，-3），则a的取值范围是（）A. a>0B. a>2C. a>3D. a>62. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=60°，则BC的长度是（）A. 2B. 3C. 4D. 63. 若x+y=5，x^2+y^2=29，则x^3+y^3的值为（）A. 100B. 101C. 102D. 1034. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则体积V为（）A. a^2B. a^3C. 2a^2D. 2a^35. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，则△ABC的外接圆半径R为（）A. 1B. √2C. √3D. 26. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则第10项a10的值为（）A. S10B. S10-9dC. S10+9dD. S10/107. 已知一元二次方程x^2-3x+2=0的两根为x1和x2，则x1+x2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，则f(2)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 在等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则第5项a5的值为（）A. 6B. 9C. 18D. 27二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且a>0，b=2，顶点坐标为（1，-3），则a的值为______。

12. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=60°，则BC的长度为______。

13. 若x+y=5，x^2+y^2=29，则x^3+y^3的值为______。

人教版】九年级上期中数学试卷及答案

人教版】九年级上期中数学试卷及答案九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A。

ax^2+bx+c=0改写：哪一个方程是关于x的一元二次方程？答案：A。

ax^2+bx+c=02.用配方法解方程x^2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A。

(x+4)^2=-7 B。

(x+4)^2=-9 C。

(x+4)^2=7 D。

(x+4)^2=25改写：用配方法解方程x^2+8x+9=0，哪一个变形后的结果是正确的？答案：B。

(x+4)^2=-93.若关于x的一元二次方程x^2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A。

m1 D。

m>-1改写：若关于x的一元二次方程x^2-2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是什么？答案：B。

m<-14.一元二次方程x^2-x-2=0的解是（）A。

x1=1，x2=2 B。

x1=1，x2=-2 C。

x1=-1，x2=-2 D。

x1=-1，x2=2改写：解一元二次方程x^2-x-2=0的答案是什么？答案：A。

x1=1，x2=25.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A。

B。

C。

3(x+1)^2=2(x+1) D。

2x^2+3x=2x^2-2改写：哪一个标志可以看作是轴对称图形？答案：B.6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A。

32° B。

64° C。

77° D。

87°改写：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．如果∠CC′B′=32°，那么∠B的大小是多少？答案：D。

昌平区2022- 2023学年初三年级回天高未第一学期期中质量监控数学-参考答案及评分标准

2022 - 2023学年第一学期昌平区回天高未融合学区初三年级数学学科期中质量抽测数学试卷参考答案及评分标准2022. 10一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 答案不唯一，例：12+=x y （a ＞0，b 是任意的实数，c =1）； 10. 2.5；11. 212-+）（x ； 12.23；13. ＞； 14. 26x =-或； 15. 8； 16. ①②④. 三、解答题17. 解：（1）0021x =-=⨯ ∴该二次函数对称轴为y 轴或直线0x =. ………………… 1分当0x =时，2044y =-=-，∴顶点坐标为()0,4-. ………………… 2分（2）令0y =，得204x =-， ∴2x =±，∴函数图象与x 轴交点坐标为()2,0-和()2,0. ………………… 4分令0x =，得2044y =-=-，∴函数图象与y 轴交点坐标为()0,4-. ………………… 5分18．证明： ∵DE ⊥AB∴∠AED =90° ………………… 1分 ∵∠C=90°∴∠C =∠AED ………………… 2分又∵∠A =∠A ………………… 3分 ∴△ABC ∽△ADE ………………… 5分AEDBC19．解：由图象可得()1,0A -，()0,3B ，()1,4C ， ………………… 2分方法不唯一，例：将()1,0A -，()0,3B 代入解析式，可得013b cc =--+⎧⎨=⎩， ∴2b =，3c =， ………………… 4分 ∴函数表达式为223y x x =-++. ………………… 5分 20.（1）方法不唯一，缩小或者放大均可，例：………………… 2分（2）依网格图可得： 0245B ∠=，22A B =223B C =，0145B ∠=，11A B =116B C =，∴2222111112A B B C A B B C ==，21B B ∠=∠. ………………… 4分 ∴222A B C ∆∽111A B C ∆. ………………… 5分备注：（2）问方法不唯一，22222211111112A B B C A C A B B C AC === ………………… 4分 21 . （1）设该二次函数表达式为()20y ax bx c a =++≠ 方法不唯一，例：在表格中选三组值代入表达式中，如当3x =-时，0y =；当0x =时，32y =；当1x =时，0y =. ∴093320a b c c a b c=-+⎧⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩∴21322y x x =--+. ………………… 1分（2）将()2,m 代入函数表达式， ∴13542222m =-⨯-+=-， ∴m 的值为52-. ………………… 2分（3）………………… 3分（4）3x <-或1x >. ………………… 5分22．解：（1）证明：∵ ∠ACB = 90°，CD 是AB 边上的高，∴ ∠ACB =∠CDB = 90°． ………………… 1分又∵ ∠B =∠B ， ………………… 2分 ∴ △ABC ∽△CBD ．（2）解：∵AD = 4，BD = 3，∴ AB =7． ………………… 3分 ∵ △ABC ∽△CBD ，∴AB BCCB BD=． ………………… 4分 ∴ 27321BC AB BD ==⨯=．∴ BC = ………………… 5分23. 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥FD ， ………………… 1分∴∠B =∠BCF ， ………………… 2分 ∵∠AEB =∠F ，∴△ABE ∽△ECF . ………………… 3分（2）解：∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BECE FC=， ………………… 4分 ∵AB=5，CE=6，BE=2， ∴125FC =， ………………… 5分 ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=5， ∴375FD DC CF =+=. ………………… 6分24. 解:（1）由题意得：c =4， ………………… 1分点（4，8）在二次函数48122++-=bx x y 图像上， ∴8444812=++⋅-b解得b =.23………………… 2分∴4238122++-=x x y………………… 3分（2）设运动员与小山坡的竖直距离为3y 米， ∴3312412123++-=-=x x y y y ………………… 4分令13=y ，即13312412=++-x x………………… 5分解得41-=x （舍去），122=x答：水平距离是12米。

人教版九年级数学上册期中试卷(含答案)

人教版九年级数学上册期中试卷九年级数学满分：120分时间：120分钟注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．测试范围：人教版九年级上21～24章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

1．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△A′BC′，将△A′BC′向下平移2个单位，得△A″B′C″，那么点C的对应点C″的坐标是（）。

A．(3, 2) B．(3, 3) C．(4, 3) D．(4, 2)2．已知关于x的一元二次方程(k-1)x2+2kx+1=0根的情况是（）。

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．下面是小明同学用配方法解方程2x2-12x-1=0的过程：解：2x2-12x-1=0 (1)x2-6x=1 (2)x2-6x+9=1+9 (3)(x-3)2=10，x-3=±10 (4)∴x1=3+10，x2=3-10最开始出现错误的是（）。

A．第1步B．第2步C．第3步D．第4步4．如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米。

若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分5．已知抛物线y=ax2+bx+m(a≠0)是由抛物线y=x2-2x+m向左平移2个单位得到，若点A(-2, y1)，B(-1, y2)，C(1, y3)都在抛物线y=ax2+bx+m(a≠0)上，则y1, y2, y3之间的大小关系是（）。

2024年最新人教版初三数学(上册)期中试卷及答案(各版本)

2024年最新人教版初三数学(上册)期中试卷及答案(各版本)一、选择题：5道（每题1分，共5分）1. 下列数中，最大的数是（）A. 3B. 0C. 1D. 22. 一个等边三角形的周长是15cm，那么它的边长是（）A. 3cmB. 5cmC. 7.5cmD. 10cm3. 下列哪一个数是有理数（）A. √3B. πC. 1/2D. √14. 下列哪一个图形是正方体（）A. 长方体B. 球体C. 圆柱体D. 正方体5. 下列哪一个数是无理数（）A. 1/3B. √4C. 0.333D. √2二、判断题5道（每题1分，共5分）1. 任何两个实数的和都是实数。

（）2. 任何两个实数的积都是实数。

（）3. 0是正数。

（）4. 1是质数。

（）5. 任何两个奇数的和都是偶数。

（）三、填空题5道（每题1分，共5分）1. 一个等差数列的第1项是1，公差是2，第10项是______。

2. 一个等比数列的第1项是2，公比是3，第4项是______。

3. 下列数列的前5项是2, 4, 8, 16, 32，下一个数是______。

4. 下列数列的前5项是1, 3, 5, 7, 9，下一个数是______。

5. 下列数列的前5项是1, 4, 9, 16, 25，下一个数是______。

四、简答题5道（每题2分，共10分）1. 解释什么是等差数列？2. 解释什么是等比数列？3. 解释什么是无理数？4. 解释什么是函数？5. 解释什么是几何图形？五、应用题：5道（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的第1项是3，公差是2，求第10项。

