材料力学截面的几何性质
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材料力学 截面的几何性质
2 I y1 z1 dA ( z cos y sin )2 dA A A
cos2 z 2dA sin 2 y 2dA 2 sin cos yzdA
1 D 4 I y Iz I p 2 64
同理，空心圆截面 I y I z
D 4
64
1
4
27
平行移轴定理
以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC , yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为： z a zC 2 y b yC I y d A y z yC A z a d A y z
8
I z [16 283 12 16 28 (14 13)2 ] [8 103 12 8 10 (19 13)2 ]
14
28 z C
yC
16 z'
26200 cm 4
计算最大正应力 单位：cm M max ymax 1.2 105 0.15 max 68.65MPa 8 Iz 26200 10
b2
b2
很容易得到下列结果
z1
zc dy z 2
I zc y dA
2 A
b 2 b 2
3 b h 2 y hdy 12
h2 h2
dA C
yc
I z1 I z2 y 2 dA
cos2 z 2dA sin 2 y 2dA 2 sin cos yzdA
1 D 4 I y Iz I p 2 64
同理，空心圆截面 I y I z
D 4
64
1
4
27
平行移轴定理
以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴 zC , yC则某微元dA在两坐标系的位置关系为： z a zC 2 y b yC I y d A y z yC A z a d A y z
8
I z [16 283 12 16 28 (14 13)2 ] [8 103 12 8 10 (19 13)2 ]
14
28 z C
yC
16 z'
26200 cm 4
计算最大正应力 单位：cm M max ymax 1.2 105 0.15 max 68.65MPa 8 Iz 26200 10
b2
b2
很容易得到下列结果
z1
zc dy z 2
I zc y dA
2 A
b 2 b 2
3 b h 2 y hdy 12
h2 h2
dA C
yc
I z1 I z2 y 2 dA
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
yc
1 y1 2 y2 1 2
500 5 500 10 25 20cm;
500 500
(2)计算形心主惯性矩:
(z、y轴即形心主轴）
z1
z1
a12 1
50 103 12
20
52
500
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截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分
别为:
Sz
y dA;
A
Sy
z dA;
A
静矩为代数值。静矩单位: m3; mm3;
不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同
一截面对不同坐标轴的静矩也不同。
材料力学—截面几何性质
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz－任意直角坐标系
二者平行
第六章 弯曲应力
二、 惯性积的平行移轴定理
I yz
yzdA
A
y a y0 , z b z0
I yz Aa y0 b z0 dA
I y0z0 A y0 z0dA, A y0dA 0, A z0dA 0
I yz I y0z0 Aab
第六章 弯曲应力
A-1 静矩与形心
一、 静矩
积分
Sz
ydA
A
S y
zdA
A
分别称为对坐标轴x和y的静矩 或一次矩。
静矩的量纲： L3
o
y
z
z
dA
y
第六章 弯曲应力
静矩：Sz
ydA,
A
Sy
zdA
A
二. 形心
回顾理论力学的 质心计算公式：
ydm
yc
V
M
o
zc
yc
●C
y
z
z
dA
均质等厚薄板质 心位于中面形心
100 10 A1
y
A4 10
z
20
z0
A3
3、求对全截面形心轴惯性矩
4
4
Iz Izi (Iz0 i ai2 Ai )
i1
i1
方法二：负面积法。 自行完成
材料力学第六章截面的几何性质惯性矩
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
bh3 I z y dA y bdy ; A h / 2 12
2 h/2 2
取微面积dA=hdz,则：
2 b/2 2
hb3 I y z dA z hdz ; A b / 2 12
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
2 R 2 2 2
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
i 1
S y Ai zci ;
i 1
n
四、组合截面形心公式：
yc
A y
i 1 i
n
ci
A
i 1
n
;
zc
A z
i 1 i
n
ci
i
A
i 1
n
;
i
例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2 , y1 2.46m; A2 0.48m2 , y2 1.2m;
材料力学第四章截面几何性质
4
材料力学
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科技分社
若将上式写为
