第一章、概率论复习与补充

F x1 ， y2 F x1 ， y1
y y2 y1
(x1 , y2) (X, Y ) (x1 , y1) x1
(x2 , y2)
(x2 , y1) x2 x
一
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一、概率论复习
§1 概率论复习与补充
x1 ， x2 ， ， xn ，
并设 P X xn pn 则称上式或
n 1,
x2
p2
2,
X
P
x1
， xn ， pn

p1
为离散型随机变量 X 的分布律．
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一、概率论复习
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§1 概率论复习与补充
§1、概率论复习与补充
一、概率论复习
二、斯蒂阶积分 三、随机变量的特征函数 四、条件数学期望 五、n维正态随机向量 54所教育学院
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一、概率论复习
§1 概率论复习与补充
(x, y) (X, Y )
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一、概率论复习
y1 Y y2
§1 概率论复习与补充
设：x1 x2 ，y1 y2 ， 则
Px1 X x2 ,
F x2 , y2 F x2 , y1
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一、概率论复习
§1 概率论复习与补充
13、边缘概率密度
FX ( x) P( X x) F ( x,) x f (u , v) dv du 可以看出为连续型随机变量 相应概率密度为 ,
一
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一、概率论复习
§1 概率论复习与补充
10、边缘分布函数 设( X , Y )的联合分布函数为 ( x, y),则X和Y的分布 F
函数为
FX ( x) P( X x) P( X x, Y ) lim F ( x, y ) F ( x, )
f X ( x) F ( x) f ( x, y)dy
' X

同理fY ( y) f ( x, y)dx


称f X ( x)、fY ( y)为关于X、Y的边缘概率密度 .
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(3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.
(4) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
y y2 y1 (x1 , y2) (X, Y ) (x1 , y1) x1 (x2 , y1) x2 x (x2 , y2)
同理FY ( y ) lim F ( x, y ) F ( , y )
x
y
称FX ( x)、FY ( y)为( X , Y )关于X、Y的边缘分布函数 .
若( X , Y )为离散型随机变量 其分布律为 ,
Pij P X xi ， Y y j
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9、分布函数具有以下的基本性质：
(1)F(x,y)是变量 x , y 的不减函数，即 F 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时， ( x1 , y) F ( x2 , y); F 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时， ( x1 , y) F ( x2 , y); (2) 0 F ( x, y ) 1, 且
P{x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1} F ( x2 ) F ( x1 ).
x2 x
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一 x1
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x
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6.连续型随机变量的概率密度
则称随机变量X为连续型随机变量。
i
j
P j P y j P( X xi , Y y j ) pij Y .
i
( j 1,2, , n)为二维随机变量( X , Y )关于Y的边缘 分布律.
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Z g ( x, y)
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若 ( X , Y ) 是二维随机变量， g ( x, y ) 是二元连续函数，
若 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y) ，

且

g(x, y) f (x, y)dxdy绝对收敛，
则：EZ=


g ( x, y) f ( x, y)dxdy 。
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d 若x为f ( x)的连续点, 则 F ( x) f ( x) 0 dx
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7、多维随机变量的定义
设X（）X 2 (), , X n ()是定义同一样本空间 上 , S 1
若x R ，有F ( x) f (t )dt, 其中f ( x) 0
1
由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：
(1)
(2)
f ( x) 0.
(3) P( x1 X x2 ) f ( x)dx
x1


f (x)
x2

f ( x)dx 1.
1 x
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i，j 1， 2，
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j
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则Pi. PX xi PX xi ， Y y j pij
则称Pi (i 1,2, , n)为二维随机变量( X , Y )关于X的 边缘分布律,同样地称
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一、概率论复习

§1 概率论复习与补充
(2)设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ， 若积分 xf ( x)dx 绝对收敛，则称积分 xf ( x)dx

的值为 X 的数学期望。记为 EX= xf ( x)dx ，


数学期望也称为均值。
的随机变量, 则称( X 1 ( ), X 2 ( ), , X n ( ))为样本空间S 上的n维随机变量或n维随机向量.
8、多维随机变量的联合分布函数 称n元函数
F ( x1 , x2 , , xn ) P( X（） x1 , X 2 ( ) x2 , , X n ( ) xn ) 1 是n元随机变量的联合分布 函数.
二、斯蒂阶积分
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1 、Stieltjes积分的定义
定义1 、设f ( x), g ( x)是定义在[a, b]上的两个有界函数,
a x0 x1 xn b, 是对区间的任意划分, xk xk xk 1 , max xk , k [ xk 1 , xk ], 作和式
(3)设 Y=g(X), g(x) 是连续函数，

若 X 的概率密度为 f (x) ，且
则 EY= g ( x) f ( x)dx 。



g ( x) f ( x)dx 绝对收敛，
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一、概率论复习
§1 概率论复习与补充
离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯二确定． 4.离散型随机变量分布律的性质:
⑴．对任意的自然数 n，有 pn 0
⑵． pn 1
n
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(3) 若f ( x, y )在点( x, y )连续，则有 2 F ( x, y ) f ( x, y ). xy
（4） 设 G 是平面上的二个区域，点 ( X,Y ) 落在G 内 的概率为： P{( X , Y ) G} f ( x, y )dxdy.
G
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1.随机变量的数学期望
(1) 设X是离散型随机变量，它的概率函数是: P(X=xk)=pk , k=1,2,…
如果
| xk 1Fra bibliotekk| pk 有限,定义X的数学期望

E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是二个绝对 收敛的级数的和.
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E(
a X ) a EX