2. 一个等比数列的第1项是2，公比是3，求第6项。

3. 下列数列的前5项是2, 4, 8, 16, 32，求下一个数。

4. 下列数列的前5项是1, 3, 5, 7, 9，求下一个数。

5. 下列数列的前5项是1, 4, 9, 16, 25，求下一个数。

六、分析题：2道（每题5分，共10分）1. 给出一个等差数列的前5项，然后给出一个等比数列的前5项，比较它们的特点。

九年级天津期中数学试卷【含答案】

九年级天津期中数学试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列函数中，哪个是增函数？（）A. y = -x²B. y = x³C. y = 2-xD. y = 1/x3. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于x轴的对称点是（）A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第10项是（）A. 19B. 20C. 21D. 225. 下列立体图形中，表面积最大的是（）A. 正方体B. 球体C. 圆柱体D. 圆锥体二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）7. 在三角形中，若一个角的余弦值为0，则这个角是直角。

（）8. 两个函数如果它们的图像关于y轴对称，则这两个函数互为反函数。

（）9. 任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数。

（）10. 一元二次方程的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 平行四边形的对边相等，所以若平行四边形的一边长为8cm，那么它的对边长为____cm。

12. 若一个等差数列的第5项是15，公差为3，则首项是____。

13. 函数y = 3x + 2的图像是一条____。

14. 在直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离是____。

15. 若一个圆的半径为r，则它的面积是____。

四、简答题（每题2分，共10分）16. 简述勾股定理的内容。

17. 什么是等差数列？给出一个等差数列的例子。

18. 什么是函数的单调性？举例说明。

19. 如何计算一个三角形的面积？20. 简述一元二次方程的求根公式。

五、应用题（每题2分，共10分）21. 一个长方形的长是宽的两倍，若长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。

9年级数学期中试卷【含答案】

9年级数学期中试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 已知一组数据的平均数为10，那么这组数据中（）。

A. 至少有一个数据是10B. 所有数据之和为10C. 数据个数必须为10D. 至少有一个数据大于104. 若一个三角形的两边分别为3和4，那么第三边的长度可能是（）。

A. 1B. 6C. 7D. 125. 下列函数中，哪一个函数是增函数？（）A. y = -xB. y = x²C. y = 2/xD. y = 3二、判断题（每题1分，共5分）6. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）7. 一组数据的众数可能有两个。

（）8. 若一个数的平方根为5，则这个数为25。

（）9. 任何数乘以0都等于0。

（）10. 在直角坐标系中，第二象限的点的横坐标和纵坐标都是负数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 若一个正方形的面积为36cm²，则它的边长为_________cm。

12. 若一个等差数列的首项为2，公差为3，则第5项为_________。

13. 若sinA = 1/2，则角A的度数为_________°。

14. 若一个函数的图象是一条直线，那么这个函数是_________函数。

15. 在直角坐标系中，点(3, -4)位于_________象限。

四、简答题（每题2分，共10分）16. 解释什么是算术平方根，并给出一个例子。

17. 什么是等差数列？请给出一个等差数列的例子。

18. 解释什么是直角坐标系，并说明如何表示一个点在直角坐标系中的位置。

19. 解释什么是函数的单调性，并给出一个增函数的例子。

20. 解释什么是三角形的内角和，并说明如何计算一个三角形的内角和。

五、应用题（每题2分，共10分）21. 一个长方形的周长为22cm，长为8cm，求宽。

2024年全新初三数学下册期中试卷及答案(人教版)

2024年全新初三数学下册期中试卷及答案（人教版）一、选择题1. 若a²4a+4=0，则a的值为（）A. 2B. 2C. 1D. 12. 若a+b=5，ab=1，则a²+b²的值为（）A. 12B. 13C. 14D. 153. 若x²5x+6=0，则x的值为（）A. 2，3B. 2，3C. 2，3D. 2，34. 若a²+b²=20，a+b=5，则a²b²的值为（）A. 5B. 5C. 105. 若a²2a8=0，则a的值为（）A. 4，2B. 4，2C. 2，4D. 2，46. 若a²3a+2=0，则a的值为（）A. 1，2B. 1，2C. 1，2D. 1，27. 若x²4x+4=0，则x的值为（）A. 2，2B. 2，2C. 2，2D. 2，28. 若a²5a+6=0，则a的值为（）A. 2，3B. 2，3C. 2，3D. 2，39. 若a²+b²=18，a+b=3，则a²b²的值为（）A. 3B. 3D. 610. 若x²3x+2=0，则x的值为（）A. 1，2B. 1，2C. 1，2D. 1，2二、填空题11. 若a²4a+4=0，则a的值为______。

12. 若a+b=5，ab=1，则a²+b²的值为______。

13. 若x²5x+6=0，则x的值为______。

14. 若a²+b²=20，a+b=5，则a²b²的值为______。

15. 若a²2a8=0，则a的值为______。

16. 若a²3a+2=0，则a的值为______。

17. 若x²4x+4=0，则x的值为______。

18. 若a²5a+6=0，则a的值为______。

初三上数学期中试卷带答案

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，哪个数是负数？A. -3B. 3C. 0D. -5/22. 如果a=2，那么2a等于：A. 4B. -4C. 1D. 03. 下列哪个数是偶数？A. 3.14B. 4C. 5D. 0.54. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 长方形B. 正方形C. 等边三角形D. 等腰梯形5. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，它的面积是多少平方厘米？A. 30B. 40C. 50D. 806. 下列哪个函数是线性函数？A. y = x^2 + 3B. y = 2x + 5C. y = 3/xD. y = √x7. 下列哪个方程的解是x=2？A. 2x + 3 = 7B. 3x - 4 = 5C. 4x + 2 = 8D. 5x - 3 = 98. 下列哪个数是无理数？A. √4B. √9C. √16D. √259. 一个等腰三角形的底边长是10cm，腰长是6cm，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？A. 24B. 30C. 36D. 4010. 下列哪个图形是圆？A. 矩形B. 正方形C. 圆形D. 三角形二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数是正数，它的相反数是______。

12. 2的平方根是______。

13. 一个等边三角形的边长是5cm，它的面积是______平方厘米。

14. 下列函数中，______是反比例函数。

15. 下列方程中，______的解是x=3。

16. 下列数中，______是有理数。

17. 一个圆的半径是4cm，它的直径是______cm。

18. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，那么它的斜边长是______cm。

19. 下列图形中，______是平行四边形。

20. 下列方程中，______的解是y=2。

三、解答题（每题10分，共40分）21. （10分）计算下列各题：a. 3 + 4 - 2 × 5b. -2 × (-3) ÷ 4 + 522. （10分）解下列方程：2x - 5 = 1123. （10分）计算下列各题：a. 3a^2 - 2a + 5，其中a=2b. (3x - 2y) + (2x + y)，其中x=3，y=224. （10分）证明下列命题：如果一个三角形的一边长是5cm，另外两边长分别是3cm和4cm，那么这个三角形是直角三角形。