S z Ay c S y Az c
由式可知， 若截面对于某一轴的静矩为零，则该轴必通过截 面的形心； 反之，截面对于通过形心轴的静矩恒为零。
5
材料力学
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科技分社
当截面由若干个简单的图形（如矩形、圆形、 三角形等）组合而成时，该截面称为组合截面。 组合截面对某一轴的静矩为
2 2
即任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以 该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩的和。
I zy
yzdA
A
为整个截面对 z 、y 轴的惯性积。
从定义可知，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或 惯性积一般是不同的。 表4.1
9
材料力学
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Ⅰ.3
惯性矩和惯性积的平行移轴公式· 组合 截面的惯性矩和惯性积
n n
Sz
i 1
Ai y c i
Sy
i 1
Ai z c i
由上式可得计算组合截面形心坐标的公式
n n
yc
i 1 n
Ai y c i zc Ai
i 1 n
Ai z c i Ai
6
i 1
i 1
材料力学
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若将上式写为
S z Ay c S y Az c
由式可知， 若截面对于某一轴的静矩为零，则该轴必通过截 面的形心； 反之，截面对于通过形心轴的静矩恒为零。
5
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当截面由若干个简单的图形（如矩形、圆形、 三角形等）组合而成时，该截面称为组合截面。 组合截面对某一轴的静矩为
2 2
即任意截面对一点的极惯性矩的数值等于截面对以 该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩的和。
I zy
yzdA
A
为整个截面对 z 、y 轴的惯性积。
从定义可知，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩或 惯性积一般是不同的。 表4.1
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Ⅰ.3
惯性矩和惯性积的平行移轴公式· 组合 截面的惯性矩和惯性积
n n
Sz
i 1
Ai y c i
Sy
i 1
Ai z c i
由上式可得计算组合截面形心坐标的公式
n n
yc
i 1 n
Ai y c i zc Ai
i 1 n
Ai z c i Ai
6
i 1
i 1
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截面几何性质(材料力学)
4) 截面有三根或以上的对称轴时，则 过形心的任一根轴均为形心主轴， 且惯性矩相等； 5) 正多边形任意一根形心轴均为形心 主轴； 6) 截面有两根互相垂直的对称轴，则 这两根轴即为形心主轴； 7) 截面只有一根对称轴时，该对称轴 是一根形心主轴，另一根形心主轴 与该轴垂直； 8) 无对称轴（例）；
d 4
16
2
d 4
256
Iy
2
d 4
128
Iy
I z I z0 OC
d
2
2d 2 d 2 Iy ( 2 ) 128 3 16 4 4 d d Iy 128 18
d 4
16
z0 z1 A1 z A2 C C’ o y1 y
3）解法三 I z I z1
I z0 I z0 1 I z0 2 I z0 3
d 4
128
I z0 2 I y
I z0 2
d4
128
Iy
A3
d
4
128
I z I z1 I z0 2 OC
d2 2
16
d Iy 128 18
d
4
4
z1 A1 z A3 C C’ o
I y1z1
Iz I y 2
sin 2 0 I yz cos 2 0 0
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
截面的性质
连续性
截面是连续的，即通过连续移动平面，可以使截 面连续变化。
封闭性
当平面与三维物体相交时，如果三维物体的边界 是封闭的，则截面通常是封闭的。
唯一性
对于给定的平面和三维物体，截面是唯一的，即 通过一个平面只能得到一个截面。
截面在几何学中的应用
三维建模
01
在三维建模中，截面可用于确定物体的形状和尺寸，以及用于
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
确定轴线
首先需要确定要使用的轴线。
绘制截面
在确定轴线后，绘制与该轴线相交的截面。
移动截面
将截面沿轴线方向移动，并观察其形状和大小的变化。
分析结果
根据观察到的结果，分析平行移轴的性质和计算方法。
THANKS
感谢观看
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
材料力学截面的几何性质课件
02 W=I/A=1.13×ab²。
对于工字形截面，其面积为A=ab （a为截面长度，b为截面宽度） ，对轴线的惯性矩为 I=1/12×(a²+b²)，因此其抗弯截 面系数W=I/A=1.44×(a²+b²)。
04 截面的抗扭截面系数
定义与性质
抗扭截面系数
描述截面抵抗扭矩能力的物理量 ，也称为极惯性矩、二次极矩等 。
数据处理
在数据处理中，需要考虑截面尺寸、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
wk.baidu.com
1.谢谢聆 听
