小学奥数裂项公式汇总

小学奥数讲义-整数裂项

整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】这是整数的裂项。

裂项思想是:瞻前顾后,相互抵消。

设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形:()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+, 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解:由于()21n n n n +=+,所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 例题精讲知识点拨整数裂项1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++,所以, 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出,()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】计算:135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=, 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=, 21351910100++++==,所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】计算:101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】可进行整数裂项: 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】计算:123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺少的项补上,再进行计算．记原式为A ,再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯,则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=, 现在知道A 与B 的和了,如果能再求出A 与B 的差,那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++ 221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以,()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++=【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-,33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-,……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-, 可见,原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例 7】计算:1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

数学变形-裂项.

*裂项就是朝着一定方向变形。

*裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”裂和型运算的题目不仅有，“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

一、基本裂项例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。

算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……扩大倍数=公差X因数加一98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。

解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100=（99×100×101-0×1×2）÷3=333300 下式：增大后减（裂差）例2、计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。

裂项公式大全基本

裂项公式大全基本1.二项展开公式：二项展开公式是裂项公式的基本形式，用于展开一个二项式的幂。

假设有两个实数a和b，以及非负整数n，则二项展开公式如下：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合的个数。

2.差的平方公式：差的平方公式用于展开一个两个实数的差的平方。

假设有两个实数a 和b，则差的平方公式如下：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.和的平方公式：和的平方公式用于展开一个两个实数的和的平方。

假设有两个实数a 和b，则和的平方公式如下：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.三项展开公式：三项展开公式是裂项公式的扩展形式，用于展开一个三项式的幂。

假设有三个实数a、b和c，以及非负整数n，则三项展开公式如下：(a + b + c)^n = Σ(i=0 to n) Σ(j=0 to n-i) C(n, i, j) *a^(n-i-j) * b^i * c^j其中C(n,i,j)表示三项式系数，表示从n个元素中选择i个元素的组合的个数，且这i个元素中的j个选择为c。

5.四项展开公式：四项展开公式是裂项公式的进一步扩展，用于展开一个四项式的幂。

假设有四个实数a、b、c和d，以及非负整数n，则四项展开公式如下：(a + b + c + d)^n = Σ(i=0 to n) Σ(j=0 to n-i) Σ(k=0 to n-i-j) C(n, i, j, k) * a^(n-i-j-k) * b^i * c^j * d^k其中C(n,i,j,k)表示四项式系数，表示从n个元素中选择i个元素的组合的个数，且这i个元素中的j个选择为c，这j个元素中的k个选择为d。

六种裂项基本公式

六种裂项基本公式(1) 二次方程的裂项公式：设ax²+bx+c=0，则有x= [-b±√(b²-4ac)]/2a(2) 三次方程的裂项公式：设ax³+bx²+cx+d=0，则有x=-[(b+√(b^2-4ac))/2a] [+(b-√(b^2-4ac))/2a](3) 四次方程的裂项公式：设ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a](4) 五次方程的裂项公式：设ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+ 2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)](5) 六次方程的裂项公式：设ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b+ 3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+[(b+3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)], [-(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]裂项是在多项式函数中，根据特定的基本公式将方程拆解之后得到的解。

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总1. 一元二次方程：一元二次方程是来自于“二次”，即指二次多项式的方程，此方程只有一个未知变量，解决的时候通常是找出它的两个实数根。

一般的一元二次方程的形式如下：ax2+bx+c=0，其中a、b、c都是实数，而且a不等于0，x表示未知变量，a、b、c用来确定任意的一个一元二次方程。

此方程的解可以用裂项公式来求，公式由x=(-b±√（b2-4ac）)/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则此一元二次方程有两个不同的实数根，若判别式等于0，则有两个重根，若判别式小于0，则没有有理数根。

2. 二次不等式：二次不等式是以“二次”为特征的不等式，是指一个二次多项式在单一或双边限制范围内的取值，其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 。

其中a、b、c都是实数，a不等于0，x表示未知变量。

此不等式的解可以用裂项公式来求，公式由-b-√（b2-4ac）/2a<x<-b+√（b2-4ac）/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则满足此二次不等式的解为一个区间，若判别式等于0，则此不等式的解为一个端点，若判别式小于0，则此不等式没有有理数根，是一个无解事件。

3. 一元三次方程：一元三次方程的形式为：ax3+bx2+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数，a不等于0，x为未知变量。