2023-2024学年北京市海淀区九年级上学期期中数学试卷和答案解析

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）A．1，3，1B．1，3，-1C．0，-3，1D．0，-3，-1 1．（2分）一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）解：一元二次方程x2+3x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，-1．故选：B．【解答】A．B．C．D．2．（2分）下列图形中，是中心对称图形的是（）解：选项A、B、C的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【解答】A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．不能确定大小关系3．（2分）已知A（-1，y1），B（-2，y2）都在抛物线y=3x2上，则y1与y2之间的大小关系是（）解：∵函数y=3x2上的对称轴为y轴，∴A（-1，y1）、B（-2，y2）在对称轴左侧，∴抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小．∵-1>-2∴y1<y2．故选：B．【解答】A．-3B．-7C．1D．74．（2分）一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为（x-2）2=k,则k的值是（）解：x2-4x+3=0，x2-4x=-3，x2-4x+4=-3+4，（x-2）2=1，∴k=1，故选：C．【解答】A．开口方向改变B．开口大小改变C．对称轴不变D．顶点位置不变5．（2分）将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（）解：将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移后，抛物线对称轴不变，开口方向和大小不变，顶点位置改变，【解答】故选：C ．A ．30B ．45C ．60D ．1056．（2分）陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O 旋转x °可以与自身重合，则x 的值可以是（）解：该图形内部是八边形，那么最小的旋转角度为x =3608=45，故选：B ．【解答】A ．2×150x =216B ．150x 2=216C ．150+150x 2=216D ．150（1+x ）2=2167．（2分）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如下：观鸟记录年度总结2020年：观测鸟类150种2021年：观测鸟类2022年：观测鸟类216种设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x ,则下列方程正确的是（）解：由题意得：150（1+x ）2=216．故选：D ．【解答】A ．若α=30°，则b =12a B ．若α=45°，则b =2aC ．若α=60°，则b =aD ．若α=90°，则b =2a 8．（2分）如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，将AC 绕点A 逆时针旋转α（0°<α≤90°），得到线段AE ，连接CE ，设AB =a ,CE =b ,下列说法正确的是（）√解：当α=30°时，过点C 作CF ⊥AE ，如图：∵四边形是正方形，∴AC =2a ,【解答】√二、填空题（共16分，每题2分）根据旋转的性质可得AE =2a ,∴CF =22a ,AF =62a ,EF =2a −22a ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得b 2=（3-2）a 2，∴b ≠12a ,故A 不合题意；当α=45°时，如图，AE =AC =2a ,CD =a ,根据勾股定理b 2=a 2+（2a ）2=3a 2，∴b =3a ,故B 不合题意；当α=60°时，如图，∵AE =AC 2a ,∴△ACE 是等边三角形，∴b =2a ,故C 不合题意；当α=90°时，如图，∴AC =AE =2a ,∴CE =2a ,∴b =2a .故选：D ．√√√√√√√√√√√√9．（2分）方程x 2-4=0的解是．解：x 2-4=0，移项得：x 2=4，两边直接开平方得：x 1=2，x 2=-2，故答案为：x 1=2，x 2=-2．【解答】10．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，4）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标是．解：∵点A （3，4）与点B 关于原点对称，∴点B 的坐标是（-3，-4）．故答案为：（-3，-4）．【解答】11．（2分）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式．解：顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式可为y =-x 2．故答案为：y =-x 2．（答案不唯一）【解答】12．（2分）若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，则实数m 的值为．解：∵关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴（-2）2-4m =0，∴m =1，故答案为：1．【解答】13．（2分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =50°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△ADE ．若AD ⊥BC ，则旋转角的度数是．解：∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12∠BAC ，∵∠BAC =50°，∴∠BAD =25°，故答案为：25°．【解答】14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以某点为中心，将右上方图形“”旋转到图中左下方的阴影位置，则旋转中心的坐标是．解：如图，点Q 即为旋转中心，Q （3，2）．故答案为：（3，2）．【解答】15．（2分）如图，二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），若函数值y <1，则自变量x 的取值范围是．解：∵二次函数y =2（x -1）2+k 的图象与y 轴的交点坐标为（0，1），对称轴为直线x =1，∴当x =2时，y =1，∵抛物线开口向上，【解答】三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.∴函数值y <1，自变量x 的取值范围是0<x <2，故答案为：0<x <2．16．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（m ,n ），称关于x 的方程x 2+mx +n =0为点P 的对应方程．如图，点A （-1，0），点B （1，1），点C （-2，2）．给出下面三个结论：①点A 的对应方程有两个相等的实数根；②在图示网格中，若点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；③线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是．解：①∵点A （-1，0），∴点A 的对应方程为x 2-x =0，解得x =0或x =1，故①错误；②∵点P （m ,n ）（m ,n 均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，∴方程x 2+mx +n =0有两个相等的实数根，∴Δ=m 2-4n =0，∴m 2=4n ,∵m ,n 都为整数，∴在图示网格中，m ,n 的整数解有V W X m =2n =1、V W X m =−2n =1、V W X m =0n =0共3个；故②正确；③∵点B （1，1），点C （-2，2），∴线段BC 的解析式为y =-13x +43（-2≤x ≤1），∴线段BC 上任意点的坐标为（m ,-13m +43），其对应方程为x 2+mx -13m +43=0，∴Δ=m 2-4（-13m +43）=m 2+43m -163=（m +23）2-529，∵-2≤m ≤1，∴-43≤m +23≤53，∴Δ=（m +23）2-529<0，∴线段BC 上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确．故答案为：②③．【解答】17．（5分）解方程：x 2-6x +2=0（用配方法）．解：x 2-6x +2=0移项，得x 2-6x =-2，即x 2-6x +9=-2+9，∴（x -3）2=7，解得x -3=±7，即x =3±7．∴x 1=3+7，x 2=3-7．【解答】√√√√18．（5分）如图，⏥ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 且分别与AD ，BC 交于点E ，F ．（1）求证：△AOE ≌△COF ；（2）记四边形ABFE 的面积为S 1，⏥ABCD 的面积为S 2，用等式表示S 1和S 2的关系．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，【解答】在△AOE 和△COF 中，V Y Y W Y Y X ∠OAE =∠OCF OA =OC ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）．（2）在△ABC 和△CDA 中，V Y Y W Y Y X AB =CD BC =DA AC =CA，∴△ABC ≌△CDA （SSS ），∴S △ABC =S △CDA =12S ⏥ABCD ，∵△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ，∴S 四边形ABFE =S △四边形ABFO +S △AOE =S △四边形ABFO +S △COF =S △ABC =12S ⏥ABCD ，∴S 1=12S 2．19．（5分）已知m 是方程x 2-x -2=0的根，求代数式 m （m -1）+5 的值．解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，∴m 2-m =2，∴m （m -1）+5=m 2-m +5=2+5=7．