截面内各微面积对单位面积的惯性矩，用于描述截面形 状对弯曲的影响。
02
截面主轴
截面二次矩的方向余弦确定的三个主轴，与截面的形状 和尺寸有关。
03
形状系数
截面二次矩除以单位宽度的平方，用于比较不同截面形 状的刚度。
计算方法
01
02
03
微面积的确定
根据截面的几何形状，计 算出各微面积的数值。
惯性矩的计算
性质
与截面的形状和大小有关，对于 矩形、圆形、椭圆形等常见形状 的截面，抗扭截面系数具有不同 的表达式。
计算方法
根据截面的几何尺寸和形状，使用公 式或图表计算抗扭截面系数。
对于复杂形状的截面，可能需要使用 数值方法进行计算。
实例分析
实例1
对于工字形截面，其面积为A=ab （a为截面长度，b为截面宽度） ，对轴线的惯性矩为 I=1/12×(a²+b²)，因此其抗弯截 面系数W=I/A=1.44×(a²+b²)。
04 截面的抗扭截面系数
定义与性质
抗扭截面系数
描述截面抵抗扭矩能力的物理量 ，也称为极惯性矩、二次极矩等 。
数据处理
在数据处理中，需要考虑截面尺寸、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
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1.谢谢聆 听
截面内各微面积对单位面积的惯性矩，用于描述截面形 状对弯曲的影响。
02
截面主轴
截面二次矩的方向余弦确定的三个主轴，与截面的形状 和尺寸有关。
03
形状系数
截面二次矩除以单位宽度的平方，用于比较不同截面形 状的刚度。
计算方法
01
02
03
微面积的确定
根据截面的几何形状，计 算出各微面积的数值。
惯性矩的计算
性质
与截面的形状和大小有关，对于 矩形、圆形、椭圆形等常见形状 的截面，抗扭截面系数具有不同 的表达式。
计算方法
根据截面的几何尺寸和形状，使用公 式或图表计算抗扭截面系数。
对于复杂形状的截面，可能需要使用 数值方法进行计算。
实例分析
实例1
第四章 材料力学 截面的几何性质
A
•
若将 dA理解为垂直于纸面的力， 便是对z轴的力 ydA 矩， sz 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 • 若形心坐标为 ( zc , yc )，静矩也可写成：
sz = ∫ ydA = A⋅ yc
A
sy = ∫ zdA = A⋅ zc
A
• 性质： • 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、 可以是负或零； • 2、单位：mm3,cm3 ； • 3、当坐标轴原点过形心，zc = yc = 0, sz = sy = 0 ；
0
∫
r 2 − y2
0
yzdydz
1 r 2 = ∫ ydy∫ zdz = ∫ y z 0 0 2 0 1 r r4 = ∫ y（ 2 − y2） = ; r dy 2 0 8
[ ]
r 2 − y2 0
dy
r4 r4 r4 I zy = − = . 4 8 8
• 4-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
h
o
b
z
• 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 I zy. 解：因为惯性矩与惯性积等于各微 y 元面积的惯性矩或惯性积之和， C B 所以 ABCD r
r
Izy = Izy
− Izy
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D
z
ABCD I zy = ∫ zydA = ∫ A
•
若将 dA理解为垂直于纸面的力， 便是对z轴的力 ydA 矩， sz 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 • 若形心坐标为 ( zc , yc )，静矩也可写成：
sz = ∫ ydA = A⋅ yc
A
sy = ∫ zdA = A⋅ zc
A
• 性质： • 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、 可以是负或零； • 2、单位：mm3,cm3 ； • 3、当坐标轴原点过形心，zc = yc = 0, sz = sy = 0 ；
0
∫
r 2 − y2
0
yzdydz
1 r 2 = ∫ ydy∫ zdz = ∫ y z 0 0 2 0 1 r r4 = ∫ y（ 2 − y2） = ; r dy 2 0 8
[ ]
r 2 − y2 0
dy
r4 r4 r4 I zy = − = . 4 8 8
• 4-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式 惯性矩和惯性积的平行移轴公式
h
o
b
z
• 补充例子：试计算圆弧右上方阴影部分面积的惯性积 I zy. 解：因为惯性矩与惯性积等于各微 y 元面积的惯性矩或惯性积之和， C B 所以 ABCD r
r
Izy = Izy
− Izy
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D
z
ABCD I zy = ∫ zydA = ∫ A
材料力学 3 截面的几何性质
若 S y 0 zc 0 y 轴通过形心。反之，亦成立。
即截面图形对形心轴的静矩为0。
三、组合截面图形的静矩和形心
S y Ai zi
i 1
n
n
S z Ai yi
i 1 n
n
z
Sz yc A
Ai yi
i 1
i 1
Ai
zc
Sy A
i 1 n
z
y
O
2 D 2 0 2
I p 2 dA z 2 y 2 dA
dA
A
A
z 2 dA y 2 d A I y I z
A A
z
y
实心圆截面：
I p A dA 2 d
I y Iz
z
d
D4
32
A
