小学奥数之裂项法(二)
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裂项法（二）
前一节我们已经讲过，利用等式11111n n n n -+=+()，采用“裂项法”能很快求出121611212019900
+++++…这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：11n n t t n n t -+=+()
，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
【典型例题】
例1. 113135157119931995119951997
⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
下面我们用
11n n t t n n t -+=+()
，现在给n 、t 一些具体的值，看看有什么结果。 当n t ==12,时，有2131113
⨯=- 当n t ==32,时，有2351315
⨯=- 当n t ==52,时，有2571517⨯=- ……
当n t ==19932,时，有
2199319951199311995
⨯=- 当n t ==19952,时，有2199519971199511997⨯=- 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如1131221313512235
⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯,，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。 因为1131221313512235⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯,，……，11993199512219931995
⨯=⨯⨯，11995199712219951997
⨯=⨯⨯ 所以113135119931995119951997
⨯+⨯++⨯+⨯… =⨯-+-++-+-=⨯-=⨯=12113131511993119951199511997
121119971219961997
9981997
()()…
例2.
1123123419899100
⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯…… 因为112123311232123
⨯-⨯=-⨯⨯=⨯⨯ 所以112312112123
⨯⨯=⨯⨯-⨯() 同样可得123412123134
⨯⨯=⨯⨯-⨯() 134512134145⨯⨯=⨯⨯-⨯() 一般地，因为
11112n n n n ()()()
+-++ =+-++=++n n n n n n n n 212212()()()()
1
121211112n n n n n n n ()()[()()()]++=⨯+-++ 这里n 是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
1123123419899100
12112123123134198991991001211212312313419899199100
12112199100
⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⨯⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=⨯⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=⨯⨯-⨯………[()()()]()() =⨯-=⨯=12495019900
1249499900
494919800
例3. 计算：121231234123451234200+++++++++++++++…… 分析与解：
1232232225
12342243236
123452254247
1234112
212122122112+=+⨯=⨯++=+⨯=⨯+++=+⨯=⨯++++=+-=-+-+=⨯-+()()()()()()()()()()()
…n n n n n n n n n 而11122112312n n n n n n n n --+=+---+=-+()()()()()()
即112131112
()()()n n n n -+=⨯--+ 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
121231234200
12225236219920212233253363199202
122312151316141715181711011991202
++++++++=+⨯+⨯++⨯=+⨯⨯+⨯++⨯=+⨯-+-+-+-+-++-……………()() =+⨯+++++-++++12231213141511991516171202
[()()] (122312131415119915161200120112021223121314120012011202)
1223992006620199404
12331004420133202
14309332030100
+⨯+++++-+++++=+⨯++---=+⨯++=+++=[()()]()()……
【模拟试题】（答题时间：15分钟）
二. 尝试体验
1. 求和：
13134134513456134520
+++++++++++++++…… 2. 求和：1110314051887115491238111340+++++
3. 求和：
1
1234
1
2345
1
17181920⨯⨯⨯
+
⨯⨯⨯
++
⨯⨯⨯
…
【试题答案】
1. 求和：1
3
1
34
1
345
1
3456
1
34520 +
+
+
++
+
+++
++
++++
…
…
687836 841225
2. 求和：1
1
10
3
1
40
5
1
88
7
1
154
9
1
238
11
1
340 +++++
363 20
3. 求和：
1
1234
1
2345
1
17181920⨯⨯⨯
+
⨯⨯⨯
++
⨯⨯⨯
…
1139 20520