【解答】20．（5分）已知二次函数y =x 2-2x .（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；（2）点P （-2，7）该函数的图象上（填“在”或“不在”）．解：（1）列表：x …-10123…y …30-103…描点、连线，画出函数图象如图：；（2）∵当x =-2时，y =x 2-2x =8，∴点P （-2，7）不在该函数的图象上．故答案为：不在．【解答】21．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求m 的取值范围．（1）证明：∵一元二次方程x 2+（m -1）x +m -2=0，∴Δ=（m -1）2-4（m -2）=m 2-2m +1-4m +8=（m -3）2．∵（m -3）2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵x 2+（m -1）x +m -2=0，∴（x +m -2）（x +1）=0，∴x 1=2-m ,x 2=-1．∵该方程有一个根是正数，∴2-m >0，∴m <2．【解答】22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （-2，4），B （-2，0），将△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OA 'B '（A '，B '分别是A ，B 的对应点）．（1）在图中画出△OA ′B ′，点A '的坐标为；（2）若点M （m ,2）位于△OAB 内（不含边界），点M '为点M 绕原点O 顺时针旋转90°的对应点，直接写出M '的纵坐标n 的取值范围．解：（1）如图，△OA ′B ′即为所求．由图可得，A '（4，2）．故答案为：（4，2）．（2）由题意得，-2<m <-1，∴点M '在线段CD 上，且不与点C ，D 重合，∴1<n <2．【解答】23．（5分）阅读下面的材料并完成解答．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：①将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为步；②中间小正方形的面积为平方步；③若设矩形田地的宽为x 步，则小正方形的面积可用含x 的代数式表示为；④由②③可得关于x 的方程，进而解得矩形田地的宽为24步．解：①∵矩形田地的长与宽之和为60步，∴按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为60步．故答案为：60；②根据题意得：中间小正方形的面积为60×60-864×4=144（平方步）．故答案为：144；③若设矩形田地的宽为x 步，则长为（60-x ）步，中间小正方形的边长为（60-x -x ）=（60-2x ）步，【解答】∴小正方形的面积为（60-2x ）2平方步．故答案为：（60-2x ）2平方步；④由②③可得关于x 的方程：（60-2x ）2=144．故答案为：（60-2x ）2=144．24．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x >3时，对于x 的每一个值，函数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，直接写出n 的取值范围．解：（1）∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点（1，0），（3，0），∴二次函数解析式为y =（x -1）（x -3），即y =x 2-4x +3；（2）当直线y =x +n 经过点（3，0）时，3+n =0，解得n =-3，此时函数y =x +n 的值等于二次函数y =x 2+bx +c 的值，所以当n ≤-3时，数y =x +n 的值小于二次函数y =x 2+bx +c 的值，即n 的取值范围为n ≤-3．【解答】25．（6分）在投掷实心球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系xOy ,实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系，记出手点与着陆点的水平距离为投掷距离．（1）小刚第一次投掷时水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m01234竖直高度y /m 1.6 2.1 2.42.5 2.4①根据上述数据，实心球运行的竖直高度的最大值为m ；②求小刚第一次的投掷距离；（2）已知第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，且实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同．若小刚第二次投掷距离比第一次远，则实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次（填“大”或“小”）．解：（1）①由表格数据可知，抛物线的对称轴为直线x =2+42=3，当x =3时，y =2.5，故答案为：2.5；②设抛物线的解析式为：y =a （x -3）2+2.5，∵当x =0时，y =1.6，∴1.6=a ×32+2.5，解得a =−110，∴抛物线的解析式为：y =−110（x -3）2+2.5，当y =0时，0=−110（x -3）2+2.5，解得x 1=-2（舍去），x 2=8，答：小刚第一次的投掷距离为8m ；（2）∵第二次投掷实心球达到最高点时水平距离与第一次也相同，∴第二次投掷抛物线对称轴与第一次对称轴相同，又∵第二次投掷出手点竖直高度与第一次相同，第二次投掷距离比第一次远，∴实心球第二次运行过程中竖直高度的最大值比第一次小，故答案为：小．【解答】26．（6分）已知二次函数y =12x 2+bx +1．（1）若b =-1，求该二次函数图象的对称轴及最小值；（2）若对于任意的0≤x ≤2，都有y ≥-1，求b 的取值范围．解：（1）当b =-1时，y =12x 2+bx +1=12x 2-x +1=12（x -1）2+12，∴二次函数图象的对称轴为直线x =1，最小值为12；（2）∵y =12x 2+bx +1，∴对称轴为直线x =-b 2×12=-b ,①当x =-b ≤0，即b ≥0时，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴当x =0时，y 最小，最小值为1>-1，∴b ≥0；②当0<-b <2时，即-2<b <0，此时对称轴在0～2段内，∴当x =-b 时y 有最小值，∴y min =12×（-b ）2+b ×（-b ）+1=-12b 2+1，令-12b 2+1≥-1，解得-2≤b ≤2，∴-2<b <0；③当x =-b ≥2时，即b ≤-2，∴当0≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x =2时，y min =12×22+2b +1=2b +3≥-1，解得b ≥-2，∴b =-2，综上所述，b 的取值范围为b ≥-2．【解答】27．（7分）如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在AB 上（BD <AD ），过点D 作DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）求证：FD =AB ；（3）DF 交BC 于点G ，用等式表示线段CE 和FG 的数量关系，并证明．（1）解：如图所示：（2）证明：∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠B =∠BAC =45°，∵DE ⊥BC ，∴∠B =∠BDE =45°，∴BE =DE ，∵将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°，得到线段EF ，∴AE =EF ，∠AEF =90°=∠BED ，∴∠BEA =∠DEF ，∴△BEA ≌△DEF （SAS ），∴FD =AB ；（3）FG =2CE ，理由如下：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，又∵DE ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴四边形DECH 是矩形，∴EC =DH ，∵DH ⊥AC ，∠BAC =45°，∴△ADH 是等腰直角三角形，∴AD =2DH =2EC ，∵△BEA ≌△DEF ，∴∠B =∠EDG =45°，∴DE =DG ，∵∠AEF =∠DEC =90°，∴∠DEA =∠CEF ，又∵AE =EF ，∴△DEA ≌△GEF （SAS ），∴FG =AD ，∴FG =2CE ．【解答】√√√√28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 不与原点重合．对于点P 给出如下定义：点P 关于点M 的对称点为P ′，点P ′关于直线OM 的对称点为Q ，称点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．（1）如图，已知点M （t ,0），P （t +1，1），点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．①当t =2时，在图中画出点Q 的位置，并直接写出点Q 的坐标；②PQ 的长度是否与t 有关？若无关，求PQ 的长；若有关，说明理由；（2）已知点A （3，4），△ABC 是边长为2的等边三角形（点A ，B ，C 按逆时针方向排列），点N 是点B 关于点C 的“转称点”，在△A BC 绕点A 旋转的过程中，当BN 最大时，直接写出此时OB 的长．解：（1）①当t =2时，点M （2，0），P （3，1），如图：∵点Q 是点P 关于点M 的“转称点”．∴P ′（1，-1），Q （1，1）；②∵点M （t ,0），P （t +1，1），∴P ′（t -1，-1），Q （t -1，1），∴PQ ∥x 轴，∴PQ =t +1-（t -1）=2；∴PQ 的长度与t 有无关，PQ 的长为2；（2）如图：由“转称点”的定义得C 为BB ′的中点，D 为NB ′的中点，∴CD ∥BN ，CD =12BN ，∴当CD 最大时，BN 最大，由图得在△ABC 绕点A 旋转的过程中，当O 、B ，C 、B ′共线时，BN 最大，如图：∵△ABC 是边长为2的等边三角形【解答】∴BC =CB ′=2，AH =3，BH =1，∵点A （3，4），∴OA =32+42=5，∴OH =OA 2−AH 2=52−(3)2=22，∴OB =22-1．√√√√√√√。