I y z 2 dA
I yz yz dA
A
y
y1
α逆时针转为正。
2 I y1 z1 dA A 2 I z1 y1 dA A
z
dA z1
y1
O
y
I y1 z1 y1 z1 dA
A
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin
即截面图形对形心轴的静矩为0。
三、组合截面图形的静矩和形心
S y Ai zi
i 1
n
n
S z Ai yi
i 1 n
n
z
Sz yc A
Ai yi
i 1
i 1
Ai
zc
Sy A
i 1 n
z
y
O
2 D 2 0 2
I p 2 dA z 2 y 2 dA
dA
A
A
z 2 dA y 2 d A I y I z
A A
z
y
实心圆截面：
I p A dA 2 d
I y Iz
z
d
D4
32
A
I y z 2 dA
I yz yz dA
A
y
y1
α逆时针转为正。
2 I y1 z1 dA A 2 I z1 y1 dA A
z
dA z1
y1
O
y
I y1 z1 y1 z1 dA
A
y1 cos cos cos sin sin y cos z sin
材料力学第六章截面图形的几何性质_new
轴平行的窄条， d A 2 r 2 - y2 • d y
y
所以
Sx
A
yd
A
r
0
y( 2
r2 - y2 )d y 2 r3 3
dA
dy
yC
Sx A
2r 3
r 2
/ /
3 2
4r
3
yC
Cr
y
O
x
例6-2 求图示图形的形心。
10
解：将此图形分别为I、II、III三
部分，以图形的铅垂对称轴为y轴， 过II、III的形心且与y轴垂直的轴线
h
2 -h
2
y 2bdy
bh3 12
dA hdz
b
Iy
z2dA
A
b
2 -b
2
z 2 hdz
hb3 12
惯性矩与惯性积的移轴定理
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的移轴定理
移轴定理（parallel-axis theorem）是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。
I 300 II
取为x轴，则
III
yC
Ai yC i Ai
(20010) (5 150) 2 (10 300) 0 20010 2 (10 300)
材料力学第四章截面的几何性质
确定截面的剪切中心
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
计算公式
$Ip = int_{A} y^2 dA$，其中y为截 面上任意点到截面中心的距离。
惯性积的定义与计算
惯性积
截面对任意两垂直轴的惯性积等于截面面积与两轴间距离的乘积。
计算公式
$I_{12} = int_{A} yz dA$，其中y和z分别为截面上任意点到两垂直轴的距离。
极惯性矩和惯性积在材料力学中的应用
材料力学第四章截面的几何性质
目录
• 引言 • 截面的面积和形心 • 主轴和主惯性矩 • 极惯性矩和惯性积 • 总结与展望
01 引言
截面的定义与重要性
截面定义
截面是指通过力的作用线并与作用线 垂直的平面与物体接触所形成的交线 。在材料力学中，截面是研究物体受 力变形和承载能力的重要参数。
截面的重要性
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
计算公式
$Ip = int_{A} y^2 dA$，其中y为截 面上任意点到截面中心的距离。
惯性积的定义与计算
惯性积
截面对任意两垂直轴的惯性积等于截面面积与两轴间距离的乘积。
计算公式
$I_{12} = int_{A} yz dA$，其中y和z分别为截面上任意点到两垂直轴的距离。
极惯性矩和惯性积在材料力学中的应用
材料力学第四章截面的几何性质
目录
• 引言 • 截面的面积和形心 • 主轴和主惯性矩 • 极惯性矩和惯性积 • 总结与展望
01 引言
截面的定义与重要性
截面定义
截面是指通过力的作用线并与作用线 垂直的平面与物体接触所形成的交线 。在材料力学中，截面是研究物体受 力变形和承载能力的重要参数。
截面的重要性
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
材料力学第四章截面的几何性质
0
o
y1
u
y
证明：设通过截面 O 点的y、z 轴为主轴，u、v 为另一对 主轴，其中o不是 /2 的整数倍，由转轴公式：
I uv
Iy
Iz 2
sin 20
I yz cos 20
0
而：I yz 0 sin 20 0 I y Iz
从而：
I y1z1Biblioteka Baidu
Iy
2
Iz
sin
2
I yz
cos 2
0
故过Ｏ点的任何一对正 交轴都是主轴，定理得证。
得：
Iy
2
Iz
sin 2
I yz
cos 2
0
可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。
(Iy
Iz
)2
4
I
2 yz
3. 主惯性矩
20
Iy Iz
定义：截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
2Iyz
由：
tg20
2I yz Iy Iz
得：cos 20
Iy Iz
(Iy
Iz
)2
4
I
2 yz
sin 20
2Iyz
12 7 13 (3.47)2 7
12 279cm4
I zc 100cm 4
I yczc I yc1 zc1 a1b1 A1 I yc 2 zc2 a2b2 A2 97cm 4
材料力学课件第六章截面图形的几何性质
dA
C
y yC x O xC x
y d A A 2.形心 yC A xd A A xC A
3.形心与静 yC S x S x yC A A 矩的关系 或 Sy S y xC A