这是一个由三次多项式形成的方程，解法有三种：秦九韶算法、降次法和Vieta公式，其中秦九韶算法是求根最经典的方法；而Vieta公式是起到检验求根方法的作用，也可以求出根等信息；降次法是尝试将方程按次数降低，从而将一元三次方程分解成一元二次方程，乘以常数所形成的一个等式组，这样就可以使用上面的一元二次方程的裂项公式来求解。

4. 平方：平方是指某个数字被提取，且其乘方为2的结果数，常用三角形表示。

其求根可以用裂项公式来求，公式由x=±√b两个解式组成，此实数根依然是以b为参数，且包含正数解和负数解，而结果有可能是实数根也有可能是复数根，要从b的正负来判断其结果是什么样。

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

裂项法基本公式

裂项法基本公式裂项法是在计算数列求和时常用的一种方法，其基本公式如下：对于正整数n，若数列a1，a2，...，an满足以下条件：1. 数列a1，a2，...，an的前n项和S(n)可以求出；2. 数列a1，a2，...，an中，第k+1项和第n-k项的和总是相等，即a(k+1)+a(n-k)=C，其中C为常数。

则有裂项公式：S(n)= (n/2)(a1+an)+(C/2)×(n/2)。

(n为偶数)S(n)= ((n+1)/2)×a((n+1)/2)+((n-1)/2)×a((n-1)/2)+C×(n-1)/2。

(n 为奇数)如果C为0，则裂项公式可以简化为：S(n)= (n/2)(a1+an)。

(n为偶数)S(n)= (a1+a(n+1)/2)×((n+1)/2)。

(n为奇数)裂项法的思想是先将数列按照规律分成两个数列，再进行求和，最后将它们合并成原来的数列，得出数列和的值。

裂项法适用于对决策、统计、数学、物理等学科中有序递增、递减等规律的数列的求和。

使用裂项法能够简化计算过程，提高计算效率。

举例说明：假设有数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9将该数列分成两个等差数列：1，3，5，7，9以及2，4，6，8可得：C = 10，n = 8则有：S(8) = (8/2)×(1+9)+(10/2)×(8/2) = 45+20 = 65将上述计算结果与数列求和公式进行比较，可以发现使用裂项法求得的结果与数列求和公式得出的结果相同。

总之，裂项法是一种简单、有效的数学方法，能够帮助我们更快速、更准确地求解数列求和问题。

对于掌握了该方法的人来说，将会提高数学运算的效率，也能够在实际生活和工作中更加灵活地运用数学知识。

小学奥数裂项相消法

小学奥数裂项相消法大家好，今天雨过天晴，正是学习的好时机。

我们来讲一下裂项相消法。

在我们的读书生涯中，裂项相消法一直陪伴着我们。

毫不夸张的说，只要你学数学，总会看到它的身影。

首先，我们来介绍两个公式：1、母积子和公式：\displaystyle \frac{b+a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }+\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}+\frac{1}{b } \\•分母是两个数的乘积•分子是这两个数的和•则可以裂项为两个分数的和2、母积子差公式：\displaystyle \frac{b-a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }-\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}-\frac{1}{b } \\•分母是两个数的乘积•分子是这两个数的差•则可以裂项为两个分数的差我们今天要讲的是分裂项的消除，与这两个公式有关。

下面介绍一下我们初中数学经常用到的两个基本公式：\displaystyle \frac{1}{n\times \left ( n+1 \right ) } =\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \\\displaystyle\frac{1}{n\times \left ( n+k \right ) }=\frac{1}{k}\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+k} \right ) \\那这两个基本公式和我们上面看到的母积子和、母积子差公式有什么关系呢？同学们可以暂停思考一下。

这里又用到了我们数学计算中非常重要的一个方法：“巧用1”，不管在以后的高中，大学的学习中，都会经常使用到这个计算方法。

左边分子1可以表示成\displaystyle 1=n+1-n，那同学们是不是马上就看到了母积子差公式。

根据这个思路，我们再来看\displaystyle\frac{1}{n\times\left ( n+k \right ) } ,分子1怎么表示，才能和分母产生联系？\displaystyle n+k-n=k那是不是只要在前面乘上\displaystyle \frac{1}{k} 就搞定了？是的，我们只需要将分子写成\displaystyle \frac{1}{k}\left ( n+k-n \right ) ,这样我们就可以利用母积子差公式推导出常用基本公式。

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总Newly compiled on November 23, 2020裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）ab b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n (2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ，特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

奥数常见裂项法经典裂项试题和裂项公式(修订)