九年级数学上册期中考试试卷及答案

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 如果 a = 3，b = 4，那么a² + b² 等于多少？A. 25B. 30C. 35D. 403. 下列哪个数是质数？A. 12B. 17C. 20D. 214. 如果一个三角形的两边分别是3和4，那么第三边的长度可能是多少？A. 1B. 4C. 6D. 75. 下列哪个数是无理数？A. √4B. √9C. √16D. √18二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何偶数乘以偶数都是偶数。

（）2. 任何奇数乘以奇数都是奇数。

（）3. 0是一个自然数。

（）4. 任何一个整数都可以分解为几个质数的乘积。

（）5. 任何一个正整数都有因数1和它本身。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么第四项是______。

2. 如果一个三角形的两边分别是5和12，那么第三边的长度不可能是______。

3. 下列哪个数是合数？______4. 下列哪个数是立方数？______5. 下列哪个数是平方数？______四、简答题（每题2分，共10分）1. 解释什么是等差数列。

2. 解释什么是等比数列。

3. 解释什么是质数。

4. 解释什么是合数。

5. 解释什么是无理数。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 一个等差数列的前三项分别是3，7，11，求这个数列的公差。

2. 如果一个三角形的两边分别是6和8，那么第三边的长度可能是多少？3. 如果 a = 2，b = 3，那么a² + b² 等于多少？4. 如果一个数是12的倍数，那么这个数也一定是3的倍数吗？为什么？5. 如果一个数是9的倍数，那么这个数也一定是3的倍数吗？为什么？六、分析题（每题5分，共10分）1. 分析为什么0既不是正数也不是负数。

2. 分析为什么1既不是质数也不是合数。

福建省福州市福清市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是( )A. B. C. D.2.如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C=40°，则∠AOB的度数为( )A. 70°B. 72°C. 80°D. 84°3.将抛物线y=x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，则所得新抛物线的顶点坐标为( )A. (−1,−2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (1,2)4.下列一元二次方程没有实数根的是( )A. (x+2022)2=0B. x2+2022x=0C. (x+2022)2=2022D. x2+2022=05.如图，△AOB中，∠B=25°，将△AOB绕点O顺时针旋转60°，得到△A′OB′，边A′B′与边OB交于点C(A′不在OB上)，则∠A′CO的度数为( )A. 85°B. 75°C. 95°D. 105°6.已知A(−1,y1)、B(3,y2)是抛物线y=x2+4x上两点，则y1、y2的大小关系为( )A. y1>y2B. y1=y2C. y1<y2D. y1≥y27.如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且CN⏜=BN⏜，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M=40°，则∠BON的度数( )A. 30°B. 25°C. 20°D. 22.5°8.《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是( )A. (x−4)2+(x−2)2=x2B. 42+(x−2)2=x2C. (x−4)2+(x−2)2=2x2D. (x−4)2+22=x29.如图，在△ABC中，AB=3，B C=6，∠ABC=60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是( )A. 9√3−3πB. 9√32−π2C. 9√32−π D. 9√32−3π210.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在x轴上，且不等式x2+bx+c>m的解集为x<−1或x>3，则m的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知x=1为一元二次方程x2−a=0的解，则a=______．12.若点A(a,3)与点B(4,−3)关于原点对称，则a=______ ．13.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2，则这个正六边形的边心距OM的长为______ ．14.一元二次方程x2−3x−1=0两根分别为a、b，则式子(a−b)2的值等于______．15.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间(单位：)的函数解析式是s=15t−6t2，汽车刹车后到停下来前进了______米．16.如图，边长4√3的等边△ABC中，点D为BC上一点，且BD=√3，点E为AB边上的一个动点，点E绕点D顺时针旋转60°得到点F，则AF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2−2x−1=0．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。

北京市重点中学2024届九年级上学期期中检测数学试卷(含答案)

北京市重点中学2023-2024第一学期初三数学期中检测时间：90分钟满分：100分一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．二次函数的最小值是（）A．1B．-1C．2D．-22．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）是由四个图案构成，这四个图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有一个实数根4．将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（）A．B．C．D．5．用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点，，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（）A．B．C．D．7．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在AB边上，则等于（）A．150°B．90°C．30°D．60°8．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．B．C．D．9．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系10．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．12．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是__________．13．写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数的表达式__________．14．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则__________．15．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，则不等式的解集为__________．16．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来．18．如图，已知，，，，点D在CB所在直线上运动，以AD 为边作等边三角形ADE，则__________．在点D运动过程中，CE的最小值__________．三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19．解方程：．20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC 的延长线上，连接DE，DF，EF．（1）判断的形状，并说明理由；（2）若，则的面积为__________．21．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若是该方程的一个实数根，求代数式的值．22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标：__________；（2）画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的．23．已知：二次函数中的x和y满足下表：x…012345…y…30-10m8…（1）m的值为__________；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当时，则y的取值范围为__________．24．如图，有一块长为21m，宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．（1）如果两块绿地的面积之和为，求人行通道的宽度；（2）能否设计人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由﹒25．下面给出六个函数解析式：，，，，，．小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：__________，其中x为自变量；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面这些函数，下列四个结论：①函数图象关于y轴对称②有些函数既有最大值，同时也有最小值③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个所有正确结论的序号是__________；（4）结合函数图象，解决问题：若关于x的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为__________．26．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，其中．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）①当时，求y的值；②若，求的值（用含a的式子表示）；（3）若对于，都有，求a的取值范围．27．如图，在中，，将BC边绕点C逆时针旋转（）得到线段CD．（1）判断与的数量关系并证明；（2）将AC边绕点C顺时针旋转得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明．②若，，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）28．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）函数①，②，③中存在不变值的是__________(填序号)；（2）函数．①若其不变长度为0，则b的值为__________；②若，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数G的图象由和两部分组成，若其不变长度q满足，则m的取值范围为__________．北京市重点中学2023-2024第一学期初三数学期中检测参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．D2．B3．C4．A5．A6．A7．D8．C9．B10．B二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．11．12．13．答案不唯一，如14．15．16．且17．2018．4；三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．19．解：∴，．20．（1）是等腰直角三角形．证明：在正方形ABCD中，，．∵F落在边BC的延长线上，∴．∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，∴．∴．∴．∵∴，即，∴是等腰直角三角形．（2）的面积为8．21．（1）证明：∵，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把代入方程得，即，∴．22.（1）如图所示（画图2分）；；（2）如图所示．23．解：（1）∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，∴当和所对应的函数值相等，∴；故答案为：3；（2）∵抛物线经过点和，∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为．（或者写成）．（3）当时，，当时，y有最小值-1，当时，，∴当时，则y的取值范围为．故答案为：．24．解：（1）设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地的长为（米），宽为（米），根据题意得：，解得：（舍去），，答：人行通道的宽度为2米；（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，根据题意得：，解得：，∵，∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．25．解：（1）①，（a，b，c是常数，）．（2）图象如图1所示．图1（3）①③．（4）如图2，-1，0．图226，解：（1）抛物线的对称轴为直线．（2）①当时，；②．（3）①当时，∵，，∴，只需讨论的情况．若，∵时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意；若，∵，∴．∵，∴．∴．∵时，，时，y随着x的增大而增大，∴，符合题意．②当时，令，，此时，但，不符合题意．综上所述，a的取值范围是．27．（1）．证明：根据题意，．∴．∵，∴．∴．（2）①．证明：延长CA至点N，使．∵，，∴．∴，．∵，∴∵，∴．∵，∴．∴．②．28．解：（1）①③（2）①∵函数的不变长度为零，∴方程有两个相等的实数根．∴．②解方程，得，．∵，∴．∴函数的不变长度q的取值范围．（3）m的取值范围为或．以上答案仅供参考，如有其它正确方法，请酌情给分！。