xC
A
图形对某轴的静矩 为零，则该轴一定过图 形的形心；某轴过图形 的形心，则图形对该轴 的静矩为零。
1 1 1 1
Ix Iy
Ix - Iy
注意：是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的为正。
公式推导：
I x1 y 1 。 已知：Ix、Iy、Ixy、，求 I x 1 、I y 1、
y
2dA I x 1 A y 1
y1=|AC| =|AD|-|EB| =ycos-xsin dA A C y E x B D x y1 x1 同理，利用： x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos+ysin
利用三角变换，得到 I x 1
Ix Iy 2
Ix - Iy 2
cos 2 - I xy sin 2
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的转轴定理
y
z
dA
y
I yz yzdA 0
A
O
z
第6章 截面的几何性质
惯性矩与惯性积的转轴定理
材料力学-截面几何特性
一、 惯性矩和惯性积的转轴公式
y
坐标的旋转变换：
y1
x
xy11xcxossianaysyicnoasa
dA
x1
y y1
x1
对x1轴的惯性矩：
I x1 y12dA
a
x
2
(x sina y cosa ) dA
Ix cos2 a 2Ixy sina cosa I y sin2 a
Ix1 Ix cos2 a 2Ixy sina cosa I y sin2 a
(a)
解：将截面看作由一个矩形和两个 半圆形组成，对于矩形
d 2a3
I x1 12
80 mm 200 mm 3 5 333 104 mm 4
12
对于半圆形
xc2
d sin( / 2) 3 / 2
80mm
3 / 2
17.0mm
I x2
d4 64
/2
9
16
/
2
(80mm )4 / 2 16 28 10 4 mm 4
y y
c x y
c
x
y
cx
cx
如果截面具有三根以上的对称轴，过形心的任 意轴及与之正交的形心轴均为形心主轴
y
y
cx
cx
如果截面没有对称轴，形心主轴的确定:
1、确定形心位置；
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和
力学行为的重要学科之一。在材料力学中，研究截面的几何性质
是必不可少的一部分。本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义
截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述
杆件、梁、板等结构物体的断面形态。材料力学中，截面的几何
参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征
常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。其
几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描
述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面
中心距离短边较远的一侧。圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面
对称轴有关。对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式
在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。以下是一些常见的公式：
1、截面面积
截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。不同截面形状的截面面积计算公式如下：
矩形截面：A = bh
圆形截面：A = πr²
三角形截面：A = 1/2bh
梯形截面：A = 1/2(a+b)h
T形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)
2、截面惯性矩
截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：
Ixx = ∫(y²)dA
Iyy = ∫(x²)dA
其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
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• 对组合图形：
zci Ai z i c Ai i yci Ai yc i Ai i
S y zci Ai；
i
s z yci Ai
i
Ai 第i个分图形的面积； zci、yci 第i个分图形的形心坐标；
• 例1，求四分之一圆截面对z,y轴的形心位置 • 解：取如图示的坐标系, y • 先求 s x , s y
y
dy
R
o
y
sz A ydA y z dy
z
z
0 2 R sin cos d
3 2
dz
R3 3
y R
o
z
z
sz 4R 3 yc 2 A R 3 4
R3
z R cos y R sin dy R cosd
sz A zdA z y dz
I z I zi
i
，I y I yi，
i
2 I y dA , 元面积对z轴的惯性矩就等于将各元 因 z
面积对z轴的惯性矩求和，因质量连续分布，求和则为积 分。
应用于圆环的情形,可看成两个圆形截面，
I I 1 I 2 I z I y 2I z wenku.baidu.comI y，
决如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的 问题的.