19、1 + 3 + 5 + 7 +（2n − 1）= n2
20、12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
21、12 + 32 + 52 + +（2n − 1）2 = n(2n + 1)(2n − 1) = n × (4n2 − 1)
3
3
22、13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2 = n2 (n + 1)2
例 2. 计算： 1 + 1 + 1 + … +
1
1 1+2 1+2+3
1 + 2 + 3 + … + 100
公式的变式
1
=2
1 + 2 + … + n n × (n − 1)
当 n 分别取 1，2，3，……，100 时，就有
1= 2 1 1×2
1=2 1+2 2×3
1 =2 1+2+3 3×4
1
=2
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
6 () <>
6( ) < >
面提到的等式 1 − 1 = 1 相联系，便可找到一组解，即 1 = 1 + 1
n n + 1 n(n + 1)
6 7 42
另外一种方法
设 n、x、y 都是自然数，且 x ≠ y ，当 1 = 1 + 1 时，利用上面的变加为减的想法， nxy

裂项十个基本公式

裂项十个基本公式1. 分数裂项基本公式一：(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)- 例如：计算∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))，根据这个公式可以将每一项裂项为(1)/(n)-(1)/(n + 1)，则∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+·s+((1)/(100)-(1)/(101)) = 1-(1)/(101)=(100)/(101)。

2. 分数裂项基本公式二：(1)/(n(n + k))=(1)/(k)((1)/(n)-(1)/(n + k))- 例如：对于∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))，这里k = 3，根据公式裂项为(1)/(3)((1)/(n)-(1)/(n + 3))。

- 那么∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))=(1)/(3)[(1-(1)/(4))+((1)/(2)-(1)/(5))+·s+((1)/(50)-(1)/(53))]。

3. 分数裂项基本公式三：(1)/((2n - 1)(2n+1))=(1)/(2)((1)/(2n - 1)-(1)/(2n+1))- 例如：计算∑_n = 1^20(1)/((2n - 1)(2n+1))，利用这个公式裂项后得到(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+·s+((1)/(39)-(1)/(41))]=(1)/(2)(1-(1)/(41))=(20)/(41)。

4. 分数裂项基本公式四：(n)/(n(n + 1)) = 1-(1)/(n + 1)- 例如：求∑_n = 1^30(n)/(n(n + 1))，根据公式可得∑_n = 1^30(1-(1)/(n +1))=(1-(1)/(2))+(1-(1)/(3))+·s+(1-(1)/(31)) = 30-( (1)/(2)+(1)/(3)+·s+(1)/(31))。

裂项运算常用公式

裂项运算常用公式裂项运算是指一个连分数中每个分数项的分子和分母都是一个多项式的情况。

裂项运算在数学和物理中都有广泛应用，尤其在数值计算和近似计算中具有很高的精度和效率。

1.部分分式展开公式部分分式展开是求解裂项运算的基本方法，将一个有理函数展开为多个简单有理函数之和。

对于一个有理函数f(x)/g(x)，可以使用以下公式进行部分分式展开：f(x)/g(x) = (A1/(x-a1) + A2/(x-a2) + ... + An/(x-an)) +H(x)/g(x)，其中 Ai、aj 是常数，a1、a2、..、an 是 g(x) 的不同实根，H(x) 是一个次数低于 g(x) 的多项式。

2.平方和公式平方和公式可以将一个多次项的平方和表示为一系列裂项之和。

对于一个平方和表达式 (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)，可以使用以下公式进行裂项运算：(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) = (a1^2/(a1^2) + a2^2/(a2^2) + ... + an^2/(an^2))3.分式公式分式公式是一类常见的裂项运算公式，用于将一个分式展开为一个多项式或多个有理函数之和。

常见的分式公式包括：-省略公式：(x^2+1)/(x+1)=x-1+2/(x+1)- 比例公式：(a1x + b1)/(x - c1) + (a2x + b2)/(x - c2) =(A1/(x - c1) + A2/(x - c2)) + H(x)，其中 Ai 是常数，ci 是不同的实数根，H(x) 是一个次数低于 (x - c1)(x - c2) 的多项式。

4.开方公式开方公式可以将一个含有根号的表达式展开为一个多项式或多个有理函数之和。

常见的开方公式包括：-二次根式展开：√(a+b)=√(a/4+b/4+(a/4+b/4+√(a/4+b/4))^2)=(√(a/4+b/4)+√(a/4+ b/4+√(a/4+b/4)))^2-三次根式展开：∛(a+b)=∛(a/9+b/27+(a/9+b/27+∛(a/9+b/27))^3)=(∛(a/9+b/27)+∛(a/9+b /27+∛(a/9+b/27)))^3这些是裂项运算中的一些常用公式，通过这些公式可以有效地展开和计算裂项，提高精度和计算效率。