2023北京西城区三十五中初三(上)期中数学试卷及答案

2023北京三十五中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）．A ．A ．B ．C ．D ．2.抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（）．A ． (2,1)− B ． (1,2)− C ．(2,1)−− D ． (1,2)−−3.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC=100°，则∠A 的度数为（）．A.30° B ．80°C ． 50°D ．100°4.下列方程中，有两个相等的实数根的方程是（）．A ．230x x += B ．2210x x +−=C.2210x x ++= D ．230x x −+=5.将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）．A ．2521y x =−+（） B ．25+21y x =+（）C ．2521y x =−−（） D ．25+21y x =−（）6.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转75°，得到△OCD ，若∠AOB=40°，则∠AOD 等于（）．A ．115°B ．75°C ．40°D ．35°7.一元二次方程2810x x −−=经过配方后可变形为（）．A ．2(4)15x += B ． 2(4)17x +=C．2(4)15x −= D ．2(4)17x −=DCOBA8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是2x =−，抛物线与x 轴的一个交点在点()4,0−和点()3,0−之间，其部分图像如图所示，下列结论：①40a b −=，②224b b ac +>，③0a b c ++<，④若点()5,n −在二次函数的图像上，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++−=≠的两个根分别是5−，1，其中正确的是（）A ．①③④B ．③④C ．①②③④D ．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．抛物线 y = x 2的开口方向是．10．已知x =1是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则m n +的值是．11．已知二次函数241y ax ax =−+（a 是常数），则该函数图象的对称轴是直线x = ．12．某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为x ，则可列出的方程是．13．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°至△ABF 的位置．若2DE =,则FC = ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC=10，AE=4，则CD 等于___________．（13题图）（14题图）（15题图）15．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=°．16．对于二次函数2y ax =和2y bx =．其自变量和函数值的两组对应值如下表：FED CBACOBA根据二次函数图象的相关性质可知：m = ，d c −=_________．三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18~23、25题每小题5分，第26、27、28题每小题6分，第24题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程: （1） 228x =；（2）2310x x −+=．18．已知：如图所示，△ABC 绕点A 顺时针旋转50°，得到△ADE ，当E 在BC 边上时：（1）求证：∠BED =∠EAC ；（2）连接BD ，当BD ⊥BC 时，求∠ABC 的度数．19．已知关于x 的一元二次方程m 2420x x −+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．20．如图，△ABC 中，CA CB =，以BC 为直径的半圆与AB 交于点D ，与AC 交于点E ．（1）求证：点D 为AB 的中点；（2）求证：AD DE =．21．如图，用一条长40 m 的绳子围成矩形ABCD ，设边AB 的长为x m ．（1）边BC 的长为____ m ，矩形ABCD 的面积为____ m 2（均用含x 的代数式表示）；（2）矩形ABCD 的面积是否可以是120 m 2 ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．22．如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 为AC 的中点，连接BC ，OD ．（1）求证：OD ∥BC ；（2）如图2，过点D 作AB 的垂线与⊙O 交于点E ，作直径EF 交BC 于点G ．若G 为BC 中点，⊙O 的半径为2，求弦BC 的长．图1 图223.已知：如图，点(3,1),(1,4),(1,1)A B C −−−是平面直角坐标系中的三个点，将ABC ∆向右平移3个单位长度．(1)请画出平移后的图形△A 1B 1C 1；(2)再将△A 1B 1C 1绕原点O 旋转180°，请画出旋转后的图形△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标为．D COBACx DCBAx24．对于抛物线 243y x x =−+.（1）它与x 轴交点的坐标为，与y 轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）根据图象回答：y > 0时，x 的取值范围是；（4）利用以上信息解答下列问题：若关于x 的一元二次方程2430x x t −+−=（t 为实数）在1−＜x ＜72的范围内有解，则t 的取值范围是． 25.小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy ．图1 直发式图2 间发式通过测量得到球距离台面高度y （单位：dm ）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：dm ）的相关数据，如下表所示：表1 直发式表2 间发式根据以上信息，回答问题：（1）表格中m =_________，n =_________；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为1d ，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“ =” 或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点M （1x ，1y ），N （2x ，2y ）在抛物线21y ax bx =++（0a <）上，其中12x x <，设抛物线的对称轴为x t =．（1）当1t =时，如果121y y ==，直接写出1x ，2x 的值；（2）当11x =−，23x =时，总有211y y <<，求t 的取值范围．27．在ABC △中，90BC AC ACB =∠=︒，，点D 是平面内一动点（不与点A ，C 重合），连接CD ，将CD 绕点C 逆时针旋转90︒至CE 的位置．图1 图2(1)如图1，若点D 为ABC △边AB 的中点，2AC =，则BE 值为______．(2)如图2，若点D 在ABC △的边AB 上，取AE 中点M ，用等式表示线段CM ，BD 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果y ′＝{y （x ≥0）−y （x <0），那么称点Q 为点P 的“关联点”．例如点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（﹣5，6）的“关联点”为点（﹣5，﹣6）．（1）在点E （0，0），F （2，5），G （﹣1，﹣1），H （﹣3，5）中，的“关联点”在函数y ＝2x +1的图象上；（2）如果一次函数y ＝x +3图象上点M 的“关联点”是N （m ，2），求点M 的坐标；（3）如果点P 在函数y ＝﹣x 2+4（﹣2＜x ≤a ）的图象上，其“关联点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣4＜y ′≤4，求实数a 的取值范围．（备用图）x参考答案一、选择题17．解方程: （1） 228x =；（2）2310x x −+=．解：2 4......2x =分解：94 5......1=−=分12x =2 2.....4x =−分x =分1x =1x =分18.（1）证明：∵△ABC 绕点A ，顺时针旋转50°得到△ADE∴∠DEA=∠C∵∠BEA 是△AEC 的外角∴∠BEA=∠BED+∠DEA=∠C+∠EAC ∴∠BED=∠EAC ………………3分（2）∠ABC=25°………………5分 19.解：（1）（2）20.证明：（1）连接CD ，如图．∵BC 是半圆的直径，∴90BDC ∠=︒． …………………1分 ∴CD AB ⊥． ∵CA CB =，=16-42)840........2m 02.m.0.....3m m m +=−〉⎧∴⎨≠⎩∴〈≠一元二次方程有两个不相等的实数根（分且分2122m 01 (4420)22m m x x x x 〈≠∴=∴−+=∴=+=且分分∴ 点D 为AB 的中点． ………………2分（2）方法一：连接DO ，EO ，∵CA CB =，AD=BD ，∴∠ACD =∠BCD……………………3分∵ 2DOE ACD ∠=∠，2DOB BCD ∠=∠， ∴ ∠DOE =∠DOB ． ∴∴ BD=DE ．……………………4分∵ AD=BD ，∴AD DE =． ……………………5分方法二：∵ 四边形BCED 是圆的内接四边形， ∴180ABC DEC ∠+∠=︒．∵180AED DEC ∠+∠=︒，∴ABC AED ∠=∠． …………………………………3分 ∵CA CB =，∴A ABC ∠=∠．∴A AED ∠=∠． …………………………………4分 ∴AD DE =．…………………………………5分21.（1）(20)x −2(20)x x −+ ⋯⋯⋯⋯2分（2）⋯⋯⋯⋯5分 22. （1）方法一：证明：连接BD ， ∵∴ABD CBD ∠=∠．…………1分∵ABD BDO ∠=∠∴CBD BDO ∠=∠ …………………2分 ∴OD ∥BC ． …………………3分方法二：证明：连接OC ，2220120800ABCD 120S x x m =−+==−〈∴∴此方程无解矩形的面积不能是∵ D 为的中点， ∴.∴12AOD COD AOC ∠=∠=∠． …………1分 ∵12B AOC ∠=∠， ∴AOD B ∠=∠． …………………………………2分 ∴OD ∥BC ． …………………………………3分（2）解：∵DE AB ⊥，AB 是⊙O 的直径， ∴.∴AOD AOE ∠=∠．∵AOD B ∠=∠，AOE BOF ∠=∠， ∴B BOF ∠=∠． ∵ G 为BC 中点， ∴ OF BC ⊥． ∴90OGB ∠=︒． ∴45B BOF ∠=∠=︒． …………………………………4分∴OG BG =.∵2OB =，222OG BG OB +=，∴BG =∴2BC BG ==．…………………………………5分23（1）画图…………………………2分（2）画图………………………………4分点B 2的坐标为（-2，-4）………………5分24.解: (1)(1,0)、(3,0)，(0,3)，(2,-1) ⋯⋯⋯⋯3分 (2)列表:描点、连线,如图,CC x⋯⋯⋯⋯5分（3） X ＞3或x ＜1 ⋯⋯⋯⋯6分（4）-1≤t ＜8 ⋯⋯⋯⋯7分25. （1）3.84，2.52； ……………………………………2分（2）由题意可知，抛物线的顶点为（4，4）， ∴设抛物线的解析式为2(4)4y a x =−+. ∵当x ＝6时，y ＝3.96，∴23.96(64)4a =−+，解得 0.01a =−.∴抛物线的解析式为20.01(4)4y x =−−+. ………………………………………4分（3）= . …………………………………………5分26.27.答案：（1…………………………………………2分∵在Rt ABC △中，2BC AC ==，90ACB ∠=︒∴AB ===∵点D 为ABC 边AB 的中点，∴12AD AB == ∵将CD 绕点C 逆时针旋转90︒至CE 的位置，∴CE CD =，90DCE ACB ∠=︒=∠，∴DCE BCD ACB BCD ∠−∠=∠−∠即BCE ACD ∠=∠，在BCE △和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCE ACD ≌△△，∴BE AD ==（2）12CM BD =延长CM 到点F ，使FM =CM ，连接AF ，如图3，∵M 为AE 的中点，∴AM =EM ，在AMF △和EMC △中，FM CM AMF EMC AM EM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AMF EMC ≌△△，∴AF EC =，MAF MEC ∠=∠，∴CAF CAE MAF CAE MEC∠=∠+∠=∠+∠由（1）知：CE CD =，BCE ACD ∠=∠，AF CD =，∴180CAF CAE MEC ACE ∠=∠+∠=−∠180CAF CAE MEC ACE∠=∠+∠=−∠()180ACB BCE =−∠+∠()18090ACD =−+∠90ACD=−∠BCD=∠在CAF △和BCD △中，CA BC CAF BCDAF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAF BCD ≌△△…………………………………………6分28．解：（1）点E （0，0）的“关联点”是（0，0），点F （2，5）的“关联点”是（2，5），点G （﹣1，﹣1）的“关联点”是（﹣1，1），点H （﹣3，5）的“关联点”是（﹣3，﹣5），将点的坐标代入函数y ＝2x+1，得（2，5）和（﹣3，﹣5）在此函数图象上，故答案为：F 、H ；…………………………………………2分（2）当m ≥0时，点M （m ，2），则2＝m+3，解得：m ＝﹣1（舍去）；当m ＜0时，点M （m ，﹣2），﹣2＝m+3，解得：m ＝﹣5，∴点M （﹣5，﹣2）；…………………………………………4分（3）如图为“关联点”函数图象：从函数图象看，“关联点”Q 的纵坐标y'的取值范围是﹣4＜y'≤4，而﹣2＜x ≤a ，函数图象只需要找到最大值（直线y ＝4）与最小值（直线y ＝﹣4）直线x ＝a 从大于等于0开始运动，直到与y ＝﹣4有交点结束．都符合要求﹣4＜y'≤4，即﹣4＝﹣a 2+4，解得：a ＝±2（舍去负值），观察图象可知满足条件的a 的取值范围为2≤a ＜2． (6)分。