•
4—1 截面的静矩和形心
y
一、静矩的定义 设平面图形，取zoy坐标系， 取面积元dA，坐标为（z,y）， 整个截面对z、y轴的静矩为：
yc
y
dA
o
z
zc z
——整个截面对z轴的静矩； sz ydA
A
s y zdA ——整个截面对y轴的静矩；
dA
( z、y）
y
d
dA d d
y sin ; z cos .
（z、y） d
I z A y dA
2
z
1 4 4
d 2
2 o
d
o 2 2 sin 2 d d
4
d
2 o 2 3d o sin 2 d
一、惯性矩的定义
y y
dA
o
------面积对坐标轴的二次矩. 设一平面图形，取一元面积 dA，坐 标为(z,y)，距原点的距离为 ，方位 角为 ，定义：
z
z
I y A z 2 dA ;
I z A y 2 dA ;
而 I z I y A z 2 y 2 dA A 2 dA
0
4 2 1 d 1 cos 2 d d 0 2 42 64
由于对称：
Iz Iy
1 4 I I I 2 I 2 I d 极惯性矩： z y z y 32 对过形心的一对轴的惯性积
2 I zy zydA o 2 o cos sin dd 0 d
R cos R sin R sin d
R cos sin d
2 o 3 2
1 2 3 R sin 3 o
3
4R zc A 3
sy
• 三、组合截面的静矩
• 例1：如图由两个矩形截面组合成的T形截面，y轴为对 称轴， A1 300 30mm2 , A2 270 50mm2 ,对z，y轴的 静矩。 300 z 解：因为是组合图形,又关于轴对称， o 30 故有：
zc
Sy
A
, yc
Sz
A
反之，若 s x s y 0 ，坐标轴原点必过截面形心。
• 二、形心位置的计算
• 形心位置：
zc
Sy
A
, yc
Sz
A
对面积连续分布的（非组合图形）图形：
sy A zdA zc A A y s z A ydA c A A
A
•
若将 dA 理解为垂直于纸面的力， ydA便是对z轴的力 矩， s z 则为对z轴的合力矩，故称为面积矩。 • 若形心坐标为 zc , yc ，静矩也可写成：
sz ydA A yc
A
s y zdA A zc
A
• 性质： • 1、同一截面对不同轴的静矩亦不同；静矩可以是正、 可以是负或零； • 2、单位：mm3 , cm3 ； • 3、当坐标轴原点过形心，zc yc 0, s z s y 0 ；
270 50
S y zci Ai 0，（ z1 z2 0）；
i
y
s z yci Ai y1 A1 y2 A2 15 300 30
i
270 30 270 50 23.625 105 (mm) 2 , 2
• 4-2 惯性矩和惯性积
定义：I A 2 dA
I zy A zydA ——平面图形对z,y轴的惯性积;
极惯性矩.
• 二、性质
1、 I z、I y 恒为正， I zy 可正、可负、也可以为零，其正 负值与坐标轴的位置有关。 2、单位：（长度）4；
例4-4 ： 计算直径为d的圆截面对形心轴z,y的惯性矩 和惯性积。 解：用平面极坐标 (r , ).
1 D 4 d 4 D 4 4 Iz Iy （ 1 ）， 2 2 32 32 64 d 式中的 . D I
其他如表4.1.
*惯性半径（回转半径）的概念： • 如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义
1 d 4 64
因坐标轴是对称轴，如对左右的 dA （如上图），
zydA z ydA 0
• 结论：截面如有一根对称轴，则截面对这根轴与另 一根与之垂直的轴的 I zy 0 .
对矩形截面，过形心轴的惯性矩：
y
h
o
b
z
1 3 I z bh 12
1 3 I y hb 12
• 若为组合图形，对z轴，y轴的惯性矩：