2022北京一六一中初三(上)期中数学(试卷含答案解析)

2022北京一六一中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 抛物线()2312y x =−+的顶点坐标为（）A. ()12−，B. ()12−，C. ()12，D. ()21，3. 将一元二次方程28100x x −+=通过配方转化为()2x a b +=的形式，下列结果中正确的是（） A. ()246x −=B. ()286x −=C. ()246x −=−D. ()2854x −=4. 如图，将Rt △ABC （其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A. 55°B. 70°C. 125°D. 145°5. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°6. 已知点()13,A y −、()22,B y 均在抛物线()2213y x =−−+上，则下列结论正确的是（）A. 123y y <<B. 213y y <<C. 213y y <<D. 123y y <<7. 已知函数2y x bx c =−++，其中0b >，0c <，此函数的图象可以是（）A. B. C. D.8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）的对称轴为直线x =1，如果关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0（a ≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A. ﹣4B. ﹣2C. 1D. 3二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若关于x 的一元二次方程220x mx m +−=的一根为1，则m 的值是________． 10. 请写出一个开口向下，并且与y ()0,1−的抛物线的表达式：____________．11. 某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为x ，则可列方程为_______________．12. 如图，点A 在⊙O 上，弦BC 垂直平分OA ，垂足为D ．若OA ＝4，则BC 的长为________．13. 将抛物线22y x =向上平移()0b b >个单位长度后，所得新抛物线经过点()1,4，则b 的值为_____________．14. 如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转30︒得到ADE ，点B 的对应点D 恰好落在边BC 上，则ADE ∠=____________．15. 已知抛物线24y x x c =−+与直线y m =相交于A ，B 两点，若点A 的横坐标1A x =−，则点B 的横坐标B x 的值为_____________．16. 已知二次函数2y ax bx c =++，当11x −≤≤时，总有11y −≤≤，有如下几个结论： ①当0b c ==时，01a <≤； ②当1a =时，c 的最大值为0； ③当2x =时，y 可以取到的最大值为7；上述结论中，所有正确结论的序号是_____________．三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26题每题6分，27-28每题7分）17. 解方程2310x x −+=18. 已知a 是方程22710x x −−=的一个根，求代数式(27)5a a −+的值．19. 已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m −+−. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点分别为A （－3，4），B （－5，1），C （－1，2）．（1）画出△ABC 关于原点对称的△A 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标；（2）画出△ABC 绕原点逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2，并写出点B 2的坐标．21. 如图，在O 中，直径EF CD ⊥，垂足为M ，若2CD =，5EM =，求O 的半径．22. 已知二次函数268y x x =−+．（1）直接写出二次函数268y x x =−+图象的顶点坐标；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当04x <<时，y 的取值范围是_____________．23. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连结CD ，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE 交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：△ACD ≌△BCE ；（2）当∠BDE =25°时，求∠BEF 的度数．24. 已知：二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()3,0−，与y 轴交于点C ，点()2,3D −−在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线上有一动点P ，使三角形ABP 的面积为6，求Р点坐标．25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d 米的地点，水柱距离湖面高度为h 米．请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．（2）请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点距离湖面的高度为______米，此时抛物线的解析式为______．（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的4人平顶游船能从喷泉下方通过．已知游船宽度为1.6米，顶棚到水面的高度为2米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米．求公园应该将水枪高度调节到多少米以上？（备注：水枪调节过程中所喷出的抛物线的形状相同）26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过点()0,2−，()2,2−．（1）直接写出c 的值和此抛物线的对称轴；（2）若此抛物线与直线y =−6没有公共点，求a 的取值范围；（3）点()1,t y ，()21,t y +在此抛物线上，且当24t −≤≤时，都有2172y y −<．直接写出a 的取值范围．27. 在ABC 中，(),060AB AC BAC a α=∠=︒<<︒，点E 是ABC 内一动点，连接,AE CE ，将AEC △绕点A 顺时针旋转a ，使AC 边与AB 重合，得到ADB ，延长CE 与射线BD 交于点M （点M与点D 不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究ADM ∠与AEM ∠的数量关系为___________；（3）如图2，若DE 平分ADB ∠，用等式表示线段MC AE BD ，，之间的数量关系，并证明．28. 对于平面直角坐标系xOy 中第一象限内的点,P x y （）和图形W ，给出如下定义：过点P 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，若图形W 中的任意一点,Q a b （）满足a x ≤且b y ≤，则称四边形PMON 是图形W 的一个覆盖，点P 为这个覆盖的一个特征点．例：已知1,2A （），3,1B （），则点5,4P （）为线段AB 的一个覆盖的特征点．（1）已知：1,2A （），3,1B （），点2,3C （），① 在11,3P （），23,3P （），34,4P （）中，是ABC 的覆盖特征点的为___________； ② 若在一次函数6(0)y mx m =+≠的图像上存在ABC 的覆盖的特征点，求m 的取值范围．（2）以点D （3，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线254(0)y ax ax a =−+≠ 上存在⊙D 的覆盖的特征点，直接写出a 的取值范围__________________．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 【答案】D 【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义判断即可．【详解】解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，属于基础的几何变换考查，难度不大．解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．其中轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 【答案】C 【解析】【分析】根据给出的二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵()2312y x =−+，∴此函数的顶点坐标是()12，．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．顶点式2()y a x h k =−+的顶点坐标为()h k ，．3.【答案】A 【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵28100x x −+=， ∴2810x x −=−，∴28161016x x +=−+−，即2(4)6x −=，故选A ．的【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4. 【答案】C 【解析】【详解】解：∵∠B =35°，∠C =90°， ∴∠BAC =90°﹣∠B =90°﹣35°=55°． ∵点C 、A 、B 1在同一条直线上，∴∠BA B 1=180°﹣∠BAC =180°﹣55°=125°． ∴旋转角等于125°．故选：C ． 5. 【答案】C 【解析】【分析】由于OA 、OC 都是⊙O 的半径，由等边对等角，可求出∠A 的度数；进而可根据圆周角定理求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵OA =OC ， ∴∠A =∠C =15°； ∴∠BOC =2∠A =30°；故选C ．【点睛】此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 6. 【答案】D 【解析】【分析】分别计算自变量为3−、2对应的函数值，然后对各选项进行判断．【详解】解：当3x =−时，212(31)329y =−−−+=−，当2x =时，222(21)31y =−−+=，所以123y y <<．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7. 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件“a ＜0、b ＞0、c ＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【详解】解：∵a=-1＜0，b ＞0，c ＜0， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是b x 02a =−>，与y 轴的交点在y 轴的负半轴上；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握判定方法是解题的关键．8. 【答案】B【解析】【分析】抛物线()230y ax bx a =++≠与抛物线28y ax bx =+−的对称轴相同是解题的关键.【详解】解：∵关于x 的方程280ax bx +−=有一个根为4，∴抛物线28y ax bx =+−与x 轴的一个交点为（4，0），抛物线()230y ax bx a =++≠的对称轴为直线1x =，∴抛物线28y ax bx =+−的对称轴也是x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为()20−，， ∴方程的另一个根为2x =−．故选B ．【点睛】考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴方程是：2b x a=−．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 【答案】1【解析】【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．【详解】解：把x=1代入方程有：1＋m−2m ＝0m ＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．10. 【答案】221y x x =−−−【解析】【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为1−即可．【详解】解：根据题意得：221y x x =−−−（答案不唯一），故答案为：221y x x =−−−（答案不唯一）【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．11. 【答案】200（1+x ）2=320【解析】【分析】根据销售额平均每月的增长率为x ，先求出9月份销售额(200+200x)万元，10月份(200+200x)+ (200+200x)x=200（1+x ）2,然后让10月销售额=320，列方程即可．【详解】解：设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意得200（1+x ）2=320．故答案为200（1+x ）2=320．【点睛】本题考查增长率问题，抓住增加额=前一月销售额×增长率，根据8月份销售额，利用增长率表示出10月份销售额是解题关键．12. 【答案】【解析】【分析】连接OC ，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．【详解】解：连接OC ，∵BC ⊥OA ，∴∠ODC =90°，BD =CD ，∵OD =AD ，∴OD =12OA =12×4=2，∴CD ==∴BC =2CD =故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．13. 【答案】2【解析】【分析】设经过平移后新抛物线的解析式为22y b x =+，然后把点()1,4代入求解即可．【详解】解：设经过平移后新抛物线的解析式为22y b x =+，∵新抛物线经过点()1,4，∴42b =+，解得：2b =；故答案为2．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．14. 【答案】75︒##75度【解析】【分析】根据旋转的性质得到AD AB ADE B =∠=∠，，根据等腰三角形的性质得到ADB B ∠=∠，求得75ADE ADB ∠=∠=︒．【详解】解：由旋转的性质可知，AD AB ADE B =∠=∠，，30BAD ∠=︒，∴ADB B ∠=∠，∵30BAD ∠=︒， ∴1(18040)752ADE ADB B ∠=∠=∠=⨯︒︒−=︒，故答案为：75︒．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．15. 【答案】5【解析】【分析】根据题意A 、B 关于抛物线的对称轴对称，先求得抛物线的对称轴，据此求解即可．【详解】解：抛物线24y x x c =−+的对称轴为直线x =4222b x a −=−=−=，根据题意A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∵1A x =−，∴2215B x =⨯+=，故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，明确A 、B 关于抛物线的对称轴对称是解题的关键．16. 【答案】②③##③②【解析】【分析】分两种情况，根据二次函数的性质可判断①，把1a =代入二次函数解析式，分类讨论对称轴位置与直线=1x −及直线1x =的位置关系可判断②，当抛物线开口向上，顶点为(01)−，，且经过(11)(11)−，，，时，2x =时y 取最大值，从而判断③．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++中，当0b c ==时，二次函数2y ax =，对称轴为y 轴， 0a >时，0x =时，y 取最小值为0，1x =或=1x −时，y 取最大值为a ，∴01a <≤；0a <时，0x =时，y 取最大值为0，1x =或=1x −时，y 取最小值为a ，∴10a −≤<；综上，①错误；当1a =时，2y x bx c =++，抛物线开口向上，当2b x =−时，y 取最小值，当112b −≤−≤时，1x =或=1x −时y 取最大值， ∴2214211b b c b c ⎧−+≥−⎪⎨⎪++≤⎩或2214211b b c b c ⎧−+≥−⎪⎨⎪−+≤⎩， ∵112b −≤−≤， ∴2014b ≤≤． ∴由214b c −+≥−可得0c ．当12b −<−时，2b >，当1x =时1y bc =++为最大值， ∵112b c b ++≤>，，∴2c <−，当b 12−>时，2b <−，当=1x −时1y b c =−+为最大值， ∵112b c b −+≤<−，，∴2c <−，综上所述，c 的最大值为0，②正确；∵当11x −≤≤时，总有11y −≤≤，∴当抛物线开口向上，顶点为(01)−，，且经过(11)(11)−，，，时，2x =时,y 可以取最大值，如图，设21y ax ，把(11)，代入21y ax 得11a =−，解得2a =，∴221y x =−，把2x =代入221y x =−得7y =，∴③正确，综上，②③正确，故答案为：②③．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26题每题6分，27-28每题7分）17. 【答案】1233,22x x == 【解析】【分析】根据公式法进行求解方程即可．【详解】解：∵1,3,1a b c ==−=，∴249450b ac ∆=−=−=>，∴322b x a −==，∴1233,22x x +==．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 18. 【答案】6【解析】分析】把a 代入方程，得出2271a a −=，再整体代入求值即可．【详解】解： (27)5a a −+ = 2275a a −+ ． ∵ a 是方程22710x x −−=的根 ∴ 22710a a −−=． ∴ 2271a a −=． ∴ 原式 =15+= 6．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值． 19. 【答案】（1）见解析；（2）1m < 【解析】【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m 的取值范围．【详解】（1）2224()41(1)(2)b ac m m m ∆=−=−−⨯⨯−=−，∵2(2)0m −≥，∴方程总有实数根；（2）∵2b x a −±=， ∴1212m m x m +−==−，2212m m x −+==， ∵方程有一个根为负数，∴10m −<，【【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．20.【答案】（1）见解析；(5，-1) ；（2）见解析，(-1，5)【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征：坐标符号相反，写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2.．【详解】解：（1）∵△ABC关于原点对称的△A1B1C1，∴关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，∵△ABC的三个顶点分别为A（－3，4），B（－5，1），C（－1，2）．∴△A1B1C1的三个顶点分别为A1（3，-4），B1（5，-1），C1（1，-2），在平面直角坐标系中描出点A1（3，-4），B1（5，-1），C1（1，-2），顺次连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1为所求如图，点B1的坐标为（5，-1）；（2）∵△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，∴绕原点顺时针旋转90°，点的横坐标，纵坐标换位，符号看象限，∵△ABC的三个顶点分别为A（－3，4），B（－5，1），C（－1，2）．∴△A2B2C2的三个顶点分别为A2（-4，-3），B2（-1，-5），C2（-2，-1），在平面直角坐标系中描出点A2（，-3），B2（-1，-5），C2（-2，-1），，顺次连结A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2为所求如图，点B2的坐标为（-1，-5）．【点睛】本题考查的是原点对称和旋转，掌握关于原点对称的点的特征和旋转后坐标的特征是解题的关键．21. 【答案】O的半径为13 5【分析】设O 的半径为r ，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．【详解】解：设O 的半径为r ， ∵5EM =，∴5OM r =−， ∵2CD =，EFCD ⊥， ∴112CM CD ==， ∴在Rt CMO △中，由勾股定理得：()2215r r +−=，解得：135r =，即O 的半径为135．【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．22. 【答案】（1）顶点坐标为(31)−，；（2）见解析（3）18y −≤<【解析】【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可求解；（2）确定其对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标后即可确定函数的图象；（3）分别令0x =和4求得函数值后即可确定y 的取值范围．【小问1详解】解：268y x x =−+ 2(69)98x x =−+−+2(3)1x =−−；∴顶点坐标为(31)−，；【小问2详解】解：列表：描点，连线，故图象为：；【小问3详解】解：∵当0x =时，8y =；当4x =时，0y =，又∵当1x =时，y 有最小值1−，∴当04x <<时，y 的取值范围是18y −≤<，故答案为18y −≤<．【点睛】本题考查了二次函数的图象及二次函数的性质，作二次函数的图象时，关键是抓住几个关键点． 23. 【答案】（1）见解析；（2）∠BEF =65° 【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得CD =CE ，∠DCE =90°=∠ACB ，由“SAS ”可证△ACD ≌△BCE ，可得BE =AD ，∠CBE =∠CAD =45°，可得结论；（2）由全等三角形的性质以及三角形内角和定理可求解．【小问1详解】证明：∵将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，∴CD =CE ，∠DCE =90°=∠ACB ，∴∠ACD =∠BCE ，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；【小问2详解】解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CBE =∠CAD =45°，∴∠ABE =∠ABC +∠CBE =90°，∵∠BDE =25°，∴∠BEF =65°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．24. 【答案】（1）223y x x =+−；（2）点P坐标(1−或(1−或(03)−，或(23)−−，．【解析】【分析】（1）通过待定系数法求函数解析式；（2）求出点B 坐标，由1||2ABP P S AB y ∆=⋅可得点P 坐标，从而求解．【小问1详解】解：将(30)(23)−−−，，，代入2y x bx c =++得093342b c b c =−+⎧⎨−=−+⎩，解得23b c =⎧⎨=−⎩， ∴223y x x =+−；【小问2详解】解：∵2223(1)4y x x x =+−=+−，∴抛物线对称轴为直线=1x −，∵点A 坐标为(30)−，， ∴点B 坐标为(1)0，， ∴4AB =，∵三角形ABP 的面积为6， ∴1||2||62ABP P P S AB y y ∆=⋅==， ∴3=±P y ，把3y =代入223y x x =+−得2323x x =+−，解得1x =−+1x =−把=3y −代入223y x x =+−得2323x x −=+−，解得0x =或2x =−，∴点P 坐标为(1−+或(1−−或(03)−，或(23)−−，．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系，通过分类讨论求解．25. 【答案】（1）作图见解析（2）2；2114y x x =−++ （3）水枪高度调节到1.66米以上【解析】【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．【小问1详解】解：如图【小问2详解】解：由图象可知水珠最高点距离湖面的高度为2米；根据图象设二次函数的解析式为()222y a x =−+将()0,1代入()222y a x =−+得14a =− ∴抛物线的解析式为2114y x x =−++ 故答案为：2；2114y x x =−++．【小问3详解】解：设水枪高度至少向上调节m 米由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为2114y x x m =−+++ ∴当横坐标为 1.62 2.82+=时，纵坐标的值大于等于20.5 2.5+= ∴21 2.8 2.81 2.54m −⨯+++≥ 解得0.66m ≥∴水枪高度至少向上调节0.66米∴水枪高度调节到1.66米以上．【点睛】本题考查了二次函数喷泉应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练26. 【答案】（1）c =-2，抛物线的对称轴为直线x =1（2）0<a <4 （3）102a −<<或102a << 【解析】【分析】（1）把()0,2−，()2,2−分别代入2y ax bx c =++，求得c =-2，b =-2a ，再把c =-2，b =-2a 代入得y =ax 2-2ax -2=a (x -1)2-a -2，根据抛物线的顶点式，即可求出抛物线的对称轴；（2）把y =-6代入y =ax 2-2ax -2，整理得ax 2-2ax +4=0，根据抛物线与直线y =−6没有公共点，则Δ=(-2a )2-4a ×4<0，即a (a -4)<0，当a >0时，则a -4<0，即a <4，则0<a <4；当a <0时，则a -4>0，即a >4，此时，无解；即可得出答案；（3）把点()1,t y ，()21,t y +分别代入y =ax 2-2ax -2，得y 1=at 2-2at -2，y 2=a (t -1)2-2a (t -1)-2=at 2-a -2，求得|y 2-y 1|，进而求出at 的范围，结合a 、t 范围，求解即可．【小问1详解】的解：把()0,2−，()2,2−分别代入2y ax bx c =++，则2422c a b c =−⎧⎨++=−⎩，解得：22c b a=−⎧⎨=−⎩，当c =-2时，抛物线解析式为：y =ax 2-2ax -2=a (x -1)2-a -2，∴抛物线的对称轴为直线x =1；【小问2详解】解：把y =-6代入y =ax 2-2ax -2，整理得ax 2-2ax +4=0，∵抛物线与直线y =−6没有公共点，∴Δ=(-2a )2-4a ×4<0，即a (a -4)<0，当a >0时，则a -4<0，即a <4，∴0<a <4，当a <0时，则a -4>0，即a >4，此时，无解；综上，a 的取值范围为0<a <4；【小问3详解】解法一：∵点()1,t y ，()21,t y +在此抛物线上，∴y 1=at 2-2at -2，y 2=a (t +1)2-2a (t +1)-2=at 2-a -2，∴|y 2-y 1|=|( at 2-2a -2)-( at 2-2at -2)|=|a (2t-1)|，∵当-2≤t ≤4时，都有|y 2-y 1|<72， ∴-72<|a (2t-1)|<72, ∴772424a a at −<<+ ∵a ≠0，∴当a <0时，17172424t a a+<<−，∴1722417424a a⎧+<−⎪⎪⎨⎪−>⎪⎩，解得：102a −<<，当a >0时，17172424t a a−<<+， ∴1722417424a a⎧−<−⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：102a <<, 综上，a 的取值范围是102a −<<或102a <<．解法二：由已知()2121y y a t −−=∵24t −≤≤∴5-17t −≤2≤∴()2177a t a a −≤=∵当24t −≤≤时，都有2172y y −<∴772a <，即12a < ∵a ≠0，综上，a 的取值范围是102a −<<或102a <<．【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象与直线无交点问题，熟练掌握二次函数图象性质和利用不等式求参数的范围是解题的关键．27. 【答案】（1）图见解析；（2）ADM ∠=AEM ∠；（3）MC AE BD =+，证明见解析．【解析】【分析】（1）依据题中语句根据旋转的性质作出图形即可；（2）根据旋转前后对应角相等，再利用邻补角和等角的补角相等即可得出结论；（3）根据角平分线和旋转的性质可证AE //BM ，再利用（2）中的结论和平行线的性质进一步证明∠MEA =∠DAE ，∠DME =∠MDA ，根据等角对等边可得AN =NE ,MN =DN ，利用线段的和差可得结论．【详解】解：（1）补全图如下：（2）∵AEC △绕点A 顺时针旋转a ，使AC 边与AB 重合，∴∠AEC =∠ADB ，∵∠AEC +∠AEM =180°，∠ADB +∠ADM =180°，∴∠ADM =∠AEM ，故答案为：ADM ∠=AEM ∠；（3）MC AE BD =+，证明如下：∵AEC △绕点A 顺时针旋转a ，使AC 边与AB 重合，∴EC =BD ,AE =AD ，∴∠ADE =∠AED ，又∵DE 平分∠ADB ,∴∠ADE =∠BDE ，∴∠AED =∠BDE ，∴AE //BD ，∴∠MDA =∠DAE ，∠DME =∠MEA ，∵由（2）得∠MEA =∠MDA ，∴∠MEA =∠DAE ，∠DME =∠MDA ，∴AN =NE ，MN =DN ，∴ME =AD ，∴MC ME EC AD BD AE BD =+=+=+．【点睛】本题考查旋转性质，平行线的性质和判定，等角对等边等．（1）中能结合语句作出图形是解题关键；（2）中理解旋转前后对应角相等是解题关键；（3）中能根据旋转和平行线证明角相等从而得出线段相等是解题关键．28. 【答案】（1）①2P ，3P ；②m ≥-1且m ≠0；（2）0a >或14a −≤ 【解析】【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB 坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断 ②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m 的值，结合图像即可求出范围；（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当a<0时，代入抛物线254(0)y ax ax a =−+≠得，14a =−，结合图像得14a −≤，0a >，在直线x =4的右侧y 随x 的增大而增大，总存在y ≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可．【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C 点的纵坐标最大是3，B 点的横坐标最大是3，即：3x ≤且3y ≤，所以2P ，3P 是覆盖的特征点②设点,P x y （）为ABC 的覆盖的特征点．依题意得：33x y ≥⎧⎨≥⎩，当0m ＞时，结合函数图像可知，在一次函数6(0)y mx m =+≠的图像上存在ABC 的覆盖的特征点，故符合题意．当0m <时，如图，点,P x y （）为ABC 的覆盖的特征点．的又∵点P 在一次函数5(0)y mx m =+≠的图像上，又∵点P 在一次函数6(0)y mx m =+≠的图像上，当直线6(0)y mx m =+≠过点(3,3)P 时，即：336(0)m m =+≠解得：1m =−．∴结合函数图像可知10≤＜−m ．综上所述：10m m −≠≥且．（2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当a<0时，代入抛物线254(0)y ax ax a =−+≠得516204a a =−+，解得：14a =−，结合图像得14a −≤，即存在覆盖特征点，当=0a 时，此时y =4是一直线，不存在符合条件点，当0a >时，在直线x =4的右侧y 随x 的增大而增大，总存在y ≥5的点，即存在覆盖特征点，综合得a 的范围是0a >或14a −≤．